ASTOFYZIKA -- S PET KULHÁNEK Paha 00 FEL ČVUT
OBSAH I ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 Pasek 3 Poxima Cetaui 4 3 Magituda 4 4 Pogsoova ovice 5 5 Absolutí magituda Sluce 5 6 Hodiový úhel Aldebaau 6 7 Jety kvasau - fiktiví adsvětelá ychlost 6 8 Plackovy škály 6 9 Vektoový souči 7 II ELEKTOMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ 9 Zářeí husté jako voda 9 Teplota Sluce z vlové délky světla 0 3 Zářivý výko Sluce 0 4 Měý výko Sluce 0 5 Sluečí kostata 6 Teplota Sluce z itezity zářeí 7 Elektické pole sluečího zářeí u Země 8 Tlak zářeí 3 9 Teplota těles a vlové délky zářeí 4 III HVĚZDY, SLUNCE 5 Hydodyamický čas 5 Jeasovo kitéium 5 3 ovováha polytopí hvězdy 6 4 ovice ovováhy polytopí hvězdy 7 5 Poováí výkoů 8 6 Polomě Pocyou B 8 7 Úbytek sluečí hmoty 9 8 Kytí podukce eegie gavitačí kotakcí 9 9 Teplota sluečí skvy 0 IV GAVITACE A TÍŽE Vztah mezi tíhovým a gavitačím polem Pád z malé výšky - difeečí schéma 3 Pád z velké výšky - difeečí schéma 4 4 Oběh tělesa po kuhové dáze 4 5 Třetí Kepleův záko 5 6 Gavitačí působeí Sluce a Země a Měsíc 6 7 Příliv a odliv 6 8 Hmotost Země 7 9 Hillovy ekvipoteciály 8 0 Vitří Lagageův bod soustavy Země - Měsíc 9 Úiková ychlost z Galaxie 9 V OTAČNÍ POHYBY 3 otace bodu 3 Kyvadlo 33 3 Hvězda měící ozměy 34 4 Záko ploch 35 5 Duhý Kepleův záko 35
6 Efektiví poteciál 36 7 Země jako hamoický osciláto 37 8 Pohyb elektou v magetickém poli 38 9 Pofil hladiy kapaliy v otující ádobě 38 0 Pofil víu a vodí hladiě 39 ychlostí pofil v otující galaxii s hustým jádem 40 VI SPECIÁLNÍ ELATIVITA 4 Maticový zápis Loetzovy tasfomace 4 Detemiat LT 4 3 Ivezí matice k LT 43 4 Úhel otace - apidita 43 5 elativistický Doppleův jev 44 6 Mio 45 VII GAVITACE A OBECNÁ ELATIVITA 46 Laplaceův výpočet Schwazschildova poloměu 46 Hustota čeé díy 46 3 Pohyb fotou 46 4 Čeveý posuv fotou - výpočet ze zákoa zachováí eegie 47 5 Čeveý posuv fotou - výpočet z LIS 48 6 Čeveý posuv fotou - výpočet z metiky 49 7 Poud ebkův expeimet 49 8 Čeveé posuvy po typické hvězdy 50 9 Beckesteiova teplota čeé díy 50 0 Vypařováí čeé díy 5 VIII OZPÍNÁNÍ VESMÍU 53 Objem koule 53 Objem Vesmíu 54 3 Kosmologický posuv 55 4 Kvasa 57 5 Kosmologický posuv a Doppleův jev 57 6 Pokles hustoty eegie zářeí s expazí 58 7 Základí řešeí Eisteiovy ovice 58 8 Iflace při H cost 59 9 Stáří Vesmíu 59 0 Látka a zářeí 60 Stavová ovice expadující etity 60 IX POHYBY ČÁSTIC V POLÍCH 6 Náboj v elektickém poli 6 Lamoův polomě 6 3 Magetický momet abité částice 63 4 Magetická ezoace 63 5 Magetický momet jako ivaiat 64 6 Magetické zcadlo 64 7 Gavitačí dift 65 8 Beettův pič 65 Aktuálí vezi skipta si můžete stáhout a seveu http://wwwaldebaacz/ v sekci Studium ebo v sekci Stáhout Nalezeé chyby posím pošlete a adesu kulhaek@aldebaacz
TABULKA ZÁKLADNÍCH KONSTANT G 667 0 N m kg c 3 0 8 m s 05 0 34 J s σ 567 0 8 W m K 4 b 00089 K m gavitačí kostata ychlost světla Plackova kostata Stefa Boltzmaova kostata Wieova kostata TABULKA HODNOT VELIČIN M S 989 0 30 kg M Z 5976 0 4 kg M M M Z /8 m 67 0 7 kg ZS 50 0 6 km ZM 384 0 3 km S 700 000 km Z 6 400 km P S 4 0 6 W b 66 0 40 J s v 30 km s I 39 kw m hmotost Sluce hmotost Země hmotost Měsíce hmotost ukleou vzdáleost Země - Sluce vzdáleost Země - Měsíc polomě Sluce polomě Země celkový zářivý výko Sluce momet hybosti Země vzhledem ke Sluci ychlost Země kolem Sluce soláí kostata (itezita sluečího zářeí u Země) JEDNOTKY VZDÁLENOSTI AU 50 0 6 km ly 946 0 km pc 309 0 km astoomická jedotka světelý ok pasek
TYPICKÉ VLASTNOSTI HVĚZD polomě hmotost hustota čeá día 3 km M S 0 6 g/cm 3 eutoová hvězda 0 až 00 km M S 0 4 g/cm 3 bílý tpaslík 000 až 0 000 km M S 0 6 g/m 3 Sluce 700 000 km M S,4 g/cm 3 veleob až 500 S M S 0 6 g/cm 3
