7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat i geometrické útvary Tuto metodu použil poprvé francouzský matematik a filozof René Descartes, který je považován za zakladatele analytické geometrie Tato matematická disciplína popisuje geometrické útvary pomocí aparátu aritmetiky a algebry právě prostřednictvím souřadnic Délka úsečky AB (vzdálenost bodů AB):, Je-li A= [ a1; a], B = [ b1; b], pak AB = ( b a ) + ( b a ) 1 1 Střed úsečky AB, kde A= [ a1; a] ; B = [ b1; b] je bod S = [ s1; s] AB takový, že SA = SB : s a + b ; a + = s = b 1 1 1 Příklad 1: Jsou dány body A = [ 4; ], B = [ 3;5] Určete bod C tak, aby ležel na ose y a ABC byl rovnoramenný trojúhelník se základnou AB Řešení: Hledané souřadnice označme C = [ c1; c] Má-li být C y, musí být c 1 =, tedy C = [; c ] Má-li být dále AC = BC, dostáváme: ( 4) + ( c + ) = 3 + ( c 5) /( ) c c c c 16+ + 4 + 4= 9+ 1 + 5 14c = 14 c = 1 Zkouškou se snadno přesvědčíme, že jsme skutečně našli kořen rovnice, hledaný bod má tedy souřadnice C = [;1] 7 Vektory v rovině V kpt 68 jsme zavedli pojem orientované úsečky, na který nyní navážeme Vektor: je množina všech shodných souhlasně orientovaných úseček Označujeme ho buď tučně u nebo (spíše v ručně psaném textu) šipkou u r 147

Libovolnou orientovanou úsečku AB vektoru u (tj je-li AB u ) nazýváme umístěním, popř reprezentantem tohoto vektoru Reprezentujeme-li vektor u úsečkou AB, říkáme, že jsme vektor u umístili do bodu A Místo AB u píšeme obvykle AB = u Je třeba si však vždy uvědomit, že na pravé straně této symbolické rovnosti je vektor (množina) a na levé jeho umístění (prvek této množiny) Připouštíme i tzv nulový vektor jako množinu všech úseček nulové délky, tj = AA Velikost (délka) vektoru: velikostí (délkou) vektoru u rozumíme velikost (délku) jeho libovolného reprezentanta Značíme u Vektor, jehož velikost je rovna jedné, nazýváme jednotkový vektor Součet bodu a vektoru: Umístěme vektor u do bodu A a koncový bod tohoto umístění označme B Bod B nazýváme součtem bodu A a vektoru u, značíme B = A+v Vektor u nazýváme rozdílem bodů BA ; (v tomto pořadí), značíme u = B A Násobení vektoru reálným číslem (skalárem): Nechť k je libovolné reálné číslo, u libovolný vektor Součinem čísla k a vektoru u rozumíme vektor k u, rovnoběžný souhlasně (pro k > ) resp nesouhlasně (pro k < ) s vektorem u Velikost tohoto vektoru je k u Speciálně: je-li k = 1, je k u = 1 u = u Tento vektor nazýváme vektorem opačným k vektoru u O souhlasně, popř nesouhlasně rovnoběžných vektorech říkáme, že - jsou kolineární - leží v jedné přímce (je-li totiž u = AB ; v = AC ; u = k v, pak body ABC,, leží na téže přímce) Součet dvou vektorů: Nechť u ; v jsou dva libovolné vektory; u = AB Umístěme vektor v do bodu B, koncový bod tohoto umístění označme C, tj v = BC Součtem vektorů u ; v rozumíme vektor u+ v = AC Tuto definici součtu vektorů znázorňuje připojený obrázek vlevo Při konstrukci součtu dvou vektorů se často používá tzv doplnění na rovnoběžník (viz obrázek vpravo) Mějme dva nekolineární vektory e1; e, tj dva nenulové vektory, které neleží v jedné přímce Pak každý vektor u v rovině lze vyjádřit ve tvaru u = u1e1 + ue, kde u1; u Říkáme, že jsme vektor u zapsali ve tvaru lineární kombinace vektorů e1; e Uspořádanou dvojici vektorů [ e1; e ], nazýváme bází, vektory e1; e bázové 148

vektory, čísla u1; u nazýváme souřadnice vektoru u v bázi ; u = u ; u [ e e ] Píšeme pak ( ) 1 1 Dvojici navzájem kolmých vektorů nazýváme ortogonální bází, jsouli navíc oba tyto vektory jednotkové, hovoříme o ortonormální bázi Složky ortonormální báze značíme většinou i,j Dále budeme pracovat výhradně s touto ortonormální bází Uveďme nyní do souvislosti takto zavedené souřadnice vektoru v ortonormální bázi s kartézskými souřadnicemi, které jsme zavedli v kpt 51 a se kterými jsme pracovali rovněž v kpt 51 Je-li rovina opatřena kartézskou souřadnou soustavou Oxy,,, lze zvolit ortonormální bázi [ i,j ], kde bázové vektory jsou rovnoběžné se souřadnými osami Umístěme libovolný vektor do počátku Jeho souřadnice jsou rovny kartézským souřadnicím koncového bodu tohoto umístění Pak je např: i = (1;) ; j = (;1) Je-li u = AB ; A= [;]; B = [3;], je u = (3;) Je-li obecně A= [ a1; a] ; B = [ b1; b] ; C = [ c1; c] ; u = ( u1; u) ; v = ( v ; v ); u = AB, je: 1 u = B A= [ b ; b ] [ a ; a ] = ( b a ; b a ) = ( u ; u ) v = ( v ; v ) = v i+ v j v = v + v 1 1 1 k u = k ( u ; u ) = ( ku ; ku ) 1 1 1 1 1 1 1 u = ( u ; u ) = ( u ; u ) 1 1 u+ v = ( u ; u ) + ( v ; v ) = ( u + v ; u + v ) 1 1 1 1 C + u = [ c ; c ] + ( u ; u ) = [ c + u ; c + u ] 1 1 1 1 1 1 Příklad: Je dáno k = ; v = (3;5) Určeme vektor u = k v Řešení: u = k v = v = (3;5) = ( 3; 5) = (6;1) Příklad: Určeme souřadnice vektoru u = AB, kde A= [3;7]; B = [ 1;] Řešení: u = B A= ( 1 3; 7) = ( 4; 5) 3 Příklad: Zjistěme, zda body A= [ ;1] ; B = [7,3] ; C = [1;5] leží na jedné přímce Řešení: Položme u = AB = B A= (7+ ;3 1) = (9; 7) ; v = AC = C A= (1+ ;5 1) = (3; 5) 149

