MECHATRONIKA PRŮMYSLOVÝCH ROBOTŮ

Vysoká škola báňská Techncká unverzta Ostrava MECHATRONIKA PRŮMYSLOVÝCH ROBOTŮ učební text Vladmír Mostýn, Václav Krys Ostrava 22

Recenze: doc. Ing. Zdeněk Konečný, Ph.D. RNDr. Mroslav Lška, CSc. Název: Mechatronka průmyslových robotů Autor: Vladmír Mostýn, Václav Krys Vydání: první, 2 Počet stran: 2 Náklad: pouze elektroncký učební text Studjní materály pro studjní obor 23T3 Robotka Jazyková korektura: nebyla provedena. Určeno pro projekt: Operační program Vzděláváním pro konkurenceschopnost Název: Personalzace výuky prostřednctvím e-learnngu Číslo: CZ..7/2.2./7.339 Realzace: VŠB Techncká unverzta Ostrava Projekt je spolufnancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR Vladmír Mostýn, Václav Krys VŠB Techncká unverzta Ostrava ISBN 978-8-248-26-3

POKYNY KE STUDIU Mechatronka průmyslových robotů Pro předmět Mechatronka v. semestru navazujícího studa oboru Robotka jste obdrţel studjní balík na CD-ROM obsahující: učební text Mechatronka průmyslových robotů sadu referenčních příkladů v prostředí Mathcad sadu nstruktáţních anmací k řešeným příkladům a učebnímu textu Učební text je doplněn řadou komentovaných anmací a řešených příkladů v prostředí Mathcad, které jsou spouštěny pomocí hypertextového odkazu přímo z učebního textu. Pro zachování správné funkčnost hypertextových odkazů anmací a řešených příkladů je nutno př vytváření kope učebního textu dodrţet orgnální datovou strukturu učebního textu dle obrázku a názvy jednotlvých adresářů: Nadřízená adresářová struktura název adresáře, ve kterém jsou vlastní zdrojové adresáře Anmace, Mathcad a Ucebn_text jsou nepodstatné. Prerekvzty Pro studum tohoto předmětu se předpokládá absolvování bakalářského studa na Fakultě strojní. Vzhledem k tomu, ţe pouţtý software je pouze v anglcké verz, je nezbytné, aby student znal aspoň základy techncké anglčtny a byl schopen zvládnout základní pojmový aparát. Cíl předmětu Cílem výklady je seznámení posluchačů s metodam výpočtů a s aplkací numerckých výpočetních metod v oblast knematky a dynamky průmyslových robotů a manpulátorů a jejch řízení.

Výklad metod modelování knematky a dynamky je proveden pro typcké mechansmy robotů a manpulátorů s více stupn volnost a více pohony, pro které pracovní pohyb koncového členu vznká sloţením aktvních pohybů jednotlvých článků. Pro tyto mechansmy jsou typcké velké a rychlé změny hmotnostních parametrů (momenty setrvačnost), které znesnadňují návrh subsystémů řízení a omezují pouţtí adaptvních algortmů. Z těchto důvodů je pozornost věnována také vyjádření dynamckých vlastností mechanckého subsystému ve formě vhodné pro syntézu regulátorů polohy a rychlost. V současné době se převáţně pouţívají pro polohové řízení průmyslových robotů dvě základní koncepce řízení řízení knematcké a řízení momentové (dynamcké). Knematcké řízení je zaloţeno na řešení nverzní úlohy knematky (výpočet ţádané polohy jednotlvých pohybových vazeb př známé ţádané poloze koncového bodu efektoru a jeho orentac), kdy polohové zpětnovazební řízení je realzováno pouze na úrovn knematckých velčn pohonů. Tento způsob řízení nebere v úvahu vlv setrvačných hmot ramen robotů a manpulátorů a předmětu manpulace, coţ př dnešních vysokých poţadavcích na dynamku pohybu velká zrychlení, vysoké manpulované hmotnost nepřnáší poţadovanou kvaltu řízení. Řízení momentové je zaloţeno na více č méně sloţtém matematckém modelu dynamky mechansmu a doplňuje výpočet ţádaných poloh jednotlvých pohybových os výpočtem poţadovaných momentů, které musí jednotlvé pohony během pohybu a zrychlování vyvnout. Tento způsob řízení je dnes u průmyslových robotů pouţíván převáţně. Skrptum s kladě za cíl přpravt absolventy strojních oborů právě na tuto část syntézy řídcích systémů. Pozornost je věnována otevřeným knematckým strukturám průmyslových robotů a matematcké modely se dotýkají pouze prostorových soustav tuhých těles, tj. není zde uvaţováno s pruţností článků an jejch vazeb. Závěry a postupy modelování lze většnou zevšeobecnt a bez problémů pouţít na jednodušší mechansmy. Př výběru výpočetních metod je kladen důraz zejména na jejch snadnou algortmzovatelnost pro případ jejch pouţtí v rámc výpočetního programu. Jednotlvé výpočetní metody jsou zaloţeny na matcovém počtu, resp. vektorové algebře, pro jejch praktckou realzac je nutno pouţít vhodný výpočetní nástroj. Pro příklady v této publkac byl pouţt matematcký software Mathcad a Matlab. Pro koho je předmět určen Modul je zařazen do Navazujícího magsterského studa oboru Robotka, ale můţe jej studovat zájemce z kteréhokolv jného oboru Fakulty strojní. Skrptum je určeno pro konstruktéry, výpočtáře a vědecké pracovníky v oblast sloţtých prostorových mechansmů, jakým roboty a manpulátory bezesporu jsou, a nabízí snadno aplkovatelné výpočetní metody, pouţtelné jak pro konstruktéra mechanckého subsystému výpočet reakcí v pohybových jednotkách pro dmenzování článků, pohonů a převodů, tak pro oblast řízení model knematky mechansmu a model řízeného dynamckého subsystému pro moderní momentové řízení. Studjní opora se dělí na tématcké bloky, kaptoly, které odpovídají logckému dělení studované látky, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studu kaptoly se můţe výrazně lšt, proto jsou velké kaptoly děleny dále na číslované podkaptoly a těm odpovídá níţe popsaná struktura.

Př studu každé kaptoly doporučujeme následující postup: Čas ke studu: xx hodn Na úvod kaptoly je uveden čas potřebný k prostudování látky. Čas je orentační a můţe vám slouţt jako hrubé vodítko pro rozvrţení studa celého předmětu č kaptoly. Někomu se čas můţe zdát přílš dlouhý, někomu naopak. Jsou student, kteří se s touto problematkou ještě nkdy nesetkal a naopak takoví, kteří jţ v tomto oboru mají jsté zkušenost. Cíl: Po prostudování této kaptoly budete umět popsat... defnovat... vyřešt... Ihned potom jsou uvedeny cíle, kterých máte dosáhnout po prostudování této kaptoly konkrétní dovednost, znalost. Výklad Následuje vlastní výklad studované látky, zavedení nových pojmů, jejch vysvětlení, vše doprovázeno obrázky a tabulkam. Referenční postup v CAD systému, referenční výpočet v prostředí Mathcad Výklad je doplněn řešeným příklady a ukázkam výpočtů z probírané problermatky. Shrnutí pojmů Na závěr kaptoly jsou zopakovány hlavní pojmy, které s v ní máte osvojt. Pokud některému z nch ještě nerozumíte, vraťte se k nm ještě jednou. Otázky Pro ověření, ţe jste dobře a úplně látku kaptoly zvládl, máte k dspozc několk teoretckých otázek. Anmovaný postup - odkaz Některé kaptoly jsou doplněny anmovaným postupem řešení problému. Úspěšné a příjemné studum s touto učebncí Vám přejí autoř výukového materálu Vladmír Mostýn a Václav Krys

OBSAH Úvod 2. Zavedení pojmů a konvence značení 2 2 Přímá úloha knematky 6 2. Transformace souřadnc 6 2.2 Rotace souřadných systémů 8 2.3 Rotace a translace souřadných systémů 2.4 Denavt - Hartenbergův prncp rozmístění souřadných systémů 2 2.5 Rodrgův vztah 3 2.6 Přímá úloha knematky pro určení rychlost koncového bodu 32 3 Inverzní úloha knematky 35 3. Numercké řešení soustavy transcendentních rovnc 36 3.2 Aproxmační metody nverzní transformace 42 3.2. Aproxmace pouţtím Taylorova rozvoje transformační matce 43 3.2.2 Newtonova aproxmační metoda nverzní transformace 46 3.3 Optmalzační metody nverzní transformace 5 3.3. Metody heurstcké 54 3.3.. Analytcké řešení 57 3.3.2 Metody zaloţené na gradentu chyby polohování 59 3.3.2. Newtonova metoda nalezení vektoru vyhledávání 62 3.3.2.2 Metoda BFS 62 3.4 Vektorová metoda nverzní transformace 63 3.5 Řešení nverzní úlohy knematky v prostředí systému Pro/Engneer 67 4 Plánování trajektore pohybových jednotek 68 4. Interpolace na úrovn kloubů 69 4.. Interpolace trajektore lneární funkcí 69 4..2 Interpolace trajektore kvadratckou funkcí 7 4..3 Interpolace průběhu trajektore kubckou funkcí 7 5 Výpočet rychlost a zrychlení článků 75 5. Výpočet úhlové rychlost LCS -tého článku mechansmu 75 5.2 Výpočet translační rychlost v LCS -tého článku mechansmu 77 5.3 Výpočet úhlového zrychlení LCS -tého článku mechansmu 78 5.4 Výpočet translačního zrychlení a počátku LCS -tého článku mechansmu 79 * * 5.5 Translační rychlost a zrychlení těţště -tého článku - v, a 8 6 Newton Eulerova metoda výpočtu reakcí a zobecněných sl 82 6. Rovnováha sl působících na -tý článek 84 6.2 Rovnováha momentů k těţšt -tého článku 85 6.3 Matce setrvačnost článků 86 7 Lagrangeovy pohybové rovnce II. druhu 88 7.. Knetcká energe článků 88 7..2 Potencální energe článků 9 7.2 Lagrangeova pohybová rovnce II. druhu v matcovém vyjádření 9 7.2. Přímá úloha dynamky 95 7.2.2 Inverzní úloha dynamky 95

8 Polohové a rychlostní servosystémy robotů 97 8. Algortmus optmálního sledování trajektore 97 8.2 Momentové řízení 99 9 Mechatroncký přístup k vytváření robotckých systémů 3 Výpsy řešených příkladů v prostředí MathCad 6. Přímá úloha knematky mechansmus s jedním stupněm volnost 6.2 Přímá úloha knematky mechansmus se třem stupn volnost (RTT) 3.3 Inverzní úloha knematky Taylorův rozvoj transformační matce 23.4 Inverzní úloha knematky nverze Jakobho matce 36.5 Výpočet chyby polohování pro mechansmus se dvěma stupn volnost 47.6 Výpočet knematckých velčn pomocí Newton-Eulerových rekurentních vztahů 52.7 Výpočet zobecněných sl pomocí Lagrangeovy pohybové rovnce v matcovém tvaru 8

ÚVOD Důleţtou součástí analýzy robotů je úplný knematcký model mechanckého systému, který poskytuje všechny potřebné knematcké velčny jak pro dynamcký model mechanckého systému (slové působení, zatěţování článků, dmenzování), tak pro potřeby řízení (syntéza regulátorů polohy a rychlost). Jedná se zejména o průběh polohy a orentace koncového pracovního bodu v čase a tomu odpovídající průběh polohy jednotlvých článků mechansmu. Vzájemná poloha článků je obecně popsána tzv. zobecněným souřadncem (v robotce je často pouţíván pojem kloubové proměnné jont varables), které udávají vzájemné natočení v případě rotační knematcké vazby mez sousedním články, č posunutí v případě posuvné (translační) vazby. Proto je zaveden pojem zobecněná souřadnce, která reprezentuje úhel, popř. vzdálenost podle toho, jestl vazba je rotační nebo translační. Na Obr. - je znázorněn průmyslový robot se třem stupn volnost, jehoţ zobecněné souřadnce q aţ q 3 udávají natočení a vysunutí jednotlvých článků, koncový pracovní bod je v tomto případě specfkován na hrotu technologcké hlavce. Na obrázku zjednodušené knematcké struktury robotu jsou pevnému podstavc, jednotlvým článkům technologcké hlavc přřazeny tzv. lokální souřadné systémy a zobecněné souřadnce jsou v dalších kaptolách defnovány jako úhly, popř. vzdálenost mez příslušným osam těchto lokálních souřadných systémů. z b y 2 x 2 q 3 y 3 z q 2 z 2 x 3 y z x z 3 q y x y b x b. Zavedení pojmů a konvence značení Obr. - V knematce mechansmů je s výhodou místo klasckého vektorového počtu vyuţíván matcový počet. Z tohoto důvodu jsou vektory a operace s nm (součet, skalární a vektorový součn) vyjádřeny jako matce, popř. matcové operace. Vektory jsou vyjádřeny jako sloupcová matce a označeny malým písmenem tučně, sloţky jsou označeny malým písmenem kurzívou s příslušným ndexem. Vektor p je tedy vyjádřen jako sloupcová matce p x y x y z z T p p p p p (-) p 2

Matce jsou označeny velkým písmenem tučně, jejch sloţky malým písmenem kurzívou s příslušným ndexy. Skalární součn vektorů a a b, jehoţ výsledkem je skalár c, se vypočte jako součn transponované matce vektoru a a matce vektoru b T c a. b (-2) Pro realzac vektorového součnu je zavedena polosouměrná (antsymetrcká) matce vektoru, která je označena â a je ve tvaru z y a ˆ a a (-3) z a y a a x a x Vektorový součn vektorů a a b, jehoţ výsledkem je vektor c kolmý na rovnu danou vektory a a b je pak vyjádřen jako součn antsymetrcké matce vektoru a a matce vektoru b c ab. Kromě klasckých ortogonálních (třírozměrných) souřadnc je v knematce mechansmů s výhodou vyuţíváno tzv. homogenních souřadnc, které jsou čtyřrozměrné. Čtvrtá souřadnce je zavedena z formálních důvodů a pro souřadnce bodu má vţdy velkost, pro souřadnce vektoru je. První tř souřadnce jsou stejné jako souřadnce ortogonální. Souřadnce bodu P a vektoru a jsou tedy vyjádřeny jako sloupcové matce (-4) P p p p x y z a x ay a (-5) a z Vzájemnou polohu jednotlvých článků mechansmu je moţné popsat různým způsoby, u rotační dvojce např. úhlem sevřeným těmto články, u posuvné knematcké dvojce vzdáleností středu posuvné jednotky od jednoho kraje jednotky, po které se posouvá apod. V knematce mechansmů s pohyblvým články je z praktckého hledska nejvýhodnější popsovat jejch vzájemnou polohu pomocí soustavy tzv. lokálních souřadných systémů (LCS Local Coordnate System), které jsou těmto článkům pevně přřazeny (tj. pohybují se současně s článkem) a jejchţ polohu a orentac vůč základnímu (globálnímu) souřadnému systému (GCS Global Coordnate Systém) je moţno snadno určt. Lokální souřadné systémy budou v dalším textu v příkladech v CAD systému Pro/Engneer označovány příslušným ndexem, např. LCS 2, resp. LCS2. Jednotlvé zobecněné souřadnce pak jsou defnovány na základě těchto lokálních souřadných systémů jako orentované vzdálenost č úhly mez příslušným osam lokálních systémů. Proměnnou, udávající velkost rotace nebo translace -tého článku, obecně nazýváme zobecněnou souřadncí q (kloubová proměnná, jont varable) a jednotlvé zobecněné souřadnce pro všechny pohybové jednotky mechansmu s n stupn volnost tvoří vektor zobecněné souřadnce T q q2 q n q (-6) Pro určení polohy pracovního článku mechansmu, respektve nástroje je nutné znát nejen polohu koncového bodu nástroje, danou souřadncem px, py, pz v základním souřadném systému GCS, 3

ale také jeho orentac v prostoru danou třem úhly vůč osám základního souřadného systému. Pro určení orentace nástroje je zaveden tzv. přblţovací vektor o, který leţí v ose posledního článku, resp. nástroje. Poloha a orentace nástroje je pak dána spojeným vektorem polohy p a orentace o nástroje tzv. komplexním (rozšířeným) vektorem polohy w (Tool Confguraton Vector), který má šest souřadnc a je defnován T T w p o px py pz ox oy oz (-7) Příklad - Použtí lokálních souřadných systémů Pouţtí lokálních souřadných systémů je ukázáno na modelu manpulátoru se třem stupn volnost dle Obr. -. Globální (základní, vztaţný) souřadný systém GCS je defnován osam xb, yb a z b. Lokální souřadný systém LCS se svým osam x, y a z přísluší základu zařízení a defnuje jeho rozměr, stejně jako lokální souřadný systém LCS je pevně spojen se sestavou prvního rotačního článku - Obr. -2. Obr. -2 Pevný základ manpulátoru a první rotační článek a jejch lokální souřadné systémy Na Obr. -3 je např. ukázáno určení polohy těţště prvního článku vůč lokálnímu souřadnému systému LCS a určení dalších hmotnostních paramentrů např. matce setrvačnost defnované vůč lokálnímu souřadnému systému pomocí systému Pro/Engneer. Na Obr. -4 jsou ukázány lokální souřadné systémy článku 2, článku 3 a technologcké hlavce. Takto tedy na základě konstrukční dokumentace daného článku dokáţeme určt polohu významných bodů, konců článků, energetckých přívo- nástroje. Kromě úhlů k osám souřadného systému je často pouţíváno vyjádření orentace úhlem k rovně xy (elevace), k rovně xz a otočení kolem osy 4

dů apod. v jeho lokálním souřadném systému. Články se ale pohybují a s nm se pohybují jejch lokální souřadné systémy. Např. poloha koncového bodu technologcké hlavce, která je ve středu čelstí, je v lokálním souřadnému systému LCS 3 neměnná (je to počátek tohoto posledního lokálního souřadného systému), přblţovací vektor leţí tedy v ose z posledního souřadného systému a je totoţný s jednotkovým vektorem na ose z 3, tedy o k 3. Praktcky je ale nutno přepočítat polohu koncového bodu a souřadnce přblţovacího vektoru (orentac hlavce) do základního souřadného systému GCS pracovště kvůl poloze vůč ostatním zařízením, popř. předmětu technologcké operace. K tomu slouţí systém transformačních vztahů pro přepočet souřadnc z lokálních souřadných systémů jednotlvých článků, popř. pracovní technologcké hlavce do základního souřadného systému. Nalezení těchto transformačních vztahů je předmětem dalších kaptol. Také umístění a orentace lokálních souřadných systémů na jednotlvých článcích podléhá určtým pravdlům, která pak zjednodušují nalezení transformačních vztahů pro přepočet souřadnc z lokálních souřadných systémů do globálního souřadného systému pracovště. Obr. -3 Hmotnostní parametry článku a poloha jeho těţště v LCS 5

Obr. -4 Lokální souřadné systémy článku 2 a článku 3 2 PŘÍMÁ ÚLOHA KINEMATIKY Čas ke studu: 4 hodny Cíl: Po prostudování této kaptoly budete umět - defnovat transformační matc pro vzájemné natočení a posunutí souřadných systémů, - rozmístt lokální souřadné systémy po mechansmu tak, aby bylo moţno automatzovaně sestavovat transformační matce, - vypočítat polohu koncového (pracovního) bodu robotu a orentac posledního článku, resp. nástroje př známých zobecněných souřadncích tedy řešt přímou úlohu knematky - vypočítat rychlost koncového bodu robotu př známých rychlostech pohybu jednotlvých kloubů Výklad V knematce prostorových mechansmů exstují dvě základní úlohy. Úloha, kdy jsou známy jednotlvé zobecněné souřadnce a hledáme polohu a orentac koncového bodu, je tzv. přímá úloha knematky. Tato úloha je snadno řeštelná pomocí gonometrckých vztahů mez jednotlvým články nebo pomocí lokálních souřadných systémů článků a transf ormačním matcem pro přepočet souřadnc mez nm. Úloha opačná, kdy známe polohu a orentac koncového bodu a hledáme jednotlvé zobecněné souřadnce, se nazývá nverzní úloha knematky a řešení této úlohy je obtíţnější zejména pro knematcké struktury s více stupn volnost. 2. Transformace souřadnc Pro přepočet (transformac) souřadnc mez lokálním souřadným systémy, které jsou spojeny s daným článkem, podstavcem, hlavcí apod. a globálním souřadným systémem, který je spojen s pracovním prostorem, je s výhodou vyuţíváno matcového počtu. Odvození matcových vztahů pro pře- 6

počet souřadnc z jednoho souřadného systému do jného je poměrně snadné a je ukázáno na příkladu dvou dentckých souřadných systémů xb, yb, z b (GCS) a x, y, z ( LCS ) na Obr. 2-. z z b k kb p j y b j b y b x b x Obr. 2- Vektor p v součtovém tvaru je moţno vyjádřt vůč souřadnému systému xb, yb, z b ve tvaru p p. p. j p. k (2-) xb b yb b zb b a tentýţ vektor vůč souřadnému systému x, y, z ve tvaru p p. p. j p. k (2-2) x y z souřadnce vektoru p je moţno také vyjádřt jako průměty vektoru p do směru jednotlvých jednotkových vektorů a tedy jako skalární součny. Klascké vyjádření skalárního součnu je dle vztahu (2-3) vlevo, stejné vyjádření s vyuţtím matcového počtu je ve vztahu vpravo p p p T xb b xb b. p p. p T yb b yb b j. p p j. p T zb b zb b k. p p k. p (2-3) Pro nalezení transformačního vztahu dosadíme do vztahů (2-3) vlevo pro souřadnce vektoru p vyjádřeného v souřadném systému xb, yb, z b vektor p, vyjádřený v souřadném systému x, y, z vztahem (2-2) a roznásobíme. Dostaneme soustavu rovnc p. p. p.. p. j. p. k xb b b x b y b z p j. p j. p. j. p. j j. p. k (2-4) yb b b x b y b z p k. p k. p. k. p. j k. p. k zb b b x b y b z kterou je moţno vyjádřt matcově ve tvaru 7

p p p.. j. k xb b b b x j. j. j j. k. yb b b b y zb k. k. j k. k b b b z p p p (2-5) nebo symbolcky p R. p (2-6) b b Matcový vztah (2-6) říká, ţe souřadnce vektoru p přepočteme ze souřadného systému x, y, z do souřadného systému xb, yb, z b tak, ţe je zleva vynásobíme transformační matcí R b. Indexy transformační matce udávají, mez kterým souřadným systémy je přepočet prováděn. V dalším textu je ndex b často vynecháván, pokud u vektoru není ndex uveden, znamená to vţdy, ţe je vyjádřen v základním souřadném systému. Pro výše uvedený případ dentckých souřadných systémů musí být tato matce jednotková, čemuţ odpovídají skalární součny jednotkových vektorů. 2.2 Rotace souřadných systémů Na Obr. 2-2 je uveden případ, kdy je souřadný systém x, y, z otočen vůč xb, yb, z b kolem osy x b o úhel. Po dosazení do transformační matce ve vztahu (2-5) a uváţení, ţe skalární součn kolmých vektorů je nula, skalární součn totoţných jednotkových vektorů je jedna a skalární součn různoběţných jednotkových vektorů je cos a př uvaţování vzorce z b z k b k p j y j b y b b x b x Obr. 2-2 cos 2 sn (2-7) dostaneme transformační matc pro rotac kolem osy x o úhel ve tvaru x, R cos sn (2-8) sn cos Obdobně pro rotac kolem osy y o úhel a kolem osy z o úhel dostaneme transformační matce ve tvaru 8

y, cos sn R (2-9) sn cos z, cos sn R sn cos (2-) Uvedené tř základní transformační matce umoţňují přepočet souřadnc př vícenásobném natočení kolem různých os. Tak například př natočení souřadného systému nejprve kolem osy z o úhel a pak kolem x o úhel bude přepočet souřadnc vypadat následovně ( p) R. R.( p ) (2-) b z, x, přtom je nutno zachovat pořadí matc takové, jaké bylo pořadí pohybů. Příklad 2-2 Výpočet transformační matce pro dvě následné rotace Bod P má v souřadném systému LCS souřadnce P [2 3 4] T. Hledány jsou jeho souřadnce v základním souřadném systému GCS, jestlţe je systém LCS natočen vůč základnímu souřadnému systému nejprve kolem osy z o úhel /6 a pak kolem osy y o úhel /3 6 3 Jednotlvé transformační matce: P 2 3 4 cos sn sn R z sn cos R y cos sn cos Výsledná transformační matce: cos sn cos sn R sn cos sn cos Výslednou transformační matc lze vyjádřt také symbolckým vynásobením obou matc a vyčíslt R cos sn cos cos sn cos cos sn sn sn R.433.25.5.866.75.433 sn cos.866.5 Přepočet souřadnc bodu P: 2 Řešení příkladu je provedeno v matematckém výpočetním SW Mathcad, výrazy proto nejsou číslovány a symboly řecké abecedy mají jný tvar neţ v prostředí Mcrosoft Word. Nejsou pouţívány jednotky. 9

.433 P b.25.5.866.75.433 2 3 2.366 P b 4.83 P b R P.866.5 4.268 Souřadnce bodu P v základním souřadném systému jsou P [2.366 4.83.268] T b. 2.3 Rotace a translace souřadných systémů b Transformační matc je moţno rozšířt na případ, kdy dochází současně k natočení souřadných systémů vůč sobě a posunutí počátku druhého souřadného systému vůč prvnímu. Na Obr. 2-3 je znázorněn případ natočení souřadného systému x, y, z ( LCS ) kolem osy x o úhel a posunutí jeho počátku o vektor p [ ] T b px py pz vůč GCS. Pro přepočet souřadnc obecného bodu P [ x y z] T z lokálního souřadného systému LCS do základního souřadného systému GCS platí transformační rovnce x x p b x, y y R. y p (2-2) z z p b x z Vztah ze přepsat na soustavu tří rovnc, které doplníme formálně rovncí čtvrtou (2-3) a soustavu těchto čtyř rovnc je moţno opět zapsat matcově ve tvaru x y z b b b R x, y p p p x z. x y z (2-4) a symbolcky P ( P) A.( P ) (2-5) b b Výše uvedený matcový symbolcký záps vyjadřuje transformační vztah pro přepočet souřadnc bodu P vyjádřeného v souřadncích posunutého a natočeného souřadného systému LCS do souřadnc souřadného systému GCS. Bod P je vyjádřen čtyřm souřadncem, jedná se tedy o tzv. homogenní souřadnce bodu P. Homogenní transformační matce A b má rozměr 4 4 a obsahuje jednak submatc rotace R, která vyjadřuje natočení souřadného systému x, y, z vůč xb, yb, z b, poslední sloupec udává polohu počátku souřadného systému x, y, z, vyjádřenou v souřadncích souřadného systému xb, yb, z b. Poslední řádek homogenní transformační matce odpovídá fyzkálnímu významu jednotlvých sloupců. První tř sloupce vyjadřují homogenní souřadnce jednotkových vektorů, j, k vyjádřených v souřadném systému xb, yb, z b (poslední souřadnce je nula), poslední sloupec jsou homogenní souřadnce počátku (tedy bodu) souřadného systému x, y, z vyjádřené v souřadném systému xb, yb, z b.na základě uvedených vztahů je moţno tedy sestavt transformační matc pro lbovolně vzdálené a natočené souřadné systémy a pokud je jch více, lze výslednou transformační matc sestavt vynásobením jednotlvých dílčích transformačních matc v pořadí, které odpovídá pořadí souřadných systémů.

z b z k P k b j y p b y b j b x b x b Obr. 2-3 Příklad 2-2 Zjštění transformační matce v prostředí Pro/Engneer V případě, ţe na konc posledního pohyblvého článku je technologcká hlavce, u které potřebujeme stanovt přblţovací vektor, popř. směr dalších os, umístíme do pracovního bodu další lokální souřadný systém v tomto případě LCS 4. Stanovení transformační matce mez lokálním souřadným systémem LCS 3 posledního článku a LCS4 technologcké hlavce dle Obr. 2-4 je ukázáno v následujícím postupu:..\anmace\transform_hlavce\transform_hlavce.mp4 V případě, ţe konstrukční dokumentace je dostupná v jném CAD systému (např. 2D AutoCAD), který by neumoţňoval přímé stanovení transformační matce, by bylo nutno na osách LCS4 nakreslt jednotkové vektory (přímky o délce v daných jednotkách), tyto vektory přenést rovnoběţně do LCS 3 a pouţít vztah (2-5).

