ÚVOD DO TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI.1 Náhodný ev Tato kaptola uvádí souhrn základních pomů a postupů teore pravděpodobnost, které se uplatňuí př rozboru spolehlvost stavebních konstrukcí a systémů. Výklad některých obecných postupů e však značně omezen s ohledem na rozsah skrpt. Podrobné vysvětlení všech uvedených poznatků e však možno nalézt ve skrptech [5] a v odborné lteratuře [18,19,0,4]. Teore pravděpodobnost se opírá o několk základních pomů, mez něž patří pokus, náhodný ev, evové pole. Pokusem se obecně rozumí realzace určtého souboru podmínek π. Klascké poetí teore pravděpodobnost předpokládá, že pokusy lze lbovolně opakovat (např. házení hrací kostkou, zatěžovací zkoušky betonové krychle). Výsledek každého pokusu e pak popsán výrokem, který umožňue ednoznačně rozhodnout, zda určtý ev nastal č nenastal. Rozsáhlé praktcké aplkace obecných pomů a postupů ve skutečných podmínkách však s představou lbovolně opakovatelných pokusů, z nchž každý vede k ednoznačnému výsledku ( když předem neznámému), nevystačí. Moderní teore pravděpodobnost proto přímá obecněší poetí, př kterém se termíny pokus, ev a evové pole opíraí o obecnou teor množn. Termín pokus má proto dále šroký význam: zahrnue takové realzace podmínek π, které lze ve skutečnost lbovolně opakovat, ale takové pokusy, které lze uskutečnt pouze ednou, nebo vůbec ne (popř. pouze hypotetcky). Důležté sou v každém případě podmínky π, které e třeba co nepřesně a neúplně vymezt, a k nmž e třeba výsledky pokusu a ech praktcké nterpretace soustavně vztahovat. Porovnávání pokusů provedených za odlšných podmínek může vést k závažným chybám a nedorozumění. Pops příslušného souboru podmínek a ech ověření by se proto mělo stát nedílnou součástí každého pravděpodobnostního rozboru. Teore pravděpodobnost se zabývá takovým pokusy, echž výsledek není předem ednoznačně určen příslušným souborem podmínek π, popř. takovým pokusy, pro něž soubor podmínek, který by vedl k ednoznačnému výsledku, nelze př pokusech zastt, nebo který není vůbec znám (známá e pouze část takového souboru). Pokusu tohoto druhu se říká náhodný pokus. Výsledek náhodného pokusu popsuí evy, které př realzac podmínek π mohou, ale nemusí nastat. Takové evy se nazývaí náhodné evy a označuí se obvykle velkým písmenem z počátku abecedy, např. A nebo B (popř. s ndexem). Jev, který nutně nastane př každé realzac podmínek π, e ev stý označíme e U; ev, který nemůže nkdy nastat, e ev nemožný označíme e V. 10
Jevovým polem Λ určtého náhodného pokusu rozumíme všechny evy, které mohou nastat realzací stanoveného souboru podmínek π, t. mohou být výsledkem příslušného pokusu. Jevové pole může být konečné (házení hrací kostkou), nebo nekonečné (zkoušení betonové krychle ve zkušebním stro). V některých případech lze nalézt systém elementárních evů, t. takových evů, které nelze dále dělt (př hodu hrací kostkou padnutí ednoho z čísel 1 až 6). V ných případech systém elementárních evů není zřemý nebo neexstue (zkoušení krychle ve zkušebním stro). Uvedené základní pomy náhodný pokus, soubor podmínek π, ev a evové pole sou osvětleny na třech ednoduchých příkladech, které sou neodděltelnou součástí tohoto stručného souhrnu. Kromě podrobného doplňuícího výkladu základních pomů, zařazené příklady uváděí některé obecněší poznatky a poukazuí na nesnáze př popsu skutečných podmínek matematckým prostředky a na nezbytnost přímat