nestrukturovaných sítích

České vysoké učení technické v Praze Fakulta strojní Diplomová práce Numerické řešení transsonického proudění v mříži pomocí upwind schématu na nestrukturovaných sítích Jiří Dobeš 2000 Praha

Vysoká škola: ČVUT v Praze 6, Technická 4 Fakulta: strojní Ústav: technické matematiky Školní rok: 1999/2000 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE (PROJEKTU, UMĚLECKÉHO DÍLA, UMĚLECKÉHO VÝKONU) pro: obor: p. Jiřího DOBEŠE Aplikovaná mechanika Název tématu: Numerické řešení transsonického proudění v mříži pomocí upwind schématu na nestrukturovaných sítích Pokyny pro vypracování: 1. Formulujte úlohu obtékání rovinné axiální a radiální mříže popsanou systémem Eulerových rovnic. 2. Vypracujte numerickou metodu řešení této úlohy založenou na použití obecné nestrukturované sítě konečných objemů a modifikovaného Roeho Riemann solveru 1. a 2. řádu přesnosti včetně adaptace sítě. Odlaďte příslušné programy na dostupné výpočetní technice. 3. Ověřte numerické metody pro vybrané případy axiálních a radiálních mříží z technické praxe. 4. Navrhněte vhodné rozšíření metody pro řešení vazkého transsonického proudění v mříži s algebraickým modelem turbulence.

Rozsah grafických prací: 1. Zpracování výsledků numerického řešení. 2. Porovnání výsledků s jinými metodami a experimentem. 3. Dokumentovnání algoritmů adaptace sítě. Rozsah práce: cca 40 stran textu. Doporučená literatura: 1. Toro E. F.: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer NY 1997. 2. Hirsch, Ch.: Numerical Computation of Internal and External Flow. J. Wiley 1993. 3. Sborníky z konferencí CFD dle doporučení vedoucího DP. Vedoucí diplomové práce: Doc. Ing. Jaroslav Fořt, CSc. Datum zadání diplomové práce: 2. 6. 2000 Datum odevzdání diplomové práce: 15. 12. 2000....................... Vedoucí ústavu U201....................... Děkan V Praze dne:.......................

Pohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatně a uvedl jsem všechnu použitou literaturu. V Praze 12. prosince 2000....................... Jiří Dobeš

Obsah Předmluva Přehled užitého značení v vii 1 Numerické metody typu upwind 1 1.1 Definice důležitých pojmů............................. 1 1.2 Lineární rovnice................................... 2 1.3 Nelineární rovnice................................. 3 1.4 TVD metody.................................... 5 1.5 Upwind metody................................... 6 2 Nevazké proudění ve 2D 9 2.1 Eulerovy rovnice v konzervativním tvaru..................... 9 2.2 Formulace úlohy.................................. 9 2.2.1 Axiální lopatková mříž.......................... 9 2.2.2 Radiální lopatková mříž.......................... 11 2.2.3 Kanál.................................... 11 2.3 Izoentropické vztahy................................ 11 2.4 Numerické řešení.................................. 12 2.4.1 Bezrozměrný tvar Eulerových rovnic................... 12 2.4.2 Metoda konečných objemů........................ 13 2.4.3 2D Roeho aproximativní Riemann solver................ 14 2.4.4 Podmínka pro časový krok......................... 17 2.4.5 Numerická aproximace okrajových podmínek.............. 17 2.5 Metoda vyššího řádu přesnosti.......................... 18 2.5.1 Zvýšení řádu aproximace v prostoru................... 18 2.5.2 Zvýšení řádu v čase............................ 20 2.6 Adaptace sítě.................................... 20 2.6.1 Adaptační kritéria............................. 21 2.6.2 RG algoritmus adaptace.......................... 22 2.7 Numerické výsledky 1. řádu aproximace..................... 23 2.7.1 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050................... 23 2.7.2 Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1................... 25 2.7.3 Radiální turbínová mříž.......................... 25 2.8 Numerické výsledky vyššího řádu aproximace.................. 28 2.8.1 GAMM kanál................................ 28 i

ii OBSAH 2.8.2 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050................... 28 2.9 Adaptace numerické výsledky.......................... 31 2.9.1 GAMM kanál................................ 31 2.9.2 Mříž DCA 8 %............................... 31 2.9.3 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050................... 31 3 Vazké proudění ve 2D 37 3.1 Navierovy-Stokesovy rovnice v konzervativním tvaru.............. 37 3.2 Formulace úlohy.................................. 38 3.2.1 Zakřivený kanál............................... 38 3.3 Numerické řešení.................................. 38 3.3.1 Bezrozměrný tvar Navierových-Stokesových rovnic........... 38 3.3.2 Metoda konečných objemů........................ 40 3.4 Numerické výsledky řešení............................. 41 3.4.1 Zakřivený kanál............................... 41 3.4.2 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050................... 42 4 Nevazké proudění ve 3D 47 4.1 Eulerovy rovnice v konzervativním tvaru..................... 47 4.2 Formulace úlohy.................................. 47 4.2.1 Axiální statorová mříž........................... 47 4.3 Numerické řešení.................................. 49 4.3.1 Metoda konečných objemů........................ 49 4.3.2 3D Riemann solver............................. 49 4.3.3 Numerická aproximace okrajových podmínek.............. 53 4.4 Numerické výsledky................................ 54 5 Algebraické modely turbulence 59 5.1 Reynoldsovy rovnice................................ 59 5.2 Základní algebraické modely............................ 61 5.2.1 Model Cebeciho a Smithe......................... 61 5.2.2 Model Baldwina a Lomaxe........................ 63 5.2.3 Model Rostanda.............................. 65 5.3 Model s diferenciální rovnicí............................ 66 5.3.1 Model Johnsona a Kinga......................... 66 5.4 Rozšíření modelů na 3D.............................. 69 5.4.1 Modifikace modelu Baldwina a Lomaxe................. 70 5.5 Závěr......................................... 71 Závěr 73 Příloha 75 A Některé používané matematické vztahy...................... 75 B Srovnání rychlostí některých počítačů...................... 76

Seznam obrázků 2.1 Řešená oblast pro axiální lopatkové mříže.................... 10 2.2 Řešená oblast pro radiální lopatkové mříže.................... 11 2.3 Řešená oblast pro GAMM kanál......................... 11 2.4 Konečný objem................................... 13 2.5 Schéma k výpočtu f na hraně konečného objemu................ 14 2.6 Uspořádání pro obecnou síť............................ 19 2.7 Algoritmus adaptace RG.............................. 21 2.8 SE1050 experiment ÚT ČSAV Ma 2 = 1,18, α = 19,3............. 23 2.9 Turbínová mříž SE1050 Ma 2 = 1,18, α = 19,3, 1. řád aproximace..... 24 2.10 Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1, Ma 1 = 0,6180, p 2 /p 1 = 1,1221, 1. řád aproximace..................................... 26 2.11 Radiální turbínová mříž, 1. řád aproximace................... 27 2.12 GAMM kanál Ma 1 = 0,675 výsledky 1. a vyššího řádu aproximace..... 29 2.13 Turbínová mříž SE1050 Ma 2 = 1,18, α = 19,3, vyšší řád aproximace.... 30 2.14 GAMM kanál Ma 1 = 0,675............................ 32 2.15 Mříž DCA 8 % Ma 1 = 0,946, 1. řád aproximace................. 33 2.16 Turbínová mříž SE1050 Ma 2 = 1,18, α = 19,3. 2x adaptovaná síť...... 35 3.1 Konečný objem pro vazký výpočet........................ 37 3.2 Řešená oblast pro vazké proudění v zakřiveném kanále............. 39 3.3 Zakřivený kanál výpočetní síť 6109 elementů.................. 42 3.4 Zakřivený kanál Izočáry Machova čísla pro různé hodnoty Reynoldsova čísla 43 3.5 Turbínová mříž SE1050 síť pro vazký výpočet................. 44 3.6 SE1050 vazký výpočet. Re = 2,6.10 5, Ma 2 = 1,204................ 45 4.1 Řešená oblast 3D statorová mříž........................ 48 4.2 Turbínová statorová mříž SE-3D1 rozložení veličin na vstupu a výstupu.. 54 4.3 Turbínová statorová mříž SE-3D1 pole Machova čísla............. 55 4.4 Turbínová statorová mříž SE-3D1 izočáry tlaku................ 56 4.5 Turbínová statorová mříž SE-3D1 průběh Machova čísla na vstupu a výstupu 57 iii

