3. Implicitní funkce.jedánvztah e xy +siny+ y 2 =abod[2,0]. () Dokažte,žetímtovztahemjedefinovánahladkáfunkce y=ϕ(x)vjistém okolíbodu2,prokterouplatí ϕ(2)=0; (2) napišterovnicitečnykegrafufunkce ϕvbodě2. 2.Jedánvztah x 2 +2y 2 +3z 2 + xy z 9=0abod[, 2,]. () Dokažte,žetímtovztahemjedefinovánahladkáfunkce z= z(x,y)vjistém okolí Ubodu[, 2],prokterouplatí z(, 2)=; (2) určete z, z vokolí U; (3) napišterovnicitečnérovinykegrafufunkce z= z(x,y)vbodě[, 2]. 3.Jedánavztah x 2 +2xy 2 + y 4 y 5 =0abod[0,].Dokažte,že () tímtovztahemjedefinovánahladkáfunkce y= ϕ(x)vjistémokolíbodu0, prokterouplatí ϕ(0)=; (2) spočtěte ϕ (0)aϕ (0); (3) funkce ϕrostevjistémokolíbodu0. 4.Dokažte,žemnožinabodů[x,y,z] R,kterésplňujívztah x 2 + y 2 + z 2 3xyz=0 jevokolíbodu[,,]popsatelnájakograffunkce f(x,y)definovanénajistém okolíbodu(,),prokterouje f(,)=. Určetetotálnídiferenciálvbodě[,] anapišterovnicitečnérovinykegrafufunkce fvtomtobodě. 5. Spočtěte parciální derivace funkce z v bodě[0, ], která je implicitně zadaná rovnicí x z =log z y asplňuje z(0,)=. 6. V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí danéhobodu[x 0,y 0 ]implicitnězadanoufunkci(proměnné x). Spočtěteprvnía druhouderivacitétofunkcevbodě x 0. sin(siny)+cos(sin x)=sin(cos x)+cos(cos y),[π/2,0] arcsin(x+y)+arccos(x 2 + y 2 )=π/2,[0,0] x 3 + y 3 =log x2 +y 2 2,[, ] e 2x+7y log(+x 2 + y 2 )=+y,[0,0] arctg(x+y 2 +cos(x+y)) sin(x+y)= π 4,[0,0] x 3 + y 7 = e xy2 siny,[,0] sin 2 (e x+y )+cos ( 2 e 2y x) =,[0,0] log x 2 + y 2 =arctg y x,[,0] y 2siny= x,[0,0] y=2xarctg y x,[,0] V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu[x 0,y 0 ]implicitnězadanoufunkci(proměnné x). Spočtěteprvníadruhou derivacitétofunkcevbodě x 0.
2 7.sin(xy)+cos(xy)=, [π,0] 8.2x 4 y+ x 3 + y 3 + xy=,[,0] 9.log(x 2 + y 2 +cos(xy))+y=0,[0,0] 0.log(x+arctg y+)+xy=0,[0,0]. x y + y x =2y, [,] 2. y 3 x 2 + y 2 x 2 +sin y=0,[0,0] 3. e sin x2 + e sin xy =2y+2,[0,0] 4. π/2+arcsin(x+y 2 )=arccos(y+ x 2 ),[0,0] 5.arctg(y 2 + xy)=e xy cos x+y,[0,0] V následujících úlohách ukažte, že uvedená soustava rovnic určuje v jistém okolídanéhobodu[x 0,y 0,u 0,v 0 ]implicitnězadanéfunkce u,v(proměnných x,y). Spočtěteoběprvníparciálníderivacetěchtofunkcívbodě[x 0,y 0 ]. 6. 7. 8. x=ucos v u y= usin v u, [,0,,0] x=e u + usin v y= e u ucos v, [e+,e,,π/2] xe u+v +2uv= ye u v u =2x, [,2,0,0] +v
