Gaussovská prvočísla

Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14) Zdvtel ráce: Brno, 2006 Jihomorvský krj

Prohlšuji, že jsem ředloženou ráci zrcovl smosttně oužil jen uvedené rmeny literturu. Jkub Oršl V Brně dne 6.1.2006

Abstrkt Abstrkt Tto ráce oisuje konkrétní část mtemtiky Gussov rvočísl, resektive teorii kolem Gussových celých čísel její zákldní věty. Kromě této roblemtiky řeší některé části teorie čísel (zvláště Legendreovy symboly) komlexní čísl. Gussov celá čísl jsou komlexní čísl s celočíselnou reálnou imginární částí. V této množině můžeme definovt dělitelnost obdobně jko v celých číslech. Pokud se hlouběji onoříme, zjistíme, že Gussov čísl mjí vlstnosti velmi odobné číslům celým, nř. věty o dělitelnosti, největší soleční dělitelé, Euklidův lgoritmus, Bezoutov vět, rozkld n rvočinitele dlší. Z zmínku stojí zvlášt Euklidův lgoritmus, který je běžně zložen n dělení se zbytkem. Náš Euklidův lgoritmus, tk jk je osán v této ráci, je zložen n odobných zákldech, le smotné dělení se zbytkem neoužívá, roto se dělením se zbytkem, které je v Gussových číslech znčně složitější než v celých číslech, nemusíme zbývt. Nším cílem bylo krom dokázání všech zákldních vět i ost tvr Gussových rvočísel (v závislosti n běžných rvočíslech). Dokázání tkového fktu nám zjednoduší hledání Gussových rvočísel, rotože velké množství běžných rvočísel známe. A krom toho nám roblém rozhodnutí, zd dné Gussovo číslo je rvočíslo, řevádí n více řešený roblém o rozhodnutí, zd je celé číslo rvočíslem. Gussov čísl mjí mnoho ultnění v běžné teorii čísel. Velmi jednoduše lze nříkld zst dné číslo jko součet dvou druhých mocnin omocí rozkldu n Gussovy rvočinitele. V závěru ráce tké ukzujeme oužití n jednom konkrétním říkldě z letošního ročníku mtemtické olymiády. 3

Obsh Obsh Obsh 4 1. Vybrné kitoly z teorie čísel 5 1.1. Kongruence............................................ 5 1.2. Kvdrtické zbytky........................................ 5 1.3. Legendreovy symboly....................................... 6 2. Komlexní čísl 7 2.1. Zvedení komlexních čísel.................................... 7 2.2. Absolutní hodnot, goniometrický tvr komlexního čísl................... 8 2.3. Gussov rovin.......................................... 9 3. Celá komlexní čísl 11 3.1. Dělitelnost v celých komlexních číslech............................ 11 3.2. Největší solečný dělitel nejmenší solečný násobek..................... 11 3.3. Obdob Euklidov lgoritmu Bezoutovy věty........................ 12 4. Gussov rvočísl 14 4.1. Vlstnosti Gussových rvočísel................................ 14 4.2. Tvr Gussových rvočísel................................... 14 4.3. Využití Gussových rvočísel.................................. 16 Použitá litertur 18 4

1. Vybrné kitoly z teorie čísel 1. Vybrné kitoly z teorie čísel V této kitole bychom rádi čtenářovi řiblížili některé kitoly z teorie čísel, které se běžně neučí n střední škole které budeme v dlších kitolách využívt. Všechn obecně známá tvrzení neuvádíme nedokzujeme, můžete je nlézt i s důkzy v [2]. 1.1. Kongruence Def. Říkáme, že je kongruentní s b modulo c rávě tehdy, když b dávjí stejný zbytek o dělení číslem c. Píšeme b (mod c). Vět 1.1.1 b (mod m) t Z : = mt + b m ( b) Důkz této věty solu s dlšími vlstnostmi kongruencí nleznete v [2] od strny 178. 1.2. Kvdrtické zbytky Budeme-li zkoumt zbytky druhých mocnin celých čísel o dělení nějkým číslem n sndno zjistíme, že mohou nbývt jen některých hodnot. Které zbytky můžeme dostt sndno ověříme, dosdíme-li do kongruence všechny možné zbytky umocníme je ostuně n druhou, nříkld druhé mocniny mohou modulo 8 nbývt jen zbytky: 0 2 0 (mod 8) 4 2 16 0 (mod 8) 1 2 1 5 2 25 1 2 2 4 6 2 36 4 3 2 9 1 7 2 49 1 Def. Nechť n N. Říkáme, že číslo {0, 1,..., n 1} je kvdrtickým zbytkem modulo n okud existuje celé číslo c tkové, že c 2 (mod n). V očném řídě nzveme číslo kvdrtickým nezbytkem modulo n. Krom modulu 8 jsou zjímvé ještě kvdrtické zbytky všech jednociferných modulů. Čsto se djí využít v úlohách z teorie čísel. Přehledně je udává následující tbulk: 3,4 0,1 7 0,1,2,4 5 0,1,4 8 0,1,4 6 0,1,3,4 9 0,1,4,7 Vět 1.2.1 Nechť je liché rvočíslo, k existuje rávě 1 2 nenulových kvdrtických zbytků modulo. Důkz: Všechny nenulové kvdrtické zbytky modulo njdeme tk, že vezmeme čísl 1, 2,..., 1 umocním je n druhou. Uvědomme si, že ltí: x 2 1 x 2 2 (mod ) x 2 1 x 2 2 0 (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 ) 0 x 1 ±x 2 Tedy kvdráty dvou různých čísel x 1 x 2 z množiny {1, 2,..., 1} dávjí stejný zbytek o dělení rávě tehdy, když x 1 x 2. Můžeme tedy tto čísl rozdělit do dvojic, odle kvdrtického zbytku těchto dvojic je k 1 2. 5