Obr. 2-4 Příklad 2-3 Řešení nverzní úlohy knematky pro paralelní knematckou strukturu hexapod Pro paralelní knematckou strukturu se šest stupn volnost, zvanou obecně hexapod dle Obr. 2-5, je zadáním nalezení pruběhů ţádaných hodnot polohy jednotlvých lneárních pohonů, které manpulační nadstavbou pohybují. Defnována je výchozí poloha a poţadovaný pohyb platformy translace ve směru os základního souřadného systému GCS a rotace kolem těchto os. Nejprve je ukázáno řešení v prostředí Mathcad. Průběhy polohy jsou defnovány jako funkce času pro jednotlvé rotační a translační pohyby a dále jsou vyjádřeny odpovídající transformační matce. 2

Obr. 2-5 Délka řešení - rozsah nastavení proměnné t čas (rozsahová proměnná range varable) t 5 Rotace kolem osy x o úhel Rotace kolem osy y o úhel ( t) 3 t ( t).7 t A x ( t) cos( ( t) ) sn( ( t) ) sn( ( t) ) cos( ( t) ) A y ( t) cos( ( t) ) sn( ( t) ) sn( ( t) ) cos( ( t) ) 3

Rotace kolem osy z o úhel cos( ( t) ) sn( ( t) ) ( t) 5.7 t A z ( t) sn( ( t) ) cos( ( t) ). Posuvy ve smě ru osy x, y, z x( t). t y( t).2 t z( t).8. t x( t) A xp ( t) A yp ( t) y( t) A zp ( t) z( t) Výsledná transformační matce pro současný pohyb všech 6 stupňů volnost, dle výše uvedených defncí, mez základnou - ndex b a pohyblvou platformou - ndex p T bp ( t) A xp ( t) A yp ( t) A zp ( t) A x ( t) A y ( t) A z ( t) Vyčíslení transformační matce pro daný čas t=5 sec a kontrola s výsledkem v Pro/E.869.472.48.5 T bp ( 5).495.974 3.83.296.256.955..85 Souř adnce bodů přpojení pohyblvé platformy v lokalnm ss platformy - LCSP P pp.35. P 2pp.23453. P 3pp.75.339. P 4pp.7265.239. P 5pp.75.339. P 6pp.7265.239. 4

Nalezení souřadnc bodů PP aţ P6P v lokálním souřadném systému platformy v prostředí systému Pro/Engneer je provedeno pomocí funkce Analyss, Measure, Dstance. Souřadnce těchto bodů musí být přepočteny z lokálního souřadného systému do globálního souřadného systému základu pro to, aby byly tyto body vyjádřeny ve stejném souřadném systému jako body na základu a bylo moţno jejch souřadnce odečíst a vypočítat tak jejch vzdálenost. Přepočtení souřadnc bodů PP aţ P6P platformy v globalním souřadném systému GCS se provede násobením souřadnc v lokálním souřadném systému transformační P pb ( t) T bp ( t) P pp P 2pb ( t) T bp ( t) P 2pp P 3pb ( t) T bp ( t) P 3pp matcí zleva. P pb ( ).35..7. P 2pb ( ).235..7. P 3pb ( ).75.33.7. 5

P 4pb ( t) T bp ( t) P 4pp P 5pb ( t) T bp ( t) P 5pp P 6pb ( t) T bp ( t) P 6pp P 4pb ( ).7.23.7. P 5pb ( ).75.33.7. P 6pb ( ).7.23.7. Příklad zobrazení průběhu polohy bodu (jeho souřadnc) P platformy v základním souřadném systému.8 P pb ( t).6 P pb ( t) 2.4 P pb ( t) 3.2 2 3 4 5 t Souřadnce bodů přpojení pohyblvé platformy na základně v globálnm ss - GCS.5.25.25 P zb. P 2zb.433. P 3zb.433. P 4zb.5. P 5zb.25.433. P 6zb.25.433. Ţádané hodnoty polohy pro regulátory polohy jednotlvých válců (délka vysunutí) se vypočtou jako vzdálenost (absolutní hodnota) mez přpojovacím body jednotlvých lneárních pohonů, pře- 6

počteným do základního souřadného systému, přtom je třeba pomocí operace submatrx (submatce) vyjmout pouze první tř souřadnce bodu (vynechat čtvrtou homogenní souřadnc). q ( t) submatrx P pb ( t) P zb 3 q ( t).68.622.636.66.695.736 Pohon je mez Ppb na Pohon 2 je mez P2pb na platformě (v báz.ss) a P2zb (v báz. ss) platformě (v q 2 ( t) submatrx P 2pb ( t) P 2zb 3 báz.ss) a Pzb (v báz. ss) q 2 ( t).74.76.698.685.68.682 Pohon 3 je mez P3pb na platformě (v báz.ss) a P3zb (v báz. ss) q 3 ( t) submatrx P 3pb ( t) P 3zb 3 q 3 ( t).68.645.674.73.73.758 Pohon 4 je mez P4pb na platformě (v báz.ss) a P4zb (v báz. ss) q 4 ( t) submatrx P 4pb ( t) P 4zb 3 q 4 ( t).74.757.774.792.89.825 Pohon 5 je mez P5pb na platformě (v báz.ss) a P5zb (v báz. ss) q 5 ( t) submatrx P 5pb ( t) P 5zb 3 q 5 ( t).68.624.63.639.65.667 Pohon 6 je mez P6pb na platformě (v báz.ss) a P6zb (v báz. ss) q 6 ( t) submatrx P 6pb ( t) P 6zb 3 q 6 ( t).74.733.726.72.77.76 7

Grafcké zobrazení jednotlvých kloubových proměnných zobecněných souřadnc šest lneárních pohonů je na následujícím obrázku..9 q ( t) q 2 ( t) q 3 ( t) q 4 ( t) q 5 ( t) q 6 ( t).8.7.6 2 3 4 5 t Řešení stejného problému v prostředí systému Pro/Engneer Mechansm je ukázáno jako anmovaný postup na následujícím vdeu. Nejprve je ukázáno sestavení mechansmu v prostředí nadstavby Mechansm...\Anmace\Hexapod\Hexapod_sestaven_mechansmu\Hexapod_sestaven_mechansmu.mp 4 Řešení zadaného problému řešení nverzní úlohy knematky nalezení průběhů zobecněných souřadnc q, q2,, q6 je ukázáno jako anmovaný postup v následujícím vdeu...\anmace\hexapod\hexapod_nverzn_knematka\hexapod_nverzn_knematka.mp4 Výsledek řešení nverzní knematcké úlohy paralelního mechansmu hexapodu v prostředí Pro/Engneer Mechansm je ukázán na Obr. 2-6. Jak je vdět z výpočetního řešení v prostředí Mathcadu, řešení nverzní úlohy knematky je u paralelních mechansmů typu pohyblvé platformy, přpojené 8

jednoduchým (z hledska knematcké struktury) rameny, je relatvně jednoduché. Stejná úloha pro typcké sérové knematcké struktury průmyslových robotů je mnohem sloţtější. Obr. 2-6 9

2.4 Denavt - Hartenbergův prncp rozmístění souřadných systémů Souřadné systémy je moţno do článků umísťovat v podstatě lbovolně, např. do středového bodu knematckých dvojc, do těţšť apod., ale sestavení transformační matce někdy není jednoduché a je nutno pouţít řadu gonometrckých vzorců. Př dodrţení konvence rozmísťování souřadných systémů (Denavt a Hartenberg, 955), je moţno sestavovat vzájemné transformační matce automatcky. Prncp je ukázán na Obr. 2-7, kde jsou nakresleny dvě rotační pohybové jednotky, spojené ramenem, které jsou obecně orentovány v prostoru, a dále dva lokální souřadné systémy LCS a LCS umístěné podle zmíněné konvence. z x z a d x Obr. 2-7 Chceme-l nalézt transformační vztah mez těmto souřadným systémy, vykonáme fktvní pohyby, které by vedly k sjednocení obou souřadných systémů. Nejprve natočíme osu x kolem osy z o úhel tak, ţe osy x a x jsou rovnoběţné. Dále posuneme osu x ve směru osy z o vzdálenost d tak, ţe osy x a x jsou totoţné. Nyní posuneme počátek souřadného systému LCS podél osy x o vzdálenost a tak, ţe počátky souřadných systémů LCS a LCS jsou totoţné. Nyní zbývá natočt osu z kolem x o úhel na osu z a souřadné systémy LCS a LCS jsou totoţné. Uvedený prncp platí obecně a říká, ţe lbovolně orentované a posunuté souřadné systémy je moţno sjednott čtyřm jednoduchým pohyby rotací, translací, translací a zase rotací a pokud rozmístíme souřadné systémy podle konvence specfkované Denavtem a Hartenbergem, jsou tyto pohyby defnovány tak, jak bylo uvedeno výše. Z Obr. 2-7 je zatím zřejmé, ţe osy z a z jsou osou rotace rotačních pohybových jednotek, osa x leţí ve směru společné normály os z a z. Další pravdla Denavt-Hartenbergova prncpu rozmísťování souřadných systémů jsou uvedena dále. Transformační vztah mez dvěma sousedním souřadným systémy LCS a LCS je tedy dán čtyřm jednoduchým pohyby, které lze popsat následujícím transformačním matcem v homogenním tvaru Natočení osy x kolem osy z o úhel cos sn sn cos A z, (2-6) 2

Posunutí osy x ve směru osy z o vzdálenost d A z, d (2-7) d Posunutí počátku souřadného systému LCS podél osy x o vzdálenost a a A x, a (2-8) Natočení osy z kolem x o úhel cos sn A x, (2-9) sn cos Výsledná transformační matce mez sousedním souřadným systémy vznkne vynásobením jednotlvých dílčích transformačních matc v pořadí tak, jak byly prováděny pohyby A A. A. A. A (2-2), z, z, d x, a x, a po vynásobení v obecném tvaru cos sn cos sn sn a cos sn cos cos cos sn a sn A, (2-2) sn cos d kde tzv. Denavt-Hartenbergovy parametry, d, a, plně charakterzují geometrcké vztahy mez sousedním články spojeným rotační nebo translační pohybovou jednotkou. Homogenní transformační matce dle vztahu (2-2) je unverzální transformační matce mez dvěma sousedním souřadným systémy a její výhodou je, ţe má stejný tvar pro všechny lokální souřadné systémy knematcké struktury bez ohledu na typ pohybových jednotek. V následujících kaptolách budou jako základní vazby pouţty pouze vazby rotační a translační, popř. pevné spojení, všechny sloţtější vazby např. planární (dvě translace, jedna rotace kolmo na translace) vznknou násobným pouţtím základních vazeb a jejch orentací. Pro rotační pohybovou jednotku, obsahuje transformační matce pouze jednu proměnnou otočení pohybové jednotky, ostatní parametry jsou konstantní a charakterzují ostatní rozměry článku a jeho orentac, pokud je pohybová jednotka translační, obsahuje matce pouze proměnnou posuvu pohybové jednotky d a ostatní parametry jsou konstantní. Parametry, d, a, se dají poměrně snadno odečíst po rozmístění souřadných systémů podle Denavt- Hartenbergova prncpu a mají následující geometrcký význam: úhel mez osam x a x př otáčení kolem z d nejkratší vzdálenost (normála) mez osam x a x, kladný směr ve směru z 2

a nejkratší vzdálenost (normála) mez osam z a z, kladný směr ve směru x úhel mez osam z a z př otáčení kolem x Vlastní postup rozmísťování lokálních souřadných systémů je tedy následující: Číslovat články od základu, první nepohyblvý článek má číslo, další pohyblvé články čísla..n. Případná poslední nepohyblvá hlavce n+. Vzestupná sekvence ndexů je b,,..n. Číslovat pohybové jednotky od základu, -tá pohybová jednotka spojuje - a -tý článek. Osa z je osou pohybu -té pohybové jednotky, kladný směr os směřuje nejlépe do kladného kvadrantu základního souřadného systému. Osa x je kolmá na osy z a z. Případy: a) osy z a z jsou totoţné - případ z b a z. V tomto případě je moţné vést osu x kolmo na obě totoţné osy v lbovolném místě a lbovolným směrem, nejlépe je ale umístt počátek do určtého bodu na příslušném článku, v našem případě do koncového bodu -tého článku, směr nejlépe rovnoběţně s některou předchozí osou, nejlépe s x b (zjednoduší se transformační matce), b) osy z a z jsou mmoběţné případ z a z, osa x leţí ve společné normále os z a z a její kladný směr je dán směrem od osy s nţším ndexem ( z ) k ose s vyšším ndexem ( z ) v pořadí ndexů, c) osy z a z jsou různoběţné případ z a z 2, osa x 2 vede kolmo na osy z a z 2 a vychází z jejch průsečíku, kladný směr osy je dán poţadavkem, aby př rotac kolem osy x 2 přešla osa z s nţším ndexem ( z ) na osu ze s vyšším ndexem ( z 2 ) v kladném směru otáčení, d) jak vypývá z předchozích případů, osa x vţdy protíná předchozí osu z. To je vyuţto zejména u translačních článků, kdy je sce zřejmá orentace osy z, ale není zřejmé, kudy vede. Počátek posledního souřadného systému se umsťuje do koncového bodu posledního článku, popř. do koncového bodu technologcké hlavce, jeho osy vedeme nejlépe rovnoběţně s osam předchozího souřadného systému nebo je umístíme do některého význačného směru (např. rovnoběţně s technologckým přívodem do hlavce apod.). Kladný směr os posledního souřadného systému směrujeme do pracovního prostoru mechansmu (hlavce, čelstí apod.) Homogenní transformační matce mez dvěma sousedním souřadným systémy článků, které jsou spojeny rotační nebo translační pohybovou jednotkou má obecně tvar R p A, (2-22) kde R je submatce vzájemné rotace souřadných systémů a p je vektor posunutí jejch počátků. Jak uţ bylo uvedeno, první tř sloupce transformační matce A, mají fyzkální význam homogenních souřadnc jednotkových vektorů, j, k na osách -tého souřadného systému ( LCS ) vyjádřené v souřadncích - souřadného systému ( LCS ). Poslední sloupec matce udává homogenní souřadnce počátku LCS vyjádřené v LCS. Celková transformační matce mez základním souřadným systémem a posledním n-tým souřadným systémem vznkne vynásobením jednotlvých transformačních matc pro sousední souřadné systémy v pořadí, jak jsou lokální souřadné systémy očíslovány a je funkcí všech zobecněných souřadnc a v symbolckém tvaru vede ke značně komplkovaným trgonometrckým výrazům na místě jednotlvých prvků matce T q, q,..., q A. A q. A q.... A q (2-23) bn 2 n b 2 2 n, n n 22

Tato celková transformační matce je funkcí všech kloubových proměnných a řeší tzv. přímou úlohu knematky, tj. nalezení souřadnc koncového bodu robotu (počátku posledního souřadného systému) - ty jsou dány posledním sloupcem celkové transformační matce (čtvrtá homogenní souřadnce je, tedy se jedná o souřadnce bodu) a směrů jednotlvých os (přesněj souřadnc jednotkových vektorů na osách posledního souřadného systému, vyjádřených v souřadncích základního souřadného systému) ty jsou dány prvním třem sloupc celkové transformační matce (čtvrtá homogenní souřadnce je, tedy se jedná o souřadnce vektorů). Rbn pbn n jn k n pbn n jn k n p b b b b bn T bn (2-24) Pokud je potřeba přepočítat jný bod neţ počátek z posledního n-tého lokálního souřadného systému do základního souřadného systému, př známých velkostech posuvů a natočení knematckých dvojc q, q2,..., q n, je pouţt jţ uvedený transformační vztah (2-25) vlevo, pro přepočet souřadnc vektoru (např. přblţovacího vektoru o) vztah (2-25) vpravo xb xn oxb oxn y y o o T T (2-25) z z o o b n yb yn bn q, q2,..., qn. bn q, q2,..., qn. b n zb zn Účelem Denavt-Hartenbergova prncpu je tedy vytvoření transformační matce mez dvěma sousedním lokálním souřadným systémy v unverzálním tvaru tak, aby bylo moţno provést snadnou algortmzac a naprogramování výpočtu přímé úlohy knematky, kdy jsou do unverzálního tvaru transformační matce dosazovány v cyklu vţdy jeden proměnný a tř konstantní parametry a pro obdrţení hodnot celkové transformační matce T bn je provedena standardní procedura násobení matc. Příklad 2-4 Řešení přímé úlohy knematky pro mechansmus s jedním stupněm volnost Článek dle Obr. 2-8 vlevo je spojen se základem rotační vazbou s osou otáčení paralelní s osou x b základního souřadného systému. Knematcká struktura článku a rozmístění souřadných systémů dle Denavt-Hartenbergova prncpu je na Obr. 2-8 vpravo a parametry transformačních matc jsou uvedeny v Tab.. Po umístění lokálních souřadných systémů (LCS ) dle výše uvedených pravdel je moţno jednoduše doplnt tabulku D-H (Denavt-Hartenbergových) parametrů Tab., kde l, l a l 2 jsou rozměry článků. 23

x y z z b l 2 y q l z l x y b x b Obr. 2-8 Tab. 2- d a /2 l /2 q l l 2 Ve výše uvedeném příkladě, který vypadá snadno podle jednoduchého knematckého schématu, je několk problémů. Lokální souřadné systémy se totţ ve skutečnost umsťují na 3D modelu mechansmu (popř. ve 2D dokumentac ramen), zjednodušená čarová knematcká struktura slouţí pouze k přehlednost pozc souřadných systémů a zjednodušenému zobrazení mechansmu. První z problémů je, kde je např. umístěn nultý lokální souřadný systém LCS, který přísluší zelenému rámu ramene. Je třeba s uvědomt, ţe počátek lokálního souřadného systému současně v případě rotačních vazeb označuje polohu této vazby a tím působště zátěţných sl. V bodě umístění vazby se pak počítají zátěţné síly (akční, popř. reakční síla a moment), které jsou obecně orentovány v prostoru a které se pro účely dmenzování dané vazby přepočítávají na axální a radální síly (popř. momenty) ve smyslu hlavních os vazby. V uvedeném případě se jedná o rotační vazbu, která je praktcky realzována jedním nebo dvěma loţsky, popř. kluzným pouzdry, vhodné umístění počátku souřadného systému je tedy mez oběma loţsky (nejlépe v polovční vzdálenost), popř. v případě jednoho loţska v jeho centru. Pro dmenzování loţsek tvořících vazbu je pak vypočtená translační zátěţná síla a rotační zátěţný moment přepočten na axální a radální zatíţení kaţdého loţska, jako základní údaj pro jeho dmenzování. Na rozloţené sestavě (exploded vew) na Obr. 2-9 je vdět umístění počátku LCS ve středu stěny rámu, plánováno je tedy pravděpodobně jedno loţsko (zatím ve fáz koncepčního řešení mechansmu), které zachytí klopné momenty. Pokud bude nakonec nutno pouţít dvě loţska po stranách rámu, popř. jedno loţsko na rámu a druhé na opačné straně ramene, nezpůsobí to ţadný výpočtový problém, pouze se změní umístění souřadného systému LCS a tedy některý z Denavt-Hartenbergových parametrů a všechny ostatní výpočetní vztahy zůstanou nezměněné. Totéţ platí pro umístění souřadného systému LCS. 24

Obr. 2-9 Celý výpočet v prostředí Mathcadu je na..\mathcad\dof_rotace_prma_uloha.xmcd Prohlíţení výpočtu běţným prohlíţečem (např. Internet Explorer) na..\mathcad\dof_rotace_prma_uloha.html Komentovaný výpočet je také ukázán jako anmace:..\anmace\dof_prma_uloha\dof_prma_uloha.mp4 Doplňující anmace se dotýká metodky tvorby vazby mez pohonem a vlastním článkem a vlvu dynamky pohonu na výsledný zátěţný moment na výstupním hřídel převodovky...\anmace\dof_rotace_dynamka\dof_rotace.mp4 Příklad 2-5 Řešení přímé úlohy knematky pro mechansmus RTT Manpulátor s knematckou strukturou RTT dle Obr. 2-. Knematcká struktura a rozmístění souřadných systémů dle Denavt-Hartenbergova prncpu je na tomtéţ obrázku vpravo, parametry transformačních matc jsou uvedeny v Tab. 2-2. Zde je nutno zdůraznt, ţe technologcká hlavce chapadlo je pojímáno jakou nedílná součást třetího článku a proto je poslední souřadný tém LCS3 umístěn aţ ve středu úchopné hlavce. Tento přístup, pokud je moţný, zjednodušuje výpočet. 3 3 V část tohoto textu, která se zabývá modelem dynamky mechansmu, bude ukázáno, ţe je praktcké zahrnout dokonce objekt manpulace do sestavy třetího článku a hmostnostní parametry (hmotnost, poloha těţště, matce setrvačnost) jsou počítány pro celý třetí článek včetně hlavce a objektu manpulace. 25

z b y 2 x 2 q 3 y 3 z q 2 z 2 x 3 y z x z 3 q y x y b x b Tab. 2-2 d a l q 2 q 2 l 2 /2 3 q 3 Obr. 2- Jak uţ bylo uvedeno v předchozím příkladu, v kaţdém řádku kromě prvního (nepohyblvý podstavec tzv. nulový článek) můţe být pouze jedna zobecněná proměnná q, v případě rotační vazby daného článku je vţdy ve sloupc, v případě translační vazby je vţdy ve sloupc pod d. V tomto případě se jedná o knematckou strukturu RTT (rotace, translace, translace), první zobecněná proměnná je tedy označena obecným symbolem q, je umístěna ve sloupc pod a má rozměr úhlu [rad], druhá zobecněná proměnná je q 2 a je to posunutí v délkových jednotkách a je umístěná ve druhém sloupc pod d. Stejně třetí zobecněná proměnná q 3. Čtyř Denavt-Hartenbergovy parametry z řádku s ndexem jsou parametry, které určují transformační vztah mez základním souřadným systémem GCS a LCS, který je pevně spojen s článkem a je nepohyblvý, a dosazují se do transformační matce A b. Parametry z řádku s ndexem jsou parametry, které určují transformační vztah mez LCS a LCSspojeným s článkem a dosazují se do transformační matce A ( q ), která je funkcí jedné proměnné q (v tomto případě se jedná o úhlové natočení v radánech, popř. ve stupních). Analogcky se čtyř Denavt-Hartenbergovy parametry z řádku s ndexem 2 dosazují do transformační matce A2 ( q2) a parametry z řádku s ndexem 3 dosazují do transformační matce A 23( q3). Výsledná transformační matce mez posledním souřadným systémem LCS 3 a GCS je dána součnem dílčích transformačních matc T ( q, q, q ) A. A ( q ). A ( q ). A ( q ) (2-26) b3 2 3 b 2 2 23 3 Pak souřadnce např. koncového bodu nástroje upevněného k poslednímu článku (jeho souřadnce v LCS jsou pevné a odečteme z výkresu) přepočteme do základního souřadného systému GCS vztahem 3 26

x y z b b b 3 3 T b3( q, q2, q3). (2-27) z3 x y Je zřejmé, ţe souřadnce xb, yb, z b koncového bodu jsou funkcí natočení q a posunutí q2 a q3 a také pevných rozměrů mechansmu - l je výška článku (základu), l 2 je vzdálenost osy otáčení článku a článku 3. Vztah (2-27) platí obecně pro knematckou strukturu s více články a tak transformační matce mez základním souřadným systémem GCS a posledním lokálním souřadným systémem LCS n, spojeným s pracovním bodem mechansmu, je ve tvaru T ( q, q,, q ) A. A ( q ). A ( q ). A ( q ) (2-28) bn 2 n b 2 2 n, n n Příklad 2-6 Řešení přímé úlohy pro mechansmus RTT s obecně natočenou hlavcí Manpulátor s knematckou strukturou RTT dle Obr. 2- vlevo. Knematcká struktura a rozmístění souřadných systémů dle Denavt-Hartenbergova prncpu je na tomto obrázku vpravo. Problém tohoto příkladu je obecně natočená technologcká hlavce, kterou musíme zahrnout do výpočtů koncové polohy hlavce př řešení přímé úlohy knematky. Př řešení této úlohy je k dspozc několk moţností:. jako poslední souřadný systém ponechat lokální souřadný systém LCS3 a polohu koncového bodu a směry důleţté pro pohyb hlavce počítat s vyuţtím výrazu (2-27) 2. Pouţít čtvrtý lokální souřadný systém LCS4 spojený s hlavcí, jak je ukázáno na Obr. 2-, doplnt čtvrtou konstantní transformační matc a ve výpočtu přímé úlohy knematky počítat polohu počátku lokálního souřadného systému LCS4 a směry jeho os. Lokální souřadný systém je přtom umístěn a orentován podle pravdel Denavt-Hartenberga, coţ sce umoţní automatzované sestavení transformační matce dosazením příslušné čtveřce parametrů do výrazu (2-2), na druhé straně ale tento postup vede k nepřílš vhodné orentac os posledního souřadného systému hlavce. Zobrazení takto vytvořeného LCS 4 a znázornění odečtu Denavt- Hartenbergových paramentrů je uvedeno na Obr. 2-2. 3. Nejlepší moţností je umístění lokálního souřadného systému bez vyuţtí Denavt- Hartenbergových pravdel, umístt počátek tohoto souřadného systému do koncového bodu technologcké hlavce (do středu mez prsty chapadla, popř. do jného významného bodu z hledska polohování) a nasměrovat vhodně jeho osy, tak aby odpovídaly důleţtým směrům př pohybu hlacce. Umístění je ukázáno na Obr. 2-3. Pak můţe následovat přímé určení transformační matce A 34 postupem z příkladu 2-2. 27

z b y 2 x 2 q 3 y 3 y x z z q q 2 x z 2 y z 4 y b x 3 z 3 x 4 y 4 x b Obr. 2- y 3 x 3 z 3 d 4 z 4 a 4 4 4 x 4 y 4 Obr. 2-2 Pro postup dle bodu 2 a dle bodu 3 je další postup dentcký, lší se vlastně jen způsobem výpočtu transformační matce A 34. Jednotlvé dílčí matce jsou vynásobeny, vypočtena je celková transformační matce T 4 () t ve tvaru b cos q ( t).866 sn q ( t).5 sn q ( t).65 cos q ( t).45 sn q ( t) q 3 ( t) sn q ( t) T b4 ( t) sn q ( t).866 cos q ( t).5.5 cos q ( t).866.65 sn q ( t).45 cos q ( t) q 3 ( t) cos q ( t) q 2 ( t).33 a po jejím vyčíslení pro čas t = 28

.65 T b4 ( ).866.5.5.866.95.23 Celý výpočet v prostředí Mathcadu je na Mathcad\RTT_hlavce_prma_uloha.xmcd Prohlíţení výpočtu běţným prohlíţečem (např. Internet Explorer) na Mathcad\RTT_hlavce_prma_uloha.html z b y 2 x 2 q 3 y 3 y z z q 2 x z 2 z 3 x 3 x 4 y 4 y x q y b z 4 x b Obr. 2-3 Komentovaný výpočet je také ukázán jako anmace:..\anmace\rtt_hlavce_prma_uloha\rtt_hlavce_prma_uloha.mp4 Příklad 2-7 Metodka rozmístění lokálních souřadných systémů Manpulátor s knematckou strukturou RTR dle Obr. 2-4 je tvořen rotační jednotkou, prostorově zalomenou klkou, tvořící článek, dále translační a rotační jednotkou. Parametry transformačních matc jsou uvedeny v Tab. 2-3. Př stanovení parametrů je potřeba s uvědomt, ţe parametr d má záporné znaménko, protoţe kladný směr je zde dán směrem osy z a osa x je pod osou x, tedy v záporném směru. 29

z b z y q x l l 2 q 2 x z l l 2 y 2 y z 2 l 3 y 3 x 2 q 3 y b x b z 3 x 3 Obr. 2-4 Tab. 2-3 d a l q l l 2 /2 2 /2 q 2 l 2 /2 3 q 3 l 3 Př kreslení knematcké struktury mechansmu je někdy obtíţné najít vhodnou čárovou reprezentac skutečných článků. Jedná se zde zejména o reprezentac vnějších rozměrů mechansmu a typů jeho knematckých dvojc. Jednodušší přímé články se nahrazují přímou, popř. lomenou čarou (klkou), u sloţtějších prostorových objektů je moţno pouţít tzv. střednc (spojnce těţšť ploch příčných řezů článku). Pro knematcký model jsou podstatné vzájemné polohy lokálních souřadných systémů a na grafckém vyjádření vnějších rozměrů článků vlastně nezáleţí. Počátky lokálních souřadných systémů jsou dány vzájemnou polohou os pohybu knematckých dvojc (osy z) a jak uţ bylo uvedeno, pro rotační vazby jsou počátky umístěny ve středu vazby (tedy např. mez loţsky), pro translační vazby je nutno začít umsťovat souřadné systémy současně od koncového bodu a př dodrţení prncpu, ţe osa x vţdy protíná předchozí osu z, lze najít správné umístění souřadných systémů. Jak je vdět z Obr. 2-4, lokální souřadný systém článku je např. umístěn zcela mmo vlastní článek. 2.5 Rodrgův vztah Transformační matce mez lbovolným lokálním souřadným systémem a základním souřadným systémem vznkne jako součn transformačních matc mez sousedním souřadným systémy. Tato operace sebou nese značné mnoţství operací násobení a sčítání, které trvají relatvně dlouho a navíc mohou vnést do výpočtu chybu danou omezenou přesností vstupních dat. U systémů, kde je třeba tyto operace vykonávat velm často a v reálném čase (řídcí systémy), je vhodnější vyuţít tzv. Rodrgův vztah, kdy jsou jednotlvé sloupce transformačních matc vypočteny na základě vektorových operací a 3

Denavt-Hartenbergových parametrů. Výpočet je rychlejší a přesnější. Obecný Rodrgův vztah (př pouţtí klasckých vektorových operátorů a ortogonálních souřadnc) umoţňuje výpočet souřadnc vektoru x 2, který vznkne otočením vektoru x kolem vektoru u o úhel dle Obr. 2-5. Je nutno podotknout, ţe následující výrazy jsou zapsány v klasckém vektorovém počtu se třem souřadncem vektorů. z b x u x 2 y b x b Obr. 2-5 x2 x.cos u x.sn u. u. x. cos (2-29) Uvedený vztah je moţno aplkovat na Obr. 2-7, na základě kterého byly odvozeny Denavt- Hartenbergovy parametry. Jednotkový vektor otočíme kolem osy otáčení k o úhel a dostaneme směr vektoru.cos k.sn (2-3) Jednotkový vektor k otočíme kolem osy otáčení o úhel a dostaneme směr vektoru k k k.cos k.sn (2-3) Směr vektoru j dopočteme na základě defnce ortogonálního souřadného systému j k (2-32) Poslední sloupec (vektor počátku souřadného systému) příslušné transformační matce je vypočten na základě Denavt-Hartenbergových parametrů, které udávají posunutí d. a. p k (2-33) b d. a. p k (2-34) n n p pb p b (2-35) 3

2.6 Přímá úloha knematky pro určení rychlost koncového bodu LCS do zá- Pro přepočet souřadnc bodu P vyjádřeného v -tém lokálním souřadném systému kladního souřadného systému GCS platí matcový transformační vztah P T.( P ) (2-36) b Přtom uvaţujeme, ţe souřadnce bodu P jsou v LCS konstantní. Pro zjštění rychlost bodu P v základním souřadném systému GCS provedeme dervac levé pravé strany matcové rovnce podle času, př uváţení, ţe na pravé straně se jedná o součn, a dostaneme vztah dp d( Tb ) d( P).( P) T b. (2-37) dt dt dt Dervace matce podle nějaké proměnné se provede tak, ţe se dervuje kaţdý prvek matce podle této proměnné. Pro levou stranu rovnce tedy dostaneme dp dt dx dt dy dt dz dt d() dt v v v x y z v (2-38) coţ znamená vektor translační rychlost bodu P v základním souřadném systému GCS. Vyjádření dervace v čase pravé strany rovnce je sloţtější, protoţe musíme uváţt, ţe homogenní transformační matce T b je funkcí více proměnných a to zobecněných souřadnc q( t), q2( t),, q ( t), které jsou navíc funkcí času, a jedná se tedy o totální dferencál sloţené funkce více proměnných. Nejprve upřesníme druhý člen na pravé straně rovnce. Jelkoţ souřadnce bodu P v jeho lokálním souřadném systému jsou konstantní (pohyb bodu je způsoben změnou zobecněných souřadnc q, q2,, q ) je dervace jeho souřadnc v LCS rovna nule a tento člen odpadá. Nostelem rychlost bodu P je tedy totální dferencál homogenní transformační matce T b dt dq b Tb. dt q dt j j j (2-39) Parcální dervace transformační matce T b podle příslušné zobecněné souřadnce se vypočte jako T q b j A ( q ) A. A ( ).... A ( ) (2-4) j, j j b q, q qj Jelkoţ homogenní transformační matce mez dvěma sousedním LCS sestává ze čtyř dílčích transformačních matc A A. A. A. A (2-4) j, j z, z, d x, a x, j j j j j j j j z nchţ jenom první dvě mohou obsahovat proměnnou, musíme uváţt typ pohybové jednotky a tím tedy proměnou, podle které je prováděna parcální dervace. Tak například pro rotační knematckou dvojc bude parcální dervace provedena podle proměnné j 32

A j, j j A z, j j j. A. A. A (2-42) z, d x, a x, j j j j j j A cos sn sn cos j j j j sn cos cos sn z j, j j j j j j j cos sn j j sn j cos j. A z, j. D D. A j R R z j, j (2-43) Z provedené dervace ve vztahu je zřejmé, ţe dervac dílčí transformační matce je moţno provést vynásobením této matce zvláštní matcí D R, která se nazývá dferencální operátor rotace, přtom nezáleţí na tom, násobíme-l zprava nebo zleva. Obdobně platí, ţe parcální dervac dílčí transformační matce v případě translace je moţno provést vynásobením dferencálním operátorem translace D T A z j d j, d j A. D D. A (2-44) z, d T T z, d j j j j kde D T (2-45) Parcální dervac transformační matce pak lze realzovat pomocí příslušného dferencálního operátoru podle toho, zda se jedná o translac nebo rotac A j, j j D. A. A. A. A D. A (2-46) R d a R j, j j j j j A j, j A. D.......... j T Ad A j a A A D j j j T A A A j j d A j a A D j j T A j, j d j D A T j, j (2-47) Vektor rychlost bodu P, vyjádřeného v -tém lokálním souřadném systému se vypočte jako totální dferencál homogenní transformační matce Tb q t vzhledem k času t, násobený souřadncem tohoto bodu v příslušném lokálním souřadném systému. T dq b j vp.. P (2-48) q dt j j Parcální dervace jsou realzovány pomocí násobení dferencálním operátorem D R popř. D T, podle typu knematcké dvojce. Např. rychlost počátku LCS 3 pro rotační první knematckou dvojc a translační druhou a třetí knematckou dvojc se vypočte jako 33

vo3 Ab. DR. A. A2. A23. dq Ab. A. DT. A2. A23. dq2 Ab. A. A2. DT. A 23. dq3. (2-49) kde dq, dq2, dq 3 jsou rychlost pohybu jednotlvých knematckých dvojc a T jsou souřadnce počátku LCS 3 (bodu, proto je čtvrtá souřadnce ), vyjádřeného v LCS 3. Výhodou pouţtí dferencálních operátorů na místě parcální dervace je opět snadné programování úlohy, kdy nesnadno programovatelná úloha parcální dervace sloţtých trgonometrckých výrazů je nahrazena rutnní operací násobení matc. Vţdy je ale nutno pouţít příslušný dferencální operátor podle typu knematcké dvojce. Komentovaný výpočet je také ukázán jako anmace:..\anmace\rtt_hlavce_prma_uloha\rtt_hlavce_prma_uloha_rychlost.mp4 Shrnutí kaptoly V této kaptole byl popsán způsob řešení přímé úlohy knematky tedy úlohy, kdy jsou známy jednotlvé kloubové proměnné (zobecněné souřadnce) natočení a posunutí jednotlvých článků a hledána je poloha koncového bodu manpulátoru, popř. technologcké hlavce a směry natočení posledního článku, rep. technologcké hlavce. Postup je následující. Rozmístění lokálních souřadných systémů na jednotlvé články mechansmu podle pravdel Denavt-Hartenberga (popř. v případě obecně natočené hlavce je vhodnější orentovat lokální souřadný systém ručně). 2. Stanovení čtveřc Denavt-Hartenbergových parametrů (v případě ručně umístěného lokálního souřadného systému určt transformační matc v CAD systému). 3. Dosazení čtveřc D-H parametrů do unverzálního vyjádření transformační matce mez sousedním souřadným systémy. 4. Vynásobení transformačních matc a výpočet celkové transformační matce. 5. První tř sloupce celkové transformační matce mez základním souřadným systémem a posledním souřadným systémem určují směr os posledního souřadného systému a poslední sloupec celkové transformační matce určuje polohu koncového bodu. 6. S vyuţtím dferencálního vyjádření transformační matce je rovněţ vypočtena rychlost koncového bodu př známých rychlostech jednotlvých kloubů. Pro výpočet dervace jednotlvých transformačních matc je s výhodou vyuţto dferencálních operátorů. Otázky. Kolk stupňů volnost má těleso v prostoru? 2. Jak souvsí počet stupňů volnost koncového zařízení s počtem kloubových proměnných? 3. Popste postup řešení přímé úlohy knematky. 34

