ILUSTRACE ZÁKONA VELKÝCH ČÍSEL POMOCÍ SIMULACÍ THE ILLUSTRATION OF THE LAW OF LARGE NUMBERS BY SIMULATIONS

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS ILUSTRACE ZÁKONA VELKÝCH ČÍSEL POMOCÍ SIMULACÍ THE ILLUSTRATION OF THE LAW OF LARGE NUMBERS BY SIMULATIONS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR MARTIN CHABIČOVSKÝ doc. RNDr. JAROSLAV MICHÁLEK, CSc. BRNO 29

Abstrakt Stochastická kovergece, záko velkých čísel a cetrálí limití věta ředstavují důležitou část teorie ravděodobosti, která se často užívá v matematické statistice. Cílem této ráce je osat tuto teorii a demostrovat ji a říkladech a grafických simulacích. Kromě simulací stochastické kovergece, zákoa velkých čísel a cetrálí limití věty ro ěkterá diskrétí a sojitá rozděleí ravděodobosti ráce obsahuje i ěkolik zajímavých simulací a to simulaci Galtoovy desky, Buffoovy úlohy a Bertradova aradoxu. K vytvořeí grafických simulací byl oužit rogramovací jazyk matlab. Summary Stochastic covergece, law of large umbers ad cetral limit theorem is a imortat art of robability theory, which is ofte used i mathematical statistics. The aim of this work is to describe this theory ad demostrate it with examles ad grahical simulatio. I additio simulatio of stochastic covergece, law of large umbers ad cetral limit theorem for some discrete ad cotiuous robability distributio the work cotais several iterestig simulatios for examle simulatio of Galto s box, Buffo s eedle roblem ad Bertrad s aradox. To create a grahic simulatio were used rogrammig laguage matlab. Klíčová slova stochastická kovergece, záko velkých čísel, cetrálí limití věta Keywords stochastic covergece, law of large umbers, cetral limit theorem CHABIČOVSKÝ, M. Ilustrace zákoa velkých čísel omocí simulací. Bro: Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta strojího ižeýrství, 29. 33 s. Vedoucí doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.

Prohlašuji, že jsem bakalářskou ráci Ilustrace zákoa velkých čísel omocí simulací vyracoval samostatě od vedeím doc. RNDr. Jaroslava Michálka, CSc. s oužitím rameů uvedeých v sezamu literatury. Marti Chabičovský

Děkuji svému školiteli doc. RNDr. Jaroslavu Michálkovi, CSc. za vedeí mé bakalářské ráce. Marti Chabičovský

Obsah OBSAH Úvod 2 2 Základí ojmy z teorie ravděodobosti 3 2. Některá rozděleí ravděodobosti...................... 3 2.2 Charakteristická fukce............................. 5 2.3 Kovergece áhodých veliči........................ 7 2.4 Slabý záko velkých čísel............................ 8 2.5 Silý záko velkých čísel............................ 9 2.6 Cetrálí limití věta.............................. 9 3 Simulace a říklady 3. Stochastická kovergece-aroximace rozděleí................ 3.2 Demostrace záko velkých čísel........................ 3 3.3 Demostrace cetrálí limití věty...................... 5 3.4 Zajímavé říklady................................ 8 3.4. Buffoova úloha............................. 8 3.4.2 Galtoova deska............................ 2 3.4.3 Bertradův aradox.......................... 2 4 Pois rogramu 23 5 Závěr 25 6 Sezam oužitých zkratek a symbolů 27 7 Sezam říloh 28

Úvod Záko velkých čísel, stochastická kovergece a cetrálí limití věty ředstavují důležitou část teorie ravděodobosti, která se často využívá v matematické statistice. V deší době eí obtížé demostrovat tuto teorii omocí očítačových simulacích, které lze sado zrogramovat v ejůzějších rogramovacích rostředích. V této ráci jsem se okusil demostrovat a říkladech a grafických simulacích stochastickou kovergeci, záko velkých čísel a cetrálí limití větu. K vytvořeí simulací mi omohl rogramovací jazyk matlab. V části Základí ojmy z teorie ravděodobosti jsou uvedey výzamé věty a defiice vztahující se k této roblematice. Některé věty jsou uvedey včetě důkazu. Rozsáhlejší důkazy ebo důkazy zaměřeé mimo rámec této ráce ejsou rovedey ale je uvede odkaz a říslušou literatůru. Následující kaitola Simulace a říklady se věuje demostraci zákoa velkých čísel a cetrálí limití věty a simulacích a říkladech. Pois je zde četě dolě obrázky. Posledí kaitola obsahuje ávod a oužití řiložeého rogramu, který jsem sám vytvořil a oužil k vytvořeí obrázků ro tuto ráci. 2

2 Základí ojmy z teorie ravděodobosti V této ráci se bude ředokládat zalost základích ojmů z teorie ravděodobosti. V teoretické části jsou uvedea ěkterá diskrétí a sojitá rozděleí ravděodobosti, charakteristická fukce a její vlastosti, stochastická kovergece, zákoy velkých čísel a cetrálí limití věty. Tato teorie je zracováa odle moografií [], [2] a [5]. 2. Některá rozděleí ravděodobosti Příklady diskrétích rozděleí ravděodobosti ˆ Alterativí Náhodá veličia X má alterativí rozděleí (začíme X A(θ)), když abývá ouze hodot, a to s ravděodobostí EX = θ, DX = θ( θ) (x) = P (X = x) = θ x ( θ) x, x {, }. ˆ Biomické Budiž řirozeé číslo a θ (, ). Náhodá veličia X má biomické rozděleí (začíme X Bi(, θ)), když abývá ouze hodot,,..., a to s ravděodobostmi ( ) (x) = P (X = x) = θ x ( θ) x, x =,,...,. x EX = θ, DX = θ( θ) ˆ Hyergeometrické Nechť N, K, jsou řirozeá čísla, řičemž K < N, < N. Náhodá veličia X má hyergeometrické rozděleí (začíme X Hg(N, K, )), když abývá ouze celočíselých hodot s ravděodobostmi (x) = P (X = x) = ( )( ) K N K x x ( N ) ro max{, K + N} x mi{k, }. EX = K, K(N K) DX = N N 2 ˆ Poissoovo Nechť λ > je arametr rozděleí. Náhodá veličia X má Poissoovo rozděleí (začíme X P o(λ)), když abývá ouze hodot,,..., a to s ravděodobostmi (x) = P (X = x) = λx x! e λ, x =,,.... EX = λ, DX = λ 3

2. NĚKTERÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Příklady sojitých rozděleí ravděodobosti ˆ Rovoměré Nechť (a, b) je koečý iterval. Náhodá veličia s rovoměrým rozděleím (začíme X R(a, b)) má hustotu ro x / (a, b). f(x) = b a ro x (a, b). EX = a+b (b a)2, DX = 2 2 ˆ Exoeciálí Nechť λ >. Náhodá veličia s exoeciálím rozděleím (začíme X Ex(λ)) má hustotu ro x. f(x) = λ e x/λ ro x >. EX = λ, DX = λ 2 ˆ Cauchyovo Nechť a R a b > jsou daá čísla. Náhodá veličia s Cauchyovým rozděleím (začíme X C(a, b)) má hustotu f(x) = π b b 2 + (x a) 2. Středí hodota a roztyl Cauchyova rozděleí eexistují. ˆ Beta Nechť a >, b >. Náhodá veličia s beta rozděleím (začíme X B(a, b)) má hustotu Γ(a+b) Γ(a)Γ(b) xa ( x) b ro x (a, b). f(x) = ro x / (a, b). EX = a, DX = ab a+b (a+b) 2 (a+b+) ˆ Normálí Nechť µ R, σ >. Náhodá veličia s ormálím rozděleím (začíme X N(µ, σ 2 )) má hustotu f(x) = e (x µ)2 2σ 2 x R. 2πσ EX = µ, DX = σ 2 ˆ Logaritmicko ormálí Nechť a R, m R, b >. Náhodá veličia s logaritmicko ormálím rozděleím (začíme X LN(a, b, m)) má hustotu f(x) = 2πb(x a) e (l(x a) m)2 2b 2, x > a. EX = a + e m+ b2 2, DX = (EX) 2 (e b2 ) 4

2.2 CHARAKTERISTICKÁ FUNKCE ˆ Fischer-Sedecorovo F rozděleí Nechť m, N a m,. Náhodá veličia s F rozděleím o m a stuích volosti (začíme X F (m, )) má hustotu f(x) = m+ Γ( ) 2 Γ( m 2 )Γ( 2 ) ( m Je-li > 2, existuje EX = 2 2 (m+ 2) m( 2) 2 ( 4). 2 ) m 2 2.2 Charakteristická fukce ( x m 2 + m ) (m+) x 2, x >. a je-li > 4, existuje koečý roztyl DX = Defiice 2. Charakteristickou fukci ψ(t) áhodé veličiy X defiujeme vzorcem ψ(t) = Ee itx = E cos tx + ie si tx, t R. x= e itx (x) ro diskrétí áhodou veličiu X. Též se dá vyjádřit ve tvaru ψ(t) = eitx f(x)dx ro sojitou áhodou veličiu X. Pro řehledost budeme začit charakteristickou fukci áhodé veliči X ψ X (t) a áhodé veličiy Y ψ Y (t). Věta 2.2 (vlastosti charakteristické fukce). ψ() = a ψ(t). 2. ψ(t) je vždy stejoměrě sojitá. 3. Jestliže a, b jsou kostaty a Y = a + bx, ak ψ Y (t) = e ita ψ X (bt). 4. Jestliže X,..., X jsou ezávislé áhodé veličiy a Y = i= X i, ak ψ Y (t) = ψ Xi (t). i= 5. Existuje-li rvích obecých mometů µ,..., µ áhodé veličiy X a jsou-li tyto momety koečé, ak její charakteristická fukce ψ(t) má rvích derivací a latí Dále latí ψ (k) () = i k µ k, k=,...,. ψ(t) = k= µ (it) k k k! + o(t ), t, kde o(t) je fukce malé o (f(x) = o(g(x)) ro x a, když f(x) g(x) ro x a). 6. Je-li ψ(t) charakteristická fukce odovídající distribučí fukci F (x) a jsou-li a, b (a < b) body sojitosti fukce F (x), ak latí: F (b) F (a) = ( ψ(t) e ita e itb ψ( t) eita e itb ) dt. 2π 2it 2it Odtud zejméa lye, že charakteristická fukce jedozačě určuje distribučí fukci. 5

2.2 CHARAKTERISTICKÁ FUNKCE 7. Existuje-li hustota, může být rověž vyočtea omocí charakteristické fukce. Pokud ro charakteristickou fukci ψ(t) latí ψ(t) dt <, má X sojitou hustotu f(x) a lze ji vyočíst odle vzorce f(x) = ψ(t)e itx dt. 2π 8. Budiž dáa oslouost distribučích fukcí F (x), F 2 (x),... a jim odovídající oslouost charakteristických fukcí ψ (t), ψ 2 (t),.... K tomu, aby oslouost {F (x)} kovergovala k ějaké distribučí fukci F (x) ve všech bodech sojitosti této fukce, je uté a stačí, aby oslouost {ψ (t)} kovergovala v každém bodě k ějaké fukci ψ(t), která je sojitá v bodě t =. Je-li tato odmíka slěa, ak ψ(t) je charakteristická fukce odovídající distribučí fukci F (x) a oslouost {ψ (t)} koverguje k ψ(t) stejoměrě v každém koečém itervalu. Důkaz: Viz [5]. Příklad 2. Staoveí charakteristické fukce ψ X (t) áhodé veličiy X N(, ) a charakteristické fukce ψ Y (t) áhodé veličiy Y N(µ, σ 2 ). ψ X (t) = Ee itx = e itx f(x)dx = cos(tx)f(x)dx+i si(tx)f(x)dx = cos(tx)f(x)dx ψ X(t) = d dt cos(tx)f(x)dx Jelikož cos(tx)f(x) a d cos(tx)f(x) jsou sojité a (, ) lze řejít ze vztahu dt d cos(tx)f(x)dx a dt ψ X(t) = xsi(tx)f(x)dx = 2 = 2 2π [si(tx)e x2 2 ] 2 2π 2π t cos(tx)e x2 2 dx = t d dt cos(tx)f(x)dx si(tx)( xe x2 2 )dx = cos(tx) e x2 2 dx = tψ(t) 2π Dostáváme tak difereciálí rovici, jejíž očátečí odmíka ψ X () = lye z Věty 2.4 ψ X(t) = tψ X (t) Její řešeí je l ψ X (t) = t2 2 + l C ψ X (t) = Ce t2 2. Dosazeím očátečí odmíky dostaeme C = a tedy ψ X (t) = e t2 2, t R. Protože Y = µ + σx ak zřejmě N(µ, σ 2 ). Užitím 3. vlastosti charakteristické fukce dostaeme ψ Y (t) = e itµ ψ X (σt) = e itµ σ2 t2 2, t R. 6

