. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní limity v bodech, v nichž funkce není definována.. Znát zpaměti derivace elementárních funkcí a vzorce pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí.. Umět derivovat jednodušší složené funkce.. Chápat základní geometrickou a fyzikální interpretaci derivace. 6. Umět určit intervaly monotónnosti a lokální etrémy funkce. 7. Umět vyšetřit průběh jednodušších algebraických funkcí s využitím následujících charakteristik: a) definiční obor b) sudá, popř. lichá funkce c) průsečíky s osami d) lokální etrémy a intervaly monotónnosti e) limity v nevlastních bodech f) obor hodnot g) graf 8. Umět řešit jednoduché slovní úlohy, ve kterých se požaduje nalezení etrému funkce. Úlohy :. Derivujte a upravte: a) y = ( + )( + ) [y = + 8 + + b) y = + [y = + c) y = ( ) [y = (7 0 + d) y = e) y =. + [y = [y = ( + )
f) y = 9 + 9 6 [y = ( + 9) g) y = ( ) [y = h) y = sin [y = 6 cos sin ch) y = [y = + cos + cos cos i) y = [y = sin sin cos j) y = [y = - sin sin k) y = - cos cos sin [y = sin 6ln ( ) l) y = ln ( ) [y = m) y = ln sin [y = cotg n) y = ln tg [y = sin o) y = ln ( + + ) + + [ y = = ( + + + ) + + + π p) y = ln tg + r) y = e + y = = π sin + [y = e + cos. (9 -) s) y = ( -). e [y = e.( - ) sin sin t) y = e. cos [y = e (cos sin). Napište rovnici tečny ke grafům funkcí v bodě T: a) f: y = + + T [-; y τ [t: y = - b) f: y = + T [-; y τ [t: y = + c) f: y = + 8 T [-; y τ [t: y = -6 d) f: y = + y = T [; y τ pro y τ = [t: y = - + π e) f: y = sin ) T [ ; y τ [t: y = π ) T [ ; y τ [t: y= ( ) + π 8 ) T [ 0; y τ [t: y =
f) f: y = T [-; y τ [t: y = - g) f: y = + T [ ; y τ [t: y = h) f: y = - + T [ τ τ Ve kterém bodě grafu má tečna směrnici a) T [ ; b) T [ ; c) 7 T [ ( + ); 8 ch) f: y = T [ ; y τ [t: y = + + i) f: y = ln T [ ; y τ [t: y = +. Určete. a. derivaci funkce: y a) y = ( ) 6 [y = ( ) ; = 0( ) ( + ) ( ) ( ) ; y = + + b) y = y = + c) y = cos [y = -sin 6; y = 8cos6 d) y = sin [y = cos ; y = - sin. Určete intervaly monotónnosti funkcí + lokální etrémy: a) y = - b) y = c) y = e [ ( ;, ; ) ; - ; ; M(f): = - [ ( ), ( ; ), ( ; ) ; m(f): = ; ; body nespojitosti = ± [ ( ; 0 ; 0 ; ); M(f): = 0 d) y = + sin [ v R e) y = [ ( ; 0, ; ) ; 0 ; ; M(f): = ; m(f): = 0 π π π π π π π π π π f) y = sin, ; [ ;, ; ; ; ;M(f): = m(f): = - ln g) y = [ ( 0; e ; e ; );M(f): = e h) y = [ ( ;0, 0; ; ; ; ; ; ; );m(f): = ; M(f): =. Určete intervaly konvenosti a konkávnosti funkce a inflení body: a) y = [ KONKÁV. ( ; ;KONVEX. ; ) ; IB = b) y = - + 6 + [ KONVEX. ( ; ;KONKÁV. ; ) ; IB =
