ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň

Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,.. vlstoručí podpis

Děkuji vedoucímu bklářské práce, Doc. RNDr. Jroslvu Horovi, CSc., z ochotu, vstřícost, trpělivost, rdy užitečé připomíky, které mi pomohly vytvořit tuto práci.

Obsh ÚVOD... NICOLE ORESME... 4 GEOMETRICKÁ ŘADA V SOUČASNOSTI... 7. Deší školí pohled geometrickou řdu... 7 (Defiice..) Geometrická posloupost... 7 (Defiice..) Geometrická řd... 8 (Vět..) O kovergeci geometrické řdy... 8 (Příkld..)... 9. Zobecěí geometrické řdy... 9 (Příkld..)... 9 (Příkld..).... Úvh o zobecěí geometrické řdy s polyomem stupě k... (Příkld..)... NĚKTERÉ METODY SČÍTÁNÍ NEKONEČNÝCH ŘAD... 4. Hypotéz o poslouposti částečých součtů { s } =... 4 (Příkld..)... 4 (Příkld..)... 4 (Vět..) O součtu dvou fukcí rkustges rozdílých rgumetů... 5. Teleskopická metod sčítáí řd... 6 (Defiice..) Defiice teleskopické řdy... 6 (Vět..) O kovergeci teleskopické řdy... 6 (Příkld..)... 6 (Příkld..)... 7 (Příkld..)... 7 (Příkld..4)... 8 4 REZULTANT DVOU POLYNOMŮ... 4. Kdo byl J. J. Sylvester?... 4. Sylvesterov mtice, Sylvesterovo kritérium, rezultt dvou polyomů... (Defiice 4..) Sylvesterov mtice... (Defiice 4..) Rezultt polyomů... (Vět 4..) Sylvesterovo kritérium...

(Příkld 4..)... (Příkld 4..)... 5 5 GOSPERŮV ALGORITMUS... 8 5. Kdo je R. Willim Gosper?... 8 5. Teoretický zákld Gosperov lgoritmu... 9 (Defiice 5..) Hypergeometrická posloupost... (Vět 5..) O zápisu rcioálí fukce... (Defiice 5..) Regulárí reprezetce podílu u v... (Příkld 5..)... (Vět 5..) O částečém součtu hypergeometrické poslouposti { s } =... 5. Ukázky gosperovsky sčíttelých řd... 4 (Příkld 5..)... 4 (Příkld 5..)... 5 (Příkld 5..)... 9 5.4 Ukázky gosperovsky esčíttelých řd... 4 (Příkld 5.4.)... 4 (Příkld 5.4.)... 4 (Příkld 5.4.)... 44 (Příkld 5.4.4)... 44 5.5 Blokové schém Gosperov lgoritmu... 47 5.6 Ukázky Gosperov lgoritmu v progrmu Mple... 48 (Příkld 5.6.)... 49 (Příkld 5.6.)... 5 (Příkld 5.6.)... 5 (Příkld 5.6.4)... 5 (Příkld 5.6.5)... 5 ZÁVĚR... 55 SEZNAM OBRÁZKŮ... 56 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY... 57 SEZNAM POUŽITÝCH ELEKTRONICKÝCH ZDROJŮ... 57 RESUMÉ... 59

Úvod V součsé době výuk mtemtiky zákldích i středích školách využívá i mtemtických softwrů. Studeti jsou tk vedei pozávt, jk počítč využívá mtemtiku, jkožto ástroj ezbytý k tomu, by počítč vůbec mohl prcovt. Domívám se, že v brzké době bude po středoškolském studetovi vyždováo, by uměl prcovt s mtemtickým softwrem, eboť tuto dovedost posléze upltí vyšších stupích škol. Jsem toho ázoru, že je vhodé, by se budoucí učitel sezámil s ěkterou sumčí techikou proto jsem si vybrl toto tém bklářské práce. Dále se domívám, že chce-li se učitel sezámit s tkovou techikou, bylo by vhodé, by ejprve získl pohled do dob, ve kterých mtemtik ještě ebyl vůbec svázá s iformčí techologií, proto jsem svou práci pojl jko celek tvořeý dvěm částmi lidské sumčí metody, tj. postupy, které využijeme bez pomoci počítče, počítčové sumčí metody. Práci jsem rozčleil do pěti zákldích kpitol. V práci uvádím moho řešeých příkldů smozřejmě historické pozámky. Prví kpitol podává pohled sčítáí ekoečých číselých řd ve středověku, obshuje ukázky příosu frcouzského mtemtik Nicolse Oresm. Druhá kpitol podává součsý pohled geometrickou řdu, obshuje tké zobecěí této řdy. S tkovým zobecěím se může setkt i středoškolský studet, proto jsem jej do své práce zřdil. Třetí kpitol, kterou jsem zvl Některé metody sčítáí ekoečých řd, obshuje tzv. teleskopickou metodu (ěkdy zývou metod rozkldu prciálí zlomky) metodu, při které vyslovíme hypotézu, že posloupost částečých součtů je dá jistým vzorcem pltost tohoto vzorce ásledě dokážeme mtemtickou idukcí. S těmito metodmi se setká středoškolský učitel, proto jsem je do své práce rověž zřdil. Čtvrtá kpitol je věová rezulttu dvou polyomů, který je spjt s příosem glického mtemtik Jmese Joseph Sylvester (84 897). Rezultt dvou polyomů lze v ěkterých přípdech využít pro lezeí reálého řešeí soustvy elieárích rovic o dvou ezámých. Všk teto rezultt uvádím ve své práci především proto, že je ezbytou součástí Gosperov lgoritmu, který uvádím v páté kpitole své práce. V páté kpitole jsem se zbývl Gosperovým lgoritmem. Algoritmus zvedl Willim Gosper, součsý merický mtemtik progrmátor, lgoritmus využívjí ěkteré součsé mtemtické počítčové progrmy. V této kpitole uvádím teoretický zákld tohoto lgoritmu, dále pk moho řešeých příkldů bez pomoci mtemtického softwru i s jeho pomocí.

Nicole Oresme Tto kpitol je čerpá z litertury [], z iteretových zdrojů [] []. převzto z [] obr. Prví pokusy o studium číselých řd shjí hluboko do historie lidstv. Npříkld geometrická řd se objevuje již v tice (můžeme se o í zmíit př. v souvislosti se zámým Zeóovým prdoxem Achillés želv), s ritmetickou řdou již prcovl idický mtemtik Árjbhtt I. ( 476 55 ). K výzmým osobostem středověké mtemtiky v Evropě ptří frcouzský učeec Nicole Oresme ( žil v letech kolem 8 ), viz obr.., který přeložil řdu Aristotelových spisů, v letech 48 6 předášel Collége de Nvrre v Příži. V roce 56 byl vysvěce kěze od roku 77 byl biskupem v Lisieux v Normdii. Vysvětleí svých myšleek z oblsti mtemtiky podávl většiou jedoduchou geometrickou iterpretcí, čímž se lišil od svých součsíků. Jeho prvím výzmým dílem je Algorismus poměrů (Algorismus proportioum) mjící tři části. V té prví zváděl tzv. -ásobé poměry čísl odpovídjící součsému zápisu,,,...,, tké rcioálí lomeé poměry čísl odpovídjící součsému zápisu př.,,. Věděl příkld, že 8 4 =, jelikož osm se chází v půldruhásobém (tj. ) poměru ke čtyřem, tj. 4 = 64 4 64 = 8. Dále formuluje prvidl pro operce s lomeými poměry, které des záme v podobě př. b = ( b), b = b, pod. Druhá třetí část díl obshuje úlohy užití těchto lgoritmů. Dlší své výzmé dílo Oresme zvl Teorie forem. Ve srováí se svými tehdejšími součsíky-mtemtiky, mezi imiž můžeme jmeovt Richrd Swieshed, Joh Duze, Willim Heytesburyho Joh Dumbleto, vyjádřil Oresme tuto uku jedodušeji, eboť užil geometrického vyjdřováí veliči jejich vzájemých závislostí. Uvádí, že kždou měřitelou věc lze vyjádřit jko spojitou veličiu k tomu jsou zpotřebí body, čáry plochy.