I ZÁKLADNÍ VZTAHY AU - astoomická jedotka: půměá vzdáleost Země od Sluce, 50 0 6 km ly - světelý ok: vzdáleost, kteou světlo uléte za jede ok, 946 0 km pc - pasek, paalaktická sekuda: vzdáleost, ze kteé by polomě oběžé dáhy Země byl kolmo k zoému papsku vidět pod úhlem ", 309 0 km m - elativí magituda: logaitmická mía jasosti objektu, m,5 log I Tato defiičí ovice se azývá Pogsoova ovice Koeficiet je vole tak, aby hvězdy s ozdílem pěti magitud měly podíl vzájemých jasostí :00 Zaméko mius v defiici je z histoických důvodů Magitudy takto vypočteé odpovídají histoickému děleí hvězd do šesti skupi (ula ejjasější, 5 ejméě jasé pozoovatelé okem) Nejjasější hvězda a seveí polokouli Vega má magitudu ~ 0, ejjasější hvězda očí oblohy Siius má magitudu,6 elativí magituda vypovídá o skutečé jasosti hvězdy a obloze, kteá komě svítivosti závisí i a vzdáleosti hvězdy M - absolutí magituda: magituda, kteou by hvězda měla ve vzdáleosti 0 pc Závisí je a skutečé svítivosti hvězdy Každou hvězdu si představíme přestěhovaou do vzdáleosti 0 pc Zadáváme-li vzdáleost hvězdy v pasecích, platí mezi absolutí a elativí magitudou jedoduchý vztah M m + 5 5 log δ - dekliace: Oblouk mezi světovým ovíkem (pojekce oviy zemského ovíku a ebeskou sféu) a hvězdou Světový ovík má δ 0, seveí světový pól má δ 90, jiží světový pól δ 90 α - ektasceze: Oblouk mezi jaím bodem a dekliačí kužicí hvězdy (kolmá a světový ovík) měřeý ve stupích ebo v hodiách (jaí bod : α 0 0 h) Jaí bod je půsečík ekliptiky (půmět oviy oběžé dáhy Země kolem Sluce a ebeskou sféu) se světovým ovíkem v souhvězdí yb Sluce se achází v jaím bodě při jaí ovodeosti t - hodiový úhel: úhel mezi místím poledíkem a objektem měřeý ve směu zdálivého pohybu hvězd, tj od jihu k západu Udává se v hodiách (azimut vyjádřeý v hodiách) Hoí kulmiace: hvězda v ejvyšším bodě své dáhy (ad jihem, t 0 h) Dolí kulmiace: hvězda v ejižším bodě své dáhy (ad seveem, t h) θ hvězdý čas: hodiový úhel jaího bodu Jde o ektascezi hvězd, kteé pávě kulmiují θ α + t K daému datu alezeme hvězdý čas v hvězdářské očece Pasek Zadáí: Spočtěte vzdáleost pc Řešeí: pc (pasek, paalaktická sekuda) je vzdáleost, ze kteé vidíme velkou poloosu oběžé dáhy Země kolem Sluce pod úhlem ϕ '' Úhel '' je tak malý, že stay VS a VZ a obázku pakticky splývají a místo pavoúhlého tojúhelíka VSZ můžeme použít defiičí vztah úhlu (úhel je oblouk ku poloměu) Poto 3
l ZS, ϕ kde l je vzdáleost pc v metech, ZS je vzdáleost Země od Sluce a ϕ je úhel jedé vteřiy vyjádřeý v adiáech: 6 5 0 m l 3 0 π 60 60 360 m Poxima Cetaui Zadáí: Najděte paalaxu Poximy Cetaui, kteá je vzdáleá asi 43 světelého oku Řešeí: Díky pohybu Země kolem Sluce se zdá, že blízké hvězdy opisují opoti vzdáleým elipsu Úhlový polomě této elipsy se azývá paalaxa hvězdy Lze ji změřit je po ejbližší hvězdy Z defiice úhlu (jako v předchozím příkladě) tedy vyplývá, že 5 0 m 5 0 m 6 π ZS 37 0 ad, l 43 ly 5 43 95 0 m což je přibližě 076'' Vidíme, že i u duhé ejbližší hvězdy po Sluci eí paalaxa ai celá '' 3 Magituda Zadáí: Jaký je ozdíl magitud dvou hvězd, jejichž jasost se liší stokát? Řešeí: Magituda je logaitmickou míou svítivosti: m 5 log J Koeficiet 5 se objevuje před logaitmem z histoických důvodů, kdy ejjasější hvězdy pozoovatelé okem měly třídu 0, ejslabší třídu 5 Zaméko " " zajišťuje, aby ižší magitudy měly vyšší svítivost Koeficiet 5 zase zajistí, aby po pomě svítivostí J /J 00 byl ozdíl magitud pávě 5: 4
J m m m 5 (log J log J) 5 log 5 log00 5 J 4 Pogsoova ovice Zadáí: Odvoďte vztah mezi absolutí magitudou a elativí magitudou v pasecích (tzv Pogsoovu ovici) Řešeí: Víme, že J klesá se čtvecem vzdáleosti od zdoje (J ~ / ) a tak můžeme podle defiice magitudy psát: m J m 5 log 5 log 5 log J Absolutí magituda je magituda hvězdy přepočítaá a jedotou vzdáleost 0 pc od zdoje (hvězdy) Jestliže bude 0 pc a m M po absolutí magitudu a, m m po elativí magitudu, pak 0 M m 5 log 5 log0 log Pogsoova ovice má tedy tva: M m + 5 5 log, kde je vzdáleost zdoje v pc 5 Absolutí magituda Sluce Zadáí: Učete absolutí magitudu Sluce elativí magituda je m 66 Řešeí: Nejpve převedeme vzdáleost Sluce od ás ( AU) a paseky 9 50 0 6 pc 484 0 6 3 0 Nyí z Pogsoovy ovice dostáváme M m + 5 5log 66 + 5 5 ( 53) 49 Absolutí magituda Sluce je tedy přibližě M 5 pc 5
