4. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI 4.. Teorie spolehlivosi as ke sudiu: miu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavce budee um: popsa charakerisické rysy eorie spolehlivosi echické a maemaické aspeky eorie spolehlivosi VÝKLAD Co zkoumá eorie spolehlivosi? Teorie spolehlivosi se zabývá echickými a maemaickými oázkami spolehlivosi. Techická problemaika souvisí s kosrukcí, použiými maeriály, echologií a orgaizací výroby, diagosikou a sraegií údržby. Maemaická eorie spolehlivosi se sousedí a progózu, odhad a opimalizaci bezporuchového provozu výrobk. (Výrobkem rozumíme prvek, sysém ebo jeho ás.) Hlavími ásroji jsou zde eorie pravdpodobosi a maemaická saisika. Typicky maemaickou záležiosí je ap. saoveí charakerisik spolehlivosi jako jsou zarueá doba živoa, sedí doba bezporuchového provozu, sedí doba mezi poruchami, prmré áklady a údržbu a opravy aj. Maemaická saisika a eorie pravdpodobosi ám umožují popis jev, jejichž podsau dokoale ezáme, ale jejichž zákoiosi vziku jsou pro saoveí spolehlivosi velmi dležié. Jsou o ap. fyzikálí zákoiosi a mechaizmy poruch, procesy sáruí, koroze, opoebeí a úavy maeriálu, vzájemá souvislos rzých poruch, vliv prosedí apod. Proože aalýza cho jev z hlediska is fyzikálího ebo chemického je píliš složiá, ezbývá ež zjišova poruchovos vších celk ebo všího pou výrobk v delším ase saisicky. To však všiou vyžaduje sbr, peos a zpracováí iformací pímo z provozu, jako ap. sousavé a pelivé vedeí zázam o všech poruchách a jejich píiách, dob provozu, dob oprav, podmíkách iosi a jiých vlivech u zaízeí, kerá jsou aso rozpýlea a rzých mísech a pracují v rzých podmíkách. Spolehlivos jakožo obecou vlasos výrobku splova po uriou dobu a za uriých podmíek daou fukci, je uo posuzova éž podle ekoomického hlediska. Aplikací výsledk eorie spolehlivosi lze éž použí eje pi ávrhu zaízeí a jeho zpsobu provozu a zadaé úrovi spolehlivosi, kerá vyplývá z výše zmíých ekoomických kriérií, ale éž pi vzájemém porováváí rzých aleraiv ešeí, dále pro kvaiaiví pedpovdi chováí složiých zaízeí v dalším provozu a k sesaveí opimálí sraegie údržby cho zaízeí. 3
Píklad 4.. Moderí výrobky (sysémy) sesaveé z moha prvk jsou vysoce spolehlivé, ap. poía. Jesliže chceme uo spolehlivos dále zvyšova, pak elze jí pouze cesou zvyšováí spolehlivosi prvk. Jesliže sysém ap. sesává ze prvk, keré pracují ezávisle a sob a každý z ich se s pravdpodobosí.99999 po sledovaou dobu eporouchá, poom pravdpodobos, že se sysém po sledovaou dobu eporouchá (j. bezporuchovos), je (.99999) =.368. Je proo ezbyé hleda jié zpsoby pro zvyšováí bezporuchovosi ap. zálohováí dležiých ásí, aplikace údržby ad. Shruí kapioly 4.. Spolehlivos lze charakerizova jako obecou vlasos výrobku splova po uriou dobu a za uriých podmíek daou fukci. Teorie spolehlivosi spolehlivosi. je vdí disciplía zodpovídající echické a maemaické oázky Hlaví ásroje pro zodpovzeí maemaických oázek eorie spolehlivosi jsou eorie pravdpodobosi a maemaická saisika. Orgaizace výrobího procesu i echologie výroby (ap. použií vhodých maeriál) souvisí s echickými oázkami spolehlivosi. Oázky 4... Co je o spolehlivos? 2. ím se zabývá eorie spolehlivosi? 3. Jaké jsou ásroje eorie spolehlivosi? 32
