CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4 + 3π 72 3π). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Z černých a bílých kamínků je vyrobena rozsáhlá čtvercová mozaika. Mozaiku tvoří kamínky vyskládané soustředné černé a bílé čtverce, které se postupně střídají a zvětšují. Nejmenší čtverec má obvod tvořený ze 4 černých kamínků. Další čtverec je bílý, tvořený 12 bílými kamínky. Na každé straně každého čtverce je vždy o 2 kamínky více než na každé straně největšího z čtverců ležícího uvnitř něj. Kamínků bylo na mozaiku použito dohromady 15 376. Na obrázku je ukázka prvních pěti čtverců mozaiky. max. 3 body 2.1 Jakou barvu budou mít kamínky, které tvoří obvod největšího čtverce v mozaice? 2.2 V jakém poměru jsou v celé mozaice použity bílé a černé kamínky? Výsledek vyjádřete jako zlomek v základním tvaru. 2 Maturita z matematiky 06
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Vyšrafovaný čtyřúhelník má vrcholy umístěny v bodech čtvercové mřížky tvořené čtverci s obsahem 1 cm 2. 3.1 Určete délku nejkratší strany vyšrafovaného čtyřúhelníku. 3.2 Určete obsah vyšrafovaného čtyřúhelníku. max. 2 body 1 bod 4 Určete menší ze dvou vzájemně převrácených kladných reálných čísel, jejichž součet je roven pěti třetinám toho z jejich rozdílů, který je kladný. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Pro x R + je definován výraz [( x 1) 2 (1 x) 2 ] 2. 5 Určete hodnotu výrazu pro x = 3 7. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Na obrázku je síť rotačního kužele, tvořená kruhovou výsečí (plášť kužele) a kruhem (podstava kužele). Středový úhel kruhové výseče je 216, obsah kruhu 9 π cm 2. max. 2 body 6 Určete velikost v výšky kužele. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Maturita z matematiky 06 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána rovnice funkce f: y = x 6. 2 x max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Funkce f je pro všechna záporná reálná čísla definována. 7.2 Pro x 3, 8 je funkce klesající. 7.3 Pro každé x 4 platí, že f(x) 1. 7.4 Funkce f je lichá. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pro přirozená čísla x je dána rovnice 60! 58! = (60x x 59 ) 57!. 8 Která z možností A E určuje kořen x dané rovnice? A) x = 60 B) x = 60 58 C) x = 59 58 D) x = 58 57 E) x = 60 59 58 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dány přímky p = {[x, y]; y = x x R} a q = {[x, y]; y = x 1 2 x R}. 2 body 9 Která z možností A E udává y-ovou souřadnici bodu přímky q, který má od přímky p vzdálenost rovnu 2? A) 1 B) 0 C) 2 D) 2 2 E) 3 4 Maturita z matematiky 06
max. 4 body 10 Přiřaďte každé zobrazené množině bodů v kartézské soustavě Oxy (10.1 10.4) soustavu nerovnic, jíž je řešením (A F). 10.1 10.2 10.3 10.4 A) { y < x + 1 y < x + 1 B) { y < x 1 y < x + 1 C) { y > x 1 y > x + 1 D) { y > x + 1 y > x + 1 E) { y > x 2 y > x + 2 F) { y > x 1 y > x 2 KONEC TESTU Maturita z matematiky 06 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4 + 3π 72 3π). 1 bod Odstraníme absolutní hodnotu. Odstraňujeme ji tak, že je-li výraz v ní kladný, je jeho absolutní hodnota rovna jemu samému, je-li záporný, je rovna výrazu k němu opačnému. 