Užívá pojem kvlit, kterým popisuje druh fyzikálí veličiy (př. rychlost) pojem itezit, kterým vyjdřuje číselou hodotu této fyzikálí veličiy. Dále uvádí, že itezit kvlit (tj. číselá hodot fyzikálí veličiy) závisí extezitě (rozpívosti). Extezitou je přitom jiá libovolá fyzikálí veliči, př. čs. Možá tím dává prvotí ispirci k zvedeí krtézské soustvy souřdic, kterém se pk podílel Reé Descrtes. V sedmé kpitole třetího dílu dokzuje ekvivleci rovoměrě zrychleého pohybu rovoměrého pohybu s průměrou rychlostí. Obr.. zobrzuje grfy těchto pohybů. Popisuje skutečost, že těleso může kot rovoměrě zrychleý pohyb po dobu t = t t přitom urzí dráhu číselě rovou obshu plochy trojúhelík ABD. Aebo se bude po stejou dobu pohybovt průměrou rychlostí v p přitom urzí stejou dráhu, tj. dráhu, která je číselě rov velikost obshu obdélík ABCE. Je zřejmé, že obshy obou uvedeých obrzců jsou si rovy. Dále si tké uvědomovl, že součet ekoečě moh čísel může být koečým číslem. Věděl, že když jedotkový čtverec rozdělí poloviu úsečkou, kterou vede středy protilehlých str, může psát, že = +. Libovolý obdélík ze dvou právě vziklých opět dělí poloviu tk, že vede úsečku středy protilehlých str píše, že = + +. Tímto způsobem může eustále 4 4 pokrčovt. V součsosti řekeme, že si tkto vytvořil ekoečou geometrickou řdu s kvocietem q = obr. obr.. Teto Oresmův geometrický přístup je dodes využívá učiteli mtemtiky středích školách pro výkld pojmu ekoečá geometrická řd. Oresme kometovl sčítáí řd z fyzikálího pohledu, př. řdu 5 + + +.... 4 Nejprve ji geometricky iterpretuje: Prví čle je číselě rove obshu jedotkového

čtverce, druhý čle je číselě rove obshu obdélík, jehož stry mjí délky,. Třetí čle je číselě rove obshu obdélík, jehož stry mjí délky,. Tímto způsobem 4 vytváří dlší obdélíky. Obecě tedy tý čle je číselě rove obshu obdélík, jehož stry mjí délky,. Jedotlivé obrzce (resp. čley) ství určitým způsobem sebe tím vziká jkýsi obrzec s koečým obshem ekoečým obvodem. Poté teto vziklý obrzec otočí o 9 ve směru hodiových ručiček viz obr. 4., podobý lezeme v []. obr. 4 Řdu kometuje z fyzikálího pohledu: " Těleso teprve z celou věčost urzí dráhu dvkrát větší ež je t, kterou urzilo z prví část čsu. Ale ť bereme jkoukoliv část dráhy, vždy bude meší, ež zdvojásobeý úsek dráhy, která se urzí z prví de. ". Touto řdou popisuje závislost rychlosti čse, rychlost se měí skokovitě jedotlivé čsové itervly předstvují po sobě jdoucí dy. Oresme byl mezi prvími, kteří dokzovli divergeci hrmoické řdy. Důkz opět provádí jedoduchým způsobem (ve srováí se svými součsíky - mtemtiky) ve svém díle Questioes super Geometrim Euclidis : Součet + + +... je ekoečý, eboť součet + je větší ež, součet částí od 4 5 do 8 je větší ež, součet částí od 9 do 6 je tké větší ež. V deší době bychom mohli tuto úvhu zpst tkto: = = + + + + + + + + + + + + + + + +... 4 5 6 7 8 9 4 5 6 6

+ + + + + + + + + + + + + + + +... = 4 4 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 6 6 = + + + + +... Odtud je již vidět, že řd je divergetí. Geometrická řd v součsosti. Deší školí pohled geometrickou řdu Máme-li defiovt ekoečou geometrickou řdu, bylo by vhodé ejprve uvést defiici geometrické poslouposti. Vyslovme ji. (Defiice..) Geometrickou posloupostí reálých čísel rozumíme posloupost tkovou, že pltí: N + : = q R. Číslo q zýváme kvocietem této poslouposti. Vyjádřeme čley geometrické poslouposti pomocí čísl q odvoďme vzth pro součet prvích čleů. = ; = q ; = q ;...; = q ; + = q proto bude pltit () () s = + + +... + = + q + q +... + q rověž tké s = + + +... + + = + q + q +... + q + q + + Ve vzthu () se budeme sžit lézt vzth (), tedy s = + q( + q +... + q + q ) potom dosteme: + () s = + + qs. Jelikož všk s = s + + q, lze psát (4) s + q = + qs odtud již stčí vyjádřit hledý s : q s qs = q s ( q) = ( q ) s = q q (5) Vzth pro q = vyplývá ze vzthu (), tedy s q... q... = + + + = + + + s = Pozmeejme, že toto odvozeí je možé lézt př. v litertuře [4]. Nyí bychom mohli defiovt ekoečou geometrickou řdu. 7

(Defiice..) Symbol = + +... + +... zýváme ekoečou číselou řdou, = kde čísl jsou čley této řdy. Tuto řdu zveme geometrickou, jestliže její čley tvoří geometrickou posloupost. Stručěji lze geometrickou řdu defiovt součtem q, kde =, q. (Vět..) Geometrická řd q, kde =, q, koverguje právě tehdy, když q <. Z této věty plye vzorec pro součet ekoečé geometrické řdy: q lim s = lim q protože q <, výrz q se limitě blíží k ule, tudíž součet této řdy bude s =. Prozkoumejme podroběji kovergeci (resp. divergeci) této řdy důkzem, q který je možé lézt př. v litertuře [9]. ) Nechť q =, potom posloupost částečých součtů s je ve tvru s dostáváme dv přípdy: ) lim b) lim = +, pro > =, pro < =, tudíž ) Nechť q =,, potom geometrická řd je tvru + + + +... ( )... posloupost částečých součtů obshuje je dvě hodoty: ) s = pro lichá b) s = pro sudá Tedy pltí, že s =,,,,..., tudíž řd je oscilující. ) Nechť q > opět dostáváme dv přípdy, tj. ), b). q q Připomeňme, že pro součet prvích čleů pltí vzorec s = = q q q. ) Pro q > dostáváme, že lim s = + b) Pro q < zjišťujeme, že řd je oscilující. 8

q 4) Nechť q <, pk lim s = lim = = s, což bylo již uvedeo před důkzem. q q Vět se běžě užívá ve středoškolských úlohách, připomeňme jedu tkovou, př. z [5]: (Příkld..) Máme rozhodout o kovergeci řdy + +... přípdě určit její součet. 6 4 Řešeí: Zřejmě jde o geometrickou řdu s kvocietem q =. Protože q <, řd koverguje pltí s = = =. q 9. Zobecěí geometrické řdy Ve středoškolských učebicích mtemtiky je ěkdy možé setkt se s úlohmi, ve kterých máme stovit součty řd, které "připomíjí" ekoečou geometrickou řdu. V součsosti všk tkovýchto publikcí moho dostupých eí, sd je s výjimkou []. Nám v součsé době může připdt pozoruhodé, že tkovéto úlohy řešili středoškolští studeti zčátkem dvcátého století - důkzem je šesté vydáí kihy [], které vyšlo v roce 9. Uveďme jede příkld z této publikce [] (str.96, cv.8): 5 9 (Příkld..) Máme sečíst řdu + + + + 4.... 5 9 4 7 4 T eí geometrickou řdou. Ozčme s = + + + +... + + () 4 Kdybychom lezli vzorec pro tý čle poslouposti částečých součtů s, už by stčilo je vyčíslit limitu lim s = s. 7 Jelikož všk dostáváme s = = ; s = + = ; s = + + =, 4 8 tímto způsobem posloupost s vyjádřeou vzorcem pro tý čle zřejmě elezeme. Ale můžeme částečý součet s přepst tk, by obshovl součet prvích čleů geometrické poslouposti. 9

Vezmeme ásobek zdého částečého součtu s : 5 9 4 7 4 s = + + + +... + + () 4 5 + Teto vzth () je vhodé zpst tímto způsobem: Nyí rozdílem s 5 9 4 7 4 s = + + + + +... + + () 4 5 + s, tj. odečteím vzthů () (), získáme rovost, ve které se "téměř celý" očekávý částečý součet geometrické řdy vyskytuje: 5 9 5 4 4 7 4 s s... = + + + +, tedy + 4 4 4 4 4 4 s = + + + +... + + (4) 4 + Připomeňme, že částečý součet geometrické řdy (ozčme jej x ) je ve tvru: x = q + q + q +... + q (5) Vzth (5) je potřeb lézt ve vzthu (4), jiými slovy řečeo potřebujeme, by se ve vzthu 4 4 (4) víc objevil výrz +, což provedeme jedoduchým způsobem: 4 4 4 4 4 4 4 4 s = + + + +... + + (6) + 4 4 4 4 Ozčme x = + + +... + (7) Výrz x předstvuje sečíst prvích čleů geometrické poslouposti, tedy pltí vzth (8) : 4 8 x = = (8) 4 4 4 4 A proto lze psát: s = + 8 + (9) + Po úprvách vzthu (9) dosteme již hledý částečý součet zdé řdy: s 5 + 4 = 5 () V závěru vyčíslíme limitu tohoto částečého součtu lim s :

