Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95 70 70 8 85 70 5 70 80 70 7 50 7 87 7 88 7 7 5 7 5 7 7 9 5 8 75 8 5 7 9 5 9 7 9 8 7 7 77 9 7 5 80 8 7 97 85 Varačí rozpětí R = ma m = 85-5 = bod Kvatly % % % 5 50 75 = = 7 = 7 bod
Sturgesovo pravdlo, podle kterého by měl být počet skup (tervalů) k přblžě k = +, log v ašem případě k = +, log =,8. Vytvoříme tedy tervalů. Pomocí varačího rozpětí určíme velkost tervalů: / = 5,7, použjeme 5cm, protože rozpětí je ovlvěo odlehlým hodotam a obou kocích ašch dat.. terval do 57. terval 58. terval 7 bod. terval 8 7 5. terval 7 77. terval 78 a více Za represetatví výšku budeme brát střed tervalu. U krajích tervalů uvažujeme, jako by škála pokračovala. Iterval střed tervalu / Σ / do 57 55 0,0 0,0 58-0 5 0,09 0,5-7 5 7 0,70 0,5 8-7 70 0, 0,78 7-77 75 5 8 0,7 0,957 78 a více 80 0,0,000 Σ Polygo kumulatvích absolutích četostí 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 body
Artmetcký průměr (vážeý pomocí původích hodot) 5+ 57 + 58 + 0 + + + + 5 + 5 5 + + 7 + 5 8 + 5 70 = + 7+ 7 + 7+ 75 + 7 + 77 + 80 + 85 = 7,59 (vážeý pomocí středů tervalů) = k. 55 + 5 0 + 7 5 + 70 + 8 75 + 80 = = 7,7 Použjeme vážeý artmetcký průměr zaokrouhleý a jedu desetu = 7,7 cm. Rozdíly v obou vypočteých průměrech jsou způsobey tím, že jsme za reprezetatví hodotu tervalu vzal střed a kol průměr. Rozptyl, směrodatá odchylka (pomocí středů tervalů) S S S = k ( ). ( ) 55 7,7 + 5 (0 7,7) + 7 (5 7,7) + (70 7,7) = + 8 (75 7,7) + (80 7,7) + =,8 = 5,777 body Směrodatá odchylka ukazuje, jakou výpovědí hodotu má artmetcký průměr. Je-l směrodatá odchylka velká, výpovědí hodota artmetckého průměru je malá a opačě.
Mometové parametry jsou emprcké parametry, které vypočítáme z hodot statstckého zaku v ašem výběrovém souboru. Rozlšujeme: obecé momety, cetrálí momety ormovaé momety. Obecé momety Doplěá tabulka:.... 5 0 0 0 80 7 5 5 59 77 8 9 78 07 5 8 0 00 000 5000 7 59 9 70 O O O O = = = = = = = = =,5 9,89 70 58,7 = = =,5 body Obecý momet prvího řádu O =,5 je vlastě artmetcký průměr vyjádřeý v prvcích škály ( až ). Jedoduše tuto hodotu převedeme a cetmetry. Střed tervalu je 5cm a ještě zbývá 0,5 délky dalšího tervalu (délka tervalu je 5cm), takže 5 + 0,5. 5cm = 7,7 cm. Vdíme, že je to v aprosté shodě s předešlým výpočtem artmetckého průměru, který ám vyšel také = 7,7cm.