1. Vybrné kitoly z teorie čísel Přímým důsledkem věty 1.2.1 je tvrzení, že existuje rávě 1 2 kvdrtických nezbytků modulo lichým rvočíslem. 1.3. Legendreovy symboly Ještě si zobecníme definici kvdrtického zbytku ro všechn celá čísl logickým rozšířením: Def. Nechť n Z, k celé číslo nzveme kvdrtický zbytkem modulo n rávě tehdy, když existuje c Z : c 2 (mod n). ( ) Def. Mějme liché rvočíslo celé číslo, k číslo nzýváme Legendreovým symbolem definujeme tkto: ( ) { +1 když je nenulovým kvdrtickým zbytkem modulo = 0 ro 1 když není kvdrtickým zbytkem modulo ( Vět 1.3.1 Pokud b (mod ) k Důkz: Zřejmý. ) ( ) = ( Vět 1.3.2 (Eulerovo kritérium) Pro kždé celé liché rvočíslo ltí: b ) 1 2 (mod ). Důkz: Příd je jednoduchý, změřím se tedy n říd N SD(, ) = 1. Podle mlé Fermtovy věty ltí: 1 1 (mod ) ( 1 2 + 1)( 1 2 1) 0 (mod ) Tedy 1 2 ±1. Je-li kvdrtický zbytek k ltí, že existuje c Z tkové, že c 2 tedy 1 2 c 1 1 (oět odle mlé Fermtovy věty), tedy ro kvdrtický zbytek vět ltí. Nvíc žádné jiné číslo kromě 1 2 nenulových kvdrtických zbytků modulo nemůže slňovt 1 2 1 0, rotože levá strn této kongruence je mnohočlen stuně 1 2 roto má tto rovnice nejvýše 1 2 kořenů modulo. Tedy ro kvdrtické nezbytky ltí: 1 2 1. ( ) b Vět 1.3.3 Nechť, b Z; je liché rvočíslo, k ltí: = ( ) ( b ) Důkz: Podle věty 1.3.2 ltí: (b ) (b) 1 2 = 1 2 b 1 2 ( ) ( ) b A rotože Legendreovy symboly mohou nbývt ouze hodnot( 0, ) 1 ( 1) ( zároveň ) jsou tto čísl nekongruentní modulo, k z této kongruence vylývá rovnost =. Vět 1.3.4 Pro kždé rvočíslo tvru 4k + 1 existuje n N tkové, že n 2 + 1. Důkz: Stčí dokázt, že číslo 1 je kvdrtický zbytek modulo. Sočteme si symbol: ( ) 1 = ( 1) 1 2 = ( 1) 4k+1 1 2 = ( 1) 2k = 1. Proto číslo 1 je kvdrtickým zbytkem modulo. 6 b b