5 + 4 s = lim s = lim 5 = 5. Tto úloh by ás mohl motivovt k pokusu o zobecěí geometrické kovergetí řdy, eboli pokusit se jít částečý součet s i součet s řdy + b, = c kde, b, c,. Proveďme příslušé početí operce. (Příkld..) Chceme stovit součet + b, kde, b, c, = c. Ozčme: + b + b + b ( )... + b + s = + + + + + b () c c c c c ( ) Vypočteme: + b + b + b... + b + s = + + + + + + b () 4 c c c c c c + Od vzthu () odečteme vzth () : c + b... + s s = s = + + + + + b () + c c c c c c c c Zjistíme, by vzth () obshovl součet prvích čleů geometrické poslouposti : c b s... b + + = + c + c + + + + + c c (4) + c c c c c c c Ozčme: x = + + + +... + (5) c c c c c Víme, že pltí: c c x = = c. A proto lze psát: c c c Vyásobeím rovosti (6) výrzem Následě stovíme součet s : c + b c + s = + b + + c c c c c c c s c c dostáváme po ěkolik úprvách: [ ] c( + b) b ( c) c + b( c) = + ( c ) ( c ) c [ ] c( + b) b ( c) c + b( c) c( + b) b s = lim s = lim + = ( c ) ( c ) c ( c ). (7) (6)

. Úvh o zobecěí geometrické řdy s polyomem stupě k Metod uvedeá v podkpitole. možá působí dojmem, že spektrum jejího využití je příliš úzké. Touto metodou lze stovit i součty podobých řd. Uveďme motivující příkld: (Příkld..) Ozčme: s Stovme součet. = 4 9 6 ( ) = + + + +... + + () 4 4 9 ( ) Vypočteme: s = + + + +... + + () 4 + Od vzthu () odečteme vzth () : 5 s s = s = + + +... + + () + Vyásobeím vzthu () číslem dostáváme: 5 7 = + + + + + + (4) s... Zde je možá vybuze dojem, že tto metod selhává. Stčí všk uvedeý postup opkovt: 5 7 s = + + + + +... + + (5) 4 + Opět provedeme odečteí příslušých vzthů, tj. od (4) vzthu odečteme vzth (5) : + s s = s = + + + +... + + (6) 4 + Dále zjistíme, by vzth (6) obshovl součet prvích čleů geometrické poslouposti : + s = + + + + + +... + + (7) 4 + Ozčme x = + + +... +. Víme, že x 4 = =, proto lze psát: + s = + 4 + + Po drobých úprvách vzthu (8) dostáváme: (8)

A závěrem stovíme součet zdé řdy: s + 8 = + + (9) + s = lim s = lim 8 6. + + = Teto příkld ás možá opět motivovl položit si dlší otázku: Lze touto metodou stovit součet řdy k k ck + ck +... + c, kde c,, k N? Jiými slovy c = řečeo: Lze tímto způsobem stovit součet řdy, která je zobecěím kovergetí geometrické řdy polyomu libovolého stupě k? Pokud o, pk to lze provést v koečě moh krocích (opkováím výše uvedeého postupu). Bude-li tedy v čitteli výše uvedeého zlomku polyom stupě k, pk po odečteí ásobku s c od výrzu s dosteme ásobek ( c ) c s, který předstvuje součet prvího čleu této řdy, "téměř celého" součtu prvích ck čleů poslouposti, které "vygeerovl" polyom stupě ( k ) výrzu c + k. Poté vyjádříme s výše uvedeý postup opkujeme (do okmžiku, kdy jistý ásobek s bude obshovt součet prvích čleů jisté geometrické poslouposti). Tto myšlek by ás ásledě mohl vést k otázce, jk lézt tkovýto lgoritmus, který by víc byl schop provádět výpočetí techik. V deší době všk máme moho moderích lgoritmů, které jsou schopé sčítt dleko rozmitější číselé řdy, př. Zeilbergerův lgoritmus ebo Gosperův lgoritmus - jemu je věová zčá část této práce, počíje kpitolou 5.

Některé metody sčítáí ekoečých řd. Hypotéz o poslouposti částečých součtů { s } = Může se ám zdát, že je téměř zbytečé tuto metodu využívt, le ěkdy ste situce, že se žádý lepší způsob stoveí součtu s ebízí. A právě tkovou situci ěkdy může zchráit tto metod. Její podstt je jedoduchá vyslovíme hypotézu, že posloupost { s } = mtemtickou idukcí. lze zpst jistým vzorcem. Poté pltost tohoto vzorce dokážeme (Příkld..) Máme stovit ( ). Zkostruujeme ěkolik čleů poslouposti { s } = + Tedy s = ; s = ; s = ;...Zřejmě pltí: N : s =. Tuto hypotézu ověříme 4 + mtemtickou idukcí:. krok (ověříme pltost vzorce pro ejmeší přípusté, tj. = ) : s = =. ( + ). krok (idukčí předpokld, tj. = k ) : s k k =. k + k k( k + ) +. krok (idukčí krok, tj. = k + ) : sk + = sk + k + = + = = k + ( k + )( k + ) ( k + )( k + ) ( k + ) ( k + ) = = N : s =. ( k + )( k + ) ( k + ) + =. Nyí již můžeme vyjádřit hledý součet: + s = lim s = lim = lim =. + + (Příkld..) Stovme součet: rctg + rctg + rctg +... 8 8 N prví pohled se úloh může jevit obtížá, protože součtové vzorce pro cyklometrické fukce ve školské mtemtické lýze příliš epoužíváme. Využijeme ásledující větu: 4

(Vět..) x + y x, y R : xy < rctg ( x) + rctg ( y) = rctg xy Zkusíme opět zkostruovt ěkolik čleů poslouposti { s } s = rctg + 8 s = rctg + rctg = rctg = rctg 8 6 : = + 8 s = rctg + rctg = rctg = rctg 8 4 54 Opět mtemtickou idukcí ověříme, že pro zdý součet pltí: N : s = rctg. +. krok (pro = ) : rctg = rctg +. krok (idukčí předpokld, tj. = k ):. krok (idukčí krok, tj. = k + ): s k k = k + k + k k + ( k + ) sk + = sk + k = rctg + rctg = rctg = k + ( k + ) k ( ) k + k( k + ) + ( k + ) (k + k + )( k + ) (k + k + )( k + ) ( k + ) k ( k + k + k + ) k k + 6k + 5k + = rctg = rctg = rctg ( k + ) Jelikož (k 6k 5k ) : (k k ) k + + + + + = +, lze psát: (k + k + )( k + ) (k + k + )( k + ) ( k + ) = = k + 6k + 5k + (k + k + )( k + ) ( k + ) rctg rctg rctg π V závěru vypočteme, že s = lim s = lim rctg =. + 4. 5

. Teleskopická metod sčítáí řd S touto metodou se setkáváme mohem čstěji ež s metodou předchozí. Tto metod se zývá teleskopická, eboť obrzě řečeo teleskopem (dlekohledem) prohlédeme celou řdu to ám umožňuje vidět, která čísl, resp. výrzy, se vzájemě odečtou. K tomu, bychom tkto řdu mohli prohlédout, je zpotřebí výrz rozložit v součet prciálích zlomků. V litertuře [5] se můžeme setkt s defiicí této řdy příslušou větou, která říká, jká podmík musí být splě, by tto řd kovergovl. Prozkoumejme je: Neprve uveďme, že teleskopickou vlstost ějkého koečého součtu lze popst vzthem: k= ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) b b = b b + b b + b b + + b + b + b b = b b k k+ 4 + + Pozmeejme, že ěkdy se tké říká, že řd se zhroutí sm do sebe. A to je právě t skutečost, že b+ b b+ b... + b b+ b=. Následující defiicí tuto vlstost rozšíříme ekoečé součty. (Defiice..) Řdu zveme teleskopickou, jestliže : = b b + = N. (Vět..) Teleskopická řd koverguje právě tehdy, když posloupost { b} = = koverguje v tom přípdě pltí: = b L, kde lim b = L. (Příkld..) Rozhoděme, zd řd = = + prciálích zlomků dosteme, že je teleskopická. Rozkldem výrzu v součet ( ) = = ( + ) +. Ozčíme-li b =, zjišťujeme, že řd vyhovuje defiici.., eboť b = + +. 6

