3 NÁHODNÁ VELIČINA. Čas ke studiu kapitoly: 80 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět

Transkript

1 NÁHODNÁ VELIČINA Čs ke studiu kpitol: 8 minut Cíl: o studování tohoto odstvce udete umět oecně popst náhodnou veličinu pomocí distriuční funkce chrkterizovt diskrétní i spojitou náhodnou veličinu porozumět funkci intenzit potuch určovt číselné chrkteristik náhodné veličin trnsformovt náhodnou veličinu

2 Výkld:. Definice náhodné veličin Mějme prvděpodonostní stor Ω, S,. Náhodná veličin je reálná funkce ω prvků ω Ω ze zákldního storu. tková, že kždé reálné R je množin ω Ω ω S, tj. náhodným jevem. Ted náhodná veličin je zorzení : Ω R tkové, že kždé R pltí: - -, = ω Z definice plne, že liovolné R můžeme určit prvděpodonost toho, že. S Zákldní stor R Množin všech hodnot ω, Ω se nzývá zákldní souor. růvodce studiem: ro t z Vás, kteří nemjí rádi mtemtické definice, zkusíme vsvětlit pojem náhodná veličin ještě jiným způsoem. Výsledkem náhodného pokusu je v mnoh přípdech reálné číslo do do poruch, příjem státního změstnnce, počet žáků v. třídě... k je možno říci, že náhodnou veličinou nzveme tkový výsledek náhodného pokusu, který je dán reálným číslem. Náhodné veličin NV udeme oznčovt velkými písmen z konce eced npř., Y, Z neo,,... Jejich konkrétní relizce pk mlými písmen,, z neo,,

3 říkld: Náhodná veličin... očet dětí žen strší 8-ti let oecně =... očet dětí jedné konkrétní žen konkrétní relizce NV Výkld: Jedním z úkolů teorie prvděpodonosti je vudovt mtemtický prát, který přiřdí všem zjímvým podmnožinám množin reálných čísel R příslušné prvděpodonosti.. Distriuční funkce Definice: Nechť je náhodná veličin. Reálnou funkci Ft definovnou všechn reálná t, tr vzthem: Ft = { -, t} = < t nzveme distriuční funkcí náhodné veličin. Distriuční funkce je ted funkce, která kždému reálnému číslu přiřzuje prvděpodonost, že náhodná veličin nude hodnot menší než toto reálné číslo. Distriuční funkce má řdu vlstností, které vplývjí přímo z její definice:. Distriuční funkce je nezáporné číslo menší neo rovno jedné: F. Distriuční funkce je neklesjící, tj., R: < F F,. Distriuční funkce F je zlev spojitá. lim F ; lim F 5., R; < : F - F. lim F F Rozlišujeme dv zákldní druh náhodné veličin - spojitou může nývt hodnot z nějkého intervlu diskrétní může nývt pouze konečně neo spočetně mnoh hodnot, přesněji řečeno náhodnou veličinu se spojitým diskrétním rozdělením.. Diskrétní náhodná veličin O diskrétní náhodné veličině hovoříme tehd, jestliže náhodná veličin nývá pouze hodnot z nějké konečné či spočetné množin. Jedná se nejčstěji o celočíselné náhodné veličin, npř. počet studentů, kteří vstoupili do hlvní udov VŠB TUO ěhem dopoledne,,,..., počet členů domácnosti,,,..., počet doprvních nehod z jeden den n dálnici z rh do Brn,,,..., součet ok při hodu třemi kostkmi,,...,8 pod

4 Definice: Budeme říkt, že náhodná veličin má diskrétní rozdělení prvděpodonosti právě tehd, kdž:. konečná neo spočetná množin reálných čísel M={,..., n,... } tkových, že i > i =,,...n. i i Funkce i = i se nzývá prvděpodonostní funkcí náhodné veličin Distriuční funkce tkového rozdělení je schodovitá se skok v odech,..., n,.. ro distriuční funkci diskrétní náhodné veličin pltí: F i i Řešený příkld: Mějme náhodnou veličinu definovnou jko výsledek hodu klsickou prvidelnou kostkou. Určete tp NV, její prvděpodonostní distriuční funkci zkreslete. Řešení:... výsledek hodu kostkou Zákldní souor NV množin všech možných výsledků: = {; ; ; ; 5; } Vzhledem k tomu, že zákldní souor je tvořen konečně mnoh šesti hodnotmi, jedná se o diskrétní NV rvděpodonostní funkce této NV je uveden v následující tulce: i i / / / / 5 / / npř. = čteme: prvděpodonost, že výsledek hodu kostkou je. V tulce jsou přitom uveden pouze nenulové hodnot prvděpodonostní funkce. Je zřejmé, že pltí: - 9 -