2.3 Kovergece áhodých veliči 2.3 KONVERGENCE NÁHODNÝCH VELIČIN Defiice 2.3 (kovergece áhodých veliči) Nechť (Ω, A, P ) je ravděodobostí rostor a a ěm je defiováa oslouost áhodých veliči X, X 2,... a áhodá veličia X. Řekeme, že oslouost X, =, 2,... koverguje k X skoro jistě, jestliže P ({ω : lim X (ω) = X(ω)}) =. Řekeme, že X, =, 2,... stochasticky koverguje k X (budeme začit X když ro každé ε > latí P ({ω : lim X (ω) X(ω) > ε}) =. st X), Řekeme, že X, =, 2,... koverguje k X odle středu, je-li EX 2 < a ro =, 2,... latí E(X X) 2. Nechť X má distribučí fukci F a echť X má distribučí fukci F. Jestliže F (x) F (x) v každém takovém bodě x, ve kterém je fukce F sojitá, ak říkáme, že veličiy X kovergují k áhodé veličiě X v distribuci a rozděleí áhodých veliči X azýváme asymtotické rozděleí. Kovergece v distribuci se často začí L(X ) L(X). Věta 2.4 (Čebyševova erovost) Nechť áhodá veličia X má středí hodotu EX a koečý roztyl DX. Pak ro každé ε > latí P ( X EX > ε) DX ε 2 Důkaz: Pro jedoduchost uvádím důkaz je ro sojitý říad. Obecý důkaz lze ajít v [5]. Uvažujme možiu Dále DX = E(X EX) 2 = M ε = {x : x EX > ε} a M ε = R M ε. (x EX) 2 f(x)dx M ε (x EX) 2 f(x)dx = (x EX) 2 f(x)dx+ (x EX) 2 f(x)dx M ε R M ε ε 2 f(x)dx = ε 2 f(x)dx = ε 2 P (X M ε ) = ε 2 P ( X EX > ε). M ε M ε Odtud P ( X EX > ε) DX ε 2. 7

2.4 Slabý záko velkých čísel 2.4 SLABÝ ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL Defiice 2.5 (Slabý záko velkých čísel) Řekeme, že oslouost áhodých veliči X i, i=,2,... slňuje slabý záko velkých čísel, když oslouost áhodých veliči Y = (X i EX i ) i= stochasticky koverguje k. (T j. ε > : lim P( i= (X i EX i ) > ε) =.) Věta 2.6 Poslouost áhodých veliči X i, i=,2,... slňuje slabý záko velkých čísel (SlZVČ), když oslouost D( X 2 i ) ro. i= Důkaz: Nechť je dáa oslouost áhodých veliči Y = i= (X i EX i ). Pak EY = a ro její roztyl latí DY = D( (X i EX i ) = i= D( X 2 i EX i ) = i= i= D( X 2 i ) ro. i= Tudíž ro všecha ε > za oužití Čebyševovy erovosti dostáváme lim P ( Y DY > ε) = lim P ( Y EY > ε) lim ε 2 Proto Y stochasticky a tedy X i slňuje SlZVČ. = lim D i= X i 2 ε 2 =. Věta 2.7 (Čebyševova) Nechť X i, i=,2,... je oslouost ezávislých áhodých veliči s omezeými roztyly DX i c, kde c je daá kostata. Pak oslouost X i slňuje SlZVČ. Důkaz: Za uvedeých ředokladů latí a v limitím říadě dostáváme lim D( X 2 i ) = 2 2 D( i= i= c X i ) lim i= DX i c = c 2 i= = roto lim Protože X i slňuje odmíku věty 2.6 tak X i slňuje SlZVČ. D( X 2 i ) =. i= Věta 2.8 (Chičiova) Nechť X i, i=,2,... je oslouost ezávislých a stejě rozděleých áhodých veliči s koečou středí hodotou EX i = µ. Pak X i slňuje SlZVČ a tedy Důkaz: Viz [5]. X = X i i= 8 st µ.

2.5 Silý záko velkých čísel 2.5 SILNÝ ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL Defiice 2.9 (Silý záko velkých čísel) Řekeme, že oslouost áhodých veliči X i, i=,2,... slňuje silý záko velkých čísel, když oslouost áhodých veliči Y = (X i EX i ) i= koverguje skoro jistě k. (T j. lim P( i= (X i EX i ) = ) =.) Věta 2. (Kolmogorova) Nechť X i, i=,2,... je oslouost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči s koečou středí hodotou EX i = µ. Pak latí X = X i µ i= skoro jistě. Dá se též říct, že veličiy X, X 2,... slňují silý záko velkých čísel. Důkaz: Viz [5]. 2.6 Cetrálí limití věta Věta 2. (Lidebergova) Nechť X, X 2,... jsou ezávislé áhodé veličiy se stejým rozděleím, které má středí hodotu µ a koečý roztyl σ 2. Ozačme Y = (X j µ) = σ j= j= X j µ σ. Pak ro Y koverguje v distribuci k rozděleí N(, ). Důkaz: Položme Z k = X k µ k =, 2,... σ Veličiy Z, Z 2,... jsou ezávislé, mají stejé rozděleí s ulovou středí hodotou a s roztylem DZ k =. Ozačme ψ(t) charakteristickou fukci tohoto rozděleí. Z věty 2.2 lye ψ(t) = t2 2 + o(t2 ) = t2 2 + R(t), kde R(t)/t 2 ři t. Charakteristická fukce každé veličiy Z k / je Ee itz k/ = Ee i(t/ )Z k = ψ(t/ ) = t2 2 + R(t/ ). Protože Y = Z / + + Z /, je charakteristická fukce ψ (t) veličiy Y rova ψ (t) = Ee ity = Ee i(t/ ) Z k = k= 9 ψ(t/ ) = ( t2 2 + R(t/ )).