2. Komlexní čísl 2. Komlexní čísl V této kitole bychom chtěli čtenáři řiblížit zákldy komlexních čísel. 2.1. Zvedení komlexních čísel Def. Komlexním číslem rozumíme usořádnou dvojici (, b) reálných čísel b. Množinu všech komlexních čísel oznčíme C. N komlexních čísel definujeme relci = : ( 1, 2 ) = (b 1, b 2 ) 1 = b 1 2 = b 2, oerce + (sčítání) (násobení) následujícím zůsobem: ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) = ( 1 + b 1, 2 + b 2 ), ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) = ( 1 b 1 2 b 2, 1 b 2 + 2 b 1 ). Znménko u oerce násobení obvykle vynecháváme. Vět 2.1.1 Pro všechn komlexní čísl ( 1, 2 ), (b 1, b 2 ), (c 1, c 2 ) ltí: ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) = (b 1, b 2 ) + ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) + ( (b 1, b 2 ) + (c 1, c 2 ) ) = ( ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) ) + (c 1, c 2 ) ( 1, 2 ) + (0, 0) = ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) + ( 1, 2 ) = (0, 0) ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) = (b 1, b 2 ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) ((b 1, b 2 ) (c 1, c 2 ) ) = ( ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) ) (c 1, c 2 ) ( 1, 2 ) (1, 0) = ( 1, 2 ) ( ) ( 1, 2 ) (0, 0) = ( 1, 2 ) 1, 2 = (1, 0) 2 1 +2 2 2 1 +2 2 ( 1, 2 ) ((b 1, b 2 ) + (c 1, c 2 ) ) = ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) + ( 1, 2 ) (c 1, c 2 ) Toto tvrzení se sndno dokáže rozesáním využitím vlstností reálných čísel. Zvedeme-li bijekci mezi čísly (, 0) (kde R), zjistíme, že množin komlexních čísel tvru (, 0) má stejné vlstnosti jko množin všech reálných čísel. Proto můžeme tyto dvě množiny rohlásit z totožné budeme sát (, 0) =. Def. Komlexní číslo (0, 1) nzýváme imginární jednotkou, obvykle znčíme i. Vět 2.1.2 Kždé komlexní číslo (, b) lze zst jko + bi. Důkz: Vylývá z jednoduchého rozesání komlexního čísl: (, b) = (, 0) + (0, b) = (1, 0) + b (0, 1) = + bi Uvědomme si, že i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Pk dvě komlexní čísl můžeme násobit jko dvojčleny: ( + bi)(c + di) = c + bci + di + bdi 2 = (c bd) + (bc + d)i Podobně tké můžeme dvě komlexní čísl dělit (resektive hledt číslo inverzní k nějkému nenulovému komlexnímu číslu): 1 + bi = bi ( + bi)( bi) = bi 2 + b 2 = Tento ostu nzýváme usměrňování komlexního zlomku. 7 2 + b 2 + b 2 + b 2 i

2. Komlexní čísl Def. Nechť z = +bi je komlexní číslo. Pk reálné číslo res. b nzýváme reálnou částí čísl z (íšeme R(z) = ) res. imginární částí čísl z (íšeme I(z) = b). Pltí z C : z = R(z) + I(z) i. Dále si uvědomme, že kždé reálné číslo, lze zst jko + 0i, to znmená, že R : R() = I() = 0. Def. Komlexní číslo, které má nulovou reálnou nenulovou imginární část nzýváme ryze imginární číslo. Komlexní číslo, které má nenulovou imginární část k ouze imginární číslo. 2.2. Absolutní hodnot, goniometrický tvr komlexního čísl Def. Nechť z C, z = + bi, k komlexní číslo z = bi nzýváme číslem komlexně sdruženým s číslem. Pltí z = z z R. Sndno ověříme, rotože z R I(z) = 0 I(z) = I(z). Pokud tedy má ltit z = z k I(z) = I(z) = I(z) = 0 nok. Def. Nechť z C, z = + ib k reálné číslo z = 2 + b 2 nzýváme bsolutní hodnotou čísl z. Vět 2.2.1 Nechť z C k ltí: z 2 = z z Důkz: Nechť z = + ib, k z = ib z z = ( + ib)( ib) = 2 (ib) 2 = 2 + b 2 = z 2. Vět 2.2.2 (goniometrický tvr komlexního čísl) Pro kždé komlexní číslo z existuje reálné číslo ϕ tkové, že ltí: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Důkz: Nechť z = + bi, kde, b R. Pk z = 2 + b 2 rotože ltí < z, k existuje ϕ tkové, že z cos ϕ =. Nvíc ro tkové ϕ ltí z sin ϕ = b, rotože: z 2 = 2 + b 2 z 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = 2 + b 2 ( z cos ϕ) 2 + ( z sin ϕ) 2 = 2 + b 2 ( z sin ϕ) 2 = b 2 z sin ϕ = b V důkzu jsme nvíc ukázli, jk se tkové číslo ϕ dá njít. Tomuto číslu říkáme rgument čísl z (íšeme rg(z)). Je známo, že tkových čísel je víc, rotože funkce sinus kosinus jsou eriodické mjí eriodu 2π, roto okud nějké číslo ϕ slňuje zdání k i všechn čísl, která dostneme řičtením nebo odečtením násobku 2π jsou tké vyhovující. Proto obvykle hledáme ϕ, které leží v intervlu 0, 2π). Tkové číslo k nzveme hlvním rgumentem čísl z (íšeme Arg(z)). Vět 2.2.3 (násobení dělení čísel v goniometrickém tvru) Nechť = (cos ϕ + i sin ϕ) b = b (cos ψ + i sin ψ) jsou dvě komlexní čísl v goniometrickém tvru, k ltí: b = b ( cos (ϕ + ψ) + i sin (ϕ + ψ) ) b = ( ) cos (ϕ ψ) + i sin (ϕ ψ) b Tuto větu sndno dokážeme omocí následujícího lemmtu: 8

