Doplňkoé kpitoly Dynik I, 13. přednášk Obsh přednášky : dynik eltiního pohybu zákldy teoie ázu ektiní pohyb Dob studi : si 1 hodin Cíl přednášky : seznáit studenty se způsobe řešení dyniky eltiního pohybu, se zákldy teoie ázu se zákonitosti ektiního pohybu.
Dynik eltiního pohybu Dynik I, 13. přednášk Jednou ze zláštních kpitol dyniky je dynik eltiního pohybu. Předste si nákldní uto, n jehož kobě leží nákld o hotnosti. Auto se ozjíždí se zychlení unáš (pohyb ut je unášiý pohybe). Zychlení ut je tk elké ( tření n kobě tk lé) že nákld n kobě poklouzne sěe dozdu. Poti sěu tohoto klouzého pohybu působí třecí síl T., unáš N G T Pohyboá onice nákldu je : Zychlení nákldu je : Nákld se pohybuje onoěně zychlený pohybe, po nějž pltí : = Fi = T = = konst = t + 1 x 0 x = t + 0 t + 0 Toto je pohyb nákldu ůči Zei. Dáh x je zdálenost od nějkého peného objektu, npř. od budoy, ychlost zychlení jsou ychlost zychlení ůči Zei. Jk se le nákld pohybuje ůči ozidlu? Npř. z jkou dobu přepdne přes okj? T (předpokládáe, že toto zychlení je enší než zychlení ut < unáš.
Dynik eltiního pohybu Dynik I, 13. přednášk Definuje koě dáhy x nákldu ůči Zei ještě dáhu x unáš unášiého pohybu ut ůči Zei konečně x el nákldu ůči ozu. Deice těchto souřdnic jsou ychlost zychlení nákldu ůči Zei, unáš unáš ut ůči Zei konečně eltiní ychlost el eltiní zychlení el nákldu ůči ozu. el, el x el x unáš x, unáš D unáš N G T Po dáhy x, esp. po příslušné polohoé ektoy pltí : x = x uns + x el Po dojí deici dále : = uns + el A konečně po ynásobení hotností : = uns + el Ronici ůžee přeuspořádt : el = uns Dle zákldní pohyboé onice je pní člen n pé stně : = Fi Duhý člen n pé stně ůžee nhdit d Alebetoou silou : uns = D Pohyboá onice eltiního pohybu pk je : = F + D el el = D i uns T uns uns
Dynik eltiního pohybu Řešení dyniky eltiního pohybu pk ůžee shnout tkto : Unášiý pohyb nhdíe příslušnou d Alebetoou silou eltiní pohyb řešíe jko by se jednlo o zákldní pohyb, přičež do součtu sil zhnee i tuto d Alebetou sílu. Dynik I, 13. přednášk el, el x el x unáš x, unáš D unáš N G T
Dynik I, 13. přednášk Postup budee deonstot n úloze tetického kydl. Hotný bod o hotnost je zěšen n nehotné záěsu délky. Záěsný bod se pohybuje s konstntní zychlení u. Poloh záěsu s hotný bode je dán úhle sklonu od sislice. N hotný bod působí kční tíhoá síl G ekční síl záěsu S. Koě toho zedee d Alebetou sílu D u jko náhdu unášiého pohybu záěsného bodu. u Dynik eltiního pohybu t D u ω, ε Vlstní pohyboou onicí je pní z obou onic : Duhá ůže sloužit k ýpočtu síly záěsu : n G S D u = Pk již ůžee sestit pohyboou onici tetického kydl n jko by pené záěsu. t = Du cos G sin n = S Du sin G cos Zde tečné noáloé zychlení jsou : t = ε = && = ω = & t n = ε = cos g sin u u S = ω + sin + g cos u Vlstní pohyboou onici pk ještě upíe : ε = u cos g sin
Dynik eltiního pohybu Dynik I, 13. přednášk Postup budee deonstot n úloze tetického kydl. Hotný bod o hotnost je zěšen n nehotné záěsu délky. Záěsný bod se pohybuje s konstntní zychlení u. Poloh záěsu s hotný bode je dán úhle sklonu od sislice. N hotný bod působí kční tíhoá síl G ekční síl záěsu S. Koě toho zedee d Alebetou sílu D u jko náhdu unášiého pohybu záěsného bodu. u Vlstní pohyboá onice je nelineání difeenciální onicí II. řádu : d u g ε = = cos sin dt && g u cos + sin = 0 t D u ω, ε n G S Řešení uzřené tu = (t) neuíe nlézt. Můžee poést řešení nueické. t ω ε Zjíé ( jednoduché) je řešení ustáleného stu. Kýý pohyb jse popsli jko netluený. Jk šk již bylo zíněno, kždé kitání je tluené (zde npř. odpoe zduchu). Čse se tedy kýání ustálí jisté poloze (= ust ), úhloé zychlení pk již bude nuloé ε=0. g sin u cos = ust ust 0 tn ust = u g
