MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost jak to dokázat je tato: Dokážeme platost V ) a potom dokážeme pro každé N platost implikace V ) V + ). Pokud jsme toto udělali, víme ovšem, že platí V ). Protože platí V ) V ), platí V ). Protože platí V ) V 3), platí V 3). Protože platí V 3) V 4), platí V 4) atd. Pak tedy vidíme, že platí V ) pro každé. Symbolicky bychom mohli vyslovit větu: Věta.. Buď M N taková, že platí: i) M; ii) pro každé N platí implikace M + M. Pak M N.. Jedoduché příklady Příklad.. Dokažte, že pro každé přirozeé platí + + 3 + + + ). Řešeí. Ozačme L) + + 3 + +, P ) + ).. Pro je to evidetě pravda a platí L) P ).. Předpokládejme, že jsme to dokázali pro. Dokažme to pro +. idukčí předpoklad L + ) + + 3 + + + + ) L) + + ) + ) + + ) + ) + + ) + ) + ) P + ). Tím je příklad vyřeše. Příklad.. Dokažte, že pro každé přirozeé platí + + 3 + + + ) + ). 6 Řešeí. Ozačme L) + + 3 + +, P ) 6 + ) + ).. Pro je to evidetě pravda a platí L) P ).
ALEŠ NEKVINDA. Předpokládejme, že jsme to dokázali pro. Dokažme to pro +. L + ) + + 3 + + + + ) idukčí předpoklad L) + + ) 6 + ) + ) + + ) + ) + ) + 6 + ) ) 6 6 + ) + + 6 + 6) 6 + ) + 7 + 6) 6 + ) + ) + 3) 6 + ) + ) + ) + ) + ) P + ). Tím je příklad vyřeše. Příklad.3. Dokažte, že pro každé přirozeé platí 3 + 3 + 3 3 + + 3 + + 3 + + ). Řešeí. Ozačme L) 3 + 3 + 3 3 + + 3, P ) + + 3 + + ).. Pro je to evidetě pravda a platí L) P ).. Předpokládejme, že jsme to dokázali pro. Dokažme to pro +. L + ) 3 + 3 + 3 3 + + 3 + + ) 3 L) + + ) 3 idukčí předpoklad ) + + 3 + + ) + + ) 3 dle příkladu. + ) + + ) 3 4 + ) + 4 + ) 3) 4 + ) + 4 + 4 ) + ) + )) dle příkladu. + + 3 + + + + ) ) P + ). Tím je příklad vyřeše. Příklad.4. Dokažte, že pro každé přirozeé eí číslo 3 + 3 4 dělitelé 73. Řešeí.. Pro je to evidetě pravda eboť 3 + 3 4 89 skutečě eí dělitelé 73.. Předpokládejme, že jsme to dokázali pro. Jak je to pro +? Zřejmě 3+) + 3 4+) 8 3 + 8 3 4 8 3 + 3 4 ) + 73 3 4. Protoě 8 3 + 3 4 ) eí dělitelé 73 podle idukčího předpokladu a 73 3 4 je dělitelé 73, jejich součet 8 3 + 3 4 ) + 73 3 4 eí dělitelý 73. Tím je příklad vyřeše. Pozameejme k předchozímu příkladu, že pokud bychom se spletli a dokázali, že pro je daé číslo dělitelé 73, pak jsme dokázali přesý opak. Je tedy vidět, že. idukčí krok elze vyechat. Příklad.5. Je dáo přímek v roviě. Tím se vytvoří ěkolik oblast i. Dokažte, že kaďou oblast lze obarvit buď červeě ebo modře tak, že žádé dvˇve oblasti se společou hraou ejsou obarvey stejou barvou. Řešeí.. Pro je to evidetě pravda eboť přímka rozdělí oblast a dvě poloroviy a každou z ich obarvím jedou ze dvou barev.. Nechť to umíme pro přímek a v roviě jich mám zadáo +. Pak si jedu odmyslíme, azvěme ji p, a dle idukčího předpokladu obarvím ty oblasti, které