Využijeme větu..: b=, L= lim b= lim =. Tedy pltí s= = b L=. = Ukzuje se všk, že v mohých přípdech ějkou řdu zýváme teleskopickou, přestože evyhovuje této defiici. Pozměňme teto příkld pokusme se jít její teleskopickou vlstost. (Příkld..) Mějme řdu. Výrz ( ) = + rozložíme v prciálí zlomky, tj. dostáváme, že = = ( + ) ( + ). Zjišťujeme všk, že tkto uprveý výrz evyhovuje defiici... Přesto všk i tkovéto řdě říkáme teleskopická. Tto řd všk má jistou teleskopickou vlstost, totiž pltí: N = : b b +, kde b =, b = + ( + ) Pozor, zde epltí vzth uvedeý ve větě.., ýbrž s= = b+ b L, = kde L= lim b. Je totiž s = b + b b b. + + Následující řdy mjí rozvěž jisté teleskopické vlstosti, věujme všk pozorost rozkldům v prciálí zlomky porováí eurčitých koeficietů A, B, C,... S porováváím eurčitých koeficietů se setkáme tké v kpitole 5 (Gosperův lgoritmus). (Příkld..) Stovme součet...... + 4 + + ( + )( + ) +. Výrz ( + )( + ) rozložme v součet prciálích zlomků: A B C A( + )( + ) + B( + ) + C( + ) = + + = ( + )( + ) + + ( + )( + ) Odtud získáme rovost = + + + + + +. Nyí ás zjímjí ulté, A( ) B( ) C( ) prví druhé mociy čísl. Nultá moci je levé strě rovosti zstoupe krát, 7

prvé strě krát u koeficietu A, krát u koeficietů B, C. Odtud získáváme prví rovici íže uvedeé soustvy rovic. Prví moci čísl je levé strě zstoupe krát, prvé strě krát u koeficietu A, krát u koeficietu B, krát u koeficietu C. Odtud získáváme druhou rovici íže uvedeé soustvy rovic. Druhá moci čísl je levé strě zstoupe krát prvé strě krát u koeficietů A, B, C. Odtud získáváme třetí rovici íže uvedeé soustvy rovic. Symbolicky zpsáo: Tto soustv má kořey: A proto lze psát, že s k : = A A = ; B = ; A B C : = + + = A + B + C :. C =. k k k = = + = + = = ( + )( + ) = + + = + + = + + + + + + + + + + + +... + + + 4 5 4 5 6 5 7 6 7 8 k k k + + + + = + k k k + k k + k + k + k +. A odtud s = lim sk = lim + =. k k 4 ( k + ) ( k + ) 4 (Příkld..4) Stovme součet...... 9 + 5 + + ( ) ( + ) +. Výrz ( ) ( + ) opět rozložíme v součet prciálích zlomků: = A + B + C + D ( ) ( + ) ( ) + ( + ) Vyásobeím této rovosti výrzem ( ) ( ) + dosteme rovost A B C D = ( )( + ) + ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) = = A(8 + 4 ) + B(4 + 4 + ) + C(8 4 + ) + D(4 4 + ). 8

Stejým způsobem ( jko v předchozím příkldě ) získáme soustvu rovic. Symbolicky zpsáo: : = A + B + C + D : = + 4 4 A B C D : = 4 + 4 4 + 4 A B C D = A + C : 8 8. Získou ehomogeí soustvu zjedodušíme pomocí mticového počtu, užijeme Gussovu elimičí metodu: - - - - - 4 - -4-4 - -4-4 -6-4 -6 4 4-4 4 - - 8 8 - - - - -4-6 4 8-4 8-4 8-4 8 - -4-6 -8-8 8 A + B + C + D = A = B + C + D = B = 8 Zjedodušeá soustv bude mít tvr 4C + 8D = C = 8D = D =. 8 A proto: s k k k k = = ( ) ( ) = = 8 ( ) 8 ( ) = = + + 8 = ( ) ( + ) = + + + + + 8 9 9 5 5 49 ( ) ( ) ( ) ( )... k k k k +. A odtud: s = lim sk = lim k 8 k = (k ). + 8 9

4. Kdo byl J. J. Sylvester? obr. 5 4 Rezultt dvou polyomů Jmes Joseph Sylvester, glický mtemtik, žil v letech 84-897. Jko prví zčl užívt termí mtice (v glicky psé litertuře mtrix ). Tké objevil diskrimit kubické rovice. Ve dvceti letech stoupil vysokou školu St. Joh's College v Cmbridge. Jelikož byl žid, emohl podepst Třicet devět čláků glikáské církve. V důsledku toho emohl i obdržet titul Bchelor of Arts i být omiová Smithovu ceu. Při opouštěí Cmbridge zčl psát prví čláky, ve kterých se zbývl plikovou mtemtikou. Jeho prví čláek esl ázev Alytický vývoj Freselovy optické teorie krystlů. Brzy potom byl jmeová profesorem fyziky Uiversity College v Lodýě stl se tk kolegou De Morg. V té době byl Uiversity College téměř jediou vysokoškolskou istitucí, která tolerovl ábožeské rozdíly. Sylvester všk toužil po čisté mtemtice. V roce 84 se stl profesorem mtemtiky Uiversity of Virgii. Ale po čtyřech letech byl jeho kriér ukoče trgickou událostí, o které se můžeme podroběji dočíst v [] ebo []. V roce 846 zčl studovt Ier Temple v Lodýě v roce 85 se stl dvokátem. Vybrl si stejou profesi jko mtemtik Arthur Cyley, se kterým se spřátelil. Diskutovli spolu více o mtemtice ež o právech. Tito dv muži se stli dlouholetými přáteli. Ob le byli prosto rozdílých povh. Cyley byl vyrový, trpělivý, jeho práce byly přehledě vyprcováy, skoro jko ějký úředí dokumet. Sylvester byl prudké ohivé povhy. Jeho práce byly plé pozámek pod črou, dodtků, oprv i ltertiv důkzů. A proto většiu jeho prcí bylo skoro emožé tiskout, jediou jeho vytištěou kihou je Tretise o Elliptic Fuctios (876). Po ějké době Cyley dostl místo v Cmbridge, kde se hed ožeil usdil jko mtemtik. Tím bylo zřejmě jejich dlouholeté přátelství ukočeo Sylvester dále pokrčovl v tom, co sám zývl Boj proti světu, sám svobodý. V roce 855 se stl profesorem mtemtiky Royl Militry Acdemy - tedy změstcem rmády. Zde působil po dobu 5 let v těchto letech byl ejvíce vědecky ktiví. V 55 letech odešel do důchodu. V roce 87 byl zruše Uiversities Test Act proto mu byly uděley tituly Bchelor of Arts Mster of Arts. V roce 88, kdy Sylvesterovi bylo 68 let, byl povolá svelikáskou ktedru geometrie v Oxfordu. Text byl čerpá z [], [], obrázek byl převzt z [].

4. Sylvesterov mtice, Sylvesterovo kritérium, rezultt dvou polyomů (Defiice 4..) - Sylvesterov mtice Nechť f ( x) = x + x +... + x +, Defiice vět jsou převzty z []. m g( x) = b x + b x +... + b x + b jsou dv m m m polyomy z T [ x ], kde T je komuttiví těleso. Sylvesterovou mticí polyomů f ( x ), g( x) zýváme mtici Syl ( f, g )......................., prázdá pole obszujeme ulmi. = bm bm.. b.... bm bm.. b............. bm bm.. b Tto mtice je typu ( m + ) ( m + ). (Defiice 4..) - Rezultt polyomů ( ) Rezultt ( ), ( ) res f x g x polyomů f, g se zývá determit Sylvesterovy mtice. x (Vět 4..) - Sylvesterovo kritérium Nechť f ( x), g ( x ) jsou dv polyomy kldých stupňů. Polyomy f ( x), g ( x) T [ x] (Příkld 4..) dělitelé ekosttím společým dělitelem v T [ x ] právě tehdy, když ( ( ) ( )) Pro které hodoty prmetru k mjí polyomy ulový bod? res f x, g x =. x jsou f ( x) = x + kx +, g( x) = x kx + společý Zkostruujeme Sylvesterovu mtici. Podle defiice 4.. mtice musí mít ( m + ) řádků, ( m + ) sloupců. V šem přípdě je m =, protože f ( x ) je druhého stupě, =, protože ( ) g x je třetího stupě. Tudíž mtice bude typu ( 5 5). Máme-li tedy polyom

druhého polyom třetího stupě, budou ás zjímt zstoupeí třetích, druhých, prvích ultých moci ezámé x. N pořdí polyomů při "vkládáí" do mtice ezáleží. Vezměme př. polyom g( x ). Třetí moci ezámé je zde zstoupe krát, druhá moci krát, prví moci ( k) krát, ultá moci krát. Odtud plye, že prví řádek mtice bude vypdt ásledově: Číslo se bude cházet v prvím sloupci, číslo ve druhém, číslo ( k) ve třetím číslo ve čtvrtém. Jelikož mtice má být typu ( 5 5), v pátém sloupci bude číslo, dle defiice ("prázdé pole jsme obsdili ulou"). Zkostruujeme druhý řádek: V prvím sloupci bude číslo - dle defiice (opět jde o prázdé pole), ve druhém sloupci bude, ve třetím, ve čtvrtém ( k), v pátém. Polyom g( x ) je yí "vlože" do mtice, eboť ultou mociou ezámé x, která je reprezetová číslem, jsme již obsdili pátý sloupec. Obdobým způsobem "vložíme" do mtice polyom f ( x ). Mtice bude vypdt ásledově: k k Syl ( f, g ) = k k k Nyí vyčíslíme rezultt polyomů f ( x ), g( x ), eboli determit této mtice: k k k k k k k + k = k k + = = k k k k k k k k k k + k k = = k k + = k + k + k = k k + k k + k k k( k + ) + k ( k + ) k { ( k k ) [ ( k ) k] k ( k ) k ( k )} = + + + + +.