Dynik I, 13. přednášk Postup budee deonstot n úloze tetického kydl. Hotný bod o hotnost je zěšen n nehotné záěsu délky. Záěsný bod se pohybuje s konstntní zychlení u. Poloh záěsu s hotný bode je dán úhle sklonu od sislice. N hotný bod působí kční tíhoá síl G ekční síl záěsu S. Koě toho zedee d Alebetou sílu D u jko náhdu unášiého pohybu záěsného bodu. u Altentiní řešení je difeenciální onice I. řádu : dω u g ε = ω = cos sin d Dynik eltiního pohybu t D u ω, ε n G S V toto přípdě nleznee řešení poěně sndno sepcí poěnných integoání. u g ω dω = cos sin d ω ω0 ω dω = 0 u cos g sin d 1 1 u g ω ω0 = 0 u g g při počátečních podínkách : t=0... =0, ω=0 ω = sin + cos g g po xiální úhel ýkyu pltí ω (=x) = 0 : u sin x + cos x 0 = ( sin sin ) + ( cos cos ) 0
Dynik eltiního pohybu Dynik I, 13. přednášk Jk íe z teoie součsných pohybů, ýsledné zychlení je dáno třei složki (příspěky) : zychlení unášiého pohybu, zychlení eltiního pohybu, Coiolisoo zychlení. = uns + el + Co Po oznásobení hotností : = uns + el + Co Po přeuspořádání : el = uns Co Pní člen n pé stně je (dle zákldní pohyboé onice) : = Fi Duhý člen předstuje d Alebetou sílu unášiého pohybu : uns = Duns Třetí člen předstuje d Alebetou sílu, příslušející Coiolisou zychlení : Co = DCo kde Coiolisoo zychlení je : Co = ωuns el Pohyboá onice eltiního pohybu pk á t : = F + D + D el i uns Co Řešení dyniky eltiního pohybu pk ůžee shnout tkto : Unášiý pohyb nhdíe příslušnou d Alebetoou silou. Zedee d Alebetou sílu, příslušející Coiolisou zychlení. Reltiní pohyb řešíe jko by se jednlo o zákldní pohyb, přičež do součtu sil zhnee i obě tyto d Alebetoy síly. D D = = uns uns Co Co
Dynik I, 13. přednášk Odstřediý hč je buben, otující konstntní úhloou ychlostí ω (unášiý pohyb), optřený diální dážkou. V ní se pohybuje pojektil o hotnosti. Budee řešit eltiní pohyb pojektilu dážce (sě ρ). ω el, el Buben leží e odooné oině, tíhoá síl Co působí kolo k oině pohybu, poto s ní ω D n nebudee počítt. ρ Zychlení pojektilu je tojí : n N t = ε ρ = 0 - unášié tečné zychlení, el, el T D Co n = ω ρ - unášié noáloé zychlení, ω = konst el - eltiní zychlení, ε = 0 Co = ω el - Coiolisoo zychlení. N pojektil působí noáloá ekce N (kolo k dážce), třecí síl T = N f (f je koeficient tření) poti sěu pohybu. D Alebetoy síly jsou : D = = ε ρ = 0 unášiý pohyb, tečný sě t t Dynik eltiního pohybu Dn = n = ω ρ unášiý pohyb, noáloý sě DCo = Co Coiolisoo zychlení DCo = ω ρ& Z onice onoáhy po sě kolo k dážce yplýá : Třecí síl je : Konečně pohyboá onice eltiního pohybu je : el Co Co = ω = ω ρ& el N = DCo T = f N = f ω ρ& = D T = ω ρ f ω ρ& n
Dynik I, 13. přednášk Odstřediý hč je buben, otující konstntní úhloou ychlostí ω (unášiý pohyb), optřený diální dážkou. V ní se pohybuje pojektil o hotnosti. Budee řešit eltiní pohyb pojektilu dážce (sě ρ). Pohyboá onice eltiního pohybu : Dynik eltiního pohybu ω el, el ε = 0 el, el ω = konst ρ n Co T ω D n N D Co el el = ω ρ f ω ρ& = ρ & = ω ρ f ω ρ& ρ && + f ω ρ& ω Řešení hledáe e tu : λ t ρ = C e ρ & = C λ e && ρ = C λ Sestíe chkteistickou onici : λ + f ω λ ω = 0 Její řešení je : = f ω ± ω + ω λ t e λ t λ 1, f λ1 = ω f + 1 f λ = ω f + 1 + ( ) Zde kořen kořen ( ) f ρ = 0 λ1 t λ t V řešení : ρ = C1 e + C e λ1 t λ t ρ & = C1 λ1 e + C λ e integční konstnty C 1 C učíe z počátečních podínek. t=0... ρ = 0 počáteční poloh pojektilu dážce C1 + C = 0 ρ & = 0 počáteční ychlost C λ + C λ = 0 1 1 je kldný, je záponý.