Protože vektor v není násobkem vektoru u, body ABC,, neleží na jedné přímce 4 Příklad: Určeme součet a rozdíl vektorů u = (3; ) ; v = (1;8) Řešení: u+ v = (3; ) + (1;8) = (3+ 1; + 8) = (4; 6), u v = (3; ) (1;8) = (3 1; 8) = (; 1) 5 Příklad: Určeme souřadnice těžiště trojúhelníka ABC, je-li A = [1;] ; B = [3;1] ; C = [5;3] Řešení: Těžiště T leží např na těžnici t a = AS a, kde S a je střed úsečky BC Je tedy b1 + c1 b + c 3+ 51+ 3 Sa = ; = ; = [4;], u ASa = Sa A= (4 1; ) = (3;) u Těžiště T rozdělí těžnici AS a tak, že AT = AS a = (3;) = (;) Protože AT = T A, 3 3 je T = A+ AT = [1;] + (;) = [3;] Řešme příklad 5 obecně pro vrcholy A= [ a1; a] ; B = [ b1; b] ; C = [ c1; c] : b1 + c1 b + c Sa = ; u b1 c1 b c b1 c1 a1 b ca ASa Sa A + a1; + a + ; + = = = u b1 + c1 a1 b + c a b1 + c1 a1 b + c a AT = ASa = ; = ; 3 3 3 3 b1 + c1 a1 b + c a b1 + c1 a1 b + c a T = A+ AT = [ a1; a] + ; = a1 + ; a + = 3 3 3 3 3 a + b + c a 3 a + b + c a a + b + c a + b + c = = 1 1 1 1 1 1 1 ; ; 3 3 3 3 Úhel dvou vektorů: Úhlem dvou nenulových vektorů rozumíme úhel, který svírají jejich reprezentanti Úhel vektorů, z nichž alespoň jeden je nulový, se nedefinuje Skalární součin: Skalárním součinem dvou nenulových vektorů u ; v rozumíme číslo pro které je u v = u v cosϕ ; u v, kde ϕ je úhel vektorů u ; v Skalární součin vektorů u ; v, z nichž alespoň jeden je nulový, je roven nule Vlastnosti skalárního součinu: ( k u) v = k u v cos ϕ = k ( u v cos ϕ) = k ( u v ), ( u+ v) w = ( u+ v) w Jsou-li vektory uv ; kolineární, je ϕ = cosϕ = 1 u v = u v cosϕ = u v Speciálně u u = u u = u 15

π Jsou-li vektory uv ; ortogonální, je ϕ = cosϕ = u v = u v cosϕ = Je-li u = ( u1; u) = u1i+ uj; v = ( v1; v) = v1i+ vj, je u v = ( u ; u ) ( v ; v ) = ( u i+ u j) ( vi+ v j) = uv i i+ uv i j+ uv ji + uv j j 1 1 1 1 1 1 1 1 Vektory ij ; jsou ortogonální, je tedy i j= ji = Protože u v = uv + uv 1 1 i i = i =1 ; j j= j =1, je Známe-li souřadnice vektorů, můžeme snadno zjistit jejich úhel: je-li u = ( u1; u) ; v = ( v ; v ), je 1 u v uv 1 1 + uv u v = u v cosϕ cosϕ = cosϕ = u v u + u v + v 1 1 6 Příklad: Určeme vektor v, který má velikost v = 5 a je kolmý k vektoru u = (16;1) Řešení: Skalární součin dvou kolmých vektorů je roven nule: u v = uv 1 1 + uv = Ze zadané velikosti hledaného vektoru je: v1 + v = 5 Pro neznámé souřadnice v1; v vektoru v tak máme soustavu dvou rovnic: uv + uv = 1 1 v + v = 5 1 Do první rovnice dosadíme známé souřadnice vektoru u = (16;1) : 16v1 + 1v =, 1v 3v vyjádříme např v 1 : v 1 = = 16 4 a dosadíme do druhé rovnice pro velikost vektoru: 3v + v = Po dosazení do rovnic pro skalární součin je: 4 5 9 v + v = 5 16 9 v + 16 v = 5 16 5 v = 5 16 v = 16 v =± 4 16v + 1 ± ( 4) = 16v ± 48= 16v = m 48 v = m 3 1 1 1 1 151