2. Komlexní čísl Lemm. cos(α + β) + i sin(α + β) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) Důkz: Podle součtových vzorců ltí: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β = cos α cos β + i 2 sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Jednoduchým rozesáním k dostáváme: cos(α + β) + i sin(α + β) = cos α cos β + i sin α cos β + i cos α sin β + i 2 sin α sin β = = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) A nyní se můžeme vrátit k důkzu věty 2.2.3: b = (cos ϕ + i sin ϕ) b (cos ψ + i sin ψ) = b ( cos (ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) ) (cos ϕ + i sin ϕ) = b b (cos ψ + i sin ψ) = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ i sin ψ) b (cos 2 ψ + sin 2 = ψ) = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos( ψ) + i sin( ψ)) = b b ( cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ) ) Vět 2.2.4 (Moivreov vět) Nechť z = z (cos ϕ + i sin ϕ) je goniometrický tvr komlexního čísl z k ro kždé n N ltí: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Důkz: Mtemtickou indukcí: I. n = 1 Pltí triviálně. II. Přeokládejme, že z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) k: z n+1 = z n z = z n (cos nϕ + i sin nϕ) z (cos ϕ + i sin ϕ) Což odle ředchozí věty je rávě z n+1( cos(nϕ+ϕ)+i sin(nϕ+ϕ) ) = z n+1( cos(n+1)ϕ+i sin(n+1)ϕ ). Moivreov vět lze zobecnit i ro libovolnou celou mocninu. Stčí si uvědomit, že ro n = 0 ltí z 0 = z 0 (cos 0 + i sin 0) = 1 ro n < 0: z n = ( z 1) n z 1 = 1 z je odle věty 2.2.3: z 1 ( cos( ϕ) + i sin( ϕ) ) nyní už můžeme oužít Moivreovu větu ro řirozené n: z n = ( z 1) n = ( z 1 ) n ( cos( n)( ϕ) + i sin( n)( ϕ) ) = z n (cos nϕ + i sin nϕ). 2.3. Gussov rovin Komlexní čísl jsou usořádné dvojice čísel reálných, může nám to tedy řiomenout souřdnicový systém v rovině. Můžeme tedy zvést bijekci mezi všemi komlexními čísly všemi body v rovině. Mějme rovinu s krtézským souřdným systémem. Komlexnímu číslu = 1 + i 2 řiřdíme bod A[ 1, 2 ] roviny nok. Tuto rovinu k nzveme Gussovou rovinou. Osu x Gussovy roviny nzveme reálnou osou (znčíme R) osu y imginární (znčíme I). Podle výše uvedené bijekce budeme komlexní číslo nzývt jk komlexním číslem, tk bodem Gussovy roviny. Def. Bod O = 0 + 0i nzveme očátkem Gussovy roviny. 9

Následující obrázek ukzuje geometrický význm některých vlstností kolexních čísel. 2. Komlexní čísl I z = + ib O z Arg (z) b R Otočení kolem očátku Def. Zobrzení f : C C, f(z) = z, kde C je tkové komlexní číslo, které lze zst ve tvru = cos α + i sin α, nzveme otočením kolem očátku o úhel α. Toto otočení je zřejmě shodné s otočením, jk je známe z lnimetrie, neboť: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) z = z (cos ϕ + i sin ϕ) (cos α + i sin α) = z ( cos(ϕ + α) + i sin(ϕ + α) ) I f(z) = z z ϕ + α α ϕ O R Otočení o ± π 2 je vlstně násobení číslem ±i, o π (neboli středová souměrnost) je násobení číslem 1. Obdobně se djí definovt i dlší zobrzení, která známe z lnimetrie. 10

3. Celá komlexní čísl 3. Celá komlexní čísl Def. Množinu všech komlexních čísel +ib tkových, že, b Z, nzýváme množinou všech komlexních celých čísel nebo tké množinou všech Gussových celých čísel (tuto množinu budeme znčit Z[i]). Celá komlexní čísl jsou rozšířením celých čísel, nebo tké zúžením komlexních. 3.1. Dělitelnost v celých komlexních číslech Množin Z[i] je uzvřená vůči oercím +,. Obdobně jk celá čísl všk není uzvřená vůči oerci /, nříkld: 1 + i (1 + i)(2 + i) = 2 i (2 i)(2 + i) = 1 + 3i = 1 5 5 + 3 5 i Z[i] Proto má, obdobně jko v celých číslech, smysl definovt dělitelnost. Def. Pro, b Z[i] říkáme, že b rávě tehdy, když existuje c Z[i] tkové, že c = b. Vět 3.1.1 (Zákldní vlstnosti dělitelnosti) Pro všechn, b, c Z[i] ltí: b b c = c (3.1.1.1) b c = b + c b c (3.1.1.2) c 0 = ( b c bc) (3.1.1.3) b b 0 = b (3.1.1.4) Důkz: Tvrzení 1 ž 3 se sndno dokáže rozesáním z definice obdobně jko v celých číslech. Podrobněji se budeme věnovt čtvrtému tvrzení, rotože se liší od běžné teorie čísel v celých číslech. Jestliže b, k existuje c tkové, že c = b, tedy odle věty (2.2.3) ltí i c = b. A rotože b 0 k i c 0, b = 0 c = 0. Protože c > 0 c Z[i], k c 1. Z toho lyne, že b. V řirozených číslech je dělitelnost nejjednoduší, rotože kždé číslo n (vyjm jedničky) má rávě dv nevlstní dělitele (tj. tkové, které vždy musí mít) to jsou 1 n. V celých číslech se nám situce komlikuje číslo n má čtyři nevlstní dělitele: 1, 1, n n (smozřejmě kromě čísel 1 1, která mjí ouze dv). V komlexních číslech je situce ještě složitější nevlstních dělitelů čísl n {1, i, 1, i} je rovnou osm: 1, i, 1, i, n, in, n in. 3.2. Největší solečný dělitel nejmenší solečný násobek Def. Solečným dělitelem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c c b. Kždá dvě čísl mjí solečné dělitele čísl 1, i, 1 i. Tto čísl mjí v množině Z[i] stejné ostvení, jko číslo 1 v množině N, roto je budeme nzývt jednotkmi definujeme množinu U = {1, i, 1, i} obecně budeme znčit její rvek u. Násobení číslem u neovlivní dělitelnost, rotože u 1 U u 2 U : u 1 u 2 = 1. A nvíc Z[i], U : u u. Def. Čísl b nzveme shodnými rávě tehdy, když u U : = ub. Nechť b jsou dvě shodná čísl k zřejmě ltí: c Z[i] : c c b c b c. Pokud budeme mluvit o jednoznčnosti vzhledem k dělitelnosti, budeme vždy mluvit o shodnosti tkových čísel. 11