iv SEZNAM OBRÁZKŮ

Předmluva Současný stav výpočtových metod v aerodynamice neumožňuje zachytit veškeré jevy, které probíhají v tak složitých dějích, jako je proudění stlačitelných tekutin. Intenzivní rozvoj výpočetní techniky v posledních letech umožnil značný pokrok ve využití numerických metod matematického modelování. Ověření nebo predikce vlastností lopatkových mříží, ke kterým je tato práce nejvíce směrována, spolu s experimentálním měřením v aerodynamických tunelech umožňuje lepší návrh a případnou lepší účinnost těchto energeticky velice důležitých zařízení. Nedílnou součástí této diplomové práce je vyvinutí a naprogramování numerických metod. Tyto numerické metody patří mezi moderní metody využitelné ve dvou a trojrozměrném proudění stlačitelných tekutin, zvláště při transsonických rychlostech a v uspořádání s komplexní geometrií. Použití nestrukturované sítě s možností adaptace zvyšuje možnost přesnějšího zachycení probíhajících dějů. Úvodní kapitola je věnována některým důležitým vlastnostem rovnic, které jsou podstatné pro pochopení numerického řešení a objasnění chování tohoto řešení. Jsou zde věty týkající se TVD vlastností, stability řešení atd. Druhá a třetí kapitola se zabývá Eulerovými a Navierovými-Stokesovými rovnicemi, implementací řešení, diskretizací, zvýšením řádu přesnosti s ohledem na TVD vlastnosti atd. Dále je detailně popsán způsob výpočtu v jednotlivých případech buněk. Jsou zde uvedeny numerické výsledky a jejich srovnání s jinými dostupnými numerickými metodami a s experimentem. Čtvrtá kapitola se týká řešení trojrozměrného proudění na nestrukturované síti. Bohužel nebyl dostupný vhodný software pro generaci sítě, a tak je proudění řešeno na strukturované síti, na kterou se ovšem v programu pohlíží jako na nestrukturovanou. Pátá, závěrečná kapitola je věnována některým algebraickým modelům turbulence. Jsou zde uvedeny modely Cebeciho a Smithe, úprava Baldwina a Lomaxe, úprava navržená Rostandem a model Johnsona a Kinga. Dále je uvažováno rozšíření na trojrozměrné případy geometrie a s tím i modifikace B-L modelu Yershovem a Rusanovem pro použití v lopatkových strojích. Na závěr bych chtěl poděkovat panu doc. Jaroslavu Fořtovi za obětavé odborné vedení mé práce a veškerý čas, který mi věnoval. Panu prof. Karlu Kozlovi za podporu a za vytváření výborných pracovních podmínek v našem ústavu a též spolupracovníkům, kteří mi pomáhali při studiu a v odborné práci. v

vi PŘEDMLUVA

Přehled užitého značení A Jacobiho matice à Roeho matice C 1 prostor funkcí se spojitými prvními derivacemi C0 1 prostor funkcí z C 1 s kompaktním nosičem H celková entalpie L n prostor funkcí integrovatelných s n-tou mocninou Ma Machovo číslo Pr Prandtlovo číslo R měrná plynová konstanta R matice pravostranných vlastních vektorů Roeho matice R prostor reálných čísel Re Reynoldsovo číslo S entropie a rychlost zvuku c charakteristický rozměr c p měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku c v měrná tepelná kapacita při konstantním objemu e energie vztažená na jednotku objemu (def. vztah (2.2)) f,g,h vektory toků l délka hrany m vektor charakteristických proměnných m i i-tá složka vektoru charakteristických proměnných p tlak r proměnná slope limiteru t čas (u,v,w) složky rychlosti v kartézské souřadné soustavě v vektor rychlosti v kartézské souřadné soustavě w vektor konzervativních proměnných (x,y,z) složky kartézského souřadného systému Γ hranice oblasti Λ matice vlastních čísel Roeho matice Ω kontrolní objem α úhel náběhu γ adiabatický koeficient δ + operátor dopředné diference δ operátor zpětné diference vii

viii Přehled užitého značení η dynamická vazkost λ i i-té vlastní číslo Roeho matice ρ hustota µ(ω) velikost oblasti Ω Ω hranice oblasti Ω Horní indexy (tilda) veličina vážená odmocninou z hustoty Dolní indexy 0 klidový stav 1 veličina na vstupu 2 veličina na výstupu L stav nalevo od rozhraní R stav napravo od rozhraní Označení ke kapitole 5 F,G vektory toků v souřadné soustavě (x,y) M Machovo číslo R měrná plynová konstanta R,S vazké toky Pr Prandtlovo číslo Re Reynoldsovo číslo U,V střední hodnoty rychlostí T teplota W vektor konzervativních proměnných W velikost rychlosti a rychlost zvuku c charakteristický rozměr c p měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku e hustota energie h entropie k turbulentní kinetická energie l délkové měřítko p statický tlak q x,q y složky vektoru tepelného toku u,v složky rychlosti v souřadné soustavě (x,y) u τ třecí rychlost t čas (x,y) souřadný systém δ tloušťka mezní vrstvy δ 2 impulzová tloušťka mezní vrstvy

ix δ W tloušťka mezní vrstvy v úplavu γ adiabatický koeficient η dynamická vazkost ν kinematická vazkost κ Kármánova konstanta λ součinitel tepelné vodivosti tekutiny τ xx,τ xy,τ yy složky tenzoru napětí ρ hustota ω vířivost Horní indexy veličina zahrnující vazkost i turbulenci střední hodnota v čase střední hodnota vážená hustotou fyzikální veličina fluktuace k časové střední hodnotě fluktuace ke střední hodnotě vážené hustotou Dolní indexy e vnější hranice mezní vrstvy i složky v souřadné soustavě (x,y) i vnitřní oblast odpovídající nestlačitelnému proudění w stěna m, max maximální o vnější oblast t turbulentní

x Přehled užitého značení

Kapitola 1 Numerické metody typu upwind pro řešení hyperbolických rovnic V této kapitole budou stručně nastíněny některé pojmy týkající se numerického řešení diferenciálních rovnic. Nejprve se budeme věnovat lineárním skalárním případům pro více prostorových proměnných. Definujeme některé základní pojmy (aproximace, stabilita) a uvedeme Laxovu větu týkající se konvergence. Dále budeme uvažovat nelineární skalární problémy v jedné prostorové proměnné. Uvedeme některé další pojmy (konzistence, konzervativita) a Laxovu-Wendroffovu větu, týkající se konvergence v nelineárním případě. Na závěr se zmíníme o TVD metodách (do kterých patří v této práci vyvinutá metoda). 1.1 Definice důležitých pojmů Uvažujme základní diferenciální úlohu ve tvaru AU(x) F (x) = 0, x = (x 1,x 2,...,x n ) Ω (1.1) BU(x) Φ(x) = 0, x Ω, (1.2) kde Ω je oblast řešení. Úloha je zapsána v operátorové formě A je určitý diferenciální operátor, operátor B vyjadřuje počáteční a okrajové podmínky. Tuto úlohu (1.1) budeme numericky řešit na síti s krokem h, budeme řešit soustavu síťových rovnic A h u h (x) f h (x) = 0, x Ω h (1.3) B h u h (x) Φ h (x) = 0, x Ω h, (1.4) kde Ω h je množina síťových bodů. Označme dále D A h (x) = (AU F ) (A hu h f h ), x Ω h (1.5) D B h (x) = (BU Φ) (B hu h Φ h ), x Ω h. (1.6) Definice 1 (Aproximace) Diferenční úloha (1.3 1.4) aproximuje diferenciální úlohu (1.1 1.2) na jejím řešení u(x), jestliže D A h 0, DB h 0 (1.7) při h 0. 1