2.6 CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA Jelikož ro každé evé t ři latí R(t/ ) = t 2 R(t/ ( ) a ψ t 2 (t) = t2 / 2 + R(t/ ) ) e t2 2. Z říkladu 2. je zámo, že e t2 /2 je charakteristická fukce rozděleí N(, ), a tak z věty 2.2 lye F Y (x) Φ(x). Věta 2.2 Nechť áhodá veličia X má biomické rozděleí s arametry a θ (X i Bi(, θ)), kde θ (, ). Pak áhodá veličia Y Y = X θ θ( θ) ro koverguje v distribuci k rozděleí N(, ). Důkaz: Nechť jev A astává v každém z ezávislých okusů s ravděodobostí θ Nechť Z k =, když v k-tém okusu jev A astal a echť Z k =, když eastal. Pak Z,..., Z jsou ezávislé áhodé veličiy, které mají alterativí rozděleí se středí hodotou µ = θ a roztylem σ 2 = θ( θ). Veličia X = Z + + Z má rozděleí Bi(, θ). Tedy Y = i= Z i µ σ a tvrzeí věty lye z cetrálí limití věty. Věta 2.3 Nechť X má Poissoovo rozděleí s arametrem λ (X λ >. Pak áhodá veličia Y Y = X λ λ P o(λ)), kde ro koverguje v distribuci k rozděleí N(, ). Důkaz: Nechť Z, Z 2... jsou ezávislé áhodé veličiy s rozděleím P o(λ), které má středí hodotu µ = λ a roztyl σ 2 = λ. Potom X = Z + Z P o(λ). Protože Y = i= Z i λ λ, důkaz věty lye z cetrálí limití věty.

3 Simulace a říklady 3. Stochastická kovergece-aroximace rozděleí V této části oíši a demostruji a říkladech, jak lze aroximovat ěkterá rozděleí ravděodobosti jiými. To je ukázáo a říkladě aroximace biomického rozděleí Poissoovým a hyergeometrického biomickým. Tyto aroximace jsou jedak odvozey a říkladech, ale také demostrováy a obrázcích, které byly vytvořey úravou simulací z řiložeého rogramu v matlabu. Nejrve a říkladě ukáži aroximaci biomického rozděleí Poissoovým. Příklad 4. Odvozeí ravděodobostí fukce Poissoova rozděleí z ravděodobostí fukce biomického rozděleí. Nechť X Bi(, θ) má ravděodobostí fukci (x) ak (x) = ( ) θ x ( θ) x = x! ( x)!x! θx ( θ) x = x! ( ) ( x+)θx ( θ) x = = x! x ( )( 2 ) ( x )θx ( θ) x = = x! ( )( 2 ) ( x )(θ)x ( θ) x ( θ ). Užitím θ λ se ro lim lim θ (x) dostává lim lim (x) = θ x! ( )( ) ( )(λ)x ( ) x lim ( λ ). Alikací vzorce lim ( x ) = e x obdržíme což je rvděodobostí fukce P o(λ). lim lim (x) = θ x! λx e λ,.25.2.5 Po(5) Bi(,.5) Bi(5,.) Bi(25,.2) Bi(,.5)..5 5 5 x Obrázek 3.: Kovergece ravděodobostí fukce Bi k ravděodobostí fukci P o.

3. STOCHASTICKÁ KONVERGENCE-APROXIMACE ROZDĚLENÍ Na obrázku 3. je ázorě demostrováa rychlost kovergece ravděodobostí fukce Bi k ravděodobostí fukci P o. Všecha rozděleí Bi(, θ) slňují, že θ = λ = 5. Na rví ohled je z obrázku atrý rozdíl v aroximaci u rozděleí Bi(,.5) a Bi(,.). Tím je ukázáo, že ro dobrou aroximaci musí být slěo: a θ. Abychom však dostali dostatečě řesou aroximaci emusíme jít s hodotami a θ až k resektive k. V kize [4] se uvádí, že stačí > 3 a θ <,. Na ásledujícím říkladě bude ukázáa aroximace hyergeometrického rozděleí biomickým. Příklad 4.2 Aroximace ravděodobostí fukce hyergeometrického rozděleí ravděodobostí fukcí biomického rozděleí. Nechť X Hg(N, M, ) má ravděodobostí fukci (x) ak = (x) = ( )( ) M N M x x ( N = ) M! (M x)!x! (N M)! (N M +x)!( x)! N! (N )!!! M(M ) (M x + )(N M)(N M ) (N M + x + ) ( x)!x! N(N ) (N + ) ( ) M = ( M ) ( M x ) N M ( N M ) ( N M x ) N N N N N N N N N N x ( ) ( ) N N Užitím M N lim (x) = M,N θ se ro lim M,N (x) získává ( ) θ(θ ) (θ )( θ)( θ ) ( θ ) x ( ) ( ) což je ravděodobostí fukce rozděleí Bi(, θ). = = ( ) θ x ( θ) x, x N N =.45.4.35.3.25.2 Bi(,.5) Hg(2,,) Hg(7,35,) Hg(3,5,) Hg(4,7,).5..5 5 5 x Obrázek 3.2: Kovergece ravděodobostí fukce Hg k ravděodobostí fukci Bi. Na obrázku 3.2 je oět atré, že ro aroximaci je uté M θ, N, M a,. N N Většiou stačí volit <,. Sojeím úvahy o aroximaci biomického rozděleím Poissoovým s aroximací hyergeometrického biomickým se dá ukázat, že lze aroximaovat N 2