Položme teto determit rove ule, dle Sylvesterov kritéri, po úprvách dosteme ( k v tomto okmžiku povžujeme z proměou), že ( k ) ( k ) + =. Kořey této rovice jsou: k =, k =. Nyí lezěme společé kořey polyomů f ( x ), g( x ). Položme proto f ( x) = g( x). Při volbě k = dosteme rovost x x ( x ) + =, ze které získáme koře x =. Při volbě k = dosteme rovost x( x + )( x ) =, ze které získáme kořey x =, x =, x =. Závěrem zobrzme polyomy v krtézských soustvách souřdic 4 (př.) pomocí počítčového progrmu Wolfrm Mthemtic 7., viz.. 6 obr (volb k = ), obr. 7 (volb k = ): obr. 6

Pozmeejme, že popisky polyomů je možo vložit do grfu po stiskutí kombice kláves ctrl+d, čímž otevřeme tzv. D drwig. Rezultt dvou polyomů lze smozřejmě tké využít při řešeí soustvy dvou polyomiálích rovic o dvou ezámých x, y. Zvolíme, kterou ezámou budeme při kostrukci Sylvesterovy mtice ásledém vyčísleí jejího determitu povžovt z kosttu. Tím vlstě "elimiujeme" tuto ezámou (proto se tké ěkdy rezulttu říká elimit). Nechť x je kostt echť soustv má teto obecý tvr: obr. 7 f ( x, y) = ( x) y + ( x) y +... + ( x) = m g( x, y) = b ( x) y + b ( x) y +... + b ( x) = m m m Teto zápis jsme zvolili, protože ás budou zjímt ezáporé mociy ezámé y. Dlší bude zřejmé v ásledujícím příkldě. 4

(Příkld 4..) Nlezěme reálé řešeí [ x, y ] ásledující soustvy polyomiálích rovic. f x y x xy (, ) = + = g x y xy y (, ) = = Řešeí: Elimiujme ezámou x, eboli uvžujme, že je kosttou. Sylvesterov mtice bude v tomto přípdě typu ( ) bude mít tvr: x Syl ( f ( y), g( y) ) = x x + x x +. Determitem této mtice je výrz x x ( )( x ) +. Položme determit rove ule, dle Sylvesterov kritéri: x x ( )( x ) + =. Řešeím této rovice obdržíme tři kořey: x =, x =, x =. Dále zjišťujeme, že: Koře x = eí společý polyomům f ( x, y ), g( x, y ), eboť f ( x, y) g( x, y), pokud x =. Koře x = je společý polyomům f ( x, y ), g( x, y ), eboť f ( x, y) = g( x, y), pokud x =. Při volbě x = dosteme, že y = 4. Ozčme y =. 4 Koře pokud x = je společý polyomům f ( x, y ), g( x, y ), eboť f ( x, y) = g( x, y), x =. Při volbě x = dosteme, že y =. Ozčme y = Závěrem kosttujeme, že soustv má pouze dvě reálá řešeí dvojici čísel [ x, y ] =, 4 dvojici čísel [ ] = x, y,. Polyomy f ( x, y), g( x, y) můžeme zobrzit v krtézské soustvě souřdic, př. opět pomocí počítčového progrmu Wolfrm Mthemtic 7., viz obr. 8: 5

Příkld jsme smozřejmě mohli řešit tk, že bychom x povžovli z ezámou y z kosttu. Pk bychom mohli zpst zdou soustvu ve tvru obr. 8 f ( x, y) = ( y) x + ( y) x +... + ( x) = m g( x, y) = b ( y) x + b ( y) x +... + b ( x) = m m m 6

Dále bychom obdrželi tkto vyplěou Sylvesterovu mtici: ( ( ), ( )) Syl f x g x y y =. y y y y Pk bychom zjistili, že její determit, eboli ( ( ), ( )) když pltí y =. Při volbě bychom zjistili, že res f x g x, je rove ule právě tehdy, y ( y 4) =. Rovost je splě, pokud y {, 4} y = 4 bychom zjistili, že x =, ozčme x =. x x =, ozčme. Ozčme y = 4 x =. Při volbě y = Následě bychom tedy dospěli ke stejému závěru, že zdá soustv má pouze dvě reálá řešeí dvojici čísel [, ] =, 4 dvojici čísel [ ] = x y x, y,. Teto příkld je v čláku [9] řeše jedou z iterčích metod řešeí soustv elieárích rovic, ám všk pouze posloužil pro sezámeí s rezulttem dvou polyomů, který všk eptří mezi efektiví metody řešeí polyomiálích rovic. Mějme příkld soustvu polyomiálích rovic o ezámých x, y : f ( x, y) = xy 4 = f x y x y (, ) = = Při elimici ezámé x obdržíme Sylvesterovu mtici ve tvru y 4 y 4 Syl( f ( x), g( x)) = y 4 y. Položíme-li její determit rove ule, zmelo by to řešit rovici y + y 64 = 5 víme, že eexistuje obecý vzorec pro řešeí rovice pátého stupě víc v tomto přípdě se žádá vhodá substituce ebízí. Rezultt dvou polyomů je všk jedím z ezbytých pojmů užitých v Gosperově lgoritmu. Te zkoumejme v ásledující kpitole. 7

5. Kdo je R. Willim Gosper? 5 Gosperův lgoritmus R. Willim Gosper, Jr., r. 94, je součsým mtemtikem progrmátorem, pochází z měst Pesuke v New Jersey. O Richrd Greebltt jsou povžovái z zkldtele prvích počítčových komuit. Willim Gosper je chloubou společosti Lisp commuity, která se zbývá progrmováím. Je zámý díky práci, ve které se zbývl reprezetcí reálých čísel rověž tké vytvořeím lgoritmu, který je po ěm pojmeová. převzto z [6] obr. 9 Jím vytvořeý lgoritmus je v litertuře [6] ozče jko jede z pěti zákldích. V roce 96 zčl studovt uiverzitě MIT (Msschusettský techologický istitut) mtemtický obor získl titul v roce 965. Přispěl k rozvoji počítčového progrmu Mcsym. V roce 97 se přestěhovl do Kliforie, kde po dobu tří let předášel Stfordské uiverzitě pomáhl Doldovi Kuthovi (výzmý progrmátor) psát druhý díl kihy The Art of Computer Progrmmig. W. Gosper smozřejmě tké přispívl do jiých publikcí, jejichž sezm lezeme drese http://gosper.org/bill.html. Tm můžeme tké lézt dlší iformce o tomto mtemtikovi progrmátorovi. Od roku 97 prcuje pro firmy Xerox PARC, Symbolics, Wolfrm Reserch, The Lwrece Livermore Lbortory Mcsym Ic. Čerpáo z čláku [7]. 8

5. Teoretický zákld Gosperov lgoritmu Tto kpitol je čerpá především z litertury [], dále tké z [], [6], [7]. Defiice věty jsou převzty z litertury []. Gosperův lgoritmus se využívá pro stoveí součtů ekoečých řd, le lze jej využít i pro stoveí součtů koečých řd. Nelze si očekávt, že by ějký sumčí lgoritmus dokázl sečíst kždou (ekoečou) řdu. Proto budou posloupost { } určující řdu =,, uvede jistá kritéri, utá k tomu, by Gosperův lgoritmus vůbec = mohl zčít prcovt. T budou později uvede. Hlvím smyslem tohoto lgoritmu je lézt posloupost částečých součtů { s k } k = řdy k, kde,, k = m m > m N. Zdáme posloupost { } k k = chceme lézt posloupost { s } k k tkovou, že pltí: = k = s sm, kde k ezávisí m ebo. Zde si k = m povšiměme, že tto podmík je určitou logií s ásledujícím problémem: Mějme fukci f, která je spojitá < m, >, chceme vypočítt f ( x) dx m. To lze provést v přípdě, že jsme schopi lézt primitiví fukci F( x ). Pokud se ám to podří, stčí již využít Newtoův-Leibitzův vzorec psát, že f ( x) dx = F( ) F( m). V Gosperově lgoritmu se setkáváme s tzv. hypergeometrickými posloupostmi (příslušá defiice bude později uvede). Teorie ám říká, že pokud posloupost { } = m s k k k = je hypergeometrická, potom posloupost { k} musí tké být hypergeometrická. Ještě pozmeejme, že jedá-li se o ekoečou řdu, v závěru lgoritmu se vyčíslí s = lim s k. k Vyslovme příslušé defiice věty. 9

