8 Matice a determinanty

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = (a ij) i=1,,m, j=1,,n a m1 a m2 a mn kde a ij R, resp a ij C nazýváme prvky matice A Poznámky: řádky (sloupce) matice A jsou vektory z R n (R m ) resp C n (C m ); m n matice A má m řádků a n sloupců; m = n mluvíme o čtvercové matici A stupně n Označení Množinu všech reálných matic rozměru m n budeme značit M m n (R), množinu všech komplexních matic rozměru m n budeme značit M m n (C) Úmluva: Zápisem M m n budeme rozumět množinu všech reálných nebo komplexních matic rozměru m n, zejména v situacích, kdy formulované tvrzení nebo vlastnost platí pro matice rozměru m n, bez ohledu na to, jestli jsou reálné nebo komplexní Definice Rovnost matic: A M m n, B M r s Potom A = B právě tehdy, když m = r, n = s, a b ij = a ij pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Sčítání (odčítání) matic: A,B,C M m n,c = A ± B: c ij = a ij ± b ij pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Násobení skalárem: A M m n, (αa) ij = αa ij pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Poznámka Sčítání matic a násobení matice skalárem je tedy definováno "po složkách" M m n je lineární vektorový prostor dimenze mn Definice (Násobení matic) Bud A M m s, B M s n Matice C = A B M m n je definována takto: s C = (c ij ) i=1,,m, kde c ij := a ik b kj j=1,,n Poznámka (Einsteinova sumační konvence:) s a ik b kj a ik b kj (sčítání přes opakující se indexy) Pozor na interpretaci zápisů typu "a kk " apod k=1 k=1

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 2 Poznámka Pro A,B M n n je definováno A B i B A, obecně je ovšem A B B A, tj násobení matic není komutativní Uvažte například ( ) ( ) 1 0 0 1 A =, B =, 0 2 0 0 kdy A B = ( 0 1 0 0 ), B A = ( 0 2 0 0 Poznámka Násobení matic ovšem je asociativní, tj A (B C) = (A B) C, pokud jsou všechna násobení definována (tj pokud souhlasí rozměry matic) Dále platí (ověřte): A (B + C) = A B + A C, (B + C) A = B A + C A, λ(a + B) = λa + λb, λ(a B) = (λa) B, ) pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj souhlasí rozměry matic) Definice (Jednotková matice stupně n) Jednotková matice stupně n je matice I M n n tvaru 1 0 0 0 1 0 I = 0 0 1 Poznámka: Jednotková matice je příkladem tzv diagonální matice (matice, pro kterou a ij = 0, pokud i j) Ověřte: je-li I M n n jednotková matice, pak A I = I A = A, pro všechny matice A M n n Definice Bud A M n n Řekneme, že A má inverzní matici (značíme ji A 1 ), pokud existuje A 1 M n n, taková, že A A 1 = A 1 A = I Pokud A M n n má inverzní matici, říkáme, že A je regulární matice, v opačném případě říkáme, že A je singulární matice Tvrzení 81 Je-li A M n n regulární, pak je A 1 určena jednoznačně a platí (A 1 ) 1 = A Jsou-li A,B M n n regulární, pak i matice A B a B A jsou regulární, a platí (A B) 1 = B 1 A 1, (B A) 1 = A 1 B 1 Množina všech regulárních matic stupně n tvoří grupu vůči operaci násobení matic, přičemž jednotkovým prvkem této grupy je jednotková matice Tvrzení 82 Bud A M n n Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 3 Poznámka: Toto tvrzení ještě později rozšíříme o další ekvivalentní podmínky Definice Transponovanou maticí k matici A M m n nazvu matici A T M n m takovou, že pro její prvky a T ij platí: at ij = a ji pro všechna i = 1,,m; j = 1,,n Řeknu, že matice A M n n je symetrická, pokud A = A T (Uvědomte si na základě definice rovnosti dvou matic, že tento pojem má smysl jen pro matice z M n n ) Řeknu, že matice A M n n je ortogonální, pokud A A T = I Tvrzení 83 Bud A M n n ; potom A A T = I A T A = I Bud A M n n ; potom A je ortogonální (A je regulární a A 1 = A T ) Definice Hermitovsky sdruženou (někdo říká též "adjungovanou") maticí k matici A M m n (C) nazvu matici A H M n m (C) definovanou předpisem A H := A T, kde A je matice, sestávající z prvků komplexně sdružených k prvkům matice A Řeknu, že matice A M n n (C) je hermitovská (případně "samoadjungovaná"), pokud A = A H Řeknu, že matice A M n n (C) je unitární, pokud A A H = I Tvrzení 84 Bud A M n n (C); potom A A H = I A H A = I Bud A M n n (C); potom A je unitární (A je regulární a A 1 = A H ) Poznámka: Pro A M n n (R) splývají pojmy "hermitovská" a "symetrická"; a "unitární" a "ortogonální" Někdy se používá pro A H též označení A Přesněji, A se užívá pro adjungovanou matici, A H pro matici Hermitovsky sdruženou Názvosloví pochází z teorie operátorů, kde tyto pojmy označují dvě různé vlastnosti Pro zobrazení, která jsou reprezentována konečnými maticemi, oba pojmy splynou Cvičení Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespoň na jedné straně uvažovaných rovností): (Porovnejte tyto identity se vztahem který platí pro regulární matice A, B) (A B) T = B T A T, (A B) H = B H A H (A B) 1 = B 1 A 1,