4.2. Základí pojmy as ke sudiu: 2 miu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavce budee um defiova základí pojmy eorie spolehlivosi z hlediska echického defiova: bezporuchovos, živoos, opravielos, pohoovos, charakerizova poruchy a klasifikova je VÝKLAD Nejprve vyložíme základí pojmy eorie spolehlivosi z hlediska echického, což ám poslouží jako moivace pro zavedeí píslušých pojm maemaických. Pojem spolehlivosi je obvykle spojová s pojmem výrobku (eboli objeku). Výrobek od okamžiku, kdy je vyrobe, má svou hisorii: doprava, skladováí, píprava a využií, vlasí využií, údržba, oprava a vyazeí. V kerých fázích hisorie výrobku budeme požadova, aby byl spolehlivý. Spolehlivos jako obecá vlasos Spolehlivosí rozumíme obecou vlasos spoívající ve schoposi výrobku pli po saoveou dobu požadovaé fukce pi zachováí provozích paramer daých echickými podmíkami. Je charakerizováa dalšími dílími vlasosmi, jako jsou: bezporuchovos, živoos, opravielos, udržovaelos, skladovaelos, bezpeos a další. Jaké jsou dílí vlasosi spolehlivosi? Techickými podmíkami piom rozumíme souhr specifikací echických a provozích vlasosí výrobku spolu se zpsoby jeho provozu, údržby a oprav. Jiými slovy je spolehlivos zpsobilos výrobku uchova svou kvaliu v daých podmíkách využíváí. Bezporuchovos je zpsobilos výrobku pli bez poruchy požadovaé fukce po saoveou dobu a za saoveých podmíek. Živoos je zpsobilos výrobku pli požadovaé fukce do mezího savu saoveého echickými podmíkami. Na koci období živoosi se u výrobk projeví akové rysy spojeé s opoebeím a sáruím, že jejich odsraí je eekoomické, ebo emožé. Nkdy mže jí i o zv. morálí opoebeí. Opoebeí zameá ve spolehlivosi posupé zmy zak výrobk, keré jsou vyvoláy zaížeím zpsobeým pouze provozími podmíkami. Sáruí zameá zmy vziklé zaížeím mimo provoz. 33
Opravielos je vlasos výrobku spoívající v možosi odhaleí poruchy, zjiší její píiy a odsraí opravou. Udržovaelos je vlasos výrobku spoívající ve zpsobilosi k pedcházeí poruch pedepsaou údržbou. Skladovaelos je schopos výrobku zachováva eperži bezvadý (a edy provozuschopý) sav po dobu skladováí a pepravy pi dodržeí pedepsaých podmíek. Bezpeos je vlasos výrobku eohrožova lidské zdraví ebo živoí prosedí pi plí pedepsaé fukce po saoveou dobu a za saoveých podmíek. Z provozího hlediska je dležiá pohoovos výrobku, j. schopos výrobku v uriém okamžiku vyhovova echickým podmíkám. Pohoovos (eboli éž provozuschopos) je komplexí vlasos objeku zahrující bezporuchovos a opravielos objeku v podmíkách provozu. Co je porucha a jak poruchy klasifikujeme? Dležiým a zdáliv jedoduchým pojmem eorie spolehlivosi je pojem porucha. Porucha je áseá ebo úplá zráa, pípad zma vlasosí výrobku, kerá podsaým zpsobem sižuje schopos ebo zpsobuje emožos výrobku pli požadovaou fukci. Pojem porucha je v moha pípadech relaiví. V praxi je proo zapoebí pojem porucha pes vymezi. Zhoršeí schoposi provozu, keré ješ ezpsobí poruchu, se ozauje jako závada. Klasifikace poruch. Podle podmíek vziku se poruchy dlí a poruchy z vjších a viích píi. Porucha z vjších píi je porucha zpsobeá edodržeím saoveých provozích podmíek a pedpis pro zažováí, obsluhu a údržbu. Porucha z viích píi je porucha zpsobeá vlasí edokoalosí výrobku pi zachováí saoveých provozích podmíek a pedpis. Mezi poruchy z viích píi paí pedevším asé poruchy projevující se v poáeím období provozu. Jejich výsky s rosoucím asem klesá. Píiou asých poruch jsou edosaky pi ávrhu a výrob. Dále sem paí poruchy dožiím vzikající ásledkem opoebeí ebo sáruí (viz dále). 