zednodušuící předpoklady. Příklad.1. Tradčním (a z nstruktvního hledska velm užtečným) příkladem e náhodný pokus spočívaící ve vrhu hrací kostkou. Soubor podmínek π e trvální: hrací kostka e vyvážená a symetrcká, hod se provádí tak, aby se neovlvňovala poloha kostky př dopadu. Jev stý U značí padnutí některého z čísel 1,, 3, 4, 5, 6, ev nemožný V padnutí ostatních čísel. Elementární evy E, 1, až 6, které nelze dále dělt, označuí padnutí čísla 1, až 6. Pokud e splněn uvedený soubor podmínek π, e výskyt každého elementárního evu E steně možný. V tomto případě říkáme, že de o systém steně možných elementárních evů. Další náhodné evy lze označt např. takto: A 1 E 1 padnutí čísla 1, A E E 4 E 6 padnutí čísla děltelného dvěma, A 3 E 3 E 6 padnutí čísla děltelného třem, A 4 E E 3 E 4 E 6 padnutí čísla děltelného dvěma nebo třem apod. Jevové pole Λ (t. souhrn všech možných evů, které mohou nastat př hodu) e v tomto případě zřemě konečné. Příklad.. Vyšetřue se krychelná pevnost betonu, náhodný pokus spočívá v zatěžování betonové krychle ve zkušebním lsu. Soubor podmínek π zahrnue složení, zpracování a stáří betonu, rozměry krychle, způsob zatěžování apod. Za náhodný ev se považue porušení betonové krychle př určté hladně zatížení. Bude-l zatížení dostatečně vysoké, dode k porušení vždy, př nízkém zatížení nedode k porušení nkdy, př hodnotách zatížení odpovídaících charakterstcké hodnotě krychelné pevnost betonu k porušení může doít (např. v 5% případů), ale nemusí (např. v 95% případů). Elementární evy e možné defnovat pouze aproxmatvně, např. prostřednctvím systému steně šrokých ntervalů v určtém oboru. Nepochybně nede o systém steně možných evů. Jevové pole Λ obsahue lbovolný ednostranně nebo oboustranně ohrančený nterval a e tedy nekonečné. 11
Příklad.3. Představme s, že budeme házet špkou na tabul; každý hod představue ednu realzac náhodného pokusu. Soubor podmínek zahrnue vzdálenost tabule, eí velkost, druh špky a ostatní podmínky házení. Předpokládáme, že každý bod tabule může být zasažen steně často, a že tabul nkdy nemneme (nepochybně velm sporné předpoklady). Zásah celé tabule e tedy ev stý U. Nemožný ev V e hod mmo tabul. Náhodný ev však může spočívat v zasažení kterékolv menší oblast A nakreslené na tabul (obrázek.1) nebo některé kombnace takových oblastí. Systém všech možných oblastí tabule představue nekonečné evové pole. Uvedené příklady vedou k obvyklému znázornění náhodných evů (vz obrázek.1) pomocí plošných obrazců, které se využívaí pro lustrac vzáemných vztahů mez náhodným evy A, B, C,... (v lteratuře se takové znázornění označue ako Vennův dagram). Na obrázku.1 e ev stý U znázorněn celým obdélníkem, dva náhodné evy A a B sou schematcky znázorněny ovály. Uveďme základní vztahy mez evy A a B, které vedou k defnc dalších důležtých pomů a k odvození některých obecných relací mez náhodným evy. Všechny níže uvažované vztahy a kombnace náhodných evů e možno znázornt pomocí plošných dagramů, které se zde vyžívaí v omezené míře s ohledem na rozsah skrpt. Podrobný výklad všech uvedených poznatků e možno nalézt v odborné lteratuře [18,19,0,4] včetně skrpt [5]. U A B Obr..1. Příklad házení špkou na tabul - Vennův dagram. Jestlže př každé realzac podmínek π, př které nastal ev A, nastane ev B, říkáme, že ev A mplkue ev B, což se zpravdla symbolcky zapsue výrazem A B. Jestlže př každé realzac podmínek π nastane současně ak ev A, tak ev B, nastane průnk obou evů 1