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 4 82 Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustava m lineárních algebraických rovnic (LAR) pro n neznámých x 1,,x n (přičemž "pravá strana" y 1, y m a "koeficienty" a ij jsou dány): a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = y 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = y 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = y m Ax = y A x = y kde A M m n (R) (resp M m n (C)), x x R n (resp C n ), y y R m (resp C m ) Diskuse: 1 Pokud y = 0, říkáme dané soustavě (A x = 0) homogenní soustava LAR Označme N A := { x R n (resp C n ); A x = 0} množinu řešení homogenní soustavy A x = 0 Potom platí: vždy je 0 N A, tedy N A ; pokud N A = {0}, říkáme, že homogenní soustava A x = 0 má pouze triviální řešení; N A je vektorový podprostor prostoru R n (resp C n ), tedy x N A, z N A, α, β R = α x + β z N A 2 Pokud y 0, říkáme dané soustavě (A x = y) nehomogenní soustava LAR Platí: pokud je x P jedno (partikulární) řešení soustavy A x = y, pak všechna řešení soustavy A x = y mají tvar N x P + c J x J, (1) J=1 kde c J jsou konstanty (skaláry), N je dimenze vektorového prostoru N A a x J jsou (lineárně nezávislé) prvky báze prostoru N A Situaci z (1) někdy též formálně zachycujeme zápisem x P + N A Věta 85 Bud A M m n Potom y M m 1! x M n 1, A x = y N A = {0} Navíc platí: pokud N A je netriviální (N A {0}), tak pro pevně zvolené y M m 1 nastane právě jedna z těchto možností: neexistuje x M n 1 takové, že A x = y (soustava nemá řešení); existuje nekonečně mnoho x M n 1 takových, že A x = y (soustava má nekonečně mnoho řešení); tato řešení jsou pak tvaru x P + N A, kde x P je nějaké (jedno) řešení soustavy rovnic A x = y Definice Bud A M m n Hodností matice A (píšeme h(a)) nazveme maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A Tvrzení 86 Bud A M m n Potom h(a) = h(a T )

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 5 Důsledky: Definice hodnosti matice se nezmění, pokud v ní zaměníme slovo "sloupců" slovem "řádků" Pro A M m n je h(a) min(m,n) Definice Bud A M m n, y M m 1, x M n 1 Rozšířenou maticí soustavy A x = y nazvu matici (A; y) M m (n+1), která vznikne rozšířením matice A o jeden sloupec přidáním (sloupcového) vektoru y Věta 87 (Frobenius) Bud A M m n, y M m 1 Potom soustava A x = y je řešitelná (tj existuje alespoň jedno x M n 1 takové, že A x = y) h(a) = h(a; y) Poznámka: Vždy je h(a) h(a; y) (rozmyslete si), tedy platí: soustava A x = y nemá řešení h(a) < h(a; y) Věta 88 Bud A M m n (tedy n je počet sloupců matice A) Potom dimn A + h(a) = n Věta 89 (aneb 1 rozšíření Tvrzení 82) Bud A M n n čtvercová matice Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN h(a) = n dim N A = 0 Rekapitulace: Mějme soustavu rovnic A x = y, A M m n, y M m 1, tedy matice A má n sloupců Potom nastane právě jedna z těchto tří situací: 1 dim N A = 0:! x M n 1, A x = y 2 dim N A = n h(a) 1 & h(a) = h((a; y)): homogenní soustava A x = 0 má právě n h(a) lineárně nezávislých řešení a soustava A x = y má nekonečně mnoho řešení tvaru x P + N A, kde x P je jedno (partikulární) řešení soustavy A x = y 3 dim N A = n h(a) 1 & h(a) < h((a; y)): homogenní soustava A x = 0 má právě n h(a) lineárně nezávislých řešení a soustava A x = y nemá žádné řešení (není řešitelná) Definice Matici A = (a ij ) nazvu horní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i > j Matici A = (a ij ) nazvu dolní trojúhelníkovou maticí, pokud platí a ij = 0 pro všechna i < j Poznámky: Matice je horní trojúhelníková a současně dolní trojúhelníková právě tehdy, když je diagonální Je-li A horní (nebo dolní) trojúhelníková matice, je nalezení řešení soustavy A x = y jednoduché Gaussova eliminační metoda řešení soustavy rovnic A x = y: Upravujeme rozšířenou matici soustavy (A; y) s cílem obdržet na místě A horní trojúhelníkovou matici; používáme tyto úpravy: prohození dvou řádků v matici (A; y) (odpovídá prohození pořadí rovnic v systému); vynechání řádku v matici (A; y), pokud tento řádek tvoří s některými dalšími řádky LZ množinu vektorů (odpovídá vynechání příslušných rovnic v systému);