3 INVERZNÍ ÚLOHA KINEMATIKY Čas ke studu: 4 hodny Cíl: Po prostudování této kaptoly budete umět - vypočítat průběh kloubových promenných (zobecněných souřadnc) jednotlvých knematckých dvojc př známém průběhu polohy a orentace koncového bodu robotu. Výklad Inverzní transformace komplexního vektoru polohy w na vektor obecné souřadnce q, jehoţ sloţky jsou zobecnělé souřadnce (zobecněné souřadnce) natočení nebo posuvu jednotlvých knematckých dvojc, je základním výpočtem knematky mechansmů a je nezbytná pro účely polohování jednotlvých článků mechansmu. Zatímco výpočet přímé transformace vektoru polohy p a vektoru orentace o je př známé transformační matc T bn jednoduchý, výpočet nverzní úlohy knematky w p o q q nv. trans. 2 q q n (3-) je relatvně komplkovaná úloha. Základním krtérem, kterým je moţno hodnott metody nverzní transformace je jejch unverzálnost, tj. pouţtí stejného algortmu pro lbovolnou knematckou strukturu a počet stupňů volnost mechansmu. Unverzální metody jsou aplkovány zejména u velkých CAD systémů, kdy programový systém musí zvládnout nverzní knematckou úlohu lbovolné knematcké struktury. Pro aplkace v oblast řízení je rychlost výpočtu rozhodující, protoţe řešení nverzní úlohy probíhá v deálním případě v reálném čase. Obecný přehled metod nverzní transformace z hledska jejch prncpu je ukázán na Obr. 3-. Metody řešení nverzní úlohy vektorová metoda numercké metody dentních rovnc konkrétní kn. struktura unverzální metody numercké řešení soustavy transcen- aproxmační optmalzační Obr. 3- heurstcké gradentní Pouţtí uvedených numerckých metod je bezproblémové u mechansmů s otevřenou knematckou strukturou, u knematckých struktur s jednoduchým smyčkam se dají tyto metody v řadě případů 35

pouţít přímo, popř. po úpravách. Sloţtější knematcké struktury se smyčkam je nutno řešt dle metodky (Brát, 98). 3. Numercké řešení soustavy transcendentních rovnc Přepočet souřadnc koncového bodu na zobecněné souřadnce jednotlvých pohybových jednotek vede k řešení soustavy rovnc, které jsou vzhledem k pouţtí rotačních kloubů transcendentní. Řešení takovéto soustavy rovnc je moţno provést vhodným programovým moduly, jako je Mathcad a Matlab. Příklad pouţtí Mathcadu je uveden v příkladu 3., Matlabu v příkladu 3.2. Příklad 3- Numercké řešení nvernzní úlohy knematky v prostředí Matcad Manpulátor s knematckou strukturou RTT z příkladu 2-5. Knematcká struktura a rozmístění souřadných systémů dle Denavt-Hartenbergova prncpu je znovu uvedeno na Obr. 3-2, parametry transformačních matc jsou uvedeny v Tab. 3-. Pro danou knematckou strukturu je provedeno řešení nverzní úlohy knematky metodou numerckého řešení soustavy transcendentních rovnc (Matlab). z b y 2 x 2 q 3 y 3 z q 2 z 2 x 3 y z x z 3 q y x y b x b Obr. 3-2 Rozměry manpulátoru jsou l.25 l 2.65 d Tab. 3- a l q 2 q 2 l 2 /2 3 q 3 36

Zadána je trajektore koncového bodu manpulátoru ve formě parametrckých rovnc, čas je parametr v rozsahu t.5 3 Parametry pohybu koncového bodu počáteční poloha, rychlost a zrychlení. a x.2 v x x. a y.2 v y y.3 a z. v z z. Koncový bod se bude pohybovat po přímce rovnoměrně zrychleným pohybem x( t) x v x t y( t) y v y t z( t) z v z t 2 a x t2 2 a y t2 2 a z t2 Pro sestavení soustavy rovnc určujících vztah mez vektorem kloubových proměnných a vektorem polohy koncového bodu je nutno nejprve sestavt jednotlvé transformační matce. Protoţe většna numerckých metod vyţaduje pro úspěšné řešení znalost řešení alespoň v jednom výchozím bodu, zvolíme následující hodnoty kloubových proměnných. V případě skutečného robotu a jeho řídcího systému je najetí do výchozí polohy zajštěno rutnou zvanou domácí poloha (home poston), která je zajštěna techncky pomocí senzorů polohy. Pro řešení nverzní úlohy jsou nejprve pouţty na místě kloubových proměnných proměnné s, s 2, s 3. s.8 s 2.8 s 3. Tyto hodnoty je moţno operatvně měnt podle výsledků přímé úlohy, tak aby souřadnce koncového bodu odpovídaly alespoň přblţně poţadovanému průběhu ve výchozím bodu. Transformační matce mez sousedním lokálním souřadným systémy jsou cos s sn s A b l A ( t) sn s cos s l 2 A 2 ( t) s 2 ( t) A 23 ( t) s 3 ( t) Po jejch symbolckém vynásobení (Mathcad) dostaneme celkovou transformační matc mez základním souřadným systémem a posledním lokálním souřadným systémem, jehoţ počátek je konco- 37

vým bodem manpulátoru a jehoţ souřadnce jsou dány posledním sloupcem celkové transformační matce cos s sn s l 2 T b3 l sn s cos s s 2 s 3 cos s sn s sn s s 3 cos s l 2 T b3 sn s cos s cos s s 3 sn s l 2 s 2 l.227.974.56 T b3.974.227.33.5 Nyní můţe být sestavena soustava rovnc pro řešení nverzní knematcké úlohy vyuţtím posledního sloupce celkové transformační matce, který udává souřadnce x y z koncového bodu. V našem případě se nejedná o přepočet jedné polohy, ale celého časového průběhu polohy koncového bodu, tak jak byl zadán v zadání příkladu. Pro řešení této soustavy rovnc, která je transcendentní, je vyuţt řešč Mathcadu, který řeší soustavu s vyuţtím upravené Levenberg-Marquardtovy metody (Polak, E. 997). Rovnce řešené soustavy se musí umístt mez klíčová slova Gven (Dáno) a funkc Fnd (Najd), která obsahuje výsledky. Pro správné řešení je ještě nutno zkontrolovat tzv. první odhad řešení, který je dán stanovením výchozích hodnot s aţ s 3 a porovnáním hodnot souřadnc x y z z číselného vyjádření celkové transformační matce a počátečních hodnot poţadovaných časových průběhů. Pokud je shoda dobrá, je moţno přstoupt k řešení. Gven s 3 sn s l 2 cos s x l 2 sn s s 3 cos s y s 2 l z Q( x y z) Fnd s s 2 s 3 Na levé straně rovnc jsou symbolcké výrazy z posledního sloupce celkové transformační matce, na pravé straně souřadnce koncového bodu. Soustava rovnc vlastně defnuje novou funkc Q(x,y,z), která je funkcí proměnných x, y, z a přepočítá souřadnce koncového bodu na jednotlvé zobecněné souřadnce (kloubové proměnné) pro jeden bod. Pro výpočet celého časového průběhu kloubových proměnných vyuţjeme tuto funkc tak, ţe za jednotlvé proměnné dosadíme jejch časové průběhy, tedy x( t), y( t), z( t ) a zároveň extrahujeme průběhy jednotlvých zobecněných souřadnc do vlastních kloubových proměnných q () t aţ q 3 () t. Moţnost pouţívání časových průběhů na místě proměnných funkcí je jedna z velkých výhod matematckého výpočetního programu Mathcad. 38

q ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) q 2 ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) 2 q 3 ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) 3 Časové průběhy zobecněných souřadnc je moţno ukázat číselně nebo grafcky q ( t).8 q 2 ( t).75 q 3 ( t).42 3.5.829.763.26 3.923 2.97.8.863.983.934 q ( t) 2.5 2.362.95.92 2 2.69 3.4.63.2.996.22.5 2 3 t.2.4.2 q 2 ( t) q 3 ( t).8.6 2 3 t.8 2 3 t Správnost řešení je vhodné ověřt dosazením časových průběhů zobecněných souřadnc do symbolckých výrazů v posledním sloupc celkové transformační matce a jejch porovnáním s poţadovaným průběhy souřadnc koncového bodu). sn q ( t) q 3 ( t) cos q ( t) l 2 x( t) cos q ( t) q 3 ( t) sn q ( t) l 2 y( t) q 2 ( t) l z( t).3.3.975.975.325.325.2.2.9.9.4.4.5.5.775.775.525.525.3.3.6.6.7.7.2.2.375.375.925.925.33.33...2.2.45.45 a také grafckým znázorněním v rovnách xy, xz a také ve 3D, kde je vdět přímkový průběh trajektore koncového bodu. 39

2 2 y( t) z( t) 2 2 x( t) x( t) Na základě časových průběhů zobecněných souřadnc je moţné jejch numerckou dervací (Mathcad) vypočíst další velčny, které jsou nutné pro následnou dynamckou analýzu mechansmu a to jsou zejména rychlost a zrychlení jednotlvých pohybových jednotek. dq ( t) d t q d ( t) dq 2 ( t) d t q 2 d ( t).4 dq 2 ( t).2 dq ( t).5 dq 3 ( t) 2 3 t d t q 3 d ( t) 2 3 ddq ( t).5 t d t dq d ( t).5 dq 3 ( t) ddq ( t) ddq 2 ( t).5 2 3 t d t dq 2 d ( t).5 2 3 ddq 3 ( t) d t dq 3 d ( t) t.5 ddq 2 ( t). ddq 3 ( t) 2 3 t.5 2 3 t 4

Příklad 3-2 Řešení nvernzní úlohy knematky v prostředí Matlab/Smulnk Pro řešení nverzní úlohy knematky se ukazuje zajímavá moţnost vyuţtí smulačního softwaru Matlab/Smulnk. Výhodou tohoto pouţtí je, ţe nverzní úloha knematky je řešena přímo v prostředí smulace celého systému, coţ je výhodné zejména vzhledem k moţnost doplnění řídících bloků, pohonů apod. Pro řešení je pouţto bloku Algebracká podmínka (Algebrac Constrant). Tento specální blok nastaví takovou výstupní hodnotu proměnné z, aby vstupní hodnota bloku s algebrackou podmínkou byla nulová. Výstup tohoto bloku musí ovlvňovat vstup přes lbovolnou zpětnovazební smyčku. Řešč opět pouţívá tzv. počáteční odhad, jehoţ správná hodnota ovlvňuje efektvnost výpočtu algebracké smyčky s podmínkou. Blokové schéma řešení úlohy je ukázáno na Obr. 3-3. 4

Obr. 3-3 3.2 Aproxmační metody nverzní transformace Homogenní transformační matce mez základním souřadným systémem a souřadným systémem posledního n-tého článku knematcké struktury T bn je obecně funkcí n zobecněných souřadnc q, q2,... q n. Př známé poloze a orentac koncového bodu knematcké struktury je známo číselné vyjádření prvků matce T bn a vynásobením jednotlvých dílčích matc A, v symbolckém tvaru pro danou knematckou strukturu dostaneme symbolcké vyjádření matce T bn, v jejíţ jednotlvých prvcích jsou obsaţeny zobecněné souřadnce v trgonometrckých vztazích. Porovnáním stejnolehlých prvků číselného a symbolckého vyjádření celkové transformační matce teoretcky dostaneme šestnáct rovnc pro řešení zobecněných souřadnc. Ale vzhledem k tomu, ţe poslední řádek homogenní matce nelze pouţít a také z důvodu lneární závslost prvků submatce rotace (submatce rotace vyjadřuje jed- 42

notkové vektory na osách posledního souřadného systému tvořícího ortogonální systém) lze pouţít pouze šest nezávslých rovnc a nelze tedy provést řešení pro více stupňů volnost neţ šest. Soustava rovnc je transcendentní a její řešení numerckým metodam je relatvně obtíţné. Určté zjednodušení představují numercké metody, které aproxmují průběh polohy a orentace koncového bodu v okolí výchozího známého bodu - aproxmační metody. 3.2. Aproxmace použtím Taylorova rozvoje transformační matce Homogenní transformační matc T bn q, q2,..., qn je moţno povaţovat za funkc více proměnných. Jelkoţ je tato funkce ve výchozím bodě daném souřadncem q, q2,... q n dferencovatelná (exstence spojté první a dalších dervací funkce polohy a orentace koncového bodu vyplývá ze samotné fyzkální podstaty této funkce), lze funkc v okolí tohoto výchozího bodu vyjádřt Taylorovým rozvojem (Frolov, 988). Jelkoţ se jedná o terační metodu, jsou pouţty jen první dva členy Taylorova rozvoje T q, q,..., q T T (3-2) n bn 2 n bn q q, q2 q2,..., qn qn bn q, q2,..., qn. q q kde T q bn A q A A A A U q (3-3), b. q. 2 q2...... n, n qn n q a dostáváme matcovou rovnc T q q T q U q bn bn n n. q (3-4) prvky matce prvky matce prvky matce neznámé číselně známy číselně známy číselně známy (ţádaná poloha) (výchozí poloha) (dervace ve vých. pol.) Dervace transformační matce A, podle obecné zobecněné souřadnce q je vypočtena jednoduše pomocí matce dferencálního operátoru rotace nebo translace podle typu pohybové jednotky. n Prvek na m-tém řádku a v n-tém sloupc matce U n označme u mn,. Prvky matce T bn v ţádané poloze d v označme t mn, a ve výchozí poloze t mn,. Porovnáním vhodných stejnolehlých prvků v matcové rovnc (3-4) dostaneme soustavu rovnc pro řešení neznámých q. Např. pro tř stupně volnost dostaneme soustavu 3 32 33 d v,4.,4. 2,4. 3,4,4 u q u q u q t t 3 32 33 d v 2,4. 2,4. 2 2,4. 3 2,4 2,4 u q u q u q t t 3 32 33 d v 3,4. 3,4. 2 3,4. 3 3,4 3,4 u q u q u q t t (3-5) Je zřejmé, ţe pro tř stupně volnost má smysl porovnávat pouze souřadnce koncového bodu, tj. prvky posledního sloupce transformačních matc, pro více stupňů volnost se přdávají další prvky matc nad hlavní dagonálou. Řešením soustavy (3-5) dostaneme neznámé q, q2,..., q n a vypočteme nový vektor zobecněných souřadnc q, který dále povaţujeme za výchozí polohu a provedeme výpočet 43

Tbn q a Un q pro tento nový výchozí vektor zobecněných souřadnc a znovu dosadíme do soustavy. Výpočet rychle konverguje ke správné hodnotě, počet terací závsí na počtu stupňů volnost a na konfgurac mechansmu, většnou se ale pohybuje kolem deset, soustava rovnc ale musí mít řešení (mechansmus nesmí být v sngulární poloze), prvky transformační matce pro výchozí bod musí být vypočteny přesně, jnak řešení oscluje a není dosaţena poţadovaná přesnost výpočtu. Metodu lze pouţít bez úprav pouze do šest stupňů volnost (porovnáváme prvky nad hlavní dagonálou matc), pro více stupňů je třeba postupně pohybové jednotky blokovat, coţ prodluţuje výpočet. Příklad 3-3 Řešení nverzní úlohy Taylorovým rozvojem transformační matce Manpulátor s knematckou strukturou RTT dle Obr. 3-4. Knematcká struktura a rozmístění souřadných systémů dle Denavt-Hartenbergova prncpu je na tomtéţ obrázku vpravo. Zadáním je nalezení kloubových proměnných s, s2 a s 3 př známé výchozí poloze koncového bodu a tomu odpovídající hodnotě kloubových proměnných ve výchozí poloze. z b y 2 x 2 q 3 y 3 z q 2 z 2 x 3 y z x z 3 q y x y b x b Výchozí poloha je dána: s x.65 Obr. 3-4 s 2.9 y. s 3. z 4.454 cos s sn s A b.554 A sn s cos s 44

.65 A 2 s 2 A 23 s 3 T b3 A b A A 2 A 23 T b3.65..454.65 TV..454 Pro výchozí polohu a výpočet nverzní úlohy jsou na místě kloubových proměnných pouţty proměnné s, s2 as 3. Kloubové proměnné q, q2 a q 3 jsou pouţty pro kontrolu správnost výpočtu. Ţádaná poloha koncového bodu je dána jako: neznáme x d.4855 y d.87 z d.54 TD neznáme neznáme neznáme neznáme neznáme neznáme neznáme neznáme neznáme.4855.87.54 V transformační matc v ţádané poloze známe pouze poslední sloupec, protoţe směr posledního článku, vedoucího k této ţádané poloze ještě neznáme. Na místo submatce rotace vloţíme tedy lbovolnou proměnnou a zadáme její hodnotu, abychom mohl ve výpočtu dále s matcí TD pracovat. V prostředí Matcadu je dále ukázáno sestavení soustavy rovnc a její matcové řešení a dále ukázán způsob programovaní v prostředí Mathcadu. Celý výpočet v prostředí Mathcadu je na..\mathcad\rtt_verzn_taylor.xmcd Prohlíţení výpočtu běţným prohlíţečem (např. Internet Explorer) na..\mathcad\rtt_verzn_taylor.html Komentovaný výpočet je také ukázán jako anmace:..\anmace\rtt_nverzn_uloha_taylor\rtt_nverzn_uloha_taylor.mp4 Další anmace se týká programového řešení výpočtu (tedy vlastního programování v prostředí Mathcad)...\Anmace\RTT_nverzn_uloha_Taylor\RTT_nverzn_uloha_Taylor_program.mp4 45

3.2.2 Newtonova aproxmační metoda nverzní transformace Newtonova metoda nverzní transformace, obdobně jako metoda Taylorova rozvoje transformační matce, aproxmuje průběh funkce polohy a orentace koncového bodu knematcké struktury výpočtem dferencálu této funkce př známém výchozím bodě. Na místě dferencálu je v tomto případě pouţto Jakobovy matce soustavy, jejíţ odvození pro danou knematckou strukturu je provedeno ntutvně přímo z defnce Jakobovy matce pro soustavu funkcí více proměnných (Rektorys, 968). Předpokládejme, ţe v n-rozměrném prostoru je defnováno m funkcí soustavou rovnc y f x, x,..., x 2 y f x, x,..., x 2 2 2 y f x, x,..., x m m 2 n n n (3-6) Tato soustava rovnc v podstatě představuje zobrazení, které kaţdému vektoru x [ x x2... x ] T n z n-rozměrného prostoru přřazuje vektor y [ y y2... y ] T m z m-rozměrného prostoru. Mají-l funkce f, f2,..., f m parcální dervace. řádu a jsou dferencovatelné, lze napsat totální dferencály f f f dy dx dx dx 2... x x2 xn f f f dy dx dx dx 2 2 2 2 2... x x2 xn f f f dym dx dx dx x x x m m 2... m 2 n n n n (3-7) Soustavu (3-7) je moţno zapsat pomocí matcového zápsu dy u u u dx 2 n dy u u u dx. 2 2 22 2n 2 dy u u u dx m m m2 mn n kde u j f x j (3-8) nebo symbolcky dy J. dx (3-9) kde matce J je Jakobova matce soustavy. V knematce mechansmů, je moţno vektor x nahradt vektorem zobecněné souřadnce q (počet sloţek je n - počet stupňů volnost) a vektor y spojeným vektorem polohy p a orentace o koncového bodu (p - tř souřadnce x, y, z a o - tř souřadnce přblţovacího vektoru). Jakobova matce soustavy J o rozměrech 6 n pak transformuje změnu obecné zobecněné souřadnce dq z n-rozměrného prostoru na změnu vektoru dw tj. změnu polohy a orentace nástroje respektve posledního článku v šestrozměrném prostoru. Pak je moţno psát dw J. dq (3-) nebo v děleném tvaru 46

dp do J J p o. dq (3-) kde Jp, J o jsou 3 n submatce polohy a orentace. Odvození jednotlvých prvků Jakobovy matce J je provedeno z jejch fyzkálního významu, protoţe exaktní odvození parcálních dervací transformačních funkcí je v obecném případě komplkované. Vyšetřeme nejdříve vlv jen dané zobecněné souřadnce q na změnu polohy koncového bodu vektoru p bn. Poměry (zvelčené) např. pro -tou rotační dvojc jsou znázorněny na Obr. 3-5. Př malé změně zobecněné souřadnce o úhel dq se koncový bod vektoru p bn posune o vektor dp. Stejný vektor dp dostaneme př otáčení -té dvojce, tj. vektoru p, n kolem osy k o úhel dq. Jelkoţ se jedná o nekonečně malé natočení, oblouk, který opsuje koncový bod, je moţno povaţovat za přímku a jeho velkost dostaneme jako součn velkost průvod- p a opsaného úhlu dq. Směr vektoru dp je dán vektorovým součnem kˆ. p, n. Pro změnu če, n z n z n y n dp x n dq x n y n z b n p z n p p b x b y b Obr. 3-5 vektoru p bn způsobenou pouze natočením -té dvojce o úhel dq tedy platí dp kˆ. p. dq (3-2), n Jelkoţ se jedná o nekonečně malá natočení, je moţno vektor dp způsobený všem rotačním dvojcem vypočíst jako superpozc jednotlvých pohybů, coţ lze v matcovém tvaru zapsat dp kˆ. p kˆ. p kˆ. p. n n n n, n dq dq dq 2 n (3-3) V případě -té translační dvojce se koncový bod vektoru p bn můţe pohybovat pouze ve směru posuvu této dvojce, tj. ve směru k a velkost a směr vektoru dp je dána dp k dq (3-4). 47

Jelkoţ se jedná o nekonečně malé posuvy, je moţno vektor dp způsobený všem translačním dvojcem vypočíst jako superpozc jednotlvých pohybů, coţ lze v matcovém tvaru zapsat dp k k k n. dq dq dq 2 3 (3-5) Př kombnac translačních a rotačních dvojc v knematcké struktuře, bude vţdy na místě příslušného prvku submatce J p buď vektorový součn kˆ. p, n pro rotační dvojc a nebo k pro translační dvojc. Obdobná stuace platí pro změnu souřadnc do přblţovacího vektoru danou směrem otáčení a velkostí natočení jednotlvých rotačních dvojc. Pro -tou rotační dvojc je změna souřadnc přblţovacího vektoru způsobená touto dvojcí dána do kˆ. o. dq (3-6) n Pro všechny rotační dvojce a velm malá natočení je moţno pouţít prncp superpozce jednotlvých pohybů a pro vektor do platí do kˆ. o kˆ. o kˆ. o. n n n n dq dq dq 2 n (3-7) Pro translační dvojce nedochází ke změně orentace přblţovacího vektoru a proto příslušný prvek v submatc J o bude nulový. Pro velm malé změny zobecněné souřadnce tedy je moţno nahradt změnu polohy a orentace koncového bodu jejím dferencálem a psát w q dq w q J. dq (3-8) nebo pomocí submatc polohy a orentace Jakobovy matce p q dq p q o q dq o q J J p o. dq (3-9) Uvedená nterpretace Jakobovy matce slouţí pro defnovaný vektor w zahrnující komplexní nformac o poloze a orentac koncového bodu mechansmu. Vynásobením rovnce (3-9) zleva nverzní Jakobho matcí dostaneme změnu zobecněné souřadnce ve vztahu dq J J p o. dp do (3-2) Tento vztah platí s určtou přesností jen v okolí výchozího bodu pro malé změny dp, do, ale jelkoţ se jedná o terační metodu, je moţno přejít od dferencálu na dferenc q ( k) ( k) Jp q p. ( k) J q o o ( k) ( k) (3-2) a vypočítat novou výchozí polohu podle vztahu 48

( k ) ( k) ( k) q q q (3-22) () () V nultém kroku musí být známa výchozí poloha koncového bodu p p( q ) a orentace přblţovacího vektoru o o( q ) př známé výchozí hodnotě zobecněné souřadnce q. Ţádaná po- () () () d d d d loha koncového bodu p p( q ) a ţádaná orentace přblţovacího vektoru o o( q ) je číselně d známa, ale neznáme vektor zobecněných souřadnc q v ţádané poloze. Pro první terac je moţno napsat () d () dp p p p (3-23) () d () do o o o (3-24) a dosadt do vztahu), kde dq nahradíme q. Algortmus výpočtu: k = q ( k) ( k) Jp q p. ( k) J q o o ( k) ( k) ( k ) ( k) ( k) q q q povaţujeme za novou výchozí hodnotu k = k + Vypočteme ( k) ( k) p p q, ( k) ( k) ( k) d ( k) o o q, p p p, ( k) d ( k) o o o, p ( k ) J q, J q o ( k ) Jestl ( k ) p nebo p ( k ) o (, o p o vhodně stanovené přesnost), jd na ) d q q ( k) Př rozměru Jakobovy matce 6 n je moţno tento výpočet provést pouze do n 6, tedy pouze do šest stupňů volnost, pro více stupňů volnost nelze provést jednoduše nverzní matc (není čtvercová). Pro menší počet stupňů volnost neţ šest vţdy pouţjeme tolk řádků matce J, kolk je stupňů volnost, tedy submatc J n rozměru n n. Vţdy se snaţíme pouţít submatc J p pro polohu koncového bodu, tedy první tř řádky a ze submatce J o pouţjeme ty řádky, ve kterých se souřadnce přblţovacího vektoru mění vlvem změny některé zobecněné souřadnce. Metoda je také ctlvá na tzv. sngulární polohu mechansmu, tj. polohu, ve které je determnant submatce J n (tzv. Jakobán) nulový. Příklad 3-4 Řešení nverzní úlohy knematky nverzí Jakobho matce Opět stejný manpulátor s knematckou strukturou RTT dle Obr. 3-4. Zadáním je nalezení trajektore kloubových proměnných, které mohou být zasílány např. jako ţádané polohy do regulátorů polohy jednotlvých pohybových os, popř. slouţí k dalšímu modelování dynamky mechansmu. Zadáno je počáteční zrychlení, počáteční rychlost a počáteční poloha koncového bodu a počáteční kloubové proměnné. Řešena je pouze část trajektore, a to rovnoměrně zrychlený pohyb koncového bodu daným zrychlením po dobu,2 sec. 49

Celý výpočet v prostředí Mathcadu je na..\mathcad\rtt_nv_uloha_transc_jacob.xmcd Prohlíţení výpočtu běţným prohlíţečem (např. Internet Explorer) na..\mathcad\rtt_nv_uloha_transc_jacob.html Komentovaný výpočet je také ukázán jako anmace:..\anmace\rtt_nverzn_uloha_jacob\rtt_nverzn_uloha_jacob.mp4 Další anmace se týká programového řešení výpočtu (tedy vlastního programování v prostředí Mathcad)...\Anmace\RTT_nverzn_uloha_Jacob\RTT_nverzn_uloha_Jacob_program.mp4 Pomocí Jakobovy matce dokáţeme také řešt přímou a nverzní úlohu dotýkající se rychlostí. Pro přepočet rychlostí pohybových jednotek na rychlost koncového bodu a naopak pouţjeme jné fyzkální nterpretace Jakobovy matce. Pokud povaţujeme zobecněnou souřadnc q za funkc času, tj. q q t a nahradíme v transformační matcové rovnc dq dervací podle času, tj. q, je ţádoucí, aby výsledkem transformace byl komplexní vektor translační a úhlové rychlost koncového bodu. Submatce J p zůstává stejná, submatce J o je nahrazena submatcí J transformující rychlost pohybových jednotek na úhlovou rychlost přblţovacího vektoru. Prvky submatce J opět odvodíme z fyzkálního významu. Pro -tou rotační dvojc je vektor úhlové rychlost přblţovacího vektoru způsobený touto dvojcí dán její osou otáčení a její úhlovou rychlostí k. q. Pro současné působení všech rotačních dvojc je moţno opět pouţít prncp superpozce k k k n. q q 2 q n (3-25) Translační dvojce se na úhlové rychlost přblţovacího vektoru nepodílejí, a proto na místě příslušných prvků budou v případě kombnace rotačních a translačních knematckých dvojc nulové hodnoty. Výsledný záps transformační rovnce je v J p J. q (3-26) 3.3 Optmalzační metody nverzní transformace Optmalzační metody obecně jsou zaloţeny na změnách parametrů optmalzovaného systému, kde krtérem optmálního řešení je extrém tzv. objektvní funkce (Reklats, 983). Objektvní funkcí v našem případě je tzv. chyba polohování, parametry soustavy jsou zobecněné souřadnce jednotlvých článků knematcké struktury. Změny parametrů jsou prováděny fktvním pohybem jednotlvých článků mechansmu, př kterém je vyhodnocována objektvní funkce - chyba polohování a př dosaţení mnma této chyby jsou odečteny hodnoty zobecněných souřadnc jednotlvých článků mechansmu. 5

Chyba polohování je také základním krtérem př úlohách řízení polohových servosmyček jednotlvých článků. Chyba polohování udává obecně chybu dosaţení ţádané hodnoty polohy a orentace daného článku a je defnována jako součet chyby polohy (3-27) a chyby orentace (3-28) - Obr. 3-6. P( q) ( p p ( q)) T. ( p p ( q )) (3-27) bd bn bd bn T 2 T 2 T 2 d n d n d n O( q) (. ( q) ) ( j. j ( q) ) ( k. k ( q ) ) (3-28) E( q) P( q) O( q ) (3-29) k d k n j d p d n j n z b d p b n p b x b y b Obr. 3-6 kde p bd je vektor ţádané polohy koncového bodu, p bn vektor okamţté (výchozí) polohy koncového bodu,, j, k jednotkové vektory na osách x, y, z, ndex b - základní (bázový) souřadný systém (GCS), ndex d ţádaná poloha, ndex n - okamţtá poloha posledního lokálního souřadného systému ( LCS n ). Př numerckém řešení nverzní knematcké úlohy tedy hledáme takový vektor zobecněné souřadnce q *, aby platlo E( q*) mn E( q ) (3-3) l u q q * q,..., n (3-3) l u kde q, q a jsou fyzkální meze horní a dolní zobecněné souřadnce kaţdého článku a zároveň musí být splněno E( q *) (3-32) kde je přípustná chyba polohování. 5

Příklad 3-5 Výpočet a zobrazení chyby polohování Příklad mechansmu se dvěma stupn volnost dle Obr. 3-7. Hledány jsou hodnoty celkové chyby polohování E( q, q2) pro ţádanou polohu a orentac posledního článku dle uvedeného obrázku. Jako výchozí poloha je přtom brána lbovolná poloha kolem ţádané polohy. Je tedy nutno vyjádřt chybu polohy a chybu orentace jako funkc kloubových proměnných. Nejprve jsou vypočteny vektory polohy koncového bodu v ţádané a obecné poloze y x y 2 x 2 z b z q 2 z 2 y q x y b z x b Obr. 3-7 p bd.5.346 p bn q q 2. l cos q l 2 cos q cos q 2 l 2 sn q sn q 2 l sn q l 2 cos q sn q 2 l 2 cos q 2 sn q Dále jsou vyjádřeny jednotkové vektory v ţádané poloze mechansmu pro q 6 a q 2 3 d j d k d a v obecné poloze pro lbovolné hodnoty q a q 2 n q q 2 cos q cos q 2 sn q sn q 2 cos q sn q 2 cos q 2 sn q j n q q 2 cos q sn q 2 cos q 2 sn q k n q q 2 cos q cos q 2 sn q sn q 2 52

Chyba polohy, chyba orentace a celková chyba polohování je pak vyjádřena jako deltap q q 2 p bd p bn q q 2 T pbd p bn q q 2 deltao q q 2 d T n q q 2 2 j d T jn q q 2 2 k d T kn q q 2 2 E q q 2 deltap q q 2 deltao q q 2 Na obrázku Obr. 3-8 je ukázán výsledný graf chyby polohování ve 3D zobrazení. Na tomto zobrazení je vdět typcký průběh chyby polohování s mnmem E( q, q 2), ze kterého můţeme odečít polohu q 6 a q 2 3. Druhý (na obrázku pravý blţší průběh) ukazuje řešení pro hodnoty pro q 6 a q 2 6, coţ je vlastně totéţ řešení, protoţe q 2 3 6. Obr. 3-8 Výpočet chyby polohování v prostředí Mathcad pro mechansmus se dvěma stupn volnost dle Obr. 3-7 je ukázán na následujícím odkaze -..\Mathcad\RR_deg.xmcd Prohlíţení výpočtu běţným prohlíţečem (např. Internet Explorer) na..\mathcad\rr_deg.html Komentovaný výpočet chyby polohování je také ukázán jako anmace:..\anmace\chyba_polohovan\chyba_polohovan.mp4 53