2 KAPITOLA 1. NUMERICKÉ METODY TYPU UPWIND Aproximace má řád p, jestliže A h U f h = O(h p ) (1.8) B h U Φ h = O(h p ) (1.9) jestliže h 0. Definice 2 (Stabilita) Diferenční úloha (1.3 1.4) je stabilní, jestliže je jednoznačně řešitelná a ke každému ε > 0 existuje δ(ε) > 0 (nezávislé na h i ) a h 0 > 0 takové, že při f h f h < δ, Φ h Φ h < δ (1.10) bude pro řešení ũ h úlohy a úlohy platit A h ũ h (x) f h (x) = 0, x Ω h (1.11) B h ũ h (x) Φ h (x) = 0, x Ω h (1.12) A h u h (x) f h (x) = 0, x Ω h (1.13) B h u h (x) Φ h (x) = 0, x Ω h (1.14) ũ h u h ε (1.15) pro všechna h i < h 0. Definice 3 (Konvergence) Řešení diferenční úlohy (1.3 1.4) u k konverguje k řešení diferenciální úlohy (1.1 1.2) U, jestliže U u h 0 pro h 0. (1.16) Jestliže při h 0 platí U u h O(h p ), (1.17) řekneme, že diferenční řešení u h má řád konvergence rovný p. 1.2 Lineární rovnice O konvergenci lineárních rovnic mluví Laxova věta: Věta 1 (Lax) Řešení diferenční úlohy (1.3 1.4) u h konverguje k řešení lineární diferenciální úlohy (1.1 1.2) U, jestliže diferenční úloha (1.3 1.4) aproximuje diferenciální úlohu (1.1 1.2) a je stabilní. Tato věta nám dává možnost dokázat konvergenci řešení numerické metody pro lineární úlohy. Pro nelineární případ je situace mnohem složitější.

1.3. Nelineární rovnice 3 1.3 Nelineární rovnice v jedné prostorové proměnné Uvažujme nelineární úlohu s počátečními podmínkami u t + f(u) x = 0 (1.18) u t=0 = u 0, (1.19) kde f C 1 (R), u 0 C 1 (R). Definice 4 (Klasické řešení) Funkce u C 1 (R R + ) splňující pro každé x R a t R + rovnici (1.18) a pro každé x R vztah lim u(x,t) = u 0(x) (1.20) t 0+ se nazývá klasické řešení úlohy (1.18 1.19). Bohužel u nelineárních rovnic klasické řešení často neexistuje. Proto je třeba zavést pojem slabé řešení a v další části budeme vždy uvažovat slabé řešení. Definice 5 (Slabé řešení) Nechť f L (R) a u 0 L (R). Funkce u L (R R + ) se nazývá slabé řešení úlohy (1.18 1.19), jestliže pro každou testovací funkci φ C0 1(R R+ ) s kompaktním nosičem vyhovuje rovnici R R + φ t u dx dt + R R + φ x f(u) dx dt = R φ(x,0)u 0 (x) dx (1.21) Teď uvedeme Laxovu-Wendroffovu větu, která mluví o konvergenci nelineárních úloh pro skalární rovnice. K tomu budeme potřebovat zavést ještě několik pojmů. Definice 6 (Konzervativní tvar) Řekneme, že metoda je v konzervativním tvaru, jestliže existuje funkce F p + q + 1 proměnných taková, že Ui n+1 = Ui n t [ F (U n x i p,ui p+1, n...,ui+q) n F (Ui p 1,U n i p, n...,ui+q 1) n ] (1.22) Funkci F nazveme numerickým tokem. Definice 7 (Konzistence) Metodu (1.22) nazveme konzistentní s původním zákonem zachování (1.18 1.19) jestliže F (u,u,...,u) = f(u), u. (1.23) Definice 8 (Lipschitzovská spojitost numerického toku) Řekněme, že F je lipschitzovská v bodě u, jestliže existuje konstanta K 0 taková, že pro všechna U n i p,u n i p+1,...,u n i+q dostatečně blízká u platí F (U n i p,...,u n i+q) f(u) K max p j q U i+j u (1.24) Řekneme, že F je lipschitzovsky spojitá, je-li lipschitzovská v každém bodě.

4 KAPITOLA 1. NUMERICKÉ METODY TYPU UPWIND Definice 9 (Totální variace) Totální variací T V (u) funkce u(x) nazveme číslo T V (u) = sup N u(ξ j ) u(ξ j 1 ), (1.25) j=1 když supremum provádíme přes všechna dělení reálné osy < ξ 0 < ξ 1 <... < ξ n <. Věta 2 (Lax-Wendroff) Nechť je dána posloupnost sítí s indexy l = 1,2,... a se síťovými parametry t l, x l 0 pro l. Označme U l (x,t) numerické řešení získané pomocí konzistentní konzervativní metody na l-té síti. Nechť U l konverguje k funkci u pro l v tomto smyslu: 1. pro každou množinu a,b 0,T v rovině x-t platí T b 0 a U l (x,t) u(x,t) dx dt 0 pro l, (1.26) 2. pro každé T existuje R > 0 tak, že T V (U l (.,t)) < R pro t 0,T, l = 1,2,... (1.27) Pak u(x,t) je slabé řešení zákona zachování. Laxova-Wendroffova věta nám říká, že pokud metoda konverguje, tak konverguje ke slabému řešení. Neříká však, kdy konverguje. K tomu je potřeba ještě určitá forma stability TV-stabilita. Definujme ještě totální variaci funkce dvou proměnných: Definice 10 (Totální variace funkce u(x,t)) Totální variace funkce u(x,t) je číslo T V T (u) = lim sup 1 T ε 0 ε 0 + lim sup 1 T ε 0 ε 0 + + u(x + ε,t) u(x,t) dx dt + (1.28) u(x,t + ε) u(x,t) dx dt. Definice 11 (TV-stabilita) Numerická metoda je TV-stabilní, jestliže všechny aproximace U t pro t < t 0 leží v pevné množině K = {u L : T V T (u R 0,T ) R a supp(u(,t)) M,M t 0,T }, (1.29) kde R,M R nezávisí na t. Pomocí této definice se ovšem TV-stabilita ověřuje obtížně. Je však možné užít následující větu.

1.4. TVD metody 5 Věta 3 Nechť je dána numerická metoda s konzervativním numerickým tokem F. Nechť pro každá počáteční data u 0 existují t 0,R > 0 tak, že T V (U n ) R n, t, t 0 < t 0, n t T. (1.30) Pak je metoda TV-stabilní. Věta 4 Nechť U t je řešení, získané numerickou metodou v konzervativním tvaru s lipschitzovsky spojitým numerickým tokem, konzistentní s nějakým skalárním zákonem zachování. Nechť je metoda TV-stabilní. Pak metoda konverguje pro t 0 ke slabému řešení problému (1.18 1.19). Nyní jsme schopni u skalárních metod určit konvergenci ke slabému řešení úlohy (1.18 1.19). Slabé řešení však nebývá jednoznačné. Hledáme proto řešení, které odpovídá fyzikálnímu významu rovnice (1.18 1.19), t.j. řešení, při němž neklesá entropie. Toto fyzikální řešení lze získat jako limitní případ řešení u ε pro lim ε 0 modifikované rovnice u t + f(u) x = εu xx. (1.31) Tuto rovnici parabolického typu můžeme ve shodě s jejím fyzikálním významem nazývat rovnicí konvekce difuze (rovnicí vazkého problému) (viz. Le Veque 1990 [15]). Poznámka 1 Matematický pojem entropické slabé řešení lze obecně zavést pomocí nerovnice pro entropickou dvojici (viz. např. Le Veque 1990 [15]). 1.4 TVD metody Jeden ze způsobů, jak zajistit TV stabilitu je požadavek, aby totální variace s časem nenarůstala. Definice 12 (TVD metoda) Numerickou metodu Ui n+1 Variation Diminishing) metodou, jestliže platí = H(U n ; i) nazveme TVD (Total T V (U n+1 ) T V (U n ) (1.32) pro všechny síťové funkce U n. TVD metody obecně nekonvergují k entropickému řešení, ale existuje podtřída TVD metod tzv. monotónní metody, které k němu konvergují. Definice 13 (Monotónní metody) Numerickou metodu Ui n+1 = H(U n ; i) nazveme monotónní metodou, jestliže ( i : u n i v n i ) ( i : H(u n ; i) H(v n ; i)) (1.33) pro všechny síťové funkce U n. Poznámka 2 Monotónní metoda Ui n+1 = H(U n ; i) je metoda, pro kterou platí: Jestliže pro libovolné dvě síťové funkce u a v, pro které platí u i v i pro všechna i, platí také H(u n ; i) H(v n ; i), pak je metoda monotónní.

