Statistia Tímto pomem většiou ozačueme: a) statisticé údae a eich ěteré fuce, b) statisticou čiost a istituce, teré tuto čiost provozuí, c) statisticou teorii. Statisticé údae eboli statisticá data sou číselé údae o hromadých evech, t. čísla o růzých sutečostech vysytuících se hromadě. Statistia ve smyslu statisticé čiosti zameá zísáváí statisticých údaů (pozorováím, měřeím, vážeím apod.), eich zpracováí (tříděí, výpočet charateristi, předládáí výsledů) a hodoceí. Statisticá edota, statisticý soubor a statisticé zay Statisticou edotou se rozumí aždý prve souboru, ehož ěteré vlastosti sou předmětem statisticého zišťováí (sou vzhledem ostatím prvům promělivé), zatímco ěteré přesě vymezeé vlastosti sou shodé s ostatími prvy souboru. Statisticou edotou může být člově, zvíře, věc, rostlia, území, událost, období, istituce apod. Právě shodé vlastosti statisticých edote dovoluí vytvářet statisticé soubory. Vlastosti statisticých edote určitého statisticého souboru se sažíme postihout (charaterizovat) statisticými zay. Jsou-li variaty statisticého zau vyádřey čísly, hovoříme o vatitativím statisticém zau, zatímco sou-li vyádřey slovy, mluvíme o valitativím statisticém zau. Pozáma. (Rozděleí četostí edoho vatitativího statisticého zau) Statisticé zay se obvyle ozačuí velými písmey z oce abecedy. Ozačme určitý vatitativí statisticý za X a číselé hodoty statisticých edote statisticého souboru i, de i e pomocý symbol, za terý můžeme dosadit aéoli celé číslo od do. Zameá to, že e číselá hodota X u prví statisticé edoty, číselá hodota X u druhé statisticé edoty,..., e číselá hodota X u -té statisticé edoty. Cvičeí. Statisticým zaem X e počet operací, terými výrobe musí proít. Ve sledovaém podiu se v daém období vyrábí celem = 0 podobých výrobů. U aždého z ich sme zistili počet výrobích operací (číselou hodotu zau X). Dostali sme řadu čísel i :, 3, 3,,, 4, 5, 4, 3, 3 Dosadíme-li za i apř. 5, de o hodotu X u páté statisticé edoty; v příladu 5 =. Ozačme růzé hodoty statisticého zau X, de e pomocý symbol, za terý dosadíme pořadové číslo hodoty zau uspořádaého podle veliosti hodot. Zameá to, že představue eižší hodotu zau X, druhou eižší hodotu zau X,..., představue evyšší hodotu zau X. Celový počet růzých hodot zau X e. Rovost platí e v případě, že počet růzých hodot e steý ao počet statisticých edote, tedy v případě, že aždá edota souboru abývá ié hodoty sledovaého zau. Počet statisticých edote se steou hodotou pro =,,..., azýváme (absolutí) četost hodoty.
