Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího tlaku zahřejeme vodu a C, bude se přeměňovat v páru. Oproti těmto pokusům existují takové pokusy, kdy i při dodržeí všech podmíek mohou astat růzé výsledky. Např. i přes sebepečlivější dodržeí výrobího postupu jsou ěkteré výrobky ekvalití. Náhodý pokus je realizace čiostí ebo procesů, jejichž výsledek elze s jistotou předpovědět. Náhodá veličia je proměá, jejíž hodota je určea výsledkem áhodého pokusu (áhodou veličiu začíme velkými písmey X, hodoty; jichž abývá začíme malými písmey x, x, x, ) Příkladem takového áhodého pokusu může být hod micí. Náhodá veličia výsledek pokusu má pak dvě obměy x = pade rub x = pade líc Náhodá veličia může být diskrétí ebo spojitá. Didkrétí áhodá veličia může abývat pouze koečého počtu obmě (apř. počet dětí v rodiě). Spojitá áhodá veličia může abývat ekoečého počtu obmě (apř. výše průměrého platu). Hodotám áhodé veličiy lze přiřazovat pravděpodobosti. Záko rozděleí áhodé veličiy (teoretické rozděleí) je pravidlo, které každé hodotě áhodé veličiy (ebo každému itervalu hodot) přiřazuje pravděpodobost, že áhodá veličia abude této hodoty (ebo hodoty z tohoto itervalu). Př: Hážeme-li hrací kostkou, záko rozděleí áhodé veličiy přiřadí hodotě pravděpodobost /6, hodotě také /6 atd. až hodotě 6 také /6. Podle povahy áhodé veličiy dělíme teoretická rozděleí a diskrétí a spojitá. Distribučí fukce F udává pravděpodobost, že áhodá veličia abude hodoty meší ebo rové, ež právě zvoleá hodota x
diskrétí áhodá veličia - tato kumulativí pravděpodobost je vyjádřea součtem dílčích pravděpodobostí Př: Zvolíme-li ve zmiňovaém případě hrací kostky hodotu x třeba distibučí fukce F = /6, tj. / (může padout ebo F = /6 + /6). spojitá áhodá veličia - tato kumulativí pravděpodobost je vyjádřea itegrálem, jehož dolí mez je obvykle -, horí mez odpovídá zvoleé hodotě x. Parametry teoretických rozděleí: - středí hodota (popisuje polohu áhodé veličiy) a začí se E(X) - rozptyl (popisuje variabilitu áhodé veličiy) a začí se D(X). Teoretická rozděleí Nejdříve se zaměříme a Diskrétí rozděleí. Nejjedoduší je Alterativí rozděleí A(p) Některé áhodé pokusy mohou mít pouze dva růzé výsledky: - pokus je úspěšý - pokus je eúspěšý Příslušá áhodá veličia X se pak azývá alterativí (dvoudobá, ula-jedičková). Vlastosti: středí hodota E(X) = p rozptyl D(X) = p.( - p) Používáme ozačeí: P(A) = P(X = ) = p P(A ) = P(X = ) = - p Př: Jak jsme si ukázali v předchozí kapitole je pravděpodobost arozeí chlapce 5%. Ozačme áhodou veličiu X... pohlaví arozeého dítěte. Tuto áhodou veličiu můžeme popsat alterativím rozděleím. P(A) = P(X = ) =,5... arodí se chlapec (sledovaý jev) P(A ) = P(X = ) =,9... arodí se děvče (alterativí jev) Máme-li sadu takovýchto áhodých pokusů (apř. ), můžeme prvděpodobost počtu sledovaých jevů v této sadě popsat pomocí biomického rozděleí. Biomické rozděleí (, p)
