4 NÁHODNÝ VEKTOR Čs ke studu kptol: 6 mnut Cíl: o prostudování této kptol udete umět popst náhodný vektor eho sdružené rozdělení vsvětlt pom mrgnální podmíněné rozdělení prvděpodonost popst stochstckou nezávslost náhodných velčn - 4 -
růvodce studem: V předcházeící kptole sme se seznáml s popsem náhodné velčn. Nní se změříme n závžněší komplkovněší prolém kterým e hledání zkoumání hodnocení závslost mez dvěm více náhodným velčnm. K poznání mtemtckému popsu těchto závslost slouží metod regresní korelční nlýz. Výkld: 4.. Náhodný vektor Jsou stuce kd e př náhodném pokusu získáno několk velčn. Npříkld můžeme měřt pouze teplotu le tké celý vektor meteorologckých velčn výšk tlk teplot rosný od. Neo př volě Mss ČR sou ednotlvé krásk popsán trocí čísel npř. 9 6 95. Kždé z těchto čísel e smo o soě náhodnou velčnou chom s všk uděll o dné dívce předstvu potřeueme znát celou troc těchto náhodných velčn. Souor těchto velčn nzýváme náhodným vektorem. Jednotlvé náhodné velčn v rámc náhodného vektoru mohou ýt nprosto nezávslé mohou všk tké mít slnou vzu. Náhodným vektorem udeme dále rozumět sloupcový vektor složený z náhodných velčn n. ro názornou lustrc se omezíme n studum vzthu mez dvěm náhodným velčnm t. udeme se zývt dvousložkovým náhodným vektorem s tím že učněné závěr lze ednoduše zoecnt n n-složkový náhodný vektor. Sdružená smultánní dstruční funkce náhodných velčn e defnován předpsem: ; Sdružená dstruční funkce má odoné vlstnost ko dstruční funkce edné proměnné. Vlstnost sdružené dstruční funkce:. lm. lm 3. funkce e neklesící v kždé proměnné 4. funkce e zlev spotá v kždé proměnné rvděpodonost že náhodný vektor e z odélníkové olst lze vádřt pomocí dstruční funkce: - 5 -
- 6 - ; + 4.. Rozdělení náhodného vektoru dvousložkového Jestlže estue nevýše spočetně mnoho hodnot náhodného vektoru de o náhodný vektor s dskrétním rozdělením sdružená dstruční funkce e pk defnován ko: Velčn se nzývá sdružená prvděpodonostní funkce popř. vícerozměrná prvděpodonostní funkce náhodného vektoru. O náhodném vektoru se spotým rozdělením mluvíme v přípdě že má solutně spotou dstruční funkc t. pokud estue nezáporná funkce f tková že: d d f okud estue druhá smíšená dervce dstruční funkce pk: f rvděpodonost že spotý náhodný vektor e z odélníkové olst lze vádřt ko: ; dd f 4. Mrgnální rozdělení prvděpodonost Chceme-l určt dstruční funkc složk resp. složk náhodného vektoru mluvíme o mrgnální dstruční funkc. Mrgnální dstruční funkce dvousložkového náhodného vektoru defnueme tkto: lm lm tohoto vádření dále plne že v přípdě dskrétního náhodného vektoru s prvděpodonostní funkc můžeme získt následuící vzth pro mrgnální prvděpodonost:
Odoně pro spotý náhodný vektor s hustotou f získáme vzth pro mrgnální hustot prvděpodonost: f f + + f d f d 4.3 Nezávslost složek náhodného vektoru Složk náhodného vektoru sou nvzáem nezávslé právě tehd sou-l nezávslé náhodné velčn. ltí ted:. Konkrétně pro náhodný vektor s dskrétním rozdělením pltí že složk náhodného vektoru sou nezávslé právě kdž pltí:. A odoně pro náhodný vektor se spotým rozdělením pltí že složk náhodného vektoru sou nezávslé právě kdž pltí: 4.4 Korelční tulk f f. f V přípdě dskrétního dvousložkového náhodného vektoru s konečným počtem hodnot se sdružená prvděpodonostní funkce čsto prezentue prostřednctvím korelční tulk. V této tulce se mmo sdružené prvděpodonostní funkce uvádí rovněž v posledním řádku sloupc mrgnální prvděpodonostní funkce. \... m... m... m M M M M M... n n n... n m n... m m n - -
