Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace, které graficky i početně modelují například vlastnosti funkcí. MS Excel je navíc ve škole dobře dostupný a žáci se v něm učí pracovat již na druhém stupni základní školy (a mají ho většinou k dipozici i doma). Program tedy mohou vytvořit sami žáci (například v hodinách informatiky a výpočetní techniky) a učitel tak podpoří rozvoj mezipředmětových vztahů. Snadno jej ovšem naprogramuje i sám učitel. Následující program například umožňuje změnou parametrů ve funkčním předpisu kvadratické funkce f: y=ax 2 +bx+c měnit vlatnosti této funkce, zobrazovat současně její graf a hodnoty zaznamenávat v pracovním listu. Zároveň jsou součástí grafu interaktivní body, se kterými žáci mohou pracovat. Jestliže s nimi pohybují, mění zároveň hodnoty souřadnic v pracovním listu. Program navíc dokáže určit, zda bod na parabole leží nebo zda je vrcholem. Obdobný program je možné snadno naprogramovat v Excelu i pro další elementární funkce. Výhodou je, že funkce jsou v něm zobrazeny dynamicky, lze tedy okamžitě pozorovat změnu průběhu funkce při změně parametrů. Vlastnosti funkce tak učitel může demonstrovat na velkém množství příkladů a v mnoha rozličných situacích (pro různé parametry) oproti jednomu obrázku na tabuli či v učebnici. Pracovní list i graf lze také snadno vytisknout pro velké množství žáků.
Návrh práce s programem: Pomocí této apikace lze znázorňovat jakékoli příklady z učebnice a tradičních sbírek (sestrojení grafu, určování intervalů monotonie, maxima, minima, hledání kořenů, určování průsečíků s osami). Program umožní rychlé grafické znázornění funkce a ověření hypotéz. ÚLOHA 1 Je dán předpis kvadratické funkce f. Najděte vrchol paraboly a ověřte výpočtem. -lze využít příklady z učebnice či sbírky Žáci mohou přímo v grafu funkce pohybovat body A, B, C. Jejich souřadnice se v grafu zobrazí a zároveň se souřadnice zapisují v pracovním listu. Žáci mohou ověřit v části Zkouška, zda je daný bod vrcholem či nikoli. Obdobně mohou hledat průsečíky s osami. Výsledky mohou dále ověřit početně. ÚLOHA 2 Ukažte, že bod X [-b/2a; c-b 2 /4a] leží na grafu každé kvadratické funkce, která má rovnici y=ax 2 +bx+c. Žáci mohou tuto hypotézu ověřit na velkém množství příkladů. Sami si mohou zvolit parametry a,b,c a vypočítat souřadnice bodu X. Souřadnice vyplní do části pracovního listu Pevné body a program otestuje, zda je bod vrcholem. Celou situaci pak mají žáci znázorněnu i graficky.
ÚLOHA 3 Nalezněte parabolu, jejíž vrchol má souřadnice V[x,y]. V[0;3] Žáci vyplní souřadnice vrcholu do oddílu Pevné body jako bod A (aby se zobrazil do grafu). Tytéž souřadnice vyplní také do oddílu Zkouška. Při změně parametrů tak budou moci sledovat jak se parabola blíží vrcholu a program zároveň provede zkoušku. Žáci nejprve budou dosazovat hodnoty za všechny parametry a,b,c. Vzhledem k tomu, že vrchol leží na ose y, mnozí z nich brzy zjistí, že parametr b musí být nulový. Parametr a je libovolný, různý od nuly. Na tuto skutečnost může učitel sám upozornit. Parametr c je roven 3. (Žáci naleznou větší množství řešení. Učitel ukáže, že volba vrcholu ovlivní pouze parametr b nikoli a. Jako problémovou úlohu může učitel stanovit vrchol, jehož první souřadnice bude nenulová.) Pokud vrchol leží na ose x, naleznou jistě žáci velké množství příkladů. Učitel tedy může nejprve nechat žáky, aby sami nalezli příklady kvadratické funkce, jejíž vrchol leží na ose x. Následně může pomocí těchto příkladů ukázat, že takové rovnice paraboly lze převést na tvar y=a(x-x v ) 2, a R-{0}, kde V[x v ;0]. Teprve poté může nechat žáky hledat rovnici paraboly, která prochází určitým vrcholem. Pokud vrchol neleží na ose x ani y, postupují žáci obdobně. Úkol není tak snadný, proto učitel může žákům pomoci, odvodí-li tzv. vrcholový tvar paraboly: y=a(x+x v ) 2 +y v, kde V[x v ;y v ] = [-b/2a;c-b 2 /4a] viz lze užít poznatky a příklady z Úlohy 2, popřípadě může některý parametr prozradit.
