Šíření elektromanetických ln Smithů diaram Příklady k procičení jsou podle [] Diaram nese náze podle inženýra společností RCA Philipa H. Smitha, který e třicátých letech minulého století odstranil leou půlku nekonečné plochy fázoroého diaramu. Důod byl jednoduchý - záporné rezistance se něm neyskytují. Praou půlku nekonečného diaramu stočil do kruhu. Asi rok před Smithem napadla stejná myšlenka japonského inženýra Kurakawu, ale nedokázal ji tak rozinout jako Smith.
Hlaní pojmy, s nimiž SD pracuje Impedance, tedy komplexní odpor se složkou reálnou (opradoá, skutečná) rezistencí R, na níž enerie ykonáá práci a napětí i proud jsou přesně e fázi a složkou imainární (zdánliá, neskutečná nebo jaloá) - reaktancí X. Reaktance kladná je induktance, záporná kapacitance. (Pozor, anloamerické literatuře kapacitance kapacita). Názy se často nahrazují složeným ýrazem reaktance kapacitní a reaktance induktiní. Admitance je komplexní odiost jednotkách S (Siemens). V anloamerické literatuře se jednotka Siemens nepoužíá, místo toho mají jednotku Mho, což není nic jiného než Ohm napsaný pozpátku. Admitance se opět skládá ze dou složek - reálné konduktance a imainární - susceptance. Susceptance opět může být kapacitní a induktiní, kapacitní je kladná, induktiní záporná. PSV je poměr stojatých ln a souisí s činitelem odrazu. Počet lnoých délek směrem ke zdroji a směrem k zátěži. Obod Smithoá diaramu předstauje délku l/. Smithů diaram je rozdělen na dě poloiny odoronou přímkou. Kterýkoli bod na této přímce má pouze reálnou - odporoou složku, bez složky reaktanční. Horní poloina diaramu nad touto přímkou yjadřuje kladnou reaktanci, spodní poloina zápornou reaktanci. Nyní si šimněme čerených kružnic praé části diaramu. Kterákoli z těchto kružnic je tořena body se stejnou reálnou impedancí - například tučně ytištěná čerená kružnice předstauje impedanci 50 Ω, tedy kdekoli na této kružnici bude reálná složka impedance 50Ω, při čemž horní poloině kružnice přibude složka induktiní (kladná reaktance) a e spodní poloině kružnice přibude složka kapacitní (záporná reaktance). ákladní lastnosti Smithoa diaramu raficky znázorňuje komplexní roině záislost činitele odrazu na impedanci impedance je diaramu ynesena prostřednictím parametrických čar činitel odrazu R je komplexní ektor jdoucí z počátku do bobu, který odpoídá dané impedanci odoroná osa směrem prao je kladná reálná část činitele odrazu Re(R) sislá osa směrem nahoru je kladná Im(R) obrazení poměrné impedance z (r + jx) e Smithoě diaramu parametry r a x udáají elikost poměrné impedance a diaramu jsou yneseny podobě parametrických čar (čerených kružnic) e Smithoě dia. je každý bod obrazem konkrétní impedance a je definoán dojicí poměrných hodnot r a x každé impedanci z přísluší jeden činitel odrazu R podle definičního ztahu platí i naopak, že každé hodnotě činitele odrazu, který je zobrazen jako ektor dané komplexní roině, odpoídá jedna dojice hodnot r a x tedy jedna hodnota poměrné impedance z
Nekonečná impedance (naprázdno) Nuloá impedance (zkrat) Admitanční parametry e Smithoě diaramu postup a ztahy jsou analoické jako u impedančních parametrů impedanci nahrazujeme admitancí Y /, taktéž ztažnou impedanci čerené a zelené kružnice jsou nazájem symetrické pozor na imainární osu, oproti impedančním parametrům má prohozená znaménka Nekonečná admitance (zkrat) - Nuloá admitance (naprázdno) 3