pčet provedeých pokusů p pravděpodobost sledovaého jevu Náhodá veličia Y s koečým počtem odděleých hodot: Y sledovaý jev eastae Y sledovaý jev astae x.. Y sledovaý jev astae x Př: V případě, že budeme mít děti, je pravděpodobost, že mezi imi ebude žádý chlapec rova: Y =,9.,9.,9; tj. =, 9 =,76 zhruba,8 %... chlapců, děvčata Uvažujeme, že pravděpodobost arozeí chlapce ebo dívky jsou ezávislé jevy (ezáleží, co astalo v předchozím pokusu), potom se pravděpodobost jedotlivých jevů ásobí [P(A B) = P(A).P(B)]. Pravděpodobost, že mezi dětmi bude chlapec je rova: Y =,5.,9.,9 Chlapec však emusí být utě prvorozeý. Musíme uvažovat, že může být a druhém ebo a třetím místě. Vytváříme vlastě jedoprvkové podmožiy ze tří prvků. Výsledek musíme tedy vyásobit kombiačím číslem (kombiačí číslo viz. Rozšiřující text). Y =,5.,9.,9; tj. =,5., 9 =,67 zhruba 6,7 %... chlapec, děvčata Pravděpodobost, že mezi dětmi budou chlapci je rova: Y =,5.,5.,9 Opět musíme uvažovat, že chlapci mohou být a růzých místech. Vytváříme dvouprvkové podmožiy ze tří prvků. Výsledek musíme tedy vyásobit kombiačím číslem.
Y =,5.,5.,9, tj. =,5., 9 =,8 zhruba 8, % A posledí možost pravděpodobost, že mezi dětmi budou chlapci je rova: Y =,5.,5.,5 Vytváříme tříprvkové podmožiy ze tří prvků. Výsledek musíme tedy vyásobit kombiačím číslem. Y =,5., 9 =,7 zhruba, % Y Pro přehledost si výsledky shreme do tabulky. Y j P j počet % Y, 9,8,5., 9 6,7 Y,5., 9 8, Y,5., 9, Ve výpočtu pravděpodobosti Y můžeme doplit kombiačí číslo pro ulaprvkovou podmožiu ze tří prvků a pravděpodobost arozeí chlapce a ultou,5, dostáváme tak,5., 9. Výsledky můžeme zobecit. Pravděpodobostí fukce P j = j p j. (-p) -j určuje pravděpodobost, že sledovaý jev astae právě j - krát.
(-j krát eastae a je j způsobů, jak může astat) Sečteme-li všechy pravděpodobosti, musíme dostat %. Vlastosti: středí hodota E(X) = p rozptyl D(X) = p.( - p) Graf pravděpodobostí fukce z ašeho příkladu vypadá ásledově: Pj Biomické rozděleí Bi(=; p=,5),5,,,, j Biomické rozděleí eí obecě symetrické. Symetrické je pouze v případě, že p =,5.
Pj Biomické rozděleí Bi(=6; p=,5),5,,,, 5 6 j V případě, že p <,5 biomické rozděleí je zešikmeé vlevo. Pj Biomické rozděleí Bi(=6; p=,5),5,,,, 5 6 j V případě, že p >,5 biomické rozděleí je zešikmeé vpravo.