6 KAPITOLA 1. NUMERICKÉ METODY TYPU UPWIND Věta 5 Nechť u 0 L 1 (R) L (R) a u n+1 i = H(U n ; i) je monotónní metoda v konzervativním tvaru s konzistentním a lipschitzovsky spojitým numerickým tokem. Potom numerické řešení konverguje k entropickému řešení problému (1.18 1.19), když x, t 0. Věta 6 Monotónní metody jsou maximálně prvního řádu přesnosti. Cíl návrhu všech numerických metod je navrhnout metodu vyššího než prvního řádu přesnosti. Možnost konstrukce numerické metody pouze prvního řádu přesnosti činí monotónní numerické metody v podstatě nepoužitelné. (Přesto, že je to třída, o které bezpečně víme, že konverguje k entropickému řešení.) Věta 7 (Harten, 1983) Nechť obecná jednodimenzionální numerická metoda je ve tvaru u n+1 i = u n i C i 1 Jestliže pro i platí C i 1 + D 2 i+ 1 2 2 C i 1 2 D i+ 1 2 pak metoda (1.34) je TVD. (u n i u n i 1) + D i+ 1 (u n u n 2 i+ 1 i ). (1.34) 2 0 (1.35) 0 (1.36) 1, (1.37) Tato věta nám umožňuje zkonstruovat jednodimenzionální TVD metodu. Až doposud jsme se u nelineárních případů věnovali pouze metodám v jedné prostorové proměnné. Ve více prostorových proměnných lze zkonstruovat také TVD metodu, ale my se omezíme na numerickou metodu konstruovanou pomocí jednodimenzionální TVD metody. Bylo dokázáno (Harten, Le Veque) že jakákoliv TVD metoda ve dvou prostorových proměnných je maximálně prvního řádu přesnosti (mimo určitých jednoduchých případů). Vyvíjená metoda tedy nebude TVD, ale bude založena na jednodimenzionální TVD metodě a bude vyššího řádu přesnosti. 1.5 Upwind metody V této části bude popsána diskretizace pro jednoduchý případ lineární skalární rovnice. Mějme rovnici u t + au x = 0. (1.38) Úloha bude řešena na síti s krokem x = x i+1 x i. Označme u i = u(x i ). Nyní můžeme nahradit diferenciální operátory diferenčními a rovnici řešit. Naskýtá se ovšem otázka vhodné volby diferenčních operátorů. Nejpřímější náhrada centrálními diferencemi u x = u i+1 u i 1 2 x (1.39) vede na nestabilní schéma. Toto schéma by nekonvergovalo, výpočet by se rozkmital a zhroutil. Jestliže člen u x nahradíme tímto způsobem: u x = u i u i 1 x u x = u i+1 u i x pro a > 0 (1.40) pro a < 0, (1.41)

1.5. Upwind metody 7 u i je pak řekneme, že toto schéma je typu upwind. Volba tohoto schématu může být vhodná z hlediska, že operátor upwind diskretizace již v sobě obsahuje tlumení. Rovnici (1.38) postupně přepíšeme takto: u t + a a u i+1 u i + a + a u i u i 1 = 0 (1.42) 2 x 2 x u t + a ( ui+1 u i + u ) i u i 1 a ( ui+1 u i u ) i u i 1 = 0 (1.43) 2 x x 2 x x u t + a u i+1 u i 1 = x a ( u i+1 2u i + u i 1 2 x 2 x 2 = x a ) 2 u xx + O( x 3 ) (1.44) i což je modifikovaná rovnice pro rovnici (1.38). Člen odpovídající x a u xx /2 představuje tlumení. Řešení získané pomocí upwind metody lze chápat jako řešení rovnice vazkého problému (1.31). Při náhradě časové derivace u t = un+1 u n t je schéma stabilní pro časový krok t x a. (1.45) (1.46) Všechny výše uvedené věty se týkaly pouze jedné skalární rovnice. Teorie zabývající se soustavami rovnic dosud nezná podobné věty. Dá se však očekávat, že kvalitní numerická metoda pro řešení soustav rovnic vznikne spíše rozšířením kvalitní metody pro řešení skalární rovnice, než metody, která nemá tak dobré vlastnosti ve skalárním případě.

8 KAPITOLA 1. NUMERICKÉ METODY TYPU UPWIND

Kapitola 2 Dvojrozměrné nevazké proudění 2.1 Eulerovy rovnice v konzervativním tvaru Obecné nevazké proudění je popsáno systémem Eulerových rovnic. Eulerovy rovnice v konzervativní formě lze pro 2D proudění bez uvažování vnějších sil zapsat ve tvaru: w t + f x + g y = 0, (2.1) w = ρ ρu ρv e, f = ρu ρu 2 + p ρu v (e + p)u, g = ρv ρu v ρv 2 + p (e + p)v kde w je vektor neznámých, ρ je hustota, (u,v) jsou složky rychlosti v kartézském souřadném systému, p je tlak, e je hustota celkové energie vztažená na jednotku objemu a f a g jsou vektory toků. Systém Eulerových rovnic je uzavřen vztahem pro celkovou energii ideálního plynu e = p γ 1 + 1 2 ρ(u2 + v 2 ), (2.2) kde γ je adiabatický koeficient. 2.2 Formulace úlohy 2.2.1 Axiální lopatková mříž Mříž je tvořena nekonečným množstvím periodických profilů. Řešená oblast Ω je jedna perioda. Rozdělme její hranici Ω na vstupní řez Γ 1, výstupní řez Γ 2, periodickou okrajovou podmínku Γ P a profil Γ S (stěnu) (viz. obr. 2.1). Volba okrajových podmínek na řezech Γ 1 a Γ 2 je založena na analogii s jednorozměrnou úlohou v libovolném směru příslušná soustava rovnic vznikne násobením rovnic (2.1) jednotkovým vektorem ve směru ᾱ. Matice soustavy má potom čtyři vlastní čísla wᾱ, wᾱ, wᾱ + a, wᾱ a, kde wᾱ je průmět vektoru rychlosti do směru ᾱ. Na vstupu při wᾱ Γ1 < a 1 Γ1 by měly být předepsány tři podmínky (do oblasti vstupují tři charakteristiky), na výstupu při 1 Složka rychlosti ve směru normály je menší než místní rychlost zvuku., 9

10 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D PERIODICITA VSTUP STENA PERIODICITA VYSTUP Obrázek 2.1: Řešená oblast pro axiální lopatkové mříže wᾱ Γ2 < a Γ2 jedna podmínka, v případě wᾱ Γ2 > a Γ2 (výstupní rychlost ve směru kolmém na Γ 2 nadzvuková) pak žádná podmínka. V případě, že hledáme stacionární řešení rovnice (2.1), můžeme na vstupu nebo na výstupu zadat i větší množství podmínek, než vychází z této úvahy a čas t může mít význam pouze iteračního času. Okrajové podmínky proto můžeme již od počátku iteračního řešení volit pevně podle známého výsledného průběhu řešení na Γ 1 a Γ 2 v ustáleném stavu. Úlohou je najít funkci w(x,y,t) na oblasti Ω R 2 R +, která má tyto vlastnosti: w C 1 (Ω \ B), kde B je množina konečného počtu křivek (rázových vln) míry 0. w na křivkách nespojitosti B splňuje Rankien-Huginotovy podmínky. w vyhovuje rovnici t2 w t + f x + g y dx dy dt = 0 (2.3) t 1 D pro libovolné t 2 > t 1 a libovolnou oblast D Ω s dostatečně hladkou hranicí Ω. w t=0 splňuje počáteční podmínky w t0 = w 0. w splňuje tyto okrajové podmínky (předpokládáme podzvukovou složku rychlosti ve směru normály na hranici). vstup jsou zadány tři veličiny (klidová hustota ρ 0, klidový tlak p 0, úhel náběhu α). výstup je zadána jedna veličina (p 2 /p 0 ). stěna podmínka neprostupnosti. Normálová složka rychlosti je nulová. periodicita hodnota funkce w je rovna hodnotě funkce na odpovídající periodické hranici.