3.Rovnicetečny: y=0. Výsledky 2.Rovnicetečnéroviny: L(x,y)= 7 5 (y+2)+. 3. ϕ (0)=2, ϕ (0)= 6. 4.Rovnicetečnéroviny: L(x,y)= (x ) (y )+. 5. z (0,)=, z (0,)= 6.., 0 6.2., 4 6.3. /2, /8 6.4. /3, 9/54 6.5. /2, 3/8 6.6. 3, 2 6.7.2, 0 6.8., 2 6.9.2, 0 6.0.0, 0 7. Položme F(x,y)=sin(xy)+cos(xy). Funkce FjedefinovánanaR 2 aprojejíparciálníderivaceplatí: (x,y)=cos(xy) y sin(xy) y, (x,y)=cos(xy) x sin(xy) x. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace, tj. F C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(π,0)=0a (π,0)=π 0. Tímjsmeověřili,že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu[π, 0] implicitně zadanou funkci proměnné sin(xϕ(x))+cos(xϕ(x))=, cos(xϕ(x)) (ϕ(x)+xϕ (x)) sin(xϕ(x)) (ϕ(x)+xϕ (x))=0, sin(xϕ(x)) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2 +cos(xϕ(x)) (2ϕ (x)+xϕ (x)) cos(xϕ(x)) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2 sin(xϕ(x)) (2ϕ (x)+xϕ (x))=0. Dosadíme-li x=πapoužijeme-li ϕ(π)=0,dostaneme ϕ (π)=0aϕ (π)=0. 8. Položme F(x,y)=2x 4 y+ x 3 + y 3 + xy. Funkce FjedefinovánanaR 2 aprojejíparciálníderivaceplatí: (x,y)=8x3 y+3x 2 + y, (x,y)=2x4 +3y 2 + x. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace, tj. F C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(,0)=0a (,0)=3 0. Tímjsmeověřili,že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu[, 0] implicitně zadanou funkci proměnné
4 2x 4 ϕ(x)+x 3 + ϕ(x) 3 + xϕ(x) =0, 8x 3 ϕ(x)+2x 4 ϕ (x)+3x 2 +3ϕ(x) 2 ϕ (x)+ϕ(x)+xϕ (x)=0, 24x 2 ϕ(x)+8x 3 ϕ (x)+8x 3 ϕ (x)+2x 4 ϕ (x)+6x+6ϕ(x)(ϕ (x)) 2 +3ϕ(x) 2 ϕ (x) +ϕ (x)+ϕ (x)+xϕ (x)=0. Dosadíme-li x=apoužijeme-li ϕ()=0,dostaneme ϕ ()= aϕ ()=4. 9. Položme F(x,y)=log(x 2 + y 2 +cos(xy))+y. Funkce F jedefinovánanajistéotevřenémnožině G(lzeukázat,žedokonce G= R 2 )obsahujícíbod[0,0]aprojejíparciálníderivaceplatí: (x,y)= x 2 + y 2 (2x sin(xy) y), +cos(xy) (x,y)= x 2 + y 2 (2y sin(xy) x)+. +cos(xy) Obě parciální derivace jsou na G spojité, stejně jako jejich parciální derivace, tj. F C 2 (G).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tímjsmeověřili,že log(x 2 + ϕ(x) 2 +cos(xϕ(x)))+ϕ(x)=0, x 2 + ϕ(x) 2 +cos(xϕ(x)) (2x+2ϕ(x)ϕ (x) sin(xϕ(x))(ϕ(x)+xϕ (x))) + ϕ (x)=0, (x 2 + ϕ(x) 2 +cos(xϕ(x))) 2 (2x+2ϕ(x)ϕ (x) sin(xϕ(x))(ϕ(x)+xϕ (x))) 2 + x 2 + ϕ(x) 2 +cos(xϕ(x)) (2+2(ϕ (x)) 2 +2ϕ(x)ϕ (x) cos(xϕ(x))(ϕ(x)+xϕ (x)) 2 sin(xϕ(x))(2ϕ (x)+xϕ (x)))+ϕ (x)=0. Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)=0aϕ (0)= 2. 0. Položme F(x,y)=log(x+arctg y+)+xy. Funkce Fjedefinovánanajistéotevřenémnožině Gobsahujícíbod[0,0]aprojejí parciální derivace platí: (x,y)= x+arctg y+ + y, (x,y)= x+arctg y+ +y2+ x.
