2. Záladní pojmy a definice K popisu náhodných dějů (random events) nelze použít běžné matematicé prostředy (common mathematical means). Přesto vša lze náhodu vantifiovat. Souvisejícími otázami se zabývají dvě matematicé disciplíny (disciplines): teorie pravděpodobnosti (probability theory) a matematicá statistia (mathematical statistics). Teorie pravděpodobnosti řeší problém, dy určitý jev může mít řadu následů (consequences). Náhoda (accident) určuje, terý z těchto následů nastane. Matematicá statistia řeší problém opačný (opposite), dy se danému jevu určují možné příčiny (causes) a hledá se ta nejvěrohodnější (the most liely) z nich. Obě tyto disciplíny jsou založeny na dobře propracovaných matematicých teoriích (analýza, lineární algebra (linear algebra), teorie množin, teorie míry (measure theory) atd.). Přestože tyto teorie nepřinášejí v tomto případě (až na výjimy) nové postupy, dávají již známým metodám novou interpretaci (interpretation). Náplní tohoto urzu je apliace teorie pravděpodobnosti v určité oblasti projetové činnosti (design activity), de je nutno respetovat vlivy různých nejistot. Nejistota se vysytuje (occurs) ve třech záladních podobách (in three basic ways). Nastává jedna tehdy, měříme-li nějaou veličinu, nebo předpovídáme-li další závislosti z měřených dat (measured data). Chyby (errors) měření (nejistoty) se ovšem často neberou v úvahu. Další nejistota spočívá v tom, že jistá událost může či nemusí nastat, nebo nevíme, dy nastane. Jao přílad lze uvést dobu, za niž dojde výpadu transformátoru (outage of a transformer) v rozvodně. Konečně třetí nejistota je spojena s nedoonalostí často značně zjednodušených modelů, teré užíváme řešení většiny složitých technicých problémů. A nyní již přiročme e lasicé definici (classical definition) pravděpodobnosti (pochází od Laplacea (by Laplace)). Def. 02.0: Může-li vyázat určitý jev N (N onečné) různých, vzájemně se vylučujících (mutually exclusive) výsledů, teré jsou stejně možné (ať už na záladě symetrie, homogenity apod.), a má-li M těchto výsledů nevyhnutelně (inevitably) za následe realizaci jevu A, přičemž zbylých N - M výsledů tuto realizaci vylučuje, pa pravděpodobnost P, že nastane jev A, je dána vztahem (given by relation) M P( A) =. (02.0) N Tuto definici lze ovšem využít jen v omezeném množství (limited amount) případů. Nelze ji napřílad využít tehdy, jestliže: - všech možností je neonečně mnoho (N ), - výsledy nejsou "stejně" možné (pa je nutno definovat, co znamená, že nejsou "stejně" možné, a s definicí se dostáváme do uzavřeného ruhu). Z těchto důvodů nelze lasicou definici pravděpodobnosti poládat za definici matematicou. Lze ji vša v mnoha případech použít jaožto algoritmus výpočtu. V taovém případě se hodnoty N a M často určují na záladě známých ombinatoricých vzorců (combinatorial formulas), jež následují. Uspořádaný výběr (ordered selection) (variace) bez opaování (repetition): je dána supina n prvů {a,,a n }. Ze supiny se vybírá -rát po sobě po jednom prvu, a vybraný prve se už nevrací. Počet všech různých -tic, teré lze tato utvořit je n (n - ) (n - + ). Je-li = n, jedná se o permutaci (permutation): počet všech taových n-tic je n! Uspořádaný výběr (variace) s opaováním: je dána supina n prvů {a,,a n }. Ze supiny se vybírá -rát po sobě po jednom prvu, a vybraný prve se vždy před novým výběrem vrátí. Počet všech různých -tic, teré lze tato utvořit je n. - -
Neuspořádaný výběr bez opaování (ombinace (combination)): je dána supina n prvů {a,,a n }. Počet různých podsupin po prvcích, teré lze z této supiny vybrat, je roven n. Neuspořádaný výběr s opaováním: je dána supina n prvů {a,,a n }. Ze supiny se postupně vybere -rát po jednom prvu, terý se poté vrátí. Počet různých podsupin po n+ prvcích, teré lze tato ze supiny vybrat, je roven. Pousme se nyní vybudovat matematicý model pravděpodobnosti. Mějme N vzájemně se vylučujících výsledů (N onečné či neonečné). Označme Ω množinu všech těchto výsledů. Každý prve této množiny (označme jej ω i, i =,,N) nyní představuje jaýsi nejjednodušší jev (nazýváme jej elementárním jevem). Tyto elementární jevy nemusí