3.3. Metody heurstcké Tato skupna metod je zaloţena na optmalzační technce přímého heurstckého vyhledávání řešení. Prncpem vyhledávání je mnmalzace funkce chyby polohování postupným fktvním pohybem jednotlvých pohybových jednotek v cyklu. Výhodou je poměrně rychlá konvergence do bodu blízkého konečnému řešení. Tyto metody jsou pouţtelné pro větší počet stupňů volnost neţ šest, nejsou ctlvé na sngulární polohu mechansmu a na přesnost stanovení výchozí polohy. Mez nejpouţívanější patří metoda cyklckého decmování chyby polohování - Cyclc Coordnate Descent (CCD), (Luenberger, 984), a metoda, kterou vyvnul K. Kazerounan (Kazerounan, 987). Žádaná poloha z b Výchozí poloha y b x b Obr. 3-9 Metoda CCD pouţívá k mnmalzac celkové chyby polohování postupného fktvního pohybu jednotlvých článků. Výchozí podmínky pro pouţtí metody jsou - otevřená knematcká struktura, tuhé články, pohybové jednotky s jedním stupněm volnost, osy z ve směru otáčení nebo posuvu článků 4. Kaţdý cyklus hledání řešení sestává z n kroků (n - počet stupňů volnost). Začíná se fktvní pohyb posledním článkem, ostatní pohybové jednotky jsou zablokovány. Poslední článek se natáčí o úhel do polohy, ve které je mnmum chyby polohování E. Jelkoţ chyba polohování je defnována jako součet chyby polohy a chyby orentace, je optmální poloha natočení článku kompromsem mez mnmem chyby polohy a orentace (v Obr. 3-9 čárkovaně). Po nalezení mnma chyby polohování je zablokována poslední rotační jednotka a uvolněna předchozí. Dvojce posledních článků se opět natáčí do polohy, ve které je chyba polohování E mnmální. Takto se postupně dojde aţ k první pohybové jednotce. Cyklus terací (fktvních pohybů) se opět opakuje od posledního článku a to tak dlouho, aţ je splněna podmínka, ţe chyba polohování je menší neţ nastavená přesnost výpočtu. Následující odvození je provedeno pro rotační pohybovou jednotku. Obecně se v -tém kroku cyklu ( = n, n-,..,) pohybuje pouze pohybová jednotka (ostatní jsou blokovány) tak, aby byla mnmalzovaná funkce chyby polohování. Obr. 3- znázorňuje jeden krok cyklu př pohybu rotační poh. jednotky kolem osy z. Vektor p b, ukazuje okamţtou polohu počátku - souřadného systému, vektor p, n je vektor z počátku - souř. systému do okamţté polohy počátku posledního (n-tého) 4 obecně není nutno dodrţet Denavt-Hartenbergův prncp orentace souřadných systémů, ale z hledska snadné algortmzace a automatzace výpočtu je to výhodné 54

souř. systému, p, d je vektor z počátku - souř. systému do počátku posledního souř. systému v ţádané poloze. V -tém kroku vektory p b, a p, d zůstávají konstantní a vektor p, n a poslední souřadný z d z n y d p x d y n z b d p z x n n p p b x b y b systém v okamţté poloze se natáčejí kolem osy z tak, aby byla mnmalzována funkce celkové chyby polohování E( q ). Chyba polohy P( q ) je v tomto případě defnovaná pomocí vektorů p, n a p, d. V -tém kroku př rotační pohybové jednotce je zobecněná proměnná q představována úhlem natočení, ostatní zobecněné souřadnce jsou konstantní. Vektor p, n rotuje kolem osy z o úhel do polohy p, n( ). V tomto kroku je chyba polohy a orentace pouze funkcí jedné proměnné. Úloha je najít takové * pro které je mnmální celková chyba polohování, tj. E q * mn E q (3-33) pak ( k ) ( k) q q * (3-34) a přejdeme k další pohybové jednotce. Takto postupně najdeme nový vektor zobecněné souřadnce ( k ) q, který slouţí jako výchozí poloha pro další cyklus terace. Obecný n-rozměrný problém je takto převeden na jednorozměrný s proměnnou. Chybu polohy pak je moţno vyjádřt T, d, n, d, n P( ) p p ( ). p p ( ) Obr. 3- T T T, d, d, n, n, d, n ( p ). p p ( ). p ( ) 2 p. p ( ) (3-35) jelkoţ první dva členy v rovnc (3-35) jsou v dané výchozí poloze kladné a konstantní, úloha hledání mnma funkce P přechází na hledání maxma funkce 55

T, d, n g ( ) p. p ( ) (3-36) Obdobně chybu orentace je moţno vyjádřt jako funkc T 2 T 2 T 2 d n d n d n O( ). ( ) j. j ( ) k. k ( ) (3-37) Jednotkové vektory jsou znázorněny na Obr. 3-. Jejch skalární součny je moţno vyjádřt jako T d. cos T d T d n j. j cos k n. k cos n 2 3 (3-38) a chybu orentace dosazením do (3-37) 3 j 2 O ( ) cos ( ) (3-39) j kde cos( ), j. Vzhledem k rozsahu funkčních hodnot funkce cos, hledání mnma funkce O je totéţ jako hledání maxma funkce: 2 3 g cos (3-4) j j k n ( ) 3( ) k d k j n ( ) 2( ) j d d Tato matematcká úprava není z hledska exaktního řešení úplně rovnocenná, obecně mnmum O a maxmum g 2 má jné řešení, ale pro danou metodu numercké terace je postačující, obě řešení se asymptotcky blíţí a úprava velm zjednodušuje a zrychluje výpočet. Kombnací chyby polohy a orentace přechází úloha na nalezení maxma funkce g w g w g (3-4) p o 2 ( ) n ( ) Obr. 3- Jednotlvá krtéra (polohy a orentace) mohou být doplněna váhovým koefcenty w p a w přznávajícím větší důleţtost přesnost dosaţení polohy, č orentace. Je obtíţné nalézt obecné pravdlo pro volbu váhových koefcentů, protoţe základní přesnost polohování jako objektvní funkce je dána volbou poţadované maxmální chyby polohy a orentace v součtu a vhodná volba těchto koefcentů se navíc lší případ od případu podle knematcké struktury a polohy ţádaného a výchozího bodu. Jedno- 56

duchým krtérem je nárůst počtu terací př praktckém pouţtí, kdy průběh funkcí g nebo g 2 kolem maxma je velm plochý. Programové řešení umoţňuje tuto stuac regstrovat a reagovat zmenšením váhového koefcentu. Úloha tedy je najít takové *, které splňuje podmínku g * max g (3-42) a dále úhel * musí být v příslušných fyzkálních mezích - Obr. 3-2 l * u l k l q q u u k q q (3-43) u q k q l q Obr. 3-2 3.3.. Analytcké řešení Vektor p, n lze pomocí Rodrgovy formule (Wang, 985) vyjádřt ve tvaru: T ˆ, n, n, n, n p k. p. k. cos p.cos k. p.sn (3-44) a dosadt do g T T T, d, n, d, n g p. k. p. k. cos p. p.cos T ˆ, d, n p. k. p.sn (3-45) obdobně lze vyjádřt g 2 g. k.. k. cos..cos. kˆ..sn T T T T 2 d n d n d n j. k. j. k. cos j. j.cos j. kˆ. j.sn T T T T d n d n d n k. k. k. k. cos k. k.cos k. kˆ. k.sn T T T T d n d n d n (3-46) dosazením g a g 2 do g a úpravou závorek dostaneme g a cos a2 cos a 3 sn (3-47) kde a, a2, a 3 jsou v dané poloze konstanty vyjádřené pomocí polohových a jednotkových vektorů T T wp p, d. k. p, n. k a w T T T T T T o d. k. n. k jd. k. jn. k kd. k. kn. k (3-48) 57

T T T T 2 p, d., n o d. n d. n d. n a w p p w j j k k (3-49) a k w p p w ˆ ˆj j kˆ k (3-5) T 3 p ˆ, n., d o n. d n. d n. d Pokud neuvaţujeme lmty pohybů jednotlvých pohybových os lze najít maxmum funkce g a z toho plynoucí * z podmínek: dg d a a sn a cos 2 3 2 d g d 2 a a cos a sn 2 3 * * q u q l Řešení je platné pokud * u. Pokud vypočtené * je mmo meze, pak v daném kroku provedeme následující přřazení ( k) q l q Obr. 3-3 l u l g g * l u u g g * Obdobné vztahy lze odvodt pro translační jednotku. V tomto případě můţe být redukována jen chyba polohy. Translační pohybová jednotka se fktvně posouvá z výchozí polohy o vzdálenost. Pak pro chybu polohy (orentace se nemění) platí T P p p k.. p p k. (3-54), d, n, d, n úpravou dostaneme T T 2 P p. p 2 p. k. (3-55) Hledáme tedy takové * pro které platí - Obr. 3-3 P * mn P (3-56) pro meze * řešení nalezneme z podmínek l u l k l u u k q q q q (3-57) d P d T 2 p. k (3-58) d 2 d P 2 2 (3-59) Pokud * je mmo uvedené meze pak analogcky provedeme následující přřazení u l u u l l P P * P P * (3-6) 58

Takto je v kaţdém kroku CCD metody redukován n-rozměrný mnmalzační problém na jednorozměrný, jehoţ analytcké řešení můţe být poměrně snadno vypočítáno. Jelkoţ je v kaţdém kroku mnmalzována funkce celkové chyby polohování, je zajštěna globální konvergence metody. Praktcké zkušenost s touto metodou ukazují, ţe konverguje k poloze blízké řešení velm rychle, praktcky v několka cyklech. Další konvergence z polohy velm blízké řešení do ţádané polohy jţ trvá podstatně déle. Z důvodu heurstcké povahy vyhledávání řešení, není metoda ctlvá na přesnost stanovení výchozí polohy. Potíţe s touto metodou nastávají velm zřídka. Někdy dochází ke konvergenc k bodu blízkému řešení, ale chyba polohy uţ se dále nezmenšuje a je stále větší neţ zadaná mnmální hodnota. Pokud exstuje více řešení pro danou polohu a orentac pracovního článku mechansmu, metoda nenalezne všechna moţná řešení, ale je nutno j modfkovat. Obecně ale platí, ţe metoda je pouţtelná pro více neţ šest stupňů volnost a nezávsí na případné sngulartě ve výchozí poloze, coţ jsou podstatné výhody prot aproxmační skupně metod. 3.3.2 Metody založené na gradentu chyby polohování Gradentní metody (Reklats, 983) patří ke skupně optmalzačních metod pro řešení nverzní transformace. Optmalzace je opět prováděna terací postupným zpřesňováním vektoru zobecněných proměnných q, který vystupuje jako parametr optmalzované soustavy př jeho známé výchozí a ţádané hodnotě. Jako krtérum optmalzace (objektvní funkce) vystupuje mnmum chyby polohování E q. Prncpem gradentních metod je fktvní pohyb všem pohybovým jednotkam dané knematcké struktury současně tak, aby se hodnota chyby polohování E q v daném kroku pohybovala ve směru svého největšího spádu, tj. ve směru svého záporného gradentu. Chyba polohování je funkce více proměnných a tedy pro její gradent platí E 2 n T E q E q E q q (3-6) q q q Jednotlvé sloţky vektoru E q odpovídají příspěvku změny jednotlvých zobecněných souřadnc k chybě polohování. Tam kde je velká hodnota, dochází jţ př malé změně zobecněné souřadnce k velké změně chyby polohování a naopak. Krok T u u2 u n u (3-62) který je nutno vykonat jednotlvým pohybovým jednotkam směrem k mnmu chyby polohování je tedy úměrný vektoru E q. Chyba polohování je defnována T T 2 T 2 T 2 bd bn bd bn d n d n d n E( q) p p q. p p q. ( q) j. j ( q) k. k ( q ) (3-63) a pro jednotlvé sloţky gradentu tedy platí E q T pbn q T T n q 2 pbn q pbd. 2 d. n q. d. q q q T T d n d 2 j. j q. j. T T d n d 2 k. k q. k. j n q k q n q q (3-64) 59

Jednotlvé parcální dervace vektorů podle zobecněných souřadnc lze poměrně snadno odvodt z fyzkálního významu stejně jako u sloţek Jakobovy matce p bn q n q q q kˆ. p ( q) rotační jednotka k, n translační jednotka k ˆ. q rotační jednotka n translační jednotka (3-65) (3-66) Po dosazení do (3-64) dostaneme pro jednotlvé sloţky vektoru E q pro rotační jednotku E q q T ˆ T T ˆ bn bd, n d n d n 2 p q p. k. p 2. q.. k. q 2 j. j q. j. kˆ. j q T T d n d n 2 k. k q. k. kˆ. k q T T d n d n (3-67) a pro translační jednotku E q q T ˆ bn bd, n 2 p q p. k. p (3-68) Jak uţ bylo uvedeno, metody zaloţené na gradentu chyby polohování pohybují fktvně současně všem pohybovým jednotkam s krokem u, který je úměrný E q. Základní algortmus terace je tedy k k k k k k q q q q. u (3-69) Metod pro výpočet kroku u je několk a jsou uvedeny dále. Koefcent, který je zaveden navíc se nazývá optmální míra kroku a je to číslo, které je pro všechny pohybové jednotky stejné a optmalzuje krok u podle průběhu funkce E q tak, aby bylo v daném kroku nalezeno mnmum chyby polohování a byla zaručena konvergence metody. Nejprve je provedeno odvození míry kroku a dále jsou uvedeny dvě metody nalezení kroku u. Chybu polohy a orentace v daném kroku lze vyjádřt jako funkc jedné proměnné (př známém kroku u) T bd bn bd bn P( ) p p ( q. u). p p ( q. u ) (3-7) T 2 T 2 T 2 d n d n d n O( ). ( q. u) j. j ( q. u) k. k ( q. u ) (3-7) E( ) P( ) O ( ) (3-72) Původně n-rozměrný problém hledání mnma funkce E q je tak převeden na jednorozměrný problém hledání mnma funkce E. Hledáme tedy takové *, pro které platí * E mn E (3-73) 6

Pro velm malé změny zobecněných souřadnc je moţno změnu polohy a orentace koncového bodu vypočítat pomocí Jakobovy matce dp do J J p o. dq (3-74) Jelkoţ se jedná o metodu terační, jejíţ krok je navíc optmalzován, je moţno s dovolt záměnu dq q. u (3-75) Pak je moţno psát p ( q. u) p q dp p q J.. u (3-76) bn bn bn p q. u q doˆ. q kde do J.. u (3-77) n n n o Po dosazení do E( ) P( ) O ( ) a úpravě dostaneme 2 E a 2b c (3-78) kde koefcenty a, b, c jsou v daném kroku konstantní a jsou pouze kombnací polohových a jednotkových vektorů v dané výchozí poloze, dále vektoru vyhledávání u v dané výchozí poloze a submatc J, J Jakobovy matce ve výchozí poloze. Platí p o T T 2 T 2 T 2 bd bn. bd bn d. n( ) d. n( ) d. n( ) a p p q p p q q j j q k k q (3-79) T bd bn p b p p q. J. u T ˆ T. ( )... ( ). ˆ T q j j q j. j k. k ( q). kˆ. k. J. u d n d n d n d n d n d n o T (3-8) 2 2 2. T.. ˆ. T. ˆ. T. ˆ. T p p u n d u n d u n. d c J u J u o o j j o k k (3-8) kde o J. u (3-82) u o Pak pro nalezení mnma je moţno psát 2 d E d 2 2c mnmum (3-83) de d 2 b c b c (3-84) Nejprve je tedy na základě dále uvedených metod stanoven vektor vyhledávání (krok) u, vypočteny koefcenty b a c a na jejch základě vypočten koefcent. 6

3.3.2. Newtonova metoda nalezení vektoru vyhledávání Provedeme Taylorův rozvoj chyby polohování E q jako funkce více proměnných E E E E 2 T T 2 q q q q. q q. q. q (3-85) V dalším pouţjeme pouze první dva členy Taylorova rozvoje. Jelkoţ hledáme mnmum * místě mnma je spád (gradent) roven nule, tj. E q * E q, v 2 T q q q q. q (3-86) E E E z tohoto vztahu vyjádříme q 2 q E q. E q (3-87) pak platí k k 2 q q E q. E q (3-88) vztah doplníme mírou kroku a dostaneme výsledný vztah k k 2 k k q q. E q. E q u (3-89) Výraz 2 E q H se nazývá Hessova matce, je to n nsymetrcká matce, pro jejíţ prvky platí h j 2 E q. q q j (3-9) Metoda velm dobře konverguje, vyčíslení Hessovy matce a tím vektoru vyhledávání trvá poněkud déle, proto není přímo vhodná pro řízení v reálném čase. 3.3.2.2 Metoda BFS Z důvodu pomalého výpočtu matce H byla vyvnuta jná metoda výpočtu vektoru vyhledávání, která byla současně publkována třem autory, a proto nese společný název BFS (Broyden, Fletcher, Shanno) (Reklats, 983). Výhodou této metody je, ţe nevyčísluje Hessovu matc, ale nahrazuje j jnou matcí A, která je rovněţ symetrcká rozměru n n a nazývá se matrce. Pak pro vektor vyhledávání platí k k k u A. E q (3-9) Pro matc metrce odvodl autoř rekurentní vzorec k k T k k T k k T k q. g k q. g q. q A I. A. I q. g q. g q. g k T k k T k k T k (3-92) kde I je jednotková matce n n 62

k k k q q q (3-93) k k k g E q E q (3-94) Algortmus výpočtu:. Známe 2. 3. q u E q, - výchozí poloha, vypočteme A q q. u, 4. Vypočteme E q, I, vypočteme q. u 5. Z rekurentního vzorce vypočteme 6. vypočteme E q v této poloze b c g E q E q A, u A. E q 2 q a dále na. dokud není E q. Matrce A se př výpočtu postupně blíţí k hodnotě Hessovy matce H v dané ţádané poloze. Metoda velm dobře konverguje pro blízkou výchozí a ţádanou polohu koncového bodu a je v této poloze velm rychlá pro více stupňů volnost (n > 8), kdy klascké vektorové metody selhávají. Z uvedených důvodů je pro vzdálenou výchozí a ţádanou polohu vhodnější pouţtí metody CCD a pro blízkou výchozí a ţádanou polohu vhodnější pouţtí metody BFS. Oba algortmy lze také kombnovat, čímţ lze podstatně zkrátt řešení nverzní knematcké úlohy. 3.4 Vektorová metoda nverzní transformace Vektorová metoda je odvozena pro danou knematckou strukturu a je zaloţena na trgonometrckých vztazích mez články a pouţívá vektorový a matcový počet pro doplnění trgonometrckých vztahů. Pro vektorovou metodu obecně nemusí být pouţto Denavt-Hartenbergovy konvence rozmístění souřadných systémů, ale tato konvence je výhodná z hledska automatckého sestavení transformačních matc. Knematcká struktura mechansmu s pět stupn volnost a rozmístění souřadných systémů je znázorněno na Obr. 3-4, tabulka parametrů je uvedena v Tab. 3-2. Tab. 3-2 d a l q l /2 2 q2 q 3 3 l 2 q l 3 4 q 4 /2 5 q 5 l4 l5 Dosazením parametrů z matce dostaneme jednotlvé transformační matce Tab. 3-2 do obecného vyjádření transformační 63

A b (3-95) l cos q sn q sn q cos q A (3-96) l cos q sn q l cos q 2 2 2 2 sn q cos q l sn q 2 2 2 2 A 2 (3-97) y 2 q 3 x 2 y 3 x 4 z b y l 2 z 2 4 r l 3 y 4 z 3 z 4 l 4 q 4 x 3 x 5 x 4 z l z q 2 x r 4 l 5 q 5 y r 5 y 5 z 5 x l y b x b q Obr. 3-4 cos q sn q l cosq 3 3 3 3 sn q cos q l sn q 3 3 3 3 A 23 (3-98) cos q sn q 4 4 sn q cos q 4 4 A 34 (3-99) 64

cos q sn q 5 5 sn q cos q A 5 5 45 l4 l (3-) 5 Jelkoţ je známa poloha a orentace koncového bodu, je také číselně známa celková transformační matce j k r 5x 5x 5x 5x 5 y j5 y k5 y r5 y T b5 (3-) j k r 5z 5z 5z 5z ) Výpočet q q arccos r 5x 2 5x r5y r 2 (3-2) kde vektory r 5, k 5 jsou číselně známy z transformační matce T b5 2) Určení počátku O 4 čtvrtého souřadného systému x 2 l 3 l 2 r 4 l x r 4 r z 4 l 2 2 4 4 x ry r Obr. 3-5 r r l l. k (3-3) 4 5 4 5 5 65

3) Výpočet q 2 a) určení úhlu (Obr. 3-5) r r 4x 4x r r 4 y 4 y r r l l 4z 4z (3-4) arccos k. r r 4 4 (3-5) b) úhel je určen z kosnové věty arccos 2 2 2 3 l2 r4 l 2. l. r 2 4 (3-6) q 2 (3-7) 2 4) Výpočet q 3 r arccos 2 2 2 4 l3 l2 2. l. l 2 3 (3-8) q 3 (3-9) 4) Výpočet q 4 a) výpočet T b3 q, q2, q3, první sloupec matce dává 3 b) je úhel mez k4 k 5 a 3 arccos k5. 3 (3-) q 4 (3-) 2 5) Výpočet q 5 q je úhel mez 4 a 5 a je stejný jako úhel mez k3 a j 5. Pak 5 q5 arccos k3. j 5 (3-2) Rychlost výpočtu lze významně zvýšt pouţtím rekurentního Rodrgova vztahu pro výpočet vektorů 3 a k 3 místo relatvně zdlouhavého a nepřesného násobení transformačních matc.cos k.sn (3-3) k k.cos k.sn (3-4) j k (3-5) 66

Výpočet lze snadno programovat, je velm rychlý a tato metoda bývá nejčastěj pouţta pro účely řízení polohy v reálném čase. Programově je nutno ošetřt výjmečné polohy článků, kdy trojúhelníky a s nm trgonometrcké vztahy degenerují a je nutno v těchto polohách nterpolovat z okolních hodnot. Vektor zobecněných souřadnc je nutno přepočíst pomocí převodových poměrů rotačních a translačních jednotek na úhlové hodnoty natočení jednotlvých pohonů (př pouţtí rotačních pohonů), které vstupují jako ţádané hodnoty pro regulac polohy. 3.5 Řešení nverzní úlohy knematky v prostředí systému Pro/Engneer Většna CAD systémů dokáţe řešt nverzní úlohu knematky, kdy se pohybuje koncový bod mechansmu, ostatní články zůstávají zapojeny v sérové knematcké struktuře a v souladu s pohybem koncového bodu se také pohybují a natáčí. Příklad řešení této úlohy v prostředí systému Pro/Engneer je ukázán na následující anmac..\anmace\3dof_nverzn_uloha\3dof_nverzn_uloha.mp4 Shrnutí kaptoly V této kaptole bylo popsáno několk způsobů řešení nverzní úlohy knematky tedy úlohy, kdy je známa poloha koncového bodu a orentace posledního článku, resp. nástroje a jsou hledány jednotlvé kloubové proměnné (zobecněné souřadnce) natočení a posunutí jednotlvých článků. Výběr metody závsí na počtu stupňů volnost a na aplkac, pro kterou je řešení hledáno. Pro účely výpočtů a modelování je moţno pouţít optmalzačních metod, pro účely řízení je nejvhodnější pouţtí vektorové metody, také se př rychlost dnešních řídcích počítačů dají pouţít aproxmační metody, ovšem s tím, ţe aproxmační metody jsou pouţtelné pouze do šest stupňů volnost. Otázky. Inverzní úloha knematky, aproxmace pomocí Taylorova rozvoje transformační matce. Popšte prncp metody 2. Jakobho matce a její aplkace. 3. Inverzní úloha knematky, Newtonova aproxmační metoda. Popšte prncp metody 4. Optmalzační metody řešení nverzní úlohy knematky, metoda heurstcká. Popšte prncp metody 5. Optmalzační metody řešení nverzní úlohy knematky, metoda gradentní. Popšte prncp metody 67

4 PLÁNOVÁNÍ TRAJEKTORIE POHYBOVÝCH JEDNOTEK Čas ke studu: hodna Cíl: Po prostudování této kaptoly budete umět - na základě výsledků řešení nverzní úlohy jsou získány dskrétní hodnoty poloh jednotlvých kloubů. Pro účely řízení je potřeba z těchto průběhů vypočítat spojté náhradní (nterpolační) funkce, pro účely případného převzorkování a také pro účely výpočtu průběhů ruchlost a zrychlení kloubů pro další dynamcký model mechansmu, - vyuţít několk způsobů nterpolace průběhu polohy a výpočtu průběhů rychlost a zrychlení kloubů nterpolace lneární, kvadratckou a kubckou funkcí Výklad Uvedené metody nverzní transformace vedou v zásadě ke stejnému výsledku a to k vektoru zobecněné souřadnce q, který odpovídá dané poloze a orentac koncového bodu. Výchozím údaj pro dynamcký model, popř. pro syntézu regulátorů ale je průběh polohy, rychlost a zrychlení jednotlvých pohybových jednotek. Průběhu polohy a orentace koncového bodu v čase tedy odpovídají průběhy polohy jednotlvých pohybových jednotek. Problém je v tom, ţe průběhy polohy dostaneme jako spojté (alespoň po částech) pouze př pouţtí vektorové metody, ostatní prezentované terační metody se dají pouţít pouze pro dskrétní body. Většnou se tento problém řeší tak, ţe se trajektore koncového bodu rozdělí na malé nkrementy, pro tyto dskrétní body je proveden výpočet vektoru zobecněných proměnných q a dskrétní body průběhu polohy jednotlvých pohybových jednotek se proloţí vhodnou nterpolační funkcí. Výhodou vhodné nterpolační funkce je moţnost provedení její první a drut v hé dervace v čase a tím získání průběhů rychlost a zrychlení jednotlvých pohybových jednotek, které je nezbytné pro syntézu dynamckého modelu mechansmu, popř. syntézu regulátorů. Pojem plánování trajektore je spíše z oblast řízení a robotky a je to vytvoření vntřní systémové nterpretace poţadované trajektore koncového bodu. Většna robotckých systémů umoţňuje zadávaní trajektore učením, kdy je robot ručně naváděn do ţádaných bodů trajektore, nebo přímým zadáváním souřadnc koncového bodu a orentace nástroje, popř. kombnací obou způsobů. Takto zavedené body trajektore je moţno spojovat přímkovým a kruhovým úseky s defnovanou návazností, popř. proloţt vhodnou nterpolační funkcí. Teprve po vytvoření vntřního matematckého popsu trajektore je tato trajektore vzorkována s perodou, která je dána rychlostí výpočtu nverzní knematcké úlohy. Je vytvořena posloupnost bodů jednotlvých úseků (segmentů) trajektore a tyto body jsou přepočítány nverzní transformací na ţádané hodnoty polohy - tzv. uzlové body pro jednotlvé pohybové osy. Př plánování trajektore jsou také ošetřeny náhlé změny směru a rychlost koncového bodu tak, aby nebylo překonáno maxmální povolené zrychlení pohybových os vzhledem k omezené přetíţtelnost pohonů a měnčů a vzhledem k dmenzování prvků mechanckého subsystému. Takto upravená trajektore pohybových jednotek se po sloţení pohybu projeví v rozdílu mez deální a skutečnou trajektorí koncového bodu. 68

p p p o o o x y z x y z nverzní transformace q q q 2 n matce převod. poměrů 2 n nterpolace převzorkování 2 n polohová a rychlostní regulace Obr. 4-4. Interpolace na úrovn kloubů Metody nterpolace jsou stejné jak pro potřeby syntézy dynamckého modelu, tak pro účely řízení pohybových jednotek. Pro účely řízení je většnou potřeba menší časový nterval mez jednotlvým vzorky (mnmální frekvence vzorkování je Hz, pro kvaltní řídcí systémy je ale mnohem vyšší), pro účely dynamckého modelu, tj. výpočtu průběhů reakcí, stačí vzorkování s perodou kolem ms. Závsí to na dynamcké náročnost trajektore, protoţe př rychlých dynamckých změnách se mohou špčky zrychlení (a tím reakcí) octnout mez jednotlvým uzlovým body a tím jsou skryty. Podmínkou pro volbu aproxmační funkce je průchod všem uzlovým body segmentu, jen ve zjednodušených úlohách je moţno přpustt odchylku od uzlových hodnot. Přtom krtérem volby vhodné nterpolační nebo aproxmační funkce je nejen dosaţení co největší přesnost polohování, ale také nároky na výpočetní moţnost případného řídcího systému. Kontrolu správnost volby nterpolační nebo aproxmační funkce je moţno provést zpětně pouze přímou transformací dskrétních hodnot kloubových proměnných mez uzly na polohu a orentac koncového bodu mechansmu a vyhodnocením chyby polohování. Pro nterpolac trajektore mez uzlovým body volíme systém jednoduchých základních funkcí takových, které lze snadno vypočítat pomocí jednoduchých a rychlých operací na řídícím počítač, tj. sčítání a násobení. Průběh trajektore mez uzlovým body pak nterpolujeme pomocí polynomu, vytvořeného lneární kombnací těchto jednoduchých základních funkcí 2 k k 2 k... n k n Q t C C t t C t t C t t (4-) Řešení nterpolační funkce mez uzlovým body tedy spočívá ve stanovení řádu nterpolační funkce podle výkonnost počítače a v nalezení koefcentů C aţ C n. Mez výhody př pouţívání polynomálních funkcí patří především to, ţe se dají plně popsat konečným počtem údajů (stupeň, koefcenty) a ţe se jejch hodnoty dají bez problémů počítat konečným počtem artmetckých operací. Zvyšování stupně aproxmujícího polynomu nepřnáší vţdy zvýšení přesnost aproxmace. Př aproxmac polynomy vyšších stupňů, zejména př ekvdstantních uzlech, malá nepřesnost ve vstupních datech působí velké chyby v hodnotě nterpolačního polynomu. Zejména pro n>5 se projevuje nepřesnost výpočtu v jednoduché artmetce, vlv zaokrouhlování a průběh aproxmační funkce mez uzlovým body můţe být značně zvlněný. Z praktckých důvodů - komproms mez sloţtostí polynomu a z toho plynoucí časovou náročností na výpočet, přesností a poţadavkem na hladkost aproxmační funkce - volíme n 3 a pracujeme tedy jen s podmnoţnou uzlových bodů segmentu, kterou postupně posouváme po segmentu. 4.. Interpolace trajektore lneární funkcí Tato metoda nterpolace je pouţívána zejména u starších řídcích systémů s malým výpočetním výkonem. Trajektore kloubové proměnné mez uzlovým body je nterpolována přímkou, tomu odpo- 69

vídá konstantní hodnota rychlost mez jednotlvým uzly s nespojtostm v uzlech a nulová hodnota zrychlení mez uzly a teoretcky nekonečný mpuls zrychlení v uzlech. Průběh rychlost v časovém ntervalu vzorkování tk, t k mez uzly k a k+ je konstantní a je dán q q q q k k k k k t tk tk T (4-2) v Q Tomu odpovídá průběh trajektore q q Q t Q t dt t C k k k k (4-3) Tv Integrační konstantu dostaneme z okrajových podmínek q q Q t q t C k k k k k k Tv qk qk C qk t T v k (4-4) (4-5) a po dosazení do (4.9) dostaneme pro průběh trajektore q q Q t q t t k k k k k Tv (4-6) Z hledska fyzkálního modelu je toto řešení velm zjednodušující, skokové změně rychlost odpovídá skoková změna knetcké energe, kterou soustava není schopna vykonat, a nekonečné hodnotě zrychlení v uzlových bodech odpovídají nekonečně velké momenty popř. síly poháněcích jednotek. Reálný mechancký systém není schopen tento průběh trajektore realzovat a přesto, ţe uzlové body jsou velm blízké, můţe vést tento způsob nterpolace spolu s ostatním vlvy ke kmtání článků. Pro odstranění uvedených obtíţí pouţívají některé systémy lneární nterpolac s vyhlazením kvadratckou funkcí jen v úzkém okolí uzlových bodů (Taylor, 983). Přes uvedené nedostatky byl tento systém často pouţíván u klasckých řídcích systémů s řízením jen na základě knematckých velčn, kde všechny momenty způsobené dynamkou pohybu vystupují jako poruchové velčny a je úkolem regulátorů je vyrovnat. 4..2 Interpolace trajektore kvadratckou funkcí Trajektore kloubové proměnné mez uzlovým body je nterpolována kvadratckým průběhem, průběh rychlost je lneární, zrychlení mez uzlovým body je konstantní s nespojtostm v uzlových bodech. Pro rychlost mez uzlovým body platí v v v ( t t) v ( t t ) Q t v t t (4-7) k k k k k k k ( ) k.( k ) tk tk Tv kde v k a v k jsou rychlost v uzlových bodech. Pro konstantní zrychlení mez uzlovým body platí v v Q t a (4-8) k k k() Tv k Rychlost v uzlech v k a vk zatím neznáme. Integrací (4-7) obdrţíme průběh dráhy 7

