Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x. x. Najděte definiční obor funkce fx, y = arccos x + y. Řešení: Definiční obor je množina všech [x; y] R, pro která platí 1 x x + y 1. Tato množina se skládá ze dvou tupých úhlů omezených přímkami y = a y = x s hranicí, ale bez bodu [; ]. 3. Najděte definiční obor funkce fx, y = x + y 14 x y. Řešení: Definiční obor je množina 1 x + y 4, což je uzavřené mezikruží se středem v počátku, s poloměrem vnitřního kruhu 1 a vnějšího. 4. Najděte definiční obor funkce f 1 x, y = lnxy a f x, y = ln x + ln y. Řešení: Definiční obor funkce f 1 je množina xy >, což je otevřený první a třetí kvadrant, kdežto definiční obor funkce f je množina x > a y >, což je otevřený první kvadrant. 5. Najděte definiční obor funkce fx, y, z = ln 1 x y + z. Řešení: Definiční obor je dán rovnicí 1 x y +z >, což je vnitřek dvojdílného hyperboloidu x + y z = 1. 6. Najděte vrstevnice funkce z = x + y. Řešení: oustředné kružnice x + y = pro > ; bod [; ] pro = ; prázdná množina pro <. 7. Najděte vrstevnice funkce z = 1 x + y. Řešení: Prázdná množina pro ; elipsy x + y = 1 pro >. 8. Najděte vrstevnice pro funkci z = minx, y. Řešení: Přímky y = pro z = < ; přímka y = a polopřímka x =, y pro z = ; polopřímky y =, x a x a x = ±, y pro >. 9. Najděte hladiny konstantní úrovně funkce ux, y, z = x + y z. Řešení: Máme popsat množinu x + y z =, kde je konstanta. Pro > je to množina jednodílných hyperboloidů; pro < je to množina dvojdílných hyperboloidů; pro = je to kužel. Typeset by AM-TEX 1

y 1. Najděte funkci fx, jestliže f = x x + y x pro x >. Řešení: Označme u = y x. Pak je y = ux a fu = x + u x fx = 1 + x. 11. Najděte fx, y, jestliže f x + y, y = x y. x Řešení: Označme u = x + y a v = y. Inverzní zobrazení je x = u x Z toho dostaneme fu, v = Tedy fx, y = 1 y 1 + y x. u 1 + v u v 1 + v = 1 v 1 + v u = 1 v 1 + v u. x = 1 + u. Tedy 1 + v a y = uv 1 + v.

vičení Metrické prostory. Normované prostory. Prostory se skalárním součinem. Definice 1. Nechť M je množina a ρ : M M R s následujícími vlastnostmi: 1 ρx, y, ρx, y = x = y, ρx, y = ρy, x, 3 ρx, y ρx, z + ρy, z, pro každé x, y, z M. Pak se funkce ρ nazývá metrika a množina M s funkcí ρ se nazývá metrický prostor. Vztah 3 se nazývá trojúhelníková nerovnost. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad R, resp. nad, a ν : V R taková, že pro každé x, y V a α R platí: 1 νx, νx = x =, ναx = α νx, 3 νx + y νx + νy. Funkce ν se nazývá norma. Věta 1. Nechť V je vektorový prostor a ν je norma na V. Pak je funkce ρ : V V R definovaná vztahem ρx, y = νx y metrika na V. 1. Dokažte větu 1. Řešení: Máme ukázat, že pro funkci ρ platí 1 3 z definice 1. Podle 1 z definice platí ρx, y = νx y a ρx, y = νx y = x y = x = y. Tedy platí 1. Podle platí ρx, y = νx y = ν 1 y x = νy x = ρy, x, a tedy platí. Podle 3 z definice je ρx, y = νx y = ν x z+z y νx z+νz y = ρx, z + ρy, z, což je trojúhelníková nerovnost z definice 1. Definice 3. Je-li V vektorový prostor a ν norma na V, pak nazýváme metrický prostor V s metrikou definovanou ve větě. normovaný vektorový prostor. Definice 4. Nechť V je vektorový prostor nad R, resp.. kalární součin nazýváme funkci, : V V R, resp., která pro každé x, y, z V a α, β R, resp., má následující vlastnosti: 1 αx + βy, z = αx, z + βy, z, x, x, x, x = x =, 3 x, y = y, x. V 3 znamená α komplexně sdružené číslo k α. Obvykle se značí x, x = x. Takový vektorový prostor se nazývá prostor se skalárním součinem. 3

Věta. chwarzova nerovnost Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé x, y V platí x, y x y.. Dokažte větu. Řešení: Podle z definice skalárního součinu platí pro každé x, y V a λ nerovnost x λy, x λy. Přitom rovnost platí pouze tehdy, když x λy =, tedy je x násobek y. Když rozepíšeme tuto nerovnost, dostaneme x λy, x λy = x λy, x λx, y + λ y. Jestliže je y = platí v dokazovaném vztahu rovnost. Jestliže je y, položíme x, y y, x λ =. Pak je λ = y y a předchozí vztah dává x y, xx, y x, yy, x x, y y y + y = x x, y y. Odtud již plyne vztah x, y x y, z něhož získáme po odmocnění chwarzovu nerovnost. Povšimněte si, že rovnost nastává pouze tehdy, když x = λy nebo když je y =, tj. právě tehdy, když jsou vektoru x a y lineárně závislé. Věta 3. Je-li V vektorový prostor se skalárním součinem, pak je funkce x = x, x norma na V. 3. Dokažte větu 3. Řešení: Máme ukázat, že funkce νx = x má vlastnosti 1 3 z definice. Protože pro každé x V je x = x, x a x = právě tehdy, když x =, je splněna podmínka 1. plyne z rovnosti ax = ax, ax = a x, x = a x. K důkazu 3 použijeme chwarzovy nerovnosti. Protože pro každé komplexní číslo a platí nerovnost Rea a, dostaneme x + y = x + y, x + y = x + x, y + y, x + y = = x + Rex, y + y x + x, y + y x + x y + y = x + y. Po odmocnění tedy x + y x + y, což je 3 z definice normy. 4. Nechť M je libovolná neprázdná množina. Dokažte, že funkce { pro x y ρx, y = 1 pro x = y 4

je metrika na M. Jak vypadají otevřené a uzavřené množiny v tomto metrickém prostoru? Řešení: Musíme ověřit, že daná funkce ρ má vlastnosti 1 3 z definice metriky. Vztahy 1 a jsou zřejmé. Abychom dokázali trojúhelníkovou nerovnost ρx, y ρx, z + ρy, z, stačí uvažovat případy x = y = z, x = y z, x = z y a x y z x. nadno se lze přesvědčit, že 3 je ve všech těchto případech splněno. Nechť je X libovolná podmnožina M a x X. Protože každé okolí U ε x, kde ε < 1 obsahuje jediný bod x a je tedy podmnožinou X. Tedy každý bod x X je vnitřní bod X, a tedy každá podmnožina M je otevřená. Proto je také pro každou množinu X M její doplněk M \ X otevřená množina. Tedy každá podmnožina M je také uzavřená. Věta 4. V prostoru R n je pro každé p 1 funkce resp. n ν p x = xi p i=1 1/p ν x = max x 1, x,..., x n norma v R n. Prostor R n s metrikou ρ p x, y = ν p x y je tedy normovaný prostor. n Norma ν vzniká ze skalárního součinu x, y = x i y i. i=1 5. Dokažte, že lim p ν px = ν x. Řešení: Označme X = max x 1, x,..., x n. Je-li X =, je x k = pro každé k. Nechť X. Pak pro každé i = 1,,..., n platí nerovnost y i = x i 1. Pak X ale pro každé p 1 platí n 1/p n 1/p x i p = X y i p. i=1 i=1 Protože y i 1, dostaneme z této rovnosti nerovnost n 1/p X xi p = ν p x Xn 1/p. i=1 A protože lim p n1/p = 1, dostaneme limitním přechodem p vztah X = ν x = lim ν px. p 5