3. Celá komlexní čísl Přímým důsledkem věty 3.1.1.4 je tvrzení:, b Z[i] : b b b jsou shodná. Def. Největším solečným dělitelem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c je dělitelné kždým solečným dělitelem čísel b. Budeme znčit c = N SD(, b). Def. Solečným násobkem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c b c. Kždá dvě čísl, b mjí solečné násobky nř. čísl b, ib, b, ib. A nvíc, okud je nějké číslo c solečným násobkem čísel b k i libovolný násobek čísl c je solečným násobkem čísel b. Def. Nejmenším solečným násobkem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c dělí libovolný solečný násobek čísel b. Budeme znčit c = N SN (, b). Nříkld solečným násobkem čísel 2 3 + i je číslo 4 2i, neboť 4 2i = 2 (2 i) = (3 + i)(1 i). Dlší solečný násobek je číslo 10 = 2 5 = (3 + i)(3 i). Všimněte si, že 4 2i dělí 10 jejich odíl je 2 + i. Číslo 4 2i je totiž nejmenším solečným násobkem čísel 2 3 + i. Protože 2 3 + i nok nejmenším (odle bsolutní hodnoty) dlším možným násobkem čísl 3 + i je rávě 4 2i, omocí věty 3.1.1.4 sndno ukážeme, že nejmenší solečný násobek je mimo jiné tké nejmenší odle bsolutní hodnoty. Jejich solečným dělitelem je nř. číslo 1 + i, rotože 2 = (1 + i)(1 i) 3 + i = (1 + i)(2 i). A nvíc je toto číslo i jejich největším solečným dělitelem, rotože číslo 2 je dělitelné ouze jednotkovými násobky čísel 1, 1 + i 2. A rotože 2 3 + i 1 1 + i. Obdobně jko u nejmenšího solečného násobku i největší solečný dělitel je největší odle bsolutní hodnoty. 3.3. Obdob Euklidov lgoritmu Bezoutovy věty V těto kitole ukážeme, jk se dá njít největší solečný dělitel tké jeho jednoznčnost. Euklidův lgoritmus Hledejme N SD(, b), kde, b Z[i]. Bez újmy n obecnosti můžeme ředokládt, že b. Uvžujme čísl ub ro kždé u U. Předstvíme-li si tto čísl jko vektory v Gussově rovině, k jsou dvojice b, ib; ib, b; b, ib ib, b dvojicemi n sebe kolmých vektorů čísl b, ib, b, ib tvoří vrcholy čtverce, který má střed v očátku (viz obrázek). Vektor k svírá s jedním z těchto čísel úhel α π 4 (sndno ukážeme omocí Dirichletov rinciu). Uvžuji-li trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel menší nebo roven π 4, k strn roti tomuto úhlu je určitě krtší než nejdelší strn tohoto trojúhelníku (nř. ze sinové věty, z ředokldu, že funkce sinus je rostoucí n intervlu ) 0, π 2 ). Proto můžeme říct, že existuje tkové u U, že ub <. I b ib O ib R b Čísl b ub mjí stejného největšího solečného dělitele jko čísl b, rotože: d Z[i], d b : d d ub Zvolíme 1, b 1 = b, ub tk, by znovu ltilo b 1 1. A okujeme ostu tk dlouho, dokud jedno z čísel nevyjde nul. To se zcel jistě stne, rotože bsolutní hodnoty 1, b 1 klesjí mohou nbývt jen 12