2.3. Izoentropické vztahy 11 VSTUP PERIODICITA PERIODICITA STENA VYSTUP Obrázek 2.2: Řešená oblast pro radiální lopatkové mříže STENA VSTUP VYSTUP STENA Obrázek 2.3: Řešená oblast pro GAMM kanál 2.2.2 Radiální lopatková mříž Pro radiální lopatkovou mříž je úloha v podstatě stejná. Odlišnost spočívá v tom, že na periodické okrajové podmínce je třeba vhodně otočit odpovídající vektory rychlosti. Oblast řešení je vyznačena na obr. 2.2. 2.2.3 Kanál Jako testovací případ pro testování vlastností numerické metody je v této práci pro svoji jednoduchost a názornost zvolen tzv. GAMM kanál. Řešená úloha je opět velmi podobná, jen se zde nevyskytují periodické podmínky. Řešená oblast je vyznačena na obr. 2.3. 2.3 Izoentropické vztahy V některých případech je nutné umět přepočítat veličiny charakterizující plyn mezi sebou. Vychází se z předpokladu, že se změny dějí izoentropicky. Mějme několik základních vztahů: Vztah pro rychlost zvuku v adiabaticky zbrzděném plynu: a 2 0 = a 2 + γ 1 v 2 (2.4) 2

12 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D Rovnice charakterizující izoentropickou změnu: p ρ γ = konst. (2.5) Vztah pro rychlost zvuku: a 2 = γrt = γp ρ (2.6) Rovnici (2.5) upravíme takto: p ρ γ = p 0 ρ γ 0 ( ) 1 p γ = ρ p 0 ρ 0 Rovnici (2.6) podělím stejnou rovnicí, vyjádřenou pro klidový stav: a 2 0 a 2 = p 0 p ρ ρ 0 Rovnici (2.4) podělím a (Machovo číslo Ma = v/a): a 2 0 a 2 = 1 + γ 1 Ma 2 (2.10) 2 Dosazením (2.8) do (2.9) a odečtením (2.9) a (2.10) dostaneme ( ) 1 p 0 p γ = 1 + γ 1 Ma 2 (2.11) p 2 odkud p 0 p p 0 = ( 1 γ 1 + γ 1 ) γ Ma 2 2 (2.7) (2.8) (2.9) (2.12) Podobně můžeme dostat vztahy ( ρ = 1 + γ 1 ) 1 Ma 2 1 γ ρ 0 2 (2.13) ( a = 1 + γ 1 ) 1 Ma 2 2. a 0 2 (2.14) 2.4 Numerické řešení 2.4.1 Bezrozměrný tvar Eulerových rovnic Pro numerické řešení je užito bezrozměrných veličin, tzn. všechny veličiny byly normovány. Jako normovací veličiny byly zvoleny klidová hustota ρ 0, klidový tlak p 0 a charakteristický rozměr c. Fyzikální veličiny jsou označeny indexem f: ρ ρ f /ρ 0f, (u,v) (u f,v f )/(p 1 2 0f ρ 1 2 0f ), p p f /p 0f, e e f /p 0f t t f /(p 1 2 0f ρ 1 2 0f c f ), (x,y) (x f,y f )/c f Po dosazení do systému Eulerových rovnic (2.1) a rozepsání (je třeba derivovat jako složené funkce), vyjde systém v tom samém tvaru, jen neobsahuje fyzikální veličiny, ale normované.

2.4. Numerické řešení 13 W i f j Obrázek 2.4: Konečný objem 2.4.2 Metoda konečných objemů Úloha je řešena explicitní metodou ustalování. Pro diskretizaci v prostoru je užito metody konečných objemů typu cell centered. V metodě ustalování hledáme stacionární řešení jako limitu nestacionárního řešení pro t (při stacionárních okrajových podmínkách). Vyjděme ze systému rovnic (2.1). Pro každý časový úsek t = t (n+1) t (n) a každý libovolný objem Ω i Ω musí platit t (n+1) t (n+1) w t dt dx dy = f(w) x + g(w) y dt dx dy. (2.15) t (n) t (n) Ω i Ω i Tuto rovnici můžeme aproximovat prvním řádem přesnosti v čase (za použití věty o střední hodnotě) µ(ω i ) wn+1 i wi n = f(w n ) x + g(w n ) y dx dy. (2.16) t Ω i Užitím Greenovy věty dostáváme wi n+1 wi n = t f(w n ) dy g(w n ) dx. (2.17) µ(ω i ) Ω i Numerické toky na pravé straně aproximujeme jejich střední hodnotou a tím dostaneme w n+1 i w n i = t µ(ω i ) N i j=1 f(w n ) j y j g(w n ) j x j. (2.18) Tuto rovnici lze díky invariantnosti Eulerových rovnic vůči otočení přepsat jako w n+1 i w n i = t µ(ω i ) N i j=1 f(w n ) nj l j n j, (2.19) kde f(w n ) nj je numerický tok ve směru vnější normály k hraně j (viz obr. 2.4). Hodnota numerického toku závisí pouze na hodnotě na jedné a druhé straně hrany konečného objemu.

14 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D y 1 f 2 x Obrázek 2.5: Schéma k výpočtu f na hraně konečného objemu 2.4.3 2D Roeho aproximativní Riemann solver Nyní je třeba vypočítat hodnotu numerického toku ve směru kolmém na hranu konečného objemu. Na hranici konečného objemu je interpolován vektor proměnných w z buňky 1 (w l ) a z buňky 2 (w r ) (viz obr. 2.5). Zvolme souřadný systém tak, že osa x je ve směru kolmém na hranu konečného objemu a osa y je ve směru tečném na hranu konečného objemu. Protože se řeší problém na hraně buňky rovnoběžné s osou y, vycházíme z rovnice: kde w t + f(w) x = 0, (2.20) w = (ρ,ρu,ρv,e) T (2.21) f = ( ρu,ρu 2 + p,ρu v,(e + p)u ) T (2.22) Rovnice se upraví na tvar w t + A w x = 0, (2.23) kde A = f w (2.24) Pro Riemannův problém je potřeba najít takovou matici Ã, aby závisela pouze na w L a w R a měla následující vlastnosti: 1. f i+1 f i = Ã(w i,w i+1 ) (w i+1 w i ) 2. Pro w i = w i+1 = w musí být Ã(w,w) = A(w) = f w (w) 3. Ã má reálná vlastní čísla a lineárně nezávislé vlastní vektory Těmto požadavkům vyhovuje Roeho matice, což je Jacobián f w, kde prvky jsou průměry vážené odmocninou z hustoty.

2.4. Numerické řešení 15 ũ = ṽ = w = H = ρl u L + ρ R u R ρl + (2.25) ρ R ρl v L + ρ R v R ρl + ρ R ρl w L + ρ R w R ρl + ρ R ρl H L + ρ R H R ρl + ρ R ã 2 = (γ 1)( H 1 2Ṽ 2 ). à = (2.26) 0 1 0 0 ũ 2 + γ 1 ũ2 2 + ṽ 2 (3 γ)ũ (γ 1)ṽ γ 1 ũṽ ṽ ũ 0 ũ[γ ẽ ρ (γ 1)(ũ2 + ṽ 2 )] γ ẽ ρ γ 1 2 (3ũ2 + ṽ 2 ) (γ 1)ũṽ γũ Matici à lze rozložit na součin matice pravostranných vlastních vektorů a diagonální matice vytvořené z vlastních čísel matice à à = RΛR 1, (2.27) kde Λ = diag(λ 1,λ 2,λ 3,λ 4 ), kde λ 1 = λ 2 = ũ, λ 3 = ũ + ã, λ 4 = ũ ã jsou vlastní čísla matice à a R = ρ 1 0 2ã ρ 2ã ρ ũ 0 2ã (ũ + ã) ρ 2ã (ũ ã) ρ ṽ ρ 2ãṽ 2ãṽ ρ, ũ 2 +ṽ 2 ρ 2 ρṽ 2ã ( H + ãũ) ρ 2ã ( H ãũ) (2.28) kde H = ẽ+ p ρ a ã = (γ 1)( H ũ2 +ṽ 2 2 ). Eulerovy rovnice se upraví takto: w w + RΛR 1 t x R 1 w 1 w + ΛR t x Charakteristické proměnné se definují vztahem = 0.R 1 (2.29) = 0 (2.30) m = R 1 w (2.31) a rovnice (2.30) se přenásobí R.