být stejně možné (snadno pochopíme, představíme-li si nesymetricou ostu (unsymmetrical cube) na házení o různé veliosti stěn). Tahám artu z mariášové hry (marriage card dec). Jev, že vytáhnu žaludsé eso (club ace), je elementární. Jev, že vytáhnu jaéoli eso, již elementární není (mohu vytáhnout žaludsé, zelené (spade), ulové (diamond) či červené (heart) eso) a sestává ze čtyř elementárních jevů. Množina Ω může mít disrétní nebo spojitý (continuous) charater. V disrétní množině je aždý jev disrétní entitou (discrete entity), přičemž počet vzorů (number of samples) může být onečný či neonečný (finite or infinite). Příladem onečné disrétní množiny je množina výsledů zísaných při hodu ostou (dice rolling), příladem neonečné disrétní množiny může být množina přirozených čísel (set of the natural numbers). Ve spojité množině je vždy neonečný počet jevů (např. směr větru (wind direction), jenž se mění spojitě). Každý jev A (ať už elementární, či nioli), jehož pravděpodobnost chceme stanovit, lze pa vyjádřit jaožto podmnožinu množiny Ω. Označme δ systém všech podmnožin množiny Ω. Pravděpodobnost P bude pro nás nyní funce, terá jevům A δ přiřazuje reálná čísla P(A) ta, že P( A) 0,, P( Ω ) =, P Ai = P( Ai), (02.02) přičemž poslední rovnost nastává tehdy, jsou-li { i} i A = různé, navzájem disjuntní prvy (disjunct elements) z δ. Nyní již tedy můžeme axiomaticy definovat pravděpodobnostní model. Def. 02.02: Pravděpodobnostním modelem nazýváme trojici (Ω, δ, P), de - Ω je množina všech různých, vzájemně se vylučujících výsledů (elementárních jevů ω i, i =,,N), - δ je taový systém podmnožin (subsets) množiny Ω (jevů), pro nějž platí Ω δ, A δ Ω A δ, A,..., A δ A δ, (02.03) - funce P z δ 0,, terou nazýváme pravděpodobnostní mírou, či rátce pravděpodobností, má vlastnosti (properties) P( Ω) =, P( Ω A) = P( A) = P( A), P Ai = P( Ai), (02.04) přičemž poslední rovnost nastává tehdy, jsou-li { i} i i A = různé, navzájem disjuntní prvy z δ. A je doplňový jev (complementary event) A vzhledem Ω. - 2 -
K předchozí definici ještě dvě poznámy (remars). Každý systém δ, terý splňuje podmíny (02.03), nazýváme σ-algebrou (systém δ přitom vůbec nemusí obsahovat všechny podmnožiny množiny Ω, ale jen něteré). Rovnice (02.04) může splňovat celá řada funcí, avša jen jedna z nich odpovídá dané realitě (corresponds to the given reality). Z předchozí definice oamžitě plynou tyto důsledy: platí-li pro dva jevy AB, δ relace A B, pa P ( A ) PB ( ), platí-li pro dva jevy AB, δ relace A B, pa PB ( A) = PB ( ) P( A), pro libovolné dva jevy AB, δ platí P( A B) = P( A) + PB ( ) P( A B) Dále lze využít obecnější de Morganovy formule ve tvaru ( ) ( ). (02.05) A A2... An = A A2... An, A A2... An = A A2... An (02.06) a vztah n n n P Ai = P( Ai) P( Ai Aj) +... + ( ) P( A... An). (02.07) Abychom mohli počítat pravděpodobnosti výsytu různých jevů, musíme ještě umět určovat pravděpodobnost elementárních jevů. Tuto pravděpodobnost lze určovat buď subjetivně (subjectively) (intuice (intuition), předchozí zušenosti), nebo prováděním experimentů (by performing experiments). Nejintuitivnější způsob přiřazování pravděpodobnosti určitým jevům je prostřednictvím relativní četnosti (relative frequency). Představme si, že testujeme N vzorů, z nichž M vyhovuje našim požadavům (jev A). Pa poměr M/N určuje relativní četnost jevu A. Pro N rostoucí do neonečna pa lze tuto relativní četnost nazvat pravděpodobností P(A). Tedy M P( A) = lim. (02.08) N N Tento způsob určování pravděpodobnosti se jeví jao přijatelný (zejména poud se nejedná o destrutivní zoušy (destructive tests)) a úzce souvisí s její lasicou definicí. Problémem bývá sutečnost, že něteré jevy se vysytují extrémně zřída (extremely rarely). Zde se velmi obtížně hovoří o relativní četnosti (nelze o nich dost dobře ani uvažovat). Přesto vša se souvisejícími nejistotami musíme počítat. Uvažujme napřílad problém, terý musí řešit projetant ochran (protection device designer), terý potřebuje odhadnout pravděpodobnost, že vypínač nesepne, dyž má. Ačoli se jedná o velmi řídý jev, občas se přihodí. Pa lze vzít v úvahu subjetivní pravděpodobnost, terou