označený A B. Jestlže př každé realzac podmínek π nastane aspoň eden z evů A a B, nastane sednocení obou evů označené A B, estlže nastane ev A, ale nenastane ev B, nastane rozdíl těchto evů A B. Jevy A a A sou evy doplňkové, (říkáme také, že ev A e opačný k evu A), estlže současně platí A A U a A A V. Lze ukázat, že pro průnk a sednocení náhodných evů platí následuící ednoduchá pravdla (komutatvní, asocatvní a dstrbutvní zákon): A B B A, A B B A (.1) (A B) C A (B C), (A B) C A (B C) (.) (A B) C (A C) (B C), A (B C) (A B) (A C) (.3) Tato základní pravdla vedou k defnc složtěších relací pro průnk a sednocení systému evů A : I U A A A A 1 A A 1 A 3 A 3... A... A n n (.4) Př praktckém výpočtu pravděpodobností složtých evů se někdy účnně uplatňuí následuící pravdla (tak zvaná de Morganova pravdla), echž platnost plyne z předchozích vztahů I U A A A A 1 A A 1... A... A n n (.5) Použtí těchto pravdel e patrné z následuících dvou příkladů. Příklad.4. Jednoduchý sérový systém e podle obrázku. sestaven ze dvou prvků a zatížen dvocí sl o velkost P. Porucha systému F může nastat poruchou F 1 prvku 1 nebo poruchou F prvku : F F 1 F Bezporuchový stav F e popsán evem, pro který ze vztahu (.5) plyne vztah F F 1 F F1 F 13
P 1 P Obrázek.. Sérový systém. Příklad.5. Město C e zásobováno vodou ze dvou zdroů A a B potrubím, které má tř samostatné větve 1, a 3 (vz schéma na obrázku.3). Označme F 1 poruchu větve 1, F poruchu větve a F 3 poruchu větve 3. Jestlže každý ze zdroů A a B má dostatečnou kapactu k zásobování města C, pak nedostatek vody v městě e popsán evem ( F F 1 F ) 3, t. nastane současně porucha ve větvích 1 a nebo porucha ve větv 3. Pro rozbor tohoto evu může být však účelné sledovat doplňkový ev popsuící dostatek vody v městě C. Podle de Morganových pravdel (.5) e doplňkový ev, t. dostatek vody v městě C popsán evem ( F F 1 F ) F3 ( F1 F ) 3 kde ev F ) představue dostatek vody v místě spoení větví 1 a, který e současně ( 1 F počátkem větve 3. A 1 3 C B Obrázek.3. Systém dodávky vody ze zdroů A a B do města C. Příklad.6. Uvažume statcky určtou příhradovou konstrukc podle obrázku.4, která se skládá ze sedm prutů a e zatížena dvocí sl P. Úkolem e popsat ev F, že nastala porucha konstrukce. Označme F ev, že nastala porucha prvku 1,,..., 7. 14
P 4 P 1 3 5 7 6 Obrázek.4. Statcky určtá příhradová konstrukce. Porucha celé konstrukce (ev F) nastane, estlže dode k poruše aspoň ednoho ze sedm prvků. Platí tedy F U 7 F S ohledem na výrobní podmínky ednotlvých prvků mohou být evy F vzáemně závslé a nesou tedy dsunktní. Př výpočtu pravděpodobnost poruchy může být pak výhodné pracovat s doplňkovým evem F, pro který podle de Morganových pravdel (.5) platí F 7 U 7 I F F 1 1 Podobný obrat se často s výhodou využívá př pravděpodobnostním rozboru složtěších technckých systémů. Přpomeneme eště některé další důležté pomy. Říkáme, že systém evů A tvoří úplný systém evů, estlže ech sednocení e ev stý U. Př rozboru složtých evů se někdy uplatňue úplný systém navzáem dsunktních evů.. Defnce pravděpodobnost Defnce pravděpodobnost prošla poučným vývoem, který vypovídá o pozoruhodném rozvo teore pravděpodobnost eích praktckých aplkací. Klascká defnce pravděpodobnost se opírá o úplný systém elementárních evů. Nechť se ev A rozpadá na m z celkového počtu n steně možných elementárních evů, který e vytvořen úplným systémem navzáem dsunktních evů. Pravděpodobnost evu A e pak dána podílem P(A) m / n (.6) 15
