Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném bodě. Platí tedy, že tg. Je-li derivace v bodě nevlastní, pak směrový úhel tečny grafu v bodě je roven a tečna je tedy rovnoběžná s osou. Kromě tečny určujeme ke grafu funkce také normálu, což je přímka kolmá k tečně. rovnice tečny: ; rovnice normály: 4.2 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo je jednoduchým a účinným pravidlem pro výpočet limit, které vedou k neurčitým výrazům typu a, přitom využívá diferenciálního počtu. Pokud jsou splněny následující podmínky: 1. nebo 2. existuje limita Pak existuje také limita a platí:
Poznámka: Je potřeba si uvědomit, že použití L Hospitalova pravidla nederivujeme podíl dvou funkcí, ale derivujeme čitatele zvlášť a jmenovatele zvlášť. Příklad: Vypočtěte limitu funkce L Hospitalova pravidla můžeme použít i k výpočtu takových limit funkcí, které nejsou typu a, ale dají se na něj upravit. Neurčitý výraz typu Je to výraz, který získáme při výpočtu limity. Součin pak upravíme takto: nebo Tímto způsobem je neurčitý výraz typu převeden na neurčitý výraz typu nebo. Příklad: Vypočtěte limitu Neurčitý výraz typu Je to výraz, který získáme při výpočtu limity. Rozdíl je možné upravit takto: nebo Tímto způsobem převedeme neurčitý výraz typu na neurčitý výraz typu nebo. Příklad: Vypočtěte limitu
Neurčité výrazy typu Jsou to výrazy, které získáme při výpočtu limity, kde. Mocninu upravíme takto:, takže, kde exponentem je neurčitý výraz typu, který vypočteme podle předchozích postupů. Příklad: Vypočtěte limitu Tedy 4.3 Monotónnost funkce Je-li funkce rostoucí, resp. klesající, na otevřeném intervalu, je zřejmě rostoucí, resp. klesající v každém bodě tohoto intervalu. Má-li funkce první derivaci, pak monotónnost této funkce v bodě a na otevřeném intervalu pomohou určit následující věty: Věta (o ryzí monotónnosti funkce v bodě): Nechť funkce má první derivaci v bodě. Je-li resp., pak je funkce v bodě rostoucí, resp. klesající. (věta obrácená však neplatí) Věta (o ryzí monotónnosti na otevřeném intervalu): Nechť funkce f má první derivaci na intervalu. Jestliže pro všechny body je resp., pak je funkce rostoucí, resp. klesající na intervalu. (věta obrácená opět neplatí) Příklad: Zjistěte, ve kterých intervalech je funkce rostoucí, ve kterých klesající.
je vždy, proto je funkce na celém definičním oboru rostoucí 4.4 Extrémy funkce Má-li funkce v bodě lokální extrém, pak buď derivace neexistuje, nebo je rovna nule.!věta obrácená neplatí, tedy rovnost extrému funkce. není postačující podmínkou pro existenci lokálního Bod se nazývá stacionárním bodem (bodem podezřelým z extrému ) funkce, jestliže existuje derivace a je-li. Je-li stacionárním bodem funkce a funkce má 2. derivaci v bodě, pak platí: Je-li, má funkce ostrý lokální extrém v bodě, a to ostré lokální maximum pro a ostré lokální minimum pro. Příklad: Najděte lokální extrémy funkce. Body podezřelé z extrému: v bodě v bodě nastane lokální maximum nastane lokální minimum K posouzení, zda má nebo nemá funkce ve svém stacionárním bodě lokální extrém nám někdy postačí znalost znaménka první derivace funkce. Mění-li derivace v bodě znaménko ze záporného na kladné, resp. z kladného na záporné, pak má funkce v bodě lokální minimum, resp. lokální maximum. Nemění-li v bodě derivace své znaménko, pak funkce v tomto bodě extrém nemá.