6. V prostoru R 3 jsou dány body A = [1; ; 1], B = [; 4; 5] a = [ 3; ; 3]. Určete vzájemné vzdálenosti těchto bodů v prostorech s metrikami ρ 1, ρ a ρ. Ověřte v těchto případech trojúhelníkovou nerovnost. Řešení: Podle definice je ρ 1 A, B = 1 + 4 + 4 = 9, ρ 1 A, = 4 + + 4 = 8, ρ 1 B, = 5 + 4 + 8 = 17 ; ρ A, B = 1 + 4 + 4 = 33, ρ A, = 4 + + 4 = 4, ρ B, = 5 + 4 + 8 = 15 ; ρ A, B = max 1, 4, 4 = 4, ρ A, = max 4,, 4 = 4, ρ B, = max 5, 4, 8 = 8. Věta 5. Nechť a, b je uzavřený omezený interval. Označme a, b množinu všech spojitých funkcí na a, b. Pak je funkce νf = fx norma na prostoru a, b. sup x a,b 7. V prostoru, 1 najděte vzdálenost funkcí fx = x +x+1 a gx = 1+x. Řešení: Podle definice je ρf, g = sup fx gx = sup x x. x,1 x,1 Tato funkce je spojitá na kompaktním intervalu, 1. Tedy má na tomto intervalu maximum. Pro x, 1 je x x 1 = x x a pro x, 1 platí x x = x x. Protože derivace této funkce je rovna nule pouze v bodě x = 1, může funkce 4 nabývat maximum pouze v bodech x 1 = 1 4, kde je derivace nulová, x = 1, kde derivace neexistuje, x 3 = a x 4 = 1, což jsou krajní body intervalu. Největší hodnota této funkce je 1 v bodě x 4 = 1. Tedy ρf, g = 1. 8. Najděte funkci tvaru fx = ax, která má v prostoru, 1 nejmenší vzdálenost od funkce gx = x. 6

Řešení: Naším úkolem je najít a R tak, aby byla minimální hodnota funkce F a = x ax. Označme Gx, a = x ax = x x a, kde x, 1 a sup x,1 a R. Pro a 1 je Gx, a = xa x. Tato funkce může nabývat maxima v bodech x 1 =, x = 1 a x 3 = a. Přímým výpočtem se přesvědčíme, že F a = a 1 pro a, a F a = a pro a 1,. 4 Pro a, 1 je Gx, a = xa x pro x, a a Gx, a = xx a pro x a, 1. Tato funkce proměnné x může nabývat maxima v bodech x 1 =, x = a, x 3 = a a x 4 = 1. rovnáním funkčních hodnot v těchto bodech snadno zjistíme, že F a = a 4 pro a, 1 a F a = 1 a pro,. Pro a < je Gx, a = xx a. Tato funkce proměnné x nabývá maxima F a = 1 a v bodě x = 1. Tedy našli jsme funkci a 1 pro a, F a = ρx a, ax = pro a, 4 1 a pro a, Naším úkolem je najít minimum této funkce. Ta je spojitá a je klesající v intervalu, a rostoucí v intervalu,. Tedy tato funkce nabývá minimum F min = 3 v bodě a =. Věta 6. Nechť a, b je uzavřený omezený interval. Uvažujme vektorový prostor L všech reálných spojitých funkcí na a, b. Pro každé p 1 je funkce 1/p b ν p f = fx p dx a norma na L. Normovaný prostor L s normou ν p budeme značit L p a, b. b Norma v L a, b vzniká ze skalárního součinu f, g = fxgx dx. a 9. V prostorech L 1, π a L, π najděte f, g a vzdálenost funkcí fx = sin x a gx = cos x. 7

Řešení: Podle definice je f 1 = g 1 = π π ρ 1 f, g = = f = π/4 π π sin x dx = sin x dx cos x dx = 4, sin x cos x dx = π π sin x dx = 4, 5π/4 π cos x sin x dx + sin x cos x dx + cos x sin x dx = π/4 5π/4 = 4 ; g = ρ f, g = π π π sin x dx 1/ = π, cos x dx 1/ = π, sin x cos x 1/ = π. 1. Najděte a tak, aby funkce fx = ax měla v prostoru a L 1, 1 ; b v prostoru L, 1, nejmenší vzdálenost od funkce gx = x. Řešení: Naším úkolem je najít minimum funkce F a = ρx, ax. V případě 1, 1 je F a = x ax dx. L 1 Pro a 1 je Pro a, 1 dostaneme F a = a pro a < je 1 F a = 1 ax x dx = a 1 3. x ax a dx = ax x 1 + x ax dx = a3 3 a + 1 3 F a = 1 x ax dx = 1 3 a. Protože je funkce F a klesající v intervalu, a rostoucí v intervalu 1,, leží její minimum v intervalu, 1. Protože F a = a 1, může existovat extrém pouze v bodech x 1 =, x = 1 a x 3 = 1. Funkční hodnoty v těchto bodech jsou a 8

F = 1 1 3, F ρ x x, = 6 =. 6 V případě prostoru L, 1 je a F 1 = 1 6. Tedy a = 1 a pro toto a je vzdálenost 1 F a = x ax 1/ 1 dx = 5 a + a 3. Tato funkce má derivaci rovnou nule pouze v bodě a = 3 a lze snadno ukázat, že 4 3 funkce F a nabývá v tomto bodě globálního minima F = 1 4 4 5. 9

vičení 3 Limita posloupnosti v metrickém prostoru. auchy Bolzanova podmínka. Úplný prostor. Definice 1. Nechť M je metrický prostor s metrikou ρ a x n je posloupnost v M. Říkáme, že posloupnost x n má limitu x, jestliže lim ρx n, x =. Pak píšeme n lim x n = x. Posloupnost, která má limitu se nazývá konvergentní. Jestliže posloupnost nemá limitu, nazývá se n divergentní. Věta 1. Posloupnost x n v metrickém prostoru M má nejvýše jednu limitu. 1. Dokažte větu 1. Řešení: Nechť je x y a lim ρx, x n = lim ρy, x n =. Pak ke každému n n ε > existují n x a x y takové, že pro každé n > n x je ρx, x n < ε a pro každé n > n y je ρy, x n < ε. Vezměme ε = 1 3 ρx, y >. Pro příslušná n x a n y položme n = maxn x, n y. Pak pro každé n > n platí ρx, y ρx, x n + ρy, x n < ρx, y. 3 Ale to je spor. Tedy ρx, y =, tj. x = y. Věta. Nechť x n = x 1 n,..., x k n je posloupnost prvků z R k s metrikou ρ p definovanou ve cvičení. Pak je posloupnost konvergentní, právě když jsou konvergentní všechny posloupnosti x i n, i = 1,..., k a platí lim x n = x, kde x i = lim n n xi n, i = 1,..., k. Dokažte větu. Řešení: Nechť je lim x n = x v prostoru s metrikou ρ p. Protože pro každé i = n 1,,..., k a p 1, platí nerovnost je lim x i x i n n k 1/p x i x i n x r x r p n r=1 = pro každé i = 1,,..., k, a tedy lim n xi n = x i. Nechť naopak pro všechna i = 1,,..., k je lim n xi n = x i. Pak ke každému ε > existují n i taková, že pro každé n > n i je x i x i n < ε. Vezměme k1/p n = max n 1, n,..., nk. Pak pro každé n > n platí nerovnost k x i x i p n i=1 k i=1 ε p k = εp. 1

Tedy pro n > n je ρ p x, xn < ε. Pro metriku generovanou normou ν x = max x 1, x,..., x n, platí pro každé i nerovnost x i x i n max x i x i n. i=1,,...,k i v této metrice plyne, že z lim x n = x vztah lim n n xi n = x i pro každé i. Abychom dokázali opačnou implikaci zvolíme k danému ε > čísla n i taková, že pro každé n > n i je x i x n i < ε a n = max n 1, n,..., nk. 3. Najděte limitu posloupnosti x n = n n+ + 1 n 4 n,, n + 1 n n, n + 1 π arctg n. Řešení: Podle věty stačí najít limity n n+ + 1 n 4 lim n n, lim, lim n + 1 n n, lim n n + 1 n n π arctg n. První tři limity jsou lim n lim n n + 1 n = + 1 n = ; n+ n 4 = 1 5 n + 1 n + 1 n+ = e 5 ; lim n + 1 n = lim n + 1 n n + 1 + n n n n + 1 + n = lim 1 n n + 1 + n =. Poslední limitu nalezneme tak, že určíme limitu x lim x π arctg x = lim exp x ln π 1 arctg x = x = exp lim x x lnπ 1 arctg x. Pokud tato limita existuje, je rovna hledané limitě posloupnosti. Limitu v exponentu nalezneme pomocí l Hospitalova pravidla. lnarctg x + lnπ 1 lim x x 1 Tedy hledaná limita je lim x n =, e 5,, e /π. n x = lim x 1 + x arctg x = π. 11