16 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D w t + RΛ m x = 0 (2.32) Porovnáním s rovnicí (2.20) je zřejmé, že f = RΛm (2.33) a přímým výpočtem dostaneme f = p λ p m p r (p), (2.34) kde m p jsou složky vektoru m a r (p) jsou pravostranné vlastní vektory matice Ã. Upwind diskretizaci pro rovnici (2.23) lze napsat ve tvaru wi n+1 = wi n t x (A+ δ wi n + A δ + wi n ) = (2.35) = wi n t x (δ f i +n + δ + fi n ), kde δ resp. δ + jsou operátory zpětné resp. dopředné diference. Diferenci δw je možné vyjádřit jako δw = p δm pr (p) a numerický tok δf = Aδw = A δm p r (p) = λ p δm p r (p). (2.36) p p Potom celkový numerický tok pro rovnici (2.20) v i + 1 2 lze napsat jako f i+ 1 2 = f i + + fi+1 = 1 2 (f i + f i+1 ) 1 2 A (w i+1 w i ) = (2.37) = 1 2 (f i + f i+1 ) 1 λ p δm p r (p). 2 p Řešení linearizovaného Riemannova problému je složeno pouze z diskontinuit. Tato aproximace může být vhodná pro kontaktní nespojitosti a rázové vlny, kdy je nespojitý charakter vlny v pořádku, i když velikost skoku nemusí být správně aproximována linearizovaným řešením. Naproti tomu ve zřeďujících vlnách dochází ke spojité změně proměnných a v rostoucím čase se zmenšuje prostorový gradient veličin. Je zřejmé, že tato aproximace diskontinuitami je nesprávná. V praktickém výpočtu dochází k problémům, pouze je-li zřeďující vlna transsonická. Dochází k tvorbě nefyzikální, entropickou podmínku porušující nespojitosti. 2 Odstranění této chyby je možné provést několika způsoby. Zde je použita metoda Hartena a Hymana (1983) [11] modifikace absolutní hodnoty vlastních čísel λ v rovnici (2.37). { λ mod λ pro λ δ = δ pro λ < δ, (2.38) kde δ = max[0,(λ λ L ),(λ R λ)], (2.39) kde λ L, resp. λ R jsou vlastní čísla Jacobiánu f L w R, resp. f R w R. 2 Viz. poznámka o konvergenci k entropickému slabému řešení na str. 5.

2.4. Numerické řešení 17 Souřadný systém v obecné poloze Pro použití hrany v obecném směru se musí provést transformace souřadného systému. To se provede otočením rychlostí podle vzorců u ot = u sin ϕ v cos ϕ (2.40) v ot = u cos ϕ + v sin ϕ, při úhlu hrany ϕ s kladným směrem osy x. Zpětná transformace numerických toků probíhá podle vzorců f 2 ot. zpet = f 2 sin ϕ + f 3 cos ϕ (2.41) f 3 ot. zpet = f 2 cos ϕ + f 3 sin ϕ, kde f 2 resp. f 3 jsou druhé, resp. třetí složky vektoru f. Tento postup je možný z důvodů směrové invariantnosti Roeho matice. 2.4.4 Podmínka pro časový krok Nutná podmínka stability řešení vychází z metody charakteristik min( x i, y i ) t = min, (2.42) i a i + u 2 i + v2 i kde x i resp. y i jsou minimální rozměry elementu i ve směru x a y. 2.4.5 Numerická aproximace okrajových podmínek Vstup Do pomocné buňky je extrapolováno Machovo číslo na vstupu a z izoentropických vztahů a úhlu náběhu jsou určeny všechny hodnoty vektoru proměnných: Ma = ρ 1 u 2 1 + v2 1 γp 1 (2.43) Pomocí tohoto Machova čísla, a zadaných veličin ρ 0, p 0, α se určí nové hodnoty v buňce na vstupu ( ρ 1 = 1 + γ 1 ) 1 Ma 2 1 γ ρ0 (2.44) 2 ( p 1 = 1 + γ 1 ) γ Ma 2 1 γ p0 (2.45) 2 a 0 = γ p 0 (2.46) ρ 0 a 1 = ( 1 + γ 1 ) 1 Ma 2 2 a0 2 (2.47) u 1 = Ma a 1 cos α (2.48) v 1 = Ma a 1 sin α (2.49) e 1 = p 1 γ 1 + ρ u 2 1 + v2 1 1 2 (2.50)

18 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D Výstup Z poslední buňky na výstupu jsou extrapolovány hodnoty hustoty ρ, a rychlostí (u,v) a pomocí vztahu pro celkovou energii ideálního plynu (2.2) je z výstupního tlaku dopočítána velikost celkové energie e. Stěna Podmínka na stěně je splňována metodou zrcadlení, kdy do pomocné buňky jsou vhodně přenášeny hodnoty w z poslední buňky u stěny. (Indexem T je značena tečná a indexem N normálová složka rychlosti ke stěně.) u T pom = u T u Npom = u N (2.51) (2.52) Periodicita V případě axiálních lopatkových mříží se do pomocné buňky přenese odpovídající periodická hodnota. 2.5 Metoda vyššího řádu přesnosti 2.5.1 Zvýšení řádu aproximace v prostoru 1D případ Pro zvýšení řádu přesnosti a zároveň zachování TVD vlastností je zde použita tzv. MUSCL interpolace (Monotone Upstream-centred Schemes for Conservation Laws) s limitery. Ve výše uvedeném odvození se rozložení veličin v konečném objemu aproximuje konstantní hodnotou. Pro zvýšení řádu se tato aproximace nahradí MUSCL interpolací. Pro výpočet Riemann solverem je třeba znát hodnotu na jedné a druhé straně hranice konečného objemu. Místo konstantní hodnoty se proto na hranici konečného objemu nainterpoluje pomocí lineární rekonstrukce hodnota veličiny. V jednorozměrném případě se toto zapíše jako U L = U x i + U 0, (2.53) kde U L je naiterpolovaná hodnota na hranici (v tomto příkladu zleva), U je derivace podle x a x i je vzdálenost mezi bodem, ve které se vyčísluje derivace (středem konečného objemu) a hranicí konečného objemu. Pro aproximaci derivace U se použije zpětná diference: U = U i U i 1 x i x i 1 (2.54) Limitery Aby bylo numerické schéma stabilní a mělo TVD vlastnost, je potřeba použít nelineárních členů, zvaných limitery, zabraňujících oscilaci řešení. Jsou to například funkce Φ(r) proměnné r = U i+1 U i U i U i 1. (2.55) Limitery se použijí tak, že ve vztahu (2.54) se výraz U i U i 1 nahradí výrazem (U i U i 1 )Φ(r).

2.5. Metoda vyššího řádu přesnosti 19 Obrázek 2.6: Uspořádání pro obecnou síť 2D případ Podívejme se nyní, jak se tato interpolace realizuje ve dvojrozměrné úloze. Ve výpočtu derivací pro interpolaci na hranu se postupovalo následujícím způsobem (viz obr. (2.6)). 1. Najde se bod V ležící naproti hraně, na kterou budeme interpolovat. V případě elementů s lichým počtem hran je to bod přímo ve vrcholu a v případě sudého počtu hran je to bod ležící ve středu protější hrany. 2. Z těžiště T elementu se vede přímka směrem na bod V a najde se element, do kterého tato přímka dále vstupuje (el. 3 a v druhé polorovině el. 5). 3. Z těžiště tohoto elementu se vede úsečka do těžiště elementu sousedícího s tímto elementem ve směru průchodu přímky T-V. 4. Určí se průsečík přímky a úsečky. Do tohoto průsečíku se lineární interpolací nainterpoluje hodnota z těžiští obou elementů (z elementů 3 a 4 resp. 5 a 6). 5. Z hodnoty v průsečíku a hodnoty v těžišti původního elementu (el. 1) se určí derivace ve směru přímky v těžišti elementu (el. 1, resp. el. 2). Nyní máme k dispozici vektor proměnných w v těžišti elementu a derivaci w ve směru V-T. Hodnotu w je možno určit jako w = w + w i, (2.56) kde i je vzdálenost těžiště od hrany elementu, na kterou se interpoluje.