Obě parciální derivace jsou na G spojité, stejně jako jejich parciální derivace, tj. F C 2 (G).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tímjsmeověřili,že log(x+arctg ϕ(x)+)+xϕ(x)=0, ( ) x+arctg ϕ(x)+ + ϕ (x) +ϕ(x) 2 + ϕ(x)+xϕ (x)=0, ( ) 2 (x+arctg ϕ(x)+) 2 + ϕ (x) +ϕ(x) 2 + x+arctg ϕ(x)+ ϕ (x)(+ϕ(x) 2 ) 2ϕ (x)ϕ (x)ϕ(x) (+ϕ(x) 2 ) 2 +ϕ (x)+ϕ (x)+xϕ (x)=0, Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)= aϕ (0)=2.. Položme F(x,y)=x y + y x 2y. Funkce Fjedefinovánanaotevřenémnožině G=(0,+ ) (0,+ ),kteráobsahuje bod[, ]. Pro parciální derivace F platí: (x,y)=yxy + y x log y, (x,y)=xy log x+xy x 2. Obě parciální derivace jsou na G spojité, stejně jako jejich parciální derivace, tj. F C 2 (G).Dáleplatí F(,)=0a (,)= 0. Tímjsmeověřili,že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu[, ] implicitně zadanou funkci proměnné x ϕ(x) + ϕ(x) x 2ϕ(x)=0. Tento vztah si přepišme na tvar Nyní postupně obdržíme e ϕ(x)log x e ϕ(x)log x +e xlog ϕ(x) ( ϕ (x)log x+ ϕ(x) x ( ϕ (x)log x+ ϕ(x) x e ϕ(x)log x + e xlog ϕ(x) 2ϕ(x)=0. +e xlog ϕ(x) ) + e xlog ϕ(x) ( log ϕ(x)+ xϕ (x) ϕ(x) ) 2 ( + e ϕ(x)log x ϕ (x)log x+2 ϕ (x) x ( ) 2 log ϕ(x)+ xϕ (x) ϕ(x) ( ϕ (x) (x)+xϕ (x))ϕ(x) xϕ (x)ϕ (x) ϕ(x) +(ϕ ϕ(x) 2 ) 2ϕ (x)=0, ϕ(x) ) x 2 ) 2ϕ (x)=0. 5
6 Dosadíme-li x=apoužijeme-li ϕ()=,dostaneme ϕ ()=aϕ ()=4. 2. Položme F(x,y)=y 3 x 2 + y 2 x 2 +sin y. Funkce FjedefinovánanaR 2.Proparciálníderivace Fplatí: (x,y)=2y3 x+2y 2 x, (x,y)=3y2 x 2 +2yx 2 +cos y. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace, tj. F C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tímjsmeověřili,že Postupně obdržíme ϕ(x) 3 x 2 + ϕ(x) 2 x 2 +sin ϕ(x)=0. 3ϕ(x) 2 ϕ (x)x 2 +2ϕ(x) 3 x+2ϕ(x)ϕ (x)x 2 +2ϕ(x) 2 x+cos ϕ(x) ϕ (x)=0, 6ϕ(x)ϕ (x)ϕ (x)x 2 +3ϕ(x) 2 ϕ (x)x 2 +6ϕ(x) 2 ϕ (x)x+6ϕ(x) 2 ϕ (x)x +2ϕ(x) 3 +2ϕ (x)ϕ (x)x 2 +2ϕ(x)ϕ (x)x 2 +4ϕ(x)ϕ (x)x +4ϕ(x)ϕ (x)x+2ϕ(x) 2 sinϕ(x) ϕ (x)ϕ (x)+cos ϕ(x) ϕ (x)=0. Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)=0aϕ (0)=0. 3. Položme F(x,y)=e sin x2 + e sin xy 2y 2. Funkce FjedefinovánanaR 2.Proparciálníderivace Fplatí: (x,y)=esin x 2 cos x 2 2x+e sin xy cos xy y, (x,y)=esin xy cos xy x 2. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace, tj. F C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 2 0. Tímjsmeověřili,že Postupně obdržíme e sin x2 + e sin xϕ(x) 2ϕ(x) 2=0. e sin x2 cos x 2 2x+e sin xϕ(x) cos xϕ(x) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2ϕ (x)=0, e sin x2 (cos x 2 2x) 2 e sin x2 sin x 2 4x 2 +e sin x2 cos x 2 2+e sin xϕ(x) (cos xϕ(x) (ϕ(x)+xϕ (x))) 2 e sin xϕ(x) sin xϕ(x) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2 + e sin xϕ(x) cos xϕ(x) (2ϕ (x)+xϕ (x)) 2ϕ (x)=0.
