Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/..00/8.001) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Poznámka. Příklady označené jsou těžší (stále ale řešitelné postupy používanými u ostatních příkladů) a jsou určeny jen pro zájemce. 1 Příklady Příklad 1. Řešte rovnice/nerovnice a) x x 6 = 0, b) x 4x + 9 = 0, c) x + 8x + 15 > 0, d) x + 1 > x 1, Příklad. Najděte průsečíky funkce f(x) = x 4 x e) x+ x 0, f) 4 x+1 >, g) x x x+ 1 5 x+. se souřadnými osami. Příklad. Řešte rovnice a) e x 6 1 = 0, b) ln(x 7) + 8 = 0, c) 7 x + 5 = 8, d) ln(x + ) 5 = 1. Příklad 4. Určete derivaci následujících funkcí. 1
a) f(x) = 0, b) f(x) = 5, c) f(x) = x + x 4x +, d) f(x) = x 5x + 6 5 x, e) f(x) = x+8 x 1, f) f(x) = sin x + cotg x, g) f(x) = x tg x, h) f(x) = x e x sin x, i) f(x) = x 6 x, j) f(x) = x 1, k) f(x) = 1 ln x, l) f(x) = 1 x x +1. Příklad 5. Určete derivaci funkce f v bodě x 0. a) f(x) = x + x 8, x 0 = 1, b) f(x) = ln(tg x), x 0 = π 4. Příklad 6. Určete funkční hodnotu a hodnotu první a druhé derivaci funkce f v bodě x 0. a) f(x) = x 4 + 1, x 0 = 1, b) f(x) = x sin(x), x 0 = π 4. Příklad 7. Určete definiční obor funkce a) f(x) = x + 5, b) f(x) = x x, c) f(x) = ln(x + 4x 5) + x x+6, d) f(x) = arcsin x+ + x+4 x. Příklad 8. Určete definiční obor dané funkce a zakreslete jej v rovině. a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = ln(x + y), c) f(x, y) = (x + y 1)(4 x y ), d) f(x, y) = 1 x + 1 y. Příklad 9. Zakreslete a popište vrstevnice funkce a) f(x, y) = x + y, b) f(x, y) = y x, c) f(x, y) = xy. Příklad 10. Pomocí vrstevnic a řezů souřadnými rovinami zakreslete graf funkce f(x, y) = x + y. Příklad 11. Určete intervaly monotonie a lokální extrémy funkce a) f(x) = 1x 5 15x 4 40x + 60, b) g(x) = x e x, c) h(x) = x ln x, d) f(x) = 1 x ln 1 x, e) g(x) = (x+) e x, f) h(x) = x x 1, g) f(x) = x x+1, h) g(x) = x +1 x 1, i) h(x) = 1 ( x + 1 x). Příklad 1. Určete takové nenulové reálné číslo x, že jeho rozdíl s převrácenou hodnotou druhé mocniny tohoto čísla je maximální.