Cvičeí. Údae z předcházeícího cvičeí uspořádáme do tabuly rozděleí četostí. Počet výrobích operací Počet výrobů 3 4 4 5 V souboru e celem = 0 statisticých edote, a tedy i hodot statisticého zau X, z toho e = 5 růzých hodot zau X. Pro ozačeí součtu se používá velé řecé písmeo sigma Σ, teré čteme ao suma (sumace). Napřílad zápis čteme ao suma, pro od edé do. = Pro operace se sumacemi se často využívaí vztahy: a) Pro zay X a Y platí: b) Pro za X a ostatu c platí: ( ) i i i i i= i= i= ± y = ± y ( i ) i= i= ± c = ± c c = c i i= i= c) Pro za X, terý abývá ladých hodot, platí: i > i= i= i d) Pro zay X a Y, teré abývaí ladých hodot, platí: y > y i i i i i= i= i= Přílad. Hodoty statisticých zaů X a Y sou uspořádáy do tabuly. Na těchto údaích ověřte uvedeé vztahy mezi sumacemi, estliže ostata c = 3. i i y i 4 5 3 3 4 6 4 5 4 i i
Itervalové rozděleí četostí V ěterých případech, dy e rozsah souboru a počet variat vatitativího statisticého zau velý, můžeme zedodušit rozděleí četostí záměrým zaedbáím malých rozdílů mezi hodotami zau. Při tomto uspořádáí údaů rozdělíme obor hodot statisticého zau a itervaly (supiy, třídy). Hodoty, teré patří do steého itervalu, považueme za rovoceé a ahrazue e střed itervalu. Počet itervalů by měl odpovídat rozsahu souboru. Např. Sturgesovo pravidlo, podle terého má být počet itervalů přibližě + 3,3log. Cvičeí 3. V podiu e 000 pracovíů, eichž měsíčí příem se pohybue od 50 do 4 800 Kč. Navrhěte podle Sturgesova pravidla vhodý počet itervalů a formu itervalového rozděleí četostí Podle Sturgesova pravidla by přibližý počet itervalů měl být + 3,3log000 = 0,9. Pro dodržeí požadavu steě velých přímových itervalů bude vhodé uvažovat itervaly po (4 800 500) : = 300 Kč. Taže zísáváme itervalové rozděleí četostí 3
Pořadové číslo itervalu Iterval přímu v Kč 50 800 650 80 00 950 3 0 400 50 4 40 700 550 5 70 3 000 850 6 3 00 3 300 3 50 7 3 30 3 600 3 450 8 3 60 3 900 3 750 9 3 90 4 00 4 050 0 4 0 4 500 4 350 4 50 4 800 4 650 Střed itervalu ( ) Rozděleí relativích četostí Relativí četost vyadřue podíl četosti určité hodoty (variaty) statisticého zau ebo supiy (itervalu) hodot a součtu četostí všech hodot. Jde tedy o podíl absolutí četostí a rozsahu souboru. Ozačíme-li relativí četost p pro všecha od do, můžeme zapsat p = pro =,,,. Je zřemé, že součet všech relativích četostí p = p + p +... + p = + +... + = ( + +... + ) =, = protože součet všech absolutích četostí se rová. Pozáma. V prai bývá zvyem ásobit relativí četosti 00, čímž e vyádříme v procetech. Cvičeí 4. Doplňte tabulu z cvičeí o sloupec relativích četostí a o sloupec četostí vyádřeých v procetech. Relativí četosti Absolutí četosti p = 0, 0 0, 0 3 4 0,4 40 4 0, 0 5 0, 0 Součet 0,0 00 Hodoty zau Četosti v procetech 00p Přílad. Při zišťováí počtu ezletilých dětí ve dvaceti domácostech sme dostali výsledy 0, 0,,,,,,,, 0, 0, 0, 3,,,,, 3,,. Uspořádete údae do tabuly rozděleí četostí, vypočítete relativí četosti a vyádřete zastoupeí edotlivých variat statisticého zau v procetech. 4
Přílad 3. Navrhěte podle Sturgesova pravidla formu itervalového rozděleí četostí věů u 000 pracovíů. Požadueme, aby edotlivé, itervaly byly steě velé, a víme, že vě pracovíů e v itervalu od 8 do 66 let. Podle Sturgesova pravidla e = + 3,3log 000, taže e třeba věový iterval od 8 do 66 let rozdělit a steě velých itervalů. Jeliož (66 8) : = 4, e vhodé při sestavováí itervalů tvořit věové supiy po čtyřech letech. Přílad 4. Ve třídě e 0 žáů s prospěchem od do,5, 5 žáů s prospěchem od,5 do, žáů s prospěchem od do,5 a 5 žáů s prospěchem od,5 do 3. Sestavte tabulu itervalového rozděleí četostí prospěchu žáů; četosti itervalů prospěchu vyádřete absolutě, relativě a v procetech. Přílad 5. Doplňte itervalové rozděleí četostí z tabuly o relativí četosti itervalů a eich vyádřeí v procetech. Pořadové číslo itervalu Iterval přímu v Kč 50 800 48 80 00 4 3 0 400 46 4 40 700 30 5 70 3 000 6 3 00 3 300 64 7 3 30 3 600 4 8 3 60 3 900 8 9 3 90 4 00 8 0 4 0 4 500 6 4 50 4 800 Počet pracovíů ( ) 5