MATEMATICKÁ INDUKCE 3 tam zbydou. Po přidáí p dosteme ějaké ové oblasti, které jsou icméě ějak obarvey již z předchozího kroku. Každá z těchto oblastí leží v jedé poloroviě od p. Nyí uděláme to, že v jedé poloroviě od p barvy echáme a ve druhé je vyměíme. Sado se yí uvidí, že takto obarveé oblasti již emají stejou barvu, pokud mají společou hrau. Tím jsme udělali idukčí krok. Tím je příklad vyřeše. 3. Variace a matematickou idukci Někdy se ám stae, že se podaří dokázat implikaci V )&V + ) V + ). Stačí pak ukázat platost V ) a V ). Formálě můžeme psát: Věta 3.. Buď M N taková, že platí: i) M, M; ii) pro každé N platí implikace M + M + M. Pak M N. Příklad 3.. Předpokládejme, že cos α s t, s, t Z. Dokažte, že potom t cos α Z pro každé N. Řešeí. Ověřme to ejprve pro,... Pak máme t cos α t s t s Z... Pak t cos α t cos α ) t s t ) s t Z. 3. Nechť tvrzeí platí pro a +. Tedy předpokládáme, že t cos α Z a t + cos + )α Z. Užitím vzorce cos + )α cos α cos + )α cos α máme t + cos + )α t + cos α cos + )α t + cos α t cos {{ α t + cos + )α t t {{ cos {{ α Z. Jiá variata je, že se podaří dokázat implikaci: echť platí V k) pro každé k, pak platí V + ). Stačí pak ukázat platost V ). Prakticky to zameá, že při důkazu V + ) můžeme využít již platá tvrzeí V ), V ),..., V ). Formálě můžeme psát: Věta 3.3. Buď M N taková, že platí: i) M; ii) pro každé N platí implikace {,,..., M + M. Pak M N. Příklad 3.4. Předpokládejme, že a R splňuje a + a a + a Z pro každé N. Z. Dokažte, že potom
4 ALEŠ NEKVINDA Řešeí.. Pro to předpokládáme.. Lze sado odvodit a + + a + a + ) a + {{ a {{ a ) a + a {{ ) Z. Příklad 3.5. Na bílém čtverečkovaém papíře je čtverečků začerěo. Každý čtvereček se přebarví podle ásledujícího pravidla: Každý čtvereček získá takovou barvu, jakou měla většia z těchto tří čtverečků: uvažovaý čtvereček, čtvereček bezprostředě od ěho vpravo a čtvereček bezprostředě ad ím. Dokažte, že po ejvýše přebarveích budou všechy čtverečky bílé. Řešeí. Za domácí cvičeí. Zajímavý příklad idukce je v ásledujícím příkladu. Příklad 3.6. Nechť m, N, m. Dokažte, že + ) m m < + + m. Řešeí. Idukci budeme dělat tetokrát podle m. Fixujme tedy ějaké.. Pro m je to jasé.. Nechť to umíme pro ějaké m <. Dokažme, že pak to platí pro m +. Skutečě, + ) m+ + ) m + ) idukčí předpoklad < + m ) + m + ) + m + m + + m + m 3 + m + m + m 3 + m + m + ) + + m + viz íže < + m + Stačí dokázat Ale to je sadé. + m + ). m 3 m + < 0. m < m < m m < m + m < m + m 3 < m + + m 3 m + m 3 m + < 0 Tím jsme ukázali, že pro pevé platí tvrzeí pro každé m a důkaz je hotov.