5 R\ : i npř. =,5==-=... =. Všimněte si zároveň, že je splněn. část definice diskrétní NV : i i N následujícím orázku pk vidíme grfickou podou prvděpodonostní funkce izolovné od. 5/ / / / / - rvděpodonostní funkce i Dále se pokusíme n zákldě definice určit distriuční funkci. Z vlstností distriuční funkce vplývá, že od nespojitosti této funkce jsou t od, v nichž je prvděpodonostní funkce nenulová = = lim + F F. roto si určíme hodnot distriuční funkce n všech intervlech vmezených od nespojitosti. npř.: ; : F prvděpodonost, že n kostce pdne číslo menší než ; : F / prvděpodonost, že n kostce pdne číslo menší než ; : F / prvděpodonost, že n kostce pdne číslo menší než... Hodnot distriuční funkce n celém definičním ooru R jsou uveden v následující tulce. i F i -; ; / ; / ; / ;5 / 5; 5/ ; N grfu distriuční funkce si všimněte jejich vlstností: neklesjící zlev spojitá - 9 -

6 lim F ; lim F lim F F, tj.: distriuční funkce je nespojitá v odech, v nichž je prvděpodonostní funkce nenulová velikost skoku v odech nespojitosti je rovn příslušné prvděpodonosti Distriuční funkce 5/ / F / / / Spojitá náhodná veličin Jestliže náhodná veličin může nýt jkékoliv hodnot z určitého intervlu, hovoříme o náhodné veličině se spojitým rozdělením. Jko příkld lze uvést: životnost výroku,, délku určitého předmětu,, náhodně vrné reálné číslo -, pod. V tkovém přípdě nelze jednotlivým relizcím náhodné veličin přiřzovt prvděpodonostní funkci, poněvdž tto prvděpodonost je nulová. Řešený příkld: Určete jká je prvděpodonost, že životnost žárovk ude přesně 5 hodin. Řešení: Zkusme hlednou prvděpodonost njít n zákldě klsické prvděpodonosti, tj. jko poměr počtu příznivých možností počtu všech možností. životnost žárovk očet příznivých možností: očet všech možností: 5 " " - 9 -

7 rvděpodonost, že životnost žárovk ude přesně 5 hodin je nulová. Už je Vám jsné č je prvděpodonost toho, že nstne liovolná relizce spojité náhodné veličin, nulová? Výkld: Můžeme všk stnovit prvděpodonost výsktu náhodné veličin v liovolném intervlu. To znmená, že její popis můžeme použít distriuční funkci. Distriuční funkce spojité náhodné veličin je definován tkto: t F f dt, kde reálnou nezápornou funkci f nzveme hustotou prvděpodonosti. Hustot prvděpodonosti je definován jko: f lim F F lim, tj. jko limit prvděpodonosti, že veličin pdne do intervlu ; +, vdělená délkou tohoto intervlu v přípdě, že se tto délk líží nule. ro hustotu prvděpodonosti pltí: Důkz: f d t t f d lim f d lim F t t Dá se ukázt, že ve všech odech, kde eistuje derivce distriuční funkce, pltí: f df d Známe-li ted distriuční funkci, můžeme lehce určit hustotu prvděpodonosti nopk, známe-li hustotu prvděpodonosti, sndno většinou spočítáme distriuční funkci

8 .. rvděpodonost výsktu spojité NV v nějkém intervlu Jký je ted vzth mezi prvděpodonosti výsktu spojité NV v nějkém intervlu distriuční funkci popř. hustotou prvděpodonosti? Distriuční funkce v odě je definován jko prvděpodonost, že náhodná veličin nývá hodnot menších než že náhodná veličin leží v intervlu - ;. Z této definice plne, že, R :. F f d. F f d. F F f d F { ; } Jelikož spojitou náhodnou veličinu pltí, že, můžeme dále tvrdit, že: Důkz:. plne z definice distriuční funkce oecně speciálně spojitou NV jev je negcí jevu. F < - F f d f d f d - 9 -

