4..9 Vlastnosti funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 408 Grafy funkcí y = sin a y = cos, které jsme získali vynesením hodnot v minulé hodině. 0,5-0,5 - Obě křivky jsou stejné, jen kosinusoida je o π napřed (nebo o 3 π pozadu). var obou křivek závisí na měřítkách vodorovné a svislé osy. Jen málokdy mívají obě osy stejné měřítko. Často se používá zobrazení z našich grafů vzdálenost na ose y je stejně π dlouhá jako vzdálenost,57 na ose. Kdyby bylo měřítko u obou os stejné, byly by grafy nataženější ve vodorovném směru.
y= 0,5-0,5 - Funkce y = sin se pro malá chová velmi podobně jako funkce y = (na obrázku je nakreslena modře). Vrátíme se k jednotkovým kružnicím. Pedagogická poznámka: Většinu následujících příkladů by studenti daleko snáze řešili pomocí grafů. Není to matematicky tak hezké (je lepší vycházet z definice) a hlavně to není příliš přínosné. Práce s jednotkovou kružnicí je pro studenty obtížnější a následující příklady jsou další příležitostí k procvičování. Většina chyb pramení ze špatné představy o orientovaném úhlu. Pokud se studenty řešíte problémy, nechte si od nich odpovídající úhly ukázat. Př. : ozhodni na základě definice goniometrických funkcí v jednotkové kružnici, zda jsou funkce y = sin a y = cos periodické. Pokud ano, urči jejich nejmenší periodu. Z definice je zřejmé, že hodnoty obou funkcí budou stejné, pokud je budeme určovat jakou souřadnice stejného bodu na jednotkové kružnici. Počáteční rameno přejde do stejného koncového ramene pro různé velikosti jednoho úhlu hodnoty funkcí y = sin a y = cos jsou stejné pro všechny velikosti jednoho úhlu velikosti se liší o nádobky π funkce y = sin a y = cos jsou periodické s nejmenší periodou π. - S cos() sin() -
Pro každé k Z a každé ( π ) cos + k = cos. sin + k = sin, platí: ( π ) Stačí sledovat obě funkce na intervalu 0;π ) a dozvíme se všechno. Pedagogická poznámka: Při zápisu modrého rámečku je nutné zkontrolovat, zda studenti rozumí zápisu + k π, k Z. Je to poprvé, co se s ním setkávají. Př. : Na základě definice goniometrických funkcí v jednotkové kružnici rozhodni: a) Je funkce y = sin shora (zdola) omezená? b) Má funkce y = sin maimum (minimum)? Pokud ano, ve kterých bodech? c) Urči obor hodnot funkce y = sin. Funkce y = sin je definována jako y-ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici možné hodnoty funkce se rovnají možným y-ovým souřadnicím. - S sin() - S sin() - - Pomocí pravého obrázku můžeme odpovědět na všechny otázky: Funkce y = sin je omezená shora i zdola. π Funkce y = sin má maimum pro = + k π. 3 Funkce y = sin má minimum - pro = π + k π. H ( f ) = ; Př. 3: Na základě definice goniometrických funkcí v jednotkové kružnici rozhodni: a) Je funkce y = cos shora (zdola) omezená? b) Má funkce y = cos maimum (minimum)? Pokud ano, ve kterých bodech? c) Urči obor hodnot funkce y = cos. Funkce y = cos je definována jako -ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici možné hodnoty funkce se rovnají možným -ovým souřadnicím. 3
cos() cos() - S - S - Z pravého obrázku můžeme odpovědět na všechny otázky: Funkce y = cos je omezená shora i zdola. Funkce y = cos má maimum pro = 0 + k π. Funkce y = cos má minimum - pro = π + k π. H ( f ) = ;. - Př. 4: Na základě definice goniometrických funkcí v jednotkové kružnici doplň následující tabulku pro funkci sinus: Znaménko funkčních hodnot Monotónnost 0; ; π 3 ; π π 0; - S sin Hodnoty jsou kladné a zvětšují se. - 4
; π sin - S Hodnoty jsou kladné a zmenšují se. - - S sin Hodnoty jsou záporné a zmenšují se. - 3 ; π π - S sin Hodnoty jsou záporné a zvětšují se. Vlastnosti funkce y = sin : - 0; ; π 3 ; π π Znaménko funkčních hodnot + + - - Monotónnost rostoucí klesající klesající rostoucí 5
Pedagogická poznámka: Obrázky u předchozího a následujícího příkladu nemá cenu promítat. Daleko užitečnější je ukázat studentům dynamický model nebo točit ukazovátkem na tabuli. Př. 5: Na základě definice goniometrických funkcí v jednotkové kružnici doplň následující tabulku pro funkci cosinus: Znaménko funkčních hodnot Monotónnost 0; ; π 3 ; π π cos 0; - S Hodnoty jsou kladné a zmenšují se. cos - ; π - S Hodnoty jsou záporné a zmenšují se. - 6
- S Hodnoty jsou záporné a zvětšují se. cos - 3 ; π π - S Hodnoty jsou kladné a zvětšují se. cos Vlastnosti funkce y = cos : - 0; ; π 3 ; π π Znaménko funkčních hodnot + - - + Monotónnost klesající klesající rostoucí rostoucí Př. 6: Zkontroluj všechny nalezené vlastnosti pomocí grafů funkcí sinus a cosinus. Př. 7: Nakresli graf funkce y = sin pro 3 π;3π a s jeho pomocí rozhodni, zda je funkce y = sin sudá nebo lichá. Odhad ověř pomocí definice v jednotkové kružnici. - 7
Graf funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic funkce musí platit sin sin ( ) =. y = sin je lichá - S - sin() sin(-) - Z obrázku je vidět, že úhly a jsou souměrné podle osy, jejich y-ové souřadnice se liší sin = sin funkce y = sin je lichá. pouze znaménkem platí ( ) Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je první, ve kterém studenti kreslí sinus na delším úseku osy, je proto třeba zkontrolovat, zda dodržují periodicitu a nezkracují nebo neprodlužují délky vlnovek. Př. 8: Nakresli graf funkce y = cos pro 3 π;3π a s jeho pomocí rozhodni, zda je funkce y = cos sudá nebo lichá. Odhad ověř pomocí definice v jednotkové kružnici. - Graf funkce je souměrný podle osy y funkce cos = cos( ). y = cos je sudá musí platit 8
cos() - S - cos(-) - Z obrázku je vidět, že úhly a jsou souměrné podle osy, jejich -ové souřadnice jsou cos = cos funkce y = cos je sudá. stejné platí ( ) Př. 9: V přehledné tabulce se dvěma sloupci shrň vlastnosti funkcí y = sin a y = cos. y = sin y = cos - D ( f ) = periodická s nejmenší periodou π H f = ( ) ; shora i zdola omezená π maimum v bodě + k π maimum v bodě 0 + k π minimum - v bodě 3 π + k π minimum - v bodě π + k π lichá sudá π π rostoucí v + k π; + k π rostoucí v ( π + k π;π + k π ) π 3 klesající v + k π; π + k π klesající v ( 0 + k π; π + k π ) kladné hodnoty pro 0 + k π; π + k π π π + k π ; + k π záporné hodnoty pro záporné hodnoty pro π 3 ( π + k π;π + k π ) + k π; π + k π kladné hodnoty pro ( ) - 9
Shrnutí: Vlastnosti funkcí sinus a cosinus snadno najdeme pomocí grafů nebo jednotkové kružnice. 0