2. Podle asového prbhu se poruchy dlí a áhlé a posupé. Náhlá porucha je porucha projevující se prudkou zmou jedoho ebo více paramer výrobku. Posupá porucha je porucha projevující se jako posupá zma paramer výrobku, ap. v dsledku sáruí ebo opoebeí. Zaímco poruchy áhlé se obvykle pedvída edají, je pedvídáí posupých poruch asou úlohou eorie spolehlivosi. 3. V kerých siuacích je úelé dále klasifikova poruchy a áseé a úplé. áseá porucha zameá odchýleí jedoho ebo více paramer od úrov saoveé echickými podmíkami, keré však úpl ebráí výrobku pli požadovaou fukci. 34
Úplá porucha je porucha, kerá zcela zabrauje výrobku pli požadovaou fukci. áseá i posupá porucha se azývá éž degradaí porucha, áhlá a úplá porucha se azývá havarijí porucha. 4. Podle souvislosi s jiými poruchami se poruchy dlí a ezávislé a závislé. Závislá porucha vziká ásledkem poruchy jiého prvku, ezávislá ikoli. 5. Podle doby rváí se rozlišují poruchy rvalé a poruchy doasé. Trvalou poruchu je možo odsrai pouze opravou ebo áhradou porouchaého prvku. Doasé poruchy mohou samovol vymize ebo rvají je po dobu psobeí vjšího vlivu. Dleí poruch do íd je aso relaiví. Náhlé poruše obvykle pedcházejí skryé zmy vlasosí prvku, keré by bylo možo dosi podrobým zkoumáím zjisi a poruchu ozai jako posupou. Dokoalá zalos všech fyzikál chemických dj probíhajících v maeriálech prvku, pesá zalos posupu výroby a podmíek provozu by dovolila pedpovd dobu vziku poruchy prvku. V akovém pípad by se porucha ozaila jako eáhodá. Omezeá zalos cho iiel je dvodem pro ozaeí poruchy prvku jako áhodé. Keré dílí vlasosi spolehlivosi budeme kvaiaiv urova? Všechy výše uvedeé dílí spolehlivosí vlasosi lze charakerizova éž kvaiaiv pomocí vhod zvoleých spolehlivosích ukazael ebo charakerisik. V dalším se budeme zabýva pouze kvaiaivím vyjádeím bezporuchovosi a pohoovosi. Bezporuchovos urujeme pedevším u eobovovaých (j. eopravielých) objek a ebo am, kde se zajímáme o ios do prví poruchy (Obec se ovšem eo pojem zavádí i pro opravielé objeky). Pohoovos (provozuschopos) urujeme u obovovaých objek. Obovovaé objeky se po vziku poruchy opraví a provoz pokrauje. Oprava se považuje za úelou ehdy, když prmrá cea opravy a áhradích souásí je malá vi poizovací ce zaízeí. Provoz obovovaého sysému ebo obovovaého prvku lze popsa jako posloupos sav bezporuchového provozu a oprav, piemž okamžiky poruch a oprav jsou áhodé. Shruí kapioly 4.2. Spolehlivos je obecá vlasos projevující se prosedicvím dílích vlasosí: bezporuchovos, živoos, opravielos, udržovaelos, skladovaelos, bezpeos. Pohoovos je komplexí vlasos výrobku zahrující bezporuchovos a opravielos v podmíkách provozu. Porucha je áseá ebo úplá zráa, pípad zma vlasosí výrobku, kerá podsaým zpsobem sižuje schopos ebo zpsobuje emožos výrobku pli požadovaou fukci. Poruchy dlíme podle rzých hledisek, ejasji podle podmíek vziku a poruchy z vjších a viích píi. 35
Oázky 4.2.. V em se liší pojmy bezporuchovos a pohoovos? 2. U jakých objek má smysl yo pojmy kvaiaiv urova? 3. Co je porucha a jak lze poruchy klasifikova? 36
4.3. Doba do poruchy as ke sudiu: 4 miu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavce budee um popsa dobu do poruchy pomocí disribuí fukce a fukce bezporuchovosi charakerizova dobu do poruchy pomocí hazardí fukce (ieziy poruch) vyjádi vzahy mezi jedolivými popisými fukcemi doby do poruchy charakerizova dobu do poruchy pomocí základích íselých charakerisik VÝKLAD Co je doba do poruchy a jak ji maemaicky popsa? Neporouchaý výrobek (prvek, sysém, ás sysému) zae pracova v okamžiku = za uriých podmíek, o ichž budeme zaím pedpokláda, že se v prbhu asu emí. V okamžiku = X se výrobek porouchá. Doba X po kerou výrobek pracoval bez poruchy, se azývá doba do poruchy. V dalším budeme pedpokláda, že doba do poruchy X je ezáporá áhodá veliia s disribuí fukcí F() = P(X<) Disribuí fukce doby do poruchy vyjaduje pravdpodobos oho, že a iervalu (,) dojde k poruše. S disribuí fukcí doba do poruchy je úzce spojea fukce: R() = P(X ), kerá se azývá fukcí bezporuchovosi (pravdpodobos bezporuchového provozu), resp. fukcí spolehlivosi (zkráce spolehlivos). Tao fukce vyjaduje pravdpodobos oho, že a iervalu (,) edojde k poruše. R() je erosoucí fukce asu, F() je eklesající fukce asu. Ob veliiy jsou ezáporá bezrozmrá ísla ejvýše rova jedé. Zpravidla pedpokládáme, že R() =, a R( ) =. Ve spolehlivosi se pomr aso sekáváme s pojmem zarueá doba bezporuchového provozu (% - í živo) T. eosí ierpreace je aková, že pibliž % výrobk bude bez poruchy fugova alespo do okamžiku T. P ( X Tγ ) = γ F( Tγ ) = γ F( Tγ ) = γ Tγ = x γ Je-li disribuí fukce F() spojiá, azývá se odpovídající husoa pravdpodobosi f(): éž husoa poruch. df( ) dr( ) f ( ) = = d d 37
Hazardí fukce a její aleraiví vyjádeí Nejasji se bezporuchovos eopravovaého výrobku udává hazardí fukcí (kdy ozaovaou jako iezia poruch), defiovaou jako pomr husoy pravdpodobosi poruchy a fukce bezporuchovosi: f ( ) λ( ) = R() > R( ) Veliiy f() a λ( ) mají rozmr [/as], obvykle se udávají v jedokách [/hod] ebo [/rok]. Každá ze 4 základích velii R(), F(), f(), λ( ) popisuje úpl sej bezporuchovos eopravovaého objeku a z každé z ich je možo odvodi i zbývající. Vzájemé pevody udává ásledující abulka. R() F() f() ( ) λ R() R() - F() F() - R() F() f() ( ) λ d ( ) dr d ( l R( ) ) d dr = d R ( ) ( ) df( ) d df( ) d F( ) f ( x ) dx exp ( ) λ x dx f ( x ) dx exp λ( x) dx f() f ( ) λ ( ) exp λ( x) dx f ( x) dx λ( ) Tabulka: Maemaické pevodí vzahy mezi základími fukími ukazaeli bezporuchovosi Dležiou úlohu pi rozdleí doby do poruchy hrají íselé charakerisiky ohoo rozdleí, zejméa vybraé momey a kvaily (sedí doba do poruchy, rozpyl doby do poruchy, koeficiey šikmosi a špiaosi, γ-proceí živo eboli zarueá doba bezporuchového provozu ad.). Uvedeme zde kolik z ich. Jak kvaiaiv uri základí íselé charakerisiky doby do poruchy? Sedí doba provozu do poruchy, kerá je pro eobovovaé objeky rova sedí dob do poruchy (usáleá meziárodí zkraka pochází z agliiy MTTF = Mea Time To Failure), se defiuje jako sedí (oekávaá) hodoa áhodé veliiy, j. doby do poruchy X EX = f ( ) d Hodoa EX je iegrálí hodoa, kerá vyjaduje bezporuchovos jediým údajem. Obvykle se udává v [hod]. 38