je jeho víra (belief), že jevu může dojít. Další alternativou, ja definovat pravděpodobnost, je nezáporná míra (non-negative measure) spojená s libovolným jevem, terá má určité vlastnosti a splňuje určitá pravidla (certain rules). To vša již patří do sofistiovanější (more sophisticated) matematicé teorie. Přílad 2. Část bezpečnostního systému (safety system) jaderné eletrárny sestává ze čtyř dieselagregátů (diesel generator) pro dodávu energie pro dvě vodní čerpadla (water pumps) v případě nouze (emergency). Ve sutečnosti vša pracují vždy jen dva dieselagregáty. Nechť i označuje počet pošozených (damaged) agregátů a j počet pošozených čerpadel. Množina Ω { Aij : i = 0234,,,, ; j = 02,, } pa obsahuje i j elementárních jevů, de A ij označuje jev současné poruchy i agregátů a j čerpadel. Nyní lze specifiovat dílčí jevy: A, A, A, A, A, A, - nejvýše jeden agregát je v provozu: { 30 3 32 40 4 42} - právě jedno čerpadlo je v provozu: { A, A, A, A, A }, 0 2 3 4-3 -
- počet porouchaných částí je menší než 3: {,,,,, } A A A A A A. 00 0 0 20 02 Přílad 2.2 Při plánování přenosových tras se využívá záznamů o počasí (weather records), teré obsahují rychlost větru a jeho směr v oblasti, de bude trasa vybudována. Trasa bude zbudována ze severozápadu (north-west) na jihovýchod (south-east). Vítr může vát (blow) z východu až ze severu (0-90 ) a jeho rychlost se mění od 0-90 m/hod. Návrhář potřebuje znát následující pravděpodobnosti: - že rychlost větru bude vyšší než 70 m/hod, - že směr větru (wind direction) se bude pohybovat v intervalu -5 až 5 od olmice (perpendicular line) vedení. V tomto případě se jedná o dva jevy a příslušný prostor (sample space) bude sestávat ze všech možných dvojic (pairs) směrů větru a jeho rychlosti. Nás vša zajímají tyto jevy jednotlivě. Poud je pravděpodobnost všech směrů a všech rychlostí stejná, je pravděpodobnost, že rychlost větru bude vyšší než 70 m/hod (90-70)/90 = 2/9 a pravděpodobnost, že vítr bude fouat z daného směru 0/90 = /9 (uvažujeme desetistupňovou oblast, přičemž celový rozsah (total range) je 90, viz obr. 2.). N E 0 70 90 m/hod RYCHLOST VĚTRU PŘENOSOVÁ TRASA 90 0 SMĚR VĚTRU Obr. 2.: K příladu 2.2 Přílad 2.3 Stova dřevěných stožárů (wood poles) byla podrobena destrutivním testům, aby se zjistil jejich modul v lomu (modulus of rupture). Výsledy jsou v tabulce: jev modul v lomu počet pozorování četnost A 2.0-2.9 7 0.07 A 2 3.0-3.9 35 0.35 A 3 4.0-4.9 43 0.43 A 4 5.0-5.9 5 0.5 Poud by bylo dispozici více vzorů, mohlo by být jevů více (i s modulem nižším než 2.0 či vyšším než 6). Nyní vša můžeme usoudit, že jejich počet by zřejmě nebyl příliš velý. Pravděpodobnost, že modul nebude menší než 4 nyní odhadneme na (43 + 5)/00 = 0.58 (ve sutečnosti (in fact) se jedná o četnost pro případ 00 vzorů). Přílad 2.4 Uvažujme eletrárnu sestávající ze čtyř parních jednote (steam units). Množina Ω sestává z počtu porouchaných (damaged) jednote. Tedy - 4 -
{ 0234,,,, } Ω =. Jestliže A je jev, dy alespoň jedna jednota pracuje (elementární jevy {0,,2,3}), a A 2 je jev, A A 023,,,, A A 0,. dy alespoň 3 jednoty pracují (jevy {0,}), je { } { } 2 2 Přílad 2.5 Testy napěťové odolnosti (voltage endurance) izolátorů (0 usů v rabici) byly prováděny tímto způsobem, že z aždé rabice byly vyzoušeny dva náhodně vybrané izolátory (randomly taen insulators). Poud byly oba dobré, rabice byla přijata (accepted). Je třeba nalézt pravděpodobnost, že rabice bude přijata, obsahuje-li ( = 0,,8) vadných (substandard) izolátorů. Množina Ω obsahuje všechny dvojice izolátorů v rabici. Těchto dvojic (neuspořádaný výběr bez opaování - ombinace) je 0 = 45. V rabici po úspěšné ontrole může ovšem 2 zůstat špatných izolátorů (failed insulators). Počet dobrých izolátorů v rabici je pa 0 -, a počet dobrých dvojic je (0 - ) (9 - )/2. Ostatní jsou nepříznivé (unfavourable). V dalším je uvedena příslušná tabula (table). = 0 2 3 4 5 6 7 8 počet dobrých dvojic 45 36 28 2 5 0 6 3 počet špatných dvojic 0 9 7 24 30 35 39 42 44 pravděpodobnost 0.8 0.622 0.467 0.333 0.222 0.33 0.066 0.022 Ta napřílad u rabice, v níž jsou 2 špatné izolátory, je