4. Nechť f n x = x n a < η < 1. Najděte limitu posloupnosti f n v prostoru, η a v prostoru, 1. Řešení: Pro každé pevné x, 1 je lim n xn =. Tedy jestliže posloupnost konverguje, konverguje k funkci fx =. Konvergence posloupnosti funkcí v prostoru M znamená, že lim sup fx fn x =. n x M Protože jsou funkce f n x = x n spojité a intervalu, η, nabývají na tomto intervalu maxima. Protože jsou to rostoucí funkce proměnné x, nabývají maxima v bodě x = η < 1. Tedy stačí ukázat, že lim n ηn =. Nechť je < ε < 1. Pak stačí zvolit n tak, aby η n < ε, tedy n > ln ε ln η. Pak je pro každé n > n je η n < η n < ε, protože ε < 1. Tedy v prostoru, η je lim n xn =. Ale v prostoru, 1 je sup x n = 1. Tedy pro ε < 1 nelze najít n tak, aby x,1 pro n > n bylo x n. Proto v prostoru, 1 limita lim n xn neexistuje. sup x,1 Definice. Konvergence funkcí f n x v prostoru a, b se nazývá stejnoměrná konvergence v a, b. Jestliže posloupnost f n x konverguje stejnoměrně k funkci fx, píšeme f n x fx. 5. Dokažte, že f n x fx na a, b znamená, že ε > n = n ε ; x a, b, n > n fx fn x < ε. Řešení: Nechť je lim f nx = fx v prostoru a, b. To znamená, že ke každému ε > existuje n takové, že pro každé n > n je fx fn x < ε. n Ale sup x a,b sup x a,b pro toto n splňuje výše zmíněnou podmínku. Nechť pro ε > existuje n takové, že pro každé x a, b platí fx fn x < ε. Ale pak je pro tato n také fx fn x ε < ε, a tedy fx je limitou posloupnosti f n x v prostoru a, b. Kromě stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí f n x lze definovat tzv. bodovou konvergenci. Tu definujeme takto: Máme posloupnost funkcí f n x, x a, b. Vezmeme pevné x a, b a sestrojíme číselnou posloupnost f n x. Pokud posloupnost f n x konverguje k fx pro každé x a, b, říkáme, že funkce posloupnost funkcí f n x konverguje bodově k 1

funkci fx nebo, že fx je bodová limita posloupnosti funkcí fx. Obvykle se v takovém případě píše f n x fx na intervalu a, b. Definici bodové konvergence lze zapsat takto: ε > x a, b n = n ε, x ; n > n fx fn x < ε. Tedy n může na rozdíl od stejnoměrné konvergence záviset na bodu x. Věta 3. Jestliže posloupnost funkcí f n x konverguje stejnoměrně k funkci fx na intervalu a, b, pak konverguje tato posloupnost konverguje také bodově k funkci fx. 6. Dokažte větu 3. Řešení: Tvrzení je zřejmé, protože jestli f n x fx existuje k danému ε > n takové, že pro každé n > n a x a, b je fn x fx < ε a v definici bodové konvergence stačí zvolit toto n. Z věty plyne, že posloupnost funkcí f n x může stejnoměrně konvergovat k funkci fx pouze tehdy, když k ní konverguje bodově. 1 7. Opak obecně neplatí. Ukažte, že posloupnost funkcí f n x =, x 1, 1 1 + nx konverguje bodově, ale nekonverguje stejnoměrně. Řešení: Při zkoumaní bodové konvergence zvolíme nejprve pevní x 1, 1. Je zřejmé, že pro x = je lim f n = 1 a pro x je lim f nx =. Tedy bodově n n je lim f nx = fx, kde fx = pro x 1, 1, x, a f = 1. n Ukážeme z definice, že tato funkce je bodová limita posloupnosti funkcí f n x. Nechť je dáno ε, 1. Pro ε 1 stačí zvolit n = 1. Máme tedy pro každé x 1, 1 najít n takové, aby f n x fx < ε. Pro x = je pro každé n f n f = a 1 stačí zvolit n = 1. Je-li x zvolíme n tak, aby 1 + n x < ε. Pro každé n > n 1 je totiž 1 + nx < 1 1 + n x. Proto stačí zvolit n > 1 ε εx >. Jak je vidět, při zkoumaní bodové konvergence nám stačilo najít n závislé na x. Jestliže budeme nahlížet na n jako na funkci x, vidíme, že není omezená v okolí bodu x =. Proto lze očekávat, že posloupnost funkcí f n x nebude konvergovat k funkci fx stejnoměrně. Dokážeme toto tvrzení. To ale přesněji znamená, že existuje ε > takové, že pro každé n existuje n > n a x 1, 1, pro které je fn x fx 1 ε. Vezměme ε =. Pak přejde dokazovaná nerovnost pro x 1 1 na, neboli x. Tedy ať zvolíme jakékoliv n existuje x 1, 1 n 1 + nx 1 1 takové, že 1 + nx 1. Tím jsme ale dokázali, že posloupnost f nx nekonverguje stejnoměrně k funkci fx. 13

Věta 4. Nechť je f n x posloupnost funkcí na množině M R, které na M konvergují stejnoměrně k funkci fx. Nechť pro každé n existuje lim f n x = A n a x a nechť je lim A n = A. Pak existuje lim fx = A. n x a Poznámka: Věta říká, že v takovém případě lze zaměnit limity, tj. že platí lim lim f nx = lim n x a x a lim f nx. n 8. Dokažte větu 4. Řešení: K důkazu použijeme nerovnost fx A = fx fn x + f n x A n + An A fx f n x + f n x A n + A n A, kde x M. Nechť je dáno ε >. Protože posloupnost funkcí f n x konverguje na množině M stejnoměrně k funkci fx, existuje n 1 takové, že pro každé n > n 1 a pro každé x M je fx fn x ε <. Protože je lim n A n = A, existuje n takové, 3 že pro každé n > n je An A ε < 3. Zvolme pevné n > max n 1, n. Protože pro toto n je lim f n x = A n, existuje δ > takové, že pro všechna x M pro která x a je < a x < δ platí nerovnost fn x A n < ε. Ale pak pro všechna taková x 3 platí nerovnost To ale znamená, že lim x a ff = A. fx A < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Důsledek. Jestliže je f n x posloupnost spojitých funkcí na množině M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci fx, je funkce fx spojitá. 1 V příkladu 7 jsme zkoumali posloupnost spojitých funkci f n x = 1 + nx, x 1, 1. Protože bodová limita těchto funkcí byla fx = pro x a f = 1, tedy nespojitá funkce, nemohla posloupnost funkcí f n x konvergovat k funkci fx stejnoměrně na 1, 1. Věta 5. Nechť posloupnost x n v metrickém prostoru M s metrikou ρ konverguje. Pak posloupnost x n splňuje tzv. auchy Bolzanovu podmínku: ε > n ; m, n > n ρx m, x n < ε. 1 9. Dokažte větu 5. 14

Řešení: Nechť je lim x n = x. Pak ke každému ε > existuje n takové, že pro n každé m, n > n platí ρx, x m < ε a ρx, x n < ε. Z trojúhelníkové nerovnosti plyne, že pro taková m a n platí nerovnost ρx m, x n ρx m, x + ρx, x n < ε + ε = ε. Definice 3. Posloupnost, která splňuje podmínku 1 se nazývá auchyovská posloupnost. Obecně není pravda, že je každá auchyovská posloupnost konvergentní 1. Jeden z algoritmů, jakým lze počítat druhé odmocniny je tento: Nechť je x. estrojme následující posloupnost a 1 = 1 a a n+1 = 1 a n + xan. Lze ukázat, že tato posloupnost konverguje a lim a n = x. n Když pomocí tohoto algoritmu počítáte, získáte posloupnost racionálních čísel x n, která je v prostoru racionálních čísel Q auchyovská, ale nemá v tomto prostoru limitu, protože není racionální číslo. Proto se zavádí Definice 4. Metrický prostor M se nazývá úplný, jestliže je každá auchyovská posloupnost v M konvergentní. Pojem úplnosti je v matematice velmi důležitý. Protože množina racionálních čísel není úplný prostor viz příklad 1., zavádí se reálná čísla, která již jsou úplným prostorem. Platí Věta 6. Pokud M je úplný metrický prostor, pak je posloupnost x n v tomto prostoru konvergentní, právě když je auchyovská. Víte-li tedy, že M je úplný metrický prostor, stačí k důkazu konvergence posloupnosti x n ukázat, že je posloupnost auchyovská. Z věty 4 plyne, že prostor a, b je úplný. Naopak prostory L p a, b úplné nejsou. V úplných metrických prostorech platí Věta 7. O pevném bodě v kontrahujícím zobrazení. Nechť M je úplný metrický prostor s metrikou ρ a f : M M, pro které platí: Existuje K, 1 takové, že pro každé x, y M je ρ fx, fy Kρx, y. 15