V tomto zápisu jsou skryty dvě rovnice (jedna pro v =+ 4, druhá pro v = 4 ) Všimněte si přehození znaménka (v rámečku) při převodu z jedné strany rovnice na druhou Úloha má dvě řešení: v 1 = (4; 3) ; v = ( 4;3) (při zápisu řešení je třeba brát současně vždy jen horní nebo jen dolní znaménka) 7 Příklad: Dokažme kosinovou větu užitím skalárního součinu vektorů Řešení: V kpt 66 jsme dokazovali kosinovou větu synteticky (bez použití souřadnic) Chápeme-li strany trojúhelníka jako vektory, je důkaz velmi jednoduchý: c = c = ( b a) = b ab+ a = b abcosγ + a Neřešené úlohy: 1) V pravidelném šestiúhelníku ABCDEF je B A= u ; E A= v Pomocí uv ; vyjádřete a) D C b) E D c) F E d) A F e) C A ) Určete lmn ; ; tak, aby vektory xy ; byly kolineární (rovnoběžné): a) x = 3u v+ w; y = u+ mv+ nw b) x = u+ 3v+ mw ; y = lu 6v+ w 3) Vektory uv ; svírají úhel vektorů u+ v; u v π ϕ = a mají velikosti = 3; = 1 6 4) Určete úhel vektorů uv; ; jestliže u = 5; v = 8; u v = 7 5) Vypočtěte u v, když u = 13; v = 19; u+ v = 4 u v Vypočtěte velikosti a úhel 6) Vypočtěte obsah a velikosti vnitřních úhlů ABC, je-li a) A= [;]; B = [7;1]; C = [;6] b) A= [,5]; B = [ 4;]; C = [9; 3] 7) Určete úhel úhlopříček čtyřúhelníka ABCD, je-li A= [5;]; B = [ 1;6]; C = [ 3; ]; D = [; 5] 8) Vypočtěte velikosti výšek ABC, je-li a) A= [5;]; B = [1;5]; C = [ ;1] b) A= [7;8]; B = [5; ]; C = [ 3; 6] Výsledky 1 a) v u b) u c) v d) u v e) u+ v ) a) 3) u+ v = 7 ; u v = 1; o β = 53 8' b) 5 5;5; b) o ϕ = 4 54' 4) 69 S = ; 18 18 18 5; 74; 6 5 37 13 o α = 14 37' ; 1 1 m = ; n = b) l = 4; m = 1 3 3 o o ϕ = 6 5) 6) a) S = ; α = γ = 63 6' ; o β = 47 36' ; o γ = 7 47' 7) o ω = 84 4' 8) a) 15

73 Přímka v rovině Pomocí souřadnic bodů můžeme číselně charakterizovat různé geometrické útvary Např pro souřadnice každého bodu L = [ xy ; ] v 1 kvadrantu platí x ; y Říkáme, že tyto nerovnosti charakterizují 1 kvadrant, resp že jsou jeho analytickým vyjádřením Podobně analytickým vyjádřením přímky rozumíme každý předpis, kterému vyhovují souřadnice libovolného bodu této přímky a žádné jiné Uvažujme nyní libovolnou přímku p Zvolme libovolný bod A p a libovolný nenulový vektor u rovnoběžný s přímkou p Pro libovolný bod přímky X přímky p označme v = X A Vektory u ; v jsou rovnoběžné, vektor v je tedy násobkem vektoru u, tj existuje reálné číslo t takové, že v = t u Je tedy v= X A v = t u X A= t u X = A+ t u ; t Poslední rovnici (v rámečku) nazýváme parametrickou rovnicí přímky Číslo t nazýváme parametr bodu X Probíhá-li parametr všechna reálná čísla, probíhá příslušný bod X celou přímku p Geometrický význam parametru t : Uvažujme reprezentanta vektoru u s počátkem v bodě A, koncový bod tohoto reprezentanta označme B 1) Bod X má od bodu A vzdálenost AX = t u = t AB Je-li tedy speciálně vektor u jednotkový, tj u = AB = 1, je t = 1 ) Je-li t, pak bod X leží na polopřímce AB Speciálně pro t = 1 je X B, pro t = je X A 3) Je-li t X A, pak bod X leží na polopřímce opačné k AB Speciálně pro t = je opět Zapišme parametrickou rovnici X = A+ t u v souřadnicích Je-li X = [ xy ; ]; A= [ a1; a] ; u = ( u1; u), dostáváme: [ xy ; ] = [ a ; a ] + t ( u ; u ) 1 1 [ xy ; ] = [ a ; a ] + ( t u ; t u ) 1 1 [ xy ; ] = [ a + t u ; a + t u ] 1 1 Jestliže se však dle poslední rovnice mají rovnat dva body, musí se rovnat jejich souřadnice Dostáváme tedy dvojici parametrických rovnic x = a + t u 1 1 y = a + t u ; t 1 Příklad: Jsou dány body A = [1;] ; B = [4;8] Určete parametrické rovnice suur a) přímky AB b) polopřímky AB c) úsečky AB d) polopřímky BA Řešení: Ve všech případech budeme potřebovat směrový vektor Můžeme položit suur u = B A= (3;6) Pak je AB X = A+ t u ; t ; což rozepsáno do souřadnic je: 153