Statisticé charateristiy Statisticý popis rozděleí četostí se soustřeďue především a dvě hlaví vlastosti aždého rozděleí, t. a veliost (polohu) hodot a mělivost (variabilitu) hodot sledovaého statisticého zau. Smyslem statisticých charateristi e umožit srováí dvou ebo více rozděleí četostí. Charateristiy polohy Charateristiy polohy eboli středí hodoty sou čísla, terá umožňuí srovávat úroveň zoumaého evu u dvou ebo více souborů. Pro srováí polohy hodot zau v růzých souborech se ečastěi používaí průměry, eichž výše přímo závisí a veliosti všech hodot. Aritmeticý průměr Aritmeticý průměr zau X e defiová ao podíl součtu hodot (úhru) m a počtu hodot (rozsahu). Aritmeticý průměr se začí ; můžeme zapsat + +... + m = = i =. i= Tato vyádřeý aritmeticý průměr se azývá prostý aritmeticý průměr. Vycházíme-li z rozděleí četostí, pa součet edotlivých hodot (úhr) můžeme zapsat Vážeý aritmeticý průměr m... = + + + =. = Dosazeím do vzorce m průměru dostáváme aritmeticý průměr ve formě vážeého aritmeticého = = =. 6
Pozáma. Pro využití relativích četostí výpočtu aritmeticého průměru můžeme předchozí vzorec přepsat do tvaru = = p = = de p = sou relativí četosti hodot. Vidíme, že aritmeticý průměr (defiovaý ao podíl úhru m a rozsahu ) můžeme v závislosti a způsobu uspořádáí údaů vypočíst pomocí edoho z ásleduících vzorců: m = = = = p = = = = Cvičeí 5. Máme údae o počtu dětí ve dvaceti domácostech: 0,,,,,,,,, 0, 0, 0, 3, 4,, 0, 0,,,. Vypočítete prostý aritmeticý průměr a po uspořádáí údaů do tabuly rozděleí četostí uažte, že e steému výsledu dodeme i použitím vzorce pro vážeý aritmeticý průměr. Výslede e stále steý, ať vycházíme z absolutích, či relativích četostí. Sečteím všech 0 hodot dostáváme úhr m = 4. Teto součet vyadřue, že ve sledovaých 0 domácostech e celem 4 dětí. Na edu domácost tedy průměrě připadá = 4 =, dětí. 0 Uspořádáím údaů do tabuly rozděleí četostí a doplěím o součiy a p dostáváme tabulu Počet dětí Počet domácostí Počet domácostí relativě p 0 6 0,30 0 0,00 7 0,35 7 0,35 5 0,5 0 0,50 3 0,05 3 0,5 4 0,05 4 0,0 Součet 0,00 4,0 Z tabuly e vidět, že hodota úhru m, vypočítaá ao e což e i součet součiů p z tabuly. 4 = =,, 0, e sutečě 4, taže i yí = p 7
Vlastosti aritmeticého průměru. Z defiice aritmeticého průměru vyplývá, že aritmeticý průměr ahrazue hodoty všech prvů ta, že se ezměí celový úhr hodot zau + +... + = + +... +.. Násobíme-li všechy četosti eulovou ostatou, aritmeticý průměr se ezměí. 3. Připočteme-li e všem hodotám statisticého zau ezáporou ostatu, průměr se o tuto ostatu zvětší. Podobě e možé rozšířit tuto vlastost a odečteí ostaty od všech hodot a a vyásobeí či vyděleí všech hodot eulovou ostatou. Steým způsobem se změí i aritmeticý průměr. 4. Rozdělíme-li soubor hodot i pro i = l,..., do supi, pa průměr celého souboru e vážeým aritmeticým průměrem supiových průměrů, přičemž ao četosti vystupuí počty hodot v edotlivých supiách. Tuto vlastost lze symbolicy zapsat = L = L = de L e počet supi, pořadové číslo supiy, supiy., průměr -té supiy, četost -té Přílad 6. Podle tetu cvičeí 5 ověřte, že přičteme-li e všem hodotám i pro i =,,..., 0 ostatu c =, zvětší se i aritmeticý průměr o. Přílad 7. Z rozděleí četostí v ásleduící tabulce vypočítete edříve aritmeticý průměr a potom 3000 aritmeticý průměr ové proměé y = ; porovete průměry a y. 500 500 6 500 38 3 500 48 4 500 Součet 000 8