3.2 DEMONSTRACE ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL hyergeometrické rozděleí Poissoovým. K tomu je uto slit odmíky z jedotlivých aroximací. Pokuď je, M θ a lze aroximovat hyergeometrické N N rozděleí Poissoovým a to s arametrem M λ. N 3.2 Demostrace záko velkých čísel Nyí se zaměřím a záko velkých čísel. Jeho rici ejrve osvětlíme a říkladě. Příklad 4.3 Mějme kostku a oakovaě s í házejme. Jev A zameá, že a kostce adlo ředem daé číslo. Nehť X k = ade-li v k-tém hodě daé číslo a X k = eade-li. Hody jsou avzájem ezávislé. X k A(θ), kde θ = =, 6 je ravděodobost adutí daého 6 čísla v jedom hodu. Rozděleí má středí hodotu µ = θ =. Potom Y 6 = k= X k Bi(, θ). Nechť m udává očet řízivých výsledků okusů a celkový očet okusů. Z Chičiovy věty ak lye m = X i i= st µ = 6..9 =.66 chyba=.66667.8.7.6.5.4.3 2 3 4 5 6 7 8 9 ocet hodu Obrázek 3.3: Simulace hodů kostkou. Tato kovergece je graficky zázorěa a obrázku 3.3. Pro vysoce řesou aroximaci je však třeba začý očet hodů. Pro ředstavu, aby byla řesost a ět desetiých míst (ε =.5 5 ) se solehlivostí 95% (α =, 5) je třeba více ež, 5 hodů. P P ( ˆθ θ < ε) α ( ) Y θ < ε α Y θ P θ( θ) < ε α θ( θ) u 2 α θ( θ) = u,95 ( ) 2 6 6, 5 ε.5 5 3

3.2 DEMONSTRACE ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL Nahradíme-li okus s házéím kostkou házeím micí dosěje se k odobému výsledku, je s rozdílem µ = θ = 2. Alikace ásledujícího ostuu a jevy, u ichž ravděodobost astoueí je dáa omocí geometrické ravděodobosti vede k zajímavějším výsledkům. Nechť Ω je měřitelá odmožia -rozměrého euklidovského rostoru s kladou a koečou -rozměrou Lebesgueovou mírou. Dále echť A je systém všech měřitelch odmoži možiy Ω a µ(a) echť je -rozměrá Lebesgueova míra měřitelé možiy A A otom P (A) = µ(a) µ(ω). Uvažujme yí kokrétí říad. Pro Ω bude latit: Ω = {(x, y) : x, y } a A = {(x, y) Ω : x 2 + y 2 }. Pravděodobost astoueí jevu A je P (A) = µ(a) µ(ω = π 4. Mějme áhodou veličiu X i, která abývá hodot X i =, okud i-tý áhodě zvoleý bod z Ω áleží do A a X i = okud eáleží do A. Potom Y = i= X i Bi(, π). 4 i= X i Relativí četost astoueí jevu A ři okusech je = m. Z Chičiovy věty se dostává 4 m st π. Tohoto výsledku jsem užil ve svém rogramu ři simulaci výočtu π v sekci Záko velkých čísel. Jiému zůsobu aroximace π za užití geometrické ravděodobosti je věováa kaitolka 3.4.-Buffoova úloha. Podobé úvahy, jako byly oužity v říkladě 4.3 lze oužít i a ostatí rozděleí ravděodobosti, která slňují otřebé ředoklady. Na otázku za jakých okolostí elze oužít aroximace středí hodoty rozděleí omocí relativí četosti odovídá sama defiice zákoa velkých čísel a věty od ěj odvozeé. Požadavky ro slěí jsou vždy koečá středí hodota a omezeý roztyl. Teto ožadavek eslňuje aříklad Cauchyovo rozděleí. To jak vyadá aroximace středí hodoty, která eexistuje ro C(,) je vidět a obrázku 3.4. Velké výkyvy a obrázku jsou zůsobey tím, že toto rozděleí emá ohraičeý roztyl. To má za ásledek, že se občas vygeeruje obrovské áhodé číslo, které zůsobí rudký árůst ebo okles relativí četosti. 4 3.5 3 2.5 2.5.5.5 2 3 4 5 6 7 8 9 ocet hodu x 4 Obrázek 3.4: Demostrace zákoa velkých čísel ro C(,). 4

3.3 DEMONSTRACE CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTY 3.3 Demostrace cetrálí limití věty V sekci 2.6 Cetrálí limití věta jsem uvedl Lidebergovu větu a také dvě kokrétější limití věty jedu ro rozděleí Bi a druhou ro Po. Nyí se okusím ilustrovat latost této věty a simulaci. V řiložeém rogramu je k disozici demostrace cetrálí limití věty ro biomické, Poissoovo, rovoměré, beta, exoeciálí, logaritmickoormálí, ormálí, Fischerovo a Cauchyovo rozděleí. U všech výše zmíěých rozděleí je demostrováa rychlost kovergece k rozděleí N(, ). Na říkladě Cauchyova rozděleí je ukázáa situace, kdy rozděleí eslňuje cetrálí limití větu. Z důvodu ostrádáí geerátoru áhodých čísel s Cauchyho rozděleím v matlabu jsem oužil ro odsimulováí Cauchyhova rozděleí studetovo rozděleí s arametrem rovým jedé, které je rovo stadartímu Cauchyovu rozděleí C(, ). Na ásledujících obrázcích bude demostrováa cetrálí limití věta ro rozděleí Poissoovo, exoeciálí, rovoměré a Cauchyovo. Na všech obrázcích je zobraze histogram a emirická distribučí fukce ro 5 áhodých veliči Y Y = i= X i µ, σ 2 kde µ je středí hodota zvoleého rozděleí a σ 2 je roztyl. Na obrázcích 3.5, 3.6 a 3.7 je X i P o() a =, a 28. Hodota = 28, ři kterém byla simulace ukočea, byla určea omocí K-S testu a hladiě výzamosti α =,. =.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4 Obrázek 3.5: Cetrálí limití věta ro P o() ři =. =.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4 Obrázek 3.6: Cetrálí limití věta ro P o() ři =. 5