20 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D Limitery Byl použit Van Leerův limiter Φ(r) = 2r 1 + r r > 0 (2.57) Φ(r) = 0 jinak. Proměnná r byla definována jako r = w A w B w B w G, (2.58) kde index A znamená hodnotu v sousední buňce, B hodnotu v buňce, ve které počítáme limiter, G hodnotu nainterpolovanou do průsečíku mezi přímkami T 1 V a T 3 T 4 (pro limiter v buňce 1 obr. (2.6)). Limiter a MUSCL interpolace byly postupně použity pro všechny složky vektoru w. 2.5.2 Zvýšení řádu v čase Pro výpočet hodnoty veličin v nové časové vrstvě lze použít dopřednou diferenci w t = wn+1 w n. (2.59) t Tento způsob má nevýhodu, že je pouze prvního řádu přesnosti. Místo tohoto lze použít vícekrokovou metodu Rungeho-Kutty (metoda přímek). Vycházíme z rovnice w t = Res n,k, (2.60) kde Res n,k je výše popsaná diskretizace v prostorových proměnných. Obecná vícekroková metoda Rungeho-Kutty se zapíše jako wk 0 = wk n (2.61) wk r = wk 0 tα rres r 1,k, r = 1,...,M (2.62) w n+1 k = wk M (2.63) Zde byla použita tříkroková metoda k koeficienty α 1 = 1 2, α 2 = 1 2, α 3 = 1. 2.6 Adaptace sítě Při generaci sítě není většinou zohledněno výsledné proudové pole, takže vytvořená výpočetní síť nemusí být např. z hlediska zachycení gradientů veličin optimální, proto se pro vylepšení sítě používá adaptace. Zde je užito lokální zjemnění sítě, tj. že se elementy vybrané podle vhodného kritéria rozdělí na menší. Pro adaptaci je potřeba nejdříve zvolit vhodné kritérium, které rozpozná například rázové vlny. Dále pro každý trojúhelník s indexem i je vyčíslena hodnota kritéria k i, a pro adaptaci se vybere vhodný počet trojúhelníků s nejvyšší hodnotou kritéria.

2.6. Adaptace sítě 21 J H F G C G D A R R G B G E I Obrázek 2.7: Algoritmus adaptace RG 2.6.1 Adaptační kritéria Kritérium na rozdíl hustot Určí se absolutní hodnota maxima rozdílu hustot mezi testovaným a všemi sousedními trojúhelníky. k i = max ρ i ρ j j (2.64) V případě, že ve směru rychlosti klesá tlak, je k i nulové. Kritérium na rozdíl toků hybnosti Toto kritérium bylo převzato z příspěvku Feistauer, Dolejší, Felcman, Kliková 1999 [8]. Hodnota se určí jako k i = max[ (ρ i ρ j )(v i,n ij )] + /h i, ( ) + = max(,0), (2.65) j kde rozměr elementu h i byl určen jako odmocnina z plochy elementu h i = µ(γ i ). (2.66) Kritérium na velikost trojúhelníků Trojúhelník se označí pro adaptaci, jestliže jakýkoliv trojúhelník, který s ním má společný vrchol, má povrch menší než 1/4 povrchu tohoto trojúhelníku. Trojúhelník se označí pro adaptaci, jestliže jakýkoliv trojúhelník, který s ním má společný vrchol a je červený (bude vysvětleno níže), má povrch menší než 1/2 povrchu tohoto trojúhelníku. Toto kritérium bylo použito při každé adaptaci automaticky.

22 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D 2.6.2 RG algoritmus adaptace Nejdříve se trojúhelníky vybrané pro adaptaci označí jako červené. Dále trojúhelník, který má dva sousedy červené se označí také jako červený. Soused červeného trojúhelníku se označí jako zelený. Červené trojúhelníky se rozdělí na čtyři menší přidáním bodů uprostřed stran a zelené se rozpůlí (viz obr. 2.7). Do nových elementů se nainterpoluje hodnota z původních elementů.

2.7. Numerické výsledky 1. řádu aproximace 23 Obrázek 2.8: SE1050 experiment ÚT ČSAV Ma 2 = 1,18, α = 19,3 2.7 Numerické výsledky 1. řádu aproximace V této části budou prezentovány numerické výsledky metody prvního řádu přesnosti. Ve srovnání několika metod je prezentovaná metoda označena podle Riemann solveru jako Roe. 2.7.1 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 Jako první příklad byla zvolena turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 s úhlem náběhu α = 19,3 a výstupním Machovým číslem Ma 2 = 1,18. Interferometrické měření ÚT ČSAV je na obr. 2.8 (viz. Šťastný, Šafařík 1990 [6]). Diskretizace oblasti byla provedena Delaunayovskou triangulací 3 (viz obr 2.9(b)), počet elementů v oblasti je 5646 a počet elementů podél lopatky je 250. Výsledné izočáry Machova čísla jsou zobrazeny na obr. 2.9(a). Izočáry ukazují velmi dobré zachycení rekompresní zóny, stejně jako vnitřní větve výstupní rázové vlny. Velmi dobře je také zachycena poloha rázové vlny. Při srovnání proudového pole s měřením ÚT ČSAV (obr. 2.8) se ukazuje slabé zachycení vnější větve výstupní rázové vlny. To je dáno řádem metody a hrubou sítí v této části oblasti. Na obr. 2.16(d) je srovnání průběhu tlaku podél lopatky vypočtené různými nevazkými metodami. Je zde vidět poměrně dobrá shoda výpočtu s experimentem. 3 Delaunayovská triagulace je v jistém smyslu optimální spojení vrcholů hranami. Bývá velmi často používána při konstrukci jak dvojrozměrných, tak i trojrozměrných sítí. Blíže viz např. Weatherill, Hassan, Marcum, Marchant 1994 [17].

24 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D (a) Izočáry Machova čísla (b) Výpočetní síť Obrázek 2.9: Turbínová mříž SE1050 Ma 2 = 1,18, α = 19,3, 1. řád aproximace

2.7. Numerické výsledky 1. řádu aproximace 25 2.7.2 Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1 Jako další příklad byla zvolena kompresorová mříž MAN GHH 1-S1 (viz. například Cyrus, Fořt 1999 [1]) s úhlem náběhu 17, vstupním Machovým číslem Ma 1 = 0,6180 a tlakovým poměrem p 2 /p 1 = 1,1221. Diskretizace oblasti byla provedena Delaunayovskou triangulací. Síť je zobrazena na obr. 2.10(a). Počet elementů v oblasti je 8149, počet elementů podél lopatky 200. Ze zadaných údajů byl pomocí izoentropických vztahů vypočten výstupní tlak p 2 /p 0 = 0,867251. Rozložení Machova čísla podél lopatky je znázorněno na obr. 2.10(b). Na obr. 2.10(c) je srovnání průběhu Machova čísla, vypočteného prezentovanou metodou, s výpočtem Ni-ho schématem. Všimněme si v podstatě totožného průběhu podél tlakové stěny lopatky. Rozdíly mezi průběhem podél sací stěny jsou dány špatným zachycením náběžné hrany u Ni-ho schématu na H síti. 2.7.3 Radiální turbínová mříž Další řešenou úlohou v rámci spolupráce s průmyslovým závodem bylo řešení proudění v radiální mříži. Byla počítána statorová radiální turbínová mříž ve dvou režimech podzvukovém a transsonickém. Geometrie je zobrazena na obr. 2.11(a). Radiální turbínová mříž se může modelovat jako jedna perioda výřez mezikruží. Médium proudí z vnějšku dovnitř. Je zadáno vstupní Machovo číslo, úhel náběhu vzhledem k radiále a tlakový poměr. Pro řešení nebyla k dispozici žádná experimentální data (nebylo dostupné experimentální zařízení). Výsledky řešení nelze nalézt ani v dostupné literatuře. Získané výsledky potvrzené nezávislými metodami jsou podkladem pro zlepšení účinnosti vyráběného lopatkového stroje. Diskretizace byla provedena Delaunayovskou triangulací. Na obrázcích 2.11(b) a 2.11(c) je zobrazeno proudové pole pomocí izočár Machova čísla. Na obrázcích 2.11(d) a 2.11(e) je zobrazeno srovnání rozložení tlaku podél lopatky různými metodami. Při srovnání s metodou Ron-Ho-Niho na H síti vychází velmi podobný průběh. S metodou s Osherovým Riemann solverem je průběh v podstatě shodný.