9 d f d f d f F F. plne z definice spojité NV distriuční funkce spojité NV je spojitá funkce to lim F F 5.,., 7.,,.. Geometrická interpretce vzthu mezi prvděpodonosti hustotou prvděpodonosti řipomeňme si viz. geometrická interpretce integrálu, že integrál z křivk je vlstně velikost ploch pod touto křivkou. Víme že hustotu prvděpodonosti pltí, že: d f Je ted zřejmé, že osh celé ploch pod křivkou f dává dohromd jedničku. To je nlogické situci u diskrétní náhodné veličin, kde součet prvděpodoností všech možných výsledků rovněž dávl jedničku. Zároveň jsme si ukázli, že: d f A to můžeme říci, že osh ploch pod křivkou f ; je prvděpodonost, že nude hodnot z tohoto intervlu R,. - < <

10 Odoně můžeme znázornit prvděpodonosti: f d, f d říkld Logistické rozdělení prvděpodonosti má následující distriuční funkci F hustotu prvděpodonosti f: F -β β = f -β β -β β +e β e + e Řešený příkld: Nechť Y je spojitá měnná definován hustotou prvděpodonosti: c f jinde - 9 -

11 f nlezněte konstntu c, zkreslete f c nlezněte zkreslete distriuční funkci F, d určete: <Y<, Y>,5, Y=, Řešení: nlezení konstnt c vužijeme toho, že: f d dt c t dt dt t ct c c. c,75 f jinde Hustot prvděpodonosti,8,7,,5,,,, - - -, c Distriuční funkci určíme z definice: F f t dt ro : F dt ro ro : t F dt t dt t : t F dt t dt dt t

12 Distriuční funkce F,,8,,, , F d rvděpodonosti výsktu náhodné veličin Y n určitém intervlu určíme pomocí příslušných vzthů: Y F F ~ 5% Y,5 F,5 Y,. 7 5 ~ 5,% Výkld:.5 Intenzit poruch ro nezápornou náhodnou veličinu se spojitým rozdělením definujeme Ft tj. Ft< intenzitu poruch t : t f t Ft ředstvuje-li náhodná veličin dou do poruch nějkého zřízení, pk intenzit poruch vjdřuje, že pokud do čsu t nedošlo k žádné poruše, tk prvděpodonost, že k ní dojde v následujícím okmžiku mlé délk t, je přiližně t. t : t t t t f t Ft t = t. t Vzájemné převod mezi f t, F t, t udává následující tulk:

13 Ft ft t t Ft Ft f d t ep d dft t ft t ep d dft f t t dt t Ft f d t dt ft.5. Jk vpdá nejčstější grfická interpretce intenzit poruch? okud zůstneme u předstv, že náhodná veličin popisuje dou do poruch nějkého zřízení, pk tpický tvr intenzit poruch je zorzen n následujícím orázku. λt I. II. III. t Křivk n tomto orázku se nzývá vnová křivk ovkle se dělí n tři úsek I, II, III. I. V prvním úseku křivk intenzit poruch klesá. Odpovídjící čsový intervl se nzývá odoí čsných poruch odoí záěhu, odoí počátečního vozu, odoí osvojování neo odoí dětských nemocí podle nlogie s úmrtnostní křivkou člověk. říčinou zvětšené intenzit poruch v tomto odoí jsou poruch v důsledku výroních vd, nesprávné montáže, ch při návrhu, neo při výroě pod. II. III. Ve druhém úseku dochází k ěžnému vužívání zěhnutého výroku, k poruchám dochází většinou z vnějších příčin, nedochází k opotřeení, které změnilo funkční vlstnosti výroku. Intenzit poruch je v tomto odoí přiližně konstntní. říslušný čsový intervl se nzývá odoí normálního užití, či stilního život. Ve třetím úseku ces stárnutí opotřeení mění funkční vlstnosti výroku, jevují se nstřádné otřes výroku z odoí II nlogie s nesprávnou