Pro takto defnovanou pravděpodobnost zřemě platí 0 P(A) m / n 1 (.7) P(U) n / n 1, P(V) 0 / n 0 (.8) Pro systém navzáem dsunktních evů A lze dále ukázat, že pravděpodobnost sednocení těchto evů e dána vztahem P U A 1 1 P ( A ) (.9) Klascká defnce pravděpodobnost zcela vyhovue v řadě elementárních případů, ako e házení hrací kostkou v příkladu.1. Jestlže však hrací kostka nebude souměrná, klascká defnce očvdně selhává. Příklady. a.3 dále naznačuí, že v praktckých případech nelze vystačt s konečným systémem elementárních evů. Ve snaze řešt tyto nedostatky se postupně obevly další defnce pravděpodobnost. Geometrcká defnce pravděpodobnost navazue na házení špkou v příkladu.3. Podle této defnce e pravděpodobnost evu A podílem eho plošného obsahu obs(a) a obsahu stého evu U obs (U), tedy podílem P(A) obs (A) / obs (U) (.10) a snaží se odstrant nedostatek, kterým e v klascké defnc příklad konečného počtu elementárních evů. Ale an tato defnce neobstoí př námtce, že ne všechny body na tabul (ev U) maí stenou možnost výskytu a "obsah" není tedy odpovídaící mírou výskytu. Tomuto nedostatku se snaží vyhnout další pokusy o defnc pravděpodobnost. Statstcká defnce pravděpodobnost vychází z výsledků mnohokrát opakovaného pokusu. Uvažume posloupnost n realzací něakého pokusu. Nechť př těchto n pokusech nastane určtý ev A v m(a) pokusech. Ukazue se, že relatvní četnost výskytu evu A, t. zlomek m(a)/n, zachovává př dost velkém n téměř konstantní hodnotu; větší odchylky od této hodnoty sou tím vzácněší, čím e n větší. Tento úkaz se nazývá statstckou stabltou relatvních četností, t. podílů m(a)/n. Hodnota, ke které se blíží relatvní četnost m(a)/n př zvyšuícím se n, se přímá za obektvní míru výskytu sledovaného evu a nazývá se pravděpodobností P(A) evu A: m( A) P( A) lm (.11) n n U statstcké defnce pravděpodobnost, která e vázána na výsledky pokusů, působí však 16
statstcká konvergence (t. lmta posloupnost hodnot získaných ako náhodné výsledky) velké nesnáze. Klascká, geometrcká statstcká defnce pravděpodobnost se snaží pravděpodobnost neen defnovat, ale navrhnout pravdlo k eímu výpočtu. Zřemě e to požadavek přílš vysoký, ne-l nemožný. Dlouhodobá snaha o defnování základních pomů teore pravděpodobnost e dnes dovršena vytvořením tzv. axomatckého systému, přatého a uznávaného na celém světě. Axomatcký systém pouze defnue poem pravděpodobnost a eí vlastnost, neudává však žádný praktcký návod k eímu stanovení. Všmněme s, že rovnce (.7) až (.9), zachycuí společné vlastnost klascké, geometrcké statstcké defnce pravděpodobnost: 1/ pravděpodobnost stého evu e rovna edné; / pravděpodobnost nemožného evu e rovna nule; 3/ estlže náhodný ev A e sednocením částečných a vzáemně dsunktních evů A 1,A,..., A n, pak pravděpodobnost evu A e rovna součtu pravděpodobností částečných evů. Axomatcká defnce pravděpodobnost tyto obecné vlastnost předkládá ve formě axomů. Pravděpodobnost P e reálná funkce, defnovaná na evovém pol Λ nad stým evem U s těmto vlastnostm: 1. Je-l A Λ, pak P(A) 0 (.1). Pro stý ev U platí P(U) 1 (.13) 3. Je-l A Λ, 1,,... a e-l pro lbovolná a A A V, pak P U A P A 1 1 ( ) (.14) Uvedené tř axomy vyhovuí neen předchozím defncím pravděpodobnost, ale nověšímu poetí pravděpodobnost ako míry splnění určtého výroku nebo požadavku, která e stanovena často pouze ntutvně a subektvně (ako expertní úsudek). V těchto případech se tedy zcela upouští od představy reprodukovatelných (opakovatelných) náhodných pokusů, které sou základem pro stanovení pravděpodobnost určtého evu. 17
