KOMBINATORIKA KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU, VARIACE, PERMUTACE, FAKTORIÁLY KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU

Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK 7. červa 03 Název zpracovaého celku: KOMBINATORIKA KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU, VARIACE, PERMUTACE, FAKTORIÁLY Motivačí příklad : KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU A SOUČTU Určete, kolik dvojjazyčých slovíků je třeba vydat, aby byla zajištěa možost přímého překladu z ruského, aglického, ěmeckého a fracouzského jazyka do každého z ich. Řešeí: Každý slovík zapíšeme jako uspořádaou dvojici. Je třeba vydat tyto slovíky: [R;A], [R;N], [R;F], [A;R], [A;N], [A;F], [N;R], [N;A], [N;F], [F;R], [F;A], [F;N]. Pro výběr prvího čleu uspořádaé dvojice máme čtyři možosti výběru a po provedeém výběru jsou pro výběr druhého čleu už je tři možosti výběru. Hledaý počet všech uspořádaých dvojic je rove součiu 4. 3 =. Je uté vydat dvojjazyčých slovíků. Motivačí příklad : Z města A do města B vede pět cest, z města B do města C vedou tři cesty a z města C do města D čtyři cesty. Určete počet cest, které vedou z města A do města D přes města B a C. Řešeí: α a β A 3 b B C D 4 γ c 5 δ Každou cestu z A do D přes B a C lze apsat jako uspořádaou trojici.

Pro výběr prvího čleu uspořádaé trojice máme pět možostí výběru,, 3, 4, 5), po provedeém prvím výběru jsou pro výběr druhého čleu trojice tři možosti a, b, c) a po provedeém druhém výběru jsou pro výběr třetího čleu uspořádaé trojice čtyři možosti výběru α, β, γ, δ). Celkový počet cest je rove součiu 5. 3. 4 = 60. Počet cest, které vedou z města A do města D přes B a C, je 60 cest. Motivačí příklad 3: Určete počet všech trojciferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje ejvýše jedou. Řešeí: Trojciferá čísla lze považovat za uspořádaé trojice. Prví čle této trojice lze vybrat právě devíti způsoby a prvím místě může být jakákoliv cifra kromě 0). Druhý čle této trojice lze vybrat právě devíti způsoby a druhém místě esmí být stejá cifra jako a prvím místě, ale přibyla cifra 0, kterou již můžeme použít). Třetí čle této trojice lze vybrat osmi způsoby zbývá už je osm cifer k použití). Celkem existuje 9. 9. 8 = 648 trojciferých přirozeých čísel požadovaých vlastostí. Motivačí příklad 4: Je dá kovexí čtyřúhelík. Kolik přímek je určeo vrcholy tohoto čtyřúhelíku? Řešeí: D C A Každou přímku můžeme chápat jako uspořádaou dvojici. Prví čle této dvojice můžeme vybrat právě čtyřmi způsoby a prvím místě může být bod A, B, C ebo D). Druhý čle dvojice, po vybráí prvího čleu, můžeme vybrat už je třemi způsoby. Existuje tak 4. 3 = uspořádaých dvojic [X;Y], určujících přímku. Uvědomme si, že přímka AB je ta samá přímka, jako přímka BA atd. Tedy dvě uspořádaé dvojice [A;B] a [B;A] vyjadřují tutéž přímku. Abychom získali počet všech požadovaých přímek, musíme získaý počet uspořádaých dvojic dělit dvěma. 43 Přímek je tedy celkem 6. Vrcholy kovexího čtyřúhelíku je určeo 6 přímek. B Motivačí příklad 5: Je dá čtverec ABCD a a každé jeho straě je zvoleo jejich vitřích bodů. Určete počet všech trojúhelíků, jejichž vrcholy X, Y, Z leží v daých bodech a a růzých straách čtverce ABCD.

Řešeí: Trojúhelík můžeme chápat jako uspořádaou trojici [X;Y;Z]. Vrchol X je možé zvolit 4 způsoby. Po výběru bodu X lze vrchol Y volit 3 způsoby, eboť esmí ležet a téže straě čtverce ABCD jako bod X. Po výběru bodu Y je možo vrchol Z vybrat způsoby, eboť esmí ležet a těch straách čtverce ABCD, a ichž leží body X, Y. Existuje tedy 4. 3. = 4 3 uspořádaých trojic [X;Y;Z]. Uvědomme si, že 6 uspořádaých trojic určuje stejý trojúhelík XYZ. [X;Y;Z] = [X;Z;Y] = [Z;X;Y] = [Z;Y;X] = [Y;X;Z] = [Y;Z;X] = jede trojúhelík XYZ Počet všech trojúhelíků požadovaé vlastosti získáme tak, že počet všech uspořádaých trojic dělíme šesti. Trojúhelíků daé vlastosti je celkem 4 3 6 4 3. Na základě předchozích řešeých motivačích příkladů můžeme vyslovit závěr: KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU: Počet všech uspořádaých k-tic, jejichž prví čle lze vybrat právě -způsoby; druhý čle, po výběru prvího čleu, právě -způsoby atd.; až k-tý čle, po výběru k-)-ho čleu, právě - způsoby, je rove součiu... k. kromě kombiatorického pravidla součiu často v kombiatorice používáme pravidlo součtu: PRAVIDLO SOUČTU: Jestliže lze v prvím případě zvolit m růzých způsobů a ve druhém případě ezávisle a prvím) lze volit růzých způsobů, pak počet všech způsobů, kterými lze provést volbu je m +. SHRNUTO: Kombiatorika se zabývá vytvářeím k-čleých skupi z daé -prvkové možiy. 3