14 životosprávou člověk, trhlin mteriálu intenzit poruch vzrůstá. říslušný čsový intervl se nzývá odoí poruch v důsledku stárnutí opotřeení.. Číselné chrkteristik náhodné veličin Rozdělení prvděpodonosti kždé náhodné veličin je plně popsáno pomocí její distriuční funkce F, popř. podle hustot prvděpodonosti f. V mnoh přípdech je všk výhodné shrnout celkovou informci o náhodné veličině do několik čísel, které chrkterizují některé vlstnosti této náhodné veličin rovněž umožňují srovnání různých náhodných veličin. Tto čísl se nzývjí číselné chrkteristik náhodné veličin. Nní se seznámíme s některými z nich. Moment rozdělení Oecný moment r-tého řádu r ' znčíme r ' E r r =,,,, r diskrétní NV:. r i i r =,,,... i spojitou NV:, r r. f d r =,,, pokud uvedená řd neo integrál konvergují solutně Centrální moment r-tého řádu r znčíme E E r =,,,... r diskrétní NV:, r E. r =,,... r i i r r f, spojitou NV: E. d r =,,, pokud uvedená řd neo integrál konvergují solutně Střední hodnot epected vlue Střední hodnot NV je definován jko první oecný moment. Znčí se E neo. diskrétní NV: spojitou NV: E. i i i E. f d - -

15 Vlstnosti střední hodnot:. E E, R tj. násoíme-li k konstntou, násoí se jí i její střední hodnot; přičteme-li k konstntu, zvýší se o tuto konstntu i její střední hodnot. E E E tj. střední hodnot součtu náhodných veličin je rovn součtu jednotlivých středních hodnot.... nezávislé NV E. E. E, tj. jsou-li NV, nezávislé, pk střední hodnot jejich součinu je rovn součinu jednotlivých středních hodnot. Y g ; g spojitá f-ce EY E g diskrétní NV Y: EY g. spojitou NV Y: EY i i i g. f d Rozptl disperze, vrince Rozptl je druhým centrálním momentem, chrkterizuje šířku rozdělení znčí se D, popř.. D E E E E Důkz výše uvedeného tvrzení je zložen n vlstnostech střední hodnot. diskrétní NV: spojitou NV: Vlstnosti rozptlu: D D i. i i. f d i. f d. i i. D D, R tj. násoíme-li náhodnou veličinu konstntou, hodnot jejího rozptlu se vnásoí druhou mocninou této konstnt; přičteme-li k náhodné veličině konstntu, její rozptl se nezmění,... nezávislé NV D D D tj. jsou-li NV, nezávislé, pk rozptl jejich součinu je roven součinu jednotlivých rozptlů. - -

16 Směrodtná odchlk stndrd devition Směrodtná odchlk je definován jko odmocnin z rozptlu znčí se. D Šikmost skewness Je mírou smetrie dného rozdělení prvděpodonosti, znčí se je definován jko: Smetrii rozdělení vzhledem k smetrii normovného normálního rozdělení pk posuzujeme tkto: = smetrické rozdělení... negtivně zešikmený souor... pozitivně zešikmený souor Špičtost kurtosis Je mírou špičtosti plochosti rozdělení, znčí se je definován jko: Špičtost rozdělení vzhledem ke špičtosti normovného normálního rozdělení pk posuzujeme tkto:... normální špičtost tj. špičtost normálního rozdělení... menší špičtost než u normálního rozdělení plošší... větší špičtost než u normálního rozdělení špičtější Vzhledem k neprktickému vhodnocování špičtosti vzhledem ke se mnohd používá tzv. stndrdizovná špičtost, která je definován jko: špičtost rozdělení je pk posuzován vzhledem k hodnotě. Kvntil Znčí se p jsou definován odoně jko v eplortorní nlýze dt. diskrétní NV: většinou nelze jednoznčně určit spojitou NV: p ; : Fp p - -

17 Modus Znčí se ˆ je definován odlišně diskrétní spojitou NV. diskrétní NV: hodnot, kterou pltí: i, i,,... tj. hodnot, které nývá NV s největší prvděpodoností spojitou NV: hodnot, kterou pltí: f ˆ f tj. hodnot, v níž hustot prvděpodonosti nývá svého mim ^ Řešený příkld: Vrťme se k dříve definovné diskrétní náhodné veličině hod kostkou. V jednom z výše řešených příkldu jsme si určili zkreslili její prvděpodonostní i distriuční funkci. i i / / / / 5 / / i F i -; ; / ; / ; / ;5 / 5; 5/ ; Nní určeme: střední hodnotu rozptl c směrodtnou odchlku d medián e modus Řešení: 5 E , 5 i i i D E E E E E i i.... i D E E ,9 9 5, - -