4.5 odmíněné rozdělení prvděpodonost ro náhodný vektor s dskrétním rozdělením prvděpodonost e defnován podmíněná prvděpodonostní funkce: pro Odoně pro náhodný vektor se spotým rozdělením prvděpodonost e defnován podmíněná hustot prvděpodonost: f f pro f f 4.6 Chrkterstk náhodného vektoru Oecné centrální moment Kromě momentů náhodných velčn složek náhodného vektoru sou eště defnován tzv. smíšené moment. Nepoužívněším oecným momentem e střední hodnot: Nepoužívněším centrálním momentem e rozptl: µ µ E D Smíšený oecný moment řádu kn e defnován ko: k µ E. n k n Smíšený centrální moment řádu kn e defnován ko: µ E[ E E ] Kovrnce Kovrnce e neednodušším ukztelem souvslost dvou náhodných velčn. Je defnován ko smíšený centrální moment. řádu. Cov µ E kn [ E E ] Kldná hodnot kovrnce znmená že se zvětšením hodnot se prvděpodoně zvýší hodnot. Oprot tomu záporná hodnot kovrnce znmená že se zvětšením hodnot se prvděpodoně sníží hodnot. Kovrnční mtce V pr se čto setkáváme s reprezentcí centrálních momentů.řádu ve formě tzv. kovrnční mtce: kn - 8 -
D Cov Cov D V této souvslost se někd oznčue D Cov resp. D Cov. Jednoduchý korelční koefcent Jednoduchý korelční koefcent e mírou lneární závslost dvou náhodných velčn. OOR!!!! Je mírou pouze lneární závslost žádné né t. e-l ednoduchý korelční koefcent nulový neznmená to že mez náhodným velčnm neestue závslost!!!! Korelční koefcent defnován ko: ρ ro ednoduchý korelční koefcent pltí:. ρ ρ ρ. Cov D D D. D ředpokládeme pro vzth lneární závslost +. k lze dále odvodt:. ρ sou nekorelovné lneárně nezávslé OOR!!! ρ neznmená nezávslé náhodné velčn. ρ > sou poztvně korelovné > s rostoucím roste 3. ρ sou negtvně korelovné s rostoucím klesá Je ted zřemé že pokud se hodnot korelčního koefcentu líží resp. - znčí to přímou resp. nepřímou lneární závslost pokud se hodnot korelčního koefcentu líží sou náhodné velčn nekorelovné lneárně nezávslé. V mnoh přípdech všk nelze n první pohled určt zd hodnotu korelčního koefcentu už můžeme povžovt z lízkou resp. - popř. potom e nutné význmnost lízkost korelčního koefcentu testovt vz kptol Testování hpotéz. Řešený příkld: ředstvme s že udeme třkrát opkovt pokus u něž známe prvděpodonost úspěchu npř. hod mncí p 5. volme tto náhodné velčn: Náhodný vektor.... počet pokusů do prvního úspěchu... počet po soě doucích úspěchů - 9 -
Určete mrgnální prvděpodonostní funkce z Sestvte sdruženou prvděpodonostní funkc z c Určete zd sou náhodné velčn nezávslé. d Určete střední hodnot rozptl složek e Určete kovrnční mtc f Určete ednoduchý korelční koefcent g Určete podmíněné prvděpodonostní funkce z z Řešení: Vpšme s všechn možné komnce k nmž mohlo doít S - úspěch - neúspěch: { ; SS; SS; SS; S; S; S; SSS } A uvžume že prvděpodonost úspěchu S p prvděpodonost neúspěchu -p. Jedná se o dskrétní dvourozměrný náhodný vektor přčemž: složk může nývt hodnot: 3 složk může nývt hodnot: 3 omenume s všechn elementární ev zákldního prostoru určeme prvděpodonost ech výsktu pro výpočet ednotlvých prvděpodoností vužeme pozntku že ev S sou nezávslé. A... A - p 3 5 A... SS A p. - p 5 A3... SS A3 p. - p 5 A4... SS A4 p. - p 5 A5... S A5 p. - p 5 A6... S A6 p. - p 5 A... S A p. - p 5 A8... SSS A8 p 3 5 d pšme s nní do pomocných tulek které ev vhovuí dným hodnotám náhodných velčn.... počet pokusů do prvního úspěchu 3 A A3 A A8 A4 A5 A6 A... počet po soě doucích úspěchů 3 A A A5 A6 A A3 A4 A8 protože ev A... A8 sou neslučtelné můžeme mrgnální prvděpodonostní funkce ednoduše určt. - -