+ c) y = [KONKÁV. ( ;) ; KONVEX. ( ; ); = bod nespoj. π π π d) y = tg na ; [KONKÁV. ; 0 ;KONVEX. 0; π ); IB = 0 e) y = [KONVEX. ( ;) ; ( ; ) KONKÁV. ( ; ); =; =- body nespoj. ( ) ln f) y = [KONKÁV. ( 0 ;e e ; KONVEX. e e; ); IB = e e g) y = e [ KONVEX. v R 6. Vypočítejte integrály: a) ( + ) d b) ( ) d c) d + č) ( ) d d) d ď) ( )( 6 7) d e) ( )d + ( ) d + d + + 6 f) d g) h) d ch) i) d j) d + + 6 + 6 + + 0. 7 8 6 + 6 6 6. 7 + + [ + ln
+ ( + ) d k) d l) d m). n) d o) ( + sin ) d + + + + ln 0 7. 0 7 + os cos 0 0 0 e + 0 0 e 0ln + ln0 sin os [ cos cos sin [ sin cos cos + sin [ os cos cos [ tg cot g cot g p) + + e + d ln + e + sin ln r) d ř) ( ) d s) d š) d t) d ť) d cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin. cos u) tg d v) d ) d y) d z) d [ [ [ sin [ cos ot g [ tg cot g [ tg 7. Vypočítejte, použijte metodu per partes: a) e d [ e ( ) c +
b) e d c) cos d ( ) e [ sin os [ sin ( ) cos d) sin d e) ln d ln f) ln d g) ln d h) e cos d ch) e 9 ( ln ) ln ( sin os ) cos d [ sin + 6cos 6sin sin cos + 6sin + 6cos i) ( ) d [( ) 8. Vypočítejte, použijte substituční metodu: + a) ( ) d b) 8 ( + ) d c) ( + ) d + d) d e) + d f) d + 0 g) d + h) ( sin 7) d ch) 6 ( + ) 6 9 6 ( + ) ( ) + ( + ) ln 6 + ( ) ( + 0) ( ) sin + 7 cos + π e 7 cos ( ) π sin cos + d i) e 7 d 6
j) e + e d k) e d ( + e ) l) d m) ( + )d ( + ) + ( ) n) d + e [ ln + 9. Vypočítejte určité integrály: 0 a) ( ) d b) ( + ) d d c) ( ) 0 d) ( + ) d 8 e) d f) ( + )d g) d + h) ( e ) d ch) 0 0 π cos d i) ( sin os ) d π e j) d [ 6 60 [ 8 9 [ e [ [ [ 7
0. Určete obsah rovinného obrazce omezeného grafem funkce f a osou : a) f : y = - + b) f : y = sin +, 0; π c) f : y =, 0; d) f : y =, 0; e) f : y = ln, ; e f) f : y = - - g) f: y = - + h) f : y =, ; ch) f : y = cos, 9 π + [ 6 e = 0,7 [ [ [, S = [ ln 0 =, π π ; [. Určete obsah rovinného obrazce omezeného grafy funkcí f a g. Proveďte náčrty. a) f : y = ; g : y = + b) f : y = ; g : y = 6 c) f : y = - + ; g : y = + 9 6 Ś = 0 d) f : y = + ; g : y = - + [ e) f : y = ; g : y + = 0 9 f) f : y = + ; g : y 6 = 0 g) f : y = ( +) ; g : y = Ś = h) f: y = ; g : y =. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného grafy funkcí f a g kolem osy. Proveďte náčrty. a) f : y = ; g : y = 6 V = π b) f : y = π ; g : y = - + V = 8
c) f : y = ; 0; d) f : y = - ; ; e) f : y = + ; 0; f) f : + y = g) f : y = ; 0; V [ V = π 9 = π [ V = 76π h) f : y = + ; = -, =, y = 0 kolem osy i) f : y = sin ; 0; π 6 V = π 7 V = π π V = V = π. Parabola y = p a osa omezují v intervalu 0; rovinný obrazec, jehož rotací kolem osy vznikne rotační těleso.určete hodnotu parametru p R tak, aby objem tohoto tělesa byl 0. p = π. Dráhu s, kterou urazí hmotný bod v době od t do t určeme podle vzorce s= ( t) t t v dt, kde v ( t ) je funkce vyjadřující závislost rychlosti na čase. Vypočtěte dráhu, jestliže v ( ) a = m/s, b = m/s, t = s, t = s. t =at+b, [ s = 0m 9