pravděpodobnost jejího přijetí 0.622 (je příliš vysoá, a proto tuto metodu nelze poládat za přijatelnou). Přílad 2.6 Předpoládejme, že generátor může selhat buď v důsledu poruchy na svorách (fault at the terminals), nebo v důsledu poruchy v obvodu buzení (excitation circuit). Nechť A a B označují tyto poruchové jevy. Předpoládejme, že P(A) = p, P(B) = q a pravděpodobnost, že oba jevy nastanou současně P(Α Β) = r. Je třeba určit: - jev, že generátor selže výlučně (exclusively) v důsledu poruchy na svorách je =, odud ( ) ( ) ( ) E A B P A B = P A P A B = p r, - jev, že generátor vůbec neselže (will not fail) v důsledu žádné poruchy, je F = A B= ( A B), a protože P( A B) = P( A B) = PA ( ) PB ( ) + PA ( B) = p q+ r, - jev, že generátor selže v důsledu právě jedné poruchy (exactly one fault): G = ( A B) ( A B) a P( G) = P( A B) + P( A B) P( A B A B) = q r+ p r = p+ q 2r. Podmíněná pravděpodobnost (conditional probability) a nezávislost jevů Často nás zajímá odhad pravděpodobnosti jevu současně se znalostí, zda mohl nastat (occur) ještě i jiný jev (nebo nemohl nastat). Chceme napřílad odhadnout pravděpodobnost, že systém zůstane stabilní (stable) za předpoladu, že na onrétním vedení vznine trojfázový zrat (three-phase fault). Tato pravděpodobnost bude jistě jiná, poud by tento zrat byl jednofázový (one-phase fault). - 5 -
Def. 02.03: Nechť A a A 2 jsou dva jevy z množiny Ω a nechť P(A 2 ) > 0. Podmíněnou pravděpodobnost, že nastane A (nastal-li již jev A 2 ), označujeme P(A A 2 ) a tato pravděpodobnost znamená, že se realizuje jev A, terý patří do A 2. To znamená, že pravděpodobnost jevu A vztahujeme na (relate to) pravděpodobnost A 2. Je tedy P( A A2) P( A A2) =, P( A2 ) taže P( A A2) = P( A A2) P( A2). (02.09) Následující vlastnosti podmíněných pravděpodobností lze snadno odvodit z definice (may easily be derived from the definition). P A B,, (02.0) ( ) 0 ( ) B A P A B =. (02.) Def. 02.04: Úplným souborem (complete set) jevů nazýváme onečnou množinu B,..., B δ taovou, že platí { } n Bi Bj = pro i j, P( Bi) > 0 pro i, n n P Bi = P( Bi) =. (02.2) Nyní již lze vyslovit větu: Věta 02.0 (o úplné pravděpodobnosti): Nechť { B,..., Bn} δ je úplný soubor jevů. Nechť A δ je libovolný jev. Pa n P( A) = P( A Bi) P( Bi). (02.3) Věta 02.02 (Bayesova): Nechť { } jev. Pa pro =,,n platí ( A) P B B,..., B δ je úplný soubor jevů, A δ je libovolný n ( ) P( B) P( A) P A B =, (02.4) de P(A) je dáno vztahem (02.3). Vsutu (indeed), P( B A) P( A) = P( A B) P( B) = P( A B). Def. 02.05: O jevech A a A 2 říáme, že jsou nezávislé (independent), jestliže P( A A2) = P( A) P( A2). (02.5) Jevy jsou nezávislé, jestliže výsyt jednoho nemá vliv na výsyt (occurrence) druhého. Z předchozích vztahů lze odvodit, že P( A... An) = P( A) P( A2 A) P( A3 A A2)... P( An A A2... An ) (02.6) a poud jsou jevy nezávislé, platí P( A... An) = P( A) P( A2) P( A3)... P( An). (02.7) Pozor, jsou-li jevy A a B na sobě nezávislé, nemohou být disjuntní a naopa. Přílad 2.7 Uvažujme 50 m dlouhé venovní vedení, teré prochází homogenním terénem (uniform terrain). Porucha může vzninout v jeho libovolném bodě (at any point). Porucha, terá vznine blízo onců vedení, má ovšem daleo závažnější (more severe) důsledy, než porucha ve střední oblasti (middle section). Definujme dva následující jevy: A - porucha nastane do 40 m od once (nebezpečná) a B - porucha nastane ve střední části o délce 90 m (méně nebezpečná (less dangerous), na aždé straně nastává 0 m přesah). Je zřejmé, že P(A) = - 6 -
80/50, P(B) = 90/50. Předpoládejme nyní, že nastal jev B a určeme pravděpodobnost, že nastal současně v uvedeném 0 m přesahu. Chceme tedy zjistit podmíněnou pravděpodobnost P( A B) 20 50 2 P( A B) = = =. P B 90 50 9 ( ) Přílad 2.8 Předpoládejme, že pravděpodobnost poruchy přenosové trasy mezi dobami (times) t a t 2 je dána funcí t2 0. 00t F( t, t2) = 0. 00 e dt. t Je třeba určit - pravděpodobnost, že poruše nedojde prvních tisíc hodin: rovná se - F(0,000) = 0 000. 