Dynik I, 13. přednášk Odstřediý hč je buben, otující konstntní úhloou ychlostí ω (unášiý pohyb), optřený diální dážkou. V ní se pohybuje pojektil o hotnosti. Budee řešit eltiní pohyb pojektilu dážce (sě ρ). Reltiní pohyb : Dynik eltiního pohybu ω el, el ε = 0 el, el ω = konst ρ n Co T ω D n N D Co ρ = C λ1 t λ t 1 e + C e Integční konstnty : λ 1 C = 1 = 0 0 1+ λ λ1 C = 0 λ 1 λ1 λ = 0 1 1 Kořen λ 1 je kldný člen C 1 e λ1 t ( gfu čeeně) předstuje exponenciální náůst. Kořen λ je záponý člen C e λ t ( gfu odře) se liitně blíží nule. f f + 1 f f + 1 40 ρ [] 0 0 C λ1 t λ t 1 e + C e C 1 e C e 0 0.005 0.01 0.015 λ1 t λ t t[s]
Zákldy teoie ázu - centální áz Dynik I, 13. přednášk Ráz těles je situce, kdy ezi dě tělesy dojde k echnické intekci po exténě kátkou dobu. V půběhu této doby dojde ke zěně ychlostí obou těles. Centální áz nstáá, jestliže ektoy ázoých sil, znikjících n noále styčné plochy, leží n spojnici středů hotnosti obou těles. Mjí pk k touto středu nuloý oent nepojeí se tedy ntáčení těles. Měje dě těles o hotnostech b. Těles se pohybují tk, že dojde k jejich zájenéu názu. Oznče kolici ke společné dotykoé oině, pocházející dotykoý bode, z noálu. Pochází-li tto noál středy hotnosti obou těles S S b, oznčíe jejich áz z centální. 0 S b0 S b n b V okžiku názu, přesněji těsně před náze, jí obě těles jisté okžité ychlosti. Tyto ychlosti ozložíe do sěu noály n do sěu kolého k noále, kteý ůžee oznčit z tečný. Tečné složky ychlosti se nebudou půběhu ázu nijk ěnit nebudee se tedy jii zbýt. Noáloé složky okžitých ychlostí těsně před náze jsou 0 b0 (nutný předpoklde zniku ázu sozřejě je 0 > b0 ). Jk se tyto ychlosti budou půběhu ázu ěnit, bude ukázáno dlší textu.