Pak v M existuje právě jedno x, pro které platí x = fx. 11. Dokažte větu 7. Řešení: Vezmeme libovolné x M a sestrojíme posloupnost x 1 = fx, x = fx 1,..., x n+1 = fx n,.... Protože zobrazení fx je kontrahující, je ρx, x 1 = ρ fx 1, fx Kρx 1, x. Indukcí ukážeme, že pro každé N platí nerovnost ρx n+1, x n K n ρx 1, x. 1 Pro n = 1 jsme tento vztah již ukázali. Nechť platí 1 pro n. Pak je ρ x n+, x n+1 = ρ fxn+1, fx n Kρ x x+1, x n K n+1 ρ x 1, x, kde jsme v poslední nerovnosti použili indukční předpoklad. Nyní ukážeme, že posloupnost x n je auchyovská. Nechť m > n. Pak z trojúhelníkové nerovnosti plyne Protože K, 1 je ρ m 1 x m, x n < lim n r=n ρ m 1 x r+1, x r K r ρ x 1, x = r=n r=n K r ρ x 1, x < K n 1 K ρ x 1, x. K n 1 K ρ x 1, x =, a tedy ke každému ε > existuje n takové, že pro každé m > n > n je ρ x m, x n < ε. Tedy posloupnost xn je auchyovská, a protože jsme předpokládali, že metrický prostor M je úplný, existuje lim n x n = x M. Protože ρ x, fx = lim n ρ x n+1, fx = lim n ρ fx n, fx K lim n ρ x n, x =, dostaneme x = fx. Nakonec dokážeme jednoznačnost řešení rovnice x = fx. Nechť jsou x a y dvě libovolná řešení dané rovnice. Pak platí ρ x, y = ρ fx, fy Kρ x, y. A protože K, 1 plyne z tohoto vztahu ρx, y =, tj. x = y. 1. Ukažte, že rovnice x = 1 + ε sin x, kde ε < 1 má právě jedno řešení. Řešení: Uvažujme funkci f : R R definované vztahem fx = 1 + ε sin x. Protože platí nerovnost fx fy = ε sin x sin y = ε cos x + y sin x y ε sin x y ε x y, 16

kde jsme v posledním vztahu použili nerovnost sin x < x, která platí pro x >, dává funkce fx kontrahující zobrazení R do R. Protože je R úplný metrický prostor, plyne existence a jednoznačnost řešení rovnice x = fx = 1 + ε sin x. Pomocí Věty 7. se často dokazuje existence a jednoznačnost řešení rovnic v mnohých případech. 13. Nalezněte funkci f, 1, která splňuje rovnici fx = x + 1 xtft dt. Řešení: Uvažujme zobrazení F :, 1, 1, které je definováno vztahem F fx = x + f g = sup x,1 1 F f F g = xtft dt. Metrika v prostoru, 1 je definována vztahem fx gx. Pak ale je sup x,1 1 t 1 sup x,1 xt ft gt 1 dt = t ft gt dt fx gx dt = f g 1 t dt = 1 f g, a tedy F je kontrahující zobrazení úplného metrického prostoru, 1 do sebe. Existuje tedy právě jedno řešení rovnice fx = x + 1 xtff dt. Toto řešení lze sestrojit postupnými aproximacemi podobně, jak jsme dokázali větu 7. Nechť f x =. Pak f 1 x = F f x = x. f x = F f 1 x = x + f 3 x = x + 1 x 1 + 1 3 1 xt dt = t dt = 1 + 1 x, 3 1 + 1 3 + 1 x. 9 n 1 1 Indukcí se ukáže, že f n x = x, a tedy fx = lim 3r f nx = x n r= r= 1 3 r = 3 x. 17

vičení 4. Limita a spojitost funkcí více proměnných Definice. Nechť M R m, f : M R n a a M. Řekneme, že limita funkce f v bodě a je rovna A, tj. lim x a fx = A, jestliže platí následující tvrzení: ε > δ > ; x ; < ρx, a < δ σfx, A < ε, kde ρ a σ jsou příslušné metriky v R m a R n. Ekvivalentní definice je: Pro každé okolí U bodu A existuje prstencové okolí P M bodu a takové, že pro každý bod x P je fx U. Je-li metrika σ generována některou z norem ν p, 1 p < [vičení ], stačí vyšetřovat limity jednotlivých složek funkce f, neboli stačí uvažovat limity zobrazení f : M R. Pro limitu funkce více proměnných platí podobné věty jako pro limitu funkce jedné proměnné, a to zejména: Nechť existují lim fx = A a lim gx = B. Pak platí x a x a 1 lim αfx = αa, kde α je reálná konstanta. x a [ ] lim fx ± gx = A ± B. x a [ ] 3 lim fx gx = A B. x a 4 Je-li B, pak lim x a fx gx = A B. Dále platí věta o sevření: Nechť na nějakém prstencovém okolí bodu a platí nerovnosti gx fx hx a nechť existují limity Pak existuje lim x a fx = A. pojitost funkcí více proměnných: lim gx = lim hx = A. x a x a Nechť M R m a a M. Pak se funkce f : M R n nazývá spojitá v bodě a, je-li: 1 a izolovaný bod nebo lim x a fx = fa. Funkce, která je spojitá v každém bodě množiny M, se nazývá spojitá na množině M. Limita složené funkce Nechť f : M N a g : N P, kde M R m, N R n a P R p, a lim fx = A, x a gy = B a existuje prstencové okolí P M bodu a takové, že x P je lim y A fx A, pak 18

lim g[ fx ] = B. 1 x a Vztah 1 platí také v případě, že funkce g je spojitá v bodě A. ln x + e y 1. Najděte limitu lim x,y 1, x + y. Řešení: Limitu daného výrazu najdeme jako podíl limit. Limita čitatele je lim ln x + e y = ln, x,y, protože funkce ln x, xa e x jsou spojité funkce. Z podobného důvodu je limita jmenovatele x + y = 1. Tedy hledaná limita je rovna ln. lim x,y, x + y. Najděte limitu lim x,y, 1 + x + y 1. Řešení: Jestliže dosadíme dostaneme vztah /. Jedná se tedy o neurčitý výraz. Ale funkce lze upravit lim x,y, x + y 1 + x + y 1 = lim x,y, x + y 1 + x + y + 1 1 + x + y 1 =. x y 3. Najděte limitu lim x,y, x + y. Řešení: Po dosazení dostaneme neurčitý výraz /. Ale protože x y = x xy + y, je x + y xy. Proto platí: A protože lim x,y, x y x + y x x + y x x + y =. x = je hledaná limita rovna. Vztah s dvojnými limitami Existuje-li vlastní limita lim fx, y = q a pro každé x z nějakého prstencového okolí bodu a existuje limita lim fx, y = ϕx, pak existuje také limita x,y a,b y b lim ϕx = q. x a Podobné tvrzení platí také pro lim fx, y = ψy a lim ψy = q. x a y b 19

Tedy existuje-li vlastní limita fx, y q pro x, y a, b a vnitřní limity, pak lim x,y a,b [ ] fx, y = lim lim fx, y = lim x a y b y b [ ] lim fx, y. x a Jestliže fx, y ϕx pro y b v M, tj. funkce konverguje v M stejnoměrně, a pro každé y b existuje lim x a fx, y = ψy, pak platí [ ] lim lim fx, y = lim x a y b y b [ ] lim fx, y. x a Jestliže lim fx, y = ϕx stejnoměrně v M a existuje-li lim ϕx = q, pak existuje y b x a také limita fx, y = q. lim x,y a,b x y 4. Ukažte, že lim x,y, x + y neexistuje. [ ] Řešení: Protože lim lim fx, y = 1 a lim x y dvojná limita. y [ ] lim fx, y x = 1, nemůže existovat x y 5. Ukažte, že lim x,y, x y neexistuje, ačkoliv + x y [ ] lim lim fx, y = lim x y y [ ] lim fx, y =. x x 4 Řešení: tačí najít limitu po přímce x = y. Ta je lim x x 4 = 1. 6. Najděte limitu lim x,y, x + y sin 1 x sin 1 y. Řešení: Pro žádné x neexistuje limx + y sin 1 y x sin 1. Ale protože je funkce y sin 1 x sin 1 y omezená a rovna nule. sin xy 7. Najděte limitu lim x,y,a x. Řešení: Hledanou limitu lze napsat ve tvaru lim y x,y,a lim x + y =, je hledaná limita rovna nule. limita x,y, sin xy = lim xy y x,y,a lim sin xy x,y,a xy sin xy = a lim. x,y,a xy