Příklad 1. Máte za úkol vyprojektovat uprostřed pozemku tvaru čtverce o straně 1,5 km 8 sousedících parcel určených ke stavbě luxusních vil. Parcely musí být obdélníkové, ve dvou řadách po čtyřech a výměra každé z nich musí činit 10 arů (tj. celkem 960 arů). Kolem každé parcely musíte nechat postavit cesty. Přitom dlouhá spojovací cesta mezi řadami po čtyřech bude na obě strany vyvedena mimo pozemek a napojena na silniční sít oblasti. Tyto napojovací cesty budou financovány plně z fondu EU, takže jejich cenu není potřeba uvažovat. Jaké rozměry parcel zvolíte, aby se za stavbu cest co nejvíce ušetřilo? Příklad 14. Síla nosníku o obdélníkovém průřezu je přímo úměrná součinu jeho šířky a kvadrátu jeho výšky (měřeno na průřezu). Určete rozměry nejsilnějšího nosníku, jaký lze vyrobit z polena o kruhovém průřezu s poloměrem r. Příklad 15. Chceme studovat kachnu divokou během hnízdění. K tomu potřebujeme postavit obdélníkovou ohradu, která bude kachny chránit před predátory. K dispozici máme 10 m pletiva, kterým chceme oplotit co možná největší plochu tak, aby byl plot dvojitý s metrovým prostorem mezi, přičemž jedna strana ohrady bude u jezera u té stačí jeden plot. Příklad 16. Je dán čtverec papíru. Z každého rohu odstřihněte menší čtvereček tak, aby krabička poskládaná ze zbytku měla maximální objem. Příklad 17. Letadlo dálniční hlídky letí míle vysoko nad vozovkou rychlostí 10 mi/h. Pilot zaměří radarem auto jedoucí proti směru letu letadla a zjistí, že auto se při vzdálenosti 5 mil od letadla přibližuje rychlostí 160 mi/h. Určete rychlost auta. Příklad 18. O dům je opřený žebřík dlouhý 1 metrů. Náhle začne základna žebříku podkluzovat. Ve chvíli, kdy je základna žebříku 1 m od domu, klouže rychlostí 5 m/s. Zjistěte: a) Jakou rychlostí klesá vršek žebříku po zdi domu. b) Jakou rychlostí se mění obsah trojúhelníku daného žebříkem, domem a zemí. c) Jakou rychlostí se mění úhel, který svírá žebřík se zemí. Příklad 19. Určete rovnici tečny a normály funkce f v bodě x 0. a) f(x) = x + ln x, x 0 = 1, c) f(x) = x + sin x, x 0 = π, b) f(x) = 1 x x, x 0 =, Příklad 0. Pomocí lineární aproximace určete přibližně: a).0 5, b) cos 59. d) f(x) = 1 x, x 0 = 9. Příklad 1. Pomocí Newton Raphsonovy metody odhadněte proved te 5 iterací s počátečním odhadem: 64 určete iterační schéma a a) x 0 = 10, b) x 0 = 64. Příklad. Napište Taylorův polynom čtvrtého řádu se středem v x 0 = 1 pro funkci f(x) = 1 x. Příklad. Napište Maclaurinův polynom třetího řádu pro funkci f(x) = cos x sin x. Příklad 4. Napište Maclaurinův polynom třetího řádu pro funkci f(x) = e cos x. Příklad 5. Určete parciální derivace prvního a druhého řádu funkce
