8 - Geometrické míto kořenů aneb Root Locu Michael Šebek Automatické řízení 206 0-3-6
Metoda Root Locu Walter R. Evan, AIEE Tranaction, 948 Metoda root locu neboli geometrické míto kořenů vykreluje polohu pólů uzavřené myčky v záviloti na jednom reálném parametru Obvykle je parametrem zeílení ZV regulátoru K Vychází z přenou uzavřené myčky KL() T() =, kde buď L () = G () nebo L () = DG () () + KL() Póly toho přenou (klaicky) vyjadřujeme jako kořeny jmenovatele, tj. řešení pro tzv. Evanovy rovnice + KL() = 0 Když vyjádříme L () = b () a (), má rovnice tvar a() + Kb() = 0 Evan odvodil jednoduchá pravidla, jak vykrelit polohu pólů pro všechny hodnoty parametru, což bylo velmi důležité v době, kdy přené vykrelení poloh bylo prakticky nemožné. Dne to umíme, ale metoda napomáhá předtavě, jak e póly pohybují při změně parametru a je základem metod ofitikovanějších 2
Polohy kořenů polynomu jou pojité funkce koeficientů, pokud e nemění tupeň - v tom případě kořen(y) překakují pře nekonečno Podle VF zeílení otevřené myčky muíme rozlišovat Kladný RL Kdy je Kbm an 0 a tedy lim KL( ) 0 obvykle je b, ale pozor na případy m an 0, K 0 bm a n < 0 To je klaický případ a obvykle e uvažuje, není-li uvedeno jinak Právě pro něj platí klaická pravidla z učebnic Čato i uživatel / autor toto omezení ani neuvědomí Záporný RL Kdy je Kb a 0 a tedy lim KL( ) 0 m n platí pro něj obdobná, ale mnohdy opačná pravidla Můžeme ho nahradit kladným pro KL() Úplný RL Kladný a záporný dohromady Vykazuje hezké ymetrie, mnohé objaňuje, řeší problém úplně, ale nikdo ho nepoužívá, neboť ho nezná Pozor na zmatek 3
Pět jednoduchých pravidel pro kladný RL. Počet větví: Počet větví RL e rovná počtu pólů otevřené myčky. 2. Symetrie: Graf RL je oově ymetrický podle reálné oy 3. Segmenty na reálné oe: Pokud je egment grafu RL na reálné oe, tak vždy leží nalevo od lichého počtu reálných OL pólů a nul. 4. Počáteční a koncové body: Graf začíná pro K = 0 v (konečných a nekonečných) OL pólech a končí pro K = v (koneč. a nekoneč.) OL nulách 5. Chování v nekonečnu: Pokud má L() n-m nul v nekonečnu, tak graf RL má právě tolik větví měřujících do nekonečna. Ty e aymptoticky blíží přímkám, které protínají reálnou ou v bodě σ a konečných pólů konečných nul = počet konečných pólů počet konečných nul a vírají ní úhel (v rad a v kladném mylu k oe) (2k + ) π θ a kde k vezmeme tolik, až e vyčerpá počet větví jdoucích do. 4 =, k = 0, ±, ± 2, ± 3, počet konečných pólů počet konečných nul
Složitější pravidla pro kladný RL 6. Body rozpojení a pojení na reálné oe: vypočteme pomocí nulových bodů derivace ( L( σ )), σ R 7. Body přechodu imaginární oy: (póly na mezi tability) zjitíme z Routhovy tabulky ( neurčitým K). Pro ytém nižším řádem můžeme též řešit doazením = jω do c() a řešením rovnice c(jω) = 0. Obojí vede na ložité rovnice a netojí za námahu, lépe graf rovnou vykrelit. V případě kutečné potřeby lze vypočítat jinak - ukážeme později. Ve tarších učebnicích ještě najdete: 8. Úhly odchodu RL z komplexních pólů 9. Úhly příchodu RL ke komplexním nulám a 0. Úhly opuštění reálné oy. Pravidla pro krelení a kalibraci Jejich význam je dne pramalý, loužila v minuloti píš hezkému krelení 5
Pravidla pro záporný RL Automatické řízení - Kybernetika a robotika ( ] Pravidla pro K,0 jou obdobná/komplementární nebudeme je probírat raději ale použijeme pravidla pro kladný RL po záměně L () L () >> L=(+3)*(^2+)//(+4)/(+)/(+2) L = 3 + + 3^2 + ^3 / 8 + 4^2 + 7^3 + ^4 >> rlocu(tf(l)) >> rlocu(tf(-l)) >> rlocu(tf(l),tf(-l)) 6
Úplný RL Automatické řízení - Kybernetika a robotika Úplný RL dotaneme pro neomezené K R Jeho graf vznikne ložením grafů kladného a záporného RL. Např. pro L( ) =, p( ) = ( 2) + K( ) = ( K + ) (2 + K) 2 je kladný RL K = + K = 0 2 + k = + k záporný RL + K Pozor na K: K = K K = 0 a úplný RL K K = K = 0 + K + 7