6 Hodiový úhel Aldebaau Zadáí: Učete hodiový úhel hvězdy Aldebaa de 0000 ve 3h 0mi v cetu Pahy Souřadice Aldebaau: ektasceze α 4h 33mi; dekliace δ 6 Souřadice ceta Pahy: zem délka: λ 4 3' zem šířka: ϕ 50 07' Hvězdý čas k půloci 0000 (z Hvězdářské očeky): θ h mi Řešeí: Nejpve učíme místí hvězdý čas (zaedbáme ozdíl mezi středím a pavým časem) Po převod úhlových a časových údajů užijeme 4mi (5 h), esp ' 4s (5' mi): θloc θ + λ + t0 h mi + 0h 58mi + 3h 0mi 5h 0mi h 0mi Dále učíme hodiový úhel hvězdy t θloc α h 0mi 4h 33 mi 0h 37 mi Aldebaa se tedy achází ad jihovýchodem, kulmiovat bude za 3h 3mi (bude ad jihem, t 4h) 7 Jety kvasau - fiktiví adsvětelá ychlost Zadáí: Vzdáleý kvasa je zdojem dvou výtysků látky (jetů) z ichž jede se pohybuje směem k pozoovateli pod malým úhlem téměř ychlostí světla Učete, jakou ychlost aměří pozoovatel Řešeí: Poloha objektu je dáa vztahy: x( t) vt siα ; y( t) y0 vt cosα Sigál přichází k pozoovateli se zpožděím v čase yt () τ t + c ychlost, kteou zjistí pozoovatel poto bude d x dx / dt v dτ dτ / dt v siα v cosα c v c c siα cosα cα c ( α / ) α << α Z výsledku je zřejmé, že pohybuje-li se jet směem k pozoovateli, tato fiktiví pozoovaá ychlost sado převýší ychlost světla y 0 y a v x 8 Plackovy škály Zadáí: Nalezěte takové kombiace kostat c, G,, kteé dají přiozeou jedotku po délku, čas, hmotost a eegii 6
8 c 3 0 ms, 3 G 667 0 kg m s, 34 05 0 kg m s Řešeí: Pokusíme se vytvořit výaz po délku l P, čas t P, hmotost m P a eegii E P Začeme délkou tak, že apíšeme souči výše uvedeých tří kostat, s ezámými expoety α, β, γ: α β γ l P c G Tato ovice ve skutečosti představuje čtyřásobou ovost: ovost číselou a ovost ozměovou v metech, kilogamech a sekudách Napíšeme yí ozměové části vytvořeého výazu: 0 0 α α β 3β β γ γ γ m kg s m s kg m s kg m s Nyí zapíšeme soustavu ovic po expoety u metu, kilogamu a sekudy: α + 3β + γ, 0 β + γ, 0 α β γ Řešeím této soustavy získáme jedozačé řešeí po expoety α 3 / ; β / ; γ / Tyto expoety jedozačě až a ásobící číselý fakto učují velikost Plackovy délky Zcela aalogickým způsobem můžeme odvodit vztahy po ostatí Plackovy veličiy Výsledky udává ásledující tabulka: l t m P P P G 0 3 c G 0 5 c c G 0 35 43 8 m, s, kg, E P 5 c G 0 9 GeV Pozámka: Plackovy škály jsou přiozeé jedotky po áš Vesmí V Plackově čase se oddělovala gavitačí iteakce od ostatích iteakcí (došlo k aušeí supesymetie) a Vesmí popvé získal vlastosti podobé deším vlastostem V tomto čase měl Vesmí komplikovaou postoovou stuktuu, jejíž základím elemetem byla vláka o ozměech Placovy délky Půměá pohybová hmotost (eegie) částic v té době byla ova Plackově hmotosti (eegii) 9 Vektoový souči Zadáí: Ukažte, že vektoový souči má tezoový chaakte 7
Řešeí: Pomocí klasické defiice přes detemiat můžete vektoový souči zapsat jako i j k ab y z ab z y c a b det ax ay az azbx axbz bx by b z axby ayb x Už z tohoto zápisu je zřejmé, že se vektoový souči emůže tasfomovat jako vekto, potože se tam vyskytují součiy původích uspořádaých tojic a a b Obecě jde o matici C ab ab kl k l l k Tato matice má své tasfomačí vlastosti a je to atisymetický ( Ckl C lk ) tezo duhého řádu Atisymetické matice mají a diagoále vždy ulu a pvky pod diagoálou lze dopočítat z pvků ad diagoálou obáceím zaméka U aší matice to vypadá takto: 0 c3 c C c3 0 c c c 0 Existují tedy je tři ezávislé pvky této matice To svádí k tomu, apsat je do tojice a itepetovat jako vekto To ale ejde!!! Vaiace příkladu: Kolik ezávislých pvků má symetická a atisymetická matice ve dvou, třech a čtyřech dimezích 8
II ELEKTOMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ Tok eegie elektomagetického zářeí je popsá elativistickým čtyřvektoem (ρ W, j W ) ρ W W E D + H B ; j E H Složka ρ W se azývá hustota eegie elektomagetického zářeí a zpavidla ji ozačujeme symbolem u Tři postoové složky j W se azývají tok eegie (Poytigův vekto) a zpavidla je ozačujeme symbolem S ebo jde-li je o velikost (tzv itezitu) symbolem I Velikosti postoové a časové části čtyřvektou jsou spojey vztahem I uc Z čtyřvektou lze složit ovici kotiuity ρw + div jw j E t Na pavé staě eí ula, eegie elektomagetického zářeí se ezachovává, převádí se a abité částice v podobě hustoty Jouleova výkou je NĚKTEÉ DŮLEŽITÉ VZTAHY I EH I σt 4 I u c u ED/ + HB/ u ED u HB u I /c EH/c P u/3 E/B c tok eegie (itezita, velikost Poytigova vektou) [I] Jm s W/m tok eegie - Stefa Boltzmaův záko tok eegie - vyjádřeí z hustoty eegie hustota eegie - výpočet z elektické i magetické složky [u] Jm 3 hustota eegie - výpočet z elektické složky hustota eegie - výpočet z magetické složky hustota eegie - výpočet z toku eegie tlak elektomagetického zářeí poměy polí v elektomagetické vlě c / εµ ychlost světla λ max b/t Wieův záko (vlová délka maxima vyzařováí) Zářeí husté jako voda Zadáí: Učete při jaké fázi expaze Vesmíu (při jaké teplotě) mělo zářeí hustotu stejou jako voda Řešeí: Mezi hustotou hmoty a eegie platí jedoduchý vztah plyoucí z Eisteiovy fomule 9
ρ W ρ m c Hustota hmoty bude odpovídat hustotě vody Hustotu eegie zářeí učíme z toku eegie, kteý je dá Stefa Boltzmaovým zákoem: 4 I σ T ρ W c c Poováím obou vztahů učíme teplotu Vesmíu, při kteé mělo elektomagetické zářeí hustotu stejou jako voda: T 4 ρ m σ c 3 8 0 Pozámka: Vesmí měl tuto teplotu asi 4 miuty po Velkém třesku a pávě se v ěm začíaly tvořit pví lehké pvky Teplota Sluce z vlové délky světla Zadáí: Učete povchovou teplotu Sluce, víte-li, že maximum vyzařováí je a vlové délce 500 m Řešeí: Podle Wieova zákoa je povchová teplota ova T λ b max 00089 m K ~ 9 500 0 m 8 K ~ 5800 K Pozámka: Hoké hvězdy vyzařují obecě a katší vlové délce Typické modé hvězdy mají povchovou teplotu přes 9000 K, žluté a zeleé hvězdy okolo 6 000 K, čeveé hvězdy je asi 3 000 K Wieův záko lze aplikovat i a podstatě chladější tělesa Například člověk s povchovou teplotou cca 30 K vyzařuje přibližě jako čeé těleso s maximem vyzařováí a vlové délce 0 mikometů V této oblasti musí být poto maximálě citlivá čidla po detekci osob 3 Zářivý výko Sluce Zadáí: Nalezěte celkový zářivý výko Sluce, záte-li jeho povchovou teplotu T 5800 K Řešeí: Zářivý výko Sluce učíme ze Stefa-Boltzmaova zákoa: P S I S σ T 4 4π S 567 0 8 5800 4 4π (7 0 8 ) W 4 0 Pozámka: Obovská hodota zářivého výkou Sluce je dáa je velkou hmotostí V půměu podukuje jede kilogam sluečí hmoty výko velmi malý 6 W 4 Měý výko Sluce Zadáí: Jaký výko se půměě uvolňuje v jedom kilogamu sluečí hmoty? 0
Řešeí: Měý výko přepočítaý a kilogam je PS P M S 0 4 W/kg Pozámka: Přestože je celkový zářivý výko eomí a obtížě představitelý, je měý výko zaedbatelý Jede kilogam sluečí hmoty by epostačil ai k ozsvíceí ejmeší žáovky Temojadeá sytéza v cetu Sluce pobíhá velmi, velmi pomalu, zato však v obovských měřítkách Ohomý výko Sluce je tak dá je jeho velkou hmotostí, ikoliv itezitou temojadeé sytézy 5 Sluečí kostata Zadáí: Učete itezitu sluečího zářeí v okolí Země Řešeí: Sluečí kostata je itezita sluečího zářeí (eegie kolmo dopadající a jedotkovou plochu za jedotku času) ad atmosféou aší Země Tuto veličiu můžeme spočítat jako podíl celkového výkou Sluce a celkové plochy povchu koule pocházející Zemí se středem ve Sluci: I Z PS 4π ZS 4 kw m Zemì m Sluce m I,4 kw/m Pozámka: U aší Země dopadá a každý met čtveečí plochy, kolmo postaveé ke Sluečímu zářeí, výko 4 kw Teto ohomý výko je přímo využívá v paelech sluečích bateií kosmických sod a ve sluečích elektáách Při povchu Země je teto výko síže ozptylem v atmosféře Komě jadeé eegie pochází veškeá běžě dostupá eegie a Zemi ze sluečí eegie Dopadající výko sluečího zářeí je apříklad částečě absobová ostliami a pomocí fotosytézy ukládá do eegie chemických vazeb Po moha letech je tato eegie zpětě využita při spalováí uhlí, afty ebo bezíu Dopadající zářeí způsobuje také odpařováí vody z povchu Země a umožňuje tak vodí koloběh Poto i eegie využívaá ve vodích elektáách má papůvod ve sluečí eegii
