Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky matice a provést Gaussovu eliminaci. Nenulové řádky pak tvoří bázi V (el. transformace nemění lin. obal). Pokud bychom ale měli vybrat bázi z M, výše uvedený postup nemusí fungovat. I kdybychom si označili řádky a v průběhu úprav pamatovali, jak jsme je přehazovali, k přehození řádku by mohlo dojít i nevědomky (vyměnit dva řádky lze pomocí el. transformací). Na konci bychom mohli do báze vybrat vektor, který není lin. nezávislý na ostatních. Jednou možností, jak toto řešit, je řádky nepřehazovat a v každém kroku GEM postupovat od horních vektorů ke spodním. Druhou možností je vyjít z hledání koeficientů pro lin. (ne)závislost. a u +... + a n u n = u n Zapíšeme si vektory u,..., u n do sloupců a budeme upravovat matici, jako bychom se snažili zjistit koeficienty lin. kombinace, která dává nulový vektor. u... Gauss. Ve chvíli, kdy máme schodovitý tvar, vykoukáme, které vektory lze vybrat do báze. Jsou to právě ty, v jejichž sloupci se tvoří schod. Protože pomocí nich lze nagenerovat sloupce, kde schod není. Úpravami jsme totiž neovlivnili pořadí sloupců a ty tedy odpovídají vektorům ve výchozí matici, tj. generátorům, z nichž vybíráme. Příklad. Vyberte bázi M z M = {(; ; ; ), (; ; 7; 8), (; ; ; ), (; ; 9; )}. (Jsme v R nad R.) 7 9 8 7 Vidíme, že. sloupec je lin. kombinací prvního a druhého. Řešením tedy je například báze B = {(; ; ; ), (; ; 7; 8), (; ; 9; )}. Vlastně řešením je každá trojice sloupců ve výchozí matici kromě trojice složené z.,. a. sloupce.
Báze průniku Mějme dva vekt. prostory U a V (nad tělesem T ). Představme si, že potřebujeme zjistit jejich průnik. Tzn. potřebujeme bázi průniku (což je sám o sobě vekt. prostor, jak jsme si říkali dříve). Ukážeme si, jak na to. Nechť báze U je {u,..., u n }, báze V je {v,..., v m }. Průnik si označme W = U V. (w W ) (w U w V ) Neboli lze vektor w vyjádřit v obou bázích (samozřejmě s jinými koeficienty). w = x u +... + x n u n = y v +... + y m v m Převedením na jednu stranu dostaneme x u +... + x n u n y v... y m v m = w w = o Řešíme vlastně homogenní soustavu rovnic. Jenom musíme mít na pozoru, že při jejím sestavování píšeme vektory do sloupců (obdobně jako při počítání lin. kombinací/zjišťování LNZ). Řešením homogenní soustavy jsou pak vektory, jejichž složky udávají koeficienty lineární kombinace - tj. říkají nám, jak máme poskládat vektory z bází, abychom byli v průniku. Tím dostaneme množinu generátorů průniku, kterou je případně třeba zúžit na bázi. Konkrétní příklady dále názorně vysvětlí, o čem byla řeč. Příklad. Mějme dva vektorové podprostory v (Z ). U = (; ; ; ), (; ; ; ) (zkráceně označme vektory u a u ) V = (; ; ; ), (; ; ; ), (; ; ; ) (zkráceně v, v a v ) Jejich průnik W = U V je tedy podprostor v (Z ) a každý w W lze vyjádřit přes {u, u } a {v, v, v }. (w leží v průniku leží v každém z prostorů) w = au + bu = cv + dv + ev w = a u + b u = c v + d v + e v w = a + b = c Převedením na jednu stranu dostaneme a + b c d + d e + e =
Neboli homogenní soustavu (vektory z V jsou s opačným znaménkem) Vyřešíme tuto soustavu Máme tedy prostor řešení (; ; ; ; ), (; ; ; ; ). Označme z, z. Takže koeficienty a, b, c, d, e jsou souřadnice vektoru z z, z. Např. platí + } {{ } W = + + } {{ } W K obecnému popisu průniku U V tedy můžeme použít jednu sadu bázových vektorů (u-čka nebo v-čka). Pro ukázku si to ale uděláme pro obě. Průnik je dvoudimenzionální a je generován dvojicí vektorů u + u = a u + u = Použili jsme první dvě souřadnice z a z (z, z jsou LNZ a jejich první dvě složky odpovídají koeficientům pro bázové vektory U). Použitím vektorů báze V dojdeme ke stejnému výsledku v + v + v = a v + v + v = Zde jsme použili poslední tři souřadnice z a z (odpovídající koeficientům pro bázové vektory V ). Skutečně tedy dostáváme stejný prostor (ať použijeme bázi U či V ) U V = (; ; ; ), (; ; ; ) = (; ; ; ), (; ; ; )
Příklad. Zjistíme průnik prostorů U a V jako podprostorů (Z 7 ). (,,,, ) (,,,, ) U = (,,,, ) (,,,, ) (,,,, ) (,,,, ) V = (,,,, ) (,,,, ) Nemusíme ověřovat, jestli máme přímo bázi nebo jenom množinu generátorů, pokud na konci provedeme kontrolu. Postupujme jako výše - napíšeme si vektor z průniku jako kombinaci generujících vektorů (zapsány do sloupce), což nám dá homogenní soustavu rovnic (opět musíme pamatovat na to, že jednu skupinu vektorů bereme s opačným znaménkem). Tuto soustavu vyřešíme: Prostor řešení soustavy je generován třemi vektory z = (,,,,,,, ) z 7 = (,,,,,,, ) z 8 = (,,,,,,, ) Všimněme si, že nepotřebujeme dopočítávat první souřadnice (u prvního vektoru jsme to provedli pro kontrolu) - stačí nám totiž koeficienty u vektorů jen jedné báze, tj. stačí hodnoty na posledních čtyřech pozicích. Teď můžeme poskládat generátory průniku (U a V ); získáme je z báze V a vypočtených koeficientů. + =, + = + =
Protože jsme ale na začátku neověřovali, jestli v zadání byla báze (nebo jen množina generátorů, která nemusela být LNZ), tímto postupem jsme dostali generátory průniku - abychom dostali bázi, musíme vyloučit případně lineárně závislé vektory. Tedy provedeme poslední úkon: najdeme bázi. Jsme hotovi - můžeme (s velkou slávou) prohlásit, že: (,,,, ) U V = (,,,, )