vk v Q t Q t dt. tk t. t t C (4-9) 2T 2 v 2 k 2 k Tv Integrační konstantu dostaneme z okrajových podmínek v uzlových bodech dráhy v časech t k a t k vk Qk tk qk. Tv C (4-) 2 vk Qk tk qk. Tv C (4-) 2 Odečtením rovnc (4-) a (4-) dostaneme rekurentní vzorec pro výpočet v k na základě v k v k 2 q k q k T v v k (4-2) Sečtením rovnc (4-) a (4-) dostaneme vk vk qk qk. Tv 2C (4-3) 2 qk qk vk vk C. T v (4-4) 2 4 dosazením (4-4) do vztahu (4-9) pro dráhu dostaneme v v q q v v Q t t t t t T k 2 k 2 k k k k k. k. k. v 2Tv 2Tv 2 4 (4-5) Z hledska fyzkálního modelu toto řešení mnohem lépe vyhovuje, jednotlvé úseky dráhy mez uzlovým body na sebe hladce navazují (spojtá první dervace funkce dráhy), průběh rychlost mez uzlovým body je aproxmován přímkou a zrychlení mez uzlovým body je konstantní a v uzlových bodech se mění skokově, coţ je ekvvalentní poţadavku skokové změny momentu nebo síly na pohonu. Jelkoţ reálná mechancká soustava nemůţe sledovat skokové změny, vznkají kolem uzlových bodů přechodové děje, které řeší regulátor a tomu odpovídají nepřesnost v dosaţení předepsané polohy a orentace koncového bodu v uzlech. Tento způsob aproxmace je nejvíce pouţíván, protoţe je kompromsem mez přesností fyzkálního modelu a rychlostí výpočtu. Na rozdíl od nterpolace trajektore přímkou, poskytuje tento výpočet také hodnoty rychlost a zrychlení pro řízení na základě dynamckého modelu mechansmu. 4..3 Interpolace průběhu trajektore kubckou funkcí Trajektore kloubové proměnné mez uzlovým body je nterpolována polynomem 3. stupně, který lépe vyhovuje z fyzkálního hledska. Zejména je odstraněn nespojtý průběh zrychlení a tomu odpovídající skokové změny ţádané hodnoty síly, č momentu, které reálná soustava nedokáţe realzovat. Průběh trajektore kloubové proměnné mez uzly k a k+ aproxmujeme spojtou funkcí Qk t, která je polynomem 3. stupně, průběh rychlost je kvadratcký, zrychlení má lneární průběh. Všechny tyto funkce jsou spojté na celém segmentu trajektore a z podmínky spojtost průběhu zrychlení na celém segmentu vyplývá, ţe průběhy rychlost a dráhy mez uzlovým body na sebe hladce navazují. Interpolační funkce na kaţdém dílčím ntervalu je dána polynomem 3. stupně se čtyřm neznámým koefcenty. Př nterpolac mez dvěma uzlovým body není k dspozc dostatek parametrů, proto mu- 7

sí být pouţt ještě jeden předchozí uzlový bod. Pro dva ntervaly tedy potřebujeme 8 podmínek. Podmínky spojtost dráhy, rychlost a zrychlení v uzlech dávají 3 podmínky, nterpolační podmínky průchodu uzlovým body dávají dalších 3 podmínky. Chybějící dvě okrajové podmínky dodáme ze znalost rychlost a zrychlení v předchozím uzlovém bodě. Získání těchto dvou podmínek je př posouvání trojce uzlových bodů po segmentu dráhy jednoduché, protoţe vyplývají z předchozích výpočtů. Problémy nastávají ale na začátku segmentu, kdy předchozí bod není k dspozc. Př startu je nutno nejprve zavést nterpolac polynomem druhého stupně a pak přejít na nterpolac polynomem třetího stupně. Pro aproxmac průběhu zrychlení na ntervalu času tk, tk mez uzlovým body qk a qk platí a a Q t a t t a t t a t t k k k k k k k k. k (4-6) tk tk Tv kde pro uzlové body platí ak Q tk q tk (4-7) a Q t q t (4-8) k k k Tv tk t k (4-9) Integrací rovnce (4-6) dostaneme vztah pro nterpolac rychlost a dráhy ak a Q t Q t dt. tk t. t t C (4-2) 2T 2 v 2 k 2 k Tv a a Q t Q t dt t t t t C t C (4-2) k 3 k 3 k. k. k. 6Tv 6Tv Integrační konstanty dostaneme z podmínky poţadovaného průchodu nterpolační funkce uzlovým body, tj. dosazením počátečních podmínek Qk tk q tk q k (4-22) Qk tk q tk q k (4-23) do rovnce (4-2). Obdrţíme soustavu dvou rovnc o dvou neznámých a a q t t C t C T C t C k 3 k 2 k k k k v k 6Tv 6 a a a q t t t t C t C T C t C k 3 k 3 k 2 k k k k k k v k 6Tv 6Tv 6 (4-24) (4-25) odečtením (4-24) od (4-25) dostaneme 2 qk qk ak ak. Tv CT v (4-26) 6 z toho plyne q q C a a T k k k k v Tv 6 (4-27) 72

sečtením rovnc (4-24) a (4-25) dostaneme 2 qk qk ak ak Tv C tk tk 2C (4-28) 6 ak ak 2 C qk qk. Tv C tk t k (4-29) 2 6 po dosazení (4-27) do (4-29) a a q q C q q T t t k k 2 k k k k. v. k k 2 6 tk tk 6 2 2 a a t t t t k k k k k k q q t t q q t t k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k T a a t t t t a a t t t t v (4-3) Druhou část výrazu (4-3) upravíme podle vzorce a b c d a b c d 2 bc ad (4-3) 2 q. t q. t 2 C a t a t T k k k k k. k k. k v 2 Tv 6 qk. tk qk. tk T 6 v a. t a. t. T k k k k v (4-32) Dosazením (4-27) a (4-3) do (4-2) a a q T. a q T. a Q t t t t t t t t t k 3 k 3 k v k k v k k k k k k 6Tv 6Tv Tv 6 Tv 6 (4-33) Dosazením (4-27) do (4-2) a a q q Q t t t t t a a T (4-34) k 2 k 2 k k k k k k k v 2Tv 2Tv Tv 6 Známe tedy průběh hodnot spojtých funkcí dráhy (4-33), rychlost (4-34) a zrychlení (4-6) v závslost na čase na k-tém ntervalu, tj. mez uzlovým body qk a q k. Aţ dosud jsme předpokládal, ţe známe také hodnoty zrychlení ak a a k v těchto uzlových bodech, s jejchţ pomocí jsme funkce (4-33), (4-34) a (4-6) vyjádřl. Hodnoty zrychlení je ale nutno vypočítat z okrajových podmínek v uzlových bodech. Vyjdeme z podmínky spojtost rychlost k- a k-tého ntervalu v čase t k a ve vztahu (4-34) pouţjeme substtuc k k, k k pro vyjádření Q k t a a q q Q t t t t t a a T (4-35) k 2 k 2 k k k k k k k v 2Tv 2Tv Tv 6 73

Dále vyjádříme Q k tk a z podmínky spojtost rychlost v čase t k, tj. Q k tk Q k tk obdrţíme rekurentní vztah pro výpočet a k a q q a a a q q a a 2 6 2 6 k k k k k k k k k k Tv Tv Tv Tv Tv Tv (4-36) a po úpravě q 2q q a a a k k k k 6 4 2 k k Tv (4-37) Na počátku pohybu vyjdeme ze známé hodnoty zrychlení a v čase t pro k= (nterpolace kvadratckou funkcí) a ze známé hodnoty počáteční rychlost v (pro začínající pohyb v ). Počáteční rychlost v dosadíme do vztahu (4-34) v Tv a q q a a Q t v T Tv (4-38) 2 6 Ze vztahu (4-38) vyjádříme a a př znalost a je moţno pokračovat rekurentním vzorcem (4-37). Interpolace kubckou funkcí se nejlépe přblţuje k fyzkálnímu modelu a proto je vhodná zejména pro výpočty v oblast dynamky mechansmů a méně vhodná pro potřeby řízení v reálném čase. Shrnutí kaptoly V této kaptole bylo popsáno několk způsobů nterpolace (proloţení) dskrétních hodnot polohy jednotlvých kloubových proměnných tzv. uzlových bodů, získaných řešením nverzní úlohy knematky. Výběr stupně polynomu závsí na rychlost řídcího počítače, nejlépe odpovídá skutečnost nterpolace průběhu polohy kubckou funkcí, průběh rychlost je pak parabolcký a průběh zrychlení lneární. Př pouţtí polynomu druhého stupně tedy kvadratcké funkce pro nterpolac průběhu polohy, pak je průběh rychlost proloţen lneární funkcí, coţ ještě nevadí, ale průběh zrychlení kloubů je pak skokový (stupňovtý). Takovému průběhu odpovídá skoková změna momentu pohonů a tohoto průběhu není moţno fyzkálně dosáhnout. Výpočet je sce rychlejší, ale výsledek neodpovídá realtě a je moţno tento způsob pouţít pro dynamcky méně náročné trajektore. Nejrychlejší z hledska výpočtu je nterpolace polohy lneární funkcí, průběh rychlost je pak skokový a tomu odpovídá mpulzní průběh rychlost. Tento způsob z fyzkálního hledska nejméně odpovídá realtě. Otázky. Jaká je fyzkální nterpretace jednotlvých způsobů nterpolace ve vztahu k reálným pohonům? 2. Jaký stupeň polynomu je optmální vzhledem k přesnost a rychlost výpočtu? 74

5 VÝPOČET RYCHLOSTI A ZRYCHLENÍ ČLÁNKŮ Čas ke studu: hodna Cíl: Po prostudování této kaptoly budete umět Na základě výsledků výpočtů dle předchozí kaptoly jsou známy průběhy polohy, rychlost a zrychlení jednotlvých knematckých dvojc. Alternatvně lze získat tyto průběhy pomocí numercké dervace v prostředí Mathcadu. Na základě průběhů polohy, rychlost a zrychlení kloubů jsou dále vypočteny - úhlové rychlost jednotlvých článků (stejné pro všechny body na článku) - translační rychlost počátků lokálních souřadných systémů (různé pro počátek souř. systému a např. těţště různá vzdálenost od osy otáčení) - úhlová zrychlení článků - translační zrychlení počátků souřadných systémů - translační rychlost těţšť jednotlvých článků - translační zrychlení teţšť jednotlvých článků Výklad Na základě řešení nverzní knematcké úlohy známe časové průběhy vektoru zobecněné souřadnce a jeho dervace q( t), q ( t), q ( t), tj. průběh polohy, rychlost a zrychlení jednotlvých knematckých dvojc (kloubů). Pro sestavení dynamckého modelu mechanckého subsystému a zejména pro výpočet reakcí v jednotlvých pohybových jednotkách je zapotřebí určt rychlost a zrychlení těţšť jednotlvých článků. Na Obr. 5- je znázorněn příklad jednoduchého mechansmu, na kterém bude ukázáno odvození potřebných knematckých velčn. Pro vyjádření vektorů jsou pouţty obvyklé ortogonální souřadnce a všechny vektory jsou vyjádřeny ve sloţkách základního souřadného systému. Lokální souřadné systémy LCS aţ LCS 3 jsou umístěny pro jednoduchost v souladu se zásadam Denavt-Hartenberga. Nejprve budou odvozeny rekurentní vzorce pro výpočet knematckých velčn lokálních souřadných systémů. Jelkoţ všechny knematcké velčny jsou v našem případě funkcí času, v dalším výkladu je pro přehlednost upuštěno od vyjádření časové funkce, tedy místo () t je pouţto apod. V kaptolách 5 a 6 nejsou pouţívány homogenní souřadnce a proto je pro vyjádření vektorových operací pro větší názornost upuštěno od matcového vyjádření a je pouţto klasckých symbolů pro vektorový součn a. (tečka násobení) pro skalární součn. 5. Výpočet úhlové rychlost LCS -tého článku mechansmu Úhlová rychlost kaţdého hmotného bodu článku jeho lokálního souřadného systému je stejná a je vyjádřena jednoduchým rekurentním vztahem (5-) 75

kde je úhlová rychlost -tého LCS daného článku, je úhlová rychlost LCS předchozího článku, je relatvní úhlová rychlost dvou LCS sousedních článků, kterou je moţno vyjádřt jednoduchým vztahem k. q R T (5-2) z z b x 2 y z 2 y 2 x z p b p p * y 3 p b z 3 x 3 y y b x x b Obr. 5- Pro rotační jednotku je tedy absolutní velkost relatvní úhlové rychlost dána úhlovou rychlostí -tého článku vůč - článku a její směr leţí v ose otáčení, tj. ve směru vektoru k. V případě translační pohybové jednotky je vzájemná úhlová rychlost nulová, oba sousední články se pohybují stejnou úhlovou rychlost. Úhlová rychlost nultého souřadného systému je nulová (nultý souřadný systém se nepohybuje). Pro uvedený příklad se úhlová rychlost jednotlvých článků a jejch lokálních souřadných systémů vypočte následovně k q q.. q (5-3) obdobně pro druhý článek a LCS 2 platí sn q q.sn q 2 2 2 k. q 2 q 2.cos q q 2.cos q q q q (5-4) 3 3 2 2 2 (5-5) 76

Směry vektorů k jsou nalezeny z odpovídajících sloupců příslušných transformačních matc. Takto lze snadno vyjádřt úhlové rychlost všech lokálních souřadných systémů a tedy článků mechansmu od základny aţ po koncový bod. 5.2 Výpočet translační rychlost v LCS -tého článku mechansmu Odvození rekurentního vtahu pro výpočet translační rychlost počátku lokálního souřadného systému vychází z vyjádření polohového vektoru počátku -tého LCS jako součtu polohového vektoru počátku předcházejícího LCS a polohového vektoru mez těmto dvěma LCS. Na Obr. 5- je uveden příklad pro = 3. p p p (5-6) Pro odvození translační rychlost je nutné provést dervac rovnce (5-6) podle času t dp dp dp dt dt dt (5-7) Fyzkální význam dervace polohového vektoru podle času je translační rychlost jeho koncového bodu a tedy translační rychlost počátku příslušného lokálního souřadného systému. Pak tedy je moţno psát dp v v (5-8) dt Translační rychlost v je opět počítána v rekurentním vztahu počínaje od nulové rychlost základního souřadného systému. Přírůstek rychlost mez dvěma sousedním souřadným systémy je dán posledním členem ve vztahu (5-8). Pro odvození časové dervace polohového vektoru p, je nutno vzít v úvahu, ţe rychlost jeho koncového bodu (počátku -tého LCS) je dána jednak vlastní změnou vektoru p vlvem pohybu -té pohybové jednotky rychlostí q () t a také vlvem unášvé úhlové rychlost, která otáčí ramenem p a je způsobena předchozím rotačním jednotkam (unášvá translační rychlost v uţ je v rekurentním vzorc zahrnuta). Výsledná rychlost je pak vektorovým součnem obou sloţek. Stuace je znázorněna na Obr. 5-2. dp dt v p (5-9) Pak pro rekurentní výpočet translační rychlost počátku lokálního souřadného systému platí v v v, p, (5-) kde v, je relatvní translační rychlost dvou sousedních souřadných systémů, která je způsobena pohybem -té pohybové jednotky rychlostí q () t. Relatvní translační rychlost se vypočte,,. q q p v (5-) pro rotační translační pohybovou jednotku. V prostředí Mathcad je výpočet relatvní translační rychlost dle vztahu (5-) jednoduchý a unverzální s pomocí příslušných dferencálních operátorů v submatrx ( A D. A,,3,4,4). q, b ( R, T), (5-2) 77

Ve vztahu (5-2) příkaz submatrx vyjme příslušný vektor p, ze čtvrtého sloupce matce A,, vynásobením dferencálním operátorem je provedena jeho dervace podle příslušné kloubové proměnné q a matce před dferencálním operátorem přepočtou výsledný vektor relatvní rychlost do základního souřadného systému. Tedy např. pro knematckou strukturu RTT jsou vztahy pro relatvní translační rychlost počátků lokálních souřadných systémů ve tvaru z b 2 x z 2 z 2 p 2 3 3 2 p2 v 2 3 y b x b Obr. 5-2 v ( t) submatrx A b D r A ( t) 3 4 4 dq ( t) v 2 ( t) submatrx A b A ( t) D t A 2 ( t) 3 4 4 dq 2 ( t) v 23 ( t) submatrx A b A ( t) A 2 ( t) D t A 23 ( t) 3 4 4 dq 3 ( t) V případě translačních jednotek lze výraz zjednodušt na tvar. q v k (5-3) pouze pro translační pohybovou jednotku. 5.3 Výpočet úhlového zrychlení LCS -tého článku mechansmu Stejně jako úhlová rychlost, tak úhlové zrychlení je stejné jak pro lokální souřadný systém, tak pro lbovolný bod -tého článku. Rekurentní vztah pro výpočet je odvozen analogcky jako pro translační rychlost v d d d dt dt dt (5-4) (5-5) 78

Jak je vdět ze vztahu (5-5), přírůstek úhlového zrychlení mez dvěma sousedním souřadným systémy má opět dvě sloţky - relatvní úhlové zrychlení, které je způsobeno rotačním zrychlením -té pohybové jednotky, a úhlové zrychlení způsobené unášvým pohybem předchozích jednotek. Relatvní úhlové zrychlení se vypočte, k. q R T (5-6) 5.4 Výpočet translačního zrychlení a počátku LCS -tého článku mechansmu Pro odvození rekurentního vztahu pro výpočet translačního zrychlení počátku lokálního souřadného systému vyjdeme ze vztahu pro translační rychlost v a provedeme jeho dervac podle času dv dv dv d dt dt dt dt p (5-7) dv d a a p (5-8) dt dt Pro dervac relatvní translační rychlost platí analogcky dv dt a v (5-9) Dervace posledního členu je dervace součnu a tedy d dp d p p (5-2) dt dt dt a s pouţtím vztahu (5-9) dostaneme výsledný vztah d dt p p v p (5-2) Výsledný rekurentní vztah pro výpočet translačního zrychlení počátku lokálního souřadného systému je ve tvaru 2 a a a p v p (5-22) kde předposlední člen na pravé straně rovnce vyjadřuje Corolsovo a poslední člen odstředvé zrychlení. Všechny vektory jsou známy z předchozích rekurentních vztahů, popř. transformačních matc a pro relatvní translační zrychlení platí R a p p (5-23) a k. q T (5-24) 79

* * 5.5 Translační rychlost a zrychlení těžště -tého článku - v, a Jelkoţ translační rychlost a zrychlení kaţdého bodu článku je jná, je nutno j pro daný bod vypočítat. Pro výpočet dynamckých velčn má zásadní význam rychlost a zrychlení těţště článku, uvedené vztahy ale platí obecně a je moţno je pouţít pro lbovolný bod článku. Jak uţ bylo uvedeno výše, úhlová rychlost a úhlové zrychlení kaţdého bodu článku je stejná. * * v v p (5-25) * kde p je poloha těţště v -tém LCS. Pro odvození translačního zrychlení těţště provedeme dervac vztahu (5-25) podle času * dv dv d dt dt dt * p (5-26) * * d * dp a a p (5-27) dt dt Poslední člen vztahu (5-27) obsahuje dervac polohového vektoru těţště. Jeho změna analogcky s předchozím úvaham obsahuje vlastní změnu polohového vektoru vůč počátku LCS (v našem případě * je změna polohy těţště článku nulová) a změnu polohy koncového bodu způsobenou rotací ramene p úhlovou rychlostí. dp dt * * dp dt * p (5-28) * * * a a p p (5-29) Příklad 5- Výpočet knematckých velčn na základě Newton-Eulerových vztahů Stejný manpulátor s knematckou strukturou RTT dle Obr. 5-3. Řešením nverzní úlohy knematky pro zadanou trajektor koncového bodu v příkladu 3- obdrţíme časové průběhy kloubových proměnných a jejch dervací podle času průběhy rychlostí a zrychlení pohybových jednotek. Tyto hodnoty jsou vstupním hodnotam pro aplkac Newton-Eulerových vztahů pro výpočet rychlostí a zrychlení počátků jednotlvých lokálních souřadných systémů a hlavně rychlostí a zrychlení těţšť článků, které jsou nutné pro následnou dynamckou analýzu mechansmu. Výpočet knematckých velčn článků pro uvedený mechansmus RTT včetně objektu manpulace v prostředí Mathcad je ukázán na následujícím odkaze -..\Mathcad\rtt_model_objekt.xmcd. Tento příklad bude pouţíván jako referenční v dalším výkladu. Výpočet v prostředí Mathcad je na běţném počítač relatvně dlouhý, pro urychlení (ovšem bez moţnost měnt výpočet) je doporučeno prohlíţení výpočtu běţným prohlíţečem (např. Internet Explorer) na..\mathcad\rtt_model_objekt.html. 8

z b y 2 x 2 q 3 y 3 y z z q 2 x z 2 x 3 z 3 y q x y b x b Obr. 5-3 Komentovaný výpočet knematckých velčn pomocí Newton-Eulerových rekurentních vztahů je ukázán jako anmace:..\anmace\rtt_ne_knematka\rtt_ne_knematka.mp4 Shrnutí kaptoly V této kaptole bylo ukázáno šest rekurentních vztahů pro výpočet knematckých velčn článků úhlových rychlostí a uhlových zrychlení článků (tyto velčny jsou stejné pro kterýkolv bod na článku), dále translačních rychlostí a translačních zrychlení počátků lokálních souřadných systémů (tyto velčny se lší pro různé body na článku) a translační rychlost a translační zrychlení těţšť článků. Výpočet vţdy začíná od nultého, nepohyblvého článku a knematcké velčny jsou postupně dosazovány do jednotlvých rekurentních vztahů. Otázky. Newton-Eulerova metoda, výpočet úhlové a translační rychlost lokálního souřadného systému. 2. Newton-Eulerova metoda, výpočet úhlového a translačního zrychlení lokálního souřadného systému. 3. Newton-Eulerova metoda, výpočet translační rychlost a translačního zrychlení těţště článků. 8

6 NEWTON EULEROVA METODA VÝPOČTU REAKCÍ A ZOBECNĚNÝCH SIL Čas ke studu: 2 hodny Cíl: Po prostudování této kaptoly budete umět Na základě výsledků výpočtů dle předchozí kaptoly jsou známy úhlové a translační rychlost těţšť jednotlvých článků. V této kaptole je ukázán výpočet síl zatěţujících jednotlvé knematcké dvojce akční, resp. reakční síly a momenty. Průmětem reakční síly do osy pohybu v případě translačního článku je dále vypočtena tzv. zobecněná síla tj. síla, kterou v daném místě musí vyvnout pohonný mechansmus. Analogcky průmětem reakčního momentu do osy otáčení rotačního článku je získána zobecněná síla (moment), který musí pohonný mechansmus vyvnout na tomto místě. Představeny jsou tedy další dva rekurentní vztahy - výpočet akčních sl, kterým daný článek působí na článek předchozí, začíná se od posledního článku, který můţe být zatíţen technologckým slam, - výpočet akčních momentů, kterým daný článek působí na článek předchozí, začíná se od posledního článku, který můţe být zatíţen technologckým slam, - průmětem reakčních sl, popř. momentů do osy pohybu se vypočtou zobecněné síly síly, které musí vyvnout pohon, aby se koncový bod pohyboval se zadaným průběhem polohy, rychlost a zrychlení. Výklad Newton-Eulerova metoda modelování dynamky soustav hmotných těles je relatvně jednoduchá metoda, která poskytuje úplný obraz o knematckých a dynamckých velčnách jednotlvých článků z n n f z t f Obr. 6- mechansmu. Zobecněná síla je zjednodušeně průmět reakční síly do směru pohybu nebo momentu do osy otáčení a v případě mechansmů je to zjednodušeně ta sloţka reakce v pohybové jednotce, kterou musí vyvnout její pohon, aby se daný článek mechansmu pohyboval po zadané trajektor, s předepsanou rychlostí a zrychlením. Ostatní sloţky reakce v pohybové jednotce jsou zachyceny vlastní pohybovou jednotkou, tj. vedením, loţsky apod. Výpočet průběhu reakce v pohybových jednotkách mechansmu má tedy zásadní význam jak na dmenzování pohonů, tak na dmenzování pohy- 82

bových jednotek a vlastních článků mechansmu. Zobecněná síla je defnována jako podíl elementární práce sl působících na článek ve směru moţného pohybu a změny zobecněné souřadnce da dq (6-) Pro běţné mechansmy přpadají v úvahu dva případy rotační a translační pohybová jednotka. Na Obr. 6- je uveden příklad -té rotační pohybové jednotky. f je výslednce reakčních sl působících na pohybovou jednotku, n je výslednce reakčních momentů působících na pohybovou jednotku, osa z je osou rotace -té pohybové jednotky. Práce ve směru moţného pohybu je dána da nk.. dq (6-2) Pro zobecněnou sílu pak platí da dq nk. (6-3) z f z n f n Obr. 6-2 Zobecněná síla v tomto případě je dána skalárním součnem momentu reakce a vektoru v ose otáčení a z matematckého hledska je to tedy skalární velčna. Je to vlastně průmět momentu reakce do směru otáčení, výslednce translační reakce f nepřspívá ke zobecněné síle a je celá zachycena loţskem. Na Obr. 6-2 je uveden příklad translační jednotky. Práce ve směru moţného pohybu je dána da fk.. dq (6-4) a pro zobecněnou sílu platí da dq fk. (6-5) Obdobně jako v případě rotační jednotky je zobecněná síla dána průmětem výslednce translační reakce f do směru pohybu dané pohybové jednotky a výslednce reakčních momentů n je zachycena vedením translační pohybové jednotky a nepřspívá ke zobecněné síle. 83

6. Rovnováha sl působících na -tý článek Pro získání rekurentních vztahů pro výpočet akčních sl, resp. reakcí v pohybových jednotkách je uvolněn -tý článek mechansmu, pro rovnováhu sl, působících na článek dle Obr. 6-3 pak platí f f F F g (6-6) N z n F p * f n f p m, v *, a *,, n F g z f Obr. 6-3 kde f je síla, kterou působí + článek na -tý článek (akční síla), f je síla, kterou působí předchozí - článek na -tý článek (reakce předchozího článku), F je setrvačná síla způsobená translačním zrychlením těţště článku o hmotnost m, působící prot směru zrychlení těţště * m. F a (6-7) a F g je tíhová síla způsobená gravtací 2 F m G G g ms (6-8) g. 9.8665 g Jelkoţ se jedná o získání rekurentního tvaru, zavedeme rovnost f f, kterou nahradíme reakční sílu od předchozího článku akční slou, kterou působí -tý článek na - článek, výsledkem výrazu (6-9) je tedy akční síla, která vystupuje v dalších rekurentních vztazích pro předchozí články, nkolv reakce působící na -tý článek. * f m G a f n, n,..., (6-9) Pomocí výše uvedeného vztahu lze jednoduše vypočítat akční síly, počínaje posledním článkem, kde za f dosadíme buď nulovou hodnotu, nebo tíhovou sílu způsobenou manpulovaným břemenem, nebo akční sílu způsobenou nástrojem (tryska apod.). 84

6.2 Rovnováha momentů k těžšt -tého článku Obdobně jako pro rovnováhu sl platí pro rovnováhu momentů k těţšt -tého článku rovnováţná rovnce * * n N n p p f p f (6-) N je mo- kde n a n jsou momenty, kterým působí následující a předchozí článek na -tý článek, ment tečných a odstředvých sl vzhledem k těţšt N J. J. (6-) kde první člen na pravé straně vztahu (6-) představuje moment tečných sl a druhý moment odstředvých sl. Př pouţtí stejné konvence pro akc a reakc dvou těles zavedeme n n a dostaneme výsledný rekurentní vztah pro výpočet akčních momentů, kterým -tý článek působí na - článek ve všech pohybových jednotkách počínaje poslední * * n n N p p f p f n, n,..., (6-2) Na základě výše uvedených výpočtů lze vypočítat časové průběhy momentů a sl akcí (reakcí) v kaţdé pohybové jednotce a na jejch základě zjstt průběh zatíţení podél jednotlvých článků a provést případnou analýzu napětí. Průměty reakčních momentů pro rotační pohybovou jednotku a reakčních sl pro translační jednotku do směru pohybu (pro rotační do osy otáčení) tvoří zobecněné síly f. k T n. k R (6-3) které zatěţují pohon a na základě jejch průběhu jsou pohon a jeho komponenty dmenzovány (tj. převodovka, motor, napájecí měnč, napájecí sít). z z c z b m y c x x c y b x b Obr. 6-4 85

6.3 Matce setrvačnost článků Matce setrvačnost jednotlvých článků mechansmu představují spojení mez reálným světem mechansmu a jeho matematckým modelem. Základním technckým problémem je výpočet, popř. zjštění matce setrvačnost článku ve fáz prvního návrhu a dále její upřesňování na základě postupného zpřesňování a doplňování konstrukce článku a jeho pohonů. Výpočet matce setrvačnost lze provést jen pro velm omezený počet prmtvních tvarů, pro skutečné články je nutno většnou uţ ve fáz prvního návrhu pouţít některý z CAD systémů. Důleţté je správné stanovení souřadného systému, ke kterému vztahujeme matc setrvačnost a dále správný přepočet do toho souřadného systému, v jehoţ souřadncích matc setrvačnost vyjadřujeme. Ve výše uvedených výpočtech jsou všechny vektory matce setrvačnost vyjádřeny v souřadncích základního souřadného systému, přtom matce setrvačnost jednotlvých článků musí být vypočteny vzhledem k souřadnému systému, který leţí v těţšt článku (rovnováha momentů k těţšt článku). Příklad je uveden na Obr. 6-4. Většna CAD systémů umí určt polohu těţště a matc setrvačnost daného článku vzhledem k lbovolnému souřadnému y systému. Vhodné je umístt do článku lokální souřadný systém LCS ( x, y, z ) pro eventuální výpočet v souřadncích lokálních souřadných systémů a do těţště článku umístt stejně orentovaný souřadný systém, který nazveme centrální souřadný systém -tého článku CCS ( xc, yc, z c ). Matce setrvačnost článku vzhledem k centrálnímu souřadnému systému a vyjádřená v souřadncích centrálního souřadného systému je defnována J D D x xy xz J D J D (6-4) cc xy y yz D D J xz yz z kde na hlavní dagonále jsou momenty k osám centrálního souřadného systému, ostatní prvky jsou devační momenty. Tyto prvky jsou získány pomocí vhodného CAD systému. Pro výpočet je nutné vyjádřt tuto matc v souřadncích základního souřadného systému T J R. J. R (6-5) c b cc b V přepočtu se jedná jen o změnu orentace os základního souřadného systému vůč centrálnímu souřadnému systému článku a tedy vyjádření prvků matce v souřadncích jného souřadného systému. Jelkoţ je centrální souřadný systém orentován stejně jako lokální souřadný systém článku, je moţno pro přepočet orentace matce setrvačnost pouţít příslušnou submatc rotace R b. Tento přepočet bývá často nesprávně zaměňován s výpočtem matce setrvačnost článků vůč jnému souřadnému systému, který musí být proveden pomocí Stenerovy věty v matcovém tvaru. Pokud například máme k dspozc matc setrvačnost vyjádřenou vzhledem k lokálnímu souřadnému systému, musí se přepočítat (ne vyjádřt) vzhledem k centrálnímu souřadnému systému a pak vyjádřt v souřadncích základního souřadného systému. T J R. J J. R (6-6) c b c b kde matce J c vyjadřuje posun souřadných systémů a podle Stenerovy věty je 2 2. t t t t t t m y z m x y m x z 2 2 c m xt yt m. xt zt m ytzt J (6-7) 2 2 t t t t. t t m x z m y z m x y 86

kde xt, yt, z t jsou souřadnce těţště -tého článku v souřadncích jeho lokálního souřadného systému. Příklad 6- Výpočet sl působících v kloubech (vazbách) podle Newton-Eulera Výpočet akčních (reakčních) sl, kterým na sebe působí články v knematckých vazbách a výpočet zobecněných sl dle Newton-Eulerových vztahů pro referenční mechansmus RTT včetně objektu manpulace v prostředí Mathcad je ukázán na odkazu -..\Mathcad\rtt_model_objekt.xmcd. Výpočet v prostředí Mathcad je na běţném počítač relatvně dlouhý, pro urychlení (ovšem bez moţnost měnt výpočet) je doporučeno prohlíţení výpočtu běţným prohlíţečem (např. Internet Explorer) na..\mathcad\rtt_model_objekt.html Komentovaný výpočet akčních sl a momentů a zobecněných sl je také ukázán jako anmace:..\anmace\rtt_ne_dynamka\rtt_ne_dynamka.mp4 Shrnutí kaptoly V této kaptole byly ukázány dva rekurentní vztahy pro výpočet akčních sl, kterým -tý článek působí na - článek. Dále byl předtaven pojem zobecněná síla, coţ je zjednodušeně síla, kterou musí v dané pohybové vazbě vyvnout pohon, aby se článek pohyboval v souladu s poţadovaným knematckým parametry polohou, rychlostí a zrychlením. Výpočet vţdy začíná od posledního článku a akční síly jsou postupně dosazovány do jednotlvých rekurentních vztahů. Otázky. Newton - Eulerova metoda výpočtu reakcí a zobecněných sl, rovnováha sl působících na článek. 2. Newton - Eulerova metoda výpočtu reakcí a zobecněných sl, rovnováha momentů působících na článek. 87