3. Celá komlexní čísl některých diskrétních hodnot (druhá mocnin je vždy nezáorné celé číslo). Proto se dříve nebo ozději dostnu k číslu 0. Největším solečným dělitelem nuly nenulového čísl b n je číslo b n, rotože nul je dělitelná libovolným z Z[i]. Tkové b n k je i největším solečným dělitelem čísel b. Vět 3.3.1 (Bezoutov vět), b Z[i] k, l Z[i] : k + lb = N SD(, b) Důkz: Vylývá z Euklidov lgoritmu, budeme-li ostuovt v očném ořdí. Vyjádříme N SD(, b) nejdříve jko n + ub n k z n, resektive b n, budeme doszovt z ředchozích vzthů. Budeme-li ostuovt dál, z kždé rovnice jsme schoni sočítt dlší (jeden) člen. A o konečném očtu kroků se dostneme k vyjádření největšího solečného dělitele omocí čísel b. Všichni soleční dělitelé jsou o dvou shodná čísl. Toto tvrzení můžeme dokázt sorem. Předokládejme, že existuje tková d 1, d 2 Z[i], že d 1 d 2 nebo d 2 d 1 zároveň jsou obě největším solečným dělitelem b. Proto d 1 d 2 jsou soleční dělitelé nvíc největší soleční dělitelé čísel, b. Musí tedy ltit, že d 1 i d 2 se dělí nvzájem sor. Tímto jsme ukázli jednoznčnost největšího solečného dělitele. Def. Čísl, b Z[i], ro která N SD(, b) U, nzýváme nesoudělná. Vět 3.3.2 Nechť, b, c Z[i] N SD(, b) U k ltí: bc = c. Důkz: Podle věty 3.3.1 existují čísl k, l Z[i] u U tková, že u N SD(, b) = 1 = k + lb. Vynásobíme-li tuto rovnost číslem c, dostáváme c = kc + lbc rotože kc lbc ( bc) tk musí dělit i jejich součet, tedy c. 13

4. Gussov rvočísl 4. Gussov rvočísl Def. Číslo z Z[i], které má ouze nevlstní dělitele, nzveme rvočíslem v komlexních celých číslech nebo tké Gussovým rvočíslem. Protože se ndále budeme zbývt i běžnými rvočísly, uřesníme ještě trochu názvosloví. budeme-li mluvit o běžném rvočísle, máme tím n mysli rvočíslo v Z (tj. tkové kldné číslo, které má rávě dv kldné dělitele). V druhém řídě rvočíslo v Z[i] budeme vždy nzývt Gussovo rvočíslo nebo jen rvočíslo. Množinu všech běžných rvočísel budeme znčit P množinu všech Gussových rvočísel P G. Některá Gussov rvočísl: 1 + i, 1 i, 1 i, 1 + i, 3, 3i, 3, 3i, 2 + i, 2 i,... 4.1. Vlstnosti Gussových rvočísel Pokud, k N SD(, ) U, rotože kdyby to tk nebylo N SD(, ) bylo nějké d k ltí d tj. d {1, i, 1, i,,, i, i}. A rotože, k d dostáváme to, co jsme chtěli. Vět 4.1.1 Číslo Z[i] je Gussovo rvočíslo rávě tehdy, když, b Z[i] : b = b. Důkz: Nejdříve dokážeme imlikci zlev dorv: Rozebereme dv řídy: k je imlikce triviálně slněn. Pokud k N SD(, ) U roto ro, b ltí vět 3.3.2 tj. b. Nyní budeme ředokládt, že ro nějké Z[i] ltí, b Z[i] : b = b. Důkz ovedeme sorem: ředokládejme, že existuje nějké d tk, že d je vlstní dělitel čísl. Proto existuje c Z[i] tkové, že c d = nvíc c, d U, tk nedělí ni c ni d, le dělí jejich součin dostáváme sor. Tím dostáváme ekvivlentní odmínku rvočíselnosti tké velmi důležitou vlstnost rvočísel. Vět 4.1.2 (Vět o rozkldu čísl n rvočísl) Kždé Gussovo celé číslo různé od jednotky od nuly lze nst jko součin Gussových rvočísel. Důkz: Větu budeme dokzovt indukcí vzhledem k druhé mocnině bsolutní hodnoty. Mějme číslo nechť je jeho bsolutní hodnot. I. 2 = 2 Tuto odmínku slňují čísl 1 + i, 1 i jejich u-násobky. Tto čísl jsou rvočísl roto je netřeb rozkládt. II. Předokládejme, že všechn čísl s druhou mocninou bsolutní hodnoty menší než 2 jdou rozložit n součin rvočísel. Číslo buď je rvočíslem, k je rozkld jsný, nebo není rvočíslem, k existuje nějký jeho vlstní dělitel d odíl c tk, by cd =. Nvíc c i d je menší než tkže ro ně ltí indukční ředokld, roto i číslo umíme rozložit n součin rvočísel. Vět 4.1.3 Existuje nekonečně mnoho Gussových rvočísel. Důkz: Sorem. Předokládejme, že existuje konečně mnoho Gussových rvočísel. Oznčme je 1, 2,..., k, kde k N. Uvžujme číslo = 1 2... k + 1. Toto číslo není dělitelné žádným rvočíslem, okud by tomu bylo jink, k i 1, 2,..., k : i = i 1 2... k, dostáváme i 1, což je sor. Ale odle ředchozí věty číslo lze rozložit n rvočinitele = sor. 4.2. Tvr Gussových rvočísel Vět 4.2.1 Číslo z Z[i] je Gussovým rvočíslem rávě tehdy, když nbývá jednoho z těchto tvrů: 14