Přílad 8. V prví supiě sou hodoty statisticého zau,, 3, ve druhé supiě, 3, 5, 6 a ve třetí supiě 4, 5, 6. Vypočítete průměry v edotlivých supiách a uažte, že průměr všech tří supi dohromady e vážeý aritmeticý průměr supiových průměrů. 9
Pozáma. Přes velmi časté použití aritmeticého průměru emusí vždy vhodě zastupovat úroveň statisticého zau. Méě vhodý e především v situacích, dy hodoty zau esou rovoměrě rozložeé olem aritmeticého průměru, a v případech, dy v souboru sou etrémě ízé ebo vysoé hodoty. Použití aritmeticého průměru e zcela evhodé, estliže součet hodot sledovaého zau emá věcý smysl. Harmoicý průměr Používá se při výpočtu průměru z poměrých čísel. Harmoicý průměr z eulových hodot statisticého zau e defiová ao podíl rozsahu souboru a součtu převráceých hodot zau: h = = + +... + i= i Zápis harmoicého průměru má formu prostého harmoicého průměru. Při uspořádáí údaů do tabuly rozděleí četostí použieme při výpočtu formu vážeého harmoicého průměru. Při zachováí symboliy použieme vzorec = i Harmoicý průměr má ěteré podobé vlastosti ao aritmeticý průměr. h = Cvičeí 6. Dva pracovíci opaovaě prováděí steou výrobí operaci. Prvímu pracovíovi trvá operace miuty, zatímco druhému pracovíovi 6 miut. Ja dlouho trvá průměrě operace? V daém případě součet čísel a 6 postrádá věcý smysl. Je zřemé, že apř. za hodiu provede příslušou operaci prví pracoví 30 rát a druhý pracoví 0 rát. Na aždého z ich průměrě připadá 0 operací za hodiu, což zameá průměrě 3 miuty a provedeí operace. Ke steému výsledu dodeme použitím harmoicého průměru = h = = 3. + 6 Cvičeí 7. Údae o výrobě určitého výrobu sou uspořádáy do tabuly. Vypočítete průměré proceto splěí pláu za všechy tři závody dohromady. Závod Splěí pláu (%) Sutečá výroba (usy) 0 550 90 70 3 80 560 Sledovaým statisticým zaem e poměré číslo azvaé proceto splěí pláu. Toto poměré číslo lze symbolicy vyádřit. 0
sutečá výroba v usech proceto splěí pláu = 00. Zameá to, že průměré pláovaá výroba v usech proceto splěí pláu e 00ásobe podílu součtu sutečé a pláovaé výroby. Doplímeli tabulu vypočítáím pláovaé výroby sutečá výroba pláovaá výroba = 00, splěí pláu pláovaá výroba v usech 500 800 700 můžeme vypočítat průměré proceto splěí pláu 830 00 9,5 000 =. Ke steému výsledu dodeme použitím vážeého harmoicého průměru, de ao četosti vystupuí sutečé obemy výroby edotlivých závodů. Geometricý průměr Geometricý průměr z ladých hodot zau e defiová tato: =... g Cvičeí 8. V roce 980 byla spotřeba určitého druhu zboží dvarát vyšší ež spotřeba v roce 979. V roce 98 byla spotřeba steého druhu zboží šestrát vyšší ež v roce 980. Kolirát průměrě ročě stoupla spotřeba tohoto druhu zboží? V daém případě má smysl pouze souči čísel a 6. Vyadřue, olirát vzrostla spotřeba celem, t. v roce 98 proti rou 979. Průměrý růst spotřeby charaterizue geometricý průměr = 6 3, 464. g Modus Modus e ečetěší hodota statisticého souboru; e to hodota (variata) zau, terá se v souboru ečastěi vysytue. Pozáma. Nědy říáme, že aritmeticý průměr e dobrým představitelem polohy statisticého zau, estliže se příliš eliší od ečetěší hodoty (modu). Mediá Mediá e prostředí hodota statisticého souboru, terý e uspořádá podle veliosti hodot statisticého zau. Při lichém počtu hodot e mediá edozačě urče, zatímco při sudém de o prostý aritmeticý průměr ze dvou prostředích hodot.