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 6 vyškrtnutí nulových sloupců (odpovídá vynechání proměnné x j, která se nevyskytuje v soustavě rovnic, z vektoru řešení x); prohození dvou sloupců (odpovídá přečíslování proměnných x j ve vektoru řešení x); přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku matice (A; y) Příklad 1 Řešte tyto soustavy rovnic: (a) 2x + 3y+z= 5 (b) 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x + 4y+z= 3 x y = 1 x y = 2 (c) 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: (a) Nemá řešení (b) Nekonečně mnoho řešení tvaru [x, y, z] = [2, 0, 1] + c[1, 1, 5], c R, (dimn A = 1) (c) Právě jedno řešení: [x, y, z] = [ 12 5, 2 5, 1] 83 Determinanty a jejich výpočet Definice Determinant čtvercové matice A M n n, deta, definujeme induktivně takto: Pro A M 1 1, A = (a 11 ), definujeme deta := a 11 Pro A M n n, definujeme deta := n ( 1) j+1 a 1j detm 1j, kde M 1j je matice, která vznikne z matice A vyškrtnutím 1 řádku a j-tého sloupce j=1 Příklad: vzorec pro výpočet determinantu A M 2 2, Sarusovo pravidlo pro A M 3 3 Poznámka Místo označení "det A" používáme někdy zkrácené značení: svislé čáry kolem prvků matice A Tedy a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn Pravidla pro výpočet determinantů: Je: deta T = deta, proto všechna následující tvrzení platí i tehdy, nahradíme-li všude slova "řádek, řádky" slovy "sloupec, sloupce" Je-li à matice, kterou dostaneme z A prohozením (záměnou) dvou řádků, pak detã = deta Obsahuje-li matice A nulový řádek, nebo jsou-li řádky matice A lineárně závislé, je det A = 0 Přičteme-li k nějakému řádku matice A lineární kombinaci jiných řádků, nezmění se její determinant Vynásobíme-li nějaký řádek matice A číslem α, je determinant výsledné matice roven α det A