(Defiice 5..) = Posloupost { } zveme hypergeometrickou právě tehdy, když pro všech přirozeá lze podíl dvou ásledujících čleů poslouposti vyjádřit ve tvru v( ) jsou polyomy. u( ) =, kde u( ), v( ) (Vět 5..) Kždou rcioálí fukci u( ) v( ) d tělesem T lze zpst ve tvru u( ) p( ) q( ) = v( ) p( ) r( ), kde p, q, r jsou polyomy splňující podmíku, že pro všech ezáporá celá čísl j pltí, že D( q( ), r( + j)) =. Pozmeejme, že rušeí této podmíky lze iterpretovt její egcí, tedy j* N : D( q( ), r( + j*)). Využijeme-li pro teto přípd Sylvesterovo kritérium, číslo j * budeme hledt pomocí rezulttu polyomů q( ) r( + j), eboli vypočteme res ( q( ), r( + j)) =. Uvžujme yí přípd, že jsme lezli spoň jedo j* N. Vezmeme ejvětší lezeé j* N polyomy p, q, r budeme muset předefiovt, eboli hledt tkové polyomy p, q, r, pro které pltí D( q( ), r( + j)) =, j N zároveň polyomy p, q, r bude možo zpst ve tvru u( ) p( ) q( ) =. v( ) p( ) r( ) Ozčme: g( ) : = D( q( ), r( + j*)) j* p( ) : = p( ) g( k) = g( ) g( ) g( j * + ) k = q( ) q( ) : = g( ) r( ) r( ) : = g( j*) Ověřme, zd při tkto předefiových polyomech pltí rovost u( ) p( ) q( ) =. v( ) p( ) r( )

u( ) p( ) q( ) = = v( ) p( ) r( ) q( ) g( ) g( ) g( ) g( j * + ) g( j * + ) g( ) = = g( ) g( ) g( j * + ) g( j * + ) g( j*) r( ) g( j*) g( ) q( ) g( j*) q( ) = = g( j*) g( ) r( ) r( ) Jelikož podíl q( ) r( ) je rcioálí fukcí u( ) v( ), jsou polyomy q ( ), r ( ) esoudělé. (Defiice 5..) Nechť u v je rcioálí fukce d tělesem T echť polyomy p, q, r splňují podmíku uvedeou ve větě 5... Pk trojici p, q, r zýváme regulárí reprezetcí podílu u v. (Příkld 5..) Nlezěme regulárí reprezetci podílu Řešeí: Nejprve vypočteme:, kde ( 5)( ) 5 = = ( )( + ) +. = ( )( + ). Ozčme p( ) : =, tudíž p( ) =. Dále ozčme q( ) : = 5 r( ) : = +. Zjistěme, zd existuje tkové ezáporé j, pro které jsou polyomy q( ), r( + j) esoudělé: 5 res( q( ), r( + j)) = res( 5, + j + ) = = ( j + ) + 5 = 9 j + 8. j + Položme determit rove ule: 9 j + 8 =. Zjišťujeme, že rovice má jediý koře j =, který eí ezáporý, tj. j N. Nlezli jsme tedy regulárí reprezetci podílu u v, eboli, tkovou, že ( ) p =, q( ) = 5, r( ) = +. Pokud by stl přípd, že j N, museli bychom polyomy p( ), q( ), r( ) předefiovt.

(Vět 5..) Nechť { } = je hypergeometrická posloupost d tělesem T echť polyomy p, q, r tvoří regulárí reprezetci podílu. Jestliže i posloupost { } s =, kde s = i, je i= hypergeometrická, pk lze tý částečý součet s vyjádřit ve tvru q( + ) s = f ( ) () p( ) pro jistý polyom f ( ) splňující podmíku p( ) = q( + ) f ( ) r( ) f ( ). () Pozmeejme, jkým způsobem byl tto podmík stove ( převzto z [] ): Pišme s = i = + +... +. Je zámo, že = s s, předpokládejme, že i= doszeím této rovosti do vzthu () dostáváme: s p( ) p( ) s p( ) f ( ) = = =. q( + ) q( + ) s s q( ) s + s Tím jsme ukázli, že pokud s je rcioálí fukce, potom ( ) s f je tké rcioálí fukce. Dosďme vzth () do vzthu = s s získáváme vzth () : q( + ) q( ) = f ( ) f ( ). () p( ) p( ) Tuto rovost vyásobíme výrzem p( ) dostáváme q( ) p( ) p( ) = q( + ) f ( ) f ( ) p( ) p( ) = q( + ) f ( ) r( ) f ( ).. A užijeme-li větu 5.., můžeme psát, že: Vzorec uvedeý v této větě bychom mohli využít v předchozím příkldě, le k tomu je ještě zpotřebí zjistit, jký má mít polyom f ( ) tvr - přesěji řečeo určit stupeň tohoto polyomu. Stupeň všk lze určit lgoritmicky. Nejprve vymezme ěkolik pojmů:

Polyomem f ( ) stupě k rozumějme polyom k i k ( ) = i = + + +... + k, kde c k { } i= f c c c c c R. Stupěm k ulového polyomu f ( ) = rozumějme číslo ( ), eboli k =. Symbolem coef ( p( ), i ) rozumějme koeficiet u mociy příkld coef + + =. (, ) Symbolem st( p( )) rozumějme stupeň polyomu p( ), příkld i v polyomu p( ), 4 st( + + ) = 4. Symbolem mx(, b ) rozumějme mximum čísel, b, příkld mx(, ) =. Algoritmus určeí stupě polyomu f ( ), eboli čísl k N, je ásledující: Ozčme l : = st( q( + ) + r( )) l : = st( q( + ) r( )). Nyí uvžujme dv přípdy: p m () Pokud l p l m, vypočte se stupeň polyomu dle vzthu k = st( p( )) lm. () Pokud lp > l m, vypočte se pomocé číslo k dle ásledujícího vzorce: k l p coef ( q( ), l p ) coef ( q( ), l p ) + coef ( r( ), l p ) = coef ( q( ), l ) Přípd () se dělí dlší dv přípdy ( ), ( b ) : ( ) Pokud k Z, ozčme k : = mx( k, st( p( )) l p + ). ( b ) Pokud k Z, ozčme k : = st( p( )) l p +. p Nyí je vše připrveo k tomu, bychom Gosperův lgoritmus mohli vyzkoušet řešeím úloh. Později se přesvědčíme (v podkpitole 5.4), že lgoritmus elze použít pro vyčísleí součtu libovolé kovergetí řdy. V ásledující podkpitole 5. se zbývejme příkldy řd, jejichž součty lze lgoritmem lézt.