Činitel odrazu je obecně definoán ztahem: - 0 R + 0 0 charakteristická impedance edení impedance na konci edení (impedance zátěže), nebo impedance na začátku edení Veličiny e Smithoě diaramu jsou yneseny poměrných hodnotách. Délka edení je ztažena k lnoé délce. Impedance jsou e Smithoě diaramu ztaženy na charakteristickou impedanci edení 0, ztah pro činitel odrazu pak přejde do taru: z - R kde z poměrná impedance: z + z 0 Poměrná impedance má reálnou složku r (činný odpor) a imainární složku x (poměrnou reaktanci) z r + j x Kružnice se středem na odoroné ose jsou eometrická místa bodů s konstantní hodnotou parametru r. Velikost tohoto parametru je udána čereným číslem nad odoronou osou diaramu. Vnější kružnice se středem počátku odpoídá hodnotě r 0 a je současně jednotkoá, odpoídá činiteli odrazu o absolutní hodnotě R. Přizpůsobení zátěže pasiními prky pomocí Smithoa diaramu Po změření konstruoané antény zjistíme reálnou a reaktanční složku impedance, a poté podle zjištěných hodnot musíme narhnout spráné přizpůsobení. Pomůže nám k tomu Smithů diaram, což je ynikající pomůcka pro anténáře. Hlaní elká kružnice je unitř rozdělena různými kružnicemi a křikami. Kterékoli místo unitř diaramu má přesné hodnoty impedance. Jen jediný bod šak předstauje ideální sta, tedy reálnou impedanci 50Ω, kladnou reaktanci - induktanci 0, zápornou reaktanci - kapacitanci 0, tedy místo ideálního přizpůsobení. Tento bod se nachází e středu kružnice. Příklad: Pomocí Smithoa diaramu určete admitanci dojpólu, který má normoanou impedanci: a) z a +,5j b) z b 0,5 0,3j Řešení:Ve Smitoě diaramu nejpre yznačíme normoanou impedanci. Sestrojíme kružnici konstantního poměru stojatých ln, jejíž střed leží e středu Smithoa diaramu a prochází bodem, yznačujícím zatěžoací impedanci z. Potom sestrojíme procházející yznačenou impedancí a středem Smithoa 4
diaramu. Hledaná impedance leží na kružnici konstantního poměru stojatých ln a na sestrojené přímce. Admitanční diaram můžeme tedy získat z impedančního diaramu inerzi kolem bodu (středu diaramu) y a 0,3 0,4j. Výpočtem y z yjde -,5 j -,5 j -,5 j ya 0,3-0, 4 j z +,5 j +,5 j -,5 j 4 +,5 6,5 a Analoicky 0,5 + 0,3 j 0,5 + 0,3 j 0,5 + 0,3 j yb,47 + 0, 88 j z 0,5-0,3 j 0,5-0,3 j 0,5 + 0,3 j 0,5 + 0,09 0,34 b Příklad: Bezeztrátoé edení je zakončeno naprázdno. Určete jaká bude normoaná hodnota impedance z e zdálenosti 3/8l od konce edení. Řešení: Hodnotu impedance z určíme ze Smithoa diaramu.vedení je zakončeno naprázdno, takže má zakončoací impedance hodnotu z. Této impedanci odpoídá e Smithoě diaramu bod, který získáme jako průsečík kružnice pro r 0 a fázoé přímky pro z. Posuneme se o 3/8l směrem ke zdroji. Spojíme tento bod se středem Smithoa diaramu a najdeme průsečík této přímky a kružnice pro r 0. Potom odečteme z j. Příklad: Homoenní bezeztrátoé edení je zakončeno normoanou impedancí: a) z 0,7 j b) z 0,5 + j,5 Určete normo anou hodnotu impedance e zdálenosti 0,3l od konce edení. Řešení: a) Ve Smitoě diaramu nejpre yznačíme normoanou zatěžoací impedanci. Odečteme příslušný poměr délky edení k lnoé délce a transformujeme z směrem ke zdroji o 0,3l. Potom sestrojíme kružnici konstantního poměru stojatých ln (jejíž střed leží e středu Smithoa diaramu a prochází bodem, yznačujícím zatěžoací impedanci z ) a jestliže se tento poměr podél edení bezeztrátoých 5