18 5 c D, 7 d,5 =? F i,5 ; i sup{; } ověření: pltí, že 5% hodnot náhodné veličin je,5 e modus je hodnot, kterou pltí: i, i,,... tj. hodnot, které nývá NV s největší prvděpodoností ^ rotože v nšem přípdě nývá NV všech hodnot se stejnou prvděpodoností, jedná se o vícemodální rozdělení s mod {;;;;5;}. Řešený příkld: A nní njdeme vrné číselné chrkteristik spojitou náhodnou veličinu. Zvolme si náhodnou veličinu Y definovnou tkto: c f jinde Určete: střední hodnotu rozptl c směrodtnou odchlku d medián e modus Řešení: Nejdříve chom museli určit konstntu c ze vzthu: f d M vužijeme toho, že dný lém jsme již výše řešili můžeme to přímo převzít výsledek, že c=,75. výsledek l očekávtelný, tože hustot prvděpodonosti NV Y je sudá funkce EY. f d.d. d.d - -

19 DY EY EY DY EY EY 5 5. f d EY.d 5 5., d.d c DY, d F 5, 5, Znovu vužijeme toho, že jsme s touto náhodnou veličinou prcovli již dříve ez opětovného výpočtu použijeme znlosti distriuční funkce F. F Ze vzthu distriuční funkci je zřejmé, že medián může ýt pouze hodnot z intervlu -;:,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 ; ; e modus je hodnot, kterou pltí: f ˆ f tj. hodnot, v níž hustot prvděpodonosti nývá svého mim ro mimum funkce pltí, že první derivce v něm musí ýt nulová neo nedefinován druhá derivce v něm musí ýt záporná. Je zřejmé, že rovněž modus udeme hledt n intervlu -;: - 5 -

20 - - Výkld: im z podezřelý od d df m, Zd se jedná o mimum chom mohli ověřit z druhé derivce f, le m vužijeme opět toho, že jsme s dnou NV prcovli pohledem n grf f si ověříme, že hustot prvděpodonosti f skutečně nývá svého mim v odě. ˆ.7 Funkce náhodné veličin Definujme náhodnou veličinu Y = g, kde g je nějká stá reálná funkce definovná n zákldním souoru náhodné veličin. Odvodíme rozdělení náhodné veličin Y: distriuční funkci H hustotu h, jestliže známe rozdělení náhodné veličin : dán distriuční funkce F hustot f. g Y H kždé - < < Jestliže k funkci g eistuje funkce inverzní g -, pk pltí: g F g g H g rostoucí g F g g g H g klesjící. ro spojitou náhodnou veličinu spojitě diferencovtelnou funkci g je hustot h náhodné veličin Y rovn: d g d g f h.

21 - 7 - Řešený příkld: Nechť náhodná veličin W je definován jko lineární trnsformce náhodné veličin Y. jinde f,75 W 5Y + Nlezněte: distriuční funkci Gw náhodné veličin W hustotu prvděpodonosti gw náhodné veličin W, c střední hodnotu EW náhodné veličin W d rozptl DW náhodné veličin W. Řešení: Stejně jko v předchozích přípdech vužijeme toho, že jsme již s NV Y prcovli v opčném přípdě chom museli nejdříve njít F, EY DY. F, EY =, DY =, w F w Y w Y w W w G Nní určíme distriuční funkci Gw tk, že do předpisu distriuční funkci F dosdíme z výrz 5 w w w w w w w G

22 G w w 5 8w w w w w Hustotu prvděpodonosti určíme jko derivci distriuční funkce: g w dg w dw w g w 5 po úprvě: g w w 5 w w w w w w w w c Z vlstností střední hodnot plne, že: EW E 5Y 5. EY 5. d Z vlstností rozptlu plne, že: DW D5Y 5. DY 5., 5 Řešený příkld: Nechť náhodná veličin má spojitou rostoucí distriuční funkci F. Njděte distriuční funkci hustotu prvděpodonosti náhodné veličin Y = F. Řešení: Y = F F nývá R hodnot z intervlu ; náhodná veličin Y nývá rovněž hodnot z intervlu ; - 8 -

23 - 9 - H H F F F F Y H H Hustot prvděpodonosti náhodné veličin Y d dh h jinde h ; Náhodná veličin Y má tzv. rovnoměrné rektngulární rozdělení v intervlu <, >. Hustot prvděpodonosti rovnoměrného rozdělení,,,,8, -,5 - -,5 - -,5,5,5,5