7 LAGRANGEOVY POHYBOVÉ ROVNICE II. DRUHU Čas ke studu: 2 hodny Cíl: Po prostudování této kaptoly budete umět V kaptole je ukázán výpočet zobecněných sl na základě Lagrangeovy pohybové rovnce II. druhu. V příkladech jsou ukázány dva základní způsoby pouţtí Lagrangeovy pohybové rovnce - matcové řešení výhodou je menší pracnost a větší unverzálnost výpočtu zobecněných sl tedy sl, které musí ve vazbě vyvnout pohonný systém. Nevýhodou je delší doba výpočtu, která znemoţňuje pouţtí této metody v řízení mechansmu, - ruční odvození Lagrangeových pohybových rovnc. Metoda je pracná a zdlouhavá, ale vede k jednoduchému a rychlému výpočtu zobecněných sl z pohybových rovnc. Tato metoda je vhodná pro řízení mechansmů. Výklad Lagrangeovy pohybové rovnce slouţí k výpočtu průběhu zobecněných sl jednotlvých pohybových jednotek. Na rozdíl od Newton - Eulerovy metody, která konstruktérov dává dobrý přehled o knematckých velčnách jednotlvých článků (poloha a rychlost těţšť) a úplný obraz zatěţování jednotlvých článků a pohybových dvojc (kromě zobecněné síly úplnou reakc v pohybové jednotce a průběh zatěţování podél článku), poskytují Lagrangeovy pohybové rovnce II. druhu v matcovém tvaru moţnost explctního vyjádření parametrů mechanckého subsystému pro účely řízení. Př aplkac Lagrangeovy pohybové rovnce je moţno provést řešení, které je vázáno na danou knematckou strukturu, nebo unversální řešení pro lbovolnou knematckou strukturu. Řešení vázané na knematckou strukturu je kratší a jednodušší zejména pro struktury s malým počtem stupňů volnost, řešení unversální je výhodné pro moţnost generování parametrů dynamckého modelu pro lbovolnou knematckou strukturu, coţ je důleţté ve fáz návrhu koncepce robotu a ve fáz návrhu jeho řídcího systému a pohonů. Př odvození vyjdeme z Lagrangeovy pohybové rovnce II. druhu pro j-tý článek (př zanedbání dspatvních sl) ve tvaru d K K P dt q q q j j j j (7-) Kde K je knetcká energe soustavy, P potencální energe soustavy. Index j =..n příslušející zobecněné síle j v j-tém kloubu a kloubové proměnné q j je př výpočtu v daném cyklu neměnný. 7.. Knetcká energe článků Odvození knetcké a potencální energe soustavy článků pro aplkac v Lagrangeově pohybové rovnc (7-) je provedeno důsledně v matcovém tvaru na základě (Frolov, 988). Nechť dm je hmotný element -tého článku, jehoţ souřadnce v lokálním, tj. -tém souřadném systému jsou dány vektorem p. Jelkoţ -tý souřadný systém je spojen s -tým článkem a pohybuje se s ním, jsou souřadnce polohy hmotného bodu dm v tomto souřadném systému konstantní. Souřadnce hmotného bodu dm je moţno vyjádřt vůč základnímu souřadnému systému pomocí transformační matce 88

p Tb. p (7-2) Rychlost hmotného elementu dm -tého článku vypočteme jako časovou změnu jeho polohy dp d dtb v Tb. p. p T b. p (7-3) dt dt dt d p neboť dt (7-4) Transformační matce mez základním souř. systémem a -tým souřadným systémem je sloţenou funkcí více proměnných a jako takovou j musíme dervovat T T q t, q t,..., q t (7-5) b b 2 dt dq dq b T U U (7-6) dt q dt dt Tb j j b. j. j. q j j j j j parcální dervace transformační matce podle jednotlvých kloubových proměnných vypočteme snadno pomocí matce dferencálního operátoru T q b j U A. A q. A q... D. A q... A q (7-7) j b 2 2 j, j j, Knetckou energ hmotného elementu dm v matcovém vyjádření pak je moţno napsat jako T T T dk tr v. v. dm tr T b. p. p. T b. dm 2 2 stopa matce x x y z y z (7-8) Knetckou energ celého článku vypočteme jako součet (ntegrál) knetckých energí jednotlvých hmotných elementů dm T T K tr T b. p. p. T b. dm (7-9) 2 m kde m je hmotnost článku. Dervace transformační matce T b nezávsí na ntegrálu polohových momentů hmotných elementů a je moţno j vytknout mmo ntegrál T T K tr T b. p. p. dm. T b (7-) 2 a po úpravě K m T tr T. H. T (7-) 2 b b 89

H je homogenní matce setrvačnost -tého článku vyjádřená v jeho lokálním, tj. -tém souřadném systému 2 x x x y x z x 2 T y y x y y z y z 2 m m m z x z y z z H p. p. dm. x y z. dm. dm x y z (7-2) Označme jednotlvé momenty setrvačnost jak je obvyklé (s cyklckou záměnou ndexů) yz m 2. I x dm I y 2. dm I z 2. dm (7-3) xz m xy m D xy m x y dm D xz m x z dm D y z dm (7-4) yz m *. m x m x dm y *. m y dm z *. m z dm (7-5) m m m dm (7-6) m Alternatvně jsou pouţívány pro momenty k rovnám a devační momenty jné symboly xx m 2. I x dm (7-7) I x y dm (7-8) xy m Pak pro homogenní matc setrvačnost platí (alternatvně) H * yz xy xz. I D D x m * xy xz yz. D I D y m * xz yz xy. D D I z m * * *... x m y m z m m * xx xy xz. I I I x m * xy yy zy. I I I y m H (7-9) I I I z m * xz yz zz. * * *... x m y m z m m * * * kde x, y, z jsou souřadnce těţště -tého článku vyjádřené v lokálním -tém souřadném systému. Jednotlvé momenty setrvačnost jsou sce výhodně vyjádřené v lokálním souřadném systému, ale tento souřadný systém, pokud dodrţíme Denavt-Hartenbergův prncp rozmístění souřadných systémů, není systém centrální. Pokud tedy máme k dspozc momenty setrvačnost k osám centrálního souřadného systému, musíme je přepočítat do lokálního souřadného systému pouţtím homogenní transformační matce T, c. c., c H T H T (7-2) kde, c T je homogenní transformační matce mez -tým lokálním a -tým centrálním souřadným systémem. Knetcká energe všech článků 9

K 2 n T tr T. H. T (7-2) b b Na hlavní dagonále homogenní matce setrvačnost vystupují tedy momenty setrvačnost k rovnám I yz, Ixz, I xy (alternatvně značené Ixx, I yy, I zz ). Tyto momenty získáme přepočtem př známých momentech stervačnost daného článku k osám lokálního souřadného systému daného článku. I y Iz Ix Iz Ix I y Ix I y Iz Ixx I yy I zz (7-22) 2 2 2 7..2 Potencální energe článků Potencální energe -tého článku o hmotnost m soustředěné v těţšt v homogenním gravtačním pol s gravtačním zrychlením g v kartézských souřadncích je *.. b P m g z (7-23) * kde z b je souřadnce těţště v základním souřadném systému. V homogenních souřadncích je moţno potencální energ vyjádřt *. T. b. P m G T p (7-24) kde T G g (7-25) je matce gravtačního zrychlení * * * * x y z p (7-26) T jsou souřadnce těţště všech článků m vyjádřené v lokálním souřadném systému. Celková potencální energe n T *.. b. P m G T p (7-27) 7.2 Lagrangeova pohybová rovnce II. druhu v matcovém vyjádření Výrazy pro knetckou energ (7-2) a potencální energ (7-27) článků dosadíme do obecného vyjádření Lagrangeovy rovnce (7-) a upravíme. Nejprve provedeme odvození druhého členu na levé straně rovnce (7-) K q q q q (7-28) n n T n b T b b T tr T. H. Tb tr Tb. H. T tr T. H. Tb j 2 j 2 j j protoţe 9

T T T T T b T T T Tb Tb. H. T T. H. T. H. q q q (7-29) b b b j j j T protoţe pokud platí, ţe M M 2 pak hlavní dagonála těchto matc je stejná a platí trm trm 2 a navíc platí H T H dqk dq dq2 dq b k.. 2..... k. qk k dt dt dt dt k T U U U U U (7-3) T U U U (7-3) q q q q b 2. q. q2.... q U j. q U2 j. q2... Uj. q Ulj. ql j j j j l U Pro j U, U 2,...neobsahuje q j,proto q j T q b j l U lj. q pro j l pro j (7-32) Pak tedy K q j n j l k n n Tb T T tr. H. T b tr U lj. q l. H. U k. q k qj j l k tr U T lj. H. Uk. q l. q k (7-33) Odvození K q j je provedeno analogcky jako K q j K q j n tr T q b j. H. T T b (7-34) T U. q U. q... U. q... U. q U. q (7-35) b 2 2 j j k k k T q q q q b U. q... Uj. q j... U. q j j j j U q U q U q q q q q q q j j. q U..... q j Uj..... q U. j j j j j j (7-36) Všechny parcální dervace kromě q q j j jsou nulové, protoţe členy Uj neobsahují q j. Pak 92

T q b j U j pro j pro j (7-37) n n d K d T b T T b tr. H. T tr. H. T dt q dt q q T b b j j j j j (7-38) Nejprve odvodíme první člen na pravé straně rovnce (7-38). Dervac podle času provedeme jako dervac sloţené funkce více proměnných U j q t, q2 t,..., q t d T du U U U dt q dt q q q b j j j j. q. q 2.... q Ujl. q l j 2 l (7-39) d dt T q b j l U jl. q j j l (7-4) Pak n n n d Tb T T T tr. H. T b tr Ujl. q l. H. Uk. q k tr Ujl. H. Uk. q k. q l j dt q j j l k j l k (7-4) Pro druhý člen pravé strany rovnce (7-38) platí T U U U (7-42) dtb duk b. qk k. qk kl. ql. qk k. qk dt k dt k k l k T T T b kl. ql. qk k. qk k l k T U U (7-43) Pak n n Tb T T T tr. H. T b tr U j. H. U kl. q l. q k U k. q k j q j j k l k n n T T tr Uj. H. Ukl. q l. q k tr Uj. H. Uk. q k j k l j k (7-44) Pro poslední člen levé strany obecného vyjádření Lagrangeovy rovnce (7-) platí P q j n n T Tb * T * m... m.. j. qj G p G U p (7-45) Nyní dosadíme do rovnce (7-) výrazy (7-33),(7-4),(7-44) a (7-45), přtom výrazy (7-33) a (7-4) jsou s rovny a tedy se odečtou n n T T tr Ujl. H. Uk. qk. ql tr Ulj. H. Uk. ql. qk j l k j l k (7-46) 93

protoţe U T b 2 j q j Tb q q q q j Tb 2 U q Tb q q q q j j j (7-47) Obecně nelze zaměnt pořadí parcálních dervací, ale pokud jsou smíšené parcální dervace v daném bodě spojté v případě transformační matce to vyplývá z fyzkální podstaty jejích prvků jsou s v tomto bodě rovny a lze zaměnt jejch pořadí. Úpravou tedy dostaneme Lagrangeovu rovnc II. druhu pro výpočet zobecněné síly v dané pohybové jednotce v pouţtelném tvaru n n n T T T * tr Uj. H. Uk. qk tr Uj. H. Ukl. ql. qk m. G. Uj. p j j k j k l (7-48) Příklad 7- Výpočet zobecněných sl pomocí Lagrangeovy pohybové rovnce v matcovém tvaru Výpočet zobecněných sl pouţtím Lagrangeovy pohybové rovnce v matcovém tvaru pro referenční mechansmus RTT včetně objektu manpulace v prostředí Mathcad je ukázán na odkazu -..\Mathcad\RTT_Lagr_matcove.xmcd Výpočet v prostředí Mathcad pro prohlíţení výpočtu běţným prohlíţečem (např. Internet Explorer), bez moţnost měnt výpočet, na..\mathcad\rtt_lagr_matcove.html Komentovaný výpočet zobecněných sl Lagrangeovy pohybové rovnce v matcovém tvaru je také ukázán jako anmace:..\anmace\rtt_lagr_matcove\rtt_lagr_matcove.mp4 Příklad 7-2 Ruční odvození Lagrangeových pohybových rovnc a výpočet zobecněné síly Výpočet zobecněných sl pouţtím Lagrangeovy pohybové rovnce, která je odvozena ručně na základě dervace knetcké a potencální energe dle vztahu (7-). Nejprve je vypočtena knetcká a potencální energe článků, pak jsou ručně provedeny potřebné dervace a Lagrangeovy pohybové rovnce jsou upraveny do podoby, snadno vyuţtelné v algortmu momentového řízení robotů. Výpočet je proveden opět pro referenční mechansmus RTT včetně objektu manpulace v prostředí Mathcad -..\Mathcad\RTT_model_objekt.html Výpočet v prostředí Mathcad pro prohlíţení výpočtu běţným prohlíţečem (např. Internet Explorer), bez moţnost měnt výpočet, na..\mathcad\rtt_model_objekt.html Komentovaný výpočet zobecněných sl Lagrangeovy pohybové rovnce př ručním vytvoření pohybových rovnc je také ukázán jako anmace:..\anmace\rtt_lagr_rucne\rtt_lagr_rucne.mp4 94

7.2. Přímá úloha dynamky Přímá úloha dynamky je taková úloha, kdy známe knematcké velčny (polohu, rychlost, zrychlení) jednotlvých pohybových jednotek, které spojují soustavu tuhých těles, a hledáme zobecněnou sílu v těchto pohybových jednotkách. V tvaru uvedeném výrazem (7-48) je moţno Lagrangeovu rovnc poměrně snadno aplkovat. Předpokladem výpočtu je vyčíslení homogenních matc setrvačnost H článků vzhledem k jejch lokálním souřadným systémům. Pro skutečné články mechansmů je tento výpočet moţný jen př naprosto dokonalé techncké dokumentac článků. Přtom je nutno uvaţovat nejen samotné články (většnou odltky nebo výlsky s přepáţkam a ţebry pro zvýšení tuhost a elmnac vlastních mechanckých frekvencí), ale s "náplní" článků, tj. různým typy převodů a hřídelí, s "náplní" pohybových jednotek (motory, převodovky) a s elektronckým vybavením (nkrementální snímače, selsyny apod.) Pro reálné články mechansmů je moţno provést výpočet pouze pomocí specálních programových modulů některých CAD systémů (AutoCAD, Pro/Engneer a další) a je nutno zváţt dostupnost a přesnost jednotlvých údajů zejména v porovnání s dalším nezahrnutým nebo jen obtíţně modelovaným vlvy, jako je vlv tření a jeho závslost na teplotě a stavu pohybové jednotky a dalším. Přesné určení homogenních matc setrvačnost je nezbytné, protoţe články jsou mnohdy z hledska rozloţení hmot značně nesymetrcké a př řešení dynamky prostorového pohybu není moţno je nahradt "drátovým" modelem s momenty setrvačnost pouze na hlavních osách, popř. s hmotností soustředěnou do těţště, ale vyskytují se zde devační momenty, které př prostorovém pohybu způsobují přídavné zatíţení pohonů. Malé (řádově oprot hlavním) devační momenty lze zanedbat. Vyčíslení matc U je jednoduché pomocí dferencálních operátorů. Pro dskrétní časové okamţky dostaneme tedy z rovnce (7-48) dskrétní hodnoty zobecněné síly j j t k. 7.2.2 Inverzní úloha dynamky Inverzní úloha je taková úloha, kdy známe průběh zobecněné síly působící na jednotlvé pohybové jednotky v čase a hledáme knematcké velčny pohybu (polohu, rychlost, zrychlení) v čase. Tato úloha je důleţtá např. pro ověření chování soustavy mechanckého a řídcího systému. Úloha je řešena metodou lneární extrapolace rychlost mez jednotlvým dskrétním body trajektore, která byla publkována na počátku osmdesátých let v (Frolov, 988). Výchozí velčny tedy jsou: t k - vektor zobecněných sl v dskrétních časových okamţcích q t - vektor zobecněných souřadnc polohy v čase t q t - vektor počátečních rychlostí v čase t Nejprve jsou vypočteny homogenní transformační matce Tb a všechny jejch dervace Uk, U kl ve výchozí poloze v čase t. Dosazením do Lagrangeovy rovnce (7-48) j je moţno převést na tvar k n ( t ). q ( t ) ( t ) j, 2,..., n (7-49) kj k j který představuje soustavu rovnc s n neznámým q k ( t ). Řešením soustavy rovnc dostaneme zrychlení jednotlvých pohybových dvojc ve výchozím bodě. Pro generování trajektore v dalším uzlovém bodě q( t t) pouţjeme lneární extrapolace rychlost q ( t t) q ( t ) q ( t ). t (7-5) 2 q( t t) q( t) q ( t). t q ( t).( t) (7-5) 2 95

Takto jsou postupně generovány jednotlvé body trajektore pohybových jednotek. Trajektore koncového bodu vznkne sloţením pohybu jednotlvých pohybových jednotek, tj. řešením přímé úlohy knematky. Shrnutí kaptoly V této kaptole byl ukázán výpočet zobecněných sl na základě Lagrangeovy pohybové rovnce II. druhu. V příkladech byly ukázány dva základní způsoby pouţtí Lagrangeovy pohybové rovnce - matcové řešení, jehoţ výhodou je menší pracnost a větší unverzálnost výpočtu zobecněných sl a nevýhodou delší doba výpočtu, která znemoţňuje pouţtí této metody v řízení mechansmu, a ruční odvození Lagrangeových pohybových rovnc, které je pracné a zdlouhavé, ale vede k jednoduchému a rychlému výpočtu zobecněných sl z pohybových rovnc. Tato metoda je vhodná pro řízení mechansmů. Otázky. Vysvětlete fyzkální význam jednotlvých velčn v Lagrangeově pohybové rovnc II. druhu. 2. Dají se z vypočtených zobecněných sl pomocí Lagrangeovy pohybové rovnce vypočíst akční síly? 96

8 POLOHOVÉ A RYCHLOSTNÍ SERVOSYSTÉMY ROBOTŮ Čas ke studu: 2 hodny Cíl: Po prostudování této kaptoly budete umět - sestavt algortmus pro momentové řízení průmyslových robotů tj. takové řízení, kdy řídcí systém vypočte na základě dynamckého modelu mechansmu potřebné síly a momenty, které musí vyvnout pohonný systém v jednotlvých pohybových vazbách a nastavt jednoduchý zpětnovazební regulátor odchylky rychlost a odchylky polohy. Výklad Podrobná analýza a syntéza základních typů regulátorů polohy a rychlost není předmětem této publkace a je uvedena např. v (Čermák, 986). Klascké prncpy regulace polohy jsou zaloţeny na zpětnovazební smyčce polohy, kdy je skutečná (měřená) poloha porovnávána s ţádanou a odchylka je vedena do regulátoru polohy, za kterým následuje podřízená zpětnovazební smyčka rychlost, popř. proudu. Časové konstanty, které musí regulátor př správném nastavení kompenzovat, jsou v podstatě konstantní (popř. pomalé nebo relatvně trvalé) a jsou způsobeny jednak hmotnostním parametry řízeného mechanckého subsystému (většnou momenty setrvačnost přepočtené na hřídel motoru) a jednak vlastnostm elektrckého obvodu (ndukčnost kotvy, časové konstanty fltrů zpětnovazebních velčn). Př tomto způsobu regulace je regulační smyčka rychlost podruţná a umoţňuje většnou pouze nastavení strmost nárůstu rychlost (zrychlení). Zátěţné síly a momenty, které vznkají v důsledku zatíţení pracovního článku a také vlvem dynamky pohybu, jsou poruchovou velčnou, jejíţ vlv musí regulátor vyrovnat. Tento způsob řízení polohy není vhodný pro mechansmy s více stupn volnost, kdy výsledný pracovní pohyb vznká sloţením pohybů jednotlvých článků a přtom je rozhodující trajektore koncového bodu pro spojté řízení (contnuous path). Př spojtém řízení je nutno současně řídt polohu a rychlost kaţdé pohybové jednotky tak, aby výsledný sloţený pohyb pracovního článku odpovídal přesně zadané trajektor. Dalším problémem, který nastává u průmyslových robotů je rychlá změna prostorové konfgurace článků a s tím souvsející rychlá a velká změna hmotnostních parametrů. Změny jsou tak velké a tak rychlé, ţe se s nm adaptvní regulátory vyrovnávají jen velm obtíţně a pouze regulace zaloţená na dobré znalost knematckého a dynamckého modelu mechansmu přnáší dobré výsledky. Jednu z nejčastěj pouţívaných metod rychlého polohového řízení průmyslových robotů je tzv. momentové řízení, př kterém je aplkován algortmus optmálního sledování trajektore a př kterém zátěţný moment pohonů nevstupuje pouze jako poruchová velčna, ale je počítán na základě modelu dynamky mechanckého subsystému jako vstupní ţádaná hodnota. 8. Algortmus optmálního sledování trajektore Vyjdeme z modelu dynamky prostorové soustavy tuhých článků, spojených holonomním vazbam s jedním stupněm volnost, který lze obecně vyjádřt na základě Lagrangeovy pohybové rovnce ve tvaru 97

A q. q C q, q G q (8-) kde Aq - čtvercová matce setrvačnost všech hmot redukovaných na osy pohybu C q, q - matce sl způsobených odstředvým a Corolsovým zrychlením Gq - matce tíhových efektů - vektor zobecněných sl pohybových jednotek q - vektor zobecněných souřadnc polohy (kloubové proměnné) q - vektor zobecněných souřadnc rychlost q - vektor zobecněných souřadnc zrychlení Toto vyjádření můţe být doplněno dalším členy, např. pro síly způsobené třením F q, q. Na základě znalost matc A q, C q, q, G q a popř. dalších jako je F q, q je tedy moţno vypočítat potřebnou zobecněnou sílu (v našem případě moment), kterou musí pohony vyvnout, aby se mechancký subsystém pohyboval po dané trajektor s potřebnou rychlostí a zrychlením. Ţádanou velčnou přcházející na regulátory jednotlvých pohonů je tedy moment. U elektrckých pohonů můţeme zjednodušeně říc, ţe moment, který pohon vyvne, je úměrný proudu motoru, proto vlastně je momentové řízení realzováno řízením proudu motorem. Toto řízení proudu motorem je praktcky realzováno podřízenou regulační smyčkou proudu, která kompenzuje časovou konstantu elektrckého obvodu a, která je relatvně malá (jednotky aţ desítky ms ) oprot mechancké časové konstantě řízené soustavy m, která se pohybuje v rozsahu stovky ms aţ sekundy. Př kompenzac elektrckých časových konstant pohonů je tedy jejch moment (proud) úměrný řídící velčně u T u u2 u n u (8-2) a pohybovou rovnc soustavy můţeme napsat ve tvaru A q. q C q, q F q, q G q K. u (8-3) kde K je dagonální matce konstant zesílení (přepočet mez řídící velčnou a momentem motoru). Pro převod na normalzovaný dynamcký podsystém (Zítek a Vteček, 999) rovnc (8-3) upravíme do tvaru q A q. C q, q F q, q G q A q. K. u f z q, q G z q (8-4) a dále zobecníme na tvar q f q, q G q. u (8-5) z z Vektorová funkce fz q, q, představuje sloţky zobecněné síly způsobené Corolsovým a odstředvým zrychlením, tíhovým efekty článků a třením v kloubech přepočtené nverzní matcí setrvačnost na zrychlení a matce Gz q obsahuje kromě zesílení K zejména nverzní matc setrvačnost mechanckého systému. Řídící velčna u (převedená na moment) bezprostředně ovlvňuje zrychlení q, rychlost q pak je ovlvněna aţ zprostředkovaně podle vztahu t q t q t dt (8-6) 98

Z hledska vlastností vektorové funkce fz q, q a matce Gz q se jedná o standardní dynamcký podsystém typu 2 (Zítek a Víteček, 999), který je globálně řdtelný. Pro optmální zpětnovazební řízení platí (Víteček, 99) z u* G q. m (8-7) kde m má pro mezní aperodcký průběh sloţky 2 m q q q q q f x (8-8) d d d 2 T T respektve d d d p v m k q q k q q q f x (8-9) Výraz (8-9) má obdobný tvar jako PD regulátor polohy, k jehoţ výstupu je přčtena hodnota d zrychlení q s kompenzací příspěvku k zobecněné síle způsobenému Corolsovým a odstředvým zrychlením, třením a případným dalším vlvy. Tento regulátor je tedy optmální z hledska sledování trajektore pro dynamcké subsystémy charakterzované pohybovou rovncí (8-), převedené na standardní tvar (8-5). Pro řízené dynamcké podsystémy standardního typu takto dochází k externí lnearzac, která spočívá v kompenzac všech nelneart. Z hledska fyzkálního významu řídící velčna u* (vynásobená matcí konstant K) v sobě obsahuje zejména moment, který musí soustava pohonů vyvnout, aby se články pohybovaly se zrychlením q d a další momenty potřebné pro kompenzac tíhových efektů článků a Corolsových a odstředvých zrychlení. 8.2 Momentové řízení Momentové řízení (Computed torque control) (Crag, J.J., 986) vychází ze základního předpokladu, ţe pohonný subsystém musí v kaţdém časovém okamţku vyvnout právě takový potřebný moment (zobecněnou sílu), aby se daný článek mechansmu pohyboval po ţádané trajektor s daným průběhem rychlost a zrychlení. Tato metoda vychází tedy z dobré znalost matematckého modelu mechansmu, kdy dokáţeme průběh všech knematckých a dynamckých velčn vypočítat ať uţ v reálném čase (velké nároky na hardware řídícího počítače) nebo předem (playback). Dokonalé realzac této metody řízení brání dva základní nedostatky - nepřesný matematcký model mechansmu zejména v oblast modelování převodů, jejch pruţnost, přesnost, hystereze, tření apod. a dále neschopnost reálných pohonů vyvnout potřebný průběh momentu zejména v náročných dynamckých stavech (vlastní dynamcké vlastnost pohonů). Přes uvedené problémy je tato metoda řízení pro dynamcky náročné systémy velm dobře aplkovatelná a nepřesnost v matematckém modelu soustavy mechansmus-pohon jsou potlačovány zpětnovazebním řízením s vhodnou strukturou. V současné době je tato metoda nejpouţívanější v polohových servosystémech zejména průmyslových robotů a manpulátorů. Pro osvojení metody je vhodný následující zjednodušený příklad na Obr. 8-. 99

x, x k m Těleso o hmotnost m = se pohybuje po podloţce se třením b = a je přpojeno pruţnou o tuhost k =. Předpokládán je translační pohyb s jedním stupněm volnost ve směru osy x, k dspozc je skutečná výchylka x a rychlost x. Pohybová rovnce tělesa je ve tvaru f mx x (8-) Pro účely řízení polohy je aplkován algortmus optmálního sledování trajektore ve tvaru f xd kv x d x k p xd x (8-) kde xd, x d, xd jsou průběhy ţádaných hodnot polohy, rychlost a zrychlení. Po porovnání rovnc (8-) a (8-) a zavedení poruchové velčny ve tvaru e xd x dostaneme vyjádření pohybové rovnce v prostoru poruchových velčn ve tvaru e k e k e (8-2) v p Průběh poruchové velčny e (a tedy dráhy x) závsí na velkost koefcentů kp, k v a je dán umístěním pólů charakterstcké rovnce v magnární rovně 2 s k s k (8-3) v p b Obr. 8-2 v v 4 p k k k s,2 (8-4) 2 Odezva systému na skokovou změnu ţádané polohy v závslost na poměru konstant k p a k v je ukázána na Obr. 8-2 pro perodcký průběh, pro mezní perodcký průběh a pro aperodcký průběh. 4k 2 p k 4 v 2 p k 4k v p k k 2 v Obr. 8-2

Z hledska řízení polohy je optmální mezní aperodcký průběh. Velkost konstant k p a k v určuje kvaltu regulace. Zvyšování těchto konstant zvětšuje zesílení odchylky polohy a rychlost, zvyšuje přesnost a rychlost regulace, ale také zvyšuje velkost akční velčny (síly) působící na řízený objekt. x, x m b k Výše uvedený algortmus řízení polohy lze uplatnt na reálný příklad, kdy hmotnost m není jednotková a objekt má reálné vazby s okolím, tj. tření o velkost b a tuhost pruţny k - Obr. 8-3. V tomto případě je pohybová rovnce tělesa ve tvaru mx bx kx f (8-5) Řídící algortmus rozdělíme na dvě část - část "dynamcký model" a část "jednotkový servosystém". Část dynamcký model předpokládá znalost parametrů řízeného objektu, tj. m, b, k. Na modelovou část je aplkován řídící algortmus ve tvaru f f (8-6) Aplkací řídícího algortmu (8-6) na objekt s pohybovou rovncí (8-5) dostaneme výslednou pohybovou rovnc mx bx kx f (8-7) Pokud dosadíme m a bx kx dostaneme stejný výsledný vztah x f jako v rovnc (8-), tj. řízený objekt se po aplkac část řídícího algortmu nazvané dynamcký model (8-6) chová navenek jako jednotková hmotnost s nulovým třením a nulovou tuhostí pruţny. Tento prncp se nazývá redukce (v lteratuře také kompenzace) skutečného systému s reálným parametry na systém s jednotkovou hmotností bez vazeb. Takovýto systém lze stejně jako v předchozím příkladě dle Obr. 8- řídt druhou částí algortmu nazvanou jednotkový servosystém dle vztahu f xd kve kpe (8-8) Řídící algortmus je zobrazen na Obr. 8-4. Do část model řídícího algortmu mohou být zahrnuty další vlvy, např. nelneární charakterstka pruţny. Pak je pohybová rovnce tělesa dána např. 3 mx bx qx f (8-9) Dále můţe být pouţto Coulombovo tření Obr. 8-3 mx bc sgn x kx f (8-2)

x d dynamcký mo- jedn. servosystém del f m f f mx bx kx x x k p k v bx kx e e x d x d Pro všechny tyto případy je metoda členění řídícího algortmu výhodná. Modelová část výpočtem odstraní "nelnearty" řízeného systému tak, ţe se jeví jako jednotková hmotnost bez vazeb. Na tento systém je pak pouţt jednoduchý lneární servosystém. Stejný prncp můţe být aplkován na polohové řízení soustavy hmotných těles s vazbam, jakou je například průmyslový robot. Vztahy jsou obdobné, na místě všech členů výrazů (8-5), (8-6) jsou odpovídající matce. Pohybovou rovnc soustavy hmotných těles je moţno napsat na základě Lagrangeovy pohybové rovnce II. druhu v matcovém tvaru A q. q C q, q F q, q G q (8-2) Část řídícího algortmu nazývaná dynamcký model je stejně jako v předchozím příkladě realzována obdobným vztahem v matcové podobě F F (8-22) kde Aq (8-23) C q, q F q, q G q (8-24) Část řídícího algortmu jednotkový servosystém je realzována matcovým vztahem F q K. E K. E (8-25) d v p Po rozepsání poruchové velčny p d v d Obr. 8-4 F K q q K q q q (8-26) Aplkací část řídícího algortmu dynamcký model je provedena lnearzace a rozpojení pohybů jednotlvých článků (v angl. lt. decouplng) tak, ţe kaţdý článek se chová jako jednotková hmotnost (popř. jednotkový moment setrvačnost) bez vazeb. Řídící algortmus je znázorněn na Obr. 8-5. Jednotlvé matcové parametry modelové část řídícího algortmu jsou určeny na základě aplkace Lagrangeovy pohybové rovnce v matcovém tvaru. 2

n T A q tr U. H. U (8-27) j k j k n T C q, q tr U. H. U. q. q (8-28) j k l j kl l k n T *.. j. G q m G U p (8-29) jednotkový q d dynamcký model F A q servosys- F Mech.subsystém q q K p K v C q, q F q, q G q E E q d q d Obr. 8-5 Shrnutí kaptoly V této kaptole byl ukázán prncp momentového řízení mechansmů, tj. takového řízení, kdy řídcí systém na základě dynamckého modelu mechansmu vypočte předem momenty (zobecněné síly), které musí pohony vyvnout, aby se koncový bod pohyboval po ţádané trajektor. Otázky. Jaký je prncp momentového řízení? 2. Jaký účel mají dva základní bloky algortmu momentového řízení jednotkový servosystém a dynamcký model? 9 MECHATRONICKÝ PŘÍSTUP K VYTVÁŘENÍ ROBOTICKÝCH SYSTÉMŮ Mechatronka je spojení znalostí strojního nţenýrství, metod řízení a umělé ntelgence a technckých prostředků řízení, tj. elektronky a moderních pohonů. Mechatroncký přístup je v posledních letech často dskutován a sestává v podstatě ze současného vytváření mechanckého, pohonného a řídícího subsystému a optmalzování jeho komponent v součnnost všech subsystémů tak, aby výsledné uţtné vlastnost byly co nejvyšší př co nejnţších nákladech na vývoj a výrobu. Z dnešního pohledu 3

má vlastně většna strojů a zařízení mechatronckou povahu a obsahuje základní subsystémy - mechancký subsystém, řídící subsystém včetně senzorů a pohonný subsystém. Př komplexním technckém řešení robotů a návrhu strojů obecně se jejch subsystémy natolk vzájemně ovlvňují, ţe se ukazuje nutnost realzace kvaltních matematckých a smulačních modelů jednotlvých subsystémů s defnovaným návaznostm, které by slouţly profesním specalstům k optmálnímu řešení. Metodka návrhu pohonů robotů je uvedena v (Mostýn a Skařupa, 997). Metodka návrhu robotckých systémů je dskutována dále v pracích (Skařupa a Mostýn, 997 a 2). Problematka mechatronky je natolk šroká, ţe j není moţno vyčerpávajícím způsobem obsáhnout v rámc jedné publkace. Tato publkace se soustředí na mechatroncký přístup ke konstruování z pohledu strojního nţenýra a zabývá se zejména modelováním knematky a dynamky mechansmů v návaznost na dmenzování pohonů a analýzu mechanckého subsystému pro návrh řízení. Základní metodcké kroky př návrhu mechatronckého systému jsou: analýza technologckých poţadavků (funkce, rozsah pohybu, dynamcká charakterstka pohybu, manpulované hmotnost, vyvíjené síly, momenty) funkční analýza stroje, prncpální řešení jednotlvých funkčních skupn, návrh knematcké struktury knematcká analýza a syntéza mechansmu (řešení přímé a nverzní úlohy knematky pro polohu, rychlost a zrychlení jednotlvých pohybových komponent stroje dynamcká analýza mechansmu stroje (analýza slového působení jednotlvých uzlů vzájemně a na základ stroje dmenzování mechanckého subsystému (ramena, převody, pohybové jednotky) dmenzování pohonného subsystému (motory, měnče, napájecí subsystém) řešení řídícího subsystému (regulátory pohonů, vyšší úroveň řízení) optmalzace stroje v součnnost jednotlvých subsystémů Podstatou řešení je postupné terační zpřesňování parametrů, a to funkčních, hmotnostních pevnostních, které ve fáz prvního návrhu volíme na základě zkušeností, techncké nvence, popř. na základě obdobných konstrukcí (Skařupa, 998). Cílem řešení jsou maxmální uţtné vlastnost stroje př mnmálních nákladech na výrobu. Jedním z důleţtých aspektů konkurenceschopnost výrobku je také doba řešení. Z těchto důvodů jsou v této publkac prezentovány výpočetní metody, které lze přes jejch relatvní sloţtost snadno naprogramovat a tak zrychlt cyklus teračního zpřesňování. Předloţené matematcké metody modelování mechanckého subsystému jsou koncpovány převáţně jako unverzální, tj. vhodné pro lbovolnou knematckou strukturu mechansmu. Potíţe nastávají pouze př řešení nverzní úlohy knematky mechansmů s uzavřeným smyčkam, kdy je třeba pouţít specálních přístupů uvedených např. v (Brát, 98) nebo (Valášek, 996). Po úspěšném řešení nverzní knematcké úlohy jsou pak metody modelování dynamckého chování mechansmů bez problémů. Výstupy z uvedených metod slouţí jak strojním nţenýrům v oblast dmenzování článků a pohybových jednotek mechansmů, tak profesním specalstům v oblast řízení pro syntézu regulátorů polohy a rychlost článků. Metodka dmenzování akčních subsystémů robotů je uvedena např. v (Skařupa, 997). Cílem této publkace je přspět ke komplexnímu mechatronckému přístupu k vytváření technckých systémů obecně a zvýšení schopnost komunkace mez profesním specalsty v oblastech mechanky, řízení a regulovaných pohonů. 4