Zákldy teoie ázu - centální áz Celý áz á dě fáze. Říkeje ji náz odz. Náz je děj od pního dotyku těles ž do okžiku, kdy se jejich ychlosti yonjí. Odz pk následuje ž do okžiku, kdy se těles od sebe odpoutjí ychlosti < b. 0 S b0 S b n b 1. Náz Hybnost obou těles těsně před náze je : p = + 0 b b0 Mjí-li obě těles n konci názu společnou ychlost b, pk jejich hybnost n konci této pní fáze je : ( ) p = + b b Dynik I, 13. přednášk Potože n obě těles působí pouze nitřní síly, kteé jsou nzáje stejně elké, opčně oientoné, jejich celkoý ipuls je nuloý (ob ipulsy se nzáje odečtou), je zěn celkoé hybnosti oněž nuloá, neboli hybnost před náze po ně jsou shodné : neboli : ( ) + = + 0 b b0 b b b = + 0 b b0 + b b n
Zákldy teoie ázu - centální áz Celý áz á dě fáze. Říkeje ji náz odz. Náz je děj od pního dotyku těles ž do okžiku, kdy se jejich ychlosti yonjí. Odz pk následuje ž do okžiku, kdy se těles od sebe odpoutjí ychlosti < b.. Odz Dynik I, 13. přednášk Tto fáze je z hledisk dlšího pohybu obzlášť důležitá. Ve fázi názu dochází k defoci obou těles (působení sil, jiiž n sebe těles nzáje působí). Ve fázi odzu jí těles snhu nbýt opět půodního tu (poto se tto fáze nzýá estitucí ). I ndále n sebe nzáje působí sili, nzáje se od sebe odstčí. > Jestliže obě těles e fázi odzu dosáhnou zcel sého půodního tu (npř. kulečníkoé koule), nzee jejich áz dokonle pužný. > Jestliže obě těles dosáhnou jen částečně sého půodního tu (npř. oloěný pojektil), nzee jejich áz pužně-plstický. > Jestliže se t těles od okžiku yonání ychlostí již ůbec nezění (npř. koule z plstelíny), nzee jejich áz dokonle plstický. V toto přípdě již fáze odzu nenstne. Poítněe ( souldu s Newtonoý řešení) ztáty, spojené s tlý přetoření těles, do úbytku hybnosti. Budou-li ychlosti obou těles n konci odzu esp. b (kde sozřejě < b ), bude hybnost jednotliých těles po odzu : p = esp. pb = b b
Zákldy teoie ázu - centální áz Celý áz á dě fáze. Říkeje ji náz odz. Náz je děj od pního dotyku těles ž do okžiku, kdy se jejich ychlosti yonjí. Odz pk následuje ž do okžiku, kdy se těles od sebe odpoutjí ychlosti < b.. Odz Dynik I, 13. přednášk Definuje tz. součinitel estituce ε, yjdřující úbytek hybnosti jednotliých těles. Vyjádřee zěnu hybnosti e fázi názu odzu jednotliých těles : Δp odz = ε > Po dokonle pužný áz (ε=1) budou e fázi odzu působit stejné nitřní síly, jko e fázi názu. Jejich ipulsy budou stejné obou fázích zěn hybnosti kždého jednotliého těles při odzu bude stejná, jko zěn hybnosti téhož těles při názu. > Po pužně-plstický áz (0<ε<1) bude ipuls nitřní síly, působící n kždé těleso při odzu ε-násobně enší, než při názu. Tedy i zěn hybnosti kždého jednotliého těles při odzu bude ε-násobně enší, než zěn hybnosti téhož těles při názu. > Po dokonle plstický áz (ε=0) již e fázi odzu ůbec nedojde ke zěně tu těles, nitřní síly již při odzu nebudou působit, jejich ipuls, jkož i zěn hybnosti jednotliých těles, budou nuloé. Δp ná z
Zákldy teoie ázu - centální áz Celý áz á dě fáze. Říkeje ji náz odz. Náz je děj od pního dotyku těles ž do okžiku, kdy se jejich ychlosti yonjí. Odz pk následuje ž do okžiku, kdy se těles od sebe odpoutjí ychlosti < b.. Odz těleso : těleso b : Dynik I, 13. přednášk ε ( 0 ) = ( ) = b b Z těchto ýzů ůžee yjádřit součinitel estituce : b ε= 0 b b b b b ε b b b b0 Δp odz Δp náz Δp odz Δp náz Doszení ýzu po společnou ychlost obou těles při přechodu od názu k odzu b do těchto zthů dostááe : + = + b ychlost těles po odzu 0 b b0 b 0 b0 ε= b b ε ( ) + + ε ( ) b b0 0 b b0 0 b0 b = + ychlost těles b po odzu Čtenář sndno sá nhlédne, že po dokonle plstický áz (ε=0) je řešení shodné s konce fáze názu. Jk bylo uedeno ýše, při dokonle plstické ázu fáze odzu ůbec nenstáá. b