Zajímavoti úplného RL Automatické řízení - Kybernetika a robotika Tvar úplného RL je invariantní vůči lineární zlomkové (Möbiově) tranformaci α + βk α β K =, αβγδ,,, R,det 0 γ + δk γ δ Graf má vždy (nejméně) 2 reálné aymptoty (0 a 80 ), jinak řečeno obahuje vždy celu reálnou ou: pro každé reálné σ jou d(σ) i n(σ) také reálné a rovnice K = a( σ) b( σ) má řešení, a to a( σ) + Kb( σ) = 0 (pokud je náhodou σ nulou b(), platí to v limitě), takže toto σ leží na grafu RL Pro triktně ryzí přeno nr = n m> 0 má vždy 2( n m) aymptot, z toho dvě na reálné oe (v případě n m= jou to aymptoty jediné) každá aymptota záporného RL půlí úhel mezi ouedními aymptotami kladného RL kladné aymptoty mají úhly θ = (2k+ ) π n, k = 0, ±, záporné aymptoty mají úhly a po r θ a-neg = 2 kπ n, k = 0, ±, r 8
Dynamická kompenzace Automatické řízení - Kybernetika a robotika Motivace 2 Pro L () = G () = je RL na obrázku a výledný ytém zřejmě ociluje pro každé K > 0. Zkume přidat dynamický kompenzátor (tzv. ideální PD regulátor) D () = + Zřejmě tím přenou otevřené myčky + L () = 2 přibyla tabilní nula a RL e změnilo na Výledek kompenzace: přidání tabilní nuly pounulo graf RL do levé poloroviny 9
Dynamická kompenzace Automatické řízení - Kybernetika a robotika Zkume teď přidat kompenzaci nulou i pólem + z D () = + p tzv. lead regulátor (realizovatelný PD regulátor) Tím v + z L () = 2 ( p ) přibyla tabilní nula a tabilní pól. Výledek závií na poloze nuly a pólu: pokud je pól daleko od nuly, tvar RL v okolí počátku neovlivní Čím je blíže, tím více je ovlivňuje: Jak e pól blíží, tlačí távající RL doprava, tj. k pomalejší odezvě. + + + 9 + + 2 + + 4 0
Jiné použití RL měnící e parametr nemuí být jen OL zeílení, ale jakýkoli jiný parametr takové úlohy převedeme na klaický případ Příklad zkoumejme vliv polohy OL pólu p na polohu CL pólů 0 ( + p )( + 2) CL charakteritický polynom převedeme na tvar 2 c ( ) = + ( p+ 2) + 2 p+ 0 2 c ( ) = + 2+ 0 + p( + 2) změnu kořenů tohoto polynomu měnícím e p budeme zkoumat jako RL fiktivního ytému R + 2 K = p 2 + 2 L () = 2 + 2+ 0 R + 2 + 0 Y Y
Hurwitzova matice n n Pro polynom p() = a n + an + + a + a0, an 0definujeme Hurwitzovu matici jako n n matici an an 3 an 5 an an 2 a n 4 0 an an 3 an 5 H( p) = 0 an an 2 an 4 Obecněji ji můžeme 0 0 0 an zavét i pro a = 0 0 0 0 0 a0 n Hurwitzova matice je indikátorem tability polynomu (jak?) A také indikátorem exitence kořenu(ů) na imaginární oe Lemma (Orladno): Má-li p dvojici kořenů ymetrických dle imaginární oy, je H ingulární Má-li p kořen na imaginární oe, pak je H ingulární 2
Detekce kořenů na imaginární oe Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pokud má polynom pk (, ) = a () + Kb () kořen na imaginární oe, je matice H p (), K = H a () + KHb (()) ingulární ( ) ( ) det H( p ( ), K ) = 0 ( ) = ( ( ) + ) Hledáme tedy K pro která det H p ( ), K det H a() KH (()) b K det = Ha ( ( )) I ( H a () H b ()) = Kdet det I M, = K ( ) ( ) det ( ) ( ) K ( Ha ( ( ))) ( λ ) λ pokud exituje H a (), můžeme nuly vypočítat jako vlatní číla M= H ( a ()) H( b ()) pokud inverze neexituje, potupujeme metodou zobecnělých vlatních číel jou na to funkce v Matlabu a PolTbx (root) 3
Detekce meze aperiodicity = dvojnáobných kořenů RL opouští/vrací e (na) reálnou ou v mítě, kde má polynom dvojnáobný (reálný) kořen Polynom n n p () = an + an + + a+ a0 má dvojnáobný kořen, právě když jeho derivace n n 2 p () = na + n a + + a n ( ) n má tejný kořen. Stačí tedy detekovat polečné kořeny p () a p () Dělá e to pomocí ingularity matice reultantu /dikriminantu těchto polynomů definované dále Polynom pk (, ) = a () + Kb () má dvojnáobné kořeny, když ( ) ( ) det R p(), p () = det R a() + Kb(), a () + Kb () = 0 4
Matice reultantu / dikriminantu e definuje ( (), ()) ( ()) R p p = D p = Matice reultantu / dikriminantu an an an 2 a a0 0 0 0 an an an 2 a a0 0 0 0 0 an an an 2 a a0 = nan ( n ) an ( n 2) an 2 a 0 0 0 nan ( n ) an ( n 2) an 2 a 0 0 0 0 0 nan ( n ) an ( n 2) an 2 a ( ) ( ) Je to 2 n 2 n Sylvetrova matice polynomů p (), p () 5