6 Teplota Sluce z itezity zářeí Zadáí: Učete povchovou teplotu Sluce, víte-li, že u Země je tok eegie světelého zářeí od Sluce ove 4 kw/m Řešeí: Itezita vyzařováí je defiováa jako výko a plochu eboli P I Z S Zářivý výko v kouli kolem Sluce ve vzdáleosti AU (u Země) je ove P S ZS 4π I Potože záme polomě Sluce S 7 0 5 km, můžeme předchozí vztah přepočítat a itezitu a povchu Sluce jako PS ZS I S I Z 4 π S S Ze Stefa-Boltzmaova zákoa yí plye teplota a povchu T I 4 S σ Po dosazeí docházíme k přibližé hodotě 5800 K a povchu Sluce 7 Elektické pole sluečího zářeí u Země Zadáí: Sluečí zářeí má v okolí Země itezitu I 4 kw/m Nalezěte půměou hodotu itezity elektického a idukce magetického pole v sluečím zářeí v místě, kde se achází Země Řešeí: Itezita dopadající eegie je dáa velikostí Poytigova vektou: I Z S EH Pomě elektické itezity a magetické idukce v elektomagetické vlě je E/B c Tyto dva vztahy můžeme chápat jako soustavu dvou ovic po elektické a magetické pole: E µ 0I EB ; c B Vyásobeím a vyděleím obou ovic dostaeme řešeí: E Výsledek: E 76 V/m, B 4 0 6 T cµ I ; B 0 Pozámka: Pole 76 V/m se a pví pohled zdá být eomí Musíme si však uvědomit, že ozdíl poteciálů 76 V je měře a vzdáleosti m Skutečé emisí akty však tvají kátkou dobu a pozoovaé světlo se skládá z úseků déozměů ěkolikaásobku vlové délky Na této vzdáleosti je již ozdíl poteciálů malý Z µ I 0 c
8 Tlak zářeí Zadáí: Učete ozměy částeček pachu, u kteých je v mlhoviě kolem hvězdy vyováa gavitačí síla tlakem zářeí *, T * Hvìzda F gav pachové zko p mp F záø p Řešeí: Veličiu x chakteizující cetálí hvězdu v mlhoviě budeme ozačovat idexem x, * veličiu x chaakteizující zíčko pachu idexem x p Po gavitačí sílu působící a zíčko pachu vychází: 4 3 m m π p ρ pm p 3 * * FG G G Sílu elektomagetického zářeí učíme jako souči tlaku zářeí a účié plochy zíčka Ta závisí a tvau zíčka a jeho oietaci vzhledem k dopadajícímu zářeí V pvím přiblížeí ji lze považovat za půřez zíčka: I( ) FAD pad S p u π p π p 3 3 c Itezitu zářeí a povchu hvězdy můžeme učit ze Stefa-Boltzmaova zákoa I( * ) σ T * 4 Itezita ubývá s kvadátem vzdáleosti a v místě zíčka poto bude I( ) σ T / * * Výsledý vztah po sílu způsobeou tlakem zářeí tedy bude: πσ T * * p FAD 3 c Povšiměte si, že gavitačí síla i síla od tlaku zářeí ubývají s duhou mociou vzdáleosti od hvězdy! Budou-li po zo učité velikosti vyováy v blízkosti hvězdy, budou také vyováy ve větší vzdáleosti Malá zíčka tak budou vypuzea tlakem zářeí a velká zíčka udžováa v mlhoviě gavitací ezávisle a tom, o kteou část mlhoviy jde Poováím obou sil sado učíme ozměy zíčka, po kteé jsou obě síly vyováy: 4 T * * p0 4cG m * σ ρ 4 p 4 3
Po ozměy zíček p < p 0 převláde tlak zářeí a po ozměy zíček p > p 0 převláde gavitace Pozámky: Uvedeé vztahy závisí je a hustotě pachu, kteá bývá v celé mlhoviě stejá V mlhoviě jsou však oblasti s malými ozměy zek a oblasti s většími ozměy Dojde-li v mlhoviě ke vziku mladé hvězdy, jsou oblasti dobých zek vyfoukáy vě mlhoviu, podobě jako je a poušti větem odvát dobý pach a úko hubozého písku Tomuto jevu se říká fotoevapoace, zpavidla je způsobea ultafialovým světlem mladých hvězd Výsledkem fotoevapoace jsou chaakteistické ostře ohaičeé oblasti mlhoviy, kteé odolaly agesivímu zářeí mladých hvězd Například u Olí mlhoviy obklopující hvězdokupu M 6 se těmto útvaům říká Sloupy stvořeí Obdobý jev také záme u komet