Zákldy teoie ázu - centální áz Dynik I, 13. přednášk Zláštní přípde ázu je situce, kdy obě těles jí stejnou hotnost ( = b =), jedno těleso je před áze klidu (npř. b0 = 0). Výše odozené ýzy po ychlost obou těles po ázu se zjednoduší n t : 1 ( 1 ε ) ( 1 ε) 1 = 0 b = + 0 Po dokonle pužný áz (ε=1) pk konečně ychází : = 0 b = 0 To znená, že pní těleso, kteé se půodně pohybolo ychlostí 0, se zstí, ztíco duhé těleso, kteé bylo půodně klidu, se bude po ázu pohybot ychlostí pního těles před áze b = 0. Jiný zláštní přípd ázu je situce, kdy duhé těleso je eli hotné klidu ( b», b0 =0). Z nuloé ychlosti duhého těles bezpostředně yplýá : b = 0 b ε + + ε = + b = 0 b + = + b ε 0 0 1 b b + ( ε) + b Uážíe-li dále, že po b» je hotnost pního těles znedbtelná ůčisoučtu hotností + b, ztíco hotnost duhého těles b je touto součtu hotností téěř on, dostááe : b 0 Tedy pní těleso se odzí potisěu ychlostí, kteá je ε-násobně enší než ychlost názu. Duhé těleso zůstne i ndále pkticky klidu. 0 ε
Rektiní pohyb Dynik I, 13. přednášk O ektiní pohybu luíe tehdy, jestliže se hotnost těles při pohybu ění. Když jse se jedné z počátečních kpitol zbýli zákone o zěně hybnosti, ěli jse n ysli ětšinou zěnu ychlosti (ť už elikosti nebo sěu). Může se šk jednt též o zěnu hotnosti. Typický příklde je ektiní pohon kety, jejíž hotnost při sploání pli klesá. Spliny jsou silou F uychloány ýtokoou ychlostí c opouštějí ketu. Podle zákon kce ekce působí n ketu stejně elká, opčně oientoná ektiní síl F R. - d F R F d c c s - ychlost kety, c - eltiní ýtokoá ychlost splin ůči ketě, s - bsolutní ychlost splin ůči okolníu postou.
F R - d s Rektiní pohyb F d c Dynik I, 13. přednášk - ychlost kety, c - eltiní ýtokoá ychlost splin ůči ketě, s - bsolutní ychlost splin ůči okolníu postou. c Z eleentání čsoý okžik dt je hotnost splin d ypuzen z kety. Vzhlede k zákonu kce ekce jsou síl F, kteou jsou spliny hány z kety, ektiní síl F R, působící n ketu, stejně elké, le opčně oientoné. Celkoý ipuls sil je tedy nuloý i zěn hybnosti dp je nuloá. Hybnost n počátku čsoého úseku dt je : p() t = kde je hotnost kety (poěnná), je její ychlost. Hybnost kety splin n konci čsoého úseku dt je : p + = d + d d ( t dt) ( ) ( ) S kde S = c- je skutečná ychlost splin. hybnost kety hybnost splin
Rektiní pohyb Je-li ipuls sil tedy i zěn hybnosti nuloá, usí pltit : dp = p( t + dt ) p( t ) = ( d) ( + d) d ( c ) = 0 + d d d d c d + d = 0 Dynik I, 13. přednášk Výz d d je eličin nekonečně lá duhého řádu, tedy liitně se blížící nule. Ronice pk á t : d c d = 0 Difeenciál hoty d yjdřuje úbytek hotnosti kety. Vyjádříe-li jej jko příůstek (jk je obyklé), tedy s opčný znénke, dostnee : Integcí této onice pk dostááe : ( ) d c d= 0 d + c d = 0 d = c 0 0 p ( t + dt ) p () t d 0 = 0 + c ln Toto jest Ciolkoského onice ektiního pohybu. Zde 0 je počáteční hotnost kety, S je hotnost splin = 0 - S je okžitá hotnost kety. 0 S
Rektiní pohyb Toto jest Ciolkoského onice ektiního pohybu. Zde 0 je počáteční hotnost kety, S je hotnost splin = 0 - S je okžitá hotnost kety. 0 = 0 + c ln d = c d d = = c d dt dt Pá stn této pohyboé onice je ektiní síl : F c d R = dt 0 S Dynik I, 13. přednášk Ronice yjdřuje náůst ychlosti kety záislosti n poklesu hotnosti kety. Z půodní difeenciální onice lze yjádřit ektiní sílu : Připoeňe, že hotnost kety se snižuje, zěn hotnosti d je tedy záponá sotná ektiní síl F R je sozřejě kldná. Pozn. : Jk se s čse ění okžitá hotnost kety (eži sploání), jká je čsoá deice této záislosti, jká je ýtokoá ychlost c, tedy ektiní síl, je poblée teodyniky nebude zde řešeno.
Dynik I, 13. přednášk Obsh přednášky : dynik eltiního pohybu zákldy teoie ázu ektiní pohyb