Poznamenáme, že v moderní teor pravděpodobnost se prostřednctvím shora uvedených axomů přechází na obecnou teor míry. Pravděpodobnost e pak defnována ako nezáporná adtvní funkce množn, kterou s lze představt ako zobecnění pomu "obsah" v geometrcké defnc..3 Základní pravdla pro výpočet pravděpodobností Př výpočtu pravděpodobnost sou užtečná další pravdla, echž platnost lze odvodt z rovnc (.6) až (.9), popř. z axomů (.1) až (.14). Nechť A, 1,, n, tvoří úplný systém evů. Pak zřemě platí P( n U 1 A ) P( U) 1 (.15) Jestlže ev A e sednocením částečných navzáem dsunktních evů A, 1,,, n, lze napsat P( A) P( n U 1 n A ) P( A ) 1 (.16) Pro lbovolné dva evy A a B (které nemusí být dsunktní) platí pro pravděpodobnost ech sednocení věta o součtu pravděpodobností P( A B) P( A) + P( B) P( A B) (.17) která plyne z (.16) pro navzáem dsunktní evy A a B (A B), echž sednocením e sledovaný ev A B. Jestlže A, 1,,, n, e úplný systém navzáem dsunktních evů, pak z rovnce (.15) dostaneme n P( U A ) 1 n 1 P( A ) P( U) 1 (.18) Pro doplňkové evy A a A z rovnce (.18) vyplývá P(A ) 1 P(A) (.19) Příklad.7. Stanovme pravděpodobnost bezporuchového stavu sérového systému podle příkladu.4. Nechť P(F 1 ) 0,05, P(F ) 0,05 a P(F 1 F ) 0,0. Pak vzhledem ke vztahu 18
(.17) zstíme ( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F1 F ) 0,05 + 0,05 0,0 0,08 P Všmněme s, že evy F 1 a F nesou dsunktní (současně může doít porušení obou prvků); kdyby byly dsunktní, pak by pravděpodobnost poruchy byla 0,10. Další podrobnost k tomuto příkladu poskytne věta o součnu pravděpodobností, která e uvedena v následuícím oddílu..4 Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost P(A B) evu A za doplňuící podmínky, že současně (nebo předem) nastal ný ev B, ehož pravděpodobnost e nenulová, e důležtým pomem moderních postupů teore pravděpodobnost, který se často uplatňue také v teor spolehlvost. Podmíněná pravděpodobnost P(A B) e defnována vztahem P(A B) P(A B) / P(B) (.0) Z tohoto vztahu vychází tak zvané Bayesovské poetí teore pravděpodobnost (Thomas Bayes (170 až 1761)). Důležtá zednodušení vztahu (.0) platí pro dva zvláštní případy. Jestlže evy A a B sou dsunktní, t. platí A B V, pak P(A B) 0, estlže ev A mplkue ev B, t. platí A B, pak P(A B) P(A) / P(B), estlže naopak B A, pak P(A B) 1. Tyto vlastnost plynou bezprostředně ze základních vlastností pravděpodobnost uvedených v oddílech. a.3. Z rovnce (.0) plyne obecné pravdlo pro součn pravděpodobností P(A B) P(B) P(A B) (.1) Všmněme s opět zvláštních případů. Jestlže evy A a B sou dsunktní, t. platí A B V, pak P(A B) 0 a také P(A B) 0; estlže A B, pak P(A B) P(A) / P(B) a P(A B) P(A); estlže naopak B A, pak P(A B) 1 a P(A B) P(B). Říkáme, že evy A a B sou nezávslé (výskyt evu B neovlvní pravděpodobnost výskytu evu A), estlže platí P(A B) P(A). Zastavme se u shora uvažovaných zvláštních případů. Jestlže evy A a B sou dsunktní, pak sou závslé, neboť P(A B) 0 P(A) (pokud nede o nemožný ev V); estlže A B, pak A a B sou závslé evy, neboť P(A B) P(A) / P(B) P(A), estlže naopak B A, pak evy A a B sou závslé, neboť P(A B) 1 P(A). Pro nezávslé evy A a B tedy platí, že nesou dsunktní, t. A B V, a dále že splňuí trvální 19