3.3 DEMONSTRACE CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTY =28.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4.4.3.2. 4 3 2 2 3 4 Obrázek 3.7: Cetrálí limití věta ro P o() ři = 28. Na obrázcích 3.8, 3.9 a 3. je ukázka ro X i získáa K-S testem ři α =.. Ex(). Hodota = 2 byla oět =.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4 5 6.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4 5 6 Obrázek 3.8: Cetrálí limití věta ro Ex() ři =. =5.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4 5 6.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4 5 6 Obrázek 3.9: Cetrálí limití věta ro Ex() ři = 5. 6

3.3 DEMONSTRACE CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTY =2.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4.4.3.2. 4 3 2 2 3 4 Obrázek 3.: Cetrálí limití věta ro Ex() ři = 2. Na obrázku 3. je ukázka ro X i R(, ). Z hodoty = 2, která byla získáa K-S testem ři α =., je atré, že rychlost kovergece k rozděleí N(, ) je veliká. =2.8.6.4.2 4 3 2 2 3 4.4.3.2. 4 3 2 2 3 4 Obrázek 3.: Cetrálí limití věta ro R(, ) ři = 2. Nelatost cetrálí limití věty ro X i C(, ) demostrují obrázky 3.2, 3.3 a 3.4. =.8.6.4.2 5 5 5 5 2 25.4.3.2. 5 5 5 5 2 25 Obrázek 3.2: Cetrálí limití věta ro C(, ) ři =. 7

3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY =.8.6.4.2 5 5 5 5 2.4.3.2. 5 5 5 5 2 Obrázek 3.3: Cetrálí limití věta ro C(, ) ři =. =.8.6.4.2 8 6 4 2 2 4.4.3.2. 8 6 4 2 2 4 Obrázek 3.4: Cetrálí limití věta ro C(, ) ři =. Z rovedeých simulací, které byly zde ukázáy a obrazcích se dá usoudit rychlost kovergece jedotlivých rozděleí k rozděleí N(, ). Pro rozděleí R(, ) stačilo volit i= = 2, aby K-S test rovedeý ro 5 áhodých čísel Y = X i µ σ, kde µ je středí 2 hodota uvažovaého rozděleí a σ 2 je roztyl, ezamítl hyotézu, že jsou z rozděleí N(, ). Rozděleí Ex() otřebovalo =2 a P o() muselo mít = 28. Pro rozděleí C(, ) eastala situace, že by byla hyotéza ezamítuta. 3.4 Zajímavé říklady 3.4. Buffoova úloha Mějme úlohu: V roviě jsou arýsováy rovoběžky, jejichž vzdáleost je d. Na tuto roviu áhodě házíme jehlu délky L, L < d. Jaká je ravděodobost, že jehla řete ěkterou z rovoběžek? Tuto úlohu vymyslel v roce 777 fracouzský matematik Georges Louis Leclerc, Comte de Buffo (*77-d788). Řešeí úlohy je ásledující: Nechť x je vzdáleost středu jehly od ejbližší římky a ϕ úhel, který svírá jehla s rovoběžkami. Potom Ω = {(ϕ, x) : ϕ π, x d } je rostor elemetárích jevů. To, že jehla rote římku, vyjádříme jevem A, A = 2 8

3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY {(ϕ, x) Ω : x L m(a) si ϕ}. Defiice geometrické ravděodobsti udává, že P (A) =. 2 m(ω) Dosazeím za m(a) a m(ω) se dostae P (A) = π ( L si ϕ)dϕ 2 π d 2 = 2L πd. Pravděodobost P (A) se dá odhadout omocí relativí četosti P (A) m, kde je očet hodů jehlou a m je očet hodů v ichž jehla rotla rovoběžku. Z geometrické ravděodobosti jevu A a relativí četosti tohoto jevu se dá odhadout číslo π. m P (A) = 2L πd π 2L md K tomuto vztahu se dá též dojít za oužití ZVČ. Mějme áhodou veličiu X A(θ), kde EX = θ = 2L udává ravděodobost s jakou jehla ři doadu rote rovoběžku. πd V říadě, že jehla rotla rovoběžku je X = v oačém X =. Nechť -krát hodíme jehlou. Počet rotutí v hodech je vyjádře áhodou veličiou Y Bi(, θ). Y = i= X i = m, kde X i = {, }. Relativí četost ři hodech je m, kde m je očet rotutí. To lze vyjádřit m = i= X i. Alikováím Chičiovy věty a teto říklad dostaeme m = i= st. X i θ = 2L. Sadou úravou se dostává πd 2L dm st. π. Teto vztah byl v miulosti moha autory oužit k určeí řibližé hodoty π. Některé z ich včetě jejich výsledků uvádím ro ázorost v ásledující tabulce, ktrá byla řevzata z kihy [3]. exerimetátor rok očet hodů zjišěá hodota π Volf 85 5 3,5 Smith 859 324 3,553 Fuchs 894 2 3,49 Lazzarii 9 348 3,45929 Užitím simulace jsem dostal ásledující hodoty: očet hodů 5 5 5 zjišěá hodota π 3,36 3,36 3,432 3, 372 3,442 3,445 3,427 3,46 Z orováí hodot zjištěých simulací a hodot od exerimetátorů v miulosti se zdá atré, že výsledky, kterých dosáhl třeba Lazzariy, musely být začě áhodé. Z hodot zjištěých simulací je atré, že hodota π se s rostoucím očtem hodů omalu zřesňuje. Přesost aroximace π je u sta hodů je a jedu latou cifru u desetitisíce a jedo desetié místo a u statisíci hodů se zleší a dvě desetiá místa. Naskytá se tedy otázka, jak moc velké štěstí měl Lazzariy ři svém okuse. Pro hodotu π, kterou obdržel Lazzariy existuje ouze jeda hodota očtu rotutí jehlou m ři očtu hodů jehlou = 348. Pravděodobost P (m), že Lazzariy ři svém okuse měl rávě m 9