Často mívají dva ohoy, jede z hubších částeček, kteý míří blíže ke Sluci a je ovládá gavitací a duhý z dobějších částeček, kteý míří spíše od Sluce a je ovládá tlakem zářeí Vzhledem k přítomosti odstředivé síly ejsou oba ohoy a spojici kometa-sluce 9 Teplota těles a vlové délky zářeí Zadáí: Naletěte z Wieova zákoa vlové délky vyzařováí po hvězdy spektálí třídy W (80 000 K), G (6700 K), L (700 K), člověka (30 K) a eliktího zářeí (,73 K) Naopak učete teplotu čeé díy velikosti ašeho Sluce, kteá září převážě a vlové délce sovatelé s Schwazchildovým poloměem (3 km) Řešeí: Z Wieova zákoa λ max b/t sado alezeme: Objekt Teplota Vlová délka Hvězda typu W 80 000 K 36 m Hvězda typu G 6700 K 43 m Hvězda typu L 700 K 7 µm Člověk 30 K 9 µm el zářeí,73 K mm Čeá día (3 km) 0 7 K 3 km Pozámky: Nejteplejší hvězdy spektálí třídy W září převážě v UV oblasti a velmi kátkých vlových délkách (Wolf-ayetovy hvězdy) Podobé hvězdy jako Sluce mají spektálí třídu G a září ve viditelé oblasti, maximum vyzařováí Sluce je apříklad a 500 m Lidské oko se v půběhu vývoje tomuto zářeí dokoale přizpůsobilo Nejchladější zámé hvězdy typu L mají maximum vyzařováí v blízké I oblasti Sám člověk by jako absolutě čeé těleso zářil asi a 0 µm Na této vlové délce musí být citlivá čidla moitoující pohyb člověka (čidla a zloděje apod) eliktí zářeí z doby odděleí zářeí od látky, kteé postupuje celý Vesmí má vlovou délku asi mm a je tedy z adiového obou Stejě tak jako v miulosti vyplňuje posto beze zbytku To je dáo tím, že vlová délka zářeí se zvětšuje spolu s ozpíáím Vesmíu Do m 3 se tak vejde asi miliada eliktích fotoů Čeá día velikosti Sluce by měla paepatou teplotu a vyzařuje velmi málo Malé čeé díy ale září výazě více 4
III HVĚZDY, SLUNCE Hydodyamický čas Zadáí: Nalezěte hydodyamické časy po Sluce, bílého tpaslíka a eutoovou hvězdu (Hydodyamický čas je doba šířeí pouchy a je přibližě ove času, po kteý by částice s povchovým zychleím padala do ceta objektu) Řešeí: Víme, že mm M Wp G m g h, kde g G S použitím s gt / vyplývá po hydodyamický čas t hydo 3 s g GM GM Po kokétí hodoty poloměů hvězdých objektů dostáváme ásledující výsledky: Sluce: ~ 40 miut, bílý tpaslík: ~ s, eutoová hvězda: ~ ms Jeasovo kitéium Zadáí: Odvoďte vztah po kitickou hmotost mlhoviy, při kteé se zače vlastí gavitací houtit Předpokládejte, že hmotost jedé molekuly je m, záte teplotu a hustotu mlhoviy Řešeí: V mlhoviě jsou dva typické pocesy: ) difúze způsobeá tepelým pohybem, kteá mlhoviu zvětšuje ) gavitačí přitahováí, kteé se saží mlhoviu smštit Spočtěme chaakteistické ychlosti obou pocesů: Chaotickou tepelou ychlost učíme z ekvipatičího teoému Půměá kietická eegie a jede stupeň volosti je ova půměé tepelé eegii a jede stupeň volosti mv kt v tep Půměou složku ychlosti odpovídající gavitaci učíme z ekvipatičího teoému po gavitačí eegii kt m 5
mm GM mv G v gav Nyí z podmíky po houceí v gav > v tep máme GM kt > m Spolu se vztahem po hustotu M ρ 3 lze kitéium upavit a tva M 3/ kt, > mg kteý je zám jako Jeasovo kitéium Při vyšších hmotostech ež je pavá staa je mlhovia estabilí a může dojít k samovolému houceí Pozámka: Řešeí lze přesě odvodit stadadím vyšetřováím stability v hydodyamice za pomocí pouch ovovážého stavu Jeasovo kitéium je haicí za kteou se pouchy samovolě etlumí a mlhovia se stává estabilí Povšiměte si také, že kitická hmotost je úměá p 3/ Kitéium popvé odvodil Jeas v oce 90 ρ 3 ovováha polytopí hvězdy Zadáí: Řešte ovováhu gavitačí a tlakové síly ve hvězdě po polytopí závislost tlaku a hustotě Řešeí: Při řešeí se budeme zabývat je závislostí a ozměech hvězdy Gavitačí síla má tva F gav γ Tlaková síla je dáa součiem tlaku p ρ a povchu S, tj γ 3γ Ftlak ~ ρ ~ ~ 3γ Obě síly za omálích okolostí klesají s ozměy hvězdy ovováha se ustaví při ovosti obou sil Styl poklesu obou sil je stejý po koeficiet 4 γ 3 Diskutujme dva případy Nejpve γ > 4/3 Tlaková křivka je stmější ež gavitačí 6