Na Obr. 9- je uveden příklad mechatronckého přístupu ke konstrukc průmyslového robotu, který lze zevšeobecnt na stroje obecně. Plným čáram jsou znázorněny postupné etapy analýzy a syntézy jednotlvých subsystémů stroje, čárkovaným čaram jsou znázorněny hlavní zpětné vazby a vlvy na parametry jednotlvých bloků. Technologcké požadavky Základní prncpy řešení Funkční analýza stroje Rozdělení funkcí na subsystémy Velkost a tvar pracovního prostoru Manpulovaná hmotnost Knematcká struktura Tvar a délka článků Tvar a dynamcká náročnost trajektore efektoru Knematcký model Inverzní úloha knematky -dráha těžšť -rychlost těžšť -zrychlení těžšť Profl článků, tuhost, hmotnost článků, pohonů, převodů Tvorba a plánování trajektore knematckých dvojc Dynamcký model soustavy -výpočet reakcí -výpočet zobec.sl -hmotnostní parametry Dmenzování pohonů a převodů Dmenzování článků a knematckých dvojc Strukturální model převodů - hodnocení napětí - hodnocení tuhost - modální analýza Strukturální model článků -napětí článků -deformace článků -modální analýza Hodnocení přesnost a tuhost soustavy Model měnčů a motorů - dyn. parametry - přetížtelnost - proudová smyčka Model řízeného dynamckého subsystému - model mechanckého subsystému - model pohonného subsystému Model řídícího subsystému - regulátory kn.velčn - momentové řízení Smulace všech velčn Termální model soustavy - výpočet teploty článků - výpočet teploty pohonů a měnčů Knematcký model Přímá úloha knematky - složený pohyb pracovního bodu mechansmu Obr. 9-5

VÝPISY ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ V PROSTŘEDÍ MATHCAD. Přímá úloha knematky mechansmus s jedním stupněm volnost Výps příkladu s názvem dof_rotace_prma_uloha.xmcd x y z z b l 2 y q l z l x y b x b Obr. - Knematcké schéma a 3D model analyzovaného mechansmu ORIGIN t.5.5 Tabulka D-H parametrů theta d a alfa P/2 l P/2 q -l l 2 Rozměry článků l.3 l 2 l.235 Alternatvní moţnost zadání průběhu polohy kloubu v čase - zadáním průběhu zrychlení, popř. rychlost a ntegrací tohoto průběhu. dq q V prostředí Pro/E je nutno zadávat úhlové míry ve stupních, rad/sec 2 je 572,958 deg/sec 2 6

ddq ( t). ddq ( t).5 ddq ( t) 9.995 9.99..2.3.4.5 t dq ( t) t ddq ( t) dt dq dq ( t).5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 dq ( t) 5 4 3 2..2.3.4.5 t 7

q ( t) t dq ( t) dt q.5 q ( t).25.5.25.2.325.45.625.8.25.25 q ( t).5..2.3.4.5 t Transformační matce mez základním (bázovým) souřadným systémem GCS a lokálním souřadným systémem LCS rámu (podstavce) 2 d.3 a 2 cos sn cos sn sn a cos A b sn cos cos sn cos sn cos a sn d A b.3 8

( t) q ( t) d.235 a cos ( t) sn ( t) cos sn ( t) sn a cos ( t) A ( t) sn ( t) cos ( t) cos sn cos ( t) sn cos a sn ( t) d A ( ).235 Po úpravě (vhodnější pro Mathcad) A b.3 cos q ( t) sn q ( t) cos q ( t) A ( t) sn q ( t) cos q ( t) sn q ( t).235 A ( ).235 cos q ( t) sn q ( t) cos q ( t) T b ( t).3 sn q ( t) cos q ( t) sn q ( t).235 9

.235 T b ( t) cos q ( t) sn q ( t) sn q ( t) cos q ( t) cos q ( t) sn q ( t).3.235.235 T b ( ).3 T b (.5).353224.9489846.9489846.353224.353224.2489846 Směry jednotkových vektorů na osách posledního ss (LCS) a jejch vyčíslení v čase a,5 (místo lze zadat čas v rozsahu nastavené proměnné času) ( t) submatrx T b ( t) 3 ( ) (.5).353224.9489846 j ( t) submatrx T b ( t) 3 2 2 j ( ) j (.5).9489846.353224 Transformační matce pro t=

k ( t) submatrx T b ( t) 3 3 3 k ( ) k (.5) O ( t) submatrx T b ( t) 3 4 4.235.235 O ( ) O (.5).353224.3.2489846 Transformační matce pro t=,5 Průběh polohy koncového bodu x( t) T b ( t) y( t) T 4 b ( t) z( t) T 2 4 b ( t) 3 4 x( t) -.235 -.235 -.235 -.235 -.235 -.235 -.235 -.235 -.235 -.235 -.235 y( t).999929.998753.9936785.98666.955679.9447.88233.696767.529742.353224 z( t).3.324997.3499792.422628.4986693.674385.7349655.874948.7356.48588.2489846.5 x( t) y( t) z( t).5.5..2.3.4.5 t

2

.2 Přímá úloha knematky mechansmus se třem stupn volnost (RTT) Výps příkladu s názvem RTT_hlavce_prma_uloha.xmcd z b y 2 x 2 q 3 y 3 y z z q 2 x z 2 z 3 x 3 y 4 x 4 y x q y b z 4 Obr. -2 3D model a knematcké schéma vyšetřovaného mechansmu Tabulka parametrů (Denavt-Hartenberg) theta d a alfa l q 2 q2 l2 P/2 3 q3 4 DH parametry nepouţty l.5 l 2.65 ORIGIN t.5 3 rozsah času pro defnc pohybu d.5 a cos sn cos sn sn a cos A b sn cos cos sn cos sn cos a sn d 3

A b.5 Zjednodušená matce Ab A b.5 q ( t).5 t Zadání průběhu. zobecněné souřadnce (natočení) ( t) q ( t) d ( t) a cos ( t) sn ( t) cos sn ( t) sn a cos ( t) A ( t) sn ( t) cos ( t) cos sn cos ( t) sn cos a sn ( t) d ( t) A ( ) Zjednodušená matce A cos q ( t) sn q ( t) A ( t) sn q ( t) cos q ( t) Zadání průběhu 2. zobecněné souřadnce (zdvh) q 2 ( t).9. t 2( t) d 2 ( t) q 2 ( t) a 2.65 2 2 4

cos 2 ( t) sn 2 ( t) cos 2 sn 2 ( t) sn 2 a 2 cos 2 ( t) A 2 ( t) sn 2 ( t) cos 2 ( t) cos 2 sn 2 cos 2 ( t) sn 2 cos 2 a 2 sn 2 ( t) d 2 ( t).65 A 2 ( ).9 Zjednodušená matce A2 A 2 ( t).65 q 2 ( t) Zadání průběhu 3. zobecněné souřadnce (výsuv) q 3 ( t).5.2 t 3( t) d 3 ( t) q 3 ( t) a 3 3 cos 3 ( t) sn 3 ( t) cos 3 sn 3 ( t) sn 3 a 3 cos 3 ( t) A 23 ( t) sn 3 ( t) cos 3 ( t) cos 3 sn 3 cos 3 ( t) sn 3 cos 3 a 3 sn 3 ( t) d 3 ( t) A 23 ( ).5 Zjednodušená matce A23 A 23 ( t) q 3 ( t) 5

Poslední transformační matce mez LCS3 a LCS4 (hlavce) je určena odměřením v prostředí Pro/E. Matce je konstantní, proto není funkcí času. A 34.5.866.866.5.87.45 Vyčíslení transformačních matc mez základním a lokálním souřadným systémy, tyto matce jsou také vypočteny symbolcky (Shft+F9) T b ( t) A b A ( t) cos q ( t) sn q ( t) T b ( t).5 sn q ( t) cos q ( t) cos q ( t) sn q ( t) T b ( t) sn q ( t) cos q ( t).5 T b ( ).5 T b2 ( t) A b A ( t) A 2 ( t) 6

cos q ( t) sn q ( t).65 T b2 ( t).5 sn q ( t) cos q ( t) q 2 ( t) cos q ( t) sn q ( t).65 cos q ( t) T b2 ( t) sn q ( t) cos q ( t).65 sn q ( t) q 2 ( t).5.65 T b2 ( ).4 T b3 ( t) A b A ( t) A 2 ( t) A 23 ( t) cos q ( t) sn q ( t).65 T b3 ( t).5 sn q ( t) cos q ( t) q 2 ( t) q 3 ( t) cos q ( t) sn q ( t) sn q ( t) q 3 ( t).65 cos q ( t) T b3 ( t) sn q ( t) cos q ( t) cos q ( t) q 3 ( t).65 sn q ( t) q 2 ( t).5.65 T b3 ( ).5.4 7

Celková transformační matce mez základním ss (GCS) a posledním ss (LCS4) T b4 ( t) A b A ( t) A 2 ( t) A 23 ( t) A 34 T b4 ( t).5 cos q ( t) sn q ( t) sn q ( t) cos q ( t).65 q 2 ( t) q 3 ( t).5.866.866.5.87.45 cos q ( t).866 sn q ( t).5 sn q ( t).65 cos q ( t).45 sn q ( t) q 3 ( t) sn q ( t) T b4 ( t) sn q ( t).866 cos q ( t).5.5 cos q ( t).866.65 sn q ( t).45 cos q ( t) q 3 ( t) cos q ( t) q 2 ( t).33.65 T b4 ( ).866.5.5.866.95.23 Směry jednotkových vektorů na osách posledního ss (LCS4) 4 ( t) submatrx T b4 ( t) 3 j 4 ( t) submatrx T b4 ( t) 3 2 2 k 4 ( t) submatrx T b4 ( t) 3 3 3 O 4 ( t) submatrx T b4 ( t) 3 4 4 Vyčíslení směrů jednotlových vektorů na osách LCS4 v čase (místo lze zadat čas -3 sec) 4 ( ) j 4 ( ).866.5 k 4 ( ).5.866 O 4 ( ).65.95.23 8

x( t) T b4 ( t) 4 y( t) T b4 ( t) 2 4 z( t) T b4 ( t) 3 4 Průběh polohy koncového bodu x( t) -.65.384.76.46.23.33.297 y( t).95.765.527.29.868.55.57 z( t).23.263.33.363.43.463.53 2.5 x( t) y( t) z( t).5.5 2 3 t 9

Průběh polohy koncového bodu ve 3D zobrazení ( x y z) Průmět trajektore do půdorysu (rovny xy) 2.5 y( t).5.5 x( t) 2

Řešení přímé úlohy knematky pro rychlost koncového bodu Dferencální operátory pro rotac a translac D R D T dq ( t) d t q ( t) d dq 2 ( t) d t q 2( t) d dq 3 ( t) d t q 3( t) d.2 dq ( t) dq 2 ( t) dq 3 ( t).2.4.6 2 3 t v 4 ( t) A b D R A ( t) A 2 ( t) A 23 ( t) A 34 dq ( t) A b A ( t) D T A 2 ( t) A 23 ( t) A 34 dq 2 ( t) A b A ( t) A 2 ( t) D T A 23 ( t) A 34 dq 3 ( t) v 4 ( 2).266.724. v x ( t) v 4 ( t) v y ( t) v 4 ( t) v z ( t) v 4 ( t) 2 3 2

v x ( t).952.833.668.473.266.63 -.2 v y ( t) -.68 -.386 -.556 -.67 -.724 -.79 -.663 v z ( t)........5 v x ( t) v y ( t) v z ( t).5 2 3 t 22

.3 Inverzní úloha knematky Taylorův rozvoj transformační matce Výps příkladu s názvem RTT_nverzn_Taylor.xmcd z b y 2 x 2 q 3 y 3 y z z q 2 x z 2 x 3 z 3 y q x y b x b Obr. -3 3D model a knematcké schéma vyšetřovaného mechansmu Tabulka parametrů (Denavt-Hartenberg) ORIGIN theta d a alfa.554 q 2 q2.65 P/2 3 q3 Výchozí poloha - pro výchozí polohu a výpočet nverzní úlohy jsou na místě kloubových proměnných použty proměnné s, s 2, a s 3. Kloubové proměnné q, q 2 a q 3 jsou použty pro kontrolu správnost výpočtu. s s 2.9 s 3. A b.554 A cos s sn s sn s cos s A 2.65 s 2 A 23 s 3 23

T b3 A b A A 2 A 23.65 T b3..454.65 TV..454 Žádaná poloha q 3 q 2.6 q 3.8 cos q sn q A b.554 A sn q cos q.65 A 2 q 2 A 23 q 3 T b3 A b A A 2 A 23 TD T b3.98999.42.4855 TD.42.98999.87.54 24

Řešení soustavy transcendentních rovnc je provedeno jako kontrolní řešení správnost výpočtu pomocí Taylorova rozvoje transformační matce. Defnce nverzní funkce Gven s 3 sn s.65 cos s x.65 sn s s 3 cos s y s 2.554 z Q( x y z) Fnd s s 2 s 3 Q(.4855.87.54 ) 3.6.8 Řešení metodou Taylorova rozvoje transformační matce Dferencální operátory Rotační kloub Translační kloub D r D t První terační krok Výchozí poloha s s 2.9 s 3. cos s sn s A b.554 A sn s cos s 25

.65 A 2 s 2 A 23 s 3 T b3 A b A A 2 A 23 TV T b3 Je vypočtena transformační matce Tb3 ve výchozí poloze a je uložena jako matce TV, matce TD - žádaná poloha zústává konstantní..65.98999.42.4855 TV..454 TD.42.98999.87.54 Jednotlvé parcální dervace do rozvoje transformační matce U 3 A b D r A A 2 A 23. U 3.65 U 32 A b A D t A 2 A 23 U 32 U 33 A b A A 2 D t A 23 U 33 26

Sestavená soustava rovnc (obrázek z učebního textu) bude řešena matcově Matce koefcentů u proměnných U 3 4 U 32 4 U 33 4 C U 32 4 U 322 4 U 332 4 U 33 4 U 323 4 U 333 4 Inverze matce koefcentů.99 C.6436 Matce pravých stran TD 4 TV 4.355 B TD 2 4 TV 2 4 TD 3 4 TV 3 4 B.2883.3 Řešením soustavy rovnc je matce D.242 D C B D.3.264 Krok, který je potřeba udělat z výchozí polohy směrem k řešení je tedy s D s 2 D 2 s 3 D 3 27

Vypočtení nové výchozí polohy s s s s 2 s 2 s 2 s 3 s 3 s 3 Pro kontrolu porovnání s jž předem vypočteným referenčním hodnotam s 3.297 q 3 s 2.6 q 2.6 s 3.79386 q 3.8 Př pohledu na vypočtené kloubové proměnné vdíme, že s se lší o 29 tsícn radánu, s 2 je jž vypočtena přesně (je nastaveno zobrazování na 5 desetnných míst), s 3 se lší zhruba o 7 mm. Je tedy nutná další terace. Je to způsobeno poměrně velkým rozdílem mez výchozí a žádanou polohou. Pokud bude tento rozdíl malý, řešení je nalezeno jž po jedné terac. Druhá terace - výrazy jsou zkopírovány z předchozí terace Matce v nové výchozí poloze cos s sn s A b.554 A sn s cos s.65 A 2 s 2 A 23 s 3 T b3 A b A A 2 A 23 TV T b3 28

Je vypočtena transformační matce Tb3 ve výchozí poloze a je uložena jako matce TV, matce TD - žádaná poloha zústává konstantní..99369.29.2447.98999.42.4855 TV.29.99369.7964.54 TD.42.98999.87.54 Jednotlvé parcální dervace do rozvoje transformační matce U 3 A b D r A A 2 A 23.29.99369.7964 U 3.99369.29.2447 U 32 A b A D t A 2 A 23 U 32 U 33 A b A A 2 D t A 23.29 U 33.99369 Matce koefcentů u proměnných U 3 4 U 32 4 U 33 4 C U 32 4 U 322 4 U 332 4 U 33 4 U 323 4 U 333 4 Inverze matce koefcentů.2572 C.382.432.287 29

Matce pravých stran B TD 4 TV 4 TD 2 4 TV 2 4 B TD 3 4 TV 3 4.248 5.268 3 Řešením soustavy rovnc je matce D.2943 D C B D 5.78338 3 Krok, který je potřeba udělat z výchozí polohy směrem k řešení je tedy s D s 2 D 2 s 3 D 3 Vypočtení nové výchozí polohy s s s s 2 s 2 s 2 s 3 s 3 s 3 Pro kontrolu porovnání s jž předem vypočteným referenčním hodnotam s 2.99974 q 3 s 2.6 q 2.6 s 3.79964 q 3.8 Př pohledu na vypočtené kloubové proměnné vdíme, že s se lší o necelou tsícnu radánu, s 2 je vypočtena přesně (je nastaveno zobrazování na 5 desetnných míst), s 3 se lší zhruba o 4 desettsícny mm. To by pro běžnou přesnost v robotce jž stačlo. Pro ještě přesnější výpočet je provedena ještě další terace. 3

Třetí terace - výrazy jsou zkopírovány z předchozí terace cos s sn s A b.554 A sn s cos s.65 A 2 s 2 A 23 s 3 T b3 A b A A 2 A 23 TV T b3 Je vypočtena transformační matce Tb3 ve výchozí poloze a je uložena jako matce TV, matce TD - žádaná poloha zústává konstantní.98996.437.487.98999.42.4855 TV.437.98996.88.54 TD.42.98999.87.54 Jednotlvé parcální dervace do rozvoje transformační matce U 3 A b D r A A 2 A 23.437.98996.88 U 3.98996.437.487 U 32 A b A D t A 2 A 23 U 32 3

U 33 A b A A 2 D t A 23.437 U 33.98996 Matce koefcentů u proměnných U 3 4 U 32 4 U 33 4 C U 32 4 U 322 4 U 332 4 U 33 4 U 323 4 U 333 4 Inverze matce koefcentů.238 C.69.768.45 Matce pravých stran TD 4 TV 4.5483 4 B TD 2 4 TV 2 4 B 3.665 4 TD 3 4 TV 3 4 Řešením soustavy rovnc je matce D 2.5645 4 D C B D 3.5725 4 Krok, který je potřeba udělat z výchozí polohy směrem k řešení je tedy s D s 2 D 2 s 3 D 3 32

Vypočtení nové výchozí polohy s s s s 2 s 2 s 2 s 3 s 3 s 3 Pro kontrolu porovnání s jž předem vypočteným referenčním hodnotam s 3 q 3 s 2.6 q 2.6 s 3.8 q 3.8 Po třetí terac jsou jž hodnoty hledaných kloubových proměnných vypočteny naprosto správně (zobrazení výsledku je nastaveno na pět desetnných míst), odpovídají referenčním hodnotám a výpočet může skončt. Programování v prostř edí Mathcad Výchozí poloha, pro kterou jsou v programu vyčísleny transformační matce s s 2.8 s 3.9 Žádaná poloha.98999.42.4855 TD.42.98999.87.54 Program v Mathcadu defnuje funkc nverze (ε), kde ε je požadovaná přesnost výpočtu - zde součet kroků 33

nverze ( ) ds whle ds A b.554 cos s sn s A sn s cos s.65 A 2 s 2 A 23 s 3 TV A b A A 2 A 23 U A b D r A A 2 A 23 U 2 A b A D t A 2 A 23 U 3 A b A A 2 D t A 23 U 4 U 2 4 U 3 4 C U 2 4 U 22 4 U 32 4 U 3 4 U 23 4 U 33 4 TD 4 TV 4 B TD 2 4 TV 2 4 TD 3 4 TV 3 4 D C B s s D s 2 s 2 D 2 s 3 s 3 D 3 ds D D 2 D 3 s s 2 s 3 34

Použtí defnované funkce pro vlastní výpočet nverze (. ) 3.6.8 Příklad programování v prostředí Mathcad a b 2 c 2 whle c 3 c c b c a 2 5 35

.4 Inverzní úloha knematky nverze Jakobho matce Výps příkladu s názvem RTT_nv_uloha_transc_Jacob.xmcd z b y 2 x 2 q 3 y 3 y z z q 2 x z 2 x 3 z 3 y q x y b x b Obr. -4 3D model a knematcké schéma vyšetřovaného mechansmu Tabulka parametrů (Denavt-Hartenberg) theta d a alfa.554 q 2 q2.65 P/2 3 q3 ORIGIN Výchozí poloha a x 2 x.56642 v x s.6 a y 2 y.8729 v y s 2.9 a z 2 z.454 v z s 3. t.2.2 Parametry pohybu koncového bodu 36

x( t) x v x t y( t) y v y t z( t) z v z t 2 a x t2 2 a y t2 2 a z t2 Trajektore koncového bodu ve 3D x( t).56642.52642.5642.48642.452642.46642.372642.32642.26642.92642.6642 y( t).8729.87429.88629.9629.93429.9729.429.6629.2629.9429.2729 z( t).454.458.47.49.58.554.598.65.7.778.854 ( x y z) Transformační matce mez souřadným systémy Matce ve výchozí poloze cos s sn s A b.554 A sn s cos s.65 A 2 s 2 A 23 s 3 T b A b T b A b A 37

T b2 A b A A 2 T b3 A b A A 2 A 23 T b3.554 cos s sn s sn s cos s.65 s 2 s 3 cos s sn s sn s s 3 6.5 2 cos s T b3 sn s cos s cos s s 3 6.5 2 sn s.554 s 2.8253356.5646425.56642 T b3.5646425.8253356.87297.454 Řešení soustavy transcendentních rovnc - nalezení referenčních průběhů kloubových proměnných q, q2 a q3 Gven s 3 sn s.65 cos s x.65 sn s s 3 cos s y s 2.554 z Q( x y z) Fnd s s 2 s 3 Q(.5.87.454 ) 2.55552.9.3366 q ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) q 2 ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) 2 q 3 ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) 3 38

q ( t) 2.545929 2.5479 2.563529 2.595648 2.6277893 2.674477 2.729396 2.79767 2.8579243 2.92798 2.999493 q 2 ( t) q ( t) 3 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5.5..5.2.3 t.9.94.96.936.964.44.96.56 q 2 ( t).2..224.9.3.5..5.2 t q 3 ( t).3.2.456.5839.237945.3627.539593.7862.5587.542273 q 3 ( t).2..27985.2739779.5..5.2 t Řešení pomocí Jacobho matce Výchozí poloha t dt. s.6 x( t).56642 s 2.9 y( t).8729 s 3. z( t).454 39

x x( t dt) x( t) y y( t dt) y( t) z z( t dt) z( t) x 3 y 3 z 4 Všechny vektory je třeba vyjádřt v základním souřadném systému Potřebné vektory ve výchozí poloze k submatrx T b 3 3 3 k k submatrx T b 3 3 3 k k 2 submatrx T b2 3 3 3 k 2.5646425.8253356 p 3 submatrx T b3 T b 3 4 4 p 3.56642.87297.9 p 3 submatrx T b3 T b 3 4 4 p 3.56642.87297.9 p 23 submatrx T b3 T b2 3 4 4.572889 p 23.833589 Matce výchozí polohy.8253356.5646425.56642 TV A b A A 2 A 23 TV.5646425.8253356.87297.454 Jakobho matce ve výchozí poloze 4

J k p 3 k k 2 Tento záps je matematcky správný, ale v ptosředí Matcad neplatný. Mathcad nesprávně přřadí hodnoty, do matce nelze zapsat vektor, popř. jnou matc. Je nutno vkládat přímo jednotlvé prvky!!! J k p 3 k p 3 2 k k 2 k 2 k 22 J.87297.56642.5646425.8253356 k p 3 3 k 3 k 23.8764 J.55268.55952.86674 p x y p 3 3 z 4.376259 3 s J p s 4 3.5478 4 s s s s 2 s 2 s 2 s 3 s 3 s 3 Ţádaná hodnota na regulátory polohy s 2.5429689 q (. ) 2.5429687 s 2.9 q 2 (. ).9 s 3.35 q 3 (. ).353 Další hodnota t t dt s 2.5429689 x( t).55642 4

s 2.9 y( t).8729 s 3.35 z( t).455 x x( t dt) x( t) y y( t dt) y( t) z z( t dt) z( t) x 3 3 y 3 3 z 3 3 Transformační matce mez souřadným systémy Matce ve výchozí poloze cos s sn s A b.554 A sn s cos s.65 A 2 s 2 A 23 s 3 T b A b.8253356.5646425.56642 T b A b A T b2 A b A A 2 T b3.5646425.8253356.87297.454 T b3 A b A A 2 A 23 Všechny vektory je třeba vyjádřt v základním souřadném systému Potřebné vektory ve výchozí poloze k submatrx T b 3 3 3 k submatrx T b 3 3 3 k k 42

k 2 submatrx T b2 3 3 3 p 3 submatrx T b3 T b 3 4 4 p 3 submatrx T b3 T b 3 4 4 p 23 submatrx T b3 T b2 3 4 4 k 2.56356.8269 p 3.55642.87292.9 p 3.55642.87292.9 p 23.5693385.8346623 Matce výchozí polohy.8269.56356.55642 TV A b A A 2 A 23 TV.56356.8269.87292.455 Jakobho matce ve výchozí poloze k p 3 k k 2.87292.56356 J k p 3 2 k 2 k 22 J.55642.8269 k p 3 3 k 3 k 23.87649 J.53589.5577335.8623646 3 3 p x y p 3 3 3 3 z 4.26478 3 s J p s 3 3.567 3 43

s s s s 2 s 2 s 2 s 3 s 3 s 3 Ţádaná hodnota na regulátory polohy - zde je vdět, ţe rychlost je větší a tedy změna polohy koncového bodu za nastavený časový krok - výpočet jţ není tak přesný, ale vyhovuje. s 2.54795 q (.2 ) 2.5479 s 2.94 q 2 (.2 ).94 s 3.462 q 3 (.2 ).456 Obdobně by výpočet pokračoval dále, naprogramovaný v některém vhodném programovacím jazyce. Program v prostředí Mathcad, zadána výchozí poloha koncového bodu a výchozí kloubové proměnné. x.56642 q.6 y.8729 q 2.9 z.454 q 3. Počáteční kloubové proměnné sv.9..6 Defnce výpočtové funkce - argumenty této funkce jsou ţádané hodnoty xd, yd a zd. Pozor - ndexy u kloubové proměnné jsou ndexy vektoru s (vkládané levou hranatou závorkou), ne textové ndexy (ty se vkládají pomocí tečky). 44

Q( xd yd zd) x x y y z z s sv chyba whle dp A b A A 2 A 23 chyba. xd yd zd x y z cos s sn s.554 sn s cos s s 3.65 s 2 T b A b T b A b A T b2 A b A A 2 T b3 A b A A 2 A 23 k submatrx T b 3 3 3 k submatrx T b 3 3 3 k 2 submatrx T b2 3 3 3 p 3 submatrx T b3 T b 3 4 4 p 3 submatrx T b3 T b 3 4 4 p 23 submatrx T b3 T b2 3 4 4 k p 3 k k 2 J k p 3 2 k 2 k 22 k p 3 3 k 3 k 23 ds J dp s s ds cos s sn s sn s s 3 6.5 2 cos s T b3 sn s cos s cos s s 3 6.5 2 sn s.554 s 2 x T b3 4 y T b32 4 z T b33 4 chyba ( xd x) 2 ( yd y) 2 ( zd z) 2 s s 2 s 3 45

Pouţtí programového výpočtu x.56642 xd.55 y.8729 yd.975 z.454 zd.66 Q( xd yd zd) 2.5698878.6.75369 2 46

.5 Výpočet chyby polohování pro mechansmus se dvěma stupn volnost Výps příkladu s názvem RR_deg.xmcd y x y 2 x 2 z z b q 2 z 2 y q x y b z x b ORIGIN Obr. -5 3D model a knematcké schéma vyšetřovaného mechansmu Tabulka parametrů (Denavt-Hartenberg) θ d a α π /2 π /2 q l 2 q 2 l 2 Rozměry článků l.4 l 2.3 Sestavení transformační matce A b d. 9 a. 9 cos sn cos sn sn a cos A b sn cos cos sn cos sn cos a sn d Zjednodušená matce Ab A b 47

Zadání. zobecněné souřadnce (natočení) q 6 q d. a l..47 cos sn cos sn sn a cos A sn cos cos sn cos sn cos a sn d.5.866.2 A.866.5.346 Zjednodušená matce A cos q sn q l cos q.5.866.2 A sn q cos q l sn q A.866.5.346 Zadání 2. zobecněné souřadnce q 2 3 2 q 2 d 2. a 2 l 2 2. cos 2 sn 2 cos 2 sn 2 sn 2 a 2 cos 2 A 2 sn 2 cos 2 cos 2 sn 2 cos 2 sn 2 cos 2 a 2 sn 2 d 2 48

.5.866.5 A 2.866.5.26 Zjednodušená matce A2 cos q 2 sn q 2 l 2 cos q 2.5.866.5 A 2 sn q 2 cos q 2 l 2 sn q 2 A 2.866.5.26 Celková transformační matce T b2 A b A A 2 cos q sn q l cos q cos q 2 sn q 2 l 2 cos q 2 T b2 sn q cos q l sn q sn q 2 cos q 2 l 2 sn q 2 T b2 cos q cos q 2 sn q sn q 2 cos q sn q 2 cos q 2 sn q cos q sn q 2 cos q 2 sn q cos q cos q 2 sn q sn q 2 l cos q l 2 cos q cos q 2 l 2 sn q sn q 2 l sn q l 2 cos q sn q 2 l 2 cos q 2 sn q T b2.5.346 Vektor do ţádané polohy koncového bodu p bd.5.346 49