3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY rotutí ři hodech se dá odhadout za omoci CLV. Jelikož ři hodech vyjadřuje očet rotutí áhodá veličia Y Bi(, θ), lze ro velká užitím CLV obdržet, že Y má řibližě rozděleí N(θ, θ( θ)). Tedy P (m) 2πθ( θ) e (m θ) 2 2θ( θ). Pro říad d = 2L a jelikož e (m θ) 2 2θ( θ) P (m) dostáváme 2πθ( θ) = 2π 348 (, 5. ) π π Z tohoto výsledku je atré, že Lazariy ve svém okuse musel mít začě velké štěstí. ocet hodu = π =3.2258 chyba=.8424 aroximace π 8 6 4 2 2 3 4 5 6 7 8 9 ocet hodu jehlou Obrázek 3.5: Simulace Buffoovy úlohy. 3.4.2 Galtoova deska Galtoova deska je zařízeí vyalezeé aglickým vědcem Sirem Fracisem Galtoem (*822-d9) k demostrováí ormálího rozděleí. Nechť θ ředstavuje ravděodobost vychýleí koule vlevo a θ ravděodobost vychýleí vravo ři doadu a klí. Mějme Galtoovu desku s řadami klíů a echme jí rojít m koulí. Uvažujme áhodou veličiu X ij, i =,..., m a j =,...,, která oisuje ohyb i-té koule o doadu a klí v j-té řadě Galtoovy desky. Pro X ij latí, že abývá je hodot a. Hodoty v říadě, že koule okračuje o árazu a klí vlevo a, jestliže vravo. Tedy X ij má alterativí rozděleí X ij A(θ). Pro ideálí kouli a ideálí klí je θ = θ =. 2 V říadě Galtoovy desky s řadami klíů ředstavuje ohyb koule o desce alterativích ezávislých okusů. Mějme áhodou veličiu Y i udávající číslo řihrádky, do které doadla i-tá koule o rojití Galtoovy desky. Potom Y i = j= X ij. Je zámo, že součet ezávislých áhodých veliči s alterativím rozděleím dáva áhodou veličiu s biomickým rozděleím. V ašem říadě Y i Bi(, θ). Pravděodobostí fukce áhodé veličiy Y i oisující doadeí koule do i-té řihrádky zleva je ro θ = 2 2

3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY (i) = ( ( ) i) i {,,..., }. 2 Obrázek 3.6: Galtoova deska. Z věty.4 je zámo, že áhodá veličia (Z = Y i θ)/( θ( θ)) ro koverguje v distribuci k rozděleí N(, ), kde Y i Bi(, θ). Úravou vztahu ro Z se dostává Y i = θ( θ)z + θ. Odtud je již zřejmé, že Y i N(θ, θ( θ)) a ro θ = dostaeme Y 2 i N(, ), kde 2 4 je očet řad klíů. Obrázek 3.7: Simulace Galtoovy desky s 2 řadami klíů ro koulí. 3.4.3 Bertradův aradox Uvažujme úlohu: K daé kružici zvolíme áhodě tětivu a chceme vědět, jaká je ravděodobost, že tětiva bude delší ež straa rovostraého trojúhelíka vesaého kružici. Tuto úlohu zformuloval v roce 888 Joseh Bertrad ve své ráci Calcul des robabilités. Problémem této úlohy je áhodá volba tětivy. Ta se dá realizovat více zůsoby. Tři z ich autor zveřejil solu s touto úlohou. To, že tato úloha byla ojmeováa jako aradox, bylo zůsobeo tím, že každý z těchto tří zůsobu volby áhodé tětivy řiáší 2

3.4 ZAJÍMAVÉ PŘÍKLADY jié řešeí. Prví ojetí. Poloha tětivy je určea olohou jejího středu. To se rakticky rovádí áhodou volbou středu tětivy uvitř kružice omocí souřadic x a y středu tětivy, řičemž střed základí kružice je očátkem kartézské soustavy souřadic. Při této volbě bude tětiva delší ež straa rovostraého trojúhelíka vesaého kružici, když střed tětivy ade dovitř kružice vesaé tomuto trojúhelíku. Kružice vesaá trojúhelíku je soustředá se základí kružicí a její oloměr je oloviou oloměru základí kružice. Obsah lochy ohraičeé základí kružicí je πr 2 a obsah lochy ohraičeé kružicí vesaou trojúhelíku je π( r 2 )2. Hledaá ravděodobost se rová π( r 2 )2 πr 2 = 4. Obrázek 3.8: Prví ojetí. Obrázek 3.9: Druhé ojetí. Obrázek 3.2: Třetí ojetí. Druhé ojetí. Délka tětivy je určea vzdáleostí jejího středu od středu kružice. Střed tětivy je v olárích souřadicích jedozačě urče vzdáleostí od očátku (střed kružice) a úhlem svírajícím s ředem zvoleou osou. Náhodá volba tětivy se realizuje áhodou volbou středu tětivy, který volíme omocí áhodé vzdáleosti od očátku a úhlu. Tětiva bude delší ež straa ravidelého trojúhelíka, jestliže vzdáleost středu tětivy bude meší ež olovia oloměru kružice. Pravděodobost, že áhodě zvoleá tětiva bude delší ež straa trojúhelíka, je r 2 r = 2. Třetí ojetí. Z důvodu symetrie můžeme ředokládat, že jede kocový bod tětivy je evý a je umístě do vrcholu trojúhelíka. Druhý zvolíme áhodě a kružici. Tětiva bude delší ež straa trojúhelíka, když druhý bod ade do oblouku, který se achází mezi ostatími dvěma vrcholi trojúhelika. Délka tohoto oblouku kružiice je třetia délky celé kružice. Pravděodobost, že teča bude delší ež straa trojúhelíka, je 2πr 3 2πr = 3. Tyto tři zůsoby volby áhodé tětivy jsem též zrogramoval a jejich simulaci si lze sustit v řiložeém rogramu. 22