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 7 Tvrzení 810 (Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce)) Označme M ij matici, kterou dostaneme z A vyškrtnutím i-tého řádku a j-tého sloupce Označme dále A ij := ( 1) i+j detm ij tzv algebraický doplněk prvku a ij vzhledem k matici A Potom platí: resp Poznámka n n deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij detm ij, j=1 j=1 n n deta = a ij A ij = ( 1) i+j a ij detm ij i=1 i=1 i = 1,,n, j = 1,,n Číslo detm ij nazýváme (i,j)-tým minorem matice A Pro všechna i = 1,,n resp j = 1,,n obecněji platí: n a ij A kj = δ ik deta, j=1 resp n a ij A ik = δ jk deta, i=1 kde δ ij je tzv Kroneckerovo delta, mající vlastnost δ ii = 1, δ ij = 0 pro všechna i j Tvrzení 811 Je-li A M n n (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, pak n deta = a jj j=1 Bud te A,B M n n Potom det(a B) = deta detb Tvrzení 812 a 11 a 12 a 1n b k1 + c k1 b k2 + c k2 b kn + c kn = a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n = b k1 b k2 b kn + c k1 c k2 c kn a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 8 84 Použití determinantů k výpočtům 1 Regularita a hodnost matice Věta 813 (aneb 2 rozšíření Tvrzení 82) Bud A M n n čtvercová matice Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN h(a) = n dimn A = 0 deta 0 Definice Subdeterminantem dané matice A M n n nazveme determinant jakékoli matice Ã, která vznikne z matice A vyškrtnutím stejného počtu řádků a sloupcůstupněm subdeterminantu detã nazveme stupeň (tj rozměr) příslušné (čtvercové) matice à Věta 814 Hodnost matice A M n n je rovna maximálnímu stupni všech nenulových subdeterminantů matice A 2 Výpočet inverzní matice Věta 815 Je-li A M n n regulární matice, pak prvky α ij její inverzní matice A 1 jsou dány vzorci: α ij = A ji deta, kde A ji je algebraický doplněk k prvku a ji matice A i, j = 1,,n, 3 Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy A x = y Věta 816 Bud A M n n regulární matice, y M n 1 Potom složky x 1,,x n řešení rovnice A x = y jsou dány vzorci: kde matice A (i) y x i = deta(i) y deta, i = 1,,n, vznikne tak, že v matici A nahradíme její i-tý sloupec vektorem y Příklad 2 Řešte pomocí Cramerova pravidla: 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: Je 2 3 1 1 4 1 1 1 1 2 5 1 1 3 1 1 1 1 = 5 0, = 2, 5 3 1 3 4 1 1 1 1 2 3 5 1 4 3 1 1 1 = 12, = 5, Proto x = 12 5, y = 2 5, z = 5 5 = 1 Porovnejte výsledek s výsledkem Příkladu 1 c)

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 9 4 Nalezení kolmého vektoru ke dvěma vektorům v R 3, jejich vektorový součin Definice (Kolmé vektory) Bud te x = (x 1,,x n ), y = (y 1,,y n ) dva vektory z R n Řekneme, že tyto dva vektory jsou kolmé (ortogonální), pokud n x y := x j y j = 0 j=1 Výraz x y nazýváme skalárním součinem vektorů x y Poznámka Platí x y = y x Definice (Vektorový součin dvou vektorů z R 3 ) Bud te x = (x 1,x 2,x 3 ), y = (y 1,y 2,y 3 ) R 3 Definujme vektorový součin těchto dvou vektorů předpisem ( ) x x y := 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2 R 3 (2) Věta 817 Pro x, y R 3 platí: y x = ( x y) x a y jsou lineárně nezávislé x y 0 Jsou-li x a y jsou lineárně nezávislé, pak je vektor x y kolmý jak k vektoru x, tak k vektoru y Poznámka Bud te x, y, z R 3 Potom z ( x y) = Odtud ihned plyne předchozí věta (rozmyslete si) z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Označme i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) Definici vektorového součinu pak lze formálně zachytit i takto: i j k x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Poznámka Označme e 1 = (1,0,,0),, e n = (0,0,,1) R n Vektorový součin v R n lze definovat pro (n 1) vektorů x 1,, x n 1 R n pomocí následujícího determinantu: e 1 e 2 e n x 1 x 2 x n 1 x 1 1 x 1 2 x 1 n := x1 n 1 x2 n 1 xn n 1 Jsou-li vektory x 1,, x n 1 lineárně nezávislé v R n, je (nenulový) vektor x 1 x 2 x n 1 kolmý ke všem těmto vektorům 5 Objem rovnoběžnostěnu v R n Tvrzení 818 Necht a 1 = (a 1 1,,a1 n),, a n = (a n 1,,an n) je n lineárně nezávislých vektorů v R n Potom absolutní hodnota determinantu a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a n 1 a n 2 a n n je číselně rovna objemu rovnoběžnostěnu, jehož hrany tvoří tyto vektory

M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 10 85 Závěrečné poznámky Věta 819 Bud A M m n (R) Potom zobrazení ϕ : R n R m definované předpisem ϕ( x) := A x pro všechna x R n je lineární Bud ϕ : R n R m lineární zobrazení Potom existuje právě jedna matice A ϕ M m n (R) taková, že ϕ( x) = A ϕ x pro všechna x R n V tomto případě říkáme, že A ϕ reprezentuje zobrazení ϕ Věta 820 Pokud n = m a A ϕ M n n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : R n R n, platí ϕ je prosté ϕ je "na" A ϕ je regulární Předchozí dvě věty zůstanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolem C