0 ODHADY ARAMETRŮ ZÁKLADNÍHO OUBORU Čas ke sudiu kaioly: 90 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee: roumě ojmům: bodový odhad iervalový odhad á vlasosi bodového odhadu umě kosruova iervalové odhady ro vybraé aramery ormálího roděleí: sředí hodou royl směrodaou odchylku relaiví čeos (odíl) rodíl dvou sředích hodo a rodíl relaivích čeosí (odílů) - 38 -
Výklad: 0. Základí soubor výběrový soubor Náhodou veličiu jejíž hodoy ři realiaci áhodého okusu oorujeme můžeme osa omocí růých číselých charakerisik (v souvislosi s áhodou veličiou hovoříme časěji o aramerech ákladího souboru (oulace) oř. o aramerech roděleí áhodé veličiy). K aramerům ákladího souboru aří: sředí hodoa μ royl σ směrodaá odchylka σ relaiví čeos π ad aramery oulace jsou kosaí hodoy (ro určiou áhodou veličiu). Ve výběrovém souboru (výběru e ákladího souboru (oulace)) le ají říslušé roějšky arameru oulace. Říká se jim výběrové charakerisiky a jejich hodoy se měí odle akuálího výběru. řehled ejoužívaějších aramerů oulace a říslušých výběrových charakerisik včeě jejich ačeí je uvede v ásledující abulce: Základí soubor (oulace) Výběrový soubor (výběr) sředí hodoa μ (E) růměr royl σ výběrový royl s směrodaá odchylka σ výběrová směrodaá odchylka s odíl (relaiví čeos) π výběrová relaiví čeos Z ravděodobosího hlediska mají výběrové charakerisiky charaker áhodých veliči (a ákladě růosi jedolivých výběrů ele hodoy výběrových charakerisik urči ředem). Každá výběrová charakerisika má edy svoje roděleí ravděodobosi keré se aývá výběrové roděleí. Záme-li výběrové roděleí dokážeme odhadou říslušý aramer ákladího souboru. růvodce sudiem Nyí se okusíme výše uvedeou ermiologii rooji s raí. Na ásledujícím kokréím říkladu se okusíme ukáa rodíl mei výběrem (aramery výběru) a oulací (aramery oulace). Dále bychom si a omo říkladu měli ujasi roč ořebujeme aramery oulace odhadova: Mějme ař. deí rodukci yčí (o daém růměru) ocelářské firmy - 600 ocelových yčí. Naším cílem je urči sředí hodou ažosi ěcho yčí. oulace je v omo říadě vořea všemi yčemi deí rodukce a sředí hodoa ažosi je jede aramerů éo oulace. Je řejmé že ožadovaý úkol je eřešielý - 39 -
k jeho slěí bychom museli urči ažos všech yčí (desrukiví kouška) a aměřeých hodo urči růměr. To je v rai erovedielé. Jedié možé řešeí je okusi se o odhad ohoo arameru. Jesliže vybereme áhodě aříklad 0 yčí (0 yčí můžeme oběova ) a určíme jejich růměrou ažos určujeme růměr a je řejmé že jeho hodoa ávisí a kokréím výběru (vybereme-li jiých 0 yčí jejich růměrá ažos bude jiá ež v ředcháejícím říadě). růměr je výběrovou charakerisikou deí rodukce yčí a je edy áhodou veličiou. roo mu můžeme řiřadi ějaké roděleí (vi. Limií věy). Záme-li roděleí růměru můžeme vyváře růé úsudky o sředí hodoě. Nař. dokážeme urči jaká je ravděodobos že sředí hodoa leží v ámi voleém iervalu. Výklad: 0. Bodový a iervalový odhad V éo odkaiole se dovíe jak a ákladě alosi výběrového souboru (a jeho charakerisik) ají co ejleší odhad aramerů ákladího souboru. Nejdříve si musíme ujasi co si od ojmem ejleší odhad ředsavujeme. Z meodického hlediska oužíváme dva yy odhadů aramerů: a bodový odhad kdy aramer ákladího souboru aroimujeme jediým číslem iervalový odhad kdy eo aramer aroimujeme iervalem v ěmž s velkou ravděodobosí daý aramer leží O om kerý výše uvedeých odhadů oužijeme rohoduje kokréí siuace v íž se acháíme. okud ořebujeme hledaý aramer vyjádři jediou hodoou (věšiou v říadech kdy jej budeme oužíva v dalších výočech) oužijeme bodový odhad. ořebujeme-li řesější odhad oužijeme iervalový odhad. že ajdeme v. ierval solehlivosi. Ierval solehlivosi (kofidečí ierval) je ierval v ěmž hledaý aramer leží s daou ravděodobosí. Téo ravděodobosi se říká solehlivos odhadu. říklad: 90%-í ierval solehlivosi ro sředí hodou je ierval v ěmž sředí hodoa leží s ravděodobosí 90%. Je řejmé že čím vyšší solehlivos odhadu ožadujeme ím širší ierval solehlivosi bude (hledaá hodoa se v ěm musí acháe s vyšší ravděodobosi). Bohužel o však ubírá a jeho vyovídací schoosi jeho výamos klesá. (Uvědome si jaká je vyovídací schoos iformace že růměrý věk všech lidí a emi leží se 00%-í solehlivosí v iervalu (0; 4) le.) roo v rai vždy hledáme komromis mei solehlivosí a výamosí. - 40 -
Oačíme-li solehlivos odhadu (-α) ak α se aývá hladiou výamosi. rosoucí solehlivosi odhadu klesá hladia výamosi. V echické rai se solehlivos odhadu se volí ejčasěji 95% ebo 99% (hladia výamosi edy bývá 5% ebo %). ři kosrukci bodových a iervalových odhadů budeme oužíva ásledující ojmy: Nechť máme áhodý výběr (... ) roděleí s disribučí fukcí F(θ) s eámým aramerem θ. Možiu všech uvažovaých hodo arameru θ aýváme aramerický rosor. aisiku ˆ =T(... ) kerá bude slouži ro účely odhadu eámého arameru θ budeme aýva odhadem arameru θ její oorovaou hodou ak bodovým odhadem θ. 0.3 Vlasosi dobrého bodového odhadu Dobrý (věrohodý) odhad musí slňova určié vlasosi. Mei ákladí vlasosi věrohodých odhadů aří: esraos (evychýleos ekresleos) vydaos (eficiece) koisece dosaečos 0.3. Nesraý odhad Řekeme že odhad je esraý jesliže se jeho sředí hodoa rová hledaému arameru ( E ˆ ). Zameá o že eo odhad sysemaicky eadhodocuje ai eodhodocuje odhadovaý aramer. labší formou esraosi je asymoická esraos. Říkáme že odhad je asymoicky esraý okud: lim Eθˆ θ říklady esraých odhadů: je esraým odhadem sředí hodoy (limií věy) Výběrová relaiví čeos je esraým odhadem relaiví čeosi (odílu) π V říadě áhodého výběru ormálího roděleí je výběrový royl s esraým odhadem roylu Je řeba říci že eisuje moho dobrých odhadů keré ejsou esraé. 0.3. Vydaý (eficieí) odhad Nesraos sama o sobě earučuje že je odhad dobrý. Rádi bychom dosáhli aké oho aby bodové odhady byly roložey co ejěsěji kolem odhadovaého arameru. okud budeme mí dva esraé odhady ˆ a ˆ vybereme si e kerý bude mí meší royl. Tao vlasos se aývá vydaos (eficiece). - 4 -
Jesliže ro dva esraé odhady ˆ a ˆ laí D ˆ ˆ D oom je relaiví eficiece odhadu ˆ vhledem k odhadu ˆ dáa odílem D ˆ ˆ D což je číslo mei 0 a. Nesraý odhad jehož royl je ejmeší mei všemi esraými odhady říslušého arameru se aývá ejleší esraý (eficieí) odhad. říklady ejleších esraých odhadů: je ejleším esraým odhadem sředí hodoy (limií věy) Výběrová relaiví čeos je ejleším esraým odhadem rel. čeosi (odílu) π V říadě áhodého výběru ormálího roděleí je výběrový royl s ejleším esraým odhadem roylu 0.3.3 Koiseí odhad Další žádoucí vlasosí dobrého odhadu je koisece. Odhad je koiseí okud se s rosoucím rosahem výběru () řesňuje k čemuž docháí okud: a) ˆ je asymoicky esraý j. E ˆ b) lim Dˆ 0 Vlasos b) říká že se s rosoucím (rosahem výběru) roděleí ˆ užuje kolem hledaého arameru. říklady koiseích odhadů: je koiseím odhadem sředí hodoy roože D 0 ro Výběrová relaiví čeos je koiseím odhadem rel. čeosi (odílu) π roože D 0 ro 0.3.4 Dosaečý (osačující) odhad Odhad arameru je dosaečý jesliže obsahuje veškerou iformaci o sledovaém arameru kerou může výběrový soubor oskyou. Zameá o že žádý jiý aramer eobsahuje věší možsví iformace o výběrovém souboru. říklady dosaečých odhadů: je dosaečým odhadem sředí hodoy roože ro jeho výoče jsou oužiy všechy hodoy výběrového souboru (ese ejvěší iformaci sroveje aříklad s mediáem) Výběrová relaiví čeos je koiseím odhadem rel. čeosi (odílu) π roože ro její výoče jsou oužiy všechy hodoy výběrového souboru - 4 -
0.3.5 Chyba bodového odhadu Bodový odhad je áhodá veličia. I v říadě kdy bude bodový odhad slňova všechy výše uvedeé ožadavky je řejmé že jeho hodoa vyočea a ákladě jedoho výběru bude odlišá od skuečé hodoy arameru oulace. Důsledkem éo odlišosi je v. výběrová chyba ˆ kerá určuje velikos chyby ři odhadu a ákladě jedoho výběrového souboru. Je-li bodový odhad ˆ ekresleým odhadem arameru θ ak měříkem řesosi odhadu je jeho směrodaá odchylka D ˆ ro íž se časo oužívá áev sředí chyba. ředí chyba udává růměrou chybu odhadů určeých růých výběrových souboru daého rosahu. 0.4 Kosrukce iervalových odhadů V rakických alikacích časěji určujeme odhad říslušého arameru omocí iervalového odhadu. Teo odhad je rereeová iervalem (T D ; T H ) v ěmž hledaý aramer leží s ředem určeou ravděodobosí (solehlivosí) kerou oačujeme (-α). Iervaly solehlivosi kosruujeme jako jedosraé (důležiá je oue jeda me odhadujeme-li aříklad délku živoa ějakého aříeí je ro ás důležiá oue dolí me) ebo dvousraé. 0.4. Jedosraé iervaly solehlivosi U jedosraých iervalů se udává oue dolí me (T D ) ebo oue horí me (T H ) odhadu. Je-li dáa oue dolí me odhadu T D (T H = ) mluvíme o levosraém iervalu solehlivosi a laí ro ěj: T D Ierval T D ; se ak aývá 00.(-α)%-í levosraý ierval solehlivosi ro aramer θ. Je-li dáa oue horí me odhadu T H (T D = - ) mluvíme o ravosraém iervalu solehlivosi a laí ro ěj: T H Ierval ;T H se ak aývá 00.(-α)%-í ravosraý ierval solehlivosi ro aramer θ. 0.4. Obousraý ierval solehlivosi Zajímají-li ás obě mee odhadu (dolí i horí) kosruujeme obousraý ierval solehlivosi. Věšiou yo mee určujeme ak aby lailo že ravděodobos že aramer oulace leží od dolí meí byla sejá jako ravděodobos že leží ad horí meí a byla rova α/: - 43 -
Tyo dvě odmíky aručují že: ( T D ) T ( T D TH ) H Ierval T ) se ak aývá 00.(- ) %-í ierval solehlivosi ro aramer θ. ( D TH Obecé meody kosrukce iervalů solehlivosi jsou ačě áročé. ro aše účely se omeíme a iervaly solehlivosi ro aramery ormálího roděleí keré jsou dobře rokoumaé (i roo se ak časo sekáme s ožadavkem a ormaliu racovávaých da). V říadě že ákladí soubor emá ormálí roděleí musíme řisoui k v. earamerickým meodám odhadu (y však ejsou obsahem ěcho maeriálů). 0.5 Ierval solehlivosi ro sředí hodou Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaečým) bodovým odhadem sředí hodoy μ je růměr. Nyí si ukážeme jak ají iervalový odhad sředí hodoy. 0.5. Odhad sředí hodoy μ áme-li směrodaou odchylku σ ředokládejme že sledovaá áhodá veličia má ormálí roděleí jehož royl σ áme. Zvolme výběrový soubor daé oulace. Nechť má eo výběrový soubor rosah a růměr. Využijeme oaku o asymoickém roděleí růměru (vi. Lidebergova-Lévyho věa (ka. 7.4.)). Víme že ro dosaečě velký rosah výběru je roděleí růměru asymoicky ormálí se sředí hodoou μ a roylem σ /: N ; Defiujeme-li áhodou veličiu Z jako: Z víme že Z má ormovaé ormálí roděleí: Z N0; Nechť a jsou 00. %-í a 00. %-í kvaily ormovaého ormálího roděleí. ak můžeme vrdi že: Z - 44 -
- 45 - růvodce sudiem: Úravou ohoo vahu ři využií vlasosi symerie ormovaého ormálího roděleí ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Všiměe si že s rosoucím rosahem áhodého výběru () šířka iervalu klesá akže se odhad řesňuje (ři kosaí solehlivosi). Naoak ři kosaím rosahu výběru se s rosoucí solehlivosí šířka iervalu věšuje. Výše uvedeé iervalové odhady oužíváme eje v říadech kdy áme směrodaou odchylku σ ale i v říadech kdy máme dosaečě velký výběr 30 a směrodaou odchylku σ eáme. V ěcho říadech le ve výše uvedeých vorcích ahradi směrodaou odchylku σ výběrovou směrodaou odchylkou s aiž by ím vikla výamá chyba. (vi. 8.5.) V omo růvodci sudiem ajdee odrobé odvoeí obousraého iervalu solehlivosi ro sředí hodou (áme-li σ):
- 46 - Výklad: 0; ; Z F F Z N Z Z 0.5. Odhad sředí hodoy μ eáme-li směrodaou odchylku σ V rai se věšiou sekáváme s ím že směrodaou odchylku σ eáme. okud emáme ai dosaečý rosah výběru 30 emůžeme ouží výše odvoeé iervaly solehlivosi ro sředí hodou. Je i v akovém říadě možé ají iervalový odhad sředí hodoy? ohledem a adáí vememe oě vhodé výběrové roděleí eď o bude akové keré eobsahuje σ a řiom ěj můžeme íska ierval solehlivosi ro μ: kaioly 6.0. víme že áhodá veličia defiovaá jako. T má udeovo roděleí s (-) sui volosi. T Z oho lye že můžeme asa ásledující ravděodobos:
- 47 - Řešeý říklad: ) ( T ) ( kde ; jsou říslušé kvaily udeova roděleí s - sui volosi. Úravou ohoo vahu ři využií vlasosi symerie udeova roděleí ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Víme že ro (vysoký oče suňů volosi v rai ro 30) se udeovo roděleí blíží ormovaému ormálímu roděleí. ro 30 edy můžeme kvaily udeova roděleí ahradi kvaily ormovaého ormálího roděleí a ak vahy ro určeí iervalů solehlivosi sředí hodoy v říadě eámé směrodaé odchylky řecháejí ve vahy ro určeí iervalů solehlivosi sředí hodoy v říadě ámé směrodaé odchylky v ichž směrodaou odchylku aroimujeme výběrovou směrodaou odchylkou. Úvar koroly odiku Ediso esoval živoos žárovek. Koroloři vybrali rodukce odiku áhodě 50 žárovek a došli k ávěru že růměrá doba živoa ěcho 50-i žárovek je 950 hodi a říslušá výběrová směrodaá odchylka doby živoa je 00 hodi. Určee 95%- í ierval solehlivosi živoosi žárovek firmy Ediso.
Řešeí: Chceme ají 95%-í ierval solehlivosi ro sředí hodou živoosi žárovek firmy Ediso řičemž eáme směrodaou odchylku živoosi ěcho žárovek. Máme k disoici iformace ocháející výběru o rosahu 50 žárovek j. rosah výběru je vyšší ež 30 a roo k aleeí říslušého iervalového odhadu můžeme ouží ásledující vah (jde o iervalový odhad sředí hodoy ro ámé σ kde jsme oložili σ=s) : olehlivos iervalového odhadu: 0 95 Hladia výamosi: 095 0 05 005; 0 975 96 (vi. Tabulka ) 0975 Výběrový soubor: 950 hodi 00 hodi 50 00 00 Dosadíme: 950 96 950 96 0 95 50 50 o úravě dosáváme: 93 9777 0 95 T. že s 95%-í solehlivosí můžeme vrdi že živoos žárovek firmy Ediso se ohybuje v romeí 9 hodi 8 miu až 977 hodi 4 miu. Řešeý říklad: Obchodí řeěec TETO si v dubu 006 adal sudii ýkající se oču ákaíku v rodejě TETO oruba v áek odolede (od :00 do 8:00) hodi. o jedom měsíci sledováí rodejy jsme ískali yo údaje: Daum oče ákaíků v TETO oruba (:00-8:00) hodi.5.006 3756 9.5.006 987 6.5.006 304 3.5.006 406 30.5.006 3597 a) Objasěe roč jsme eískali výběrový soubor o rosahu alesoň 30 hodo a jaké jsou důsledky volby výběru o malém rosahu. - 48 -
b) Určee ro maagme řeěce TETO 95%-í ierval solehlivosi oču ákaíku v rodejě TETO oruba v áek odolede. Řešeí: ada) adb) ro ískáí výběru o rosahu miimálě 30 hodo bychom museli daou rodeju sledova miimálě 30 áku (j. déle ež ůl roku) což by vedlo jedak k výšeí fiačí áročosi sudie jedak bychom museli dlouho čeka a výsledky. Z ěcho důvodu jsme volili meší rosah výběru (=5) odovídající měsíčímu sledováí rodejy. Nevýhodou malého rosahu výběru je íká řesos odhadu (oměrě široký ierval). Určujeme iervalový odhad sředí hodoy s eámou směrodaou odchylkou a malým rosahem výběru roo ro jeho výoče oužijeme ásledující vah: s s olehlivos iervalového odhadu: 0 95 Hladia výamosi: 095 0 05 005; 0 975 78 (vi. Tabulka ) 0975 4 Výběrový soubor: 5 i i 5 3756 987 304 406 3597 3576 5 s i i 3756 3576... 3597 3576 4 693 s 5 5 5 5 Dosadíme: 3576 78 3576 78 0 95 5 5 o úravě dosáváme: 88 4530 0 95 T. že s 95%-í solehlivosí můžeme vrdi že ávšěvos TETO oruba se v libovolý áek v odoledích hodiách bude ohybova v romeí 88 až 453 ákaíků. - 49 -
- 50 - Výklad: 0.6 Ierval solehlivosi ro royl Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaečým) bodovým odhadem roylu σ je výběrový royl s. Iervalový odhad roylu σ se hledá jiak v říadě že áme sředí hodou oulace (ákladího souboru) a jiak když uo sředí hodou eáme. roože alos sředí hodoy μ ři ealosi roylu σ eí říliš reálá omeíme se oue a druhý říad. ředokládejme že sledovaá áhodá veličia má ormálí roděleí. Zvolme výběrový soubor daé oulace. Nechť má eo výběrový soubor rosah a výběrový royl s. Z vlasosí roděleí Chí-kvadrá (ka. 6.9) víme že defiujeme-li si áhodou veličiu χ jako: ak má ao áhodá veličia roděleí Chí-kvadrá s (-) sui volosi: Z oho lye že můžeme asa ásledující ravděodobos: ) ( ) ( kde ; jsou říslušé kvaily χ roděleí s - sui volosi. Úravou ohoo vahu (oor roděleí χ eí symerické) ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu:
- 5 - Řešeý říklad: 0.7 Ierval solehlivosi ro směrodaou odchylku Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaečým) bodovým odhadem směrodaé odchylky σ je výběrová směrodaá odchylka s. Iervalový odhad směrodaé odchylky σ ajdeme sado uvědomíme-li si že směrodaá odchylka je odmociou roylu. ačí edy uravi iervalové odhady ro royl. Oě ředokládejme že sledovaá áhodá veličia má ormálí roděleí. Zvolme výběrový soubor daé oulace. Nechť má eo výběrový soubor rosah a výběrovou směrodaou odchylku s. Obousraý ierval solehlivosi určíme jako: Obdobě je levosraý ierval solehlivosi vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Auoma vyrábí ísové kroužky o daém růměru. ři korole kvaliy bylo áhodě vybráo 80 kroužků a vyočea směrodaá odchylka jejich růměru 004mm. Odhaděe 95%-í levosraý ierval solehlivosi ro royl a směrodaou odchylku růměru ísových kroužků.
Řešeí: Nejdříve ajdeme 95%-í levosraý ierval solehlivosi ro royl. ro jeho aleeí oužije ásledující vah: olehlivos iervalového odhadu: 0 95 00 7 (vi. Tabulka 3) 095; 79 Výběrový soubor: 004 0006 mm = 80 o dosaeí: 79 0006 0 95 007 0003 0 95 Jedoduchou úravou ak ískáme 95%-í levosraý ierval solehlivosi ro směrodaou odchylku: 0003 0 95 0035 0 95 95%-í solehlivosí edy můžeme vrdi že royl růměru ísových kroužků je věší ež.0-3 mm (res. že s 95%-í solehlivosí je směrodaá odchylka růměru ísových kroužků věší ež 46.0 - mm). Výklad: 0.8 Ierval solehlivosi ro relaiví čeos (odíl) Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaečým) bodovým odhadem relaiví čeosi π je výběrová relaiví čeos. Jsou-li slěy odmíky Moivreovy-Lalaceovy věy ( 30 áme roděleí relaiví čeosi (odílu) (vi. ka. 7.5.): Je-li áhodá veličia defiováa jako: oř. 9 ) ak - 5 -
- 53 - ak má áhodá veličia ormovaé ormálí roděleí: 0; N Nechť a jsou 00. %-í a 00. %-í kvaily ormovaého ormálího roděleí. ak můžeme vrdi že: Úravou ohoo vahu ři využií vlasosi symerie ormovaého ormálího roděleí ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Uvážíme-li že ro dosaečě velké výběry můžeme relaiví čeos aroimova výběrovou relaiví čeosí (vi. Beroulliho věa) můžeme vrdi že: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu:
Řešeý říklad: ři korole daa sořeby určiého druhu masové koervy ve skladech roduků masého růmyslu bylo áhodě vybráo 30 koerv a jišěo že 59 ich má rošlou áručí lhůu. aove 95% ierval solehlivosi ro odhad rocea koerv s rošlou áručí lhůou. Řešeí: ro aleeí 95%-ího iervalu solehlivosi ro relaiví čeos oužijeme ásledující vah: olehlivos iervalového odhadu: 0 95 Hladia výamosi: 095 0 05 005; 0 975 96 (vi. Tabulka ) 0975 59 Výběrový soubor: 0 8 30 30 o dosaeí: 08 08 08 08 08 96 08 96 095 30 30 038 0 0 95 95%-í solehlivosí můžeme vrdi že mei masovými koervami se v daém skladu acháí mei 38% a % koerv s rošlou áručí lhůou. - 54 -
Výklad: 0.9 Rosah výběru Ješě řed ahájeím výběrového šeřeí musíme saovi velikos výběrového souboru. Ukáali jsme si že velikos výběru má římý vliv a řesos odhadu aramerů ákladího souboru: čím věší rosah výběru ím řesější je iervalový odhad. V řešeém říkladu věovaém sudii ro obchodí řeěec TETO jsme si však aké ukáali že ekoomické a časové důvody ás mohdy uí voli rosah výběru co ejmeší. V rai roo hledáme komromis kerý ro ožadovaou řesos výoču ovede k co ejmešímu rosahu výběru. ožadovaou řesos výoču vyjadřujeme omocí v. maimálí říusé chyby odhadu Δ. Jde o hodou o kerou jsme ochoi se mýli oroi skuečé hodoě odhadovaého arameru ři daé solehlivosi odhadu (hladiě výamosi). říusá chyba odhadu je rova oloviě šířky obousraého iervalu solehlivosi. 0.9. Rosah výběru ři odhadu sředí hodoy Obdobě jako ři hledáí iervalu solehlivosi ro sředí hodou musíme i de roliši dva říady: siuaci kdy áme směrodaou odchylku oulace a siuaci kdy uo směrodaou odchylku eáme. a) Záme σ Obousraý iervalový odhad je dá vahem: říslušý iervalový odhad edy můžeme vyjádři ve varu: ; olovia šířky obousraého iervalu solehlivosi a edy říusá chyba odhadu Δ je: ožadujeme-li aby říusá chyba odhadu Δ dosahovala ři daé solehlivosi odhadu maimálě určié říusé hodoy ak rosah výběru určíme jako fukci éo chyby: - 55 -
- 56 - b) Neáme σ Obdobě jako v ředcháejícím říadě bychom mohli ukáa že říusá chyba odhadu je: s říusá chyba odhadu je v omo říadě eje fukcí hladiy výamosi a rosahu výběru ale ávisí aké a výběrové směrodaé odchylce kerou v říadě že ješě emáme saoveý výběr eáme. Její hodou edy musíme odhadou. Obvykle se a ímo účelem rovádí v. ředvýběr j. výběr o malém rosahu ěhož vyočeme výběrovou odchylku s kerou ovažujeme a odhad výběrové směrodaé odchylky s. ak určíme miimálí rosah výběru úravou říslušého vahu: s s o jišěí ožadovaého rosahu ak sačí doli ředvýběr o chybějících (- ) rvků a iervalový odhad ak rovés výběru o rosahu. 0.9. Rosah výběru ři odhadu relaiví čeosi (odílu) Obousraý ierval solehlivosi je dá jako: ; olovia šířky obousraého iervalu solehlivosi a edy říusá chyba odhadu Δ je: Vidíme že říusá chyba odhadu ávisí eokrá a výběrové relaiví čeosi kerou eáme. Nemáme-li žádé iformace o výběrové relaiví čeosi můžeme dále osuova dvěma ůsoby:
a) rovedeme ředvýběr ěhož vyočeme výběrovou relaiví čeos kerou ovažujeme a odhad výběrové relaiví čeosi. ak určíme miimálí rosah výběru úravou říslušého vahu: o jišěí ožadovaého rosahu ak sačí doli ředvýběr o chybějících (- ) rvků a iervalový odhad ak rovés výběru o rosahu. b) Druhou možosí je odhadou výběrovou relaiví čeos ejhorší možou variaou j. maimálí hodoou roylu.(-) keré je dosažeo ro = 05. Řešeý říklad: Výběrovým šeřeím bychom chěli odhadou růměrou mdu racovíků určiého výrobího odvěví. Z vyčerávajícího šeřeí keré robíhalo řed ěkolika měsíci víme že směrodaá odchylka med byla 750-Kč. Odhad chceme rovés s 95% solehlivosi a jsme ochoi řiusi maimálí chybu ve výši 50-Kč. Jak velký musíme rovés výběr abychom ajisili ožadovaou řesos a solehlivos? Řešeí: Chceme odhadou rosah výběru ro iervalový odhad sředí hodoy áme-li směrodaou odchylku σ (vyčerávající šeřeí = koumáí celého ákladího souboru (oulace)). 095 005 0975 96 ( Tabulka) 0975 750 Kč 50 Kč Rosah výběru odhademe v omo říadě odle vahu: - 57 -
o dosaeí: 750 96 50 8644 Chceme-li dosáhou říusé chyby ve výši maimálě 50- Kč musíme ro aleeí 95%- ího iervalového odhadu rovés výběrové šeřeí a souboru o rosahu miimálě 865 racovíků. Výklad: Na ávěr éo kaioly si ješě ukážeme jak ají iervalové odhady ro rodíl sředích hodo dvou oulací a ro rodíl relaivích čeosí dvou oulací. 0.0 Iervalový odhad ro rodíl sředích hodo dvou oulací Obdobě jako u odhadu sředí hodoy jedé oulace musíme i v omo říadě roliši siuace kdy áme a kdy eáme směrodaé odchylky. 0.0. Iervalový odhad ro rodíl sředích hodo dvou oulací áme-li jejich směrodaé odchylky σ a σ ředokládejme že sledovaé áhodé veličiy a mají ormálí roděleí jejichž royly σ a σ áme. Zvolme výběrové soubory daých oulací. Nechť mají yo výběrové soubory rosahy a a růměry a. Defiujeme-li si áhodou veličiu Z jako: Z ak Z má ormovaé ormálí roděleí ( Z 0; N ) a můžeme vrdi že: Z - 58 -
- 59 - Úravou ohoo vahu ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: 0.0. Iervalový odhad ro rodíl sředích hodo dvou oulací eáme-li jejich směrodaé odchylky σ a σ Obdobě jako v říadě odhadu sředí hodoy ro jedu oulaci i de se v rai sekáváme rakicky oue s říady kdy eámé směrodaé odchylky σ a σ. ředokládejme že sledovaé áhodé veličiy a mají ormálí roděleí jejichž royly σ a σ áme. Zvolme výběrové soubory daých oulací. Nechť mají yo výběrové soubory rosahy a růměry a a výběrové směrodaé odchylky s a s. V omo říadě volíme jako vhodou výběrovou saisiku áhodou veličiu T kerá má udeovo roděleí s ( + -) sui volosi T. T je defiováa jako: T kde ak můžeme vrdi že: T
- 60 - Úravou ohoo vahu ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: s s Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: 0. Iervalový odhad ro rodíl relaivích čeosí dvou oulací ředokládejme že sledovaé áhodé veličiy a mají ormálí roděleí. Zvolme výběrové soubory daých oulací. Nechť mají yo výběrové soubory rosahy a a očy rvků se sledovaou vlasosí a. ak výběrové relaiví čeosi určíme jako: ; Defiujeme-li si áhodou veličiu jako: kde ak má ormovaé ormálí roděleí ( 0; N ) a můžeme vrdi že: Úravou ohoo vahu ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval:
- 6 - Řešeý říklad: Obdobě bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Diskey dvou velkých výrobců - oik a 5M byly odrobey koušce kvaliy. Diskey obou výrobců jsou baley o 0-i kusech. Ve 40-i balíčcích fy oik bylo aleeo 4 vadých diske ve 30-i balíčcích 5M bylo aleeo 4 vadých diske. Určee 95%-í ierval solehlivosi ro rodíl v roceu vadých diske v celkové rodukci firem oik a 5M. Řešeí: Oačme si roceo vadých diske v rodukci fy oik π a roceo vadých diske v rodukci fy 5M π. ro určeí ožadovaého iervalu oužijeme vah: olehlivos iervalového odhadu: 95 0 Hladia výamosi: 05 0 095 975 0 005; 96 975 0 (vi. Tabulka )
Výběrové soubory: oik: 4 40 0 800 4 800 0030 výběrový odíl vadých diske fy oik 5M: 4 30 0 600 4 600 003 výběrový odíl vadých diske fy 5M 4 4 007 800 600 o dosaeí: 007 007 0007 007 0 95 0 00 004 0 95 0 0 % 4 % 0 95 95%-í solehlivosí můžeme vrdi že rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M je v romeí 0 % a 4%. T. že emůžeme říci keré diskey jsou kvaliější. V říadě že by rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M byl áorý 0 amealo by o že diskey firmy oik jsou kvaliější (obsahují meší odíl vadých) ež diskey firmy 5M. Obdobě v říadě že by rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M byl kladý 0 amealo by o že diskey firmy oik mají horší kvaliu (obsahují věší odíl vadých) ež diskey firmy 5M. V ašem říadě víme že rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M může bý jak kladý ak i áorý a roo emůžeme říci keré diskey jsou kvaliější. Ale o už jsme se dosali k esováí hyoé jimž se budeme abýva v ásledující kaiole. - 6 -
hruí: V rakických říadech věšiou edokážeme řesě urči aramery ákladího souboru (oulace). K jejich odhadu oužíváme charakerisiky říslušých výběrových souboru výběrové charakerisiky. Z meodického hlediska oužíváme dva yy odhadů aramerů: a bodový odhad kdy aramer ákladího souboru aroimujeme jediým číslem iervalový odhad (kofidečí ierval) kdy eo aramer aroimujeme iervalem v ěmž aramer leží s daou ravděodobosí. Téo ravděodobosi říkáme solehlivos odhadu a oačujeme ji (-α) α aýváme hladiou výamosi. Dobrý (věrohodý) odhad musí slňova určié vlasosi. Mei ákladí vlasosi věrohodých odhadů aří: esraos (evychýleos ekresleos) vydaos (eficiece) koisece dosaečos V rakických alikacích časěji ež bodový odhad určujeme iervalový odhad říslušého arameru. Teo odhad je rereeová iervalem (T D ; T H ) v ěmž hledaý aramer leží s ředem určeou ravděodobosí (solehlivosí) kerou oačujeme (-α). Iervaly solehlivosi kosruujeme jako jedosraé ebo dvousraé. V ásledující abulce ajdee řehled iervalových odhadů ro aramery ormálího roděleí včeě oužiých výběrových charakerisik. Odhadovaý aramer μ áme σ μ eáme σ Iervaly solehlivosi ro aramery ormálího roděleí Vhodá výběrová charakerisika Roděleí výběrové char. Mee obousraého iervalu solehlivosi Dolí me levosraého iervalu solehlivosi Horí me ravosraého iervalu solehlivosi T D T H T D T H Z N(0;) - T σ σ iervalový odhad je odvoe iervalového odhadu σ π N(0;) - 63 -
- 64 - Velikos výběru má římý vliv a řesos odhadu aramerů ákladího souboru: čím věší rosah výběru ím řesější je iervalový odhad. Ekoomické a časové důvody ás však mohdy uí voli rosah výběru co ejmeší. V rai roo hledáme komromis kerý ro ožadovaou řesos výoču (říusou chybu odhadu Δ) ovede k co ejmešímu rosahu výběru. Odhadovaý aramer Rosah výběru μ áme σ μ eáme σ Iervalové odhady můžeme ouží aké ke srováváí sředích hodo res. relaivích čeosí dvou oulací: Odhadovaý vah mei aramery Vhodá výběrová charakerisika Roděleí výběrové char. Mee obousraého iervalu solehlivosi Dolí me levosraého iervalu solehlivosi Horí me ravosraého iervalu solehlivosi T D T H T D T H μ - μ áme σ ; σ Z N(0;) μ - μ eáme σ ; σ T π -π N(0;
Oáky. Objasěe rodíl mei ákladím souborem (oulací) a výběrovým souborem.. Jaké áe ůsoby odhadu aramerů ákladího souboru? 3. Vysvělee co je o dobrý odhad (vysvělee ojmy: esraos koisece vydaos dosaečos). 4. oiše obecě obousraý (levosraý ravosraý) 00.(- )%-í ierval solehlivosi ro ějaký aramer θ. 5. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro sředí hodou μ ři voleé hladiě výamosi α ro adaý áhodý výběr ormálího roděleí jehož royl áme (res. eáme). 6. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro royl σ ři voleé hladiě výamosi α ro adaý áhodý výběr ormálího roděleí. 7. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro směrodaou odchylku σ ři voleé hladiě výamosi α ro adaý áhodý výběr ormálího roděleí. 8. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro relaiví čeos (odíl) π ři voleé hladiě výamosi α ro adaý áhodý výběr ormálího roděleí. 9. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro rodíl sředích hodo (μ -μ ) ři voleé hladiě výamosi α ro adaé áhodé výběry ormálích roděleí jejichž royly σ σ áme (res. eáme). 0. Najděe obousraý ierval solehlivosi ro rodíl relaivích čeosí (π -π ) ři voleé hladiě výamosi α ro adaé áhodé výběry ormálích roděleí. - 65 -