a) f(x, y) = x x y + 7xy 15, b) f(x, y) = 5xy sin(7x y), c) f(x, y) = y x, d) f(x, y) = y+xy x. Příklad 6. Určete parciální derivace prvního řádu funkce a) f(x, y) = sin x y cos y x, b) f(x, y) = ln(x e y y). Příklad 7. Určete rovnici tečné roviny funkce f v bodě [x 0, y 0 ]. a) f(x, y) = x + xy xy + x, [x 0, y 0 ] = [1, 0], b) f(x, y) = ln(x + y), [x 0, y 0 ] = [, 1]. Příklad 8. Pomocí lineární aproximace určete přibližně: a) 0.98 +.05, b) e 0.04 0.01. Příklad 9. Integrujte. (a) 8x x + x 1 dx, (b) (x + )(x 7) dx, (c) x 6 x +6x 4x dx, (d) x 5 x 4 x (e) 5 5x dx, dx, (f) 14 x 5 7 x 4 7 x dx. Příklad 0. Integrujte per partes. (a) (x + ) sin x dx, (b) (x + x 1) e x dx, (c) x ln x dx, (d) 5 ln x dx, Příklad 1. Integrujte substitucí. (a) 7 x dx, (b) 5 9x dx, (c) 4x dx, (d) 5 x dx, (e) x x+ dx, [subst. x = t ] (f) (1x + ) 4 dx, (g) x dx, x 5 (h) ln x x dx, (i) 0 x 0 x 15 x 1 x dx, [subst. t = x60 ], (j) e x 4 e x dx. Příklad. Integrujte. (a) 5 x 5x + 7 dx, (b) π x + sin x dx, 0 (c) 1 0 1+x dx, (d) π π ( x) cos x dx, 6 (e) e 8 1 (f) 0 1 x ln x+1 dx, 5x x +9 dx. Příklad. Pomocí lichoběžníkového pravidla aproximujte x x+. Interval [, ] rozdělte na pět subintervalů. 4
Příklad 4. V rovině je dána množina ohraničená křivkami x = 1, y = x, y = x. (a) Znázorněte tuto množinu na obrázku. (b) Napište obě možnosti pořadí integrace funkce f(x, y) přes tuto množinu. (c) Pomocí dvojnásobného integrálu určete plochu této množiny. Příklad 5. Převed te dvojný integrál A f(x, y) dx dy na integrál dvojnásobný (obě možnosti pořadí integrace), je-li množina A ohraničena y = x, y = x, y =, y = 4. Příklad 6. Vypočtěte integrál x + y dx dy, kde A = {[x, y] R : y x, y x}. A Příklad 7. Zaměňte meze a vypočtěte integrál π π y sin x dx dy. Příklad 8. Vypočtěte integrál 0 y A x y dx dy, kde množina A je znázorněna na následujícím obrázku. 5
Příklad 9. Vypočtěte dvojný integrál x + y dx, kde A = {[x, y] R : x + y 4, y x, y x}. A Příklad 40. Vypočtěte plochu množiny A = {[x, y] R : x + y 1, x + y 9, y x, y 0}. Příklad 41. Je dána množina A = {[x, y] R : 0 x 1, x y x}. Určete souřadnice jejího těžiště. Příklad 4. Určete kvadratický moment průřezu množiny A = {[x, y] R : x + y 4, y 0, y x} vzhledem k ose procházející kolmo počátkem. Příklad 4. Určete moment setrvačnosti množiny A = {[x, y] R : 0 x 1, x y x}, jejíž hustota je v každém bodě dána součtem jeho souřadnic, vzhledem (a) k ose x, (b) k ose y. Příklad 44. Vyřešte diferenciální rovnici: (a) y sin x = 5, (b) y = y ln y x. Příklad 45. Vyřešte počáteční úlohu: x + y =, y() = 5. 6
Výsledky některých příkladů Příklad 1: (a),, (b) ± 5i, (c) (, 5) (, ), (d) [ 1, ), (e) [, ), (f) ( 1, 1), (g) (, ) [1, ]. Příklad : P x = [4, 0]. Příklad : (a) 6 + ln 1, (b) 1 (e 4 +7), (c) log 7, (d) 1 (e17 ). Příklad 4: a) 0, b) 0, c) 6x + x 4, d) 1 x + 4 5x + 18 5 5 x, e) x +48x+1 (x 1), f) cos x 1 sin x, g) tg x + x cos x, h) x e x ( sin x + x sin x + x cos x), i) f(x) = x 6 x ( + x ln 6), j) x x 1, k) 1 x ln x, l) x x 1 (x +1). Příklad 5: a) 4, b). Příklad 6: a),, 9, b) π 4, 1, 4. Příklad 7: (a) [ 5, ), (b) R \ {0}, (c) (1, ), (d) [ 5, 4]. 7
