MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA KVĚTE 6 ROTAČÍ MODEL LUKU ROTATIOAL MODEL OF A BOW Per Fraík Absrak Příspěvek je věová odvoeí modelu luku s jedím supěm volosi ve kerém je lučišě araeo dvojicí uýc roujícíc dílců s roačí pružiou. Lučišě je de uvažováo jako primaický pru lieárě se covajícío maeriálu. Odvoeí modelu luku je provedeo s uvážeím geomerické elieariy. Klíčová slova luk model s jedím supěm volosi geomerická eliearia vpěr pruu Absrac Te paper is focused o derivaio of a model of a bo i sigle degree of freedom i ic are beded limbs represeed by roaig arms i roaioal sprig. Te bo is cosidered ere as sraig i prismaic limbs of liear maerial. I e derivaio of e model of e bo e geomerical olieariy is assumed. Keyords bo sigle-degree-of-freedom model geomerical olieariy beam bucklig Úvod Příspěvek avauje a čláek [] preeovaý a éo kofereci ve kerém je odvoe model s jedím supěm volosi s lučišěm araeým svislou raslačí pružiou. Srováí s přesějším umerickým modelem však ukáalo že (a daýc předpokladů) akový model edosaečě vysiuje vývoj deformace celéo luku ejméa kvůli ačé roaci ála repreeujícío ěivu. Výsledek byl euspokojivý a vedl k moivaci alé výsižější model jež je předsave de. Lučišě je v ově avržeém modelu araeo dvojicí roujícíc uýc dílců spojeýc a ose symerie roačí pružiou vi obr.. Jsou de áorěy ři savy luku. Prví oačeý jako a) odpovídá volému lučiši be ěivy. Sav b) je luk s apuou ěivou (be áau) a sav c) odpovídá luku při áau se aložeým šípem. Odvoeí áaové síly a rodíl od modelu s raslačí pružiou [] je u modelu s roačí pružiou sadé vyjádři ávislos áaové síly F a délce áau vi obr.. Původí model má Ig. Per Fraík P.D. Vysoké učeí ecické v Brě Fakula savebí Úsav savebí mecaiky Veveří 33/95 6 Bro ČR e-mail: kiarf@cerum.c
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA KVĚTE 6 ávislos áaové síly F vyjádřeu poue vůči délce průměu ěivy jelikož saa o doplěí ávislosi a délce áau ebyla aalyickéo lediska úspěšá. Obr. : Jedoducý luk (vlevo) a jeo model kyvýc dílců (vpravo) včeě jejic ří savů: a) lučišě s eapuou ěivou b) s apuou ěivou a c) aažeý luk se aložeým šípem před vypušěím. Obr. : Scéma roačío modelu luku a působícíc sil Odvoeí ačeme momeovou podmíkou rovováy ke kloubu s roačí pružiou: M ( ) l () kde M je mome kerým roačí pružia působí a uý dílec araující poloviu lučišě α je pooočeí dílce vůči svislé ose (eapjaému lučiši) je svislá složka ormálové síly v ěivě = F/ je vodorová složka ormálové síly v ěivě l je vodorové posuuí kocovéo bodu uéo dílce a je vdáleos kocovéo bodu uéo dílce od osy symerie. Jelikož výsledice složek ormálové síly v ěivě musí působi ve směru ěivy ak plaí:. () Dosaeím do vau () a úpravou dosaeme výra pro vodorovou složku : M ( ) F. (3) l Další úpravu provedeme ak aby výra (3) ávisel poue a eámé vdáleosi. Z pravoúlýc rojúelíků vořeýc uým rameem a ěivou dosáváme vay:
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA KVĚTE 6 3 cos l (4) kde = L / je polovia délky ěivy L a = L/ je polovia délky lučišě L. Dosaeím a úpravou ískáme výra ávisející poue a eámé : arccos ) ( F M (5) yí saovíme eámou vdáleos geomerie paré a obr.. Plaí: l (6) kde je posuuí kocovéo bodu lučišě ke kerému došlo vlivem apuí ěivy. Dosaeím výraů (4) ískáme opě ávislos a vdáleosi :. (7) yí pořebujeme eo va upravi ak abycom měli eplicií výra pro eámou vdáleos. ejprve celou rovici podělíme levou sraou výrau (7): (8) převedeme jedu odmociu a opačou srau: (9) umocíme adruou: () roásobíme levou srau: () osamosaíme bývající odmociu: () opě umocíme adruou: 4 (3) vyásobíme jmeovaelem levé sray: 4 4 (4)