Protože je funkce F x = sin x x hledaná rovna a. pro x a F = 1 spojitá v bodě x =, je 8. Najděte limitu lim x + y x y x,y, Řešení: Protože je funkce e x spojitá, je lim x + y x y = exp lim x,y, x,y, x y ln x + y. Z rovností x xy + y plyne nerovnost xy x + y. Tedy x y x + y. Z této nerovnosti dostaneme x y ln x + y x + y ln x + y. Pomocí l Hospitalova pravidla se snadno ukáže, že lim x ln x =. A protože pro x + každé x, y, je x + y, je hledaná limita rovna e = 1. 9. Najděte body nespojitosti funkce fx, y = x + y x 3 + y 3. Řešení: Funkce fx, y má body nespojitosti na množině x 3 + y 3 =, tj. na přímce x + y =. Ale x + y x 3 + y 3 = 1 x xy + y. Protože v bodech [a; a], a, existuje lim x,y a, a těchto bodech odstranitelnou nespojitost. Na druhé straně je +, je v bodě [, ] nekonečná nespojitost. x y 1. Najděte lim x,y, x 4 + y. x + y x 3 + y 3 = 1, má funkce v 3a x + y lim x,y, x 3 + y 3 = Řešení: Jestliže budeme hledat limitu po přímkách y = kx, dostaneme lim x kx x + k. Tato limita je pro každé k rovna nule. Také po přímce x = je tato limita nulová. Tedy podél všech přímek jdoucích počátkem je tato limita rovna nule. Ale přesto tato limita není rovna nule a dokonce ani neexistuje, protože na parabole y = x je x y x 4 + y = 1. 1

vičení 5. Derivace podle vektoru. Derivace ve směru. Parciální derivace Nechť f : M R, kde M R n, x M a v R n. Definujme funkci F t = fx + vt. Derivací podle vektoru v funkce f v bodě x, značí se f vx, nazýváme derivaci funkce F t v bodě t =, tj. f vx = df. dt t= Obecně platí f αvx = αf vx, ale nemusí platit rovnost f v 1 +v x = f v 1 x + f v x. Je-li v jednotkový vektor, tj. v = v 1 + v + + v n = 1, udává takový vektor směr v R n a derivace podle takového vektoru se nazývá derivace ve směru v. V R 3 se často pro takové vektory používají směrové kosiny v = cos α, cos β, cos γ, kde cos α + cos β + cos γ = 1. Úhly α, β a γ jsou úhlu, které svírá vektor v se souřadnicovými osami Ox, Oy a Oz. Ve speciálním případě, když je směr rovnoběžný s i tou souřadnicovou osou, tj. v = e i, se derivace v tomto směru nazývá parciální derivace podle x i a značí se f ei x = f x i x = f i x. x 1. Pro funkci fx, y = x + y 1 arcsin y najděte f xx, 1. Řešení: Parciální derivaci funkce fx, y podle proměnné x v bodě x, 1 počítáme tak, že nejprve položíme y = 1 a funkci jedné proměnné F x = fx, 1 derivujeme podle x. V našem případě je F x = x, a tedy f xx, 1 = F x = 1.. Najděte derivaci funkce fx, y = x xy + y v bodě M = [1; 1], ve směru v, který svírá s kladným směrem osy Ox úhel α. Ve kterém směru je tato derivace: a největší; b nejmenší; c rovna nule? Řešení: Jak je známo, má v rovině směrový vektor v, který svírá s kladným směrem osy úhel α souřadnice v = cos α, sin α, α, π. Abychom našli derivaci dané funkce v bodě [1; 1] ve směru vektoru v, sestrojíme funkci jedné proměnné F t = f1 + t cos α, 1 + t sin α a najdeme její derivaci v bodě t =. V našem případě je F t = 1 + t cos α 1 + t cos α1 + t sin α + 1 + t sin α. Protože její derivace v bodě t = je F = f v1, 1 = cos α + sin α. Protože funkce fx, y má na celém R spojité obě parciální derivace má diferenciál. Proto jsme mohli směrovou derivaci počítat podle vztahu f v = f 11, 1 cos α + f 1, 1 sin α = grad f1, 1 v. Protože f 11, 1 = f 1, 1 = 1, dostali bychom opět f v1, 1 = cos α + sin α. V případě a, resp. b, je najím úkolem najít maximum, resp. minimum, funkce F α = cos α + sin α na množině α, π. Protože je F α = sin α + cos α

nabývá tato funkce extrém v jednom z bodů α =, α = π, α = π 4 nebo α = 5 4 π. Protože je F = F π = 1, F π/4 = a F 5π/4 = je maximum této funkce ve směru α = π 4 a minimum ve směru α = 5 π. Všimněte si, že jsou to 4 směry rovnoběžné se směrem gradientu funkce fx, y v bodě [1; 1]. Derivace je nulová ve směru α = 3 4 π a α = 7 π, což jsou směry kolmé na směr 4 gradientu funkce fx, y v bodě [1; 1]. xyx + y 3. Najděte derivaci funkce fx, y = x + y pro x + y a f, = v bodě M = [; ] podle vektorů e 1 = 1,, e =, 1 a v = e 1 + e = 1, 1. Řešení: Podle definice je f x, fx, f, = lim = x x f y, f, y f, lim = y y f v, = lim t ft, t f, t Tedy v tomto případě je f v, v grad f,. t 3 = lim t t 3 = 1. 4. Ukažte, že funkce fx, y = x y 4 x 4 + y 8 pro x + y a f, = není spojitá v bodě M = [; ]. Najděte její derivaci podle vektoru v = v 1, v v bodě M. x y 4 Řešení: Protože lim lim x y x 4 + y 8 =, musí být limita, jestliže existuje, rovna nule. Ale na parabole x = y je fy, y = 1. Proto limita funkce fx, y v bodě M = [; ] neexistuje, a tedy funkce není v bodě M spojitá. Derivaci této funkce podle vektoru v = v 1, v v bodě M = [; ] najdeme podle definice. Podle ní je f v, f v1 t, v t v = lim = lim 1v t 4 6 t t t t v v1 4t4 + v 8 = lim 1v t 4 t8 t v1 4 + =. v8 t4 Tedy daná funkce má v bodě M = [; ] derivace podle každého vektoru. Dokonce platí f v, = v grad f,, ale přesto není tato funkce v bodě M spojitá. Najděte parciální derivace následujících funkcí: 5. u = x x + y 6. u = x y, x > 7. u = arctg y x 8. u = arcsin x x + y 3

9. u = 1 x + y + z 1. u = x yz Řešení: 5. u x = x + y, xy 3/ u y = x + y. 3/ y 6. u x = yx y 1 ; u y = x y ln x. 7. u x = y x + y, x u y = x + y. 8. u x = y x + y, u y = x sgn y x + y. 9. u x x = x + y + z, y 3/ u y = x + y + z, z 3/ u z = x + y + z. 3/ 1. u x = y z x yz 1, u y = uzy z 1 ln x, u z = uy z ln x ln y. 4

vičení 6. Totální diferenciál Definice: Nechť f : M R, kde M R n, a M a h R n. Jestliže existují čísla A i, i = 1,,..., n taková, že fa + h fa = A 1 h 1 + A h + + A n h n + ηh, ηh kde lim =, říkáme, že funkce fx má totální diferenciál v bodě a. Totální h h diferenciálem funkce fx v bodě a je pak lineární funkce proměnné h dfa; h = n A i h i = A 1 h 1 + A h + + A n h n. 1 i=1 Funkce, která má diferenciál v bodě a se nazývá diferencovatelná v bodě a. Věta: Má-li funkce fx v bodě a totální diferenciál, je dfa; h = f x 1 ah 1 + f x ah + + f x n ah n. Často se píše místo h i v 1 dx i a pak dfa; dx = f x 1 a dx 1 + f x a dx + + f x n a dx n. Definice: Je-li f : M R n, kde fx = f 1 x,..., f n x nazýváme tuto funkci diferencovatelnou v bodě a, je-li diferencovatelná v bodě a každá funkce f i, i = 1,,..., n. Definice: Funkce, která je diferencovatelná v každém bodě množiny M se nazývá diferencovatelná na množině M. Věta: Má-li funkce fx v bodě a totální diferenciál, je v tomto bodě spojitá. Věta: Jsou-li všechny parciální derivace f x i, i = 1,,..., n, spojité v bodě a, je funkce fx diferencovatelná v bodě a. Věta: Je-li funkce diferencovatelná v bodě a, pak pro každé v = v 1, v,..., v platí n f va f = av i. x i i=1 5