Cvičeí 9. Údae o počtu zamešaých hodi v ursu agličtiy sou uspořádáy do tabuly. Počet zmešaých hodi Počet žáů 0 0 3 4 0 5 0 9 Aritmeticý průměr zamešaých hodi e: + 0 + 3 + 5 0 + 9 = =,4 5 Uvědomíme-li si,že dvaáct žáů z patácti má méě ež zamešaé hodiy, potom průměr,4 elze považovat za vhodou charateristiu úrově. Výsyt etrémí hodoty v souboru (9 zamešaých hodi u žáa) zreslue hodotu aritmeticého průměru. V daé situaci e vhoděší charateristiou modus ebo mediá. Nečastěší e zamešaá hodia ( žáů) a rověž prostředí hodota e, a e lépe vidět z rozepsaé řady edotlivých hodot 0,,,,,,,,,,,, 3, 3, 9. Prostředí e osmá hodota, což e eda zamešaá hodia. Jeda zamešaá hodia lépe charaterizue úroveň souboru ež aritmeticý průměr,4 hodiy. Přílad 9. Ze 44 žáů e ve věu 7 let, 30 ve věu 8 let a ve věu 9 let. Jaý e průměrý vě žáů? Přílad 0. V prví třídě asbíral ede žá průměrě 0 g papíru, ve druhé třídě 30 g a ve třetí 40 g. Koli ilogramů papíru sebral průměrě ede žá za všechy tři třídy dohromady, estliže ve druhé třídě byl steý počet žáů ao v prví třídě, ale ve třetí třídě byla polovia žáů ve srováí s prví i druhou třídou?
Přílad. Ja se změí průměr, zvýšíme-li hodotu aždého prvu souboru o 0 %? Přílad. Z 0 dělíů ich 0 provádí určitou práci za miuty, 5 za 5 miut a 5 za 0 miut. Koli miut připadá průměrě a dělía? Přílad 3. Za 5 let má vzrůst obem výroby o 50 %. O oli procet musí průměrě ročě růst? Přílad 4. Pro rozděleí četostí v tabulce určete modus a mediá. 8 9 3 9 4 50 5 4 6 7 7 8 Součet 0 3
Charateristiy variability Kromě polohy sledovaých zaů e třeba zoumat i to, a se edotlivé hodoty liší od míry polohy i a se liší vzáemě. Odlišost hodot příslušého zau azýváme mělivost ebo též variabilita. Zcela růzé řady hodot či zcela růzá rozděleí četostí mohou mít steé míry polohy. Napřílad řada 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9 má zcela steý průměr, mediá i modus ao řada,,, 8, 8, 8, 8, 5, 5, 5, i dyž se tyto dvě řady od sebe výrazě liší právě variabilitou. Lze říci, že čím větší e variabilita sledovaého zau, tím méě reprezetativí e charateristia polohy. Charateristiy se používaí především při srováváí variability dvou ebo více zaů růzé polohy ebo v růzých měřicích edotách. Nepoužívaěší charateristiou variability e průměrá čtvercová odchyla od aritmeticého průměru azývaá rozptyl. Rozptyl Rozptyl statisticého zau X e v prosté formě defiová: ( ) i= s = Při uspořádáí údaů do tabuly rozděleí četostí používáme pro výpočet vážeou formu rozptylu s = ( ) = i Pozáma. V ěterých případech e při výpočtu výhoděší použít výpočetí tvar rozptylu v prosté formě ebo ve vážeé formě s s = i i= = = = Pozáma. Nědy se rátce říá, že rozptyl e průměr čtverců míus čtverec průměru = s =. Něoho může apadout, proč ao míru variability doporučueme průměr druhých moci odchyle od aritmeticého průměru. Je vša třeba mít a mysli, že průměrá odchyla od průměru e vždy ulová, protože součet odchyle od aritmeticého průměru ( i ) = 0. i= Určitou možostí e erozlišovat záporé a ladé odchyly od průměru a defiovat.. 4