Npř. A + A3 + A + A8 5 + 5 + 5 + 5 5... počet pokusů do prvního úspěchu 3.5.5.5.5... počet po soě doucích úspěchů 3.5.5.5.5 V nšem přípdě máme určovt zároveň sdruženou prvděpodonostní funkc lo rchleší pro určen mrgnálních prvděpodonostních funkcí vužít korelční tulku kterou udeme vtvářet pro záps sdružené prvděpodonost. d konstruueme korelční tulku. nedříve s do ní vpíšeme ev které vhovuí příslušným podmínkám poté n zákldě ech neslučtelnost určíme prvděpodonost výsktu příslušných skupn evů 3 - A A A3 A8 - A5 A4 - - A6 - - 3 A - - - Tulk sdružené prvděpodonostní funkce 3 5 5 5 5 5 5 3 5 Npř. 5; 5 Chceme-l získt korelční tulku v klsckém tvru t. včetně mrgnálních prvděpodonost stčí sečíst příslušné řádk sloupce. 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 z 5 5 5 5 - -
ro srovnání s porovnete tkto získné mrgnální prvděpodonost s mrgnálním prvděpodonostm získným v d dc ro náhodný vektor s dskrétním rozdělením pltí že složk náhodného vektoru sou nezávslé právě kdž pltí: z. z Tento předpokld v nšem přípdě splněn není. npř. Ý. ; 5 5.5. toho plne že náhodné velčn nesou nezávslé. dd Střední hodnot rozptl získáme z defnčních vzthů pomocí mrgnálních prvděpodonostních funkcí: E E 4. 4..5 +.5 +.5 + 3.5 85 8.5 +.5 +.5 + 3.5 85 D E E 85 85 9 64 4 E z. z.5 +.5 +.5 + 3.5 35 8 E 4 z. z D E E.5 +.5 +.5 + 3.5 65 65 35 de Kovrnční mtce má oecný tvr: 4 34 64 D Cov Cov D ro eí záps musíme určt kovrnc. Cov E[ E E ] z z 8 8.5.5 3.5 + 8 8 8 8 8 + + 8.5.5 +.5 + 8 8 8 8 8 + + 8 96 + 3.5 4 8 8 5 - -
Kovrnční mtce má tvr: 9 4 4 34 df Jednoduchý korelční koefcent určíme z defnčního vzthu: ρ Cov D. D 4 9.34 468 N zákldě této hodnot korelčního koefcentu můžeme říc že mez náhodným velčnm estue středně slná negtvní korelce t. že prvděpodoně s růstem ude klest lneárně. dg odmíněné prvděpodonost udeme opět zpsovt do tulk ech hodnot určíme z defnce: z z z Tulk podmíněné prvděpodonostní funkce z 3 /5 5/5 5/5 5/5 /5 5/5 5/5 /5 /5 5/5 /5 /5 3 5/5 /5 /5 /5 3 5 5 5 5 5 3 Npř. 5 z Tulk podmíněné prvděpodonostní funkce z 3 /5 5/5 5/5 5/5 /5 5/5 5/5 /5 /5 5/5 /5 /5 3 5/5 /5 /5 /5-3 -
3 5 5 5 5 5 3 Npř. 5 Řešený příkld: Sdružená hustot prvděpodonost dvousložkového náhodného vektoru e defnován ko: + f pro ; ; nde Určete: Mrgnální hustot prvděpodonost f f Mrgnální dstruční funkce c Střední hodnot rozptl složek d Hodnotu ednoduchého korelčního koefcentu výsledek dete do souvslost s mírou lneární závslost Řešení: d Jde o spotý náhodný vektor proto: f d + + + pro ; nde e smetre sdružené prvděpodonostní funkce vplývá odoný tvr f. + f pro ; nde d Mrgnální dstruční funkce ednotlvých složek určíme z mrgnálních hustot prvděpodonost: dt dt + dt + t t t + dt + + + t + dt + dt + + pro pro ; pro ; ; - 4 -
ze smetre f můžeme opět odvodt: + pro pro ; pro ; ; dc Střední hodnot rozptl ednotlvých složek určíme pomocí mrgnálních hustot prvděpodonost n zákldě znlost defnčních vzthů pro o moment: 3 E. f d + d + 3 4 E. f d 4 3 + d + 4 6 5 D E E 5 6 49 44 44 Opět vužeme smetre sdružené hustot prvděpodonost f můžeme tvrdt že: E ; D 44 dd ro výpočet ednoduchého korelčního koefcentu potřeueme znát hodnotu kovrnce proto zčneme eím výpočtem: Cov E[ E E ].. + dd. 3. 3 4 4. + +. dd d 3 d 4 3 + 44 Dále ž stčí en dosdt do defnčního vzthu pro ednoduchý korelční koefcent: ρ Cov D. D 44. 44 44 9-5 -