Definice: Nechť funkce f : M R n je diferencovatelná na množině M. Pak vektorovou funkci f grad fx =, f,..., f x 1 x x n nazýváme gradient funkce f. Vztah pak lze psát jako f v a = grad fa v, kde násobení znamená skalární součin. Definice: Má-li funkce fx spojité všechny parciální derivace v otevřené množině M, říkáme, že je funkce fx třídy 1 na množině M; značí se f 1 M. Najděte totální diferenciály funkcí 1. u = x m y n. u = ln x + y 3. u = z x + y. Řešení: 1. Protože parciální derivace u x = mx m 1 y n a u y = nx m y n 1 jsou spojité v celém R diferenciál funkce u = x m y n existuje a je du = mx m 1 y n dx + nx m y n 1 dy.. Parciální derivace jsou u x xx, y = x + y a y u yx, y = x. Tyto parciální + y derivace jsou spojité na množině M = R \ {[; ]}. Proto je diferenciál du = x dx + y dy x + y na M. V bodě [; ] není funkce ux, y spojitá, a proto nemá v tomto bodě diferenciál. 3. Parciální derivace u xx, y, z = xz x + y, u yx, y, z = yz x + y, u zx, y, z = 1 x + y jsou spojité na množině M = R 3 \ N, kde N = { [; ; z], z R }. Proto je diferenciál funkce ux, y, z roven du = xz dx + yz dy x + y + dz x na množině M. V + y bodech množiny N není funkce ux, y, z spojitá, a proto v těchto bodech diferenciál neexistuje. 4. Najděte totální diferenciál funkce fx, y = f, =. xy x + y Řešení: Na množině R \ { [; ] } jsou parciální derivace f xx, y = pro [x; y] [; ] a y 3 x + y 3/ a f yx, y = x 3 x + y 3/ spojité. Proto v bodech této množiny existuje diferenciál funkce fx, y a je roven df = y3 dx + x 3 dy x + y 3/. 6

Hledejme diferenciál funkce fx, y v bodě [; ]. Protože parciální derivace v bodě fx, y =. Ale x + y [; ] existují a f x, = f y, =, musí být lim [x;y] [;] lim [x;y] [;] xy x + y neexistuje; například ze směru y = je tato limita rovna nule, kdežto ze směru x = y je rovna 1. Tedy diferenciál funkce fx, y v bodě [x; y] = [; ] neexistuje. Geometrický význam diferenciálu Diferencovatelné zobrazení f : M R 3, kde M R, definuje za jistých předpokladů křivku v R 3. Představte si parametr t jako čas. Pak rovnice x = f 1 t, y = f t a z = f 3 t udávají polohu bodu v čase t v prostoru. Měníme-li parametr t, dostaneme křivku, po níž se pohybuje daný bod. df1 Tečný vektor k takto dané křivce je t = dt, df dt, df 3 a parametrické rovnice dt tečny v bodě x, y, z = ft jsou kde t je parametr, resp. x = x + t df 1 dt t y = y + t df dt t z = z + t df 3 dt t, x x f 1 t = y y f t = z z f 3 t. Normálová rovina v tomto bodě má rovnici df 1 dt t x x + df dt t y y + df 3 dt t z z =. V definici totálního diferenciálu jsme se vlastně pokusili nahradit v jistém smyslu nejlépe graf funkce fx v bodě a tečnou nadrovinou. Jestliže tečná nadrovina v bodě a existovala, nazvali jsme funkci diferencovatelnou v bodě a. Jestliže se omezím na plochy, které jsou dány jako graf funkce dvou proměnných, tj. z = fx, y, je rovnice tečné roviny ke grafu této funkce v bodě x = [ x ; y ; z ] = [ x ; y ; fx, y ] dána rovnicí z z = f x x, y x x + f y x, y y y. 7

Obecně v prostoru R n je rovnice tečné nadroviny ke grafu funkce y = fx v bodě a dána rovnicí n f y fa = a x i a i. x i Rovnice normály k takové ploše je v případě R 3 dána rovnicemi i=1 z z 1 = x x f xx, y = y y f yx, y a v obecném případě R n y fa 1 = x 1 a 1 f 1 a = x a f a = = x n a n f na. 5. Najděte tečnu a normálovou rovinu ke křivce dané parametrickými rovnicemi x = a sin t, y = b sin t cos t, z = c cos t v bodě t = π 4. Řešení: Tečnu budeme hledat v bodě [ x ; y ; z ] = [ a/; b/; c/ ]. Protože x t = a sin t, y t = b cos t, z t = c sin t, je tečný vektor k dané křivce v bodě [ x ; y ; z ] úměrný vektoru t = a,, c. Tedy parametrické rovnice tečny jsou x = a 1 + t, y = b, z = c 1 t. Normálová rovina má proto rovnici t x x =, tedy ax cx = a c. 6. Najděte tečnou rovinu a normálu ke grafu funkce z = arctg y x v bodě M = [1; 1;?]. Řešení: Nejprve nalezneme bod dotyku. Z rovnice grafu funkce plyne, že z = π 4. Protože parciální derivace z xx, y y = x + y, resp. x z yx, y = x + y, jsou v bodě dotyku z x1, 1 = 1, resp. z y1, 1 = 1, je rovnice tečné roviny v tomto bodě z π 4 = 1 x 1 + 1 y 1, tj. x y + 4z = π. Normálový vektor v bodě [ ] x ; y ; z je rovnoběžný s vektorem, kolmým k tečné rovině, tj. n = 1, 1,. Tedy normála má parametrické rovnice x = 1+t, y = 1 t, z = π 4 + t. 8

vičení 7 Derivace složené funkce Věta: Nechť f : M N a g : N P, kde M R m, N R n a P R p, jsou diferencovatelné. Pak je na M diferencovatelná funkce h = g f a platí dh i = m n k=1 j=1 g i y j fx f j x k x dx k. Jako zvláštní případ tohoto vztahu je derivace složené funkce, tj. f : M N a g : N R. Jsou-li funkce f a g diferencovatelné, pak je složená funkce hx = g fx diferencovatelná a platí h x i = n j=1 g y j fx f j x i. Najděte parciální derivace funkcí 1. u = ft t = y x. u = fξ, η ξ = x + y, η = x y x 3. u = f y, y z 4. u = fξ, η, ζ ξ = x + y, η = x y, ζ = xy Řešení: y 1. V tomto případě je funkce u funkcí dvou proměnných tvaru ux, y = f. x Podle věty o derivaci složené funkce je u xx, y = y x f t a u yx, y = 1 x f t, kde t = y x.. Jedná se o funkci dvou proměnných ux, y = fx + y, x y. Podle věty o derivaci složené funkce je u xx, y = f ξ x + y, x y + f ηx + y, x y a u yx, y = f ξ x + y, x y f ηx + y, x y. 3. Funkce u je funkcí tří proměnných. Věta o derivaci složené funkce dává u xx, y, z = 1 x y f 1 y, y, z u yx, y, z = x x y f 1 y, y + 1 x z z f y, y, z u zx, y, z = y x z f y, y. z 9