vztahy A B a B A. Jestlže evy A a B sou nezávslé (a platí tedy A B V, A B a B A), pak pro ně z rovnce (.1) plyne P(A B) P(A) P(B) (.) Vztah (.) e větou o součnu pravděpodobností, podle které pravděpodobnost průnku (současného výskytu) dvou nezávslých náhodných evů e dána součnem ech pravděpodobností. Příklad.8. Pravděpodobnost poruchy sérového systému podle příkladu.7 může být s ohledem na vztah (.1) vyádřena vztahem P( F) P( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F1 )P( F F1 ) 0,10 0,05 P( F F1 ) Jestlže evy F 1 a F sou nezávslé, pak P(F F 1 ) P(F ) a tedy ( F) P( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F1 ) P( F ) 0,10 0,005 0,0975 P Jestlže evy F 1 a F sou dokonale závslé (F 1 F ), t. P(F F 1 )1, pak ( F) P( F1 F ) P( F1 ) + P( F ) P( F ) 0,10 0,05 0,05 P 1 a sérový systém se v tomto případě chová ako edný prvek. Obecně se však pravděpodobnost poruchy uvažovaného sérového systému pohybue v ntervalu od 0,05 do 0,0975 v návaznost na stupeň závslost evů F 1 a F. Jestlže podle obrázku.5 ev A může nastat pouze realzací ednoho z navzáem dsunktních evů B, 1,,..., n (na obrázku.5 e n 5), echž pravděpodobnost sou známy, a sou-l také známy podmíněné pravděpodobnost P(A B ) (podle obrázku.5 e zřemě P(A B 5 )0), pak pravděpodobnost evu A může být stanovena ze vztahu P( A) n 1 P( B ) P( A B ) (.3) který se nazývá věta o úplné pravděpodobnost. 0
B 1 B B 3 B 4 B 5 A Obrázek.5. Jev A a navzáem dsunktní evy B..5 Bayesova věta Př uskutečnění evu A se naskýtá přrozená otázka, který z evů B vedl k uskutečnění evu A, t. aká e pravděpodobnost ednotlvých hypotéz B, z nchž právě edna byla splněna (vz obrázek.5), ným slovy, aká e pravděpodobnost P(B A). Ze vztahů (.0), (.1) a (.3) plyne velm důležtý vztah P( B ) P( A B ) P ( B A) n (.4) 1 P( B ) P( A B ) který se často nazývá Bayesova věta. Obecný postup praktckého použtí Bayesovy věty lze popsat pomocí důležté úvahy z teore spolehlvost stavebních konstrukcí. Jestlže porucha konstrukce, ev A, může nastat v důsledku různých hypotéz B a z předchozích zkušeností sou známy pravděpodobnost P(B ) výskytu ednotlvých hypotéz B, a rovněž sou známy podmíněné pravděpodobnost P(A B ), že nastala porucha A ako následek hypotézy B, pak pravděpodobnost poruchy A lze stanovt z věty pro úplnou pravděpodobnost (.3). Jestlže však porucha A nastala, t. nastal ev A, pak e důležtá otázka pravděpodobností ednotlvých hypotéz, které mohly poruchu vyvolat. Zaímaí nás tedy podmíněné pravděpodobnost P(B A), které lze stanovt z Bayesovy věty (.4). Praktcké použtí vztahů (.3) a (.4) e patrné z následuících příkladů. Příklad.9. Př hodnocení exstuící železobetonové konstrukce sou k dspozc výsledky 1
kontrolních zkoušek, které opravňuí k předpokladu, že skutečná pevnost e nžší než charakterstcká hodnota 0 MPa (ev B 1 ) s pravděpodobností p 1 P(B 1 ) 0,05 a vyšší než 0 MPa (ev B ) s pravděpodobností p P(B ) 0,95. K dodatečnému ověření akost betonu byla použta ednoduchá nedestruktvní metoda, která e však nepřesná. Označme A ev, že pevnost betonu stanovená nedestruktvní metodou e vyšší než 0 MPa. Chyby nedestruktvní metody lze vyádřt podmíněným pravděpodobnostm P(A B 1 ) 0,30, P(A B ) 0,90 V důsledku nepřesnost nedestruktvní metody může být tedy beton s pevností nžší než 0 MPa označen za beton s pevností vyšší než 0 MPa, a to s pravděpodobností 0,30, a beton s pevností vyšší než 0 MPa e označen za beton s touto pevností pouze s pravděpodobností 0,90. Pravděpodobnost, že nastane ev A (nedestruktvní