6 2 π 4 + 3π 72 3π = 6 2 + (π 4) + (3π 72) 3π = π 4 = 4 π Řešení: 4 π + 6 2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Z černých a bílých kamínků je vyrobena rozsáhlá čtvercová mozaika. Mozaiku tvoří kamínky vyskládané soustředné černé a bílé čtverce, které se postupně střídají a zvětšují. Nejmenší čtverec má obvod tvořený ze 4 černých kamínků. Další čtverec je bílý, tvořený 12 bílými kamínky. Na každé straně každého čtverce je vždy o 2 kamínky více než na každé straně největšího z čtverců ležícího uvnitř něj. Kamínků bylo na mozaiku použito dohromady 15 376. Na obrázku je ukázka prvních pěti čtverců mozaiky. max. 3 body 2.1 Jakou barvu budou mít kamínky, které tvoří obvod největšího čtverce v mozaice? 2.2 V jakém poměru jsou v celé mozaice použity bílé a černé kamínky? Výsledek vyjádřete jako zlomek v základním tvaru. 6 Maturita z matematiky 06
Kamínky vytváří čtverce, jejichž délky tvoří aritmetické posloupnosti. Délky obvodů čtverečků představují aritmetickou posloupnost {4 + (n 1) 8; n N}. Protože víme, kolik bylo kamínků celkově použito, určíme n, které vyjadřuje počet čtverců, které mozaiku tvoří, ze vzorce pro součet aritmetické posloupnosti. [4 + 4 + (n 1) 8] n = 15 376 2 8n + 8n 2 8n = 30 752 8n 2 = 30 752 n 2 = 3844 n = 62 2.1 V mozaice bylo použito 62 čtverců, a protože černé kamínky tvoří první, třetí, pátý,, tedy liché čtverce, a bílé kamínky sudé čtverce, bude poslední čtverec, čtverec nejdelší délky, tvořen z bílých kamínků. Řešení: bílou 2.2 U dílčích barev můžeme také v délkách čtverců odhalit posloupnosti. U černých kamínků se jedná o posloupnost 4, 20, 36,, tj. {4 + (l 1) 16; l N}, u bílých kamínků o podobnou posloupnost 12, 28, 44,, j. {12 + (m 1) 16; m N}. Protože mozaiku tvoří celkově 62 čtverců, nachází se v ní 31 bílých (m = 31) a 31 černých čtverců (l = 31). U obou posloupností určíme součet 31 členů (tj. počty všech kamínků v příslušné barvě) a určíme poměr počtu bílých k počtu černých kamínků mozaiky. [12 + 12 + (31 1) 16] 31 2 [4 + 4 + (31 1) 16] 31 = 7812 7564 = 63 61 2 Řešení: 63 61 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Vyšrafovaný čtyřúhelník má vrcholy umístěny v bodech čtvercové mřížky tvořené čtverci s obsahem 1 cm 2. 3.1 Určete délku nejkratší strany vyšrafovaného čtyřúhelníku. max. 2 body Protože dílčí čtverec mřížky má obsah 1 cm 2, je jeho strana délky 1 cm. Nejkratší strana vyšrafovaného čtyřúhelníku je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku o odvěsnách délek 2 cm a 4 cm, má tedy délku (2 cm) 2 + (4 cm) 2 = 4 cm 2 + 16 cm 2 = 20 cm = 2 5 cm. Řešení: 2 5 cm Maturita z matematiky 06 7
3.2 Určete obsah vyšrafovaného čtyřúhelníku. Čtyřúhelník je zakreslen do mřížky s 96 čtverečky, tedy s obsahem 96 cm 2. Pokud od obsahu celé mřížky odečteme obsahy krajních pravoúhlých trojúhelníků I, II, III a IV, získáme obsah S čtyřúhelníku. (4 cm) (9 cm) Obsahy trojúhelníků I, II, III a IV jsou po řadě S I = = 18 cm 2, 2 (3 cm) (7 cm) S II = (4 cm) (2 cm) = 10,5 cm 2, S 2 III = (10 cm) (1 cm) = 4 cm 2 a S 2 IV = = 5 cm 2. 2 Obsah čtyřúhelníku je S = (96 cm 2 ) (S I + S II + S III + S IV ) = (96 cm 2 ) (18 cm 2 + 10,5 cm 2 + 4 cm 2 + 5 cm 2 ) = (96 cm 2 ) (37,5 cm 2 ) = 58,5 cm 2. Řešení: 58,5 cm 2 1 bod 4 Určete menší ze dvou vzájemně převrácených kladných reálných čísel, jejichž součet je roven pěti třetinám toho z jejich rozdílů, který je kladný. x > 1 > 0 x Sestavíme a vyřešíme rovnici za výše uvedené podmínky. x + 1 = 5 x 3 (x 1 x ) x 2 + 1 = 5x2 5 x 3x 3x 2 + 3 = 5x 2 5 8 = 2x 2 x = 2 Jedná se tedy o dvojici čísel 2 a 1. 2 Menším z nich je 1. 2 Řešení: 1 2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Pro x R + je definován výraz [( x 1) 2 (1 x) 2 ] 2. 5 Určete hodnotu výrazu pro x = 3 7. 1 bod 8 Maturita z matematiky 06