4 Pois rogramu V této kaitole oisuji stručě možosti a ovládáí řiložeého rogramu. Po zadáí říkazu bcrogram do říkazového řádku v matlabu se sustí rogram a a obrazovce se oběví oko. V ravém rohu jsou umístěa od sebou tři tlačítka: Start, Sto, Close. Start slouží ke suštěí vybraé simulace. Sto ukočí rávě robíhající simulaci a tlačítko Close ukočí celý rogram. Pod tlačítkem Close je umístě áis Výběr simulace. Dále ásleduje skuia tlačítek, která slouží k výběru jedoho ze čtyř tyů simulací: Stochastická kovergece, Záko velkých čísel, Cetrálí limití věta a Zajímavé říklady. Pod touto skuiou tlačítek je rozklikávací abídka simulací odle zvoleého tyu. ˆ Stochastická kovergece Na výběr jsou tyto simulace: Hg k Bi cdf, Hg k Bi df, Bi k Po cdf, Bi k Po df. Zde se jedá vždy o ukázku kovergece ravděodobostí (df) 4i distribučí (cdf) fukce rvího rozděleí k druhému. Náis Hg k Bi cdf tedy ozačuje ukázku jak distribučí fukce hyergeometrického rozděleí koverguje k biomickému rozděleí. Při volbě Hg k Bi se od tímto okem zobrazí ole a zadáí vstuích arametrů: maxn, a theta. To jsou arametry rozděleí Bi(,theta) a Hg(N,M,), kde maxn ozačuje hodotu N ři íž se ukázka zastaví. Parametr M je určová v růběhu vykreslováí ze vztahu M=theta N, kde N=,...,maxN. Při volbě Bi k Po se zobrazí ole a zadáí vstuích arametrů: maxn a lambda. To jsou arametry rozděleí Bi(,theta) a Po(lambda), kde maxn ozačuje hodotu, ři íž se ukázka zastaví. Parametr theta je určová v růběhu vykreslováí ze vztahu theta=lambda/, kde =,...,maxn. ˆ Záko velkých čísel V této abídce jsou a výběr tyto simulace: Hod micí, Hod kostkou, Pi a Cauchy. 23

Pod touto abídkou je k disozici volba arametru, který ozačuje očet vygeerovaých áhodých čísel, ři kterém je simulace ukočea. ˆ Cetrálí limití věta Zde jsou a výběr tyto simulace: Po(lambda), Ex(lambda), B(a,b), R(a,b), LN(mu,sigma), Bi(,theta), N(,), F(a,b) a C(,). Pro tyto simulace jsou astavitelé arametry: max, arametry zvoleého rozděleí, alha a očet geerovaých čísel. Parametr max vychází ze vztahu ro cetrálí limití větu Y = i= X i µ σ a ozačuje, ři kterém se ejozději zastaví simulace. Parametr alha začí hladiu výzamosti v K-S testu, který ři každém ( =,,max ) testuje veličiy Y zda jsou z rozděleí N(,) a hladiě výzamosti alha. Pokud test ezamíte hyotézu, že áhodé veličiy Y jsou z N(,) je ukočea simulace. Počet geerovaých čísel ozačuje očet Y, ro který je vykresle histogram, emirická distribučí fukce a dělá test. ˆ Zajímavé říklady Na výběr jsou: Galtoova deska, Buffoova úloha, Bertradův aradox, Bertradův aradox 2 a Bertradův aradox 3. U Galtoovy desky je a výběr volba očtu řad Galtoovy desky a očet koulí, který se echá rojít Galtoovou deskou. Pro Buffoovu úlohu se volí očet hodů jehlou a délka jehly. Délka jehly se volí v rozsahu od do 2, kde 2 ozačuje vzdáleost rovoběžek. Pro simulace Bertradova aradoxu se volí je očet áhodých voleb tětiv, řičemž ozačeí simulací Bertradova aradoxu odovídá ojetí volby tětivy z kaitolky 3.4.3. 24

5 Závěr Cílem ráce bylo osat stochastickou kovergeci, zákoy velkých čísel, cetrálí limití větu a oužití vyložeé teorie demostrovat a vybraých říkladech a grafických simulací. Poisu vybraé teorie jsem věoval kaitolu Základí ojmy z teorie ravděodobosti. Zde je avíc defiováa charakteristická fukce, která byla užita k důkazu cetrálí limití věty. Demostraci této teorie jsem věoval ásledující kaitolu, kde jsou uvedey i ěkteré zajímavé říklady, jakož jsou Galtoova deska, Buffoova úloha a Bertradův aradox, které slouží k demostrováí této teorie. Všechy mou vytvořeé grafické simulace jsem vložil do jediého rogramu, kde se dají ohodlě sustit. Poisu tohoto rogramu jsem ak věoval osledí kaitolu. 25

Literatura LITERATURA [] Aděl, J.: Matematická statistika. Praha: SNTL/ALFA, 978. 346. ISBN 4-7-78. [2] Aděl, J.: Základy matematické statistiky. Praha: MATFYZPRESS, 25 358. ISBN 8-86732-4-. [3] Gedeko, B.V.: The theory of robability. Moscow: Mir Publishers, 978 392. [4] Karíšek, Z.: Matematika IV : statistika a ravděodobost. Bro: CERM, 23 7. ISBN 8-24-2522-9. [5] Réyi, A.: Teorie ravděodobosti. Praha: ACADEMIA, 972 52. ISBN 4-2- 825. 26

6 Sezam oužitých zkratek a symbolů EX středí hodota DX ψ ZVČ SlZVČ CLV st. (x) f(x) F (x) roztyl charakteristická fukce záko velkých čísel slabý záko velkých čísel cetrálí limití věta stochastická kovergece ravděodobostí fukce hustota distribučí fukce Φ(x) distribučí fukce rozděleí N(, ) 27

7 Sezam říloh ˆ řiložeé CD Toto CD obsahuje: tuto bakalářskou ráci ve formatu df rogram ro matlab bcrogram.m 28