Úlohy domácího kola kategorie C

47. ročík Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie C 1. Pro libovolé trojciferé číslo určíme jeho bytky při děleí čísly 2, 3, 4,..., 10 a ískaých devět čísel pak sečteme. Zjistěte ejmeší možou hodotu takového součtu. Řešeí. Oačme S() součet uvedeých bytků trojciferého čísla. Vy světlíme, proč S() 3. Pro liché je S() (uvažte bytky při děleí sudými čísly 2, 4, 6, 8, 10). Dále tedy echť je sudé. Pokud 4, tak S() 4 ( dává při děleí čísly 4 a 8 bytek aspoň 2). Nechť je dále dělitelé čtyřmi. Pokud 8, tak S() 4 (bytek 4 při děleí číslem 8). Proto echť je dále dělitelé osmi. Pokud 3, tak S() 3 ( dává při děleí čísly 3, 6, 9 bytek aspoň 1). Nechť je dále dělitelé osmi a třemi. Pokud 9, tak S() 3 (bytek aspoň 3 při děleí číslem 9). Nechť dále 8 a 9. Pokud, tak S() 3 (bytek aspoň 1 při děleí číslem a bytek aspoň 2 při děleí číslem 10). Předpokládejme proto, že, 8 a 9. Pak přicháejí do úvahy už je čísla 360 a 720, pro ěž S(360) = 3 a S(720) = 9. Tím je erovost S() 3 dokáaá. Zároveň jsme jistili, že S() = 3 apř. pro = 360. (Je také S(840) = 3.) Jié řešeí. Uvažujme je te případ, kdy číslo eí dělitelé ejvýše dvěma čísel 2, 3,..., 10 (jiak S() 3). Pokud je teto edělitel jediý, je to utě číslo 7 (musí to být prvočíslo, jehož dvojásobek je větší ež 10), takže 360. Pokud jsou takoví edělitelé dva, musí to být ěkterá dvojic a 10, 8 a 9, 7 a 8, 7 a 9, 4 a 8. V každém případě 6, takže sado ukážeme, že jede obou kladých bytků je větší ež 1, tedy S() 3. Návodé úlohy: 1. Jaké jsou všechy možé součty bytků čísla po děleí čísly 3, 6 a 9? 2. Najděte všecha čtyřmístá čísla, která po děleí čísly 4,, 6, 7 a 8 dávají bytky a) 1, 1, 1, 1, 1; b) 3, 4,, 6, 7; c) 1, 1, 1, 4, 1. 1

Rošiřující úloha: Určete všecha pěticiferá čísla s ásledující vlastostí: apíšeme-li a sebou (leva doprava) bytky, které dává číslo po děleí čísly 2, 3, 4, a 6, dostaeme opět původí číslo. [11 311 (4 C S 3)] 2. Najděte všechy trojúhelíky C, pro které platí a + v a = b + v b při obvyklém oačeí stra a výšek trojúhelíku. Řešeí. Pro obsah S trojúhelíku C platí S = a v a 2 = b v b 2. (1) Po dosaeí do daé rovosti dostaeme rovost a+ 2S a = b+ 2S b. Jedoduchou úpravou odtud dále plye a b = 2S a b, eboli (a b)(ab 2S) = 0. Je ab tedy buď a = b (a tedy v a = v b ), ebo S = ab 2 (tj. v a = b, úhel C je pravý a v b = a). Sado se přesvědčíme, že oba případy vyhovují. Podmíce úlohy vyhovují všechy rovorameé trojúhelíky se áklad ou a všechy pravoúhlé trojúhelíky s přepoou (a žádé jié). Návodé úlohy: 1. Určete všechy trojúhelíky C, pro jejichž obsah S platí 8S 2 = b 2 c 2. 2. Určete všechy trojúhelíky C, v ichž pro velikosti stra a výšek platí a) a + 1 v a = c + 1 v c ; b) a + 1 v c = c + 1 v a. [a) a = c; b) a = c ebo S = 1 2.] Rošiřující úloha: Je dáo přiroeé číslo. Určete všechy trojúhelíky C, pro ěž platí a + v a = c + v c. [Jediě trojúhelíky, v ichž a = c, aebo jež mají pravý úhel při vrcholu.] 3. Sto dětí se rodělilo do tří družstev, a C. Poté, co jedo dítě přestoupilo do, jedo do C a jedo C do, se průměrá hmotost dětí výšila v družstvu o 120 g, v družstvu o 130 g, atímco v družstvu C se sížila o 240 g. Kolik dětí bylo v jedotlivých družstvech? 2