velkost korelčního koefcentu můžeme usuzovt n to že mez prvděpodoně neestue lneární závslost t sou nekorelovné náhodné velčn. Shrnutí: Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných velčn n který e chrkterzován sdruženou smultánní dstruční funkcí. e sdruženého rozdělení náhodného vektoru můžeme sndno nít mrgnální rozdělení prvděpodonost ednotlvých náhodných velčn z nchž e vektor sestven. odmíněné rozdělení pk chápeme ko podíl sdruženého mrgnálního rozdělení prvděpodonost má-l tento podíl smsl v souldu s defncí podmíněné prvděpodonost. Nezávslost náhodných velčn se proevue tím že ech sdružená dstruční funkce sdružená prvděpodonostní funkce resp. sdružená hustot prvděpodonost se dá mtemtck vádřt ko součn mrgnálních dstručních funkcí mrgnálních prvděpodonost resp. mrgnálních hustot prvděpodonost ednotlvých náhodných velčn. Mez nevýznmněší smíšené moment náhodného vektoru ptří kovrnce. Mírou lneární závslost e korelční koefcent. - 6 -
Otázk. Vsvětlete pom smultánní mrgnální podmíněné rozdělení prvděpodonost. Vsvětlete poem stochstcké nezávslost náhodných velčn 3. Defnute podmíněné rozdělení prvděpodonost. 4. Co nám npovídá hodnot koefcentu korelce? - -
Úloh k řešení. Nezávsle hodíme dvěm smetrckým mncem. ro kždou mnc zznmenáme výsledek kdž pdne pnn kdž pdne orel. Oznčme S součet výsledků n oou mncích R rozdíl výsledků n oou mncích. Defnume dvousložkový náhodný vektor S R. Určete: Tp náhodného vektoru dskrétní spotý Sdruženou prvděpodonostní funkc c Mrgnální prvděpodonostní funkce d Střední hodnot rozptl ednotlvých složek e Kovrnční mtc f Jednoduchý korelční koefcent g Jsou náhodné velčn S R nezávslé?. ř průzkumu příčn doprvních nehod l měřen sstolcký tlk řdčů utousů v závslost n teplotě ovzduší.vpočtěte ednoduchý korelční koefcent pouze z eho hodnot odhdněte zd teplot ovzduší spíše zvšue č spíše snžue sstolcký tlk řdčů. Teplot ovzduší [ o C Sstolcký tlk [mm Hg] -5-54 64 56 85 55 35 358 6 8 8 8 4 6 8 8 83 3. Náhodný vektor R S má sdruženou hustotu prvděpodonost: f r s r + s 3 pro r s ; ; nde Určete: Mrgnální hustot prvděpodonost f R r f S s Mrgnální dstruční funkce R r S s c Střední hodnot rozptl složek R S d Hodnotu ednoduchého korelčního koefcentu výsledek dete do souvslost s mírou lneární závslost - 8 -
Řešení:. S součet výsledků n oou mncích R rozdíl výsledků n oou mncích Dskrétní náhodný vektor Korelční tulk sdružené prvděpodonost mrgnální prvděpodonost R S R r - 5 5 5 5 5 5 5 S s 5 5 5 c Mrgnální prvděpodonost ndete ve výše korelční tulce. d ES ; DS 5; ER ; DR 5 e Cov S R ; Kovrnční mtce: 5 5 f ρ S R sou nekorelovné S R g S R nesou nezávslé náhodné velčn. Výsledk tohoto příkldu l získán pomocí progrmu Sttgrphcs: Correltons: ρ teplot sstolcký tlk 38 středně slná poztvní korelce t. prvděpodoně s rostoucí teplotou roste sstolcký tlk řdčů utousů. To potvrzue grfcký záznm nměřených hodnot uvedený níže grf vprvo nhoře. - 9 -
3. e spotý náhodný vektor r + r ; f R r 3 nde 4s + f S s 3 s ; nde c ; r R r r r + r ; 3 r ; S 5 3 ER DR ES DS 9 6 8 s s 3 3 34 s + s s ; s ; ; 598 d Cov R S ρ R s 8 R S sou nekorelovné náhodné 6 99 velčn t. neestue mez nm lneární závslost - 3 -