Vlasos: Nech ezáporá áhodá veliia X má fukci bezporuchovosi R(x) a ech EX k < +, kde k je pirozeé íslo (edy ech exisují koeé obecé momey všech ád). Poom : Dkaz lze provés užiím meody per pares. k k EX = k x R( x) dx Pro sedí dobu do poruchy dosáváme užiím vzahu pro k-ý obecý mome (pro k = ) dležiý vzah: Pro rozpyl doby do poruchy plaí EX = R( x) dx 2 2 2 DX = EX ( EX ) = 2 xr( x) dx ( EX ), což dosaeme op užiím vzahu pro k-ý obecý mome (pro k = 2). Gama-proceí živo poruchy. T γ je defiová jako. ( γ ) proceí kvail rozdleí doby do F( Tγ ) = γ eboli R( Tγ ) eosí ierpreace je aková, že pibliž γ % výrobk bude bez poruchy fugova do okamžiku Tγ. = γ Shruí kapioly 4.3. Disribuí fukce doby do poruchy vyjaduje pravdpodobos oho, že a iervalu (, ) dojde k poruše. Doplk disribuí fukce do jediky se azývá fukcí bezporuchovosi, kerá vyjaduje pravdpodobos oho, že a iervalu (, ) edojde k poruše. Hazardí fukce (iezia poruch) je pomr husoy pravdpodobosi poruchy a fukce bezporuchovosi. Sedí dobu provozu do poruchy (MTTF) lze uri iegrací z fukce bezporuchovosi pes ierval (, + ). Gama-proceí živo Tγ uruje pibliž dobu, po kerou bude bez poruchy fugova γ % výrobk. Rozpyl doby do poruchy lze uri rovž ze zalosi fukce bezporuchovosi. Prvodce sudiem Pozámky k obovovaým (opravielým) výrobkm:. Pro obovovaé výrobky je ezbyé vyšeova krom doby do poruchy ješ další áhodou veliiu: dobu opravy (ebo dobu do ukoeí opravy), piemž ouo veliiou budeme v dalším rozum celkovou dobu údržby po poruše až po obovu výrobku. Jako každá áhodá veliia, i doba opravy je charakerizováa základími 39
popisými fukcemi, jako jsou husoa pravdpodobosi (husoa oprav) a disribuí fukce. Zcela aalogicky jako iezia poruch se aké zavádí iezia oprav a ejasji používaou íselou charakerisikou éo áhodé veliiy je její sedí (oekávaá) hodoa, kerá v eorii spolehlivosi ese ozaeí jako sedí doba do obovy, zkraka MTTR (z aglického Mea Time To Repair). 2. Používaé ukazaele spolehlivosi pro obovovaé výrobky jsou dále: Fukce okamžié pohoovosi A(), což je pravdpodobos, že výrobek je ve savu schopém pli v daých podmíkách a v daém asovém okamžiku požadovaou fukci, za pedpokladu, že požadovaé vjší prosedky jsou zajišy. Dále je o souiiel asympoické pohoovosi A, což je limia okamžié pohoovosi, pro úely modelováí, exisuje-li, pro as jdoucí k ekoeu. V pípad poeby se uruje i souiiel sedí pohoovosi A, ), což je sedí hodoa fukce okamžié ( 2 pohoovosi v daém asovém iervalu (, 2 ): 2 A (, 2) = A( ) d. 2 Oázky 4.3.. Jaké jsou možosi pro jedozaý a úplý popis áhodé veliiy: doba do poruchy jakého výrobku? 2. Keré jsou v praxi ejpoužívajší íselé charakerisiky éo áhodé veliiy? 3. Jak je defiováa hazardí fukce (iezia poruch), popípad odvoe, jak souvisí s osaími popisými fukcemi áhodé veliiy: doba do poruchy? Úlohy k ešeí 4.3.. Veil vodovodího porubí má zadáu fukci bezporuchovosi: R() = e -,.. Uree sedí dobu do poruchy veilu MTTF a dále uree rozpyl doby do poruchy veilu DX. Dále uree 8%-í živo veilu T,8 2. Uree 9%-í živo T,9 pro výrobek, jehož doba do poruchy se ídí Weibullovým rozdleím, s lieár rosoucí ieziou poruch ( = 2) a s paramerem = ( F e ) =. ( λ ) λ ( ) 3. Doba do vybií baerie se ídí expoeciálím rozdleím ( ) = MTTF F e. a) Jaká je sedí doba do vybií MTTF, víme-li, že 4 hodi pežije % cho baerií? b) Je-li sedí doba do vybií 3.5 hodi, kolik proce cho baerií pežije 4 hodi? 4