F γ > 4/3 (tlaková stmější) F γ < 4/3 (tlaková méě stmá) F gav F tlak F tlak F gav δ δ 0 +δ 0 +δ 0 0 0 0 Jestliže hvězda zcela áhodě zvětší své ozměy, převláde gavitačí síla a hvězdu opět smští Zmeší-li hvězda své ozměy, převláde tlaková síla a afouke hvězdu a původí ozmě Hvězda je stabilí a výkyvy v jejích ozměech eohozí její existeci V případě γ < 4/3 je tomu jiak Jestliže hvězda zcela áhodě zvětší své ozměy, převláde tlaková síla a bude hvězdu adále utit zvětšovat ozměy Hvězda bude estabilí a miimálě odhodí obálku Zmeší-li hvězda své ozměy, převláde gavitačí síla a bude utit hvězdu ke kolapsu Pozámka: Mateiál bílých tpaslíků má polytopí koeficiet blízký 4/3 Polytopí koeficiet se poěkud měí s hmotostí tpaslíka Při hmotosti přibližě 44 M S má polytopí koeficiet pávě hodotu 4/3 a po vyšší hmotosti je bílý tpaslík estabilí Této haici se říká Chadasekhaova mez 4 ovice ovováhy polytopí hvězdy Zadáí: Sestavte ovici ovováhy polytopí hvězdy Řešeí: Nechceme-li se omezit a odhady v miulém příkladu, je třeba skutečě řešit ovici ovováhy F gav d F tlak Cílem je sestavit takové ovice, ze kteých bude možé učit závislost tlaku p () a hustoty hvězdy ρ () a vzdáleosti od ceta Jedou z ovic je ovice polytopího chováí p kρ γ () Duhou ovici získáme z podmíky ovováhy gavitačí a tlakové síly a vstvu tloušťky d zázoěou a obázku Na tuto vstvu působí gavitačí síla M() dm dfgav G ; dm 4 π ρ( ) d 4 π ρ( ) M( ) dfgav G d 7
M() je hmotost vitřku hvězdy pod vybaou slupkou Tlaková síla působící a slupku je dftlak 4π dp Z ovováhy obou sil máme duhou ze sady ovic: dp ρ() M() G d Posledí ovici získáme ze vztahu po hmotost M(): Difeeciací máme: M () 4 π ρ() d dm d 0 () 4 π ρ( ) (3) Soustavu těchto tří ovic řešíme vhodým difeečím schématem Počátečí podmíky ovic jsou p(0) p 0 a M(0) 0 Itegací se tlak směem od ceta sižuje V okamžiku, kdy p 0, ukočíme itegaci, eboť jsme došli až k povchu hvězdy p p 0 5 Poováí výkoů Zadáí: Jaký je pomě zářivých výkoů bílého tpaslíka a omálí hvězdy, mají-li stejou povchovou teplotu? Předpokládejte polomě tpaslíka WD 5000 km a polomě omálí hvězdy NOM 000 000 km Řešeí: Mají-li hvězdy stejé teploty, mají také stejou itezitu vyzařováí a povchu, takže PWD σt 4π T : 40 000 P σt 4π T NOM 4 WD 4 NOM WD NOM 4 WD 4 NOM WD NOM Vidíme, že zářivý výko bílého tpaslíka je řádově 0 000 meší ež u omálí hvězdy 6 Polomě Pocyou B Zadáí: Bílý tpaslík Pocyo B vyzařuje výko T 900 K Jaký má hvězda polomě? Řešeí: Jak víme z předchozího příkladu je 4 P 63 0 PS Jeho povchová teplota je 8
z čehož vyplývá polomě Poc 4 Poc Poc Poc P T PS S TS 4 5700 S PPoc TS 63 0 700 000 km 6 800 km PS TPoc 900, 7 Úbytek sluečí hmoty Zadáí: Kolik pocet sluečí hmoty se přeměí v eegii za jedo tisíciletí? Řešeí: Hledáme pomě hmoty, kteá se přeměí a eegii (ubude) a původí hmoty Sluce, eboli m E c PS t c PS t x, M M M Mc 6 3 4 0 0 365 4 3600 9 x 7 0 7 0 % 30 6 0 9 0 Za celé tisíciletí tedy současým vyzařovaým výkoem ubude je sedm miliadti poceta sluečí hmoty! 8 Kytí podukce eegie gavitačí kotakcí Zadáí: O kolik by se musel změit polomě Sluce za ok, aby eegie uvolěá gavitačím smšťováím odpovídala eegii vyzařovaé Slucem ( 700 000 km, M 0 30 kg, P 0 6 W)? Jak dlouho by mohlo Sluce kýt vyzařovaou eegii z gavitačích zdojů? Řešeí: V ašem řešeí budeme hledat je hubý odhad a koeficiety vyecháme M Wp G M Wp G W p GM P S t GM Za ok po dosazeí v sekudách dostáváme 3 m Jestliže by se tedy Sluce zmešovalo o 3 m za ok, pak by se při poloměu 700 000 km zmešovalo ejdéle 8 7 0 m 30 0 6 let T 3 m ok 9