Obecý momet prvího řádu O je parametrem polohy. Obecé momety slouží k výpočtu cetrálích mometů. Cetrálí momety ( ) C = = O O = 0 ( ) ( ) ( ) C = = O O =,5 C = = O OO + O = 0,0 C = = O OO + OO O =,8 body Cetrálí momety jsou tedy počítáy vzhledem k cetrálí hodotě (artmetckému průměru). C je tedy vždy = 0. Cetrálí momet druhého řádu C je rozptyl odchylka. V ašem příkladě C =,55. S a je parametrem šířky, C je směrodatá Pro vyjádřeí v cetmetrech tuto hodotu vyásobíme délkou tervalu S =,55. 5cm = 5,777cm. Což je ve shodě s předchozím výpočtem, kdy ám S vyšlo 5,78cm. Cetrálí momety třetího a čtvrtého řádu použjeme k výpočtu dalších emprckých parametrů. Normovaé momety Parametr škmost je určová pomocí ormovaého mometu. řádu a ese pak ázev koefcet škmost. N C = = C C 0,5 5
Je-l koefcet škmost kladý, pak prvky škály ležící vlevo od artmetckého průměru mají vyšší četost (kladě zeškmeé rozděleí četostí větší kocetrace meších prvků škály, meších hodot statstckého zaku) a opačě. V ašem příkladě se jedá o mírě kladě zeškmeé rozděleí, to zameá, že v ašem souboru je více že meších, ež je průměrá výška = 7,7cm. Což s můžeme ověřt v tabulce. Parametr špčatost je ejčastěj určová pomocí ormovaého mometu. řádu a ese pak ázev koefcet špčatost. N C = =,77 C Špčatějšímu rozděleí četostí př daém rozptylu odpovídá vyšší hodota koefcetu špčatost ež rozděleí ploššímu. Používá se rověž velča eces, defovaá vztahem E = N = 0,8 Prametr eces srovává špčatost emprckého rozděleí se špčatostí zámého ormovaého ormálího rozděleí. Je-l eces kladý, je emprcké rozděleí špčatější ež toto rozděleí. V ašem příkladu má soubor meší koefcet ež ormovaé ormálí rozděleí. Výzam směrodaté odchylky pro ormálí rozděleí v tervalu S ; + S leží 8% všech hodot v tervalu S ; + S leží 95% všech hodot body v tervalu S ; + S leží 99% všech hodot V ašem případě v tervalu S ; + S = 5,;79, leží výšky dívek, tj. 9,5%.
Nulová a alteratví hypotéza (vz především: Budský, P. et al. Základy ekoomcké statstky, Eupress, Praha 008, str.-, kde je také jý podobý příklad.) Nulová hypotéza H 0 předpokládá, že ám studovaé emprcké rozděleí lze s praděpodobostí lepší ebo rovou ( - α ).00 % ahradt teoretckým rozděleím. Číslu α říkáme hlada výzamost. Alteratví hypotéza H a předpokládá, tuto áhradu elze provést. Neparametrcké testováí: Naše data podrobíme testu ormalty, tj. že aše výběrová data mohou být vybráa ze statstckého souboru odpovídajícího ormálímu (Gaussovu) rozděleí. Test provedeme a hladě výzamost α = 0,05. K tomuto testu použjeme tzv. umělé rozděleí (hodící se pouze pro testováí) (čt chí kvadrát). S ašm daty provedeme: a) zajstíme, aby v každém tervalu bylo alespoň 5 měřeí (pokud eí, spojíme teto terval se sousedím). Místo tervalů budeme mít. b) trasformac (substtuc) proměých u =, S kde u je proměá ormovaého ormálího rozděleí s dstrbučí fukcí u Φ ( u) = e. π (Fukce Φ ( u) se ěkdy azývá Laplaceova fukce.) V ěkterých tabulkách je ozačováa jako F ( u ).) Vytvoříme ovou tabulku: Pomocí tabelovaých hodot Φ ( u) a použítím pravdla Φ( u) = - ( u) pravděpodobost p odpovídající horím mezím tervalů Φ vypočítáme ( ) ( ) p = Φ u Φ u Nyí můžeme vypočítat ep = ( p ) p ep epermetálí hodotu Teoretckou hodotu teor alezeme opět v jé tabulce a to v řádku v, v udává tzv. počet stupů volost 7
v = k r, kde r je počet parametrů rozděleí, které testujeme (pro Gaussovo rozděleí r = ); tedy v =. Krtcký obor pro áš test je W v α ( ) ) = teor, ; +. Pokud bude ep mmo krtcký obor, bude aše ulová hypotéza potvrzea a příslušé hladě výzamost. terval hor.mez u Φ ( u ) p p ( ) / p p Do 7-0,98 0, 0, 7,0 0,05-7 7 7-0, 0,8 0,87,0,09 8-7 7 0,7 0,770 0,,8 0,58 7 a více 0,000 0,0 0,580 0,08 =,000 ep =, 807 α = 0,05 teor =,8 ep =,807,8; +. Epermetálí hodota statstckého krtera ep je mmo krtcký obor W, lze tedy přjmout ulovou hypotézu H 0 a tedy a hladě výzamost α = 0,05 lze aše data ahradt. body Parametrcké testováí se týká posuzováí vypočteých emprckých parametrů výběrových souborů. 8