00t - e = + e - - = /e. 0 - pravděpodobnost, že nedojde poruše mezi 000 a 3000 hodinou provozu (operation), nenastala-li porucha během prvních 000 hodin: jedná se o podmíněnou pravděpodobnost, přičemž označíme A jev, dy nedošlo poruše během prvních 000 hodin a B jev, dy nedojde poruše ani v dalších 2000 hodinách. Jev Α Β pa označuje, že poruše nedošlo během prvních 3000 hodin. Pa 0. 00t 3000 ( ) e 3 P B A + 0 e 2 P( B A ) = = = = e. 000 P( A) 0. 00t + e e 0 Přílad 2.9 U daného typu izolátoru se může objevit výrobní vada (production fault) s pravděpodobností p = 0.0. Dostane-li se taový izolátor do provozu, je pravděpodobnost, že během záruční doby (period of guarantee) dojde jeho poruše q 2 = 0.08, zatímco u zdravých výrobů je tato pravděpodobnost q = 0.005. Je třeba určit pravděpodobnost, že izolátor, jenž se během záruční doby porouchá, měl uvedenou výrobní vadu. Označme B izolátory bez vady a B 2 izolátory s vadou. Dále označíme A izolátory, teré se pošodí během záruční doby. Podle Bayesovy věty platí: P( A B2) P( B2) q2 p P( B2 A) = = = P( A B) P( B) + P( A B2) P( B2) q ( p) + q2 p 0. 08 0. 0 0. 0008 = = = 0. 39. 0. 005 0. 99 + 0. 08 0. 0 0. 00575 Přílad 2.0 Operátor řízení systému (system control operator) odhaduje, že denně v něm může dojít až pěti poruchám, a to při těchto pravděpodobnostech: - žádná porucha - P = 0.489 (jev B ), - jedna porucha - P = 0.7 (jev B 2 ), - dvě poruchy - P = 0. (jev B 3 ), - tři poruchy - P = 0.05 (jev B 4 ), - čtyři poruchy - P = 0.00 (jev B 5 ), - pět poruch - P = 0.000 (jev B 6 ). Přitom se odhaduje, že s 50% pravděpodobností bude porucha trvat dlouho, tzn. že příslušná část systému se bude muset opravit (repair). Je třeba nalézt pravděpodobnost, že během dne nastanou nejvýše dvě poruchy trvalejšího charateru (of permanent character). - 7 -
Označme B až B 6 příslušné navzájem se vylučující jevy množství poruch a A je jev, dy jsou nejvýš (no more than) dvě poruchy trvalého charateru. Podle věty o úplné pravděpodobnosti lze psát 6 ( ) = ( i) ( i) P A P A B P B a nyní nezbývá než určit jednotlivé hodnoty P(A B i ). Platí: P(A B ) = (nedojde-li poruše, nemůže mít žádná z nich trvalý charater), P(A B 2 ) = (dojde-li jen jedné poruše, nemohou mít více než dvě trvalý charater), P(A B 3 ) = (dojde-li e dvěma poruchám, rovněž nemohou mít více než dvě trvalý charater), P(A B 4 ) již musíme spočítat. Dochází zde e třem poruchám. Z toho 3 poruch mohou být 0 3 rátodobé, v případě poruch může být trvalá, v případě 3 poruch dvě 2 3 trvalé a v případě poruch tři trvalé (zde už jsme mimo hru). Odtud 3 3 3 3 + + 0 2 7 P( A B4 ) = =. 3 3 3 3 8 + + + 0 2 3 4 4 4 + + 0 2 Podobně P( A B5 ) = = 4 4 4 4 4 6 + + + + 0 2 3 4 a 5 5 5 + + 0 2 6 P( A B6 ) = = =. 5 5 5 5 5 5 32 2 + + + + + 0 2 3 4 5 Po dosazení do (after substituting into) vztahu pro P(A) vychází: P(A) = 0.489 + 0.7 + 0. + 7/8 0.05 + /6 0.00 + /2 0.000 = 0.9934. Přílad 2. Má se rozhodnout, jaý typ spojení (communication lin) má být zřízen mezi rozvodnou a řídicím středisem (control centre). Možnosti jsou následující: a) využití stávající telefonní liny (telephone line) pro přenos řídicích signálů (control signals) (jev B ), b) vybudování liny na bázi optoabelu (fibre optic lin) (jev B 2 ), c) využití mirovlnného přenosu (microwave transmission) (jev B 3 ). S ohledem na spolehlivost a cenu mají alternativy a), b) a c) šance přijetí :2:3. Svou roli ovšem hraje i čas. Rozhodneme-li se pro alternativu a) bude připravena včas na 00%. Alternativa b) pouze na 75% a c) na 80%. Nyní je třeba zodpovědět tyto otázy: - jaá je pravděpodobnost, že spojení bude hotovo včas? - bude-li spojení hotovo včas, jaá je pravděpodobnost, že to bude telefonní lina? - 8 -