Pracoví list A ) Z města A do města B vedou 4 cesty, z města B do města C cesty. Určete počet cest, které vedou z A do C a prochází přitom městem B. ) V botíku je po jedom páru kozaček, sadálů, teisek a hědých a čerých polobotek. Kolika způsoby lze z ich vybrat jedu pravou a jedu levou botu, které epatří k sobě. 3) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu eí cifra ula a ze zbývajících devíti číslic se v ěm každá vyskytuje ejvýše jedou. Kolik z těchto čísel je větších ež 9 000? Kolik je meších ež 3 000? 4) Je dá rovostraý trojúhelík ABC a a každé jeho straě je zvoleo jejich vitřích bodů. Určete počet všech trojúhelíků, jejichž vrcholy X, Y, Z leží v daých bodech a a růzých straách trojúhelíku ABC. 4

5) V košíku je jablek a 0 hrušek. Petr si má z ich vybrat buď jablko ebo hrušku tak, aby Věra, která si po ěm vybere jedo jablko a jedu hrušku, měla co ejvětší možost výběru. Určete, co Petr vybere. 6) Kolik přímek je určeo vrcholy kovexího dvacetičtyřúhelíku? 7) Kolika způsoby lze a šachovici 8 x 8 vybrat dvě růzobarevá pole tak, aby obě eležela v téže řadě ai v témže sloupci. 8) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, jejichž dekadický zápis je slože z číslic,, 3, 4, 5 každá z ich se může opakovat), která jsou dělitelá: a) pěti, b) dvěma, c) čtyřmi. 9) Z města A do města B vedou 4 cesty, z města B do města C 3 cesty. Určete počet způsobů, kterými lze vybrat trasu: a) z města A do města C a zpět, b) z města A do města C a zpět tak, že z těchto sedmi cest eí žádá použita dvakrát, c) z města A do města C a zpět tak, že těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát. 5

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ Teorie: Variace k-té třídy z -prvků bez opakováí, daé základí -prvkové možiy 0 k ), je každá uspořádaá k-tice sestaveá pouze z těchto -prvků tak, že každý je v í obsaže ejvýše jedou. záleží a pořadí prvků a daé prvky se eopakují) Symbolický zápis: Vk;) ebo V k ) Pro počet všech variací k-té třídy z -prvků bez opakováí platí vzorec: V k; ) ) )... k ) variace k-té třídy z -prvků bez opakováí v součiu je právě k-čiitelů V k; ) ) )... k ) k)... 3 k)... 3 V k; ) k) Důležitá iformace -faktoriál zapisujeme ) pro apř.: 0 098765 43 5 543 3 3 0 N defiujeme ) )... 3 defiujeme 0 pro 0 6

Řešeý příklad : Ze čtyř chlapců, kteří se jmeují Adam, Michal, Radek a Pavel je třeba vybrat a braé cvičeí tříčleou hlídku, v íž bude urče velitel, chemik a zdravotík. Kolika způsoby lze hlídku vytvořit? Řešeí: V tříčleé hlídce záleží a uspořádáí prvků a jedotlivé prvky emůžeme opakovat Pavel emůže být chemik a zdravotík současě; stejá trojice chlapců se může ve svých fukcích prohodit proto záleží a pořadí prvků v trojici jedá se o variace bez opakováí) Vytváříme tříčleé variace ze čtyř prvků bez opakováí. V 3;4) 43 4 Hlídku lze vytvořit 4 růzými způsoby. Řešeý příklad : Kolik růzých umístěí může být a prvích třech místech při hokejovém mistrovství světa, jestliže se ho zúčastilo osm družstev? Řešeí: Vytváříme uspořádaé trojice z osmi prvků. V trojici se prvky emohou opakovat ČR emůže být současě a prvím a třetím místě; stejá trojice zemí se a prvích třech místech může vzájemě prohodit a vytvářet tak jié umístěí záleží a pořadí prvků v trojici jedá se o variace bez opakováí). Vytváříme variace 3. třídy z 8 prvků bez opakováí. V 3;8) 876 336 Na hokejovém mistrovství světa může a prvích třech místech astat 336 růzých umístěí. Řešeý příklad 3: Určete počet všech šesticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou každé dvě cifry růzé. Řešeí: počet cifer = 0 0,,,3,4,5,6,7,8,9) 0 prvků = 0...... vytváříme uspořádaou šestici záleží a pořadí cifer v šestici) k = 6 variace; cifry se v zápisu čísla esmí opakovat variace 6. třídy z 0 prvků bez opakováí V 6;0) 098765 500 Pozor Ze všech takto vytvořeých uspořádaých šestic musíme odečíst ty uspořádaé šestice, které začíají cifrou ula 0 a další cifry již jsou růzé ejedalo by se tak o šesticiferé přirozeé číslo). uto odečíst tvary: 0..... V 5;9) 98765 50 7