Řešeí. Oačme a, b a c po řadě počty dětí v družstvech, a C, dále echť a, b a c je po řadě průměrá hmotost (v gramech) dětí v družstvech, a C před výměou. Nakoec oačme a 1, b 1 a c 1 po řadě hmotost (v gramech) dítěte, které přestoupilo do, do C a C do. Celková hmotost dětí v družstvu byla před výměou a a. Z podmíky v adáí sestavíme ásledující rovici a a a 1 + c 1 = a + 120. a Po jedoduché úpravě vyjde Obdobě dostaeme i a 1 + c 1 = 120a. b 1 + a 1 = 130b a c 1 + b 1 = 240c. Sečteím těchto tří rovic dostaeme (po vyděleí deseti a dalších úpravách) 12a + 13b = 24c = 24(100 a b), 36a + 37b = 2 400, 36(a + b) + b = 2 400 = 36 66 + 24. Z podmíky 0 < b < 100 a posledí rovice vyplývá, že mohou astat je tři ásledující případy: a) a + b = 66, b = 24; b) a + b = 6, b = 60; c) a + b = 64, b = 96. řejmě je prvé dva vedou k přípustým řešeím (a > 0). Ještě ověříme, da obě ískaá řešeí skutečě vyhovují podmíkám úlohy. V případě a) máme a = 42, b = 24, c = 34; c 1 a 1 = 040 a a 1 b 1 = 3 120, atímco v případě b) máme a =, b = 60, c = 3; c 1 a 1 = 600 a a 1 b 1 = 7 800. Tyto výsledky řejmě mohou odpovídat reálé situaci. Odpověď : Počty dětí v družstvech,, C byly po řadě buď 42, 24, 34, aebo, 60, 3. Návodé úlohy: 1. V oboru přiroeých čísel řešte rovici a) 7 + 8y = 163; b) 7 + 8y = 1 998. [a) = 21 8s, y = 2 + 7s, s {0, 1, 2}; b) = 282 8s, y = 3 + 7s, s {0, 1,..., 3}.] 2. Průměrá výška skupiy děvčat je 16 cm. Když k im přibyla Jaa, jejíž výška je meší ež 2 m, většila se průměrá výška ve skupiě a 171 cm. Kolik ejméě a kolik ejvýše děvčat může být po jejím příchodu ve skupiě? [Nejméě 2, ejvýše.] Rošiřující úloha: Opravte číslo a pravé straě jedé rovic + 2y = 43, 2 + y = 0, + y = 30, y = 4 tak, aby opraveá soustava měla řešeí v oboru reálých čísel. Napište opraveou soustavu a její řešeí. [2 + y = 47, = 17, y = 13 (38 C S 2)] 3

4. Uvitř daého pravoúhlého rovorameého trojúhelíku C s přepoou volíme libovolě bod X. Sestrojíme přímky p a q, které procháejí bodem X tak, že p a q. Trojúhelík C vytíá a přímce p úsečku KL, a přímce q úsečku MN. Určete všechy body X, pro které platí KL = 2 MN. C N N C p K X L F M p K R X M D q L N q Obr. 1 Obr. 2 Řešeí. Oačme R průsečík přímky p s výškou CD trojúhelíku C (obr. 1) a M průsečík přímky q s přepoou. Předpokládejme, že bod N leží a straě C (případ, kdy leží a straě C, vyřešíme díky souměrosti trojúhelíku C podle osy CD aalogicky). Protože KL = 2 RC, poža dovaá rovost KL = 2 MN platí, právě když RC = MN, tj. právě když MR NC, tj. právě když MDRX je čtverec. Proto DX je osa úhlu DC kolmá a C, a tedy X leží uvitř úsečky D, kde je střed stray C, eboli uvitř středí příčky trojúhelíku C rovoběžé s C. Z uvedeého je jasé, že každý vitří bod této příčky vyhovuje adáí (krají body D a evyhovují, protože ás ajímají je body X uvitř trojúhelíku C). Obdobě pro bod N a straě C dostaeme vitřek středí příčky DF (obr. 1). Odpověď : Hledaou možiu tvoří všechy vitří body dvou středích příček trojúhelíku C, jež jsou rovoběžé s jeho odvěsami. Jié řešeí. Trojúhelík C doplňme a čtverec C (obr. 2). Hle dáme ty body X uvitř trojúhelíku C, pro ěž popsaé přímky p a q vytíají a čtverci C dvě shodé úsečky KL a NN. Pak ale musí být trojúhelíky KLC a N N dva shodé rovorameé pravoúhlé trojúhelíky, to ameá, že přímky p a q jsou souměrě sdružeé podle osy stray C čtverce, tj. bod X leží a této ose. Podobě pro bod N ležící a straě C dostaeme, že bod X musí ležet a ose stray C. 4