pevnost e označena za vyšší než 0 MPa) plyne z věty o úplné pravděpodobnost (.3) P( A) P( B ) P( A 1 B ) 0,05 0,30 + 0,95 0,90 0,87 To znamená, že nepřesnou nedestruktvní metodou bude stanovena pevnost betonu vyšší než 0 MPa s pravděpodobností 0,87, když př absolutně přesných zkouškách, t. pokud by pro shora uvažované podmíněné pravděpodobnost platlo P(A B 1 ) 0, P(A B ) 1 pak z rovnce (.3) plyne P( A) P( B ) P( A 1 B ) 0,05 0 + 0,95 1 0,95 Z praktckého hledska e však důležtěší ná otázka. Jaká e pravděpodobnost P(B A) hypotézy B, že beton, pro který nedestruktvní zkouškou byla stanovena pevnost vyšší než 0 MPa (nastal tedy ev A), má skutečně pevnost vyšší než 0 MPa (a de tedy o ev B )? Tuto pravděpodobnost lze stanovt přímo z Bayesovy věty (.4) pro pravděpodobnost hypotéz P( B ) P( A B P( B A) P( B ) P( A 1 ) 0,95 0,90 0,05 0,30 + 0,95 0,90 ) B Jestlže tedy nedestruktvní zkouškou vyšla pevnost vyšší než 0 MPa, pak 0,98
pravděpodobnost, že beton má skutečně tuto pevnost, se z původní hodnoty 0,95 zvýšla na 0,98. Bayesova věta nalézá šroké uplatnění v řadě dalších praktckých případů nženýrské praxe, např. v těch, ve kterých e žádoucí aktualzovat předchozí nformace o rozdělení pravděpodobností s ohledem na nově získané poznatky. Tento důležtý pravděpodobnostní postup e uveden v následuícím oddílu..6 Aktualzace pravděpodobností Bayesova věta (.4) se často aplkue př tak zvané aktualzac rozdělení pravděpodobností, která se opírá o časově oddělené náhodné pokusy (často opakované). Steně ako v oddílu.5 se předpokládá, že pravděpodobnost P(B ) sou známy z předchozí (někdy časově vzdálené, neurčté a pouze subektvní) zkušenost. Říkáme m proto původní (aprorní) pravděpodobnost a označuí se ednoduše p P(B ). S časovým odstupem se v současnost uskuteční pokusy, př nchž se zstí podmíněné pravděpodobnost P(A B ) pozorovaného evu A za předpokladu, že nastal právě ev B, a které lze pokládat za míru věrohodnost, že příčnou evu A byl právě ev B. Tyto podmíněné pravděpodobnost, popř. k nm poměrné hodnoty, se proto nazývaí věrohodnost (lkelhood) l P(A B ); značka znamená "poměrný k" (věrohodnost l nemusí být tedy nutně normalzovány na nterval < 0, 1 >). Ptáme se na aktualzované (aposterorní, anglcky často také updated) pravděpodobnost p P(B A) evu (t. hypotézy) B, aktualzované s ohledem na výsledek nového pokusu (evu A). Z Bayesovy věty (.4) plyne důležtý vztah pro p ve tvaru: l p (.5) l Je zřemé, že vzorec (.5) platí obecně pro věrohodnost l, které nesou normalzovány na nterval < 0, 1 > (na rozdíl od pravděpodobností), a vyadřuí pouze relatvní podíl evů (hypotéz) B na pozorovaném evu A. Vztah (.5) e základem pro aktualzac pravděpodobností, která se často uplatňue v řadě nženýrských postupů, zeména př hodnocení exstuících konstrukcí. Právě v těchto případech se kombnuí předchozí (často subektvní) nformace s aktuálním poznatky, t. nformace o konstrukc v různých časových okamžcích, obvykle s velkým časovým odstupem. Proto e třeba ověřt podmínky, za kterých byly předchozí nformace získány, a vyhnout se pokušení uplatnt nedostatečně známá data, která by mohla vést k závažným 3