Sluce už ale existuje ěkolik miliad let (což víme apříklad z hoi a Zemi), a poto emůže být zdojem jeho eegie gavitačí smšťováí 9 Teplota sluečí skvy Zadáí: Odhaděte teplotu ve sluečí skvě ze zalosti magetického tlaku ve skvě, kocetace částic a teploty okolí Řešeí:Celkový tlak vě i uvitř skvy musí být stejý Ve skvě je tlak součtem tlaku látky a magetického tlaku: kt T pi + pmag pout, i i B + ktout, µ 0 0 B Tout µ k Je zřejmé, že díky přítomosti magetického pole musí být teplota ve skvě ižší ež teplota okolí 0
IV GAVITACE A TÍŽE Gavitací ozumíme vzájemé přitahováí dvou libovolých těles Toto přitahováí se řídí Newtoovým gavitačím zákoem Nejjedodušší je zadat vztah po poteciálí eegii (skaláí veličiu) Na tělesa působí síla mířící k miimu poteciálí eegie, kteou učíme ze vztahu F W p Síla je veličia vektoová a má tři složky V ěkteých výjimečých případech postačí zát je velikost gavitačí síly, esp její adiálí složku W p / Tíže je je přibližý vztah ke gavitaci Jde o lieáí ozvoj poteciálí eegie Tíhové pole je použitelé v situacích, kdy se příliš eměí aše vzdáleost od ceta gavitace (apříklad a zemském povchu) Ve vztahu po poteciálí eegii i sílu vystupuje souči hmotostí obou přitahovaých těles Zpavidla jde o zdoj gavitace (M) a meší testovací tělísko (m) Výhodé je zavést veličiy ezávislé a hmotosti testovacího tělesa: poteciál φ (poteciálí eegie děleá hmotostí testovacího tělesa) a itezitu K (síla děleá hmotostí testovacího tělesa) Poteciál a itezita závisí je a paametech zdoje pole Podobě se v elektostatice zavádí poteciál a itezita elektostatického pole vyděleím veliči ábojem testovacího tělesa Gavitace W G G φ G G Tíže mm M FG KG WG φg G G mm M W T mgh W F T T h mg φ T gh φ K T T h g Vztah mezi tíhovým a gavitačím polem Zadáí: Ze vztahu po gavitačí poteciálí eegii odvoďte pomocí Tayloova ozvoje v blízkosti povchu vztah po poteciálí eegii tíže Řešeí: Vyjádřeo v poteciálích eegiích je W T mgh (poteciálí eegie tíhového pole), mm W G G (poteciálí eegie pole gavitačího)
W T ~h W G h ~ / Na pví pohled se může zdát být divé, že v obou případech při vzdalováí od ceta eegie oste Ituitivě tušíme, že by gavitačí působeí mělo se vzdalováím slábout Vysvětleí spočívá v tom, že vztah po tíhové pole platí je v těsé blízkosti povchu, takže o vzdalováí od tělesa emůže být ai řeč Jde o lieáí přiblížeí ke gavitačímu poli Ve vztahu po gavitačí pole poteciálí eegie sice se vzdalováím oste, ale k ule! V absolutí hodotě skutečě pole slábe k ule h Wp ~ h ~ / Nahaďme gavitačí pole tečou v blízkosti povchu (udělejme Tayloův ozvoj do pvího řádu v 0 ): W G ( ) W G ( ) + W ' G ( ) ( ) + Poteciálí eegii můžeme posuout o kostatu a a silách se to epojeví, takže postačí W mm GM ' G ( ) WG ( ) ( ) G ( ) m h kde jsme zavedli tíhové zychleí vztahem GM g Pád z malé výšky - difeečí schéma Zadáí: Napište difeečí schéma po pád tělesa z malé výšky (tíhové pole) a z velké výšky (gavitačí pole) Po pád z velké výšky uvažujte odpo atmosféy úměý ychlosti tělesa Pád pobíhá je v adiálím směu Řešeí: Pohybová ovice po malou výšku vyplývá z Newtoova zákoa s tíhovou poteciálí eegií W mgh mh T mg h h mgh,
Výsledá difeeciálí ovice h g je mimořádě jedoduchá a její řešeí bychom sado mohli ajít aalyticky Tvobu difeečího schématu si poto ukážeme pávě a takto jedoduché ovici Stejý postup můžete aplikovat i a složitější ovice, kteé již emají aalytické řešeí h m mg Nejpve převedeme difeeciálí ovici duhého řádu a soustavu ovic pvího řádu (ve fyzice k tomu využijeme defiice ychlosti jako pví deivace hledaé poměé podle času): dh v, dt dv g dt Nebudeme yí hledat řešeí v každém čase (difeeciálí ovice), ale je v ěkteých časech difeečí ovice) V paxi to zameá ahazeí skutečého řešeí lomeou čaou Budou ás tedy zajímat je hodoty h h( t ), v v( t ) Skutečé deivace ahadíme koečými ozdíly: h v + t + t h v Nyí vypočteme hodoty + pomocí hodot : h v + + h v v, g + v t, g t Získali jsme tak difeečí schéma, podle kteého počítáme jedotlivé hodoty h v h, v h, v 0, 0 Je zřejmé, že k umeické kodstukci řešeí postačí zát počátečí výšku a ychlost (počátečí podmíky), apříklad: h H v 0 0, 0 3