Jensenova nerovnost David Hruška

Transkript

1 Jensenov nerovnost Dvid Hrušk Abstrkt. Příspěvek seznmuje s jednou z klsických lgebrických nerovností ukzuje její použití n dokzování nerovností olympiádního typu. Konvexní kombince Definice. Nechť x,...,x n R, λ,...,λ n 0, nvíc λ + +λ n =.Pk číslo λ x + +λ n x n nzývámekonvexníkombincíčísel x,...,x n. Cvičení. Rozmysletesi,žepokudje x nejmenšíx n největšízčísel x,...,x n, ležíkždákonvexníkombincetěchtočíselvintervlu x,x n. Pro práci s Jensenovou nerovností je klíčové porozumět kovexním kombincím (bodů) v rovině. Definice. Nechť[x,y ],...,[x n,y n ]jsousouřdnice nbodůvrovině, λ,...,λ n 0, λ + +λ n =.Pkbodosouřdnicích [λ x + +λ n x n,λ y + +λ n y n ] nzývámekonvexníkombincíbodů[x,y ],...,[x n,y n ]. Cvičení. Co je množinou všech konvexních kombincí dvou(tří, čtyř, td.) bodů vrovině? Konvexní konkávní funkce Definice. Nechť I Rjeintervlf:I Rjefunkce.Pokudprokždoudvojici x,y Ikždé λ 0, pltí řekneme,že fjekonvexnín I. f(λx+( λ)y) λf(x)+( λ)f(y), Duálně(s opčnou nerovností) definujeme konkávní funkci. Pokud pltí ostrá vrint uvedené nerovnosti, mluvíme o ryze konvexní(resp. ryze konkávní) funkci. 9

2 JENSENOVA NEROVNOST Cvičení. Rozmyslete si, co nerovnost definující konvexitu(resp. konkvitu) znmená geometricky. Cvičení. Zjistěte, které z elementárních funkcí jsou n nějkých intervlech konvexní(resp. konkávní). Jensenov nerovnost Konečně se dostáváme k jádru merit pudl věci. Tvrzení. Nechť f je konvexní funkce n intervlu I. Potom pro libovolná x,...,x n I λ,...,λ n 0, tková,že λ + +λ n =,pltí λ f(x )+ +λ n f(x n ) f(λ x + +λ n x n ). Cvičení. Interpretujte obě strny rovnosti geometricky pomocí konvexních kombincí bodů uvědomte si, že tvrzení se tím stává téměř triviálním. Cvičení. Rozmyslete si, kdy v Jensenově nerovnosti nstává rovnost. Nyní si můžeme blhopřát, neboť jsme téměř zdrmo získli velmi obecně vyhlížející nerovnost, která se ukáže být silnou zbrní. Ke správnému použití Jensenovy nerovnosti je třeb umět rozhodnout, zd je dná funkce konvexní(resp. konkávní). K tomu se v prxi používá následující lemm. Lemm. Má-li funkce f n intervlu I nezápornou(resp. nekldnou) druhou derivci, je f n I konvexní(resp. konkávní). Pokud jste o derivci(ntož nějké druhé derivci) neslyšeli, nezoufejte. U jednoduchých funkcí se dá konvexit/konkvit dobře odhdnout z grfu, přípdně lze použít vhodný mtemtický softwre. Přísně korektní zdůvodnění se v tomto přípdě nevyžduje ni v MO, o jednoduchých funkcích se povžuje z známé, zd jsou konvexní či konkávní. Logritmus Občs se při používání Jensenovy nerovnosti setkáme s logritmem. Užitečný pro nás bude, protože svým způsobem převádí násobení n sčítání mocnění n násobení. Přesněji o tom hovoří následující poznámk. Poznámk. Nechť >.Funkce f(x)=log (x)definovnán R + jkoinverzní funkcekg(x)= x mánásledujícívlstnosti: (i) fjerostoucíryzekonkávnífunkcen R +, (ii) f(xy)=f(x)+f(y), (iii) f( x )= f(x), (iv) f(x y )=yf(x). 0