chybám a k nedorozumění. Příklad.10. Sledume dále železobetonovou konstrukc popsanou v příkladu.9. Přpomeňme, že z předchozích kontrolních zkoušek sou známy původní (aprorní) pravděpodobnost p 1 P(B 1 ) 0,05 (pravděpodobnost, že skutečná pevnost e nžší než charakterstcká hodnota 0 MPa, což e ev B 1 ) a p P(B ) 0,95 (pravděpodobnost, že skutečná pevnost e vyšší než 0 MPa, ev B ). Př následném hodnocení konstrukce byly provedeny dodatečné zkoušky pevnost betonu pomocí ádrových vrtů, echž přesnost e dostatečně vysoká (na rozdíl od nedestruktvních zkoušek v předchozím příkladu.9), a k nepřesnostem není tedy nutno př rozboru výsledků přhlížet. Tyto zkoušky naznačly, že věrohodnost evu B 1 e l 1 P(A B 1 ) 0, a věrohodnost evu B e l P(A B ) 0,8 (uvedené věrohodnost sou ž normalzovány). Aktualzované (aposterorní) pravděpodobnost plynou ze vztahu (.5) p l 0,05 0,0 0,05 0,0 + 0,95 0,80 1 1 1 1 l 0,01 p l 0,95 0,80 0,05 0,0 + 0,95 0,80 1 p l Aktualzované (aposterorní) rozdělení pravděpodobností p e tedy příznvěší než původní (aprorní) rozdělení pravděpodobností p. Poznameneme, že pokud dodatečné zkoušky naznačí, že věrohodnost obou evů B 1 a B sou stené, např. l 1 P(A B 1 ) l P(A B ) 0,5, sou aktualzované pravděpodobnost stené ako původní (p p ). Jestlže by však rozbor evu A ukázal, že věrohodnost evu B 1 e vyšší než evu B, např. l 1 P(A B 1 ) 0,7 a l P(A B ) 0,3, aposterorní pravděpodobnost se výrazně změní: p l 0,05 0,70 0,05 0,70 + 0,95 0,30 1 1 1 1 p l 0,99 0,11 p l 0,95 0,30 0.05 0,70 + 0,95 0,30 1 p l Aktualzované (aposterorní) rozdělení pravděpodobností p e tedy zřetelně méně příznvé než původní (aprorní) rozdělení p. Vlv původního (aprorního) rozdělení se zdá však stále převažuící; vymzí pouze př extrémním rozdělení věrohodností, např. když se současně l 1 0,89 4
blíží k edné (l 1 P(A B 1 ) 1) a l blíží k nule (l P(A B ) 0). V prax se však očekává spíše takové rozdělení věrohodností, které se svým tvarem přblžue k aprornímu rozdělení pravděpodobností. Příklad.11. Velké množství tažených prvků exstuící konstrukce bylo navrženo na zatížení kn. Př přestavbě konstrukce se však zatížení těchto prvků má zvýšt na,5 kn. Předchozí zkušenost ukazuí, že prvky sou schopny přenášet zatížení,5 kn (ev B) s pravděpodobností 1 P(B) 0,8 a poruší se s pravděpodobností P( B ) 0,. Navíc e však z předchozí zkušenost známo, že polovna z těch prvků, které nepřenesou zatížení,5 kn, vyhoví př nžším zatížení,3 kn (ev A). S ohledem na tyto poznatky lze pravděpodobnost 1 P(B) 0,8 aktualzovat zkouškou ednoho prvku na zatížení,3 kn. Předpokládeme, že zkouška byla úspěšná, t. prvek se př zatížení,3 kn neporušl. Z výsledku této zkoušky byla odhadnuta věrohodnost evu B, t. l 1 P(A B) 1, a evu B, t. l P(A B ) 0,5. Ze vztahu (.5) pak plyne aposterorní pravděpodobnost p l 0,80 1,0 0,80 1,0 + 0,0 0,5 1 1 1 1 p l Aprorní pravděpodobnost 1 0,8 e tedy aktualzována hodnotou p 1 0,89. Aktualzac pravděpodobností lze však opakovat další zkouškou, př které se aposterorní pravděpodobnost získaná v předchozím kroku považue za aprorní nformac. Jestlže by 0,89 další zkouška byla opět úspěšná, pak nová aposterorní pravděpodobnost e p l 0,89 1,0 0,89 1,0 + 0,11 0,5 1 1 1 1 l Tento opakovaný postup e př aktualzac pravděpodobností v praktckých aplkacích obvyklý a zcela charakterstcký. Co se však stane, estlže první zkouška není úspěšná? Pokud sou v tomto případě odhadnuty věrohodnost l 1 P(A B) 0,5 a l P(A B ) 1,0 (opačný poměr než v 0,94 případě úspěšné zkoušky), vychází pro aposterorní pravděpodobnost p 1 p l 0,80 0,5 0,80 0,5 + 0,0 1,0 1 1 1 1 l 0,67 což e nepříznvé snížení původní aprorní hodnoty zřemě nutné uvažovat o dalších zkouškách. 0,8. S ohledem na tuto skutečnost e 1 5