7 Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)=0aϕ (0)=. 4. Položme F(x,y)=π/2+arcsin(x+y 2 ) arccos(y+ x 2 ). Bod[0,0]jevevnitřkudefiničníhooborufunkce F-můžemetedyspočítatparciální derivacefunkce Fnajistémokolí Gbodu[0,0]: (x,y)= (x+y2 ) 2+ (x,y)= 2x (y+ x2 ) 2 2y (x+y2 ) 2+ (y+ x2 ) 2. Oběparciálníderivacejsounajistémokolíbodu[0,0]spojitéanavíctamjsoujejich parciálníderivacespojité,tj. f C 2 (G).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu[0, 0] implicitně zadanou funkciproměnné x,kterájetřídy C 2.Funkcioznačme ϕajejíderivacevypočítejme postupným arcsin(x+(ϕ(x)) 2 )+π/2 arccos(ϕ(x)+x 2 )=0, +2ϕ(x)ϕ (x) ϕ (x)+2x (x+(ϕ(x))2 ) 2+ (ϕ(x)+x2 ) 2=0, 2 ( (x+(ϕ(x))2 ) 2 ) 3 2 ( 2(x+(ϕ(x)) 2 )) (+2ϕ(x)ϕ (x)) 2 +( (x+(ϕ(x)) 2 ) 2 ) 2 (2(ϕ (x)) 2 +2ϕ(x)ϕ (x)) 2 ( (ϕ(x)+x2 ) 2 ) 3 2 ( 2(ϕ(x)+x 2 )) (ϕ (x)+2x) 2 +( (ϕ(x)+x 2 ) 2 ) 2 (ϕ (x)+2)=0. Dosadíme-li x=0avyužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)= aϕ (0)= 4. 5. Položme F(x,y)=arctg(y 2 + xy) e xy +cos x y. Funkce FjedefinovánanaR 2 aprojejíparciálníderivaceplatí: (x,y)= y +(y 2 + xy) 2 exy y sin x, (x,y)= 2y+ x +(y 2 + xy) 2 exy x. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace,tj. f C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tímjsmeověřili,že
8 arctg((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) e xϕ(x) +cos x ϕ(x)=0. 2ϕ(x)ϕ (x)+ϕ(x)+xϕ (x) +((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) 2 (ϕ(x)+xϕ (x))e xϕ(x) sinx ϕ (x)=0, 2((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) (+((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) 2 ) 2 (2ϕ(x)ϕ (x)+ϕ(x)+xϕ (x)) 2 + 2(ϕ (x)) 2 +2ϕ(x)ϕ (x)+ϕ (x)+ϕ (x)+xϕ (x) +((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) 2 (ϕ (x)+ϕ (x)+xϕ (x))e xϕ(x) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2 e xϕ(x) cos x ϕ (x)=0. Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)=0aϕ (0)=. 6. u (,0)=, u (,0)=0, (,0)=0, (,0)= u 7. (e+,e) = /(+e), (e+,e) = e/(e+), u (e+,e) = 0, (e+,e)= 8. u (,2)=0, u (,2)=, (,2)= /3, (,2)=/3