Vektor do obecné polohy koncového bodu. p bn q q 2 l cos q l 2 cos q cos q 2 l 2 sn q sn q 2 l sn q l 2 cos q sn q 2 l 2 cos q 2 sn q Jednotkové vektory v ţádané poloze koncového bodu d j d k d Jednotkové vektory v obecné poloze koncového bodu n q q 2 cos q cos q 2 sn q sn q 2 cos q sn q 2 cos q 2 sn q j n q q 2 cos q sn q 2 cos q 2 sn q cos q cos q 2 sn q sn q 2 k n q q 2 Chyba polohy deltap q q 2 p bd p bn q q 2 T pbd p bn q q 2 Chyba orentace deltao q q 2 d T n q q 2 2 j d T jn q q 2 2 k d T kn q q 2 2 Chyba polohování E q q 2 deltap q q 2 deltao q q 2 Zobrazení chyby polohy ve 3D 5

( deltap ) 5

.6 Výpočet knematckých velčn pomocí Newton-Eulerových rekurentních vztahů Výps příkladu s názvem rtt_model_objekt.xmcd z b y 2 x 2 q 3 y 3 y z z q 2 x z 2 x 3 z 3 y q x y b x b Obr. -6 3D model a knematcké schéma vyšetřovaného mechansmu Tabulka parametrů (Denavt-Hartenberg) theta d a alfa l q 2 q2 l2 P/2 3 q3 l.5 l 2.65 ORIGIN t.2.2 rozsah času Parametry pohybu počátku LCS3 (na koncový bod nástroje je nutná další transformační matce) zrychlení rychlost počáteční poloha a x 5. v x x.65 a y 5. v y y. a z 5. v z z.454 52

Rovnce pohybu počátku LCS3 - rovnoměrně zrychlený pohyb, trajektor je vhodné řešt po částech s použtím poč áteční polohy a rychlost z koncových hodnot předchozího segmentu trajektore. x( t) x v x t 2 a x t 2 y( t) y v y t 2 a y t 2 z( t) z v z t 2 a z t 2 x( t) y( t) z( t).5 -.65..454 -.66..455 -.69 -.74.4.9.458.463. -.8.26.47 y( t) -.9 -..35.46.479.49.5 -.4.59.53 -.29.74.58 -.46 -.65.9..535.554.2.5..5 x( t) 2.5 x( t) y( t) z( t).5.5.5..5.2 t 53

Výchozí hodnota kloubových proměnných odpovídající výchozí poloze konc. bodu nutná pro řešč nverzní úlohy (Gven, Fnd). s s 2.954 s 3. Transformační matce mez souřadným systémy ve výchozí poloze cos s sn s A b l A sn s cos s A 2 l 2 s 2 A 23 s 3 Celkové transformační matce T b A b T b A b A T b2 A b A A 2 T b3 A b A A 2 A 23 Pro sestavení rovnc nverzní úlohy je celková transformační matce vyjádřena symbolckým vynásobením jednotlvých matc. cos s sn s T b3 l sn s cos s l 2 s 2 s 3 54

cos s sn s sn s s 3 cos s l 2.65 T b3 sn s cos s cos s s 3 sn s l 2 s 2 l T b3..454 Inverzní úloha pomocí řešení soustavy transcendentních rovnc Gven s 3 sn s l 2 cos s x l 2 sn s s 3 cos s y s 2 l z Q( x y z) Fnd s s 2 s 3 q ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) q 2 ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) 2 q 3 ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) 3 Výpočet rychlost a zrychlení jednotlvých kloubových proměnných dq ( t) d t q ( t) d dq 2 ( t) d t q 2( t) d dq 3 ( t) d t q 3( t) d rychlost ddq ( t) d t dq ( t) d ddq 2 ( t) d t dq 2( t) d ddq 3 ( t) d t dq 3( t) d zrychlení 4 3 q ( t) q 2 ( t) q 3 ( t) 2.5..5.2 t 55

.5 dq ( t) dq 2 ( t) dq 3 ( t).5.5..5.2 t 56

5 ddq ( t) ddq 2 ( t) ddq 3 ( t) 5.5..5.2 t Transformační matce mez souřadným systémy cos q ( t) sn q ( t) A b l A ( t) sn q ( t) cos q ( t) A 2 ( t) l 2 q 2 ( t) A 23 ( t) q 3 ( t) cos q ( t) sn q ( t) T b ( t) l sn q ( t) cos q ( t) cos q ( t) sn q ( t) T b ( t) sn q ( t) cos q ( t) l T b ( ).5 57

cos q ( t) sn q ( t) l 2 T b2 ( t) l sn q ( t) cos q ( t) q 2 ( t) cos q ( t) sn q ( t) cos q ( t) l 2.65 T b2 ( t) sn q ( t) cos q ( t) sn q ( t) l 2 q 2 ( t) l T b2 ( ).454 cos q ( t) sn q ( t) l 2 T b3 ( t) l sn q ( t) cos q ( t) q 2 ( t) q 3 ( t) cos q ( t) sn q ( t) sn q ( t) q 3 ( t) cos q ( t) l 2 T b3 ( t) sn q ( t) cos q ( t) cos q ( t) q 3 ( t) sn q ( t) l 2 q 2 ( t) l.65 T b3 ( )..454 Kontrola správnost sestavení transformačních matc s průběhem koncového bodu (poč. LCS3) T b3 ( t) 4 x( t) T b3 ( t) 2 4 y( t) T b3 ( t) 3 4 z( t) -.65 -.66 -.69 -.74 -.8 -.9 -. -.4 -.29 -.46 -.65 -.65 -.66 -.69 -.74 -.8 -.9 -. -.4 -.29 -.46 -.65...4.9.26.35.46.59.74.9....4.9.26.35.46.59.74.9..454.455.458.463.47.479.49.53.58.535.554.454.455.458.463.47.479.49.53.58.535.554 58

Výpočet dalších knematckých velčn vektory na osách z k ( t) submatrx T b 3 3 3 k ( t) submatrx T b ( t) 3 3 3 k ( t) k ( ) k ( t) k ( ) k 2 ( t) submatrx T b2 ( t) 3 3 3 k 3 ( t) submatrx T b3 ( t) 3 3 3 sn q ( t) sn q ( t) k 2 ( t) cos q ( t) k 3 ( t) cos q ( t) k 2 ( ) k 3 ( ) Submatce rotace R b submatrx T b 3 3 R b ( t) submatrx T b ( t) 3 3 R b2 ( t) submatrx T b2 ( t) 3 3 R b3 ( t) submatrx T b3 ( t) 3 3 Vzájemná (relatvní) úhlová rychlost ( t) ( t) k ( t) dq ( t) 2( t) 23( t) ( t) ( t) ( t) (v zákl. ss.) 2( t) ( t) 2( t) (v zákl. ss.) 3( t) 2( t) 23( t) (v zákl. ss.) 59

vektory mez počátky ss p ( t) R b submatrx A ( t) 3 4 4 p ( ) p 2 ( t) R b ( t) submatrx A 2 ( t) 3 4 4 p 2 ( ).65.954 p 23 ( t) R b2 ( t) submatrx A 23 ( t) 3 4 4 p 23 ( ). p ( t) submatrx T b ( t) T b 3 4 4 p ( t) v zákl. ss. p ( ) p 2 ( t) submatrx T b2 ( t) T b ( t) 3 4 4 p 2 ( t) cos q ( t).65 sn q ( t).65 v zákl. ss. p 2 ( ).65 q 2 ( t).954 p 23 ( t) submatrx T b3 ( t) T b2 ( t) 3 4 4 sn q ( t) q 3 ( t) p 23 ( t) cos q ( t) q 3 ( t) v zákl. ss. p 23 ( ). Vektor do koncového bodu p 3 ( t) submatrx T b3 ( t) T b 3 4 4 6

Rychlost č lánku - podstavce v ( t) Vzájemné rychlost - ručně zjednodušeně v ( t) v 2 ( t) k ( t) dq 2 ( t) v 23 ( t) k 2 ( t) dq 3 ( t).3 v (.) v 2 (.) v 23 (.).542.5 Vzájemné rychlost unverzální obecný tvar - vystupuje zde parcální dervace vektoru p podle kloubové proměnné q - pomocí dferencálních operátorů D r D t v ( t) submatrx A b D r A ( t) 3 4 4 dq ( t) v (.) v 2 ( t) submatrx A b A ( t) D t A 2 ( t) 3 4 4 dq 2 ( t) v 2 (.).5 v 23 ( t) submatrx A b A ( t) A 2 ( t) D t A 23 ( t) 3 4 4 dq 3 ( t) v 23 (.).3.542 v 23 ( t) R b2 ( t) submatrx D t A 23 ( t) 3 4 4 dq 3 ( t) 6

Alternatvně nejprve dervace vektoru p23 v lokálním souřadném systému, výsledkem je vektor rychlost v lokálním ss., ten se vyjádří v základním ss. jen násobením submatcí rotace. v 23 (.).3.542 Výpočet translačních rychlostí počátků lokálních ss. - vše vyjádřeno v souřadncích základního ss. v ( t) v ( t) v ( t) ( t) p ( t) v 2 ( t) v ( t) v 2 ( t) ( t) p 2 ( t) v 3 ( t) v 2 ( t) v 23 ( t) 2( t) p 23 ( t) Kontrola ntegrací rychlost koncového bodu (poč. LCS3) t x -.65 -.66 -.69 -.74 -.8 -.9 -. -.4 -.29 -.46 -.65 v 3 ( t) dt x( t) -.65 -.66 -.69 -.74 -.8 -.9 -. -.4 -.29 -.46 -.65 x( t).5..5.2.5..5.2 t t y v 3 ( t) dt 2...4.9.26.35.46.59.74.9. y( t)...4.9.26.35.46.59.74.9. y( t).5..5.5..5.2 t 62

t z v 3 ( t) dt 3 z( t).454.455.458.463.47.479.49.53.58.535.554.454.455.458.463.47.479.49.53.58.535.554 z( t).6.55.5.45.5..5.2 t Výpočet relatvních úhlových zrychlení článků ( t) ( t) k ( t) ddq ( t) 2( t) 23( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) 2( t) ( t) 2( t) ( t) 2( t) 3( t) 2( t) 23( t) 2( t) 23( t) Výpočet relatvních translačních zrychlení počátků lokálních souřadných systémů a ( t) translační zrychlení počátku lokálního ss. podstavce a ( t) ( t) p ( t) ( t) ( t) p ( t) Pro rotační a 2 ( t) k ( t) ddq 2 ( t) a 2 ( t) translační ddq 2 ( t) 63

a 23 ( t) k 2 ( t) ddq 3 ( t) a 23 ( t) sn q ( t) ddq 3 ( t) cos q ( t) ddq 3 ( t) translační Výpočet translačních zrychlení počátků lokálních souřadných systémů a ( t) a ( t) a ( t) ( t) p ( t) 2 ( t) v ( t) ( t) ( t) p ( t) a 2 ( t) a ( t) a 2 ( t) ( t) p 2 ( t) 2 ( t) v 2 ( t) ( t) ( t) p 2 ( t) a 3 ( t) a 2 ( t) a 23 ( t) 2( t) p 23 ( t) 2 2( t) v 23 ( t) 2( t) 2( t) p 23 ( t) Kontrola zrychlení - odpovídá zadání ax, ay a az - defnce pohybu konového bodu na začátku výpočtu a 3 ( ) 5 5 t a 3 ( t) -5 a 3 ( t) 2 5 a 3 ( t) 3 5 5.2.4-5 -5 5 5 5 5.6-5 5 5.8-5 5 5. -5 5 5.2-5 5 5.4-5 5 5.6-5 5 5.8-5 5 5.2-5 5 5 Tento úkon kontroly je velm důležtý, pohyb koncového bodu byl řešením nverzní úlohy rozložen do jednotlvých kloubů, byly vypočteny průběhy rychlostí a zrychlení (translační rotační) a ve zrychlení a3 se všechny velčny skládají. Pokud tato velčna je shodná se zadáním, je jstota správnost výpočtu až po toto místo řešení. Poloha težšť článků mechansmu zjštěná analýzou 3D modelu v Pro/E CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS coordnate frame: X Y Z -4.325987e-2 -.824766e-6 7.357462e- M x t 4.325987 2 y t.824766 6 z t 7.357462 64

CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS2 coordnate frame: X Y Z -7.2368752e-2.e+ -4.7439674e-2 M x t22 7.2368752 2 y t22. z t22 4.7439674 2 CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS3 coordnate frame: X Y Z 2.57446e-3.e+ -3.73976e- M x t33 2.57446 3 y t33. z t33 3.73976 x t x t22 x t33 vektory do těžště v lokálních ss p t y t p t22 y t22 p t33 y t33 z t z t22 z t33 je nutno přepočítat do základního ss p tb ( t) R b ( t) p t p t2b ( t) R b2 ( t) p t22 p t3b ( t) R b3 ( t) p t33 x t.4 P t y t z t P tb ( t) T b ( t) P t P tb ( ).82 6.236 x t22 7.369 3 P t22 y t22 z t22 P t2b ( t) T b2 ( t) P t22 P t2b ( ).47.454 x t33.68 P t33 y t33 z t33 P t3b ( t) T b3 ( t) P t33 P t3b (.).64.454 65

Výpočet rychlost a zrychlení těžšť - vše v základním ss v t ( t) v ( t) ( t) p tb ( t) v t2 ( t) v 2 ( t) 2( t) p t2b ( t) v t3 ( t) v 3 ( t) 3( t) p t3b ( t) v t3 (.) a t ( t) a ( t) ( t) p tb ( t) ( t) ( t) p tb ( t) a t2 ( t) a 2 ( t) 2( t) p t2b ( t) 2( t) 2( t) p t2b ( t) a t3 ( t) a 3 ( t) 3( t) p t3b ( t) 3( t) 3( t) p t3b ( t) Ověření výpočtu rychlost koncového bodu pomocí Jakobho matce.326.53.5 a t3 (.) 3.66 4.987 5 Kontrola s Pro/E OK k ( t) p 3 ( t) k ( t) k 2 ( t). J p ( t) k ( t) p 3 ( t) 2 k ( t) 2 k 2 ( t) 2 J p ( ).65 k ( t) p 3 ( t) 3 k ( t) 3 k 2 ( t) 3 dq ( t).5.5 dw ( t) J p ( t) dq 2 ( t) dq 3 ( t) dw (.).5.5 v 3 (.).5.5 Newton-Eulerovy vztahy - výpočet slového působení 66

MASS = 4.8824683e+ KILOGRAM CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS coordnate frame: X Y Z -4.325987e-2 -.824766e-6 7.357462e- M INERTIA wth respect to LCS coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 4.6443693e+ -7.96785e-6 2.4787e+ Iyx Iyy Iyz -7.96785e-6 4.7356949e+.4573962e-4 Izx Izy Izz 2.4787e+.4573962e-4.439746e+ INERTIA at CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 2.424e+ -4.48788e-6 5.9926583e- Iyx Iyy Iyz -4.48788e-6 2.847982e+ 8.9942e-5 Izx Izy Izz 5.9926583e- 8.9942e-5.3345766e+ Článek ROT - matce setrvačnost k těžšt, vyjádřeno (orentace) podle LCS m 48.824683 J xt 2.424 J xyt 4.48788 6 J yt 2.847982 J xzt 5.9926583 J yzt 8.9942 5 J zt.3345766 J xt J xyt J xzt J J xyt J yt J yzt J xzt J yzt J zt J 2.4 4.48 6.599 4.48 6 2.848 8.99 5.599 8.99 5.335 Matce setrvačnost přepočtená do základního ss GCS J ( t) R b ( t) J R b ( t) T J ( ) 2.4 4.48 6 4.48 6 2.848.599 8.99 5.599 8.99 5.335 67

TRAN2 MASS = 4.289496e+ KILOGRAM CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS2 coordnate frame: X Y Z -7.2368752e-2.e+ -4.7439674e-2 M INERTIA wth respect to LCS2 coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz.344896e+.e+ -.28665e- Iyx Iyy Iyz.e+.793579e+.e+ Izx Izy Izz -.28665e-.e+.46425e+ INERTIA at CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS2 coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 9.3795366e-.e+ 2.5398594e-2 Iyx Iyy Iyz.e+.4723852e+.e+ Izx Izy Izz 2.5398594e-2.e+.2367697e+ Článek TRAN2 - matce setrvačnost k těžšt, vyjádřeno (orentace) podle LCS2 m 2 4.289496 J x2t 9.3795366 J xy2t. J y2t.4723852 J xz2t 2.5398594 2 J yz2t. J z2t.2367697 J 22 J x2t J xy2t J xz2t J xy2t J y2t J yz2t J xz2t J yz2t J z2t.938 J 22.25.472.25.237 Matce setrvačnost přepočtená do základního GCS 68

J 2 ( t) R b2 ( t) J 22 R b2 ( t) T J 2 ( ).938.25.25.237.472 TRAN3 MASS = 5.9266e+ KILOGRAM CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS3 coordnate frame: X Y Z 2.57446e-3.e+ -3.73976e- M INERTIA wth respect to LCS3 coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 3.343568e+.e+.9296398e- Iyx Iyy Iyz.e+ 3.44295e+.e+ Izx Izy Izz.9296398e-.e+.75258e+ INERTIA at CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS3 coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 2.53538e+.e+.3646327e- Iyx Iyy Iyz.e+ 2.62259e+.e+ Izx Izy Izz.3646327e-.e+.733e+ Článek TRAN3 - matce setrvačnost k těžšt, vyjádřeno (orentace) podle LCS3 m 3 5.9266 J x3t 2.53538 J xy3t. J y3t 2.62259 J xz3t.3646327 J yz3t. J z3t.733 J 33 J x3t J xy3t J xz3t J xy3t J y3t J yz3t J xz3t J yz3t J z3t 25.35 J 33.36 26.2.36.7 69

Matce setrvačnost přepočtená do základního GCS J 3 ( t) R b3 ( t) J 33 R b3 ( t) T J 3 ( ) 25.35.36.36.7 26.2 Rovnováha sl a momentů pro jednotlvé články - rekurentní vzorce Pozor!!!!! Zatím není uvažován vlv vntřních převodů a rozvodů, také výsledky z Pro/E jsou pro mechansmus s odpojeným (uvntř nepohyblvým) vntřním převody - vystupují tam jen jako hmotnost, nejsou zahrnuty jejch redukované momenty setrvačnost př roztáčení!!! Síly a momenty na koncový bod v zákl. ss f 4 ( t) n 4 ( t) g 9.8665 G G g 9.87 Rovnováha sl - třetí článek f 3 ( t) m 3 G m 3 a t3 ( t) f 4 ( t) f 3 ( ) 87.64 295.55 877.459 7

5 f 3 ( t) f 3 ( t) 2 f 3 ( t) 3 5 3.5..5.2 t Moment tečných a odstředvých sl vyjádřený v zákl. ss. N 3 ( t) J 3 ( t) 3( t) 3( t) J 3 ( t) 3( t) Rovnováha momentů k těžšt 3. článku v zákl. ss. 7

n 3 ( t) n 4 ( t) N 3 ( t) p 23 ( t) p t3b ( t) f 3 ( t) p t3b ( t) f 4 ( t) n 3 ( ) 56.225 2.259 248.29 n 3 ( t) n 3 ( t) 2 n 3 ( t) 3 2 3 4 5 6 7.5..5.2 t 72

Rovnováha sl - druhý článek f 2 ( t) m 2 G m 2 a t2 ( t) f 3 ( t) f 2 ( ) 77.568 297.5.53 3 f 2 ( t) f 2 ( t) 2 5 f 2 ( t) 3 3.5 3.5..5.2 t Moment tečných a odstředvých sl vůč zákl. ss. 73

N 2 ( t) J 2 ( t) 2( t) 2( t) J 2 ( t) 2( t) N 2 ( ) 7.289 Rovnováha momentů k těžšt v zákl. ss. n 2 ( t) n 3 ( t) N 2 ( t) p 2 ( t) p t2b ( t) f 2 ( t) p t2b ( t) f 3 ( t) n 2 ( ) 247.647 4.786 236.596 2 n 2 ( t) n 2 ( t) 2 n 2 ( t) 3 2 3.5..5.2 74

Rovnováha sl - první článek f ( t) m G m a t ( t) f 2 ( t) f ( ) 77.568 36.862.99 3 f ( t) f ( t) 2 f ( t) 3 3 2 3.5..5.2 t 75

Moment tečných a odstředvých sl vůč zákl. ss. N ( t) J ( t) ( t) ( t) J ( t) ( t) Rovnováha momentů k těžšt v zákl. ss. n ( t) n 2 ( t) N ( t) p ( t) p tb ( t) f ( t) p tb ( t) f 2 ( t) 2 N ( ) 2.967 4.9 4 6.67 n ( ) 243.443 34.94 243.596 n ( t) n ( t) 2 n ( t) 3 2 3.5..5.2 t 76

Zobecněné síly Newton-Euler ne( t) k ( t) n ( t) 2ne( t) k ( t) f 2 ( t) 3ne( t) k 2 ( t) f 3 ( t) 2 3.5 3 ne( t) 2ne( t) 3ne( t) 3 5.5..5.2 t 77

ne( t) 243.596 243.2 24.7 239.48 236.333 232.57 228.277 223.67 28.77 23.922 29.258 2ne( t).53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3 3ne( t) 295.55 296.63 297.582 3.63 33.43 37.583 32.42 37.757 323.56 329.59 335.633 Zahrnutí vlvu vntřních převodů a rozvodů na dynamku mechansmu (redukované momenty a hmotnost) J p 5.8728 Zahrnutí vlvu momentu setrvačnost rotoru motoru, převodovky a vntřních kroužků velkých ložsek J p2.4788 Zahrnutí vlvu zrychlení vntřních převodů TRAN2 na zobecněnou sílu tau m p2 J p2 Zahrnutí vlvu zrychlení ROT na vntřní převody TRAN2 m p2 23.924685 Zahrnutí zvýšení redukované hmotnost článku TRAN2 vlvem zrychlení rotoru MOT2 a jeho převodovky a pohybového šroubu m p3 5.57582683 Zahrnutí zvýšení redukované hmotnost vlvem zrychlení rotoru motoru MOT3, ozubeného kola a matce pohybového šroubu (řemen neuvažován) Pozn. - Nejsou uvaž ovány gyroskopcké efekty nep( t) ne( t) J p ddq ( t) m p2 ddq 2 ( t) Zobecněné síly s uvažováním vntřních převodů 2nep( t) 2ne( t) m p2 ddq 2 ( t) J p2 ddq ( t) 3nep( t) 3ne( t) m p3 ddq 3 ( t) 78

nep( t) 265.267 264.63 262.673 259.5 255.235 249.989 243.949 237.322 23.33 223.29 26.9 2nep( t) 2.2 3 2.2 3 2.2 3 2.2 3 2.2 3 2.22 3 2.22 3 2.23 3 2.23 3 2.24 3 2.24 3 3nep( t) 57.23 57.97 574.683 58.373 588.92 597.68 68.643 62.886 634.7 647.673 66.56 Pro porovnání zobecněné síly bez zahrnutí pohybu vntřních převodů ne( t) 243.596 243.2 24.7 239.48 236.333 232.57 228.277 223.67 28.77 23.922 29.258 2ne( t).53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3.53 3 3ne( t) 295.55 296.63 297.582 3.63 33.43 37.583 32.42 37.757 323.56 329.59 335.633 Z porovnání vyplývá, že zobecněné síly s uvažováním vntřních převodů jsou výrazně vyšší téměř dvojnásobek), není možno redukované momenty vntřních převodů zanedbat!!! (u třetí osy 2.5 3 2 3 nep( t) 2nep( t) 3nep( t).5 3 3 5 Zobecněné síly z úplného modelu v ProE včetně vntřních převodů 79

Dále výpočet pokračuje vajádřením lagrangeových pohybových rovnc. Operace s matcem vedou k tak rozsáhlým výrazům, že jejch výps přímo v textu výukové opory byl značně nepřehledný. Postup výpočtu je nutno nastudovat přímo ze souboru MathCadu nebo výpsu souboru v html formátu. 8

.7 Výpočet zobecněných sl pomocí Lagrangeovy pohybové rovnce v matcovém tvaru Výps příkladu s názvem RTT_Lagr_matcove.xmcd Obr. -7 3D model a knematcké schéma vyšetřovaného mechansmu Tabulka parametrů (Denavt-Hartenberg) theta d a alfa l q 2 q2 l2 P/2 3 q3 l.5 l 2.65 ORIGIN t.2.2 rozsah času Parametry pohybu počátku LCS3 (na koncový bod nástroje je nutná další transformační matce) zrychlení rychlost poč. poloha a x 5. v x x.65 a y 5. v y y. a z 5. v z z.454 8

Rovnce pohybu počátku LCS3 - rovnoměrně zrychlený pohyb, trajektor je vhodné řešt po částech s použtím počáteční polohy a rychlost z koncových hodnot předchozího segmentu trajektore. x( t) x v x t y( t) y v y t z( t) z v z t 2 a x t 2 2 a y t 2 2 a z t 2 x( t) -.65 -.66 -.69 -.74 -.8 -.9 -. -.4 -.29 -.46 -.65 y( t)...4.9.26.35.46.59.74.9. z( t).454.455.458.463.47.479.49.53.58.535.554 2.5.5 x( t) y( t) z( t).5 y( t)..5.5.5..5.2.2.5..5 t x( t) Výchozí hodnota kloubových proměnných odpovídající výchozí poloze koncového bodu nutná pro řešč nverzní úlohy (Gven, Fnd). s s 2.954 s 3. 82

Transformační matce mez souřadným systémy ve výchozí poloze. cos s sn s A b l A sn s cos s A 2 l 2 s 2 A 23 s 3 Celkové transformační matce T b A b T b A b A T b2 A b A A 2 T b3 A b A A 2 A 23 Pro sestavení rovnc nverzní úlohy je celková transformační matce vyjádřena symbolckým vynásobením jednotlvých matc. cos s sn s l 2 T b3 l sn s cos s s 2 s 3 cos s sn s sn s s 3 cos s l 2.65 T b3 sn s cos s cos s s 3 sn s l 2 s 2 l T b3..454 83

Inverzní úloha pomocí řešení soustavy transcendentních rovnc Gven s 3 sn s l 2 cos s x l 2 sn s s 3 cos s y s 2 l z Q( x y z) Fnd s s 2 s 3 q ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) q 2 ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) 2 q 3 ( t) Q( x( t) y( t) z( t) ) 3 Výpočet rychlost a zrychlení jednotlvých kloubových proměnných dq ( t) d t q ( t) d dq 2 ( t) d t q 2( t) d dq 3 ( t) d t q 3( t) d rychlost ddq ( t) d t dq ( t) d ddq 2 ( t) d t dq 2( t) d ddq 3 ( t) d t dq 3( t) d zrychlení 4 q ( t) q 2 ( t) q 3 ( t) 3 2.5..5.2 t 84

.5 dq ( t) dq 2 ( t) dq 3 ( t).5.5..5.2 t 85

5 ddq ( t) ddq 2 ( t) ddq 3 ( t) 5.5..5.2 t 86

Transformační matce mez souřadným systémy cos q ( t) sn q ( t) A b l A ( t) sn q ( t) cos q ( t) A 2 ( t) l 2 q 2 ( t) A 23 ( t) q 3 ( t) cos q ( t) sn q ( t) T b ( t) l sn q ( t) cos q ( t) 87

cos q ( t) sn q ( t) T b ( t) sn q ( t) cos q ( t) l T b ( ).5 cos q ( t) sn q ( t) l 2 T b2 ( t) l sn q ( t) cos q ( t) q 2 ( t) cos q ( t) sn q ( t) cos q ( t) l 2 T b2 ( t) sn q ( t) cos q ( t) sn q ( t) l 2 q 2 ( t) l.65 T b2 ( ).454 cos q ( t) sn q ( t) l 2 T b3 ( t) l sn q ( t) cos q ( t) q 2 ( t) q 3 ( t) cos q ( t) sn q ( t) sn q ( t) q 3 ( t) cos q ( t) l 2 T b3 ( t) sn q ( t) cos q ( t) cos q ( t) q 3 ( t) sn q ( t) l 2 q 2 ( t) l.65 T b3 ( )..454 88

Kontrola správnost sestavení transformačních matc s průběhem koncového bodu (poč. LCS3) T b3 ( t) 4 x( t) T b3 ( t) 2 4 y( t) T b3 ( t) 3 4 z( t) -.65 -.66 -.69 -.74 -.8 -.9 -. -.4 -.29 -.46 -.65 -.65 -.66 -.69 -.74 -.8 -.9 -. -.4 -.29 -.46 -.65...4.9.26.35.46.59.74.9....4.9.26.35.46.59.74.9..454.455.458.463.47.479.49.53.58.535.554.454.455.458.463.47.479.49.53.58.535.554 Lagrangeova pohybová rovnce - matcový výpočet Totální dferencály transformačních matc podle času pomocí dferencálních operátorů Pro rotační kloub D r Pro translač ní kloub D t Článek ROT 89

ROT MASS = 4.8824683e+ KILOGRAM CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS coordnate frame: X Y Z -4.325987e-2 -.824766e-6 7.357462e- M INERTIA wth respect to LCS coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 4.6443693e+ -7.96785e-6 2.4787e+ Iyx Iyy Iyz -7.96785e-6 4.7356949e+.4573962e-4 Izx Izy Izz 2.4787e+.4573962e-4.439746e+ INERTIA at CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 2.424e+ -4.48788e-6 5.9926583e- Iyx Iyy Iyz -4.48788e-6 2.847982e+ 8.9942e-5 Izx Izy Izz 5.9926583e- 8.9942e-5.3345766e+ Pozor - pro Lagrangeovu pohybovou rovnc se použje matce setrvačnost k lokálnímu souřadnému systému (ta první v pořadí), pro Newton-Eulerovy vztahy byla předtím použta matce setrvačnost k těžšt (druhá matce)!!! Článek momenty k lokálnímu ss m 4.8824683 x t 4.325987 2 y t.824766 6 z t 7.357462 J x 4.6443693 J xy 7.96785 6 J y 4.7356949 J xz 2.4787 J J z.439746 yz.4573962 4 9

Přepočet momentů setrvačnost k osám na momenty setrvačnost k rovnám J xx J y J z J x 2 x t.4 J yy J z J x J y 2 P t y t z t P t.82 6.736 J zz J x J y J z 2 Homogenní matce setrvačnost J xx J xy J xz m x t H J xy J xz J yy J yz J yz J zz m m y t z t m x t m y t m z t m.64 7.967 6 2.48.969 H 7.967 6 2.48.25.457 4.457 4 46.93 8.8 5 35.922.969 8.8 5 35.922 48.825 Článek TRAN2 9

TRAN2 MASS = 4.289496e+ KILOGRAM CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS2 coordnate frame: X Y Z -7.2368752e-2.e+ -4.7439674e-2 M INERTIA wth respect to LCS2 coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz.344896e+.e+ -.28665e- Iyx Iyy Iyz.e+.793579e+.e+ Izx Izy Izz -.28665e-.e+.46425e+ INERTIA at CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS2 coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 9.3795366e-.e+ 2.5398594e-2 Iyx Iyy Iyz.e+.4723852e+.e+ Izx Izy Izz 2.5398594e-2.e+.2367697e+ Článek 2 momenty k lokálnímu ss m 2 4.289496 x t22 7.2368752 2 y t22. z t22 4.7439674 2 J x2.344896 J xy2 J y2.793579 J xz2.28665 J yz2 J z2.46425 Přepočet momentů setrvačnost k osám na momenty setrvačnost k rovnám J xx2 J y2 J z2 J x2 2 x t22.72 J yy2 J z2 J x2 J y2 2 J zz2 J x2 J y2 J z2 2 P t22 y t22 z t22 P t22.47 92

Homogenní matce setrvačnost J xx2 J xy2 J xz2 m 2 x t22 H 2 J xy2 J xz2 J yy2 J yz2 J yz2 J zz2 m 2 m 2 y t22 z t22 m 2 x t22 m 2 y t22 m 2 z t22 m 2..22 3.4 H 2.22.35.683 2.35 3.4 2.35 42.895 Článek TRAN3 TRAN3 MASS = 5.9266e+ KILOGRAM CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS3 coordnate frame: X Y Z 2.57446e-3.e+ -3.73976e- M INERTIA wth respect to LCS3 coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 3.343568e+.e+.9296398e- Iyx Iyy Iyz.e+ 3.44295e+.e+ Izx Izy Izz.9296398e-.e+.75258e+ INERTIA at CENTER OF GRAVITY wth respect to LCS3 coordnate frame: (KILOGRAM * M^2) INERTIA TENSOR: Ixx Ixy Ixz 2.53538e+.e+.3646327e- Iyx Iyy Iyz.e+ 2.62259e+.e+ Izx Izy Izz.3646327e-.e+.733e+ 93