Cvičení: 1) vrchol leží na ose y a)v[0;5] b)v[0;-3] c)v[0;-7] [řešení: a R-{0}; b=0; c=5] [řešení: a R-{0}; b=0; c=-3] [řešení: a R-{0}; b=0; c=-7] 2) vrchol leží na ose x a)v[5;0] b)v[-3;0] c)v[-7;0] [řešení: y=a(x-5) 2, a R-{0}] [řešení: y=a(x+3) 2, a R-{0}] [řešení: y=a(x+7) 2, a R-{0}] 3) vrchol neleží na ose x ani y a) V[2;3] [řešení: y=a(x-2) 2 +3, a R-{0}] b) V[-1;5] [řešení: y=a(x+1) 2 +5, a R-{0}] c) V[4;-6] [řešení: y=a(x-4) 2-6, a R-{0}] ÚLOHA 4* Uvažujte množinu všech kvadratických funkcí, které mají rovnici y=ax 2 +c, kde a,c jsou parametry. Pro všechny hodnoty prametrů a,c určete: -množinu, na které je daná funkce omezená (omezená zdola, omezená shora), -množinu, na které je daná funkce rostoucí (klesající), -body, ve kterých nabývá daná funkce maxima, minima (pokud existují). Využijte výsledků a poznatků z Úlohy 3, Cvičení 1. *Úloha byla převzata se sbírky: Novotná J. a kol.: Sbírka úloh z matematiky (nejen) pro přípravu k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Scientia 2000
ÚLOHA 5 Uvažujte množinu všech kvadratických funkcí, které mají rovnici y=a(x+x v ) 2, kde a, x v jsou parametry. Pro všechny hodnoty prametrů a, x v určete: -množinu, na které je daná funkce omezená (omezená zdola, omezená shora), -množinu, na které je daná funkce rostoucí (klesající), -body, ve kterých nabývá daná funkce maxima, minima (pokud existují). Využijte výsledků a poznatků z Úlohy 3, Cvičení 2. ÚLOHA 6 Jsou dány dva body A, B. Nalezněte rovnici paraboly, která jimi prochází. Výsledek zkontrolujte dosazením. Existuje jediné řešení? A=[-4,10], B=[4,10] y = 0,5x 2 +2 y = -0,5x 2 +18 obecně: y=[(10-c)/16]x 2 +c, c R Žáci dosazují za hodnoty parametru a,b,c. Je zřejmé, že body jsou symetrické podle osy y, to znamená, že vrchol bude ležet na ose y a parametr b je tedy roven nule. Někteří žáci na tuto zákonitost přijdou hned, jiní budou zpočátku dosazovat hodnoty i za parametr b tak, aby se graf paraboly přibližoval vytčeným bodům. Za pevné body dosadí souřadnice A a B. Pokud na parabole tyto body leží, program je upozorní. Současně se po levé straně zobrazují hodnoty pro některá x z intervalu < 10;10>.
Učitel upozorní, že dva body jednoznačně neurčují rovnici paraboly. Lze totiž snadno ukázat, že jsou-li dány dva symetrické body A[X 0 ;Y 0 ], B[-X 0 ;Y 0 ], pak funkce f má předpis: f: y=[(y 0 -c)/x 02 ]x 2 + c, kde c R Cvičení: 1)symetrické body a) A[3;6], B[-3;6] [obecné řešení: y=[(6-c)/9]x 2 +c ] b) A[-3,2], B[3;2] [obecné řešení: y=[(2-c)/9]x 2 +c ] c)a[-4;-5], B[4;-5] [obecné řešení: y=[(-5-c)/16]x 2 +c ] d)a[2;1], B[-2;1] [obecné řešení: y=[(1-c)/4]x 2 +c ] 2)nesymetrické body a)a[-2;6], B[1;3] b)a[1;4], B[-1;-2] c)a[1;2], B[-2;3] [řešení např.: y=3/2x 2 +1/2x+1 nebo y=x 2 +2, obecné řešení: y=(2-0,5c)x 2 +(1-0,5c)x+c, c R ] [řešení např.: y=-x 2 +3x+2 nebo y=-2x 2 +3x+3, obecné řešení: y=(1-c)x 2 +3x+c, c R] [řešení např.: y=2/3x 2 +1/3x+1 nebo y=1/6x 2 +1/6x+2, obecné řešení: y=(7/6-0,5c)x 2 +(5/6-0,5c)x+c, c R] ÚLOHA 7 Jsou dány tři body A, B, C. Nalezněte parabolu, která jimi prochází. A[-2;-16] B[0;2] C[4;-10] Žáci řeší úlohu podobně jako v předcházejícím případě. Volí jednotlivé parametry a,b,c a sledují chování grafu kvadratické funkce. Nalézt
parabolu procházející třemi body není jednoduché. Učitel tedy může úlohu ulehčit prozrazením jednoho nebo dvou parametrů. Někteří žáci mohou příklad řešit početně (řešením tří rovnic o třech neznámých). Řešením příkladu je rovnice: y=-2x 2 +5x+2 (Žáci naleznou jedno řešení. Učitel demonstruje, že tři body, které neleží v jedné přímce, jednoznačně určují rovnici paraboly.) Cvičení: a)a[-4;14], B[-2;0], C[1;9] b)a[-3;9], B[0;6], C[2;14] c)a[-2;12], B[0;2], C[1;6] d)a[-1;-5], B[1;5], C[3;7] [řešení: y=2x 2 +5x+2] [řešení: y=x 2 +2x+6] [řešení: y=3x 2 +x+2] [řešení: y=-x 2 +5x+1] ÚLOHA 8 Nalezněte intervaly, ve kterých se nachází průsečíky paraboly s osami. -lze využít příklady z učebnice či sbírky Tato úloha může být použita jako úvod do problematiky numerického řešení kvadratické rovnice. Žáci si musí uvědomit, že pokud parabola protíná osu x ve dvou bodech, musí najít takový interval (a;b), kde platí, že f(a)<0 a f(b)>0 nebo f(a)>0 a f(b)<0. Na pracovním listu v části Tabulka hodnot mohou žáci sledovat průběh funkce a takové intervaly objevit a svou hypotézu ověřit v grafu. Výsledek mohou dále zpřesňovat (vysvětlí-li učitel žákům princip některé z numerických metod nejspíše půlení intervalu, u pokročilejších žáků metodu tečen, regula falsi apod.), nebo mohou měnit délku intervalů přímo v tabulce (zmenšit hodnotu periody). Učitel by neměl zapomenout na příklady funkcí, které osu x neprotínají nebo jejichž vrchol na ose x leží.