PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy základí, řetězové a tempo přírůstku v příkladu 7.1 jsme počítali idex základí, idex řetězový a tempo přírůstku, které jsou je uvedeé v tabulce 10.10. Připomíáme, že idex řetězový v tomto příkladě porovává, a kolik procet se změila sklizeň obilovi v každém roce vždy oproti předchozímu roku. a) Vypočteme průměrou ročí výrobu obilovi a formulujeme odpověď. b) Vypočítáme průměrý idex řetězový. c) Pro průměrý idex řetězový formulujeme odpovědi typu a kolik %, o kolik % a kolikrát. d) Do tabulky 10.10 doplíme, jaká by byla v uvedeých letech výroba obilovi, kdyby se vyvíjela podle průměrého idexu řetězového. Vypočteme odhad a rok 2012. e) Formulujeme odpověď pro odhad výroby obilovi v roce 2012. Tabulka 10.10: Sklizeň obilovi v ČR Ukazatel Rok 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Výroba v mil. tu 6,4 7,1 8,4 7,8 6,9 8,2 x Idex základí v % 100,0 110,9 131,3 121,9 107,8 128,1 x Idex základí 1,000 1,109 1,313 1,219 1,078 1,281 x Idex řetězový v % x 110,9 118,3 92,9 88, 118,8 x Idex řetězový x 1,109 1,183 0,929 0,88 1,188 x Tempo přírůstku v % x 10,9 18,3-7,1-11, 18,8 x Tempo přírůstku x 0,109 0,183-0,071-0,11 0,188 x Výroba dle průměrého idexu řetězového Prame: http://www.czso.cz Řešeí: Výpočty a sloví popis Ad a) Vypočteme průměrou ročí výrobu obilovi a formulujeme odpověď. Výpočet prostého aritmetického průměru: sečteme hodoty číselých statistických zaků souboru x 1, x 2,... x a výsledek vydělíme počtem prvků souboru Aritmetický průměr prostý x z číselých statistických zaků se tedy počítá podle vztahu: x xi 1 x1 x2... x i
7,1 8,4 mil.. tt 6,4 mil.. tt 1,109 1,313 110,9 131,3 % U ás: Hodoty x 1, x 2,... x jsou výroby obilovi v jedotlivých letech, a počet let je = 6. Vztah má v ašem příkladě tvar: 6 xi i x x1 x2 x3 x4 x x6 6,4 7,1 8,4 7,8 6,9 8,2 6 6 1 V období 2006 až 2011 byla průměrá ročí výroba obilovi 7,47 mil. tu. 7,47 mil. t Výpočet v Excelu je Výjde: =PRŮMĚR(B19:G19) 7,46667 Ad b) Vypočítáme průměrý idex řetězový. Víme, že idex řetězový jako poměré číslo v ašem případě říká, kolikrát se změila sklizeň obilovi v každém roce vždy oproti předchozímu roku. Průměrý idex řetězový jako poměré číslo bude říkat, kolikrát se průměrě změila sklizeň obilovi v každém roce oproti miulému roku. Geometrický průměr lze použít ke staoveí průměrého koeficietu růstu eboli průměrého idexu řetězového a počítá se podle vztahu: G xi x 1. x 2..... x i1 Hodoty x 1, x 2,... x jsou jedotlivé idexy řetězové ve tvaru poměrého čísla. Povšiměme si, že idexů řetězových je pouze, tj. o jedo méě, ež je hodot výrob obilovi! Průměrý idex řetězový se počítá v ašem případě podle vztahu: G i1 x i x. x. x. x. x 1 2 3 4 G 1,109.1,183.0,929.0,88.1,188 1,281 1,008 Pozámka: Všiměme si, že souči idexů řetězových je rove idexu základímu v posledím uvedeém roce, u ás 1,109.1,183.0,929.0,88.1,188 = 1,281. To eí áhoda, to je zákoité. Dokázali byste odvodit, proč tomu tak je?
V Excelu lze průměrý idex řetězový G vypočítat ěkolika způsoby: i) Pomocí součiu idexů řetězových a odmociy. Pátá odmocia je realizováa jako mocia (1/). =(1,109*1,183*0,929*0,88*1,188)^(1/) Kvůli vyšší přesosti je lepší abrat idexy řetězové jako buňky: =(C23*D23*E23*F23*G23)^(1/) Zak mociy se tvoří pomocí ^, který se a české klávesici udělá pomocí trojkombiace pravé Alt + š + mezerík. Místo součiu idexů řetězových lze dosadit rovou idex řetězový v posledím uvedeém období, tj. koeficiet 1,281. ii) Pomocí fukce POWER, kde v argumetu je součiu idexů řetězových a mocia 1/. =POWER(1,109*1,183*0,929*0,88*1,188;1/) Kvůli vyšší přesosti je lepší ačíst idexy řetězové jako buňky, apříklad: iii) Pomocí fukce GEOMEAN: =POWER(C23*D23*E23*F23*G23;1/) =GEOMEAN(C23:G23) Za argumet fukce uto abrat oblast tabulky C23 až G23, kde jsou umístěé jedotlivé idexy řetězové ve tvaru poměrého čísla. Ve všech případech vyjde průměrý idex řetězový: 1,0082 Ad c) Pro průměrý idex řetězový formulujeme odpovědi typu a kolik %, o kolik % a kolikrát. Průměrý idex řetězový je 1,008, což zameá: V období 2006 až 2011 rostla výroba obilovi v ČR každý rok průměrě 1,008 oproti miulému roku, eboli výroba rostla a 10,08 %, čili rostla o,08 %. Uvědomíme si: Číslo 10,08 % je průměrý idex řetězový vyjádřeý v procetech. Číslo,08 % je průměré tempo přírůstku vyjádřeé v procetech. Ad d) Do tabulky 10.10 doplíme, jaká by byla v uvedeých letech výroba obilovi, kdyby se vyvíjela podle průměrého idexu řetězového. Vypočteme odhad a rok 2012.