edeních nemění, leží hledaná impedance na této kružnici b) Analoicky z 0,8 +,j z 0,35,4j. Příklad: Homoenní bezeztrátoé edení je zakončeno zkratem. Určete normoanou hodnotu impedance e zdálenosti l /4, 3l /8 od konce edení. Řešení: a) Je-li na konci edení zkrat, má zakončoací impedance i reálnou hodnotu nuloou z 0, tedy má reálnou i imainární hodnotu ronou nule. Této hodnotě odpoídá e Smithoě diaramu bod, který získáme jako průsečík kružnice pro r 0 a přímky pro x 0, protože z r + jx. Tímto bodem a středem Smithoa diaramu edeme přímku. Najdeme bod, který je průsečíkem této přímky a obodoé kružnice. Je to bodě l/l 0. Posuneme se o l /4 0,5 l směrem ke zdroji. Spojíme tento bod se středem Smithoa diaramu a najdeme průsečík této přímky s kružnicí pro r 0, odečteme z. a) Postup je podobný jak bodu a) s tím rozdílem, že z bodu z 0 se posuneme o 3l /8 0,375 l. Tento bod spojíme se středem Smithoa diaramu a najdeme průsečík této přímky s kružnicí pro r 0, odečteme z -j. Příklad: Dokažte, že a) čtrtlnná transpozice na bezeztrátoém edení je inerzní; b) půllnná transformace na bezeztrátoém edení je identická. Řešení: a) Vyjdeme ze ztahu pro transformaci liboolné ýchozí impedance z půodního místa o zdálenosti d podél edení který upraíme pro bezeztrátoé edení na tar ± ± th d () th d l () d ± j tp d ± jtp l 6
d Při čtrtlnné transformaci je 0,5. Dosazením do () zjistíme, že l tj. že ýsledná impedance je úměrná přerácené (inerzní) hodnotě ýchozí impedance. Pro normoané impedanci dostaneme z Čtrtlnnou transformací přejde liboolná normoaná impedance na sou přerácenou hodnotu ronou normoané admitanci a naopak, Ve Smithoě diaramu odpoídá čtrtlnné transformaci otočení fázoé přímky o 80. K danému bodu z zjišťujeme bod z, z středoě souměrný podle středu Smithoa diaramu. Tato lastnost se dá yužit k jednostrannému ýpočtu přerácené hodnoty komplexního čísla nebo k přepočtu impedance na admitanci a naopak. b) Do ztahu dosadíme d/l 0,5. potom z z, t.j. ýsledná impedance se roná půodní impedanci. Ve Smitoě diaramu odpoídá půllnné transformaci otočení fázoé přímky o 360, takže ýsledný bod z se ztotožní s ýchozím bodem z. toho yplýá skutečnost, že šechny lastnosti homoenního edení beze ztrát se opakují po úsecích 0,5l. z y Příklad: Určete stupní impedanci útaru podle obr, jestliže znáte: l 0,5m, l m, l 3 500m, 75W, 50 W, 3 5W, (5 + 00j) W, (300 + 50j) W, λ 0,55m. Řešení: Vypočteme normoané impedance a zdálenosti: l 0,5 0,55 ( 0,9-0,5 0, l ) 0,9 l 0,55 l 4 (,8-3.0,5 0, l ),8 l 500 0,55 l 3 ( 77,7-5454.0.5 0, l ) 3 77,7 l 7 Údaje záorkách hledáme e Smithou diaramu, protože je na něm zdálenost periodická s periodou 0,5λ. z æ 5 00 ö ç + j 0,33 è 75 75 ø +,33 j 7