Shruto celkem: V 6;0) V5;9 500 50 36080 Celkem lze vytvořit 36 080 přirozeých čísel požadovaých vlastostí. Řešeý příklad 4: Určete počet všech přirozeých čísel meších ež 500, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze cifry 4,5,6,7 a to každá ejvýše jedou. Řešeí: Musíme si uvědomit, že z požadovaých cifer můžeme sestavit trojciferá, dvojciferá ebo jedociferá přirozeá čísla: ) Trojciferá čísla požadovaé vlastosti musí začíat cifrou 4, protože jejich hodota musí být meší ež 500. 4.. vytváříme už je uspořádaou dvojici tvořeou zbývajícími možými prvky tj. 5 ebo 6 ebo 7 vytváříme uspořádaou dvojici ze tří prvků jejich počet vypočteme jako variace. třídy z 3 prvků bez opakováí V ;3) 3 6 Z daých cifer lze vytvořit 6 trojciferých přirozeých čísel. ) Dále můžeme vytvářet čísla dvojciferá, požadovaých vlastostí.. tvoříme uspořádaou dvojici dvojciferé číslo) ze čtyř prvků 4,5,6,7) bez opakováí jejich počet vypočteme jako variace. třídy ze 4 prvků bez opakováí: V ;4) 43 Z daých cifer lze vytvořit dvojciferých přirozeých čísel. 3) Jedociferá čísla jsou pak čísla 4,5,6,7 celkem 4 přirozeá čísla. Shruto celkem: V ;3) V;4 4 6 4 Z daých cifer lze celkem vytvořit přirozeých čísel požadovaých vlastostí. Řešeý příklad 5: Řešte rovice pro přípustá : a) V ; ) 0 V ; ) V; ) Řešeí: b) a) V ; ) 0 N ) ) 0 0 0 b 4ac ) 4 0) 840 84 symbolický zápis převedeme a matematický tvar výraz a levé straě rozásobíme získáme kvadratickou rovici D vypočteme diskrimiat 8

, b D 9 a 30 5 N 8 4 N Řešeím rovice je číslo 5 5 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. vypočteme kořey kvadratické rovice a určíme správé řešeí K zapíšeme možiu kořeů rovice b) V ; ) V; ) N 4) symbolický zápis převedeme a matematický tvar; ) 3) ) výraz a levé straě rozásobíme 5 6 a upravíme; 4 6 0 získáme kvadratickou rovici; 8 0 kvadratickou rovici upravíme; 4) ) 0 rovici řešíme rozkladem a souči kořeových čiitelů 4 N vyhovuje N Řešeím rovice je číslo 4 podm. 4 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. určíme kořey a správé řešeí kvadratické rovice. K zapíšeme možiu kořeů rovice Řešeý příklad 6: Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet variací 3. třídy bez opakováí o 384. Určete, kolik je prvků. Řešeí: Na základě zadáí sestavíme symbolickou rovici: V 3; ) V3; ) 384 N 3) ) ) ) ) 384 3 3 3 3 384 symbolický zápis převedeme a matematický tvar výraz a levé straě rozásobíme rovici upravíme a získáme eúplou kvadratickou rovici 6 384 0 rovici vyřešíme zámými postupy řešeí 6 384 9

64 8 8 určíme správé řešeí rovice koře: -8), 8 Řešeím rovice je číslo 8 8 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. evyhovuje podmíce řešitelosti rovice) K zapíšeme možiu kořeů rovice 0

Pracoví list B ) Výbor TJ tvoří 0 lidí. Z ich je třeba vybrat předsedu, místopředsedu, jedatele a hospodáře. Kolik způsoby to lze provést? ) K sestaveí vlajky, skládající se ze tří růzobarevých vodorových pruhů, jsou k dispozici látky těchto barev: červeá, žlutá, modrá, bílá a zeleá. Kolik uvedeých vlajek lze z těchto látek sestavit? 3) Ve fiále olympijského spritu a 00 m startuje 8 závodíků. Určete počet způsobů, jimž se mohou rozdělit o zlatou, stříbrou a brozovou medaili. 4) Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou každé dvě cifry růzé 5) Určete počet všech šestimístých telefoích čísel, v ichž se každá cifra vyskytuje ejvýše jedou.

6) Kolik trojciferých přirozeých čísel dělitelých pěti lze sestavit z číslic: a),,3,4,5, b) 0,,,3,4,5, jestliže je možo každou číslici v každém zápisu čísla použít ejvýše jedou. 7) K sestaveí vlajky, která má být složea ze tří růzobarevých vodorových pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červeé, modré, zeleé a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. b) Kolik z ich má modrý pruh? c) Kolik jich má modrý pruh uprostřed? d) Kolik jich emá uprostřed červeý pruh? 8) Řešte rovici: V ; ) 56 9) Určete počet prvků, z ichž lze vytvořit: a) 40 dvoučleých variací, b) dvakrát více čtyřčleých variací ež tříčleých variací.