4.5 Konvexnost a konkávnost funkce Konvexnost a konkávnost funkce charakterizují typ prohnutí jejího grafu. Geometricky lze konvexnost charakterizovat tak, že všechny body grafu funkce leží nad tečnou sestrojenou ke grafu funkce v bodě, v němž je konvexnost vyšetřována (resp. pod tečnou sestrojenou ke grafu funkce pro konkávnost). Má-li funkce v bodě 2. derivaci, pak platí: je-li resp. je funkce v bodě ryze konvexní, resp. ryze konkávní. Přitom funkce je ryze konvexní a ryze konkávní na intervalu, je-li ryze konvexní, resp. konkávní v každém bodě tohoto intervalu. Inflexní bod funkce je takový, v němž funkce mění tvar z konvexního na konkávní a naopak. Má-li funkce inflexi v bodě a existuje-li druhá derivace, pak. Má-li funkce druhou derivaci v bodě a, pak jestliže, má funkce inflexi v bodě. Příklad: Určete intervaly, na nichž je zadaná funkce konvexní, resp. konkávní a určete inflexní body této funkce: Funkce je konvexní na a konkávní na. Inflexní body funkce jsou:
8.4 Optimalizační úlohy Často se setkáváme s úlohami spočívajícími v nalezení minimální nebo maximální hodnoty. Pomocí diferenciálního počtu lze všechny tyto úlohy převést na problematiku hledání extrémů funkce na dané množině. Při řešení praktických úloh postupujeme tak, že nejdříve nalezneme příslušnou funkci (nalezení funkce z konkrétního zadání reálné úlohy je obvykle největším problémem) a množinu, na které je definována, popř. na které má smysl hledat její extrém. Následovně určíme první derivaci této funkce, položíme ji rovnu nule a z této podmínky určíme její minimum, popř. maximum. Příklad: Plakát o ploše má mít okraj 6cm nahoře a 4cm na každé straně a dole. Jaké největší rozměry může mít potištěná plocha? výška plakátu výška tištěné plochy šířka plakátu obsah tištěné plochy šířka tištěné plochy, přitom ze zadání úlohy platí, že a pokusíme se nyní najít maximum této funkce položíme první derivaci rovnu nule a, b jsou délkové rozměry, má tedy smysl pouze kladné řešení Celkové rozměry plakátu tedy budou a potištěná plocha bude mít rozměry. Příklady k procvičení 1. Určete rovnice tečny, normály v daném tečném bodě a úhel, který svírají s osou : a) f) b) g) c) h)
d) i) e) j) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2. S využitím ospitalova pravidla určete hodnotu následujících limit: a) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) a) b) ; c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 3. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce : a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) a) b) c) ; d) e)
f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 4. Najděte lokální extrémy funkce : a) b) c) d) e) f) g) h) i) a) b) c) d) e) f) ; g) h) i) 5. Stanovte intervaly, ve kterých je funkce konvexní, ve kterých je konkávní a určete inflexní body funkce: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) a) ; b) ; c) ; d) ; e) f) g) h) i) l) ; j) k) ; 6. Jaké jsou rozměry otevřeného bazénu o objemu se čtvercovým dnem, požadujeme-li, aby jeho vyzdění vyžadovalo minimální spotřebu materiálu?
7. Při jakých rozměrech válcové konzervy o objemu se spotřebuje nejméně plechu na její výrobu? 8. Najděte takové kladné číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl nejmenší. 9. Číslo 28 rozložte na dva sčítance, aby jejich součin byl největší. 10. Drátěným pletivem délky 120m je třeba ohradit obdélníkový pozemek ze tří stran (na čtvrté straně je dům) tak, aby měl největší obsah. Určete rozměry tohoto pozemku. 11. Jaké rozměry by musela mít podstava krabice na mléko, kdyby se mléko vyrábělo ve dvoulitrových krabicích, aby spotřeba papíru na výrobu krabice byla minimální? Krabici považujte za pravidelný čtyřboký hranol, odpad papíru na lepení neuvažujte.