24 Shrnutí: Náhodná veličin je veličin, jejíž hodnot je jednoznčně určen výsledkem náhodného pokusu je-li tento výsledek dán reálným číslem. Jde o reálnou funkci definovnou n zákldním storu chrkterizovnou distriuční funkci. Distriuční funkce je definován jko F = <, jde ted o funkci, která kždému reálnému číslu přiřzuje prvděpodonost, že náhodná veličin nývá hodnot menších než toto reálné číslo. rvděpodonost výsktu náhodné veličin n nějkém intervlu určujeme n zákldě těchto vzthů: F F F F odle toho, jkých může náhodná veličin nýt hodnot resp. z jkého intervlu, rozlišujeme spojitou diskrétní náhodnou veličinu, přesněji řečeno náhodnou veličinu se spojitým diskrétním rozdělením. Diskrétní náhodná veličin je náhodnou veličinou, která může nývt pouze konečného neo spočetně nekonečného množství hodnot npř. výsledek hodu kostkou Diskrétní náhodnou veličinu popisujeme střednictvím prvděpodonostní funkce, popř. distriuční funkce. Spojitá náhodná veličin je náhodnou veličinou, která může nývt všech hodnot z liovolného konečného neo nekonečného intervlu npř. životnost zářivk ro popis spojité náhodné veličin používáme distriuční funkci, hustotu prvděpodonosti v přípdě, že jde o nezápornou spojitou náhodnou veličinu používáme tké intenzitu poruch. Intenzit poruch má většinu výroků z technické pre chrkteristický tvr vnové křivk. V mnoh přípdech je výhodné shrnout celkovou informci o náhodné veličině do několik čísel, které chrkterizují některé vlstnosti náhodné veličin, přípdně umožňují srovnání různých náhodných veličin. Tto čísl se nzývjí číselné chrkteristik náhodné veličin. Mezi zákldní číselné chrkteristik řdíme npř. střední hodnotu, rozptl, směrodtnou odchlku, kvntil, modus, šikmost špičtost. V přípdě, že g je nějká stá reálná funkce, definovná n zákldním souoru náhodné veličin, můžeme sndno odvodit rozdělení trnsformovné náhodné veličin Y = g. - -

25 Otázk. opište zvedení náhodné veličin pomocí distriuční funkce, včetně nejvýznmnějších vlstností této funkce.. Jký je vzájemný vzth mezi distriuční funkcí prvděpodonostní funkcí diskrétní náhodné veličin?. Jký je vzájemný vzth mezi distriuční funkcí hustotou prvděpodonosti spojité náhodné veličin?. Co je to intenzit poruch jk se dá vjádřit pomocí distriuční funkce hustot prvděpodonosti? Jký je její chrkteristický tvr? 5. Které oecné centrální moment znáte? Co je to medián modus?. Odvoďte předpis distriuční funkci náhodné veličin Y, je-li tto náhodná veličin definovná jko Y=g, kde g je stá reálná funkce definovná n zákldním storu náhodné veličin. - -

26 Úloh k řešení. Náhodná veličin je dán součtem počtu ok při dvou hodech klsickou hrcí kostkou. Určete dnou náhodnou veličinu: prvděpodonostní funkci distriuční funkci c střední hodnotu d rozptl. Nechť náhodná veličin Z je definován tkto: f z e e z z z Nlezněte distriuční funkci náhodné veličin Z.. Bod je náhodně vrán z koule o poloměru R. Náhodnou veličinu definujme jko vzdálenost tohoto odu od počátku. Určete dnou náhodnou veličinu: distriuční funkci hustotu prvděpodonosti c střední hodnotu d rozptl. Strn krchle má rovnoměrné rozdělení n intervlu <;>. Určete distriuční funkci ojemu krchle. 5. je spojitá náhodná veličin s hustotou prvděpodonosti f e. Určete.. Spojitá náhodná veličin je definovná hustotou prvděpodonosti f: f ; jinde Určete α%-ní kvntil α medián. Určete prvděpodonost >,5, =, - -

27 F Řešení:. diskrétní NV i = i / / / / 5/ / 5/ / / / / rvděpodonostní funkce 9/5 /5 7/5 /5 / /5 /5 /5 /5 8 i - ;> ;> ;> ;5> 5;> ;7> F i / / / / 5/ i 7;8> 8;9> 9;> ;> ;> ; F i / / / / 5/ Distriuční funkce,,8,,,

28 d E 7 e D / 5, 8 z e. F z z e. spojitá NV c d. F R f R R E R D 8 F ; ; R R; ; R jinde ;8 8; ; 5. e e.,,5 =,9,,5, 5,, - -