0) O telefoím čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval je to, že je devítimísté, začíá dvojčíslím 3, eobsahuje žádé dvě stejé číslice a je dělitelé 5. Kolik telefoích čísel přichází v úvahu? ) Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet tříčleých variací bez opakováí a) desetkrát, b) o 50. Určete původí počet prvků. ) Určete počet všech ejvýše čtyřciferých přirozeých čísel s růzými číslicemi, která jsou sestavea z číslic 0,, 4, 6, 8. 3) Zmeší-li se počet prvků o 5, zmeší se počet variací druhé třídy z těchto prvků vytvořeých 4,5krát. Kolik je prvků? 3

4 POČÍTÁNÍ S FAKTORIÁLY Řešeý příklad : Vypočtěte: a) 4 3 b) 3 6 8 5 c) 53 8 d) 7 8 5 6 7 Řešeí: a) 8 3 4 3 4 3 4 4 4 3 b) 6480 3 34) 3 4 5 3 6) 6 7 8 5 3 5 6 5 6 7 8 5 3 6 8 5 c) 56 53 5 6 7 8 53 8 d) 6 57 6 7 549 ) 78 ) 6 54 7 7 8 5 5 6 5 6 7 7 8 5 6 7 Řešeý příklad : Vypočtěte pro příslušá ): a) b) c) )

5 d) ) e) ) 3) Řešeí: a) ) b) c) ) ) ) d) ) ) ) ) ) e) 3) ) ) ) ) 3) ) 3) Řešeý příklad 3: Zjedodušte výrazy: a) b) ) 6 3) 9 c) ) ) Řešeí: a) ) ) b) ) 6 ) 3 ) 6 ) 3) 3) 3) ) 6 3) 9

3 6 3 6 ) 3 6 ) ) ) ) ) c) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 3 ) Řešeý příklad 4: Řešte rovice: a) 30x x ) b) x 4) x ) 3 x 3) c) x x 4 x ) x 3) d) log x 6) log x 5) log x Řešeí: a) 30x x ) určíme podmíku pro x x N 30x x ) x ) x / rovici vydělíme x tj vyásobíme výrazem x x a odstraíme tak z rovice výrazy s faktoriály výrazem x můžeme dělit, protože výraz eí ikdy rove ule) 30 x ) x ) pravou strau rovice rozásobíme 30 x x x 30 x 3x x 3x 8 0 získáme kvadratickou rovici, kterou vyřešíme apříklad rozkladem a souči kořeových čiitelů x 7) x 4) 0 určíme kořey kvadratické rovice x 7 x 4 kořey kvadratické rovice x 4 určíme správé řešeí zadaé rovice koře x evyhovuje podmíce řešitelosti rovice) Řešeím rovice je číslo 4 x 4 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. K zapíšeme možiu kořeů rovice 6

b) x 4) x ) 3 x 3) určíme podmíku pro x x N x 4 x 4) x ) x 3) x 4) 3 x 3) x 4) levou strau rovice upravíme vhodým rozkladem výrazů s faktoriály x 4) x ) x 3) x 3) x 4) 3 v čitateli vytkeme výraz s faktoriálem a vykrátíme s výrazem ve jmeovateli; odstraíme tím faktoriály z rovice x ) x 3) 3 x 3) rovici vyřešíme zámými metodami řešeí rovic s ezámou ve jmeovateli x ) x 3) 3 x 3) x 3x x 6 3x 9 x 8x 6 0 získáme kvadratickou rovici x 4) 0 levou strau rovice upravíme a vzorec a + b) x 4 rovice má jede dvojásobý reálý koře, který, Řešeím rovice je číslo 4 x 4 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. vyhovuje podmíce řešitelosti rovice K zapíšeme možiu kořeů rovice c) x x 4 x ) x 3) x x ) x ) x ) x ) x 3) 4 x ) x 3) určíme podmíku pro x x N x 3 levou strau rovice upravíme vhodým rozkladem výrazů s faktoriály x x ) x ) x ) 4 výrazy s faktoriály v jedotlivých zlomcích vykrátíme a tím je z rovice odstraíme x x x x x 4 rovici vyřešíme zámými metodami řešeí x x x x x 8 x 4x 6 0 x x 3 0 získáme kvadratickou rovici, kterou řešíme rozkladem a souči kořeových čiitelů x 3) x ) 0 určíme kořey kvadratické rovice x 3 x kořey kvadratické rovice x 3 určíme správé řešeí zadaé rovice koře x evyhovuje podmíce řešitelosti rovice) 7

Řešeím rovice je číslo 3 x 3 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. K zapíšeme možiu kořeů rovice d) log x 6) log x 5) log x určíme podmíku pro x x N x 6) log log x x 5) levou strau rovice upravíme užitím vět o logaritmech logaritmus podílu a logaritmus mociy) x 6) x x 5) odstraíme logaritmy užitím věty o logaritmech o stejých základech x 6) x 5) x x 5) levou strau rovice upravíme rozkladem výrazu s faktoriály a ásledým vykráceím stejých výrazů x 6 x x x 6 0 získáme kvadratickou rovici, kterou řešíme rozkladem a souči kořeových čiitelů x 3) x ) 0 určíme kořey kvadratické rovice x 3 x kořey kvadratické rovice x 3 určíme správé řešeí zadaé rovice koře x evyhovuje podmíce řešitelosti rovice) Řešeím rovice je číslo 3 x 3 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. K zapíšeme možiu kořeů rovice 8

Pracoví list C ) Vypočtěte: 7 a) 5 b) 3456 c) 0 345 d) 7 5 5 ) Vypočtěte pro příslušá ): a) b) ) c) d) ) 9

0 e) ) f) 4) 3) 3) Zjedodušte výrazy: a) ) 4 3 b) ) 4 c) d) ) 4) Řešte rovice: a) 3 ) 3) x x

b) x 6) x 6x 8 x 4) c) log x log x d) x ) 7x 6 0 5) Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer,, 3, 4, 5 a které jsou větší ež 40 000.

PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ Motivačí příklad : V lavici má sedět 5 žáků ozačeých písmey A, B, C, D, E. Kolika způsoby si mohou sedout, jestliže: a) žák A má sedět a určeém koci lavice, b) žák A má sedět a jedom ebo druhém koci lavice, c) žáci A, C mají sedět vedle sebe, d) žák A má sedět a určeém koci lavice a žáci B, C mají sedět vedle sebe. Řešeí: a) žák A má sedět a určeém koci situaci symbolicky vyzačíme takto: A.... vytváříme uspořádaou čtveřici záleží a tom, jak se zbývající žáci vedle sebe posadí) tvoříme variace 4. třídy ze 4 prvků bez opakováí je-li = k, prvky se esmí opakovat a záleží a jejich pořadí v -tici vytváříme permutace z 4 prvků bez opakováí V 4;4) 43 P4) 4 43 4 Žáci se mohou posadit do pětimísté lavice, dle požadovaých podmíek, celkem 4 růzými způsoby. b) žák A má sedět a jedom ebo druhém koci lavice situaci symbolicky vyzačíme takto: A.... ebo.... A vytváříme uspořádaou čtveřici záleží a tom, jak se ostatí žáci vedle sebe posadí) tvoříme variace 4. třídy ze 4 prvků bez opakováí, které ásledě započteme dvakrát je-li = k, prvky v -tici se esmí opakovat a záleží a jejich pořadí vytváříme tak permutace z 4 prvků bez opakováí V 4;4) 43 P4) 4 43 48 Žáci se mohou posadit do pětimísté lavice, dle požadovaých podmíek, celkem 48 růzými způsoby. c) žáci A, C mají sedět vedle sebe oba žáky A a C považujeme za ový prvek, který ozačíme Q k dispozici yí máme prvky B, D, E a ový prvek Q vytváříme uspořádaou čtveřici z těchto 4 prvků B, D, E, Q) vytváříme variace 4. třídy ze 4 prvků bez opakováí žáci prvky se esmí ve vzikající čtveřici opakovat) = k tvoříme opět permutace z 4 prvků bez opakováí situace vypadá takto:.... V 4;4) 43 P4) 4 43 4 Protože si však mohou žáci A, C, tvořící prvek Q, mezi sebou přesedout tj. sedout si ve všech možých případech v pořadí A, C aebo ve všech možých případech v pořadí C, A mohou

si tedy sedout dvěma růzými způsoby musíme získaý počet uspořádaých čtveřic vyásobit dvěma: Celkem: V 4;4) 43 P4) 4 43 48 Žáci se mohou posadit do pětimísté lavice, dle požadovaých podmíek, celkem 48 růzými způsoby. d) žák A má sedět a určeém kraji lavice a žáci B, C mají sedět vedle sebe žáky B, C považujme za ový prvek, který ozačme Q k dispozici yí máme prvky A, D, E a Q žák A má sedět a určeém kraji situaci graficky vyzačíme takto: A... a prázdá místa máme možost posadit prvky D, E, Q) vytváříme již uspořádaou trojici z prvků D, E, Q v trojici záleží a pořadí prvků a prvky se emohou opakovat vytváříme uspořádaou trojici ze tří prvků bez opakováí variace 3. třídy ze 3 prvků bez opakováí = k permutace ze 3 prvků bez opakováí) V 3;3) 3 P3) 3 3 6 V takto vziklých trojicích se však ve všech možých případech mohou žáci B, C, tvořící prvek Q, posadit v opačém pořadí tj. C, B žáci B, C si tedy ve všech možých případech mohou sedout dvěma růzými způsoby získaý počet uspořádaých trojic musíme vyásobit dvěma: Celkem: V 3;3) 3 P3) 3 3 Žáci se mohou posadit do pětimísté lavice, dle požadovaých podmíek, celkem růzými způsoby. Teorie Permutace z -prvků bez opakováí je každá variace -té třídy z těchto -prvků bez opakováí. uspořádaé -tice, které vytváříme, se liší pouze pořadím prvků v -tici tj. k = ) Symbolický zápis: P) Pro počet všech permutací z -prvků bez opakováí platí vzorec: P ) ) )... 3 permutace z -prvků bez opakováí 3