Pj Biomické rozděleí Bi(=6; p=,75),5,,,, 5 6 j Distribučí fukce F(X j ) = krát. j P i, určuje pravděpodobost, že sledovaý jev astae ejvýše j - V ašem příkladě můžeme apř. vypočítat jaká je pravděpodobost, že budeme mít ejvýše chlapce. F(X ) dostaeme jako součet pravděpodobostí, že ebudeme mít žádého, jedoho a dva chlapce. F(X ) = P + P + P =,8 +,67 +,8 =,867, tj. 86,7% Graf distribučí fukce pro áš příklad vypadá ásledově:
Pj Biomické rozděleí Bi(=; p=,5) Distribučí fukce,9,8,7,6,5,,,, j Hodoty distribučí fukce můžeme hledat také ve statistických tabulkách (viz. rozšiřující text). Biomické rozděleí má velký výzam v teorii pravděpodobosti a v matematické statistice. Většia jevů má sice více možých výsledků ež pouze dva alterativí výsledky, ale my se můžeme omezit a jev, který ás zajímá s pravděbodobostí p a zbylé jevy mají pak pravděpodobost (-p). Např. při hodu kostkou je šest možých výsledků, ale my se můžeme zaměřit jeom a jede (třeba, že pade ) s pravděpodobostí /6 a alterativí jev je epade s pravděpodobostí 5/6. Stejě tak při sledováí určitého zaku v populaci, apř. barva očí se můžeme zaměřt třeba a modré oči atd. Poissoovo rozděleí Po (λ) Je-li dostatečě velké ( > ) a blíží-li se p k (p,), lze biomické rozděleí aproximovat poissoovým rozděleím s jediým parametrem λ =.p Pravděpodobostí fukce má tvar:
x P x e, x,,... x! e =,78 8... Eulerovo číslo Vlastosti: středí hodota E(X) = λ p rozptyl D(X) = λ p.( - p) Poissoovo rozděleí je oproti Biomickému rozděleí sažší a výpočet pravděpodobosti. Př: Při výrobě žárovek je podle zkušeosti 8% vadých. Jaká je pravděpodobost, že v krabici se ks žárovek bude právě 8 vadých? Výpočet provedeme ejprve pomocí biomického rozděleí a pak pomocí Poissoova. Bi (; p) = Bi (;,8) =... počet ks v krabici p =,8... pravděpodobost vadé žárovky j = 8... jev vadá žárovka astae právě 8x P j = P 8 = j 8 p j. (-p) -j,8 8. (-,8) -8 P 8 =.99.98.97.96.95.9.9...5.6.7.8.,8 8. (,9) 9 P 8 = 868789., 677 7., 66 =,55, tj.,6%. Pravděpodobost, že bude právě 8 žárovek vadých je,6%. Pomocí Poissoova rozděleí: λ =.,8 = 8 Po (λ) = Po (8) x P x e, x,,... x!
P(8) = 8 8 8 67776 e =., 56. 8! =,96, tj. %. Vidíme, že výsledky se liší pouze o desetiy proceta a výpočet je jedodušší. Rozšiřující text: Kombiačí čísla počítáme podle vztahu!, j j! j! kde! je faktoriál čísla a počítá se jako souči všech čísel od až do.! =...... (apř. 5! =...5 = ) Rozepíšeme-li si kombiačí číslo apř.!!.( )!!!.6!.9.8.7.6.5...,......5.6 vidíme, že ve zlomku můžeme zkrátit 6 faktoriál (6!). Pro výpočet je výhodé psát kombiačí číslo tak, že do jmeovatele zlomku rozepíšeme k faktoriál (k!)a do čitatele stejý počet čiitelů (čísla, která ásobíme) jako máme dole a začíáme od ejvětšího.....9.8.7....9.8.7 Můžeme pak krátit ve zlomku..7... Kombiačí čísla můžeme alézt pomocí Pascalova trojúhelíku: = = =
= = 6 atd. začí kolika prvkovou máme možiu a kombiačí čísla udávají kolika způsoby můžeme vytvářet podmožiy. Např. pro = si můžeme představit tři prvky (kupříkladu ) ám říká, že prázdou podmožiu ze tří prvků můžeme vybrat jedím způsobem (evybereme ic). ám říká, že jedo-prvkovou podmožiu ze tří prvků můžeme vybrat třemi způsoby (buď vybereme ebo a ebo ). ám říká, že dvou-prvkovou podmožiu ze tří prvků můžeme vybrat třemi způsoby (buď vybereme ebo a ebo ). ám říká, že tří-prvkovou podmožiu ze tří prvků můžeme vybrat jedím způsobem ( ). Vidíme, že Pascalův trojúhelík je symetrický: Obecě platí k k, což můžeme s výhodou využít při výpočtu Následující řádek v Pascalově trojúhelíku dostaeme sečteím čísel ad hledaým kombiačím číslem. =
= Tak apř. A tak bychom mohli pokračovat. Obecě platí k k k