Postup: Je uté se ukotvit do ějaké hodoty. Proto v roce 2006 opíšeme hodotu výroby podle skutečosti, tj. 6,4 mil. t. Hodota výroby v roce 2007 podle průměrého idexu řetězového, tj. kdyby stoupala 1,008 oproti miulému roku se spočítá: 6,40 mil. t 1,008 = 6,73 mil. t V Excelu se vzorec apíše tak, že v řádku Výroba dle průměrého idexu řetězového a ve sloupci rok 2007 abereme buňku a stejém řádku vlevo a ásobíme buňkou, ve které je vypočte průměrý idex řetězový. =B224*$B124 Hodota výroby v roce 2008, kdyby stoupala 1,008oproti miulému roku, se spočítá: 6,73 mil. t 1,008 = 6,4 mil. t 1,008 2 = 7,07 mil t V Excelu se vzorec apíše tak, že v řádku Výroba dle průměrého idexu řetězového ve sloupci rok 2008 abereme buňku a stejém řádku vlevo a ásobíme buňkou, ve které je vypočte průměrý idex řetězový. =C237*$B121 Je zřejmé že, teto vzorec můžeme zkopírovat do koce tabulky doprava. Hodota výroby v roce 2009, kdyby stoupala 1,008oproti miulému roku, se spočítá: 7,07 mil. t 1,008 = 6,4 mil. t 1,008 3 = 7,43 mil t Hodota výroby v roce 2010, kdyby stoupala 1,008oproti miulému roku, se spočítá: 7,43 mil. t 1,008 = 6,4 mil. t 1,008 4 = 7,80 mil t Hodota výroby v roce 2011, kdyby stoupala 1,008oproti miulému roku, se spočítá: 7,80 mil. t 1,008 = 6,4 mil. t 1,008 = 8,20 mil t Lze dokoce spočítat odhad výroby obilovi za další roky 2012 i 2013 (odhad a více ež 2 roky dopředu již je epřesý): Hodota výroby v roce 2012, kdyby stoupala 1,008oproti miulému roku, se spočítá: 8,2 mil. t 1,008 = 6,4 mil. t 1,008 6 = 8,62 mil t Hodota výroby v roce 2013, kdyby stoupala 1,008oproti miulému roku, se spočítá: 8,62 mil. t 1,008 = 6,4 mil. t 1,0087 = 9,0 mil t
Uvědomíme si: To, že podle průměrého idexu řetězového ročí výroba obilovi roste průměrě o,08 %, ezameá stejý přírůstek výroby. Přírůstek výroby je zobraze pod tabulkou 10.11. * Jde o árůst o,08 % z hodoty vždy vyšší. * Tím, že průměrý idex řetězový je větší ež 1, základ 100 % je stále vyšší číslo. * Ročí výroba podle průměrého idexu řetězového stoupá podle geometrické řady s kvocietem q > 1 (u ás q = 1,008, expoeciálí árůst). Kdyby podle průměrého idexu řetězového sledovaá veličia klesala, * průměrý idex řetězový by byl meší ež 1, základ 100 % by se stále sižoval. * Veličia podle průměrého idexu řetězového by klesala podle geometrické řady s kvocietem q < 1 (expoeciálí pokles). Vyplěá tabulka 10.10, yí tabulka 10.11, vypadá takto: Ukazatel Rok 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Výroba v mil. tu 6,4 7,1 8,4 7,8 6,9 8,2 x Idex základí v % 100,0 110,9 131,3 121,9 107,8 128,1 x Idex základí 1,000 1,109 1,313 1,219 1,078 1,281 x Idex řetězový v % x 110,9 118,3 92,9 88, 118,8 x Idex řetězový x 1,109 1,183 0,929 0,88 1,188 x Tempo přírůstku v % x 10,9 18,3-7,1-11, 18,8 x Tempo přírůstku x 0,109 0,183-0,071-0,11 0,188 x Výroba dle průměrého idexu řetězového 6,40 6,73 7,07 7,43 7,80 8,20 8,62 Prame: http://www.czso.cz Tabulka 10.11: Sklizeň obilovi v ČR Meziročí rozdíly v mil t 0,33 0,34 0,36 0,38 0,40 Ad e) Formulujeme odpověď pro odhad výroby obilovi v roce 2012. V roce 2012 je odhad výroby obilovi v ČR asi 8,62 mil. t.