suur AB x = 1+ 3 t a) ; t y = + 6 t b) Rovnice budou stejné, pouze podle výše uvedeného bodu ) musí být t, tedy AB x = 1+ 3 t ; t y = + 6 t c) Rovnice budou opět stejné Opět podle bodu ) musí být t Pro t = je X A, s rostoucím parametrem se proměnný bod X vzdaluje od bodu A Protože u = B A, je podle bodu ) X B pro t = 1 Je tedy AB x = 1+ 3 t ; t ;1 y = + 6 t d) Řešení případu b) svádí k závěru, že rovnice polopřímky BA budou BA x = 1+ 3 t ; t y = + 6 t To ovšem není správně, neboť se v tomto případě jedná o rovnici polopřímky opačné k polopřímce AB, což samozřejmě není polopřímka BA Polopřímka BA má počátek v bodě B, musí tedy být BA x= 4 3 t ; t y = 8 6 t Poznámka: Pokud jde o rovnici přímky, nezáleží ani na velikosti ani na orientaci směrového vektoru Pro t jsou rovnice x = 1+ 3 t ; y = + 6 t x = 1+ t ; y = + t x = 1 t y = t rovnicemi téže přímky U polopřímky samozřejmě záleží na orientaci směrového vektoru - jestliže ji měníme, pak měníme polopřímku v polopřímku opačnou Chceme-li vyjádřit tutéž polopřímku, musíme se změnou orientace směrového vektoru současně změnit znaménko parametru, např: BA x = 1+ 3 t y = + 6 t ; t BA x = 4 + t y = 8+ t ; t BA x = 4 t y = 8 t ; t Obecná rovnice přímky v rovině: Uvažujme přímku vyjádřenou obecně parametrickými rovnicemi x = a + t u 1 1 y = a + t u ; t Z této soustavy dvou lineárních rovnic vyloučíme parametr: 154

1 1 1 x = a + t u / u 1 1 ( ) y = a + t u / u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ux uy ua + ua = ux = ua + t u u uy = ua t u u ux uy = ua ua Poslední rovnici většinou píšeme ve tvaru ax+ by+ c =, kde abc,, a nazýváme ji obecnou rovnicí přímky v rovině Z předchozí úpravy je zřejmé, že v tomto tvaru je a = u; b u1 vektor přímky a označíme-li n = ( ab ; ) = ( u; u1) n u = ( u ; u ) ( u ; u ) = uu uu = 1 1 1 1, je = Je-li = ( u ; u ) u směrový Vektory nu ; jsou tedy na sebe kolmé Vektor n = ( ab ; ) nazýváme normálovým vektorem přímky Převod parametrických rovnic na rovnici obecnou je v konkrétních případech většinou jednodušší: 1 Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky zadané parametrickými rovnicemi: x= 7+ 6t y = 3+ /3 t x= 7+ 6t (3 y = 9+ 6) t x 3y = 16 x 3y+ 16= Lze také využít toho, že koeficienty ab, v obecné rovnici jsou souřadnicemi normálového vektoru: Je-li x = 7+ 6t p, y = 3 + t pak směrový vektor je s = (6;) a normálový n = (; 6) Obecná rovnice této přímky je tedy x 6y+ c = Koeficient c určíme z podmínky, že bod A= [ 7;3] leží na hledané přímce a jeho souřadnice musí tedy obecné rovnici vyhovovat: ( 7) 6 3+ c = c = 3 Hledaná rovnice je tedy x 6y+ 3= (můžeme pak samozřejmě ještě vydělit dvěma) Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky, která prochází body A= [3;7]; B = [ ;1] Řešení: a) Pomocí parametrických rovnic: Směrovým vektorem je vektor s = B A= ( 3;1 7) = ( 5; 6) a přímka prochází např bodem A= [3;7] Je tedy: 1 155

x = 3 5/6 t y = 7 6/( t 5) 6x 5y = 17 6x 5y+ 17 = b) Pomocí normálového vektoru: Směrový vektor je s = B A= ( 5; 6), normálový tedy n = (6; 5) Připomeňme, že ns =, proto je třeba zaměnit souřadnice a u jedné z nich změnit znaménko Obecná rovnice je 6x 5y+ c = a protože např A p, je 6 3 5 7+ c = c = 17 Hledaná rovnice je tedy 6x 5y+ 17 = Směrnicový tvar rovnice přímky: Vyjádřeme z obecné rovnice ax+ by+ c = proměnnou y: a c y = x b b Dostáváme tzv směrnicový tvar rovnice přímky Tuto rovnici píšeme obvykle ve tvaru y = kx+ q, kde k= tgϕ je tzv směrnice přímky (ϕ je orientovaný úhel, který svírá přímka s kladnou poloosou x) a q je úsek, který přímka vytíná na ose y Je-li přímka zadána dvěma body A = [ a ; a ]; B [ b ; b ] 1 =, pak pro její směrnici platí: b k= b 1 a a 1 1 Má-li přímka rovnici y = kx+ q a prochází-li bodem o souřadnicích [ ; ] x y, dostáváme po dosazení y = kx + q q = y kx, tedy y = kx+ y kx y y = kx ( x ) 3 Příklad: Napišme rovnici přímky, která prochází body A= [3;7]; B= [ ;1] b a 1 7 6 Řešení: Podle výše uvedených vzorců je k = = = a položíme-li např b a 3 5 [ 3;7 ] [ ; ] A= = x y, dostáváme: 1 1 y y = kx ( x ) 6 y 7 = ( x 3) 5 6 6 y = x 3 + 7 5 5 6 17 y = x+ (směrnicový tvar) 5 y = 6 x+ 17 6 x 5 y+ 17 = (obecný tvar) 5 5 156

Úsekový tvar rovnice přímky: Obecnou rovnici přímky ax+ by+ c =, kde c, lze zapsat ve tvaru ax+ by+ c = ax+ by = c/:( c) ax by + = 1 c c c c Pro ab, lze položit = p ; = q a dostáváme a b tzv úsekový tvar rovnice přímky: x y + = 1 p q Čísla pq, jsou úseky, které přímka vytíná na souřadných osách 4 Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky, která na ose x vytíná úsek p = 3 a na ose y úsek q = Řešení: x y + = 1 3 x+ 3y = 6 x 3y 6= Řešení: 3x y+ 4= 3x y = 4 3x y = 1 4 4 x y 4 + = 1 p = ; q = 4 4 4 3 3 Vzdálenost bodu od přímky: Určení vzdálenosti bodu X = [ x; y] od přímky p ax+ by+ c = spočívá ve stanovení velikosti úsečky PX, kde P = [ p1; p] je pata kolmice spuštěné z bodu X na přímku p Vzhledem k tomu, že vektor n p = ( ab ; ) je normálovým vektorem přímky p, musí být současně směrovým vektorem přímky q, která je na přímku p kolmá Je tedy np = ( ab ; ) = s q Protože navíc X = [ x; y] q, je kolmice q určena parametrickými rovnicemi q x = x + at y = y + bt Vzdálenost v libovolného bodu X = [ xy ; ] q od bodu X = [ x; y] q je pak [ xy ; ] q v = ( x x ) + ( y y ) = ( x + at x ) + ( y + bt y ) = at + bt = t a + b Je-li X P (tj X p q), musí tento bod splňovat současně rovnice přímek pq ; a pro hodnotu parametru t tak máme: ax ( + at) + by ( + bt) + c= 5 Příklad: Převeďme na úsekový tvar obecnou rovnici přímky : 3x y+ 4= ax + at+ by + bt+ c= ( a + b ) t = ax by c ax + by + c t = a + b 157

Dosazením do výše uvedeného vztahu pro vzdálenost dostaneme: ax + by + c ( ax + by + c) a + b ax + by + c v = t a + b = a + b = = a + b a + b a + b Pro vzdálenost v bodu X = [ x; y] od přímky p ax+ by+ c = tedy platí v = ax + by + c a + b 6) Příklad: Určeme výšku v a v ABC, je-li A= [;1]; B = [6; 1] ; C = [4;5] Řešení: Hledaná výška je vzdálenost vrcholu A od přímky p suur BC Směrový vektor této přímky je např BC = C B = (4 6;5+ 1) = ( ;6) a protože B p, je p x = 6 t y = + 6t Vyloučením parametru dostaneme obecnou rovnici tvaru p 3x+ y 16=, a tedy Neřešené úlohy: v ax + by + c 3 + 11 16 9 9 1 a + b 3 + 1 1 1 = = = = 1) Napište parametrické rovnice přímky určené bodem A a vektorem u: a) A= [7; 1] ; u = (3; 4) b) A= [ ; 3] ; u = (;4) c) A= [;3]; u = ( 7;) d) A= [;] ; u = (1;) ) Jsou dány body A= [5;] ; B = [3;7] ; C = [ 4;9] Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem A rovnoběžně s přímkou určenou body BC, 3) Zjistěte, zda dané body leží na přímce x = 1 t; y = 3t: a) A= [3; 7] b) B = [;3] c) C = [ 5;18] d) D = [ 14; 1] 4) Zjistěte vzájemnou polohu daných přímek Jestliže se protínají, najděte jejich průsečík: a) x = 7 ; sy = 3+ s a x = 4 t; y = 3t b) x = 5 3; sy = 3+ s a x = + 9; t y = 8 3t 5) Najděte obecné rovnice přímek: a) x = 7+ 6; t y = 3+ t b) x = 3; t y = 1 t c) x = 4 3; t y = t 6) Rozhodněte, zda body A= [ 3;1] ; B = [7;]; C = [;5] leží na přímce 4x 3y+ 15= 7) Jaké podmínky musí splňovat koeficienty abc,,, aby přímka ax+ by+ c = a) byla rovnoběžná s osou x a nesplynula s ní? b) byla osou x? c) byla rovnoběžná s osou y a nesplynula s ní? d) byla osou y? e) procházela počátkem? 8) Napište rovnici osy úsečky AB, je-li A= [ 3;1] ; B = [4; 3] 9) Napište obecnou rovnici přímky, která prochází body: 158

a) A= [ 7;8]; B = [3; ] 4 b) M = ; ; N = 7; 3 3 3 c) E = [3;9]; F = [ 3;15] d) G = [; 3]; H = [15; 3] 1) Na přímce 4x 1y = najděte bod, který má od přímky 5x+ 1y+ 5= vzdálenost v = 3 Výsledky: 1) a) x = 7+ 3; t y = 1 4t b) x = ; y = 3+ 4t c) x = 7; t y = 3 d) x = t; y = 11 7 ) x = 7; t y = 5+ t 3) a) ne b) ano c) ano d) ne 4) a) různoběžky, P = ; 5 5 b) splývající rovnoběžky 5) a) x 3y+ 1= b) x+ 3y 3= c) x+ 3y 4= 6) AC, leží, B neleží 7) a) a = ; c b) a = c = c) b= ; c d) c = 8) 14x 8y 15= 9) a) x+ y 1= b) 3x+ 76y 5= c) x 3= d) y + 3= 7 14 31 1) M1 = 4; ; M = ; 6 3 18 74 Dvě přímky v rovině Dvě přímky v rovině mohou mít následující vzájemné polohy: a) Přímky jsou různoběžné - mají společný právě jeden bod (průsečík) b) Přímky jsou rovnoběžné různé - nemají žádný společný bod c) Přímky jsou splývající - mají nekonečně mnoho společných bodů 1 Příklad: Určeme průsečík přímek: x+ y+ 1= p x= 3+ t q x= s a) b) 3x y+ = y = 1 t y = 1+ s c) p 7x 9y+ = q x= 6 t y = 15t Řešení: a) Průsečík dvou přímek jako jejich společný bod musí vyhovovat oběma rovnicím, řešíme tedy soustavu dvou rovnic: x+ y+ 1= 3x y+ = 7x+ 5= 5 x= 7 Dosazením např do první rovnice pak dostaneme 1 y = Průsečíkem je tedy 7 5 1 bod P = ; 7 7 b) Opět řešíme soustavu rovnic 3+ t = s + (1 t = 1 + s) 4+ t = 1 t = 3 s = 5 Dosazením do kterékoliv parametrické rovnice dostáváme P = 3;4 [ ] c) Parametrické vyjádření přímky q dosadíme do obecné rovnice přímky p : 7(6 ) t 9(15 t) + = 4 14t 135t+ = 44 t = 149 Dosazením zjištěné hodnoty parametru do parametrických rovnic přímky q dostáváme 44 86 x= 6 t = 6 = ; 149 149 44 66 y = 15t = 15 =, tedy 149 149 86 66 P = ; 149 149 159