Výraz je pro x = 7 3 definován. Zjednodušíme jej a dosadíme x = 7 3 do zjednodušeného tvaru. [( x 1) 2 (1 x) 2 ] 2 = [x 2 x + 1 (1 2 x + x)] 2 = 0 Protože je výraz pro všechna přípustná x vždy roven nule, je roven nule i pro x = 7. 3 Řešení: 0 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Na obrázku je síť rotačního kužele, tvořená kruhovou výsečí (plášť kužele) a kruhem (podstava kužele). Středový úhel kruhové výseče je 216, obsah kruhu 9 π cm 2. max. 2 body 6 Určete velikost v výšky kužele. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Z obsahu kruhu získáme jeho poloměr r, z poloměru jeho obvod l. S = πr 2 = 9π cm 2 r = 3 cm Pro středový úhel 216 platí: 216 360 = 2πr 2πs 3 = 6π cm 5 2πs 6s = 30 cm s = 5 cm Pro stranu kužele, poloměr podstavy a výšku kužele platí: v = s 2 r 2 v = (5 cm) 2 (3 cm) 2 v = 4 cm Kužel má výšku dlouhou 4 cm. Řešení: v = 4 cm Maturita z matematiky 06 9
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána rovnice funkce f: y = x 6. 2 x max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Funkce f je pro všechna záporná reálná čísla definována. 7.2 Pro x 3, 8 je funkce klesající. 7.3 Pro každé x 4 platí, že f(x) 1. 7.4 Funkce f je lichá. ANO NE 7.1 2 x 0 x 2 D f = (, 2) (2, + ) Funkce f je pro záporná reálná čísla definována. Tvrzení je pravdivé. 7.2 K určení monotónnosti lze použít graf lineárně lomené funkce. Taková funkce má na každé větvi definičního oboru ryze monotónní průběh, stačí tedy zjistit, jak její graf vypadá. Upravíme pro x 2 předpis funkce f, abychom rozpoznali asymptotický střed a průběh funkce. f: y = ( x + 6) = (2 x + 4) = (2 x) 4 = 1 + 4 2 x 2 x 2 x x 2 Zkonstruujeme graf a odvodíme, že pro x 3, 8 je funkce klesající. Tvrzení je pravdivé. 7.3 I toto tvrzení je zhodnotitelné z přesného grafu, podobného závěru lze dosáhnout i řešením nerovnice. x 6 1 x (, 2) (2, + ) x 6 2 + x 0 x (, 2) (2, + ) 2 x 2 x 2x 8 2 x 0 x (, 2) (2, + ) x (, 2) 4, + ) Tvrzení je pravdivé. 10 Maturita z matematiky 06
7.4 Závěr opět lze odvodit z přesného grafu, nebo dle definice liché funkce. Protože graf není středově souměrný podle počátku, funkce lichá není. Pokud bychom použili definici, muselo by platit, že pro každé x z definičního oboru funkce platí, že f( x) = f(x). f( x) = x 6 = f(x) jen pro x = 0. 2 ( x) Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, ANO, ANO, NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pro přirozená čísla x je dána rovnice 60! 58! = (60x x 59 ) 57!. 8 Která z možností A E určuje kořen x dané rovnice? A) x = 60 B) x = 60 58 C) x = 59 58 D) x = 58 57 E) x = 60 59 58 2 body Pro přípustné hodnoty řešíme rovnici. 60! 58! = (60x x 59 ) 57! (60 59 58 58) 57! = (60x x 59 ) 57! : 57! (60 59 58 58) = (60x x 59 ) 59 59 (60 59 58 58) = 60 59x x 59 (60 59 58 58) = x(60 59 1) 59 58 (60 59 1) = x(60 59 1) : (60 59 1) x = 58 59 Správná je možnost C. Řešení: C Maturita z matematiky 06 11