26 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D (a) Geometrie a diskretizace výpočetní oblasti (b) Izočáry Machova čísla 1.0 0.8 Ma 0.6 0.4 0.2 Ni Roe 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x/c (c) Srovnání průběhu Machova čísla Obrázek 2.10: Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1, Ma 1 = 0,6180, p 2 /p 1 = 1,1221, 1. řád aproximace

2.7. Numerické výsledky 1. řádu aproximace 27 (a) Geometrie a diskretizace oblasti (b) Izočáry Machova čísla podzvukový režim (c) Izočáry Machova čísla transsonický režim 1.0 1.0 0.8 p/p0 0.8 0.6 p/p0 0.6 0.4 Oher 2. rad trojuhelniky Ron Ho Ni 2. rad H sit Roe 1. rad trojuhelniky 0.2 Osher 2. rad trojuhelniky Ron Ho Ni 2. rad H sit Roe 1. rad trojuhelniky 0.4 0.0 0.5 1.0 s/b 0.0 0.0 0.5 1.0 s/b (d) Rozložení tlaku podzvukový režim (e) Rozložení tlaku transsonický režim Obrázek 2.11: Radiální turbínová mříž, 1. řád aproximace

28 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D 2.8 Numerické výsledky získané metodou vyššího řádu aproximace 2.8.1 GAMM kanál Toto je dobře známý testovací příklad řešený mnoha autory (viz. například Fürst, Horák, Kozel, Vaněk 1999 [9] nebo Fürst 2000 [10]). Délka kanálu je 3, šířka 1 a kruhový oblouk zasahuje do 0,1 šířky kanálu. Zleva proud vstupuje, zprava vystupuje a shora a zdola jsou stěny kanálu. Vstupní úhel je α = 0, a vstupní Machovo číslo Ma 1 = 0,675. Pro první testování byla zvolena jednoduše algebraicky generovaná síť 30x90 čtyřúhelníků. Další test byl proveden na trojúhelníkové síti, která vznikla rozdělením čtyřúhelníků původní sítě kratší uhlopříčkou. Na obr. 2.12(a) až 2.12(d) je rozložení Machova čísla po výpočetní oblasti. Všimněme si výrazně větší nadzvukové oblasti v případě aproximace vyššího řádu. Je vidět také lepší zachycení rázové vlny. To se zejména projeví na obr. 2.12(e), kde je vynesen průběh Machova čísla podél stěn maximální Machovo číslo dosahuje u aproximace druhého řádu vyšších hodnot. 2.8.2 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 Výpočet byl proveden na stejné síti, za stejných podmínek, jako u aproximace 1. řádu. Na obr. 2.13(b) vidíme ostřejší zachycení rázových vln, než tomu bylo na obr. 2.13(a). V tomto režimu jde o slabé (šikmé) rázové vlny, proto zde patrný rozdíl není příliš velký. Vyšší řád aproximace ale přispěl k rovnoměrnějšímu zachycení izočár v první třetině kanálu, než tomu bylo u aproximace prvním řádem. Na obr. 2.16(d) je srovnání průběhu tlaku podél lopatky při aproximaci prvním a vyšším řádem. Je zde patrné ostřejší zachycení rázové vlny.

2.8. Numerické výsledky vyššího řádu aproximace 29 (a) 1. řád čtyřúhelníky (b) 1. řád trojúhelníky (c) vyšší řád čtyřúhelníky (d) vyšší řád trojúhelníky 1.4 1 rad ctyr. 1 rad troj. 2 rad ctyr. 2 rad troj. Ma 0.9 0.4 0 0.5 1 x (e) Rozložení Machova čísla podél stěn srovnání metod a sítí Obrázek 2.12: GAMM kanál Ma 1 = 0,675 výsledky 1. a vyššího řádu aproximace

30 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D (a) Izočáry Machova čísla 1. řád (b) Izočáry Machova čísla vyšší řád Obrázek 2.13: Turbínová mříž SE1050 Ma 2 = 1,18, α = 19,3, vyšší řád aproximace (výpočetní síť je zobrazena na obr. 2.9(b))

2.9. Adaptace numerické výsledky 31 2.9 Numerické výsledky při použití adaptace 2.9.1 GAMM kanál Pro adaptaci bylo nejprve vypočteno proudění na rovnoměrné síti, která vznikla rozdělením sítě 30x90 čtyřúhelníků na trojúhelníky. V prvním případě byla použita metoda prvního řádu přesnosti a síť čtyřikrát adaptována kritériem podle rovnice (2.64). Výsledná síť a odpovídající izočáry jsou na obr. 2.14(d) a 2.14(f). Dále byla použita metoda vyššího řádu přesnosti a síť byla třikrát adaptována kritériem podle rovnice (2.64). Výsledná síť a odpovídající izočáry jsou na obr. 2.14(d) a 2.14(f) 4. Na obr. 2.14(a) je znázorněn průběh Machova čísla podél stěn. Metoda prvního řádu nezachytila správnou velikost maxima Machova čísla ani s použitím adaptace. Bez použití adaptace dává metoda vyššího řádu srovnatelnou hodnotu maxima jako metoda prvního řádu s použitím adaptace. Ale až použití adaptace spolu s metodou vyššího řádu dává správnou hodnotu maxima Machova čísla. Velkou výhodou je, že se před rázovou vlnou neobjevují oscilace. 5 Za rázovou vlnou si všimněme tzv. Zierepovy singularity (lokální nárůst Machova čísla) (obr. 2.14(c)). Metoda prvního řádu bez použití adaptace tuto singularitu nezachytí. S použitím adaptace je tato singularita sice zachycena, ale rázová vlna se jeví jako slabší, než by měla být. Až metoda vyššího řádu spolu s adaptací tuto singularitu zachytí velmi dobře. 2.9.2 Mříž DCA 8 % Další testovacím případem je použití adaptace na mříži DCA 8 % se vstupním Machovým číslem Ma 1 = 0,946 a úhlem náběhu α = 45. Mříž je tvořena dvoukruhovými profily, které mají délku tětivy 1, tloušťku profilu 0,08 rozteč 1 a úhel nastavení β = 45. Diskretizace oblasti byla provedena Delaunayovskou triangulací (viz obr. 2.15(a)). Na obr. 2.15(c) jsou zobrazeny izočáry Machova čísla před použitím adaptace, vypočtené metodou 1. řádu. Byla použita adaptace s kritériem podle rovnice (2.65) a byly vybrány trojúhelníky s velikostí kritéria vyšším než 0,05k max. Výsledná síť po čtvrté adaptaci je zobrazena na obr. 2.15(b) a izočáry Machova čísla jsou na obr. 2.15(d). Všimněme si velmi ostrého zachycení rázových vln. 2.9.3 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 Adaptace sítě byla také použita při řešení obtékání mříže SE1050. Síť byla dvakrát adaptována s kritériem podle rovnice (2.64). Pro výpočet byla použita metoda vyššího řádu. Na obr. 2.16(a) vidíme velmi ostré zachycení rázových vln. Na obr. 2.16(c) je srovnání průběhu tlaku podél lopatky vypočtené metodou prvního a vyššího řádu a vyššího řádu s použitím adaptace. Vidíme ostrý nárůst tlaku (x 0,8) odpovídající odrazu šikmé rázové vlny, která je zachycena velmi dobře. Neobjevují se zde žádné oscilace (jako například u Ron-Ho-Niho 4 Různě velké oblasti znemnění sítě jsou dány zejména různým rozložením gradientů v původním řešení na rovnoměrné síti, ale také tím, že byla testována optimální hodnota kritéria k max vzhledem k zvýšení přesnosti výpočtu v poměru k výpočetní náročnosti úlohy. 5 To bylo sice odvozeno jako vlastnost TVD metod, ale tato metoda je TVD pouze v jedné dimenzi (v 1D), a dále všechny vztahy byly odvozeny pro rovnoměrnou síť. U reálných případů se nemusí všechny vlastnosti teoreticky odvozené pro rovnoměrné sítě zachovat. Zde jsou například velké změny velikosti elementů sítě díky adaptaci.