Úlohy k řešeí. Náhodý výběr ěi sáů UA má ásledující rolohy (v 000 čverečích mil): 47 84 4 85 59 Vyočěe 95% ierval solehlivosi ro sředí rolohu každého 50-i sáů UA.. Z jedé aralelí skuiy byli áhodě vybrái 4 sudei. Jejich výsledky u koušky byly: 64 66 89 a 77 bodů. Z druhé aralelí skuiy byli vybrái 3 sudei a jejich výsledky byly: 56 7 a 53 bodů. Vyočíeje 95% ierval solehlivosi ro rodíl mei sředími hodoami výsledků obou skui u koušky. 3. V áhodém výběru čiů vyráběých velkou svěovou solečosi 0% čiů evyhovuje ovým ožadavkům a kvaliu. esroje 95% ierval solehlivosi ro odíl čiů (v celé rodukci solečosi) keré evyhovují daé ormě jesliže rosah výběru je: a) 0 b) 5 c) 50 d) 00 4. Firma uoil se a vás obráila s rosbou da byse emohl(a) odhadou kerý jeho beíů dává leší výko (ujeá vdáleos v km) da A ebo B. Vybral(a) jse edy áhodě 4 voy a jel jse s každým o éže rase jedou se 4l beíu A v ádrži a odruhé se 4l beíu B. oče ujeých km je v ásledující abulce Beí A Beí B 3 0 7 6 6 4 0 8 Vyočíeje 95% ierval solehlivosi ro sředí rodíl výkou. 5. V roce 954 byla rováděa řada okusů ro odkoušeí účiosi ové vakcíy roi děské obrě. Ze 740 000 děí celých UA 400 000 souhlasilo s okusem. olovia ěcho dobrovolíků byla áhodě vybráa jako okusá ro očkováí skuečou vakcíou korolí olovia byla aočkováa oue fyiologickým rookem. Výsledky byly ásledující: kuia oče děí oče výskyu obry Očkováí 00 000 58 Korolí 00 000 4 Odmíli se okusu účasi 340 000 5-66 -
a) ro každou e ří skui vyočíeje míru oemocěí obrou (oče říadů a 00.000 děí). b) Odhaděe sížeí výskyu obry vlivem očkováí včeě 95% iervalu solehlivosi. (ávod: určee kofidečí ierval ro rodíl relaivích očů výskyu obry mei očkovaou a korolí skuiou a mee iervalu ak řeočěe a absoluí hodoy) 6. ro realiaci rosáhlého šeřeí o difereciaci med ve velkém růmyslovém odiku musíme velmi rychle íska určiou ředsavu o růměré odchylce med. Z celkového oču 5.000 aměsaců jsme jich áhodě vybrali 30 a určili růměrou mdu 9.450- Kč a směrodaou odchylku ve výši.00-kč. V jakém iervalu le s 95% ravděodobosi očekáva směrodaou odchylku med v celém odiku? ředokládáme že roděleí med v ákladím souboru všech racovíků odiku je ormálí. 7. Jaký miimálí rosah výběru ro odhad odílu chybě účovaých oložek musíme avrhou chceme-li ři 90% solehlivosi ajisi říusou chybu 3 %. O možém odílu chybých oložek emáme ři rováděém audiu žádou iformaci 8. Hyermarke Hyer chce ro kvaliěí služeb oskyovaých ákaíkům krái dobu jejich čekáí u oklade. Náhodě bylo vybráo 0 ákaíků a byla měřea doba jejich čekáí u oklady (ředokládáme ormaliu roděleí dob čekáí). Výsledky šeřeí (v sekudách): 30 5 390 65 358 55 70 65 50 40. a) V jakých meích le s ravděodobosi 095 očekáva růměrou dobu čekáí ákaíka a obsluhu (v miuách)? b) Jaká je horí hraice doby čekáí kerá ebude s ravděodobosí 095 řekročea? 9. Ageura rovádějící růkum veřejého míěí láuje šeřeí a ákladě kerého chce odhadou kolik roce voličů odoruje současou vládí koalici. ředokládejme (v rai omu ak ovšem eí) že jsou doaováí vybíráí cela áhodě. Kolik doaovaých by mělo bý do výběru ařaeo jesliže si vedeí ageury řeje aby se odhad výběru elišil od skuečého odílu říivců koalice o více ež 3%? (Vole hladiu výamosi 005.) 0. Z 90 koušek mee kluu kosrukčí oceli rodukce určié oceláry byl vyoče výběrový růměr 534 Ma a výběrový royl 3948 Ma. Najděe 80% iervaly solehlivosi ro sředí hodou a směrodaou odchylku mee kluu. (a ředokladu ormaliy da). Tabáková firma TAB rohlašuje že jejich cigarey mají ižší obsah ikoiu ež cigarey NIK. ro ověřeí ohoo rohlášeí bylo áhodě vybráo rodukce TAB 0 krabiček cigare (o 0-i kusech) a v ich bylo jišěo (46 37) mg ikoiu (v jedié cigareě). Ve 5-i krabičkách cigare NIK (o 0-i kusech) bylo jišěo (489 43) mg ikoiu a cigareu. Naleěe 95% ierval solehlivosi ro rodíl obsahu ikoiu v cigareách TAB a NIK.. Ageura TAT udává že v ledu 999 byla v oulaci České reubliky 30%-í odora ČD (000 resodeů) a ři růkumu v kvěu 999 (600 resodeů) jisili oue 5%-í odoru éo sray. Na ákladě kvěového růkumu učiňe 90% iervalový odhad ohledě roceuálího asoueí voličů ČD v celé oulaci. - 67 -
Řešeí:. 39 677 095. 35 095 7. že s 95%-í solehlivosi můžeme vrdi že sudei obou skui dosáhli rovoceých výsledku 3. a) 0086 086 095 b) 008 08 095 c) 007 083 095 d) 0058 04 095 Všiměe si že rosoucí rosah výběru vede k řesňováí kofidečího iervalu 4. 0 70 095 3. že s 95%-í solehlivosi můžeme vrdi že beíy A a B jsou daého hlediska rovoceé 5. a) kuia Výsky obry a 00.000 děí Očkováí 9 Korolí 7 Odmíli se účasi 45 b) 00056 00008 095 559 8 095 0. že s 95%-í solehlivosi můžeme vrdi že očkováí vedlo ke sížeí výskyu obry 6. 95570Kč 63Kč 095 7. 757 75 8. a) 09 365 095 b) 309 0 95 9. 067 068 0. 489 5377 080 634 98 080. 83 577 095 6. že s 95%-í solehlivosi můžeme vrdi že cigarey TAB mají ižší obsah ikoiu ež cigarey NIK. 03 05 095-68 -