- poud nebude zvolena telefonní lina, jaá je pravděpodobnost, že se zvolí mirovlnný systém? Je zřejmé, že s ohledem na spolehlivost a cenu je pravděpodobnost pořízení alternativy a) P(B ) = /6, b) P(B 2 ) = 2/6 = /3 a c) P(B 3 ) = 3/6 = /2. Jev, že spojení bude zajištěno včas, označme A a jeho pravděpodobnost můžeme určit z věty o úplné pravděpodobnosti 3 3 4 P( A) = P( A Bi) P( Bi) = + + = 0. 867. 6 4 3 5 2 Pravděpodobnost, že se spojení realizuje prostřednictvím telefonní liny, spočteme z Bayesovy věty (the Bayes Theorem) P( A B) P( B) P( B A) = = 6 = 0. 204. P( A) 0. 867 Nebude-li zvolena telefonní lina a šance na výběr mezi opticým abelem a mirovlnným zařízením zůstane 2:3, pa pravděpodobnost, že bude vybráno mirovlnné zařízení, je 3 = 06. 2+ 3 (v tomto případě jsme ovšem nehleděli na časový fator (time factor)). Přílad 2.2 Byl objednán (ordered) soubor nových distančních ochran (distance protections). Existují tři dodavatelé (suppliers) X, Y a Z. Testy těchto ochran, týající se jejich nastavení (setting), uázaly, že: nastavení ochran od dodavatelů X a Y je s 5% pravděpodobností mimo povolené rozmezí (allowable range), u relé od dodavatele Z s 0% pravděpodobností. Dodávy o stejném množství ochran (n > 3) od dvou z těchto dodavatelů putovaly do oblasti, v níž 4 z nich byly instalovány na trasu. Během jejich provozu se přišlo na to, že právě jedna ochrana byla špatně nastavena. Je třeba určit pravděpodobnost, že jedním z dodavatelů je právě Z. Označme jev B, že dodáva (delivery, shipment) byla realizována firmami X a Y a B 2 že byla realizována (realised) firmami X a Z nebo Y a Z. Pa P(B ) = /3 a P(B 2 ) = 2/3. Označme jev, dy právě jedno relé ze 4 je nastaveno špatně, jao A. Pravděpodobnost, že právě jedno špatné relé je od firem X a Y je (z binomicého rozvoje) 4 0.05 95 3 = 0.75, je-li od firem X a Z nebo Y a Z, je střední pravděpodobnost, že relé je špatně nastaveno, 7.5% a pravděpodobnost, že od těchto firem pochází je pa 4 0.075 925 3 = 0.2374. Podle věty o úplné pravděpodobnosti je 2 2 P( A) = P( A Bi) P( Bi) = 0. 75 + 0. 2374 = 0. 254 3 3 a podle Bayesovy věty 2 P( A B2) P( B2) 0. 2374 P( B2 A) = = 3 = 0. 7347. P A 0. 254 ( ) Přílad 2.3 Z důvodů vysoých náladů (high costs, large expenditures) se ontroluje napájecí abel (feeding cable) pro silnoproudý rozvod. Jeden z hlavních parametrů ovlivňujících zatížitelnost abelu (cable ampacity) je tepelná vodivost půdy (soil thermal resistivity). Z literatury - 9 -
se zjistilo, že materiál, jímž se abel zasypává (bacfill material), má vyšší tepelnou vodivost, než se předpoládá v návrhu. Poud je tomu ta, zatížitelnost abelu může vzrůst a poládu silnějšího (a taé dražšího) abelu lze odložit (postpone), což může přinést výrazné úspory (significant savings). Pravděpodobnost, že materiál má vyšší tepelnou vodivost, je 0.7 (a nižší 0.3). Ovšem naopa (on the contrary), je-li tato hodnota nižší, než se předpoládá, měl by se abel nahradit (the cable should be replaced). Proto bylo rozhodnuto zajímat se o to, na čem závisí tepelná vodivost půdy. Uazuje se, že hlavně na vlhosti (moisture) a ompatnosti (compactness). I dyž měření se plánují v nejsušším (the driest) měsíci, lze usuzovat, že parametry půdy budou ovlivněny výběrem vzorů, dopravou (transport) a měřením. Je-li sutečná tepelná vodivost půdy nízá, je z 80% nízá i změřená vodivost (a vysoá 20%). Na druhé straně, poud je sutečná vodivost vysoá, potvrdí ji testy v 70% (a ve 30% nepotvrdí). Předpoládejme, že výsledy testů naznačily nízou tepelnou vodivost. Má se nalézt pravděpodobnost toho, že tato vodivost je sutečně nízá. Označme B jev, dy je sutečná tepelná vodivost nízá a B 2 jev, dy je vysoá. Nechť A je jev, že změřená vodivost je nízá. Tedy P(A B ) = 0.8, P(A B 2 ) = 0.3, P(B ) = 0.3, P(B 2 ) = 0.7. Pa P(A) = 0.8 0.3 + 0.3 0.7 = 0.45. Podle Bayesovy věty P( A B) P( B) 08. 03. P( B A) = = = 0. 533. P( A) 045. Poněvadž projetant vidí, že pravděpodobnost, že vodivost je nižší, se zvýšila (taé zřejmě díy atmosféricým podmínám (atmospheric conditions) v době testu), provede další test, přičemž vyšly stejné hodnoty P(A B ) = 0.8, P(A B 2 ) = 0.3. Nyní vša už uvažuje P(B ) = 0.533, P(B 2 ) = 0.467. Po opaovaném výpočtu zjistí, že P( A B) P( B) P' ( B A) = = 0. 7527. P A Přílad 2.4 Plánuje se výstavba (building) eletrárny se třemi jednotami. Časový horizont (horizon) je 0 let. Vzhledem mnoha nejistotám, jež se mohou objevovat během schvalování (approval process), dodáve materiálu (shipment of material) a zařízení (equipment) může dojít různým posuvům doby zahájení provozu. Za 0 let tedy: - aždý generátor bude definitivně v provozu (jev A), - aždý generátor může být v provozu (in service) (jev B), - aždý z generátorů bude ještě mimo provoz (not in service) (jev C). Je třeba popsat všechny možné situace jednotlivých generátorů za 0 let a určit pravděpodobnost, že alespoň dva generátory budou definitivně za 0 let v provozu za předpoladu, že všechny stavy jsou přibližně stejně pravděpodobné. Označme A generátor po 0 letech v provozu, N generátor mimo provoz ( ) Gen. Gen. 2 Gen. 3 A A A A N A A A N A N N N A A N A N N N A N N N - 0 -