Příklad: Ukažme, že dané přímky jsou rovnoběžné: a) x+ 3 y 1 = 4x+ 6y+ 5= b) p x= t q x= 3 s y = 1+ t y = 4+ s c) p x+ y+ 1= q x = t y = 3+ t Řešení: Pokusme se zopakovat řešení soustav z předchozího příkladu: x+ 3y 1= /( ) a) 4x+ 6y+ 5= b) 7= t = 3 s + (1+ t = 4+ ) s c) 3= 7 t+ (3 + t) + 1= 7= Ani v jednom případě soustava nemá řešení Soustavy jsme však vůbec řešit nemuseli, stačilo si všimnout normálových, resp směrových vektorů daných přímek V případě a) jsou normálové vektory n (,3) ; n (4,6), normálové vektory a tedy i přímky samotné jsou a = b = rovnoběžné V případě b) jsou směrové vektory s = a ( 1;1) ; s = ( ;) b opět rovnoběžné V případě c) je normálový vektor první přímky n = a (1;), směrový vektor druhé s = b ( ;1) Tyto vektory jsou navzájem kolmé, směrové vektory tedy musí být rovnoběžné 3 Příklad: Určeme vzájemnou polohu přímek: a) x+ y 1= 6x+ 3y 3= b) p x= 3+ 5t q x= 1s y = 1 t y = + s c) p x+ y 5= q x= 1 t y = 3+ t Řešení: a) Druhá rovnice je trojnásobkem rovnice první, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení a přímky splývají b) c) 3+ 5t = 1s (1 t) + (3+ ) t 5= 1 t = + s/5 t+ 3+ t 5= 3+ 5t = 1s = 5 5t = 1+ 1s 8= 8 Také v těchto dvou případech dostáváme nekonečně mnoho řešení přímky splývají Jestliže jsou dvě přímky různoběžné, svírají spolu úhel, který nazýváme odchylkou přímek Tato odchylka je rovna úhlu, který svírají směrové resp normálové vektory těchto přímek Úhel dvou vektorů vypočítáme dle kpt 7 Pro přímky zadané obecnými rovnicemi ax+ by+ c =, ax + by + c = dostáváme pro jejich odchylku ϕ vzorec 1 1 1 cosϕ = aa + bb 1 1 a + b a + b 1 1 Speciálně pro dvě navzájem kolmé přímky platí aa 1 bb 1 + = 16

a1 a Jednoduchou úpravou tohoto vztahu obdržíme b b 1 = 1 Tyto zlomky jsou však směrnicemi k1; k daných přímek (viz předchozí kapitolu) Pro kolmé přímky ve směrnicovém tvaru tedy platí kk 1 = 1 Neřešené úlohy: 1) Určete průsečík přímek (pokud existuje): a) 6x 5y+ 5= ; x = 5+ 5; t y = 1+ 6t b) 3x 7y+ 9= ; x = 15+ 14 t; y = 3+ 6t c) x 5y+ 6= ; 8x+ 15y+ 1= d) x+ y 7= ; 9x+ 9y 14= ) Určete koeficient a tak, aby přímka ax 3ay + 5= procházela průsečíkem přímek 3x+ y 6= ; 5x 7y+ = 3) Stanovte koeficient a tak, aby přímka ax+ 4y 9= byla kolmá k přímce x 3y+ 7= 4) Napište rovnici přímky, která prochází bodem B = [3;5] kolmo k přímce x 7y+ 3= 5) Vypočtěte odchylku přímek a) x 3y+ 4= ; x y+ 1= b) 3x 7= ; x+ y+ 13= Výsledky: 1) a) přímky splývají b) přímky rovnoběžné různé c) různoběžky, d) přímky rovnoběžné různé ) 31 a = 3) a = 6 4) 7x y 31 14 75 Kuželosečky P = ; 5 + = 5) a) 11 51'11'' b) 45 Sestrojme řez rotační kuželové plochy rovinou ρ, která neprochází vrcholem kuželové plochy Dostaneme křivku zvanou kuželosečka Podle vzájemné polohy roviny ρ a kuželové plochy je to kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola Jednotlivé případy zachycuje připojený obrázek 161