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dány přímky p = {[x, y]; y = x x R} a q = {[x, y]; y = x 1 2 x R}. 2 body 9 Která z možností A E udává y-ovou souřadnici bodu přímky q, který má od přímky p vzdálenost rovnu 2? A) 1 B) 0 C) 2 D) 2 2 E) 3 Z rovnice přímky q si vyjádříme y, abychom mohli vyjádřit souřadnice libovolného jejího bodu s pomocí souřadnice y. y = x 2 3y = x 6 x = 3y + 6, y R 3 Hledáme tedy bod [3y + 6; y], y R, pro který platí, že má od přímky x + y = 0 vzdálenost 2. Dosadíme do vzorce pro vzdálenost bodu od přímky. 3y + 6 + y 2 = 1 2 + 1 2 4y + 6 2 = 2 2 = 4y + 6 Nyní už můžeme závěr odvodit experimentováním, dosazením souřadnic v možnostech A E a vybrat správnou odpověď. 2 = 4y + 6 : 4 1 2 = y ( 3 2 ) Protože rovnice 1 = 2 y ( 3 2 ) má geometrický význam takový, že hledáme číslo y, jehož obraz má od obrazu čísla 3 2 vzdálenost rovnu 1 2, zjišťujeme, že y = 1 nebo y = 2. Správně je tedy možnost A. Řešení: A 12 Maturita z matematiky 06
max. 4 body 10 Přiřaďte každé zobrazené množině bodů v kartézské soustavě Oxy (10.1 10.4) soustavu nerovnic, jíž je řešením (A F). 10.1 10.2 10.3 10.4 A) { y < x + 1 y < x + 1 B) { y < x 1 y < x + 1 C) { y > x 1 y > x + 1 D) { y > x + 1 y > x + 1 E) { y > x 2 y > x + 2 F) { y > x 1 y > x 2 Maturita z matematiky 06 13
Směrnice k hraničních přímek jsou ve všech případech stejné, 1 a 1, předpisy určíme vždy s pomocí průsečíků s osou y, víme-li, že je-li předpis lineární funkce y = kx + q, x R, potom platí, že je P y [0, q]. 10.1 Hraničními přímkami nerovnic jsou přímky y = x 1, y = x + 1. Řešení leží vždy nad oběma grafy hraničních přímek, jedná se tedy o případ C. Řešení: C 10.2 Hraničními přímkami nerovnic jsou přímky y = x + 1, y = x + 1. Řešení leží vždy nad oběma grafy hraničních přímek, jedná se tedy o případ D. Řešení: D 10.3 Hraničními přímkami nerovnic jsou přímky y = x + 1, y = x + 1. Řešení leží vždy pod oběma grafy hraničních přímek, jedná se tedy o případ A. Řešení: A 10.4 Hraničními přímkami nerovnic jsou přímky y = x 1, y = x 2. Řešení leží vždy nad oběma grafy hraničních přímek, jedná se tedy o případ F. Řešení: F KONEC TESTU 14 Maturita z matematiky 06
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 4 π 1 bod 2 2.1 bílou 1 bod 3 4 2.2 63 61 max. 2 body 3.1 2 5 cm 1 bod 3.2 58,5 cm 2 1 bod 1 2 1 bod 5 0 1 bod 6 Z obsahu kruhu získáme jeho poloměr r, z poloměru jeho obvod l. S = πr 2 = 9π cm 2 r = 3 cm max. 2 body Pro středový úhel 216 platí: 216 488 = 2πr 2πs 3 = 2 5 2πs 3 = 6π cm 5 2πs 6s = 30 cm s = 5 cm Pro stranu kužele, poloměr podstavy a výšku kužele platí: v = s 2 r 2 v = (5 cm) 2 (3 cm) 2 v = 4 cm Kužel má výšku dlouhou 4 cm. Řešení: v = 4 cm Maturita z matematiky 06 15
7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 ANO 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE 8 C 2 body 9 A 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 C 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 D 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 A 10.4 F 16 Maturita z matematiky 06
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 2 2.1 1 bod 3 2.2 max. 2 body 3.1 1 bod 3.2 1 bod 4 1 bod 5 1 bod 6 max. 2 body Maturita z matematiky 06 17
7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 7.4 8 2 body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 10.4 18 Maturita z matematiky 06