Počet různých ombinací stavů n = 8. Počet ombinací m, de se objevují alespoň 2 stavy typu A, je 4. Hledaná pravděpodobnost je tedy 4 P = = 05.. 8 Přílad 2.5 Na venovním vedení dojde jedné poruše za ro s 30% pravděpodobností a e dvěma poruchám s 0% pravděpodobností. Pravděpodobnost, že dojde více poruchám, je zanedbatelná. Dojde-li poruše, je pravděpodobnost 0.2, že bude trvalého (permanent) charateru (znovuzapnutí (re-switching on) tuto poruchu neodstraní (remove)). Výpady jsou na sobě nezávislé. Je třeba určit - jaá je pravděpodobnost, že během rou nenastane žádná trvalá porucha na vedení, - poud je zátěž napájena dvěma taovými vedeními (přičemž stačí jedno), jaá je pravděpodobnost, že dojde trvalému přerušení dodávy? Předpoládejme, že nastane-li na jednom vedení trvalejší porucha, na druhém vznine trvalejší porucha s pravděpodobností 0.5. Jev B (0 poruch za ro) - P(B ) = 0.6, jev B 2 ( porucha za ro) - P(B 2 ) = 0.3, jev B 3 (2 poruchy za ro) - P(B 3 ) = 0., jev A - během rou na vedení nenastane žádná trvalejší porucha. Podle věty o úplné pravděpodobnosti platí P( A) = P( A Bi) P( Bi) 3, přičemž P(A B ) = (nedojde-li vůbec poruše, nemůže být žádná trvalá), P(A B 2 ) = 0.8 (dojde-li poruše, není trvalá s pravděpodobností 0.8), P(A B 3 ) = 0.64 (dojde-li e dvěma poruchám, pravděpodobnost, že žádná z nich není trvalá, je 0.8 0.8 = 0.64). Pa P(A) = 0.6 + 0.8 0.3 + 0.64 0. = 0.904. Pravděpodobnost, že během rou dojde alespoň jedné dlouhodobé poruše na jednom vedení, je naopa rovna - P(A) = - 0.904 = 0.096. Poud máme dvě taová vedení, pravděpodobnost, že dojde dlouhodobé poruše na obou z nich je 0.096 0.096 = 0.00926. Pravděpodobnost, že nim dojde současně je 0.00926 0.5 = 0.004608. Přílad 2.6 Zátěž, terá je napájena ze dvou paralelně provozovaných transformátorů, může podléhat (subject) výrazným flutuacím (fluctuations). Transformátory jsou navrženy ta, aby aždý z nich byl schopen porýt (cover) celou zátěž po 90% doby, dy je druhý transformátor mimo provoz (out of operation). Pravděpodobnost poruchy aždého z transformátorů je 0.05 a pravděpodobnost, že se porouchají současně je 0.0. Je třeba stanovit celovou spolehlivost systému (pravděpodobnost dodávy). Pravděpodobnost, že oba transformátory pracují bez poruchy je p = 0.95 0.95 = 0.9025. Pravděpodobnost, že jeden z nich nebo oba jsou porouchané, je p 2 = p = 0.9025 = 0.0975, z toho je pravděpodobnost p 3 = 0.0, že se porouchají současně a p 4 = 0.0875 pravděpodobnost, že ne současně (ale zdravý vydrží jen 90% doby výpadu porouchaného). Dodáva se tedy udrží s pravděpodobností p + p 4 0.9 = 0.9825. Přílad 2.7 Analýza poruch na venovním vedení uazuje, že jednofázové zraty (one-phase faults) J jsou třirát častější než dvojfázové D a ty jsou čtyřirát častější než trojfázové T. Poměr - -
četností je tedy J:D:T = 2:4: a tedy P(J) = 2/7, P(D) = 4/7 a P(T) = /7. Jaá je pravděpodobnost, že vysytne-li se vícefázový zrat, že se jedná o zrat trojfázový? 7 P = = = 4 5 02.. + 7 7 Přílad 2.8 Doba potřebná pro opravu pošozeného vedení (restore of a damaged line) po alamitě (calamity) je 2 až 3 dny, přičemž pravděpodobnost, že oprava potrvá 2 dny je dvarát větší, než 3 dny. Počet poruch v systému po alamitě je taé různý a z pozorování plyne, že počet pošozených vedení počet pozorování relativní četnost 0 2 0.0 5 0.25 2 8 0.40 3 3 0.5 4 2 0.0 celem 20 Předpoládejme, že je dispozici jediná montážní četa (repair crew) a že doba opravy vedení (repair time) nezávisí na počtu poruch, teré na něm nastaly. Je třeba určit: - Jaá je pravděpodobnost, že ještě pět dní po alamitě něteré vedení nebude fungovat? - V jednom dni vznila dvě tornáda (tornadoes). Po ranním byla pošozena