Návodé úlohy: 1. Nechť S je střed stray rovostraého trojúhelíku C se straou a = C = 10 cm. Oačme X takový bod trojúhelíku C, který je od přímek CS a vdáleý po řadě 2 cm a 3 cm. Veďme bodem X rovoběžky s a CS. Ty protou obvod trojúhelíku C ve čtyřech bodech. Vypočítejte obsah čtyřúhelíku určeého těmito čtyřmi body. [(1 3 9) cm 2 ] 2. Je dá ostroúhlý trojúhelík C a jeho libovolý bod X. odem X veďme přímku kolmou a C a její průsečík se straou C oačme M. Její druhý průsečík s obvodem trojúhelíku C oačme N. Popište všechy ty body X, pro ěž platí MX = NX. [Sjedoceí úseček U a CU, kde U je střed výšky vrcholu a strau C.]. Řešte soustavu 7[] + 2y = 117,4, + 2[y] = 91,9, kde [a] je tv. celá část reálého čísla a, tj. celé číslo, pro které platí [a] a < [a] + 1. Například [3,7] = 3 a [ 3,7] = 4. Řešeí. Nechť [] = 0 a y [y] = y 0, kde 0, y 0 (0 0, y 0 < 1) jsou tv. lomkové části čísel, y. Daá soustava tak přejde a tvar 7[] + 2[y] = 117,4 2y 0, [] + 2[y] = 91,9 0. V obou rovicích musí být a pravých straách celá čísla, proto y 0 může a bývat poue hodot 0,2 ebo 0,7. Roeberme oba tyto případy: 117 7[] a) Nechť y 0 = 0,2, tedy [y] =. 2 Odečteím rovic dostáváme 2[] = 2,1 + 0. Protože 0 0 <, může [] abývat poue hodot 13, 14 a 1. by bylo [y] celé, musí být [] avíc liché číslo. Potom dostáváme [] 0 [y] y 13 0,18 13 13,18 13,2 1 0,98 6 1,98 6,2 116 7[] b) Nechť y 0 = 0,7, tedy [y] =. 2 Odečteím rovic dostáváme 2[] = 24,1 + 0. Protože 0 0 <, může [] abývat poue hodot 13 a 14. by bylo [y] celé, musí být [] avíc sudé číslo. Potom dostáváme [] 0 [y] y 14 0,78 9 14,78 9,7