4. Funkce u je funkcí dvou proměnných. Podle věty o derivaci složené funkce je u xx, y = xf 1 + xf + yf 3, u y x, y = yf 1 yf + xf 3. 5. Nechť je funkce fx, y diferencovatelná. Definujme funkce F r, ϕ = fr cos ϕ, r sin ϕ. V podstatě jde o transformaci funkce do polárních souřadnic, tj. transformaci x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Najděte vztah mezi parciálními derivacemi funkcí fx, y a F r, ϕ Řešení: Jedna z možností je tato dfx, y = f f F dx + dy = df r, ϕ = x y r Z definičních vztahů plyne pro diferenciály F dr + dϕ. 1 ϕ dx = cos ϕ dr r sin ϕ dϕ, dy = sin ϕ dr + r cos ϕ dϕ. Když tyto vztahy dosadíme do 1, dostaneme f xcos ϕ dr r sin ϕ dϕ + f ysin ϕ dr + r cos ϕ dϕ = = f x cos ϕ + f y sin ϕ dr + rf x sin ϕ + rf y cos ϕ dϕ = F r dr + F ϕ dϕ. Z této rovnice pak získáme soustavu rovnic F r = f x cos ϕ + f y sin ϕ F ϕ = rf x sin ϕ + rf y sin ϕ. Řešením této soustavy dostaneme f x = F r cos ϕ sin ϕ r f y = F r sin ϕ + cos ϕ r Možná že by bylo dobré si všimnout, že jsme museli řešit soustavu rovnic. Jak si asi nepamatujete, má tato soustava rovnic právě jedno řešení, je-li determinant této soustavy různý od nuly. Tento determinant x r J = x ϕ y r y = r ϕ se nazývá jakobián zobrazení a aby byla transformace jistým způsobem rozumná, musí být jakobián nenulový, viz dále regulární zobrazení nebo implicitní funkce. F ϕ F ϕ 3

y 6. Ukažte, že funkce z = x n f x, kde f je libovolná diferencovatelná funkce, splňuje rovnici x z z + y x y = nz. Řešení: z x = nx n 1 f x n 3 yf, z y = x n f. 7. Ukažte, že funkce z = y + ϕxy, kde ϕ je diferencovatelná funkce, splňuje 3x rovnici x z z xy x y + y =. Řešení: z x = y 3x + yϕ, z y = y 3x + xϕ. 8. Ukažte, že pro každou diferencovatelnou funkci ϕ je funkce u = x n ϕ řešením diferenciální rovnice x u u u + αy + βz x y z = nu y x α, z x β Řešení: u x = nx n 1 ϕ αx n α 1 yϕ 1 βx n β 1 zϕ ; u y = x n α ϕ 1, u z = x n β ϕ. 9. Nechť l 1 = cos α 1, cos β 1, cos γ 1 l = cos α, cos β, cos γ l 3 = cos α 3, cos β 3, cos γ 3 jsou navzájem ortonormální vektory, tj. l i l j = δ ij, kde δ ij = pro i j a δ ij = 1 pro i = j, je tzv. Kroneckerovo delta. Ukažte, že platí f l1 + f l + f l3 = f x + f y + f z 3 Řešení: f li = A ij f j, kde A = cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α cos β cos γ je ortogonální matice. j=1 cos α 3 cos β 3 cos γ 3 1. Najděte funkci z = zx, y, která je řešením rovnice z y = x + y a splňuje podmínku zx, x = 1. Řešení: Funkce zx, y musí mít tvar zx, y = x + y dy + fx = x y + y + fx, kde fx je funkce pouze proměnné x. Z podmínky z x, x = x 4 +x 4 fx = 1 plyne, že fx = x 4 1. Tedy zx, y = x y + y x 4 + 1. 31

vičení 8 Parciální derivace a diferenciály vyšších řádů Nechť f : M R, M R n a x M f. Má-li funkce f parciální derivaci x i na množině M, pak se můžeme pokusit najít parciální derivaci funkce f podle x i f proměnné x j, tj. funkce = f. I když existují druhé parciální x j x i x j x i f derivace neplatí obecně rovnost = f. Ale platí následující x j x i x i x j f Věta: Nechť je f funkce n proměnných. Nechť existují a f v nějakém okolí x i x j f Ua, ε bodu a a nechť je derivace spojitá v bodě a. Pak existuje v x j x i f bodě a také derivace a platí rovnost x i x j f = f. x j x i x i x j Má-li funkce f v nějakém okolí bodu a derivaci řádu n 1, definuje derivace řádu n rekurentně vztahem n 1 f = x in x in 1... x i1 n f x in x in 1... x i1, pokud derivace vlevo existuje doufám, že je jasné, co tím myslím. Zhruba řečeno, platí tato n 1 f x in 1... x i1, pak se Věta: Jsou-li všechny parciální derivace funkce f, které počítáme, v bodě a spojité, nezávisí výsledek parciálního derivování na pořadí, ve kterém derivujeme. Definice: Nechť f je funkce definovaná na otevřené množině M R n, která na M má spojité všechny parciální derivace až do řádu k. Pak tuto funkci nazveme funkcí třídy k na množině M; značí se f k M. Je-li funkce f k M pro každé k N, říkáme, že f je třídy na množině M, f M. Definice: Nechť k 1. Budeme říkat, že funkce n proměnných f má v bodě a totální diferenciál k tého řádu, pokud platí toto: 1 Všechny parciální derivace funkce f všech řádů m, m k, mají totální diferenciál prvního řádu v nějakém okolí bodu a. Všechny parciální derivace funkce f řádu k 1 mají totální diferenciál prvního řádu v bodě a. 3

Má-li funkce f totální diferenciál řádu k, pak jej značíme d k fx; h a definujeme jej vztahem d k fx; h = i 1,...,i n i 1 + +i n =k k! i 1!... i n! k fx x i 1 1... x i h i 1 1... h i n n n = n i=1 k h i fx. x i peciálně je-li f funkce dvou proměnných, tj. f = fx, y, která má totální diferenciál k tého řádu, je d k fx, y; h 1, h = k i= k k fx, y i x i y k i hi 1h k i. Věta: Je-li f k M, má totální diferenciál řádu k v každém bodě množiny M. Najděte totální diferenciály prvního a druhého řádu pro funkce 1. u = x m y n. u = e xy 3. u = XxY y 4. u = xy + yz + xz Řešení: 1. Protože parciální derivace jsou u x = mx m 1 y n, u y = nx m y n 1, u xx = mm 1x m y n, u xy = mnx m 1 y n 1 a u yy = nn 1x m y n jsou spojité v celém R existuje diferenciál prvního i druhého řádu a jsou du = mx m 1 y n dx + nx m y n 1 dy, d u = mm 1x m y n dx + mnx m 1 y n 1 dxdy + nn 1x m y n dy.. Parciální derivace funkce ux, y jsou y x = ye xy, u y = xe xy, u xx = y e xy, u xy = 1 + xye xy a u yy = x e xy. Protože jsou spojité na celém R existují diferenciály prvního a druhého řádu a jsou du = e xy y dx + x dy, d u = e xy y dx + xy + 1 dx dy + x dy. 3. Jestliže předpokládáme, že funkce Xx a Y y mají derivace druhého řádu, pak jsou parciální derivace funkce ux, y rovny u x = X xy y, u y = XxY y, u xx = X xy y, u xy = X xy y a u yy = XxY y. Omezíme se na množinu M R, kde mají funkce Xx a Y y derivace druhého řádu. Pak pro každý bod [ x ; y ] M existují okolí J, resp. K bodu x, resp. y, taková, že funkce Xx, resp. Y y mají na těchto okolích derivace prvního řádu, které jsou spojité v bodě x, resp. y, a proto na okolích J, resp. K omezené. Z Taylorovy věty pak 33

