Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001. Typové příklady (viz webové stránky přednášejícího).
Připomeňme: Bud A symetrický operátor s hustým definičním oborem D(A) a bud F funkcionál energie příslušný rovnici Au = f, u D(A). Je-li A slabě pozitivní, pak F má v u D(A) minimum právě tehdy, když Au = f, u D(A). Je-li A pozitivní, pak F má v u D(A) ostré minimum právě tehdy, když Au = f, u D(A). (Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Připomeňme: Velký nedostatek Věta o vztahu mezi řešením operátorové rovnice a minimem funkcionálu energie není existenční. Neříká nic o tom, zda řešení u D(A) existuje. Netvrdí, že minimum F na D(A) existuje, tj. že se ho nabývá v nějakém prvku u D(A).
Víme, že např. okrajové úloze u + u = f, u(a) = 0 = u(b), odpovídá pozitivní operátor Au = u + u a F(u) = (Au, u) 2(f, u) = b a b (u 2 + u 2 ) dx 2 fu dx. a Všimněme si, že F je definováno i pro u, které má jen první derivaci spojitou na [a, b], a pro některá nespojitá f, např. po částech konstantní. Takové u a f by však odporovalo definici řešení operátorové rovnice Au = f. Problémy s existencí minima. Např. neexistuje minimum funkcionálu G(v) = v 2 = 1 0 v 2 dx na množině M = {v C([0, 1]) : v(0) = 0, v(1) = 1}. (M není vektorový prostor, ale to nevadí.)
Zúplnění D(A) Variační formulace (tj. minimalizace F ) nám umožňuje předpokládat méně než formulace Au = f, která má "značné" nároky na vlastnosti D(A) a f. Problém existence minima. Východisko z potíží: Přidat k D(A) ještě další funkce tak šikovně, aby výsledná množina byla vektorovým prostorem funkcí, na němž bude funkcionál F jednak dobře definován, jednak bude nabývat minima. Funkce, v níž se nabývá minima, však zároveň musí mít dobrý" vztah k výchozí okrajové úloze.
Připomenutí: Pozitivně definitní operátor Operátor A se nazývá pozitivně definitní na D(A), existuje-li taková konstanta C > 0, že pro každou funkci u D(A) platí přičemž C nezávisí na u. (Au, u) C u 2,
Připomenutí: Energetický skalární součin, energetická norma, energetický prostor Necht A je symetrický a pozitivně definitní operátor na D(A). Energetický skalární součin (u, v) A = (Au, v) Energetická norma u A = (u, u) A u D(A). Energetická vzdálenost ρ A (u, v) = u v A u, v D(A). u, v D(A). Díky symetrii a pozitivní definitnosti A je (, ) A opravdu skalární součin a A norma na D(A). Množinu D(A) opatřenou (, ) A, A a ρ A nazveme prostorem S A. Energetický skalární součin (u, v) A je dán integrálem b a Au v dx po aplikaci integrace po částech.
Prostor L 2 (a, b) Z dřívějška známe: Skalární součin (u, v) = b a Normu u = (u, u). Vzdálenost ρ(u, v) = u v. uv dx. Dosud jsme předpokládali, že u, v C([a, b]). Stačí však předpokládat, že u, v M, kde M je množina funkcí w takových, pro něž platí, že integrály b a w(x) dx a b a w 2 (x) dx existují a jsou konečné. Množinu M opatřenou (u, v), u a ρ(u, v) značíme L 2 (a, b) a říkáme jí (vektorový) prostor funkcí integrovatelných v intervalu (a, b) s kvadrátem (v Lebesgueově smyslu, ale Leb. integrálem se nebudeme zabývat).
Jestliže u, v L 2 (a, b) a u v = 0, pak o u a v řekneme, že jsou ekvivalentní, tj. u a v se liší nejvýše na množině nulové míry, tj. jsou si rovny skoro všude. Množiny nulové míry v [a, b] např. konečný počet bodů, spočetný počet bodů. Jsou-li u a v ekvivalentní a spojité v [a, b], pak jsou si rovny všude v [a, b]. Hustota množiny V v L 2 (a, b). Měli jsme pomocí ortogonality. Lze i takto: Jestliže u L 2 (a, b) a ε > 0, pak v u,ε V u v u,ε < ε. Jinými slovy: V každém ε-okolí funkce u leží aspoň jedna funkce z množiny V. (Čili ε-okolí funkce u obsahuje nekonečně mnoho funkcí z V.)
Cauchyovská posloupnost připomenutí Posloupnost {u n } je v prostoru P cauchyovská, lze-li ke každému ε > 0 najít takové n 0, že m > n 0, n > n 0 = u m u n P < ε. Posloupnost {u n } je v prostoru P konvergentní, jestliže existuje takový prvek u P, že platí lim u n u P = 0. n Definice: Prostor, v němž je každá cauchyovská posloupnost konvergentní, se nazývá úplný. Množina C([a, b]) opatřená skalárním součinem (, ) je sice vektorový prostor, ale není úplný. Jiný ( příklad: Množina (prostor) racionálních čísel není úplná, viz x k+1 = 1 x 2 k + a x k ), x k a, a = 2, x 1 = 1. Lze ukázat, že L 2 (a, b) je úplný prostor.