MATEMATICKÁ INDUKCE 5 4. Idukce vyžadující vtip Uvedeme si jede zajímavý příklad, ve kterém a prví pohled eí jasé, jak vlastě idukčí krok udělat. Příklad 4.. Dokažte, že pro každé N platí 3 + 3 3 + 4 3 + + 3 < 4. Řešeí. Neí těžké dokázat tuto erovost pro,, 3 ebo kolik hodot si zvolíme přímým výpočtem. Potíž je udělat idukčí krok. Jak máme usoudit z faktu + 3 3 + 3 4 + + 3 < 3 4, že + 3 3 + 3 4 + + 3 + 3 +) < 3 4 když levou strau zvětšujeme a pravá je pořád stejá? Je uto zařídit, aby se i pravá straa měila. To se udělá apř. takto: Budeme dokazovat silější tvrzeí L) 3 + 3 3 + 4 3 + + 3 + + ) 3 4 P ), ze kterého již požadovaá erovost sado plye.. Pro platí přímo rovost L) P ).. Nyí uděláme idukčí krok. protože L + ) 3 + 3 3 + 4 3 + + 3 + + ) 3 L) + + ) 3 idukčí předpoklad 4 + + ) 3 4 + ), 4 + + ) 3 4 + ) + + ) 3 + ) + ) + ) 3 + ) 3 + ) + ) 3 + ) + ) + + + ) + ) + 3 + což každý vidí a tím je důkaz hotov. 5. Nerovost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem a jeho aplikace Lemma 5. AG-erovost). Nechť a i 0. Pak ) ) a i a i. Proof. Užitím matematické idukce podle. Zajímavé a to velmi) je, že se edaří udělat idukčí krok +. Ale dá se to udělat velmi vtipě ásledujícím způsobem.. Důkaz je triviálí pro i pro ).
6 ALEŠ NEKVINDA. Dokážeme ejprve implikaci. Dáo čísel b i, c i, i,,..., položme a i bi+ci a použijme ) pro čísel a i. Užitím ) pro máme ) ) ) bi + c i b i + c i b i + c i b i c i b i + c i )). Tím je krok hotov. 3. Dokážeme yí implikaci. Užitím ) pro a a a, a a k máme ) { ) a k a k a k + ) a k a k a tedy ) a k a k. Tím je krok hotov a AG-erovost je dokázáa. Aplikace AG-erovosti. Věta 5.. Polož a + ), b + ) +. Pak a je eklesající a shora omezeá číslem 4, tj. pro každé N platí a a + a a 4 a b je erostoucí a zdola omezeá číslem, tj. pro každé N platí b b + a b Důkaz. Dokážeme, že a je eklesající a b erostoucí. Vyjdeme ze zámé erovosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem již dokázaého). Pro p, p,..., p k 0 platí k ) p p... p k p + p + + p k. k Užijeme erovost ) pro k +, p p p +, p +, dostaeme + + ) + ) + + + + + + + Úpravou máme + ) + ) + + což je totéž jako a a +. Tedy a je vskutku eklesající. Užijme opět erovost ) pro k +, p p p, p + + a dostaeme + + )+ + + + + + + +, +
MATEMATICKÁ INDUKCE 7 což dává + )+ + + )+ + ) + + ) +, + tedy b b + a posloupost b je vskutku klesající. Nyí je zbytek sadý. Volme m, N. Pro m máme a m < a < b, a pro m dostaeme a m < b m < b. V každém případě je a m < b pro libovolé m, N. Tedy a < b a a m < b 4 a tím je dokázáa omezeost posloupostí a, b. Zajímavé je, že jsme vlastě dokázali erovost + ) 4. Je ovšem dobré si všimout, že z příkladu 3.6 dostaeme pro m lepší odhad + ) < 3. 6. Dodatek Příklad 6. Domácí kolo MO, 007). Dokažte, že pro každé N existuje a N, < a < 5 takové, že a 3 a + je dělitelé 5. Návod.. Pro, to lze ajít experimetálě. To také apoví, kdy je a 3 a + dělitelé 5.. Nechť pro máme a takové, že je a 3 a + 5 b pro ějaké b. Hledejme yí číslo k tak, aby pro a + : 5 k + a platilo, že a 3 + a + + je dělitelé 5 +. Tím se udělá idukčí krok. 3. A že a emusí být meší ež 5? Tak to už je skutečě detail. Refereces [] A. Vrba, Pricip matematické idukce. Škola mladých matematiků 40, vydal ÚV matematické olympiády v akladatelství Mladá frota, Praha 977. Departmet of Mathematics, Faculty of Civil Egieereg, Czech Techical Uiversity, Thákurova 7, 669 Prague 6, Czech Republic E-mail address: ales@mat.fsv.cvut.cz