plyne, že pro každé x J a y K je Xx + h = Xx + X xh + hηx, h a Y y + k = Y y + Y yk + kωy, k, kde lim ηx, h = lim ωy, k =. Pak h k je ale ux + h, y + k ux, y = Xx + hy y + k XxY y = X xy yh + XxY yk+ h + k ψx, y; h, k, kde ψx, y; h, k =. Tedy pro každé lim h,k, x, y z jistého okolí bodu [ ] x ; y M existuje diferenciál prvního řádu du = X xy y dx + XxY y dy. Ještě musíme ukázat, že funkce u xx, y = X xy y a u yx, y = XxY y mají diferenciál prvního řádu v bodě [ ] x ; y M. Protože jsme předpokládali, že funkce Xx má v bodě x J derivaci druhého řádu, platí podle Taylorovy věty X x + h X x = X x h + hηx, h, kde lim ηx, h =. Jestliže h tento vztah násobíme rovností Y y + k = Y y + Y y k + kωy, k, který jsme odvodili dříve, zjistíme, že parciální derivace u xx, y má v bodě [ ] x ; y diferenciál prvního řádu. Podobně se ukáže, že v bodě [ ] x, y existuje diferenciál parciální derivace u yx, y. Tedy funkce ux, y má na množině M diferenciál druhého řádu, který je d u = X xy y dx + X xy y dx dy + XxY y dy. 4. Parciální derivace funkce ux, y, z jsou u x = y + z, u y = x + z, u z = x + y, u xx = u yy = u zz = a u xy = u xz = u yz = 1. Protože jsou spojité na celém R 3 existují diferenciály prvního i druhého řádu a jsou du = y + z dx + x + z dy + x + y dz, d u = dx dy + dx dz + dy dz. Najděte 5. 6. 3 u x y 3 u x y z pro funkci u = x lnxy pro funkci u = e xyz Řešení: 5. Definiční obor funkce ux, y je množina M = { x, y R ; xy > }. Na této množině jsou všechny parciální derivace funkce ux, y spojité, a proto můžeme derivovat v libovolném pořadí. Postupně dostaneme: u yx, y = x y, u xyx, y = 1 y a u xxyx, y =. 6. Definiční obor funkce ux, y, z je celá množina R 3 na funkce má na R 3 spojité parciální derivace všech řádů. Proto lze derivovat v libovolném pořadí. Pak dostaneme u xx, y, z = yze xyz, u xyx, y, z = z + xyz e xyz a u xyzx, y, z = 1 + 3xyz + x y z e xyz. Najděte 7. d 3 u pro funkci u = sin x + y 8. d 3 u pro funkci u = ln x x y y z z 34

Řešení: 7. Definiční obor funkce ux, y je celá rovina R a funkce má na ní spojité všechny parciální derivace. Postupně dostaneme du = cos x + y xdx + ydy, d u = 4 sin x + y xdx + ydy + cos x + y dx + dx a d 3 u = 8 cosx + y x dx + y dy 3 1 sinx + y x dx + y dy dx + dy. 8. Funkce ux, y, z má na celém svém definičním oboru x >, y > a z > spojité parciální derivace všech řádů. Proto má diferenciál libovolného řádu. Postupně dostaneme du = 1 + ln xdx + 1 + ln ydy + 1 + ln zdz, d u = dx x a d 3 u = dx3 x dy3 y dz3 z. + dy y + dz z 9. Ověřte, že funkce ux, t = ϕx at + ψx + at, kde ϕ a ψ jsou dvakrát diferencovatelné funkce, je řešením vlnové rovnice u t = a u x. Řešení: Protože funkce jedné proměnné ϕx a ψx mají podle předpokladu derivace druhého řádu a funkce vx, t = x at a wx, t = x + at mají derivace všech řádů na celém R, má i funkce ux, t parciální derivace druhého řádu. Ty jsou u xx, t = ϕ x at + ψ x + at, u tx, t = aϕ x at + aψ x + at, u xxx, t = ϕ x at + ψ x + at a u tt = a ϕ x at + ψ x + at. 1. Ověřte, že funkce ux, y = xϕx + y + yψx + y, kde ϕ a ψ jsou dvakrát diferencovatelné funkce, je řešením rovnice u x u x y + u y =. Řešení: Protože funkce jedné proměnné ϕx a ψx mají podle předpokladu derivace druhého řádu a funkce vx, y = x+y má derivace všech řádů na celém R, má i funkce ux, y parciální derivace druhého řádu. Ty jsou u xx, y = xϕ x + y + yψ x+y+ϕx+y, u yx, y = xϕ x+y+yψ x+y+ψx+y, u xxx, y = xϕ x+ y+yψ x+y+ϕ x+y, u xyx, y = xϕ x+y+yψ x+y+ϕ x+y+ψ x+y, u yyx, y = xϕ x + y + yψ x + y + ψ x + y. 11. Ověřte, že funkce ux, y = ϕ x+ψy, kde ϕ a ψ jsou dvakrát diferencovatelné funkce, vyhovuje rovnici u x u x y = u y u x. Řešení: Podle předpokladů mají funkce jedné proměnné ϕx a ψy derivace druhého řádu. Proto má funkce ux, y také parciální derivace prvního a druhého řádu. Ty jsou u xx, y = ϕ x + ψy, u yx, y = ψ y ϕ x + ψy, u xxx, y = ϕ x + ψy, u xyx, y = ψ y ϕ x + ψy. 35

vičení 9 Taylorova věta. Implicitní funkce. Věta: Nechť je fx v nějakém okolí Ua bodu a třídy n+1. Pak pro h takové, že a + h Ua lze psát: fa + h = n i= 1 i! di fa; h + 1 n + 1! dn+1 fa + Θ n h, 1 kde Θ n, 1. Jestliže Taylorova řada lim n dn fa; x a =, pak lze funkci zapsat pomocí mocninné řady, fx = n= 1 n! dn fa; x a. Je-li a =, nazývá se tato Taylorova MacLaurinovou řadou. Taylorův, resp. MacLaurinův, rozvoj slouží k přibližnému vyjádření funkce fx, 1. Najděte přírůstek funkce fx, y = x y + xy xy při změně bodu A = [1; 1] k bodu B = [1 + h; 1 + k]. Řešení: Protože podle definice je fx, y; k; h = fx+h, y +k fx, y dostaneme po úpravách f = h 3k hk h + k + h k + hk.. Odvoďte přibližné vyjádření pro malé x a y do členů druhého řádu včetně pro funkce a cos x 1 + x + y ; b arctg cos y 1 x + y. Řešení: K řešení použijeme vztah 1, kde položíme x =,, h = x, y a n =. a Funkce fx, y má v okolí bodu, spojité parciální derivace všech řádů. Proto v tomto bodě existují její diferenciály. Parciální derivace jsou f xx, y = sin x cos y, f yx, cos x sin y y = cos, f y xxx, y = cos x cos y, f xyx, sin x sin y y = cos a f y yyx, y = cos x1 + sin y cos 3. Tedy diferenciály jsou df, ; x, y = a d f, ; x, y = x + y y. Protože f, = 1 je hledaný rozvoj cos x cos y 1 x + y. b Funkce má v okolí bodu, spojité parciální derivace všech řádů, a tedy i všechny diferenciály. Parciální derivace jsou f xx, y = 1 + y x + 1 + y, f yx, y = 36 x x + 1 + y,

f xxx, y = x1 + y x + 1 + y, f xyx, y = x 1 + y x + 1 + y, f yyx, y = x1 + y x + 1 + y. Tedy diferenciály v bodě, jsou df, ; x, y = x a d f, ; x, y = xy. A protože f, = π 4 je hledaný rozvoj fx, y π 4 + x xy. 3. Napište první tři členy MacLaurinovy řady funkce fx, y = 1 1 + x ty dt. Řešení: Integrovanou funkci ϕx, y, t = 1 + x ty rozvineme do MacLaurinovy řady v proměnných x a y. Protože ϕ x = t y1 + x ty 1, ϕ y = t 1 + x ty ln1 + x, ϕ xx = t yt y 11+x t y, ϕ xy = t 1+x t y 1 +t 4 y1+x t y 1 ln1+x, ϕ yy = t 4 1 + x ty ln 1 + x, ϕ xxx = t yt y 1t y 1 + x t y 3, ϕ xxy = t t y 11+x t y +t yt y 11+x t y ln1+x, ϕ xyy = t 6 y1+x t y 1 ln 1+x+ t 4 1+x t y 1 ln1+x a ϕ yyy = t 6 1+x ty ln 3 1+x. Z těchto parciálních derivací v bodě, dostaneme dϕ, ; x, y =, d ϕ, ; x, y = t xy a d 3 ϕ, ; x, y = 3t x y. Tedy rozvoj integrované funkce do třetího řádu v proměnných x a y je ϕx, y, t 1 + t xy t x y. Integrací pak získáme fx, y 1 + 1 3 xy 1 6 x y. Implicitní funkce 1. Problém implicitních funkcí spočívá v této úloze: Je dáno k funkcí n+k proměnných. Máme zjistit, zda existuje řešení rovnic F 1 x 1,..., x n, y 1,..., y k = F x 1,..., x n, y 1,..., y k =... F k x 1,..., x n, y 1,..., y k = 1 V podstatě se ptáme, kdy jsou soustavou rovnic 1 jednoznačně určeny funkce y 1 = f 1 x 1,..., x n... y k = f k x 1,..., x n Platí tato 37