.9. Logaritmická funkce I Předpoklady: 90 Porovnáváme hodnoty eponenciální a logaritmické funkce. Jak souvisejí dvojice čísel a y u obou funkcí? Eponenciální funkce y = Logaritmická funkce y = log Hodnoty Dvojice čísel y Hodnoty Dvojice čísel y = log = 0 = 0 log = 0 0 = log = = log = = log = = log = U obou funkcí nacházíme stejné dvojice, ale s prohozeným pořadím a y funkce y = log a y = jsou navzájem inverzní. Poznámka: Předchozí věta se většinou používá pouze v jednom směru: y = log je inverzní funkce k funkci y =. Ve skutečnosti už to víme dávno. Od chvíle, kdy jsme logaritmus zavedli pomocí hodnot eponenciální funkce. Můžeme nakreslit graf funkce y = log.
0 [;] [;] -0 - - [;] - [;] [;] [;] 0 - -0 Podobně můžeme nakreslit i grafy dalších logaritmických funkcí s jinými základy. Každá má svůj vzor v odpovídající eponenciální funkci. Př. : Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = a y log klesající, význačný bod). = ( D( f ), ( ) H f, rostoucí, y = y = log = R D ( f ) = ( 0; ) D ( f ) H ( f ) = ( 0; ) ( ) Funkce je rostoucí. H f = R Funkce je rostoucí. ;0. Graf prochází bodem [ 0; ]. Graf prochází bodem [ ] Př. : Nakresli do jednoho obrázku grafy funkcí y = a y = log. Funkce y = a y = log jsou navzájem inverzní funkce grafy musí být souměrné podle osy y =.
0-0 - - - 0 - -0 Pedagogická poznámka: Velmi často studenti kreslí graf funkce y = log v souměrnosti podle osy y =. Získají tak obrázek, který je velmi podobný původnímu obrázku s funkcemi y = a y = log, což jim přijde správnější. Zdůrazňuji, že neeistuje pravidlo, které by nařizovalo, aby si všechny obrázky byly podobné, ale eistují pravidla na kreslení grafů inverzních funkcí.
Př. : Nakresli do jednoho obrázku grafy funkcí y =, y =, y = a k nim inverzních funkcí y = log, y = log, y = log. 0-0 - - - 0 - -0 Př. : Pomocí předchozích příkladů rozděl logaritmické funkce do dvou skupin podle jejich vlastností. Vlastnosti přehledně zapiš do tabulky. y = log a a ( 0;) a ( ; ) Funkce je klesající. Čím menší je a, tím více se graf funkce přimyká k ose. D( f ) = ( 0; ) H ( f ) = R Graf prochází bodem [ ;0 ]. Funkce je rostoucí. Čím větší je a, tím více se graf funkce přimyká k ose. Pedagogická poznámka: Studenti často špatně čtou zadání předchozího příkladu a nemohou najít na obrázku z příkladu dva druhy logaritmických funkcí. Jakmile je upozorním na slovo předchozích, ví, co mají dělat.
Př. 5: Nakresli do jednoho obrázku grafy funkcí y = log, y = log, y = log,5. Tvary grafů nejdříve odhadni a potom svůj odhad potvrď tím, že určíš pro každou funkci k bodu [ ;0 ] další bod, kterým funkce prochází. Všechny tři funkce mají základ větší než budou rostoucí, funkce s největším základem bude nejvíce přitisknutá k ose. Jako další body volíme takové, ve kterých má logaritmus hodnotu. V těchto bodech je hodnota proměnné rovna základu logaritmu: y = log : y = log = funkce y = log prochází bodem [ ; ]. y log = : y = log = funkce y log y log,5 = : y = log,5,5 = funkce,5 0 = prochází bodem [ ; ]. y = log prochází bodem [ ],5;. -0 - - - 0 - -0 Pedagogická poznámka: Hlavním cílem předchozího a následujícího příkladu kreslení grafů, je diskuse o volbě bodů, které umožní lépe nakreslit graf. Body musí splňovat dvě podmínky: musíme být schopni rychle určit jejich souřadnice a zároveň musí v obrázku o funkci hodně naznačit (nesmějí například splývat s bodem [,0 ] nebo navzájem). 5
Př. : Nakresli do jednoho obrázku grafy funkcí y = log, y = log 0,, y = log0,9. Tvary grafů nejdříve odhadni a potom svůj odhad potvrď tím, že určíš pro každou funkci k bodu [ ;0 ] další bod, kterým funkce prochází. Všechny tři funkce mají základ menší než budou klesající, funkce s nejmenším základem bude klesat nejrychleji. Čím menší je základ, tím více se funkce přimyká k ose. Jako další body volíme takové, ve kterých má logaritmus hodnotu nebo -. (pokud bychom používali všude body s hodnotou logaritmu, všechny tři body by ležely blízko sebe) y = log : y = log = funkce y log y y = log 0, : 0, = log 0,9 : 0,9 y = log 0 = funkce y log 0, y = log 0,9 = funkce y 0,9 0 = prochází bodem [ ; ]. = prochází bodem [ 0; ] = log prochází bodem [ 0,9; ].. 0-0 - - - - -0 Př. 7: Petáková: strana /cvičení 7 f, f, f, f Shrnutí: Logaritmická funkce je inverzní k funkci eponenciální.