Soustava má tři řešeí: = 13,18, y = 13,2; = 1,98, y = 6,2 a = 14,78, y = 9,7. Jié řešeí. Z prví rovice daé soustavy plye, že lomková část čísla y je buď 0,2, ebo 0,7. Podobě druhé rovice usoudíme, že lomková část čísla je rova buď číslu 0,18 (= 0,9 : ), ebo číslu 0,18 + 0,2k pro vhodé k {1, 2, 3, 4}. Jeda ( desíti) možostí tedy je, že = [] + 0,18 a y = [y] + + 0,2. Tehdy po dosaeí dostaeme pro (celočíselé) eámé [], [y] soustavu 7[]+2[y] = 117, []+2[y] = 91, která má jedié řešeí [] = [y] = 13. Podobě se posoudí ostatích devět možostí, v sedmi ich vyjde pro eámé [], [y] soustava be celočíselých řešeí. Celou diskusi le poěkud krátit, a to tak, že ejprve obecě dosadíme = [] + 0,18 + 0,2k a y = [y] + 0,2 + 0,j (kde k {0, 1, 2, 3, 4} a j {0, 1}), vypočteme [] = 13 + 1 2 (k j) a [y] = 13 + j 2k + 1 4 (k + j), odkud už sado určíme vyhovující dvojice (k, j): (0, 0), (4, 0) a (3, 1). Návodé úlohy: 1. Načrtěte grafy fukcí (a itervalu 10, 10 ) y = [], y = [2], y = [ 6,3], y = + [], y = []. 2. V oboru kladých reálých čísel řešte rovici a) + [] = 68,; b) [] = 68,; c) + [] = 97; d) [] = 97. [a) = 34,; b) = 8,62 ejprve vysvětlete, proč 8 < < 9; c) a d) emá řešeí.] Rošiřující úlohy: 1. Najděte aspoň jedu dvojici celých čísel a, b tak, aby pro každé celé číslo platilo [ + a ] + [ + b ] [ 2 ] =. [Např. a = 0, b = 2 (40 S 2).] 2. Je fukce y = 2 [ 2 ] periodická? Pokud ao, určete její periodu. [Neí.] 6. Sestrojte deltoid se straami 12 cm a 13 cm, který je svými úhlopříčkami roděle a čtyři trojúhelíky, jež jsou čtyřmi stěami ějakého čtyřstěu. Zhotovte papírový model tohoto čtyřstěu. Řešeí. Na obr. 3 je áorě výchoí deltoid, a obr. 4 síť odpovídajícího čtyřstěu. Z pravoúhlých trojúhelíků plyou pro úseky, y a úhlopříček deltoidu erovosti 12 >, 12 > y, 13 > > y. ( ) 6

C 12 y 12 k D 13 13 T 3 T 2 T 1 k m m Obr. 3 Obr. 4 Nutě tedy musí být trojúhelík T 1 shodý s trojúhelíkem D ( a D jsou ejdelší e všech stra uvažovaých trojúhelíků). Mohou astat dva pří pady: a) Nechť k = a m = (obr. ). V tom případě se musí shodovat troj úhelíky se straami, y, 12 a,,. Protože y <, musí být = y a = 12. Potom = 13 2 2 =. V 12 13 12 13 13 V V Obr. Obr. 6 Obr. 7 Síť pak bude mít tvar uvedeý a obr. 6 a kýžeý čtyřstě V řejmě 7

eistuje: dostaeme ho tak, že trojúhelík V otočíme kolem přímky o 90 (tělesová výška vrcholu V bude ležet ve stěě V ). Kostrukce odpovídajícího deltoidu je řejmá, apř. 1. ; podle věty sss: = 13 cm, = cm a = 12 cm. 2. C; podle věty Ssu: C = 90, C = 12 cm a C /. 3. D; je střed úsečky D. b) Nechť k = a m = (obr. 7). Pak se ale musí rovorameé troj úhelíky o straách,, a,, shodovat s pravoúhlým trojúhelíkem s odvěsami, y a přepoou 12. Odtud plye = y = a m = = 12, což je ve sporu s erovostmi ( ). Úloha má tedy jedié řešeí popsaé v části a). Návodé úlohy: 1. Na itce je avěšeo kmitající ávaží. Šířka rokmitu je 6 cm, výškový rodíl mei ejižší a ejvyšší polohou ávaží je 8 cm. Vypočítejte délku r ávěsu. [r = 3 cm] 2. Řešte původě adaou úlohu (pro deltoid) pro a) čtverec se straou 12 cm, b) obdélík se straami 12 cm a 13 cm, c) kosočtverec se straou 12 cm, d) kosodélík se straami 12 cm a 13 cm. Rošiřující úlohy: 1. Jeík rořeal koveí papírový mohostě a jedotlivé stěy (podél hra) a poslal je Fratíkovi. Fratík opět těchto stě slepil koveí mohostě. Je možé, že Jaův a Fratiškův mohostě ebyly shodé? [Uvažte apř. těleso, které dostaete spojeím dvou shodých jehlaů s pravidelou podstavou, které však ejsou pravidelé (kolmý průmět jejich vrcholu epade do středu podstavy).] 2. Nad straami ostroúhlého trojúhelíku C jsou vějšku sestrojey půlkružice. Oačme po řadě K, L, M průsečíky prodloužeých výšek trojúhelíku vrcholů,, C s těmito půlkružicemi. Dokažte, že obraec MKCL tvoří plášť čtyřstěu (trojbokého jehlau s podstavou C). [46 I 6] 8