5. Ukázky gosperovsky sčíttelých řd (Příkld 5..) V příkldě 5.. jsme lezli regulárí reprezetci podílu, tkovou, že p( ) =, q( ) = 5, r( ) = +. Pokusme se určit stupeň polyomu f ( ) : l = st( q( + ) + r( )) = st( + + ) = st(6 ) = p l = st( q( + ) r( )) = st( ) = st( ) = m Nstl přípd (), tj. lp > l m, proto vypočteme pomocé číslo k : k l p coef ( q( ), lp ) coef ( q( ), l p ) + coef ( r( ), lp ) = = ( 5) + = coef ( q( ), l ) p Jelikož stl přípd ( ), tj. k Z, bude pltit: k k st p l p = mx(, ( ( ) + ) = mx(, + ) = mx(, ) =, polyom f ( ) je tedy prvího stupě, tj. ve tvru f ( ) = c + c. Podle věty 5.. má pltit: p( ) = q( + ) f ( ) r( ) f ( ), čili v šem přípdě bude [ ] = ( )( c + c ) ( + ) c ( ) + c, dostáváme tk polyomiálí rovici o ezámé, kterou ekvivletími úprvmi zjedodušíme tvr: = c + c. Zjišťujeme všk, že rovice má ekoečě moho řešeí (tudíž polyomů f ( ) je ekoečě moho). A proto provedeme prmetrizci: Ozčme c : = p, potom tedy bude c = + p tké f ( ) = ( + p) + p. Dosďme všechy lezeé polyomy do vzthu () uvedeého ve větě 5... Dostáváme, že s ( + p) + p =. Volbou prmetru p sychroizujeme posloupost + částečých součtů. Stovíme počátečí podmíku - sčítáme řdu, proto = ( )( + ) počátečí podmíkou bude s =. Budeme tedy řešit rovici ( + p ) + p =. Zjišťujeme, 4 4 + že tto rovice má právě jede koře p =. Proto volme p = odtud f ( ) =. Nyí již můžeme vyjádřit vzorec pro tý částečý součet: 4

q( + ) s = f ( ) = ( ) = p( ) ( )( + ) + A rověž tké lze stovit součet: s = lim = lim =. + + (Příkld 5..) Máme stovit součet Dostáváme, že. Pokusme se lézt regulárí reprezetci podílu. = ( + )( + 4) ( + ) =. Ozčme ( + )( + 4) p( ) : =, q( ) : = +, r( ) : = + 5 + 4. Vypočteme r( + j) = + j + j + 5 + 5j + 4 = + (j + 5) + j + 5 + 5j + 4. Ověřme, zd polyomy p( ), q( ), r( ) vyhovují podmíce uvedeé ve větě 5.., tz., zd j N : D ( q ( ), r ( + j )) = : j 5 j 5 j 4 j j 5 j 4 + 5 + 5 + 4 + 5 + 5 + 4 5 4 ( 5 4) ( )( 5 4) ( ) ( 4)( ) + 5 + 5 + 4 res ( q( ), r( + j)) = = = + + + + + + j j j j j j = j + j + j + = j + j + j + j + j + = j + j + j j j j Položme teto determit rove ule, dle Sylvesterov kritéri: ( j ) ( j 4)( j ) + + =. Zjišťujeme, že tto rovice má kořey j = 4, j =, j =. Koře j je ezáporý, ozčme j = j *. Polyomy p( ), q( ), r( ) budeme muset předefiovt. Proveďme příslušé operce: g D q r j D q r D ( ) = ( ( ), ( + *)) = ( ( ), ( + )) = ( +, + 9 + 8) = + j* p( ) = p( ) g( k) = p( ) g( k) = p( ) g( ) g( ) = ( + )( + ) k = k = q( ) ( + ) q( ) = = = g( ) + r( ) r( ) ( + )( + 4) r( ) = = = = + 4 g( j*) g( ) ( + ) 5

Pozor, opět je potřeb prověřit, zd existuje ezáporý koře j* N : res( q( ), r( + j)) = res(, + j + 4) = = j + 4 = j 4 j + 4 { } Zjišťujeme, že tkový koře eexistuje, tudíž můžeme kosttovt, že jsme lezli regulárí reprezetci podílu ( + ) =, kde ( + )( + 4) p( ) = ( + )( + ), q( ) =, r( ) = + 4. Nyí chceme lézt stupeň polyomu f ( ), proto vypočteme: l = st( q( + ) + r( )) = st( + + + 4) = st( + 5) = p l = st( q( + ) r( )) = st( + 4) = st( ) = m Nstl situce, že lp > l m, proto vypočteme pomocé číslo k : k lp coef ( q( ), l p ) coef ( q( ), l p ) + coef ( r( ), lp ) + 4 = = = coef ( q( ), l ) p Jelikož k Z, použijeme vzorec k = mx( k, st( p( )) l p + ) = mx(, + ) =. Bude tedy zpotřebí lézt polyom f ( ), který je třetího stupě, tj. polyom, který lze zpst ve tvru f ( ) = c + c + c + c zároveň splňuje podmíku p( ) = q( + ) f ( ) r( ) f ( ). Tedy v šem přípdě píšeme: + 5 + 6 = ( + )( c + c + c + c) ( + 4) c( ) + c( ) + c ( ) + c Výrz prvé stry rovosti uprvíme tk, bychom mohli lézt koeficiety c, c, c, c : ( + )( c + c + c + c ) ( + 4) c( + ) + c ( + ) + c c + c = c + c + c + c + c + c + c + c ( + 4)( c c + c c + c c + c + 4 + c c + c ) = c + c + c + c + c + c + c + c ( c + 4c c c + c + 4 4 + c c 4c + c + 4c c 8c + c + 4c + c + 4c c 4c + c + 4c = = c c c + 9c c + 4c + 7c 4c + 4c 6

Lze tedy psát, že: + 5 + 6 = (9 c c) + ( c c + 7 c) + 4c + 4c c 4c Stejým způsobem, který jsme užívli v rozkldech výrzů prciálí zlomky, zjišťujeme zstoupeí ezáporých moci u ezámé, eboli získáme soustvu rovic : = 9c c : 5 = c + 7c c : 6 = 4c 4c + 4c + c Tto soustv tří rovic všk obshuje čtyři ezámé, proto je potřeb volit prmetr p, volme př. c prmetrem (ozčme c : p = ). Tuto soustvu zjedodušme do ějkého jedoduššího tvru pomocí mticového počtu: 9 9 9 7 5 5 5 4 4 4 6 4 4 4 6 4 9 5 7 6 Zjedodušeá soustv bude mít tvr: 9 p c = 6 p c = 6 7 p c = 6 7 p 6 Odtud získáváme kořey c = 9 p, c = 6 p 6, c =, proto polyom f ( ) 7 p 6 bude ve tvru f ( ) = p + (9 p ) + (6 p 6) +. Dosdíme do vzthu () uvedeého ve větě 5.., tj. má pltit: 7 p 6 p + (9 p ) + (6 p 6) + q( + ) f ( ) s ( ) = f = = p( ) ( + )( + )( + 4) ( + )( + )( + 4) 7

Volbou prmetru p sychroizujeme posloupost částečých součtů. Stovíme počátečí podmíku - sčítáme řdu, proto počátečí podmíkou bude s =. = ( + )( + 4) 7 p 6 p + (9 p ) + (6 p 6) + Tudíž budeme řešit rovici =. Po úprvách ( + )( + )( + 4) zjišťujeme, že tto rovice má právě jede koře dostáváme, že 9 6 = + +. 6 4 8 f ( ) Nlezli jsme tedy částečý součet, který je ve tvru: p =. Proto volme 6 p = odtud 6 9 6 ( + )( + )( + 4) 6 4 8 s = + + Závěrem vyčíslíme součet s : 9 6 9 6 9 6 + + + + + + 6 4 8 6 4 8 6 4 8 s = lim s = lim = lim = lim = 9 6 4 ( + )( + )( + 4) + 9 + 6 + 4 + + + 6 Podotkěme, že v příkldech 5.. 5.. bylo uto volit prmetr c = p, bychom lezli řešeí soustvy lieárích rovic o ezámých c i, kde i N. Po volbě p stčilo dosdit do vzthu () věty 5.. tím byl leze částečý součet s. To bylo možé díky tomu, že poslouposti { }, { } = s posloupost { s } = = byly hypergeometrické. Volbou p jsme totiž zručili, že bude hypergeometrickou. V ásledujícím příkldě ste situce, že dá soustv bude mít právě jedo řešeí bez utosti volit prmetr p, tudíž posloupost { s } = ebude hypergeometrická. Jk si s tkovouto situcí pordí Gosperův lgoritmus? 8

(Příkld 5..) Stovme součet ( + )!.! = Nejprve pomocí limitího podílového kritéri rozhodeme, zd tto řd koverguje: ( + )!! ( + )( + )!! = = = = < s R + lim lim lim lim + ( )! ( )! ( )! ( )! + + + + Odstríme výrzy s fktoriály: ( + )! ( + )! + = = =.!! Dále vypočteme, že + + = =. Ozčme p( ) : =, q( ) : = +, r( ) : =. Ověřme, zd j N : D ( q ( ), r ( + j )) = : res( q( ), r( + j)) = = j = j j { } Nlezli jsme ezáporý koře, ozčme j * =, předefiujme polyomy p, q, r : g( ) = D( q( ), r( + j*)) = D( q( ), r( + )) = D( +, ( + )) = + j* p( ) : = p( ) g( k) = p( ) g( k) = p( ) g( ) = + k = k = q( ) + q( ) : = = = g( ) + r( ) r( ) r( ) : = = = = g( j*) g( ) Polyomy q( ), r( ) jsou esoudělé, tudíž regulárí reprezetce podílu je ve tvru + =, kde p( ) = +, q( ) =, r( ) =. Pokusíme se určit stupeň polyomu f ( ) : l = st( q( + ) + r( )) = st( + ) = st() = p l = st( q( + ) r( )) = st( ) = st( ) = m l l k = st( p( )) l = st( + ) = = p m m Polyom f ( ) je zřejmě prvího stupě, tj. ve tvru f ( ) = c + c zároveň teto polyom má splňovt podmíku p( ) = q( + ) f ( ) r( ) f ( ), tj. v šem přípdě to zmeá 9

