Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva ii 1 Zobrazeí a fukce 1 Zobrazeí defiičí obor obor hodot obraz a vzor možiy vlastosti zobrazeí reálá fukce reálé proměé. 2 Poslouposti 4 Poslouposti vlastosti posloupostí vybraé poslouposti ita poslouposti (defiice a výpočet eje pomocí defiice). 3 Poslouposti pokračováí 10 Věta o sevřeé poslouposti podílové kritérium. 4 Číselé řady 13 Sumačí otace číselé řady. 5 Expoeciálí fukce a ita fukce 17 Expoeciálí fukce a logaritmus; Limita fukce; jedostraá ita; existece ity; výpočet it. 6 Limita (pokračováí) a spojitost fukce 22 Spojitost fukce; růzé případy espojitosti; derivace; výpočet derivace. 7 Derivace fukce 27 Derivace fukce; teča ke grafu fukce. Cvičeí BI-ZMA FIT ČVUT i ZS 2015/2016
Předmluva Teto dokumet slouží jako osova cvičeí k předmětu BI-ZMA. Jeho cílem je pochopeí a osvojeí si látky probíraé a předáškách. Každá kapitola obsahuje vždy ěkolik typických řešeých příkladů a daé téma a další příklady k procvičeí či k samostému počítáí. Studetům je dále k dispozici elektroická cvičebice MARAST. V případě ejasostí týkajících se tohoto textu kotaktuje autora 1. Podrobé iformace o předmětu BI-ZMA lze dále alézt a jeho EDUXové stráce. 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz Cvičeí BI-ZMA FIT ČVUT ii ZS 2015/2016
Cvičeí č. 3 Poslouposti pokračováí Věta o sevřeé poslouposti podílové kritérium. Připomeňme větu o itě sevřeé poslouposti: echť pro poslouposti (a ) (b ) a (c ) platí i) existují ity a = c =: α R ii) existuje 0 N tak že erovost a b c platí pro každé 0 potom existuje ita poslouposti (b ) a její hodota je α. Dále také připomeňme ity probraé a předášce = 1 a = 1 a > 0! = +. Příklad 3.1: Spočtěte itu: Řešeí. Pro všecha kladá N platí 4 3 + 5. 1 4 3 + 5 9 3 = 9 3. Poslouposti dolích i horích odhadů mají stejou itu jmeovitě jedičku. Tudíž ita sevřeé poslouposti existuje a rová se rověž jedé. Příklad 3.2: Spočtěte itu 1. Příklad 3.3: Spočtěte itu: ( ( + 1)! + ( + 2)!!. Zde x ozačuje dolí celou část reálého čísla x tedy celé číslo x splňující x x < x + 1. Připomeňte si důležitou itu a v závislosti a hodotě a R a dále podílové kritérium (v itím tvaru): buď (a ) posloupost kladých čleů a echť existuje kladé q R splňujcí Potom platí ásledující tvrzeí. (a) Pokud 0 q < 1 potom a = 0. a +1 = q. a ) 1 Cvičeí BI-ZMA FIT ČVUT 10 ZS 2015/2016
(b) Pokud q > 1 potom a = +. Příklad 3.4: Vypočtěte ity 2 a) 2! b) 5 3 c) 3. a) 0 b) + c) +. Příklad 3.5: Lze o itě poslouposti (1/) =1 rozhodout a základě podílového kritéria? Připomeňme Ladauovu otaci O zavedeou a předášce. O dvou posloupostech (a ) a (b ) řekeme že a = O(b ) právě když existují kostata c > 0 a idex 0 N pro které platí a c b pro 0. Příklad 3.6: Uvažme poslouposti (2 ) ( 3 ) a (!). Rozhoděte pro které dvojice posloupostí z těchto tří platí a = O(b ). Následují další příklady vhodé k samostatému procvičeí ale je možé se jim věovat i a cvičeí podle časových možostí. Domácí cvičeí 3.7: Vypočtěte ity a) b) c) + 1 3 3 + 2 1 + 2 ( + 1)! + ( + 2)! ( + 3)!! d) ( + 1)!! a) 1 b) 1 c) 0 d) 0 Domácí cvičeí 3.8: Vypočtěte ity a) si b) 2 + si() 2 + 3 c) 4 + 9 d) arctg (( 1) ) a) 0 b) + pečlivě zdůvoděte! c) + d) eexistuje Domácí cvičeí 3.9: a) Existuje kovergetí aritmetická posloupost? Cvičeí BI-ZMA FIT ČVUT 11 ZS 2015/2016
b) Které geometrické poslouposti jsou kovergetí? Výsledek tohoto příkladu alezete íže. Pokuste se ejprve sami a otázky odpovědět teprve poté svou odpověď kozultujte s řešeím. Domácí cvičeí 3.10: Rozhoděte která z ásledujících tvrzeí jsou pravdivá. a) 2 = O( 3 ) b) = O( 1/3 ) c) 2 2 /2 = O(2 ) d)! = O( ). Svá tvrzeí dokažte. a) platí b) eplatí c) platí d) platí. Výsledek Domácího cvičeí 3.9: a) Ao s diferecí d = 0 tedy ty které jsou kostatí. b) geometrická posloupost koverguje právě tehdy když její kvociet splňuje q ( 1 1. Cvičeí BI-ZMA FIT ČVUT 12 ZS 2015/2016