dvě vedení a začala se hned opravovat. Po večerním tornádu byla pošozena další lina. Jaá je pravděpodobnost, že vše bude opraveno do 7 dnů? Označme B jev, dy není pošozeno žádné vedení - P(B ) = 0., B 2 jev, dy je pošozeno jedno vedení - P(B 2 ) = 0.25, B 3 jev, dy jsou pošozena dvě vedení - P(B 3 ) = 0.4, B 4 jev, dy jsou pošozena tři vedení - P(B 4 ) = 0.5 a B 5 jev, dy jsou pošozena čtyři vedení - P(B 5 ) = 0.. Dále označme písmenem A jev, dy za 5 dní po alamitě nebude něteré vedení ještě fungovat. Pa: P( A B ) = 0 ( nebylo pošozeno ani jedno vedení), P( A B2 ) = 0 ( jedno vedení se opraví nejvýše do tří dnů), P( A B3 ) = = ( dvě vedení se opraví za více než 5 dní s pravděpodobností ), 3 3 9 9 P A B = ( tři vedení se opraví minimálně za 6 dní), ( 4 ) ( ) P A B = ( čtyři vedení se opraví minimálně za 8 dní). 5 Odtud (viz věta o úplné pravděpodobnosti) 5 P( A) = P( A Bi) P( Bi) = 0 0. + 0 0. 25 + 0. 4 + 0. 5 + 0. = 0. 2944. 9 Po prvním tornádu byla pošozena 2 vedení. Po druhém tornádu bylo pošozeno další vedení, ale toto vedení mohlo být už jednou pošozeno předcházejícím tornádem. Celově - 2 -
tedy mohla být pošozena 2 vedení (jev B ), nebo 3 vedení (jev B 2 ). Označme písmenem A jev, dy všechno bude opraveno do sedmi dnů. Pravděpodobnost, že byla pošozena 2 nebo 3 vedení (tedy jevů B a B 2 ) je 0.5 (po prvním tornádu jsou dvě vedení pošozená a dvě zdravá, a pravděpodobnost, že druhé tornádo zasáhne zdravou či pošozenou linu, je proto stejná). Pa: P A B = ( dvě vedení se opraví nejvýše za 6 dní), ( ) 3 2 2 2 P( A B2 ) = + 3 = 0 7407 oprava všech tří vedení zabere nejvýš 7 dní 3 3 3. ( ). Odtud (viz věta o úplné pravděpodobnosti) 2 P( A) = P( A Bi) P( Bi) = 0. 5 + 0. 7407 0. 5 = 0. 8704. Přílad 2.9 Dva systémy A a B jsou propojeny přenosovou trasou (transmission lin) s přenositelným výonem (capacity) 50 MW. Pravděpodobnost poruchy této trasy je 0.05. Systém A sestává z pěti 40 MW jednote, z nichž aždá se může porouchat s pravděpodobností 0.0 a jedné 60 MW jednoty (pravděpodobnost poruchy 0.05). Špičové zatížení (pea load) systému je 80 MW. Systém B sestává ze tří 25 MW jednote (pravděpodobnost poruchy 0.) a má špičové zatížení 65 MW. Je třeba určit: - Pravděpodobnost, že zátěž přesáhne (exceeds) vyrobený výon ja v systému A, ta v B za předpoladu, že nejsou propojeny. - Stanovte výhodu propojení (interconnection) v místě B za předpoladu, že v případě nedostatu výonu (lac of power) v systému B systém A vypomůže. Samostatný systém A: výroba dodá požadovaný výon, jestliže - pracuje všech 6 jednote (p = 0.99 5 0.95= 0.9034), - pracuje 5 jednote po 40 MW, jednota 60 MW nepracuje (p = 0.99 5 0.05 = 0.0475), - pracují 4 jednoty po 40 MW i jednota 60 MW (p = 5 0.99 4 0.0 0.95 = 0.0456), - pracují 3 jednoty po 40 MW i jednota 60 MW (p = 0 0.99 3 0.0 2 0.95 = 0.0009). Systém A nedodá požadovaný výon s pravděpodobností - 0.9034-0.0475-0.0456-0.0009 = 0.0026. Samostatný systém B: zátěž přesáhne vyrobený výon, jestliže pracují jen dvě jednoty, jedna jednota, nebo žádná jednota. - pravděpodobnost, že pracují dvě jednoty: 3 0.9 2 0. = 0.243, - pravděpodobnost, že pracuje jedna jednota: 3 0.9 0. 2 = 0.027, - pravděpodobnost, že nepracuje žádná jednota: 0. 3 = 0.00. Pravděpodobnost, že systém B nedodá požadovaný výon, je 0.243 + 0.027 + 0.00 = 0.27. Existuje-li propojení, pa požadovaný výon v místě B (65 MW) můžeme dostat jao: - výon jednoho blou 25 MW a výon do 50 MW dodaný vedením (p = 3 0.9 0. 2 0.985 = 0.0266), - výon dvou bloů 25 MW a výon do 50 MW dodaný vedením (p = 3 0.9 2 0. 0.985 = 0.2394), - výon tří bloů 25 MW bez vedení (p = 0.9 3 0.05 = 0.009), - výon tří bloů 25 MW s vedením (p = 0.9 3 0.985 = 0.78). Pravděpodobnost, že systém B nedodá požadovaný výon, je - 0.0266-0.2394-0.009-0.78 = 0.005. Je zřejmé, že spolehlivost systému se výrazně zvýší. - 3 -
Při velmi přesném výpočtu bychom ještě museli stanovit, s jaou pravděpodobností systém A opravdu dodá výon 40 MW do vedení. Tato pravděpodobnost se vša již velmi blíží (approaches) (pracuje alespoň jedna jednota 40 MW, p = - 0.0 5 0.05 ), taže ji není třeba do výpočtu zahrnout. - 4 -