æ 300 50 ö z ç + j 6 + 3 j è 50 50 ø Do Smithoa diaramu najdeme k normoaným impedancím admitance y 0,8 0,7j y 0,35,j a předpokladu konstantního poměru stojatých ln r odečteme y,05,65j y 0,84,j To jsou hodnoty admitancí y a y přenesené do bodu spojení edení pro konstantní r. Tyto hodnoty odnormujeme. Y Y y',05,65 - j ( 0,04 0,0353 j)s 75 75 - y' 0,84, j ( 0,068 0,0444 j)s - - 50 50 Po sečtení admitancí dostaneme Y (0,0308 0,03974) S Tuto admitanci normujeme y Y. 3 (0,0308.5 0,03974.5j) 0,77 0,9935j e Smithoa diaramu odečteme y, Je to y posunuté o l 3 0,7λ směrem ke zdroji a transformoané na impedanci z 0,3 4,5j Tuto impedanci odnormujeme z. 3 (0,3.5 4,5.5j)W (7,5,5j)W Vstupní impedance edení ze zadání je tedy (7,5,5j)W Příklad: Homoenní bezeztrátoé edení s lnoou impedancí 75W je zakončené: a) odporem R 50W b) impedancí (75 j50)w Určete stupní impedanci edení, je-li edení dlouhé l 3,5m a λ 30 cm. Řešení: a) Nejpre znormujeme zakončoací impedanci z R 50 75. Dalším krokem je yjádření zdálenosti l 3,5m pomocí λ. Víme, že lastnosti edení se opakují po zdálenostech λ /. Tedy 3,5 metroé zdálenosti odpoídá l,56 λ 3 λ / 0,6 λ. 8
toho yplýá, že nám stačí určit stupní impedanci e zdálenosti 0,6 λ od konce edení. To určíme pomocí Smitha diaramu. Postup při určoání:. Vyznačíme normoanou zatěžoací impedanci e Smithoě diaramu.. Najdeme k tomu odpoídající polohu fázoé přímky. 3. Posuneme se o 0,6 λ směrem ke zdroji. 4. Sestrojíme odpoídající fázoou přímku. 5. Odečteme normoanou stupní impedanci. 6. Vypočteme skutečnou stupní impedanci. Podle tohoto postupu dostaneme z 0,64 0,43j z čehož z. (48 j 3,5)W (b)podobným dostaneme postupem potom z 0,5 a 0,05j z čehož z. (0,5 + j0,05).75 (39 + 3,75j)W Příklad: Určete stupní impedanci útaru, který je na obrázku. Údaje o edení: l 0,l, 50W, l 0,3l, 75W. Celý útar je zakončen impedancí (300 + j75) W. Rešení: Nejpre normujeme zatěžoací impedanci 9
Najdeme polohu z na diaramu. Vedeme přímku přes střed diaramu a přes z. Na okraji diaramu odečteme počet lnoých délek ke zdroji. K tomuto počtu lnoých délek připočteme l 0,4l + l 0,4 l + 0,3l 0,54l. Od 0,54l odečteme 0,5l, protože diaram je periodický s periodou 0,5l, tj. diaramu se posuneme o 0,04l, a určíme z (0,5 + j0,5)w Tuto impedanci odnormujeme z. (0,5.75 + j 0,5.75) (8,75 + j 8,75)W Normujeme pomocí lnoé impedance prého edení Najdeme diaramu z. Po ytoření přímky přes z a střed diaramu odpoídá na okraji diaramu 0,06l ke zdroji. K nim připočteme l. 0,06l + l 0,06l + 0,l 0,6l. Najdeme na diaramu impedanci z j0,45 Odnormujeme z. (3.50 j0,45.50) (50 j,5)w Vstupní impedance útaru je (50 j,5)w Příklad: Homoenní edení je na ýstupu zkratoané. Jakou musí mít toto edení délku a jaké tlumení, aby jeho normoaná stupní impedance byla z (0,55 + j,5)w? Řešení: Pro ztrátoé edení musíme nejdříe určit pro danou impedanci z koeficient odrazu. Při určoání tohoto koeficientu můžeme postupoat děma způsoby. Použijeme Smithů diaram. Vycházíme z bodu, kde z 0 a postupujeme směrem ke zdroji až po impedanci z.. způsob určení r 0
měříme poloměr Smithoa diaramu a zdálenost z od středu diaramu. poměru poloměru zjistíme. způsob řešení r jistíme r a použitím známého ztahu určíme koeficient odrazu. Dostaneme r 6,3 () Impedance z 0 se nachází na obodoé kružnici diaramu, kde je koeficient odrazu. Použitím ztahu Dostaneme potřebný ztah pro tlumení a délku edení 0,74 ln 0,74 -al -0,33 - al al 0,6 Np a odečtením z diaramu dostaneme l 0,63l. Dosadíme-li tento ztah do (), můžeme získat i součin tlumení a lnoé délky al 0,988. Literatura [] Turán,J., Petrik,S.: Obody a technika k, Alfa, Bratislaa, 988 [] OKBUH: Seriál na pokračoání: Antény a impedance In: http://okbuh.naano.c:zjfirst/impedance.html