Příklad 9: Příklad 10: Příklad 11: (a) (, 1) (, ) :, ( 1, ) :, lokální maximum v x = 1, lokální minimum v x =, (b) (, ) (, ) :, (, ) :, lokální maximum v x =, lokální minimum v x =, (c) (0, e) :, ( e, ) :, lokální maximum v x = e, (d) (0, e) :, (e, ) :, lokální minimum v x = e, (e) (, ) ( 1, ) :, (, 1) :, lokální maximum v x = 1, lokální minimum v x =, (f) (, ) (, ) :, (, ) \ {±1} :, lokální maximum v x =, lokální minimum v x =, (g) (, ) (0, ) :, (, 1) ( 1, 0) :, lokální maximum v x = 0, lokální minimum v x =, (h) (, 1) ( 1, 0) :, (0, 1) (1, ) :, lokální maximum v x = 0, 8
(i) (, 1) (1, ) :, ( 1, 0) (0, 1) :, lokální maximum v x = 1, lokální minimum v x = 1. Příklad 1:. Příklad 1: 100 10 metrů, přičemž větší rozměr je ze strany, ze které jsou vedle sebe dva pozemky. Příklad 14: r r. Příklad 15: Prostor pro kachny bude mít rozměry 14.5 19 metrů, přičemž u vody je delší strana. Příklad 16: Odstřižený čtvereček bude mít stranu o délce 1/6 délky strany papíru. Příklad 17: 80mi/h. Příklad 18: (a) 1m/s, (b) 59.5m /s, (c) 1rad/s. Příklad 19: (a) t : y = 1 + (x 1), n : y = 1 1 (x 1), (c) t : y = +x + π, n : y = π x, (b) t : y = +11(x+), n : y = 1 11 (x+), (d) t : y = 1 1 (x 9), n : y = + 1(x 9). Příklad 0: (a) 4.4, (b) 0.5151. Příklad 1: x k+1 = 1 (x k + 64 x k ), (a)8.6159, (b)4.00001. Příklad : x 4 5x 10x 10x 5. Příklad : 1 x 9x + x. Příklad 4: 1 x. Příklad 5: a) f x(x, y) = 6x 6xy + 7y, f y(x, y) = 6x y + 1xy, f xx(x, y) = 1x 6y, f yy(x, y) = 6x + 4xy, f xy(x, y) = 1xy + 1y. b) f x(x, y) = 5y sin(7x y) + 5xy cos(7x y), f y(x, y) = 5x sin(7x y) 10xy cos(7x y), f xx(x, y) = 70y cos(7x y) 45xy sin(7x y), f yy(x, y) = 0x cos(7x y) 0xy sin(7x y), f xy(x, y) = 5 sin(7x y) + 5x cos(7x y) 10y cos(7x y) + 70xy sin(7x y). c) f x(x, y) = y x, f y(x, y) = 1 x, f xx(x, y) = y x, f yy(x, y) = 0, f xy(x, y) = 1 x. 9
d) f x(x, y) = xy y, x f y(x, y) = 1+4x y xy, f xx(x, y) = y xy, 4x 5 f yy(x, y) = Příklad 6: 1 4y x, f xy(x, y) = 4x y 1 4x y. a) f x(x, y) = x cos x y cos y x +y sin x y sin y x x y, f y(x, y) = x cos x y cos y x +y sin x y sin y x x y. b) f x(x, y) = x ey x e y y, f y(x, y) = x e y x e y y. Příklad 7: (a) 4x y z = 0, (b) x + y 4z + 4(ln 4 1) = 0. Příklad 8: (a) 98 00, (b) 99 100. Příklad 9: (a) x 4 x + x x + c, (b) x x 1x + c, (c) x5 10 8 x + 1 ln x + x + c, (d) 1 1 11 x 11 40 0 17 x 17 + c, (e) 5 arcsin x + c, (f) x 4 ln 5 4 x + c. Příklad 0: (a) sin x (x + ) cos x + c, (b) e x (x + x ) + c, (c) x 4 ln x x 8 + c, (d) 5x(ln x 1) + c. Příklad 1: (a) 7 ln x + c, (b) 9 ln 5 9x + c, (c) 6 1 ( 4x) + c, 5 5 (d) 1 (x )6 + c, (e) x arctg x + c, (f) 1 6(1x+) + c, (g) x 5 + c, (h) ln x + c, (i) 0 0 9 x 9 + c, (j) ln 4 e x + c. 10
Příklad : (a) 168, (b) + π, (c) 4 π, (d) 1 + 5 1 π, (e) 4, (f) 10. Příklad : 45. Příklad 4: 1 x 0 x f(x, y) dy dx = 0 Příklad 5: 4 y+ f(x, y) dx dy = 4 y Příklad 6: 0. Příklad 7: 1 6. Příklad 8: 6 4 ln. Příklad 9: π. Příklad 40: π. Příklad 41: T = [, 5 ]. Příklad 4: π. Příklad 4: (a) 71 60, (b) 7 10. y y Příklad 44: (a)y = 5x cos x + c, (b)y = e cx. Příklad 45: y = x x +. f(x, y) dx dy + 1 y f(x, y) dx dy, plocha 1. x f(x, y) dy dx+ 5 4 4 f(x, y) dy dx+ 7 5 4 f(x, y) dy dx. x 11