4.4. Iezia poruch as ke sudiu: 25 miu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavce budee um vysvli ieziu poruch pomocí pravdpodobosi demosrova ieziu poruch graficky vysvli jedolivé fáze živoa výrobku VÝKLAD Jaká je pravdpodobosí ierpreace ieziy poruch? Nech >, >, a poíejme podmíou pravdpodobos jevu, že se prvek porouchá (doba do poruchy je X ) v asovém iervalu (, + ) za podmíky, že pracoval bez poruchy do okamžiku. Pro uo podmíou pravdpodobos dosaeme: ( < X < + X ) = P ( < X < +, X ) P( X ) P P ( < X < + ) = = P( X ) = F F( + ) F( ) ( ) ( + ) F( ) F df pro dosáváme = f d akže: f ( ) P( < X < + X ) = λ( ). F( ) Iezia poruch je edy lokálí charakerisikou spolehlivosi. Vyjaduje pibliž pravdpodobos oho, že prvek, kerý se eporouchal do okamžiku, se porouchá v iervalu (, + ). ( ), Jak vypadá ejasjší grafická ierpreace ieziy poruch? Pokud zsaeme u pedsavy, že áhodá veliia X popisuje dobu do poruchy jakého zaízeí, pak ypický var ieziy poruch je zobraze a ásledujícím obrázku. Kivka a omo obrázku se azývá vaová kivka a obvykle se dlí a i úseky (I, II, III). I. V prvím úseku kivka ieziy poruch klesá. Odpovídající asový ierval se azývá období asých poruch (období zábhu, období poáeího provozu, období osvojováí ebo období dských emocí podle aalogie s úmrosí kivkou lovka). Píiou 4
zvšeé ieziy poruch v omo období jsou poruchy v dsledku výrobích vad, esprávé moáže, chyb pi ávrhu ebo pi výrob apod. II. Ve druhém úseku dochází k bžému využíváí zabhuého výrobku, k poruchám dochází všiou z vjších píi, edochází k opoebeí, keré by zmilo fukí vlasosi výrobku. Iezia poruch je v omo období pibliž kosaí. Píslušý asový ierval se azývá období ormálího užií, i sabilího živoa. III. Ve eím úseku procesy sáruí a opoebeí mí fukí vlasosi výrobku, projevují se asádaé oesy výrobku z období II (aalogie s esprávou živoosprávou lovka), rhliy maeriálu a iezia poruch vzrsá. Píslušý asový ierval se azývá období poruch v dsledku sáruí a opoebeí. λ( ) Pozámky:. Pesože uvedeá iezia poruch je ypická pro moho prmyslových výrobk (a jakožo kivka úmrosi i pro lovka), lze ji žko vyjádi v elegaím aalyickém varu pro všecha i období ajedou. Pi vlasí aalýze spolehlivosi musíme všiou aproximova ieziu poruch jedoduchými aalyickými fukcemi vždy po jedolivých obdobích. 2. U kerých výrobk chybí období I, j. období asých poruch. Je omu ap. u dobe korolovaých výrobk zabhuých pímo u výrobce. Jsou aké výrobky, keré esárou - schází období III. To jsou ap. výrobky vyazeé díve ež zaou sárou. Velmi aso, zejméa pi ešeí spolehlivosi složiých sysém, budeme jedolivé prvky sledova pouze v období II, ve kerém je iezia poruch pibliž kosaí. 3. Ieziou poruch je úpl popsáo rozdleí doby do poruchy a aopak. Mezi fukcí bezporuchovosi a ieziou poruch plaí vzah: R( ) = exp λ( x) dx λ( ) = R( ) ( ) dr d 42
Klasifikace mooóích iezi poruch V praxi vyšeujeme ieziu poruch po obdobích a udíž se zabýváme sudiem mooóích iezi poruch. Proo se zavedly ásledující pojmy: Rozdleí s disribuí fukcí F() azýváme MIP rozdleím (RIP-rozdleím (aglicky IFR), KIP-rozdleím (aglicky DFR)), jesliže odpovídající iezia poruch je mooóí (eklesající, erosoucí). Takéž píslušé disribuí fukce budeme ozaova MIP (RIP (IFR), KIP (DFR)). Pozámka: MIP mooóí iezia poruch RIP rosoucí iezia poruch KIP klesající iezia poruch Jaká je iezia poruch sysému složeého z ezávislých prvk? Va: Nech se sysém skládá z ezávislých prvk s dobami do poruchy X,, X a odpovídajícími ieziami poruch (),, (), a ech doba do poruchy sysému je = mi X,,. Nech mi () je iezia poruch sysému. Poom: mi Dkaz: ( ) X ( ) = λ ( ) + λ ( ) λ + Nech R mi () ozauje fukci bezporuchovosi sysému. Zejm: mi R mi ) = R i ( ) i= (, kde R i () jsou fukce bezporuchovosi jedolivých prvk. Využiím vzahu ( ) λ mi ( ) d = ( l R( ) ) d λ = dosáváme: d ( l R ( ) ) d mi dl Ri i= = d ( ) d = i= l Ri ( ) = d i= d ( l R ( ) ) d i = i= λ i ( ) Reprodukí vlasos Weibullova rozdleí Jak jsme se dozvdli, flexibilia Weibullova rozdleí umožuje aproximova širokou ídu rozdleí s mooóí ieziou poruch. Takováo rozdleí se v echické praxi vyskyují pomr aso. 43
Weibullovo rozdleí má uo reprodukí vlaos: Va: Nech X,, X jsou ezávislé sej rozdleé áhodé veliiy s rozdleím ( Θ, ) Poom áhodá veliia X ( X,..., ) = mi mi X má rozdleí Θ W,. W. Dkaz: Je-li R () fukce bezporuchovosi áhodé veliiy X a R mi () fukce bezporuchovosi áhodé veliiy X mi, pak plaí: V ašem pípad je edy: R mi ( ) = Ri ( ) = R i= ( ) Θ i Ri ( ) = e ; > ; Θ > ; > Θ F ( ) = e ; > ; Θ > ; > Θ Θ Rmi ( ) = R ( ) = e = e ; > ; Θ > ; > i, Θ což je fukce bezporuchovosi rozdleí W,. ešeý píklad Živoos urbíy je dáa živoosí fuk ejslabší lopaky, proože moderí urbíy pracují s vysokými rychlosmi a porucha jedé lopaky má obvykle za ásledek zieí lopakového kola, což je spojeé s dalšími rozsáhlými škodami. Modelováí živoosi lopaek má proo zaý výzam. Nech doba do poruchy lopaky je áhodá veliia s Weibullovým rozdleím s paramerem varu,5 a paramerem míka 5. Jaké rozdleí má doba do poruchy urbíy (2 lopaek)? Jesliže urbía má 2 lopaek s dobami do poruchy X,, X 2, pak X mi = mi( X,..., X 2 ) je doba do poruchy urbíy. Do okamžiku poruchy pracují lopaky pibliž ezávisle a sob, proo má doba do Θ poruchy urbíy Weibullovo rozdleí W,. 44
Θ = 5; =,5; = 2 Doba do poruchy urbíy Weibullovo rozdleí W ( 6,8;,5 ). Shruí kapioly 4.4. Iezia poruch je lokálí charakerisikou spolehlivosi, je mírou pravdpodobosi oho, že výrobek, kerý se eporouchal do okamžiku, se porouchá v okamžiku bezprosed ásledujícím po. Ieziou poruch je úpl popsáo pravdpodobosí rozdleí doby do poruchy a aopak. Vaová kivka je ypická závislos ieziy poruch a ase. Na í rozlišujeme i charakerisická období živoa výrobku: období asých poruch, období sabilího živoa a období sáruí. Rozdleí s disribuí fukcí F() azýváme MIP rozdleím (RIP-rozdleím (aglicky IFR), KIP-rozdleím (aglicky DFR)), jesliže odpovídající iezia poruch je mooóí (eklesající, erosoucí). Takéž píslušé disribuí fukce budeme ozaova MIP (RIP (IFR), KIP (DFR)). Ieziu poruch sysému složeého z ezávislých prvk uríme podle ásledující vy: Nech se sysém skládá z ezávislých prvk s dobami do poruchy X,, X a odpovídajícími ieziami poruch (),, (), a ech doba do poruchy sysému je = mi X,,. Nech mi () je iezia poruch sysému. Poom: mi ( ) X ( ) = λ ( ) + λ ( ) λ + mi Jako reprodukí vlasos Weibullova rozdleí ozaujeme o, že jsou-li X,, X W Θ,. Poom áhodá veliia ezávislé sej rozdleé áhodé veliiy s rozdleím ( ) X = mi mi( X,..., X ) má rozdleí Θ W,. Oázky 4.4.. Charakerizuje ieziu poruch pomocí pravdpodobosi. Pravdpodobos jakého jevu popisuje? 2. Co je o vaová kivka? Co je o období asých poruch? 3. Jaký je vzah mezi ieziou poruch a fukcí bezporuchovosi? 4. Jak klasifikujeme pravdpodobosí rozdleí a základ mooóí ieziy poruch? 5. Co je o reprodukí vlasos Weibullova rozdleí? 45