4. Gussov rvočísl { + ib z = 2 + b 2 je běžné rvočíslo, b 0 u u U je běžné rvočíslo, které nelze zst jko součet dvou kvdrátů Důkz: Rozdělíme si roblém n dv řídy: I. z = + ib, b 0 II. z = u, u U. I. z = + bi: Uvžme číslo zz Z jeho rozkld n běžná rvočísl. Pk z dělí jedno z těchto rvočísel. Nechť je toto rvočíslo x = z, x = c + id. Pltí = xz = (c bd) + i(d + bc) roto: d + bc = 0 d = bc b = c d Poslední úrvu si můžeme dovolit, rotože, b 0 0 roto i c, d 0. Zlomek b je v zákldním tvru, rotože kdyby nebyl existovlo by nějké celé k k b, le tkové k dělí i z, což je sor s rvočíselností čísl z. Proto ltí: k Z : c = k d = kb. zx = k b ( kb) = A rotože 2 + b 2 2 (z P G ) k k = 1 tj. = z 2. k( 2 + b 2 ) = Ještě druhou imlikci: Mějme běžné rvočíslo = 2 + b 2. Pk = ( + ib)( ib). Uvžujme nějké Gussovo rvočíslo z ± ib k i z tj. z = ± ib. Proto čísl ± ib jsou Gussovská rvočísl. II. Pokud z = u, k mohu místo z uvžovt, co se týče dělitelnosti. A rotože neexistuje žádné číslo, které má nulovou reálnou nebo imginární část dělí číslo (z důvodu, že je obyčejné rvočíslo), jediné číslo, které by mohlo dělit je Gussovo rvočíslo ředchozího tvru, le to by muselo být součtem dvou kvdrátů sor. Všechny úvhy se djí i obrátit, roto je vět dokázán. Vět 4.2.2 Kždé běžné rvočíslo tvru 4k + 1 lze zst jko součet dvou kvdrátů. Důkz: Podle věty 1.3.4 ltí, že kždé tkové rvočíslo dělí nějké n 2 + 1. Uvžujme rozkld čísl n 2 + 1 = (n + i)(n i). Jk n + i tk n i nemůže být dělitelné žádným Gussovým rvočíslem tvru u, kde je běžné rvočíslo (které nelze zst jko součet dvou druhých mocnin) u U, rotože k by bylo dělitelné i rvočíslem tedy n±i Z[i]: n ± i = n ± 1 i Z[i] = 1 Z což je sor. Čísl n ± i jsou tedy dělitelná ouze Gussovými rvočísly z tkovými, že z 2 je běžné rvočíslo. Tkže v rozkldu čísl n 2 + 1 n Gussovy rvočinitele se nchází jen tto rvočísl, nvíc ke kždému je tm i komlexně sdružené, rotože okud z (n ± i) k z (n i). Když vynásobíme dvě komlexně sdružená rvočísl, vyjde nám běžné rvočíslo, které lze zst jko součet dvou druhých mocnin. Tedy n 2 + 1 je dělitelné ouze rvočísly, které lze zst jko součet dvou druhých mocnin. Mějme rvočíslo tvru 4k + 1 (k Z), k dělí n 2 + 1 lze ho tedy zst jko součin dvou druhých mocnin. Lemm. Běžné rvočíslo lze zst jko součet dvou kvdrátů rávě tehdy když není tvru 4k + 3. Důkz: Prvočísl tvru 4k neexistují. Prvočísl tvru 4k + 1 jdou zst jko součet dvou kvdrátů odle věty 4.2.2. Tvru 4k + 2 je ouze dvojk 2 = 1 2 + 1 2. A číslo tvru 4k + 3 nelze zst jko součet dvou kvdrátů, rotože kvdrtické zbytky modulo 4 jsou 0 1. A žádným součtem dvou z těchto čísel nedostneme 3. 15