3 Motivční příkldy DAVID HRUŠKA Konečně se dostáváme k úlohám. Zčneme zlehk: Příkld. Ukžte,žeprokždéreálné x >pltí: x + x + x+ x. Řešení. Použijeme Jensenovu nerovnost pro funkci f(x) = /x, která je konvexní n R +,konvexníkombincikldnýchčísel x, x, x+skoeficienty Dostáváme ( x + x + x+ ) λ = λ 2 = λ =. x + x + x+ = x x + x + x+ x. Jistě by vám neděllo problém tuto nerovnost dokázt zcel přímočře roznásobením. Zkusíme tedy něco těžšího zástupce typické skupiny úloh řešitelných Jensenovou nerovností: Příkld. Jsou-li α, β, γ velikosti úhlů v trojúhelníku, dokžte sinα+sinβ+sinγ 2. Řešení. Jensenovu nerovnost plikujeme n funkci f(x) = sin x konkávní n intervlu(0,π).pltí α,β,γ (0,π),tedy ( ) α+β+γ sinα+ sinβ+ sinγ sin = 2. U této nerovnosti bychom již přímočřejší přístup hledli těžko. Jensenov nerovnost je pro dokzování nerovností pro úhly v trojúhelníku čsto užitečná, neboť známe jejich součet( tedy i tu nejjednodušší konvexní kombinci). Pořád je to moc sndné? N přednášce si ukážeme poněkud mgický, le zto velmi elegntní důkz tzv. AG-nerovnosti: Tvrzení. Pronezápornáčísl x,x 2,...,x n pltí: x + +x n n n x...x n. Nyní už víme dost, bychom se mohli pustit do řešení skutečných úloh. Nezpomeňte, že Jensenov nerovnost pltí pro kždou konvexní(resp. konkávní) funkci, tkže pokud kýžená nerovnost hned npoprvé nevyjde, není důvod házet Jensen do žit prostězkustejinoufunkci.tkhurádotoho!

4 JENSENOVA NEROVNOST Úlohy n rozehřátí Úloh. Ukžte,žeprolibovolnáreálnáčísl,b, pltí 2 + b 2 4 (+b) 2. Úloh2. Dokžte,žeprokldnáreálnáčísl,bsplňující +b=pltí ( + ) 2 ( + b+ ) 2 25 b 2. Úloh. Dokžte,žeprovšechnpřípustná x Rpltí x++ 2x + 50 x 2. Úloh 4. Pro α, β, γ úhly v trojúhelníku dokžte nerovnosti (i) sin α 2 +sin β 2 +sin γ 2 2, (ii) cos α 2 +cos β 2 +cos γ 2 2, (iii) tg α 2 +tg β 2 +tg γ 2, (iv) sinαsinβsinγ 8. Vrování: Část(iv) je trochu zákeřná. Úloh5. Prokldná, b, cdokžte 4 27(7 +b 7 +c 7 ) b c 7. Úloh6. Kldnáreálnáčísl x, ysplňují x+y=.dokžte x +y + y +x +2xy. Pořádné úlohy Úloh7. Prokldná, b, cdokžte Úloh8. Pro,b 0dokžte (b+c) 2+ b (c+) 2+ c (+b) 2 9 4(+b+c). b2 + + b 2 + +b. b+ 2 (MO 6 III 6)

5 Úloh9. Pro,b,c >0dokžte DAVID HRUŠKA ( ) +b+c +b+c b b c c. Úloh0. Proreálná x,...,x n dokžte x x n + n n x...x n +. Úloh. Prokldná, b, cdokžte (IMO Shorltlist 998) 2 +8bc + b b2 +8c + c c2 +8b. Úloh2. Pro p (0, kldnáreálná, bdokžtenerovnost (IMO 200) 2 +pb 2 + b 2 +p 2 +b+(p ) b. (MO 62 III 6) Litertur zdroje []Michl Kenny Rolínek,PvelŠlom,Seriálonerovnostech,MKS,200 [2] Miloš Přinosil, Užití Jensenovy nerovnosti, Prometheus, 2008