Kružnice: je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu (středu S ) stálou vzdálenost (poloměr r ) Kružnice, která má střed v bodě S = [ mn ; ], má tedy rovnici (tzv středová rovnice) ( x m) ( y n) r + = Pro střed v počátku je tedy speciálně x + y = r Středovou rovnici lze roznásobením upravit na rovnici obecnou: x + y + Ax+ By+ C = Kružnice je určena třemi svými body 1 Příklad: Určeme rovnici kružnice, je-li znám její střed a poloměr: a) S = [; 3] ; r = b) S = [ 1;1] ; r = 1 Řešení: a) ( ) ( x ) ( y 3) x ( y 3) + + = + + = b) Příklad: Najděme střed a poloměr kružnice: a) ( x 1) ( y 1) 1 + + = k x y x y + 5 + 4 = b) k x + y + 4x+ 6y+ = Řešení: Rovnici kružnice doplníme na úplný čtverec: a) b) 5 5 x + y + 4x+ 6y+ = x 5x+ + y + 4y+ 4= + + 4 x + 4x+ 4+ y + 6y+ 9= + 4+ 9 5 7 ( x+ ) + ( y+ 3) = 7 x + ( y+ ) = Tedy S = [5; ] ; r = 35 Rovnice není rovnicí kružnice 3 Příklad: Najděme střed a poloměr kružnice, která prochází body K = [5,5] ; L = [3,1] ; M = [,] Řešení: Má-li kružnice procházet zadanými body, musí souřadnice těchto bodů vyhovovat rovnici kružnice Dosazením např do obecné rovnice x + y + Ax+ By+ C = tak obdržíme pro neznámé koeficienty ABC,, soustavu tří rovnic: K k + + A+ B+ C = : 5 5 5 5 L k + + A+ B+ C = : 3 1 3 M k + + A+ B+ C = : Kružnice má tedy obecnou rovnici x y y Z poslední rovnice je okamžitě C =, je tedy 5A + 5B = 5 A = ; B = 1 3A+ B= 1 + 1 = Jejím doplněním na čtverec dostaneme x + y 1y+ 5= 5 x + ( y 5) = 5 Je tedy S = [;5] ; r = 5 Elipsa: Je množina všech bodů v rovině, které mají od daných dvou bodů (ohnisek EF), stálý součet vzdáleností ( a ) viz připojený obrázek na další straně Pro libovolný bod M elipsy tedy platí ME + MF = a Spojnici libovolného bodu elipsy s ohniskem nazýváme průvodič Střed S úsečky EF nazýváme středem elipsy Body AB, jsou hlavní vrcholy elipsy, platí SA = SB = a, a je hlavní poloosa CD, jsou vedlejší 16

vrcholy, platí SC = SD = b, b je vedlejší poloosa, ES = FS = e výstřednost (excentricita) elipsy Dále je a = b + e, EC = FC = ED = FD = a Elipsa se středem v bodě S = [ mn ; ], hlavní poloosou a rovnoběžnou s osou x a vedlejší poloosou b rovnboběžnou s osou y má rovnici (tzv středová rovnice elipsy) ( x m) ( y n) + = 1 a b x y Pro střed v počátku je tedy speciálně + = 1 Platí a b> Je-li a = b, dostáváme a b speciálně kružnici se středem S a poloměrem r = a = b Je-li hlavní poloosa a rovnoběžná ( x m) ( y n) x y s osou y, je + = 1, resp + = 1 b a b a Středovou rovnici lze roznásobením upravit na rovnici obecnou: Ax By Cx Dy E kde pro A= B se speciálně opět jedná o kružnici + + + + = ; A>, B>, 4 Příklad: Zjistěme, zda rovnice 3x + y + 6x 5= je rovnicí elipsy s osami rovnoběžnými se souřadnými osami Je-li tomu tak, určeme střed a poloosy Řešení: 3x + y + 6x 5= 3( x + x) + y + 6x= 5 3( x + x+ 1) + y + 6x= 5+ 3 3( x+ 1) + y = 8/:8 3( x+ 1) y + = 1 8 8 3( x+ 1) y + = 1 8 4 3 Jedná se tedy o elipsu se středem S = [ 1;] a poloosami b = 4 = ; rovnoběžná s osou y a = 8 3, hlavní osa je Hyperbola: je množina všech bodů v rovině, které mají od daných dvou bodů (ohnisek EF), stálou absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností ( a ) viz připojený obrázek Pro libovolný bod M hyperboly tedy platí ME MF = a Spojnici libovolného bodu elipsy s ohniskem nazýváme průvodič Střed S úsečky EF nazýváme středem hyperboly Body AB, jsou hlavní vrcholy hyperboly, platí SA = SB = a, a je hlavní poloosa CD, 163

jsou vedlejší vrcholy, platí SC = SD = b b je vedlejší poloosa, ES = FS = e, e je výstřednost (excentricita) hyperboly Dále je e = a + b Hyperbola se středem v bodě S = [ mn ; ], hlavní poloosou a rovnoběžnou s osou x a vedlejší poloosou b rovnboběžnou s osou y má rovnici (tzv středová rovnice hyperboly) ( x m) ( y n) = 1 a b x y Pro střed v počátku je tedy speciálně = 1 Je-li hlavní poloosa a rovnoběžná s osou a b ( x m) ( y n) x y y, je + = 1, resp 1 b a a + b = Přímky a ; a procházející středem 1 b hyperboly se směrnicemi ± se nazývají asymptoty Je-li a = b, nazýváme hyperbolu a rovnoosou Otočíme-li rovnoosou hyperbolu se středem v počátku okolo tohoto počátku c o 45 o, přejde její rovnice do tvaru y = takto otočená rovnoosá hyperbola je grafem x nepřímé úměrnosti Středovou rovnici hyperboly lze roznásobením upravit na rovnici obecnou: Ax By Cx Dy E + + + = ; A>, B> pro hyperbolu s hlavní osou rovnoběžnou s osou x, resp Ax + By + Cx+ Dy+ E = ; A>, B> pro hyperbolu s hlavní osou rovnoběžnou s osou y 5 Příklad: Zjistěme, zda rovnice 9x 16y 36x+ 3y 14= je rovnicí hyperboly s osami rovnoběžnými se souřadnými osami Je-li tomu tak, určeme její střed a poloosy Řešení: 9x 16y 36x+ 3y 14= 9( 4 ) 16 ( ) = 14 x x y y 9( x 4x+ 4) 16 ( y y+ 1) = 14+ 36 16 9( x ) 16 = 144/:144 9( x+ 1) 16( y 1) = 1 144 144 ( x ) ( y 1) = 1 16 9 Jedná se tedy o hyperbolu se středem S = [;1] a poloosami a = 4; b= 3, její hlavní osa je rovnoběžná s osou x 164