) )... 3 P ) V ; ) ) 0 ) )... 3 ) )... 3 Řešeý příklad : Kolika způsoby lze vedle sebe uložit šest růzých kih? Řešeí: Ze zadáí úlohy plye, že šest růzých kih = 6) potřebujeme uložit vedle sebe a šest růzých míst k = 6) vytváříme uspořádaou šestici ze šesti prvků kihy jsou růzé, tj. záleží a jejich umístěí a emohou se opakovat) = 6 = k, vytváříme permutace z 6 prvků bez opakováí. P 6) 6 65 43 70 Kihy lze vedle sebe uložit 70 růzými způsoby. Řešeý příklad : Kolika způsoby lze posadit čtyři hosty a čtyři křesla? Řešeí: = 4 počet hostů) a k = 4 počet křesel) vytváříme uspořádaou čtveřici ze čtyř prvků bez opakováí hosté se emohou v jedé čtveřici opakovat a záleží, kdo si a jaké křeslo sede) vytváříme permutace ze 4 prvků bez opakováí. P 4) 4 43 4 Čtyři hosté si a čtyři růzá křesla mohou sedout 4 růzými způsoby. Řešeý příklad 3: Určete počet pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0,, 3, 4, 7. Řešeí: počet prvků: = 5 0,, 3, 4, 7); vytváříme uspořádaou pětici k = 5 pětimísté přirozeé číslo) vytváříme uspořádaou pětici z pěti prvků bez opakováí číslice se v zápisu čísla emohou opakovat, protože v zápisu čísla musí být použita každá z uvedeých číslic) vytváříme permutace z 5 prvků bez opakováí. P 5) 5 5 43 0 Pozor Mezi vziklými přirozeými čísly jsou však i takové čísla, která začíají cifrou 0, tj čísla 0.... takováto čísla však ejsou pěticiferá, ale čtyřciferá proto musíme od uvedeého počtu odečíst 4

všecha takto vziklá čísla musíme odečíst uspořádaé čtveřice vytvořeé ze čtyř prvků, 3, 4, 7), kterých je P 4) 4 43 4 Celkem: P 5) P4) 5 4 5 43 43 0 4 96 Z daých číslic lze vytvořit 96 pěticiferých přirozeých požadovaých tvarů. Řešeý příklad 4: Kolika způsoby může stát v zástupu za sebou pět vojáků A, B, C, D, E tak, aby: a) voják A byl prví a voják E posledí, b) vojáci C, D, E stáli za sebou v libovolém pořadí. Řešeí: a) voják A byl prví a voják E posledí situace: A... E vytváříme uspořádaou trojici ze tří prvků B, C, D),; prvky se emohou opakovat vytváříme permutace ze 3 prvků bez opakováí P 3) 3 3 6 Za daých podmíek mohou vojáci stát za sebou 6 růzými způsoby. b) vojáci C, D, E za sebou v libovolém pořadí vojáci C, D, E musí stát při sobě a proto je budeme považovat za ový prvek Q vytváříme uspořádaou trojici ze tří prvků A, B, Q situace:... vytváříme permutace ze 3 prvků bez opakováí P 3) 3 3 6 Jestliže však vojáci C, D, E mají stát za sebou v libovolém pořadí, vypočteme, kolikrát se mohou tito vojáci mezi sebou zaměit vytváříme další permutace ze 3 prvků C, D, E) bez opakováí P 3) 3 3 6 vojáci C, D, E se mezi sebou mohou šestkrát zaměit v každé vziklé uspořádaé trojici A, B, Q, můžeme ještě šestkrát zaměit pořadí prvků tvořících prvek Q tj. prvků C, D, E) Celkový počet možostí seřazeí vojáků dle zadaých podmíek je pak rove součiu: P 3) P3) 33 3 3 66 36 Vojáci se do zástupu mohou postavit celkem 36 růzými způsoby. 5

Řešeý příklad 5: Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet permutací krát. Kolik je prvků? Řešeí: Na základě zadáí sestavíme symbolickou rovici: P ) P ) N) ) symbolický zápis převedeme a matematický tvar výrazy s faktoriály upravíme rozložíme větší číslo pomocí čísla mešího) ) ) rovici vydělíme výrazem ) ) rovici dále upravíme a zjedodušíme 3 0 0 získaou kvadratickou rovici řešíme rozkladem a souči kořeových čiitelů 5) ) 0 vypočteme kořey kvadratické rovice 5 určíme správé řešeí rovice koře: -5) evyhovuje podmíce rovice) Řešeím rovice je číslo Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. K zapíšeme možiu kořeů rovice 6

Pracoví list C ) Určete počet všech šesticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0,, 4, 6, 8, 9. ) Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer,, 3, 4, 5 a které jsou větší ež 40 000. 3) Kolika způsoby se a pětimísté lavici může posadit pět chlapců, z ichž dva chtějí sedět vedle sebe. 4) V možiě N řešte rovici: x 0 x 7

5) Určete počet všech devítimístých: a) telefoích, b) přirozeých, čísel, v jejichž zápisu je každá z deseti číslic kromě devítky. 6) Kolika způsoby může m chlapců a dívek astoupit do zástupu tak, aby: a) ejdříve stály všechy dívky a pak všichi chlapci, b) mezi žádými dvěma chlapci ebyla žádá dívka ai mezi žádými dvěma dívkami ebyl žádý chlapec. 7) Určete počet prvků tak, aby: a) při zvětšeí jejich počtu o dva se počet permutací zvětšil 56krát, b) při zmešeí jejich počtu o dva se počet permutací zmešil 0krát. 8