řešit rovici ( c c ) [ c ( ) c ] + = + +, kterou po jedoduchých úprvách dosteme do tvru + = c + c c. Dále zjistíme zstoupeí ezáporých moci u ezámé, tj. budeme řešit ásledující soustvu rovic: : = c : = c c Soustv má kořey c =, c = proto jsme lezli polyom f ( ) =. Opět připomeňme, že koeficiety c, c byly jedozčě stovey. To zmeá, že posloupost { s } = eí hypergeometrická. Proto ejprve vypočteme: ( ) q + ( ) + ( ) + s = f = = p( ) + + s = = + Dále potom s = s s = + odtud již stčí vyjádřit hledý součet s : + s = lim s = lim + = Povšiměme si ještě jedé zjímvé skutečosti - teto součet jsme tké mohli stovit stejým způsobem jko v kpitole., doprcovli bychom se ke zjištěí, že s 4 = + + = +. Kosttu bychom lezli vhodým odečteím jistých ásobků s, kdežto Gosperův lgoritmus tuto kosttu lezl výpočtem ( s ). 4

5.4 Ukázky gosperovsky esčíttelých řd Následující příkldy jsou ukázkmi, že Gosperův lgoritmus elze použít pro všechy kovergetí číselé řdy. Pozáme, že v jistých místech lgoritmus kočí s výsledkem, že zdou sumu elze vyčíslit. Tto míst jsou tři: Může stt situce, že podíl eí rcioálí fukcí v proměé. Může se stát, že soustv lieárích rovic s eurčitými koeficiety c i, kde i N, emá řešeí. Může stt přípd, že k <. (Příkld 5.4.) Stovme součet. Užijeme srovávcí kritérium. = + Víme, že řd koverguje. Zjistíme, zd pro skoro všech přirozeá pltí: = +. Tto erovost pltí dokoce pro kždé přirozeé, tudíž řd koverguje. = + Dále vypočteme: = = + + ( ) + +. Ozčme p( ) : =, q( ) : = +, r( ) : = +. Opět je zpotřebí ověřit, zd j N : D ( q ( ), r ( + j )) =. Proto vypočteme: res q r + j = res + + j + j + = = ( ( ), ( )) (, ) j j + j j + 4

= = j + j = j + 4 j + 4 j 4 = j + j j j + j + j j j + = + + + + = + + + ( j 4 j )( j ) 8( j ) ( j ) ( j j 5) Položme, dle Sylvesterov kritéri, teto determit rove ule, tj. řešme rovici ( j ) ( j j 5) + + + =. Zjišťujeme, že jediým kořeem je j =. A proto můžeme kosttovt, že jsme lezli regulárí reprezetci podílu, kde p( ) =, q( ) = +, r( ) = +. Nyí se pokusíme lézt stupeň polyomu f ( ), proto vypočteme: l = st q + + r = st + + + = st + = p m ( ( ) ( )) ( ) ( ) l = st q + r = st + = st = ( ( ) ( )) ( ) () Zjišťujeme, že stl přípd (), tj. l p k : > l m, vypočteme pomocé číslo k l p coef ( q( ), l p ) coef ( q( ), l p ) + coef ( r( ), l p ) ( ) + = = = coef ( q( ), l ) p Nstl přípd ( ), tj. k Z, vypočteme k = mx( k, st( p( )) l p + ) = mx(, + ) =. Polyom f ( ) je tedy ultého stupě, tj. ve tvru f ( ) = c. Podle věty 5.. má polyom f ( ) splňovt podmíku p( ) = q( + ) f ( ) r( ) f ( ), což v šem přípdě zmeá řešit rovici = ( + ) c ( + ) c, která bohužel emá žádé řešeí. A proto elze stovit součet pomocí Gosperov lgoritmu, eboli řd eí gosperovsky sčíttelá. = + = + 4

(Příkld 5.4.) Tké je zjímvé vyzkoušet, zd si Gosperův lgoritmus pordí s lterující řdou. Stovme součet = ( ) +. Úvodem zjistíme, zd tto řd koverguje pomocí Leibitzov kritéri, tz., zd jsou splěy dvě ásledující podmíky: () lim = () N : > + Ozčme : =. Ověříme podmíku () : lim =. A dále pk podmíku () : > N, což je zřejmé. Následě řešíme erovost, po úprvě + obdržíme podmík () je splě zdá řd tedy koverguje. Regulárí reprezetce podílu je zřejmě ve tvru + = = ( ) + ( ). Položme p( ) : =, q : = ( + ), r( ) : =. Ověřme, zd tyto polyomy bude uto předefiovt: res( q( ), r( + j)) = res( +, + j ) = = ( j ) 6 = 4 j 4 j Rovice 4 j 4 = má jediý koře j =, tudíž polyomy p, q, r tvoří regulárí reprezetci podílu f :. Dále se pokusíme určit stupeň polyomu ( ) l = st( q( + ) + r( )) = st( + + ) = st() = p l = st( q( + ) r( )) = st( + + ) = st( 4 + ) = + m Zjišťujeme, že l p l proto vypočteme k = st( p( )) l = st() = =. m m Nlezli jsme záporé číslo k proto posloupost { s } = zdá řd eí gosperovsky sčíttelá. eí hypergeometrická tudíž 4

(Příkld 5.4.) Chceme stovit součet!. Pokusme se vypočítt podíl =.! ( ) ( )! ( ) = = = ( )! ( )( )! Algoritmus ihed kočí, výrz eí rcioálí fukcí. (Příkld 5.4.4) Chceme stovit součet. Ověřme kovergeci řdy. =! ( + )! ( + )! ( + ) = = = = < s R + lim lim lim lim 4 ( )! ( )! + + + Poté vypočteme: ( )! ( )! = = =! ( ) ( )! ( ) ( ). Ozčme p( ) : =, q( ) : =, r( ) : = ( ) = +. Dále vypočteme: r( + j) = ( + j) ( + j) + ( + j) = + j + j 6j j + + j = = + ( j ) + ( j 6 j + ) + j j + j Ověříme, zd j N : D ( q ( ), r ( + j )) = : res q r + j = res + j + j j + + j j + j = ( ( ), ( )) (, ( ) ( 6 ) ) = j j j + j j + j 6 j j j + j j + j 6 Zde je výhodé přejít k determitu trspoové mtice: 44

j j 6 j + j j j + j j 6 j + j j + j j 6 = j j + j j j + j j 6 j + j j + j j 6 j + j = j j + j j 6 j + = ( j j + j ) j j + j = = Položme determit rove ule, tj. řešme rovici ( j j j ) + =. Zjišťujeme, že rovice má jediý koře j = proto předefiujme polyomy p, q, r. g( ) : = D( q( ), r( + j*)) = D( q( ), r( + )) = D(, ) = j* k = k = p( ) : = p( ) g( k) = p( ) g( k) = p( ) g( ) = q( ) q( ) : = = = g( ) r( ) r( ) ( ) r( ) : = = = = g( j*) g( ) ( ) Je zřejmé, že j N : D ( q ( ), r ( + j )) = proto můžeme kosttovt, že jsme lezli regulárí reprezetci podílu, kde p( ) =, q( ) =, r( ) =. Dále se pokusme určit stupeň polyomu f ( ) : l = st( q( + ) + r( )) = st( + ) = st( ) = p l = st( q( + ) r( )) = st( + ) = st( + ) = m Zjišťujeme, že stl přípd (), tj. l p l m, vyčíslíme k = st p l = st = =. ( ( )) m ( ) 45

Budeme tedy hledt polyom prvího stupě, tj. polyom, který je možo zpst ve tvru f ( ) = c + c. Te musí splňovt podmíku p( ) = q( + ) f ( ) r( ) f ( ), tj. v šem přípdě bude ( c c ) ( ) [ c ( ) c ] = + +, což po rozásobeí lze zpst ve tvru = c + ( c c ) c + c. Zjistíme zstoupeí ezáporých moci u ezámé, eboli získáme soustvu rovic: : = c : c c : c c = = + Tto soustv bohužel emá řešeí proto Gosperův lgoritmus zde kočí. Řd gosperovsky sčíttelá. eí =! V ásledující podkpitole 5.5 se pokusme sestrojit schém tohoto lgoritmu, bychom v závěrečé podkpitole 5.6 mohli porovávt výsledky s tímto schémtem i s výsledky, které jsme získli v podkpitolách 5. 5.4. 46