průměrou absolutí odchylu: d i i= = = = Zušeosti s používáím charateristi variability, aož i matematicé vlastosti těchto charateristi uazuí, že průměrá čtvercová odchyla (rozptyl) e užitečěší charateristiou ež průměrá absolutí odchyla. Směrodatá odchyla Kromě průměré čtvercové odchyly se často používá i tzv. směrodatá odchyla s, terá e druhou odmociou z rozptylu. Iterpretace směrodaté odchyly e velmi blízá iterpretaci průměré odchyly. Variačí oeficiet Jao relativí míra variability se ečastěi používá variačí oeficiet, terý e podílem směrodaté odchyly a aritmeticého průměru: s v = Variačí oeficiet se používá především pro srováí variability dvou ebo více souborů v růzých měřicích edotách ebo růzé úrově. Variačí rozpětí Doplňuícími charateristiami variability sou variačí rozpětí R = ma mi Cvičeí 0. Pro řadu čísel,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 vypočítete variačí rozpětí, průměrou absolutí odchylu, rozptyl a směrodatou odchylu, variačí oeficiet. Doažte, že součet odchyle edotlivých hodot od aritmeticého průměru e ula. Úhr e m = l + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 55, taže aritmeticý průměr e 55 = = 5,5. Odchyly od aritmeticého průměru sou: 0 i : 4,5 3,5,5,5 0,5 0,5,5,5 3,5 4,5 Je vidět, že součet těchto odchyle e ula a že součet absolutích odchyle od aritmeticého průměru e 5, taže průměrá absolutí odchyla e 5 d = =,5. 0 Variačí rozpětí 0 = 9. Rozptyl můžeme vypočítat ao součet čtvercových odchyle od průměru děleý eich počtem : 0,5 +, 5 + 6,5 +, 5 + 0, 5 + 0, 5 +,5 + 6, 5 +,5 + 0, 5 s = = 8, 5 0 Jiou možostí výpočtu e výpočetí tvar, podle terého e : + 4 + 9 + 6 + 5 + 36 + 49 + 64 + 8+ 00 5,5 s = = 38,5 30,5 = 8, 5 0 = 5
Směrodatá odchyla e s = 8, 5,87. Variačí oeficiet e 8, 5 v 0,5. 5,5 Cvičeí. Na záladě údaů tabuly vypočítete směrodatou odchylu počtu zmetů. Počet zmetů Počet případů 3 3 5 4 5 5 8 6 7 8 8 Celem 00 Nedříve vypočítáme rozptyl podle výpočetího tvaru = = s. Potřebé výpočty sou uspořádáy do tabuly 6 5 45 35 00 400 90 450 7 43 84 588 64 5 48 569 Potom taže směrodatá odchyla e 569 48 =,554 00 00, s s =,554,598. Cvičeí. Porovete difereciaci mezd dvou podiů a záladě údaů v tabulce. Podi A Podi B hodiová mzda v Kč počet pracovíů měsíčí mzda v Kč počet pracovíů 5 30 000 40 0 80 500 60 5 50 3 000 00 0 40 3 500 0 4 000 0 Celem 00 Celem 30 6