Zpět k operátoru A a prostoru S A Lze ukázat, že S A není úplný prostor (a proto funkcionál F nemusí na S A nabývat minima). Tj. v S A existují cauchyovské posloupnosti, které v S A nemají limitu. Necht {u n } je taková posloupnost. Z nerovnosti (poz. def.!) u m u n C 1 (A(u m u n ), u m u n ) = u m u n A vidíme, že {u n } je cauchyovská posloupnost v L 2 (a, b), tudíž existuje její limita u L 2 (a, b). Pro všechny cauchyovské posloupnosti v S A tvoří všechny odpovídající limity v L 2 (a, b) nějakou podmnožinu L 2 (a, b). Označme ji P A a definujme množinu M = S A P A. Na M lze rozšířit definici (, ) A, A a ρ A, výsledný prostor označíme H A, je to úplný prostor.
Příklad rozšíření (, ) A : Necht {u n } a {v n } jsou cauchyovské posloupnosti v S A, tj. lim u n = u, n lim v n = v n v L 2 (a, b). Pak definujeme (u, v) A = lim n (u n, v n ) A. (Lze totiž ukázat, že posloupnost reálných čísel na pravé straně definiční rovnosti je cauchyovská, tudíž má limitu.) K u a v mohou konvergovat různé posloupnosti, je nutné ukázat, že lim n (u n, v n ) A je vždy stejná.
Zásadní výsledek (pro sym. poz. def. operátor A) Nyní lze rozšířit i energetický funkcionál F(u) = (u, u) A 2(f, u), f L 2 (a, b), u H A. Platí, že pro každou funkci f L 2 (a, b) tento funkcionál nabývá právě jednoho minima v nějaké funkci u f H A. Funkci u f nazýváme zobecněným řešením rovnice Au = f s danými okrajovými podmínkami. Je-li u f D(A), pak je řešením úlohy takovým, jaké známe z dřívějšího výkladu.
Zůstává nejasnost jak charakterizovat prostor H A? Spokojme se s tím, že H A tvoří funkce, které mají n/2 derivací, kde n je řád operátoru, přičemž nejvyšší derivace nemusí být spojitá funkce, a všechny derivace jsou integrovatelné s kvadrátem (i nultá); splňují přímo okrajové podmínky, jsou-li dány pro funkce a jejich derivace do řádu n/2 1. (Okrajové podmínky pro vyšší derivace se ošetří jistým trikem.) Příklad: V okrajové úloze (exp(x)u (x)) + (2 + sin x cos x)u(x) = exp(sin 5x), u(0) = 0 = u(π) je operátor (daný levou stranou) symetrický a pozitivně definitní, 2. řádu. Pod prvky prostoru H A si představíme funkce, které jsou na [a, b] integrovatelné s kvadrátem, mají v [a, b] derivaci (ne nutně spojitou), která je též integrovalelná s kvadrátem. Navíc tyto funkce splňují u(0) = 0 = u(π).
Čeho jsme dosáhli? Místo operátorové rovnice Au = f řešíme minimalizační problém pro F(u) = (u, u) A 2(f, u). Operátorová rovnice má přísnější předpoklady, jen pro jednoduché OR umíme posoudit řešitelnost. Minimalizační problém má slabší předpoklady a vždy má řešení (je-li výchozí operátor pozitivně definitní). Poznámka: Variační formulace je velmi důležitá u 1D úloh a zásadní u 2D a 3D úloh. Najít přesné řešení minimalizačního problému je obtížné (nemožné). Naštěstí minimalizační problém je vhodný pro hledání přibližného řešení. Pozorování: Pro funkci u H A, v níž se nabývá minima, platí (u, v) A = (f, v) v H A (Ukáže se minimalizací ϕ(t) = F(u + tv).
Variační metody Definice: Řekneme, že posloupnost lineárně nezávislých funkcí v 1, v 2,... tvoří v prostoru H A bázi, lze-li ke každému ε > 0 najít takové přirozené číslo j a taková čísla a 1, a 2,..., a j, že j u a i v i < ε. A i=1 Jinými slovy: konečné lineární kombinace prvků báze jsou husté v H A. Zvolme přirozené číslo n a označme V n n-rozměrný vektorový (lineární) podprostor prostoru H A vytvořený všemi funkcemi n tvaru b i v i, kde b 1,..., b n R a kde {v 1,...,v n } je báze i=1 prostoru V n.
Ritzova metoda Funkcionál F(u) = (u, u) A 2(f, u) minimalizujeme nikoliv na H A, nýbrž jen na podprostoru V n H A. Tedy mezi všemi n-ticemi hledáme takovou n-tici (c 1,..., c n ) R n, aby funkcionál F(u) nabýval minima na V n právě pro funkci u = u 0 = n i=1 c iv i. Jde vlastně o hledání minima reálné funkce více proměnných, tj. proměnných c 1,..., c n. Vztah k řešení původní úlohy? Jestliže pro zvětšující se n bude {v 1, v 2,..., v n } n bází prostoru H A, pak lim n u n u A = 0, kde u H A minimalizuje F na H A. Lze ukázat, že lim n u n u L2 (a,b) = 0 a lim n (u n ) (u ) L2 (a,b) = 0.
Lineární zobrazení Mějme zobrazení F z vektorového prostoru U do vektorového prostoru V. Řekneme o něm, že je lineární, pokud platí, že c 1, c 2 R u 1, u 2 U F(c 1 u 1 +c 2 u 2 ) = c 1 F(u 1 )+c 2 F(u 2 ). Příklady lineárních zobrazení: určitý integrál primitivní funkce (s nulovou integrační konstantou) násobení vektoru maticí násobení matic zobrazení, které pravé straně lineární OÚ s homogenními OP přiřadí řešení (vzpomeňte si na superpozici řešení)