Větu 4.2.1 lze tedy ekvivlentně formulovt tkto: Číslo z Z[i] je Gussovým rvočíslem rávě tehdy, když je jednoho z těchto tvrů: { + ib z = 2 + b 2 =, kde je běžné rvočíslo tvru 4k + 1, nebo 2 u u U je běžné rvočíslo tvru 4k + 3 4. Gussov rvočísl 4.3. Využití Gussových rvočísel Gussov rvočísl mjí mnohé využtí v běžné teorii čísel, ro ukázku zde uvádíme větu: Vět 4.3.1 Celé číslo, které lze zst jko součin dvou čísel b, c tkových, že je lze zst jko součet dvou kvdrátů, lze zst jko součet dvou kvdrátů. Důkz: Nechť b = b 2 1 + b 2 2 c = c 2 1 + c 2 2. Pk ltí: = b c = (b 2 1 + b 2 2)(c 2 1 + c 2 2) = (b 1 + ib 2 )(b 1 ib 2 )(c 1 + ic 2 )(c 1 ic 2 ) = = ( (b 1 + ib 2 )(c 1 + ic 2 ) )( (b 1 ib 2 )(c 1 ic 2 ) ) Což je součin dvou komlexně sdružených čísel z = x + iy z = x iy: = zz = x 2 + y 2. A jeden říkld: Příkld: (Mtemtická olymiád 55. roč. A-I-6) Njděte všechny usořádné dvojice (x, y) řirozených čísel, ro něž ltí x 2 + y 2 = 2005(x y). Řešení: Nejdříve si zdnou rovnici urvíme vynásobíme čtyřmi. ( x 2005 ) 2 ( + y + 2005 ) 2 = 2 20052 2 2 4 Rozložíme si číslo 2 2005 2 n Gussov rvočísl: (2x 2005) 2 + (2y + 2005) 2 = 2 2005 2 2 2005 2 = (1 + i)(1 i)(2 + i) 2 (2 i) 2 (20 + i) 2 (20 i) 2 Snžíme se vyjádřit číslo 2 2005 2 jko součet dvou kvdrátů, neboli jko součin dvou komlexně sdružených Gussových čísel. Aby nějká dvě čísl byl komlexně sdružená musí se v jejich rozkldu n rvočísl ncházet komlexně sdružená čísl. Proto rozdělíme rvočinitele čísl 2 2005 2 do komlexně sdružených dvojic z kždé vybereme jedno číslo. Vybrná čísl k vynásobíme dostneme tkové číslo + ib, že 2 + b 2 = 2 2005 2. Tzn. nemusíme ni očítt druhý součin, b co víc, všechn čísl tvru u ( + ib), kde u U, nám djí stejné dvojice druhých mocnin. Proto si můžeme očítání velmi urychlit. Uvědomíme si, že 1 + i = i (1 i) tkže výběr v dvojici 1 + i, 1 i nebude mít n výsledek efekt. Dále si můžeme ještě jedno číslo zvolit z konstntní, rotože jink bychom ke všem součinům dostli i komlexně sdružená čísl. Bude nám stčit sočítt jen šest součinů: (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 + i)(20 + i) = 679 + 2753i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 + i)(20 + i) = 1795 + 2195i (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 + i)(20 i) = 401 + 2807i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 + i)(20 i) = 2005 + 2005i (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 i)(20 i) = 119 + 2833i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 i)(20 i) = 2195 + 1795i 16

4. Gussov rvočísl Všechny neusořádné dvojice řirozených čísel (, b) tkových, že 2 + b 2 = 2 2005 2 jsou tedy: (119, 2833), (401, 2807), (679, 2753), (1795, 2195), (2005, 2005) N dvojici (2005, 2005) můžeme s klidem v duši zomenout, rotože víme, že y je řirozené tedy 2005 + 2y 2007. Tto nerovnost nám tké říká, které číslo z dvojice řiřdíme k 2005 + 2y které k 2005 2x. Dále nesmíme zomenout, že číslo 2005 2x může být i záorné k nám zbude jen doočítt řešení. Úloh má celkem osm řešení: (x, y) { (1062, 414), (943, 414), (105, 95), (1900, 95), (663, 374), (1342, 374), (802, 401), (1203, 401) } 17

Použitá litertur Použitá litertur [1] Prof. RNDr. Miloš Ráb, DrSc.: Komlexní čísl v elementární mtemtice, Msrykov univerzit, Brno, 1997; ISBN 80-210-1475-X [2] RNDr. Jiří Hermn, Ph.D., Doc. RNDr. Rdn Kučer, CSc., Doc. RNDr. Jromír Šimš, CSc.: Metody řešení mtemtických úloh I, Msrykov univerzit, Brno, 2001; ISBN 80-210-1202-1 [3] Eric W. Weisstein: Gussin Prime, From MthWorld A Wolfrm Web Resource htt://mthworld.wolfrm.com/gussinprime.html [4] Eric W. Weisstein: Gussin Integer, From MthWorld A Wolfrm Web Resource htt://mthworld.wolfrm.com/gussininteger.html [5] Mrtin Klzr: Introduction in Number Theory, htt://www.ms.mff.cuni.cz/cd/km/klzr/utc04.s [6] 55. ročník Mtemtické olymiády: Úlohy domácí části I. kol ktegorie A, htt://www.mth.muni.cz/ rvmo/mo/55/55i.df 18