K porováí difereciace (variability) mezd vyádřeých v růzých edotách (hodiové a měsíčí mzdy) se elépe hodí variačí oeficiet. Vypočítáme edříve průměry a rozptyly. Výpočty a mezivýsledy sou uspořádáy do tabuly Podi A Podi B 50 750 80 000 60 000 000 800 8 000 50 000 375 000 000 750 50 300 000 900 000 000 800 6 000 70 000 45 000 000 40 000 60 000 000 500 36 000 640 000 840 000 000 Pro podi A e rozptyl z čehož variačí oeficiet e Pro podi B e rozptyl 36000 500 = = 3,75, 00 00 s 3,75 v = 0,39.,5 765000000 640000 s = 57089 30 30, z čehož variačí oeficiet e 57089 v = 0,8. 78, 6 Variabilita mezd v podiu B e ižší ež v podiu A. Cvičeí 3. Měřicí přístro se při 0 měřeích dopustil ásleduících odchyle od sutečé hodoty parametru pozorovaé součásty. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00 0,03 0,0 0,03 0,0 0,0 0,0 0,00 0,0 Na záladě hodoty aritmeticého průměru chyby měřeí zhodoťme, zda chyby přístroe maí áhodý charater, ebo e můžeme považovat spíše za systematicé. Podle veliosti směrodaté odchyly chyb měřeí posuďme přesost měřícího přístroe. Odchyly aměřeých hodot od sutečé hodoty parametru součásty považueme za statisticý za X. Napozorovaé hodoty uspořádáme do tabuly rozděleí četostí. 7
Chyby měřeí Počet případů i i 0,03 0,0 3 0,0 3 0,00 3 0,0 7 0,0 0,03 Celem 0 Aritmeticý průměr se vypočítá ao podíl součtu edotlivých hodot a eich počtu, tedy ao 0,0 = = 0,00. 0 Ke steému výsledu bychom dospěli výpočtem podílu součtu součiů i i a počtu pozorováí. Přesvědčte se o tom. Tabula rozděleí četostí i hodota aritmeticého průměru azačue tedeci elimiaci ladých a záporých chyb měřeí. Počet měřeí eí příliš velý, ale i ta výsledy maí spíše charater áhodých chyb ež systematicých. Směrodatá odchyla hodot e odmociou z rozptylu těchto hodot. Rozptyl se vypočítá podle vzorce ve vážeém tvaru 7 ( ) = = 7 = 0, 004780 = = 0, 00039 0 ebo podle téhož vzorce upraveého do výpočetího tvaru 7 = 0,0048 = 7 0,00 = 0,00039. 0 Hledaá směrodatá odchyla tedy e 0,00039 0,05460. Iterpretueme-li výslede ao průměrou vzdáleost pozorovaých hodot od sutečé hodoty parametru, ta zároveň hodotíme i přesost měřícího přístroe. Přílad 5. Pro řadu čísel, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8 vypočítete variačí rozpětí, rozptyl, směrodatou a průměrou absolutí odchylu. 8
Přílad 6. Podle údaů v tabulce vypočítete rozptyl. Hodoty zau Četosti 80 3 4 4 8 5 6 Přílad 7. Ve třídě e 30 % žáů bez sourozece, 60 % žáů s edím sourozecem a 0 % žáů se dvěma sourozeci. Vypočítete směrodatou odchylu počtu sourozeců ve třídě. 9
Přílad 8. Ja se změí rozptyl, dyž aždou hodotu statisticého zau zvětšíme o ladou ostatu c? Přílad 9. Ja se změí rozptyl, dyž aždou hodotu statisticého zau zvětšíme o 0 %? Přílad 0. Porovete variabilitu řady hodot,, 3, 4, 5 s variabilitou řady hodot 00, 00, 300, 400, 500. 0