evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz
evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat
evost a životost - Hr III 3 tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo životostmi částí kostrkce? Jaká je pravděpodobost vzik statické porchy při zatížeí sočásti a dao úroveň apětí? Jaká je pravděpodobost vzik porchy v důsledk úavy materiál po absolvováí zvoleého počt kmitů (ebo hodi provoz) a pro daé zatížeí sočásti? Jako mír rizika mají případá tvrzeí, že po absolvováí rčitého počt kmitů je pravděpodobost poršeí kostrkce stále dostatečě malá? Jak lze získat tzv. bezpečé úavové křivky, kterým lze přiřadit kokrétí hodot pravděpodobosti poršeí? Jak sovisí volba velikosti sočiitele bezpečosti s rizikem možého vzik porchy? Jak se statisticky výzamě od sebe odlišjí dva sobory dat (apř. výsledků zkošek), případě lze je považovat za jede stejý sobor? Které parametry jedozačě popisjí stochastický zatěžovací proces? Jakým způsobem lze simlovat stochastické zatížeí při zkoškách?
evost a životost - Hr III 4 Základí pojmy a vztahy áhodá veličia: veličia která může abývat růzé hodoty, jež se ale řídí rčitými zákoitostmi distribčí fkce F(): každém reálém čísl 0 přiřazje pravděpodobost, že áhodá veličia bde mít hodot meší či rov ež toto reálé číslo 0. F( ) 0 0.9 0.8 0.7 F( ) 0 F( ) F( ) F( ) F() 0.6 0.5 0.4 0.3 0. F(0. 0 ) 0 0 0 0 40 60 80 00
evost a životost - Hr III 5 Základí pojmy a vztahy hstota pravděpodobosti: f d F F F f df d f d f() 0.05 0.0 0.05 f( 0 ) 0.0 0.005 0 0 0 0 40 60 80 00
evost a životost - Hr III 6 Cetrálí momety každé rozděleí áhodé veličiy lze charakterizovat ěkolika čísly, tzv. charakteristikami; ejžívaějšími charakteristikami jso cetrálí momety (k-tého řád): k k f d k k f d k k středí hodota: rozptyl: šikmost: špičatost: cetr. momet prvího řád f d cetr. momet drhého řád f cetr. momet třetího řád cetr. momet čtvrtého řád d směrodatá odchylka v variačí sočiitel
evost a životost - Hr III 7 Drhy rozděleí ormálí (Gassovo) logaritmicko-ormálí (logormálí) tdetovo Chí -kvadrát Weibllovo Epoeciálí Mawellovo Fisherovo rovoměré
evost a životost - Hr III 8 Gassovo ormálí rozděleí áhodé veličiy je to model rozděleí časté požití v techické prai áhodý proces je tvoře sočtem růzých ezávislých vlivů velký počet vlivů každý vliv má poze malý příspěvek F f e e d
evost a životost - Hr III 9 Gassovo ormálí rozděleí áhodé veličiy ormovaá áhodá veličia: ormovaý tvar distribčí fkce: e d ormálího rozděleí leží v oblasti: 68,3 %, 95,5 %, 3 99,7 % výsledků 0.4 kvatil: f() 0.35 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0-4 -3 - - 0 3 4
evost a životost - Hr III 0 ravděpodobostí papír F 99.9 [%] 3 [] iverzí fkce F F teto kvatil je lieárí fkcí áhodé proměé, distribčí fkce je tak zobrazea jako přímka a ikoli jako křivka 84. 50.0 0 5.9 - s log s log - 0. -3 0 50 0 0
evost a životost - Hr III Okrky akladačky při sklizi mají rozděleí velikosti N(; 6) v cm. taovte, kolik procet okrek je: ř.: Okrky akladačky a) meších ež 9 cm b) větší ež cm c) v iterval 9 cm ravděpodobost výběr jedé kokrétí hodoty je lová pro ekoečý základí sobor ebo koečý základí sobor, který dao velikost eobsahje, elová pokd diskrétí možia áhodé veličiy přesě hodot obsahje!!!
evost a životost - Hr III Odvozeí přepočt a bezpečý úavový život log log log log log log N B B c a c a c a N N N N 0 X X X Y X Y X X kost X kost kost f d
evost a životost - Hr III 3 Logaritmicko-ormálí rozděleí áhodé veličiy je to model rozděleí, saha vyžit výhodé vlastosti ormálího rozdělěí pro veličiy které sice rozděleí ormálí emají, ale vhodo trasformaci je a ormálí lze převést) časté požití v techické prai (rozděleí doby do opotřebeí výrobk, prostojů při opravách apod., plocha říčích rýžovišťových ložisek, propstost sedimetárích hori) áhodý proces je tvoře sočiem růzých ezávislých vlivů velký počet vlivů, každý vliv má malý příspěvek F f M e 0 M e 0 M l0 log log d jiý pravděpodobostí papír F log F
evost a životost - Hr III 4 tdetovo rozděleí 0 d e c c m m c f Chí -kvadrát rozděleí 0... e 0 0... f
evost a životost - Hr III 5 Základí sobor vs. áhodý výběr základí sobor (možia hodot áhodé veličiy s daým rozděleím) áhodý výběr (skpia hodot ze základího sobor) jiý áhodý výběr (skpia hodot ze základího sobor)
evost a životost - Hr III 6 tatistické zkomáí opisá statistika je zám celý statistický sobor a pomocí statistických metod jso charakterizováy sktečosti, které již astaly. tatistický sobor je koečý a jediečý. tatistická idkce pracje se soborem údajů, které tvoří zpravidla je malo část základího sobor, jehož hodoty čekají a svoji realizaci. Úkolem tedy je vyjádřit sktečost, která teprve astae, ebo sktečost, která již astala, ale která může být pozorováa poze částečě. Základím předpokladem idktivích přístpů je, že část základího sobor, se ktero se pracje, je reprezetativím vzorkem áhodým výběrem.