4.5. Zálohováí as ke sudiu: 5 miu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavce budee um charakerizova podsau zálohováí rozliši rzé druhy zálohováí a jedoduše je popsa formulova základí zásadu pro zálohováí VÝKLAD Jaká je podsaa zálohováí a jaké druhy zálohováí rozlišujeme? Zálohováí je jeda ze základích meod zvyšováí spolehlivosi, kerá umožuje (alespo eoreicky) eomeze zvyšova spolehlivos sysém. Podsaa zálohováí spoívá v om, že se k prvku (zv. hlavímu) pidá jede ebo více záložích prvk, keré pi poruše hlavího prvku eo prvek ahrazují. Podle oho, v jakém režimu se achází záloží prvek, dlíme zálohováí do kolika skupi. Jesliže záloží prvek pracuje ve sejém režimu jako prvek hlaví, mluvíme o zaížeé záloze ( horké rezerv ). Jesliže záloží prvek plí svou fukci v mírjším režimu ež prvek hlaví, mluvíme o odleheé záloze. Jesliže se záloží prvek achází v režimu, ve kerém se emže poroucha, mluvíme o ezaížeé záloze ( sudeé rezerv ). Ve vši skueých zálohovaých sysém se sekáme s odleheou zálohou. Dležiou souásí zálohovaých sysém je zaízeí, keré v pípad poruchy hlavího prvku uvede do iosi a míso hlavího prvku prvek záloží. Obec se akové zaízeí azývá pepía. V jedodušších modelech zálohováí se pedpokládá, že pepía je absolu spolehlivý. V reálých sysémech však omu ak ebývá, a proo pi pesjší aalýze je uo v modelu poía i s espolehlivosí pepía. Jak lze jedoduše popsa dva základí ypy zálohováí? Proveme yí srováí dob do poruchy zálohovaého sysému se zaížeými a ezaížeými zálohami. Pedpokládejme, že pepía je absolu spolehlivý, a že všechy prvky pracují a sob ezávisle. Porouchaý prvek je okamži ahraze prvkem záložím. Nech X je doba do poruchy hlavího prvku, a ech X 2,..., X jsou doby do poruchy - záložích prvk. Doba do poruchy zálohovaého sysému se zaížeými zálohami je: X max = max (X,..., X ) a doba do poruchy zálohovaého sysému s ezaížeými zálohami je: X () = X +... + X. 46
Vzhledem k omu, že X max X (), je zálohovaý sysém s ezaížeými zálohami vždy výhodjší ež zálohovaý sysém se zaížeými zálohami. Shruí kapioly 4.5. Základím problémem zálohováí sysém je, zda zálohova jedolivé prvky sysému ebo zda zálohova celý sysém ideickým záložím sysémem. Too jsou exrémí pípady, mezi kerými exisuje široká škála možosí zálohováí. Nkeré bloky (j. ási sysému) je možo zálohova ideickými bloky, jié pak zálohova po prvcích apod. Obec lze sado ukáza, že zálohováí prvk vede vždy k vyšší spolehlivosi ež zálohováí blok. Podsaa zálohováí spoívá v om, že se k prvku (zv. hlavímu) pidá jede ebo více záložích prvk, keré pi poruše hlavího prvku eo prvek ahrazují. Záloží prvky mohou pracova bu jako horké ebo sudeé rezervy. Zálohovaý sysém s ezaížeými zálohami vždy výhodjší (spolehlivjší) ež zálohovaý sysém se zaížeými zálohami. Zálohováí prvk vede vždy k vyšší spolehlivosi ež zálohováí blok. Oázky 4.5.. Charakerizuje podsau zálohováí. 2. Co je o horká rezerva? Co je o sudeá rezerva? 3. Jaká jsou základí pravidla pro zálohováí? Úlohy k ešeí 4.5.. Sysém a obrázku je fukí pokud fuguje souáska A a ejmé jeda ze souásek B a C. Nech pro jedolivé souásky byly amey ásledující doby do poruchy (A, B, C) = (4, 2, 3 hodi). Pedpokládáme, že sysém pracuje ezávisle a okolích podmíkách. A B C a) Nech souáska C pracuje v režimu sudeá rezerva. Po kolika hodiách dojde k poruše sysému? b) Nech souáska C pracuje v režimu horká rezerva. Po kolika hodiách dojde k poruše sysému? 47