Parabola: je množina všech bodů v rovině, které mají od dané přímky (řídicí přímka d ) a daného bodu, který na této přímce neleží (ohnisko F ), stejnou vzdálenost viz připojený obrázek Kolmice spuštěná z ohniska na řídicí přímku se nazývá osa paraboly, vzdálenost p ohniska od řídicí přímky se nazývá parametr paraboly Střed úsečky určené ohniskem a průsečíkem osy paraboly se řídicí přímkou se nazývá vrchol paraboly Parabola, jejíž vrchol má souřadnice V = [ mn, ] a osa je rovnoběžná s osou x, má rovnici p ( y n) px ( m) F = = m+ ; n ; p ( y n) px ( m) F = = m ; n ; je-li osa je rovnoběžná s osou y, pak p x n = py m F = mn ; p ( x n) = py ( m) F = mn ; + ( ) ( ) ; Jedná se o tzv vrcholové rovnice paraboly Speciálně pro vrchol v počátku přejdou tyto rovnice na tvary: y = px ; y = px ; x = py ; x = py Roznásobením mocnin ve vrcholových rovnicích paraboly s vrcholem V = [ mn, ] obdržíme obecnou rovnici paraboly, která je tvaru y Ax By C + + + = ; A pro osu rovnoběžnou s osou x, resp x Ay Bx C + + + = ; A pro osu rovnoběžnou s osou y 5 Příklad: Zjistěme vrchol, ohnisko, parametr a polohu paraboly y x y 4 + 6 + 1= Řešení: 4 + 6 + 1= y x y y y x + 6 = 4 1 y y x + 6 + 9= 4 1+ 9 y x ( + 3) = 4( + ) Vrchol paraboly tedy je V = [ mn ; ] = [ ; 3], osa paraboly je rovnoběžná s osou x, p =, p F = m+ ; n = [ 1; 3] 165

Neřešené úlohy: 1) Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku a prochází bodem a) A = [ 3;4] b) B = [ 1;5] ) Napište rovnici kružnice, která má střed S = [;3] a prochází bodem M = [ 1;7] 3) Zjistěte, zda dané rovnice jsou rovnicemi kružnice, pokud ano, najděte středy a poloměry a) x + y x+ 4y = 4 b) 3x + 3y + 8x 6= c) x + y + x = d) x + y + y+ 1= 4) Napište rovnici kružnice, která prochází body A = [5;1] ; B = [;6] ; C = [4; ] 5) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu v ose x a vedlejší osu v ose y, je-li dáno a) a = 5; b= 3 b) a = 13; e= 1 c) a+ b= 9; e= 3 6) Zjistěte poloosy elipsy a) 16x + 5y = 4 b) 4x + 9y = 36 c) x + 4y = 16 7) Zjistěte, zda jde o elipsu, pokud ano, udejte střed, polohu os a poloosy: a) 9x + 5y 54x 1y 44= b) 4x + 5y 4x+ 1y+ 139= c) 7x + 5y 8x+ 38= d) 9x + y + 9x 4y = e) 9x + 4y 36x+ 7y+ 36= 8) Najděte rovnici hyperboly o středu S = [;], je-li a) a = 8; b= 4 b) a = 4; e= 5 c) b= 3; e= 5 9) Zjistěte, zda jde o hyperbolu, pokud ano, udejte střed, polohu os a poloosy: a) 9x + 16y + 9x+ 64y 35= b) x y + 6x 8y 17= c) 9x 4y + 36x+ 8y+ 3= 1) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku a ohnisko v bodě 3 a) F = ; b) F = [ 3;] c) F = [; 1] 11) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku a prochází bodem A = [;6] 1) Určete vrchol a ohnisko paraboly a) c) x x y 1 9 + 61= Výsledky: 1) a) x + y = 5 b) x y x y 7 6 19= b) x x y 8 3 + 1= + y = 169 ) ( x 1) + ( y 3) = 5 3) a) S = [1; ]; r = 3 4 1 1 1 b) S = ; ; r = 34 3 c) S = ; ; r 3 = d) není rovnicí kružnice 4) x + y y 4= 5) a) 9x + 5y = 5 b) 5x + 169y = 4 5 c) 16x + 5y = 4 6) a) a = 5; b= 4 b) a = 3; b= c) a = 4; b= 7) a) S = [3,]; a = 5; b= 6; hlavní osa 1 5 5 rovnoběžná s x b) není elipsa c) není elipsa d) S = ; ; a ; b = = ; hlavní osa 6 rovnoběžná s y e) pouze bod [; 9] 8) a) x 4y = 64 b) 9x 16y = 144 c) 9x 16y 144 = 9) a) S = [5; ]; a = 3; b= 4; hlavní osa rovnoběžná s y b) S = [ 3; 4]; a = b= 1 ; hlavní osa rovnoběžná s x c) není hyperbola 1) a) 4 y = 1x c) x = 4 y 11) x = y ; y = 18x 1) a) [ 4;3]; ;3 3 V = F = 9 5 b) V = [4; ]; F = 4; 4 c) 5 V = [5;4]; F = 5; 4 y = 6x b) 166