evost a životost - Hr III 7 tatistický odhad Bodový odhad odhad charakteristiky rozděleí áhodé veličiy (ezámého čísla) výběrovo charakteristiko (zámým vypočteým číslem). Výběrová charakteristika, která představje bodový odhad je áhodo veličio, a proto se její hodoty při opakovaém odhadováí liší od odhadovaé charakteristiky a výrok o přesosti odhad je ejistý. Bodové odhady msí mít rčité vlastosti, podle ichž lze posodit vhodost požití daé veličiy k odhad charakteristiky. rotože k odhad lze požít zpravidla růzé výběrové charakteristiky, je třeba staovit kriteria pro jejich volb. Itervalový odhad odhad charakteristiky rozděleí áhodé veličiy, při ěmž kromě čísla, kterým se charakteristika odhadje, dává ještě přesost a spolehlivost této přesosti. Jiými slovy, rčje se iterval (kofidečí iterval), který s předem zvoleo pravděpodobostí (kofidečí koeficiet, koeficiet spolehlivosti) zahrje hodot ezámé charakteristiky rozděleí áhodé veličiy.
evost a životost - Hr III 8 ř.: Úavová zkoška ři statistickém zjišťováí Wöhlerovy křivky se zkoší a každé zvoleé hladiě apětí daý počet vzorků, vyhodoceím podle avržeého model rozděleí Gassovo ormálí rozděleí pro log(n) lze získat Wöhlerov křivk pro dao pravděpodobost poršeí. U: Zpracovat statisticky výsledky zkošky a hladiě i =65 Ma. D: zkošeo =4 vzorků do porchy Vzorek 3 4 5 6 7 N0 3 [-] 9, 03,0 4,4 3,4 83,8,0 74,0 Vzorek 8 9 0 3 4 N0 3 [-] 39, 68,7 3,4 54,0 346,6 87, 5,7 Data z příklad jso vlastě áhodým výběrem 4 vzorků z daleko širšího základího sobor všech možostí!
evost a životost - Hr III 9 Relativí četost a rel. kmlativí četost i X i = N i 0 3 [-] i = log(n i ) [-] [%] 4,4 5,095 6,67 68,7 5,7 3,33 3 87, 5,7 0,00 4 03,0 5,307 6,67 5 3,4 5,39 33,33 6 3,4 5,39 40,00 relativí četost 0.4 0.35 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0 7 5,7 5,334 46,67 8 9, 5,34 53,33 9,0 5,344 60,00 0 54,0 5,405 66,67 74,0 5,438 73,33 83,8 5,453 80,00 3 346,6 5,540 86,67 relativí kmlativí četost 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 00 % i i 4 39, 5,59 93,33 N i [kc] = X i áhodá proměá, log(n i ) = i trasformovaá áhodá proměá, ( i ) pořadová pravděpodobost (dává poměro část výběr mající hodoty meší ež daá hodota i ).
evost a životost - Hr III 0 Bodový odhad Název Vzorec Hodota Výběrový aritmetický průměr log( N) i i 5,358 Výběrový geometrický průměr Mediá Mods Výběrový rozptyl měrodatá odchylka výběr geom i i m k, k pro liché; k k m, k pro sdé ˆ ˆ Nejčastější hodota i i K ˆ K 3, 09 5,356 5,338 5,39 0,057 0,8 Výběrový variačí sočiitel vˆ ˆ 0,04
evost a životost - Hr III Itervalový odhad středí hodoty Hladia spolehlivosti a: pravděpodobost s jako je očekáváo, že rčovaý parametr rozděleí se bde vyskytovat ve vypočteém iterval (v techice 95 %, 90 % i 97,5 %) pro příklad Riziko: b=-a Itervalový odhad středí hodoty ormálího rozděleí je založe a sktečosti, že áhodá proměá t podléhá tdetov rozděleí s (-) stpi volosti, tj. v=3 ve výraz pro t. rozděleí a itervalový odhad. t ˆ v výběrový odhad středí hodoty sktečá středí hodota
evost a životost - Hr III Itervalový odhad středí hodoty t a ˆ v t a a t a ˆ t v 5,358 ˆ 0,8 v 3 t a,6 a 5,8 5,434 90 985 N 7644 ˆ v
evost a životost - Hr III 3 Itervalový odhad rozptyl ˆ ˆ ˆ, b, 4, ˆ 3 0,05 4, 0,05 0,008 0,09 0,057 4,74 5,0 0,04 0,0 b
evost a životost - Hr III 4 Dolí iterval spolehlivosti ˆ z příklad je možé rčit: té rozšířit o iformaci, jak je spolehlivý: ˆ,,,, k k b b b b b b b
evost a životost - Hr III 5 ravděpodobostí papír příklad ˆ log logn log logn, b logn ˆ log i K logn logn k i logn ˆ i log logn logn ˆ log,, ˆ b b log i Eistje 5% riziko, že po acyklováí 44 4 cyklů se porší z 0 000 zkšebích vzorků základího sobor.