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA KVĚTE 6 osamosaíme ledaou eámou : 4 (5) a akoec odmocíme: ( ) ; ma ma. (6) 4 Dodejme že pořebou odoou je kladá složka řešeí odpovídající améku plus před odmociou. Výpoče áaové síly F edy probíá ak že se pro daý áa saoví vdáleos podle vau (6) kerá se dosadí do vau (5). 3 Lieárí aproimace lučišě Va (5) pro áaovou sílu F vyžaduje určeí ávislosi momeu M roačí pružiy a pooočeí α uéo dílce. Uvažujme lieárí pružiu daou fukcí: M ( ) k (7) kde k je uos roačí pružiy. Tuo uos asavíme ak aby kriická síla cr při ráě sabiliy modelu vlivem apuí ěivy odpovídala kriické síle lučišě vořeéo primaickým pruem vi obr. 3. Obr. 3: Dílec aížeý apuou ěivou Pro uý dílec pooočeý o úel α upravíme momeovou podmíku rovováy () odsraěím ulové vodorové složky (ěiva je ve svislé poloe): M ( ) (8) k si. yí aproimujeme fukci sius prvím čleem Taylorova rovoje: si (9) a dosadíme do podmíky rovováy (8) a upravíme: k k k cr. Tuo kriickou sílu položíme rovu kriické síle lučiše: k EI cr () L čeož plye: () 4
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA KVĚTE 6 EI EI k. () L L 4 Srováí řešeí a obr. 4 a 5 je vidě graf srováí odvoeé ávislosi (5) áaové síly F resp. svislé složky síly v ěivě a délce áau aproimující luk vořeý lučišěm jasau délky m s obdélíkovým průřeem 3 7 mm a modulem pružosi E = 6 GPa (vi []). Z grafickéo srováí je pará dobrá úroveň aproimace roačío modelu vledem k výsledku umerické simulace pruovéo modelu D vi [3]. F [] 9 8 aalyické 7 6 5 4 3..4.6.8..4.6 [m] Obr. 4: Průbě áaové síly F v ávislosi a délce áau [] 4 35 3 5 5 5 aalyické..4.6.8..4.6 [m] Obr. 5: Průbě svislé složky ormálové síly v ěivě v ávislosi a délce áau Srováí s modelem [] uvažujícím raslačí pružiu je vidě a obr. 6 a 7. Jedá se opě o ávislos áaové síly F a svislé složky ormálové síly v ěivě. Teokrá ovšem a délce průměu ěivy do vodorové osy. Z obráku je pará výraě lepší výsižos modelu s roačím dílcem dosažeá díky oleděí deformačío vlivu úlu ěivy. 5
MODELOVÁÍ V MECHAICE OSTRAVA KVĚTE 6 F [] 6 5 4 raslačí roačí 3...3.4.5.6.7 [m] Obr. 6: Srováí ávislosi áaové síly F a délce průměu ěivy pro ři modely [] 6 5 4 raslačí roačí 3...3.4.5.6.7 [m] Obr. 7: Srováí ávislosi svislé složky síly v ěivě a délce průměu ěivy pro ři modely 5 Závěr Čláek preeoval odvoeí aalyickéo výrau pro model luku vořeý dvěma uými dílci s roačí pružiou včeě lieárí aproimace roačí pružiy voleé ak aby se kriická síla modelu sodovala s kriickou silou lučišě. Teo model se po srováí s umerickým řešeím ukáal jako výsižější oproi modelu s raslačí pružiou []. Poděkováí Výsledek byl vyvoře a fiačí podpory v rámci projeku reg. č. FAST-S-6-383. Lieraura [] FRATÍK P. Model luku s jedím supěm volosi. Meiárodí koferece Modelováí v mecaice 6 VŠB TU Osrava 6. [] LEHKÝ D. FRATÍK P. Dyamický eperime a sadě dřevěýc koolovýc osíků. Koferece 7 rokov SvF STU Braislava 8. [3] FRATÍK P. Diskréí model D. Meiárodí koferece Modelováí v mecaice 9 VŠB TU Osrava 9. 6