VARIACE S OPAKOVÁNÍM Teorie: Variace k-té třídy z -prvků s opakováím, daé základí -prvkové možiy uspořádaá k-tice sestaveá pouze z těchto -prvků. záleží a pořadí prvků a daé prvky se mohou opakovat) k, N ), je každá Symbolický zápis: V k;) ebo V k) Pro počet všech variací k-té třídy z -prvků s opakováím platí vzorec: V k; ) k variace k-té třídy z -prvků s opakováím Např.: Je dáa možia M a; b; c uspořádaé dvojice) jsou: [a;a], [b;a], [c;a], [a;b], [b;b], [b;c], [a;c], [b;c], [c;c].. Všechy variace. třídy z těchto 3 prvků s opakováím tj. všechy Daé prvky se mohou opakovat a záleží a jejich uspořádáí pořadí). Celkem lze tedy vytvořit V ;3) = 3 = 9 uspořádaých dvojic. Důkaz vzorce: Vzorec pro výpočet V k;) lze získat užitím kombiatorického pravidla součiu. Pro výběr každého čleu uspořádaé k-tice sestaveé pouze z daých -prvků máme právě -možostí, a to ezávisle a tom, které prvky byly vybráy pro čley předcházející. Existuje tedy právě k... uspořádaých k-tic sestaveých z daých -prvků tj. V k;) = k. k-krát Řešeý příklad : Kolik růzých telefoích staic lze zapojit a telefoí cetrálu, jestliže jsou všecha čísla staic pěticiferá? Kolik může být těchto staic, předpokládáme-li, že číslo emůže začíat číslicí 0? 9

Řešeí: Čísla telefoích staic chápeme jako uspořádaé pětice tvořeé deseti číslicemi 0, ;, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), v ichž se mohou číslice opakovat vytváříme variace 5. třídy z 0 prvků s opakováím V 5;0) = 0 5 = 00 000. Na cetrálu lze zapojit 00 000 telefoích staic. Pokud telefoí číslo esmí začíat číslicí 0. Pak počet těchto staic, vypočteme ze vztahu: V 5;0) V 4;0) = 0 5 0 4 = 90 000. počet pětimístých telefoích čísel, začíajících číslicí 0 tj. situace: 0.... Na cetrálu lze zapojit 90 000 telefoích staic. Řešeý příklad : V jistém státě je státí pozávací začka osobího automobilu tvořea uspořádaou sedmicí, jejíž prví tři čley jsou písmea a další čtyři čley jsou číslice. Určete, kolik těchto pozávacích začek lze vytvořit, máme-li k dispozici 6 písme. Řešeí: Prví část SPZ je tvořea uspořádaou trojicí sestaveou z 6 písme, které se mohou v zápisu opakovat apř.: AAB, ACA, AAA, apod.). Počet všech takovýchto trojic vypočteme podle vztahu V 3, 6) = 6 3 = 7 576 uspořádaých trojic. Druhá část SPZ je tvořea uspořádaou čtveřicí sestaveou z 0 cifer 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), které se také mohou opakovat. Tj. V 4;0) = 0 4 = 0 000. Podle kombiatorického pravidla součiu existuje celkem V 3;6) V 4;0) 6 3 0 4 7576 0000 75760000 Podle uvedeých pravidel lze sestavit celkem 75 760 000 SPZ. státích pozávacích začek. Řešeý příklad 3: Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel sestaveých pouze z cifer,, 3, 4, 5, 6. Řešeí: k = 4 vytváříme uspořádaou čtveřici) = 6 k dispozici máme šest číslic,, 3, 4, 5, 6) Ve vytvářeé čtveřici se číslice mohou opakovat a záleží a jejich pořadí. K výpočtu použijeme vztah: V 4;6) 6 4 96 Celkem lze takto vytvořit 96 přirozeých čísel. 30

Řešeý příklad 4: Jsou dáy cifry,, 3. Kolik růzých: a) dvojciferých b) pěticiferých c) k-ciferých přirozeých čísel lze pomocí těchto cifer zapsat? Řešeí: Jakékoliv přirozeé číslo můžeme považovat za uspořádaou k-tici, protože v í záleží a pořadí a jedotlivé cifry se v dekadickém zápisu čísla mohou opakovat. a) Vytváříme-li z uvedeých cifer dvojciferé přirozeé číslo, pak vytváříme uspořádaou dvojici, v íž se jedotlivé cifry mohou opakovat a záleží a jejich pořadí variace. třídy z 3 prvků s opakováím V ;3) 3 9 Z uvedeých cifer lze vytvořit 9 přirozeých čísel. b) Vytváříme-li z uvedeých cifer pěticiferé přirozeé číslo, pak vytváříme uspořádaou pětici, v íž se jedotlivé cifry mohou opakovat a záleží a jejich pořadí variace 5. třídy z 3 prvků s opakováím V 5;3) 3 5 43 Z uvedeých cifer lze vytvořit 43 přirozeých čísel. c) Vytváříme-li z uvedeých cifer k-ciferé přirozeé číslo, pak vytváříme uspořádaou k-tici, v íž se jedotlivé cifry mohou opakovat a záleží a jejich pořadí variace k-té třídy z 3 prvků k s opakováím V k;3) 3 Z uvedeých cifer lze vytvořit 3 k přirozeých čísel. Řešeý příklad 5: Pro kolik prvků je počet variací 3. třídy bez opakováí k počtu variací téže třídy s opakováím v poměru : 3? Řešeí: Na základě zadáí sestavíme symbolickou rovici: V 3; ) N 3) V 3; ) 3 ) ) 3 3 ) ) 3 3 ) ) 3 3 ) 3 96 64 symbolický zápis převedeme a matematický tvar 3 výraz a levé straě rovice upravíme odstraíme zlomky rovici vyřešíme

96 64 0 kvadratická rovice; vypočteme diskrimiat a kořey kvadratické rovice D 6400 8 8 Řešeím rovice je číslo 8 Počet prvků je 8. 8 Provedeí zkoušky poecháváme a čteáři. koře emá smysl K zapíšeme možiu kořeů rovice 3

Pracoví list D ) Kolik začek Morseovy abecedy lze vytvořit pomocí ejvýše čtyřprvkových skupi složeých z teček a čárek. ) Trezor se otevírá při vytočeí jedié uspořádaé pětice utvořeé z dvaácti písme apsaých v otvorech kotouče. Jaký ejvyšší počet pokusů při vytáčeí pětic písme je třeba provést, aby byl trezor otevře? 3) Z kolika prvků je možo vytvořit právě 04 variací páté třídy s opakováím? 4) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel dělitelých čtyřmi, v ichž se vyskytují pouze cifry,, 3, 4, 5. 5) Určete počet všech přirozeých čísel meších ež milió, která lze zapsat dekadicky) pouze použitím číslic 5 a 8. 33

PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM Permutace z -prvků s opakováím je každá uspořádaá -tice sestaveá pouze z těchto prvků tak, že prvek a se opakuje právě p -krát, prvek a se opakuje právě p -krát atd., až prvek a k se opakuje právě p k -krát, přičemž p + p + + p k =. Symbolický zápis: P p,p,,p k ) Pro počet všech permutací z -prvků s opakováím platí vzorec: P p, p,..., p k ) p p p p... p... p k k ) p p... p k Řešeý příklad : Kolika způsoby je možo rozdělit 9 brigádíků a 3 pracoviště, jestliže a prvím pracovišti mají být čtyři brigádíci, a druhém pracovišti dva brigádíci a zbytek jich a třetím pracovišti. Řešeí: 9 brigádíků můžeme umístit a 9 míst celkem 9 růzými způsoby. Jestliže prví čtyři pracovíky umístíme a prví pracoviště a vzájemě je budeme mezi sebou prohazovat, ale stále tutéž čtveřici pracovíků poecháme a prvím pracovišti, musíme celkový počet rozmístěí pracovíků dělit 4. Protože však totéž můžeme provést s další dvojicí a trojicí pracovíků, musíme celkový počet permutací dělit součiem 4.. 3 permutace s opakováím z 9 prvků 9 9 8 7 6 5 4 3 P 4,,3) 60 43 4 3 3 Devět pracovíků lze rozdělit do tří pracovišť celkem 60 růzými způsoby. Řešeý příklad : Šesticiferé heslo uzávěru trezoru je vytvořeo z týchž cifer, jako je číslo 0096. Kolik existuje možostí alezeí správého hesla? Řešeí: V hesle trezoru se vyskytují dvě dvojky, dvě uly, jeda devítka a jeda šestka. Vytváříme uspořádaou šestici ze šesti čísel, v ichž záleží a pořadí. Daé prvky se mohou opakovat permutace s opakováím z 6 prvků Protože se však dvojky mohou a stejých pozicích vzájemě prohodit a stejě tak uly, dělíme 6 výrazem. a přitom se bude jedat o tutéž uspořádaou šestici.) 6 6 5 4 3 P,,,) 80 Celkem existuje 80 možostí alezeí hesla. 34

Pracoví list E ) Určete počet všech uspořádaých šestic sestaveých ze čtyř ul a dvou jediček. ) Kolika způsoby lze ubytovat 0 hostů: a) do jedoho čtyřlůžkového pokoje a dvou třílůžkových pokojů, b) do dvou třílůžkových pokojů a dvou dvoulůžkových pokojů. 3) Určete počet způsobů, jimž lze přemístit písmea slova ABRAKADABRA. 4) V aagramech AABIIKKMNOORT resp. MINIKABAROTOK je zašifrováo slovo KOMBINATORIKA. Určete počet všech aagramů, jež lze ze slova KOMBINATORIKA utvořit. 35

Použitá literatura: Výukové materiály a úlohy a cvičeí jsou autorsky vytvořey pro učebí materiál. O. Petráek, E. Calda, P. Hebák: Matematika pro středí odboré školy a studijí obory středích odborých učilišť 4. část, Prometheus 008 M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a ástavbové studium, Prometheus 004 E. Calda, V. Dupač: Matematika pro gymázia Kombiatorika, pravděpodobost, statistika, Prometheus 006 I. Dušek: Řešeé maturití úlohy z matematiky, SPN 988 F. Jaeček: Výrazy, rovice, erovice a jejich soustavy, Prometheus 995 P. Čermák, P. Červiková: Odmaturuj z matematiky, Didaktis 00 36