1. Posloupnosti a jejich vlastnosti

Transkript

1 Poslouposti dy Poslouposti jejich vlstosti Npište prvích pt le poslouposti která je dá tkto: 0 6 Npište prvích 0 le ekoeé poslouposti k prvoíslo k v pípd že eí prvoíslo Vyjádete dé poslouposti vzthem pro -tý le: si která je defiová tkto: k je-li Urete tetí pátý le poslouposti dé rekuret: Je dá posloupost log 6 Je dá posloupost 7 Je dá posloupost Vyjádete jí rekuret Vyjádete jí rekuret log0 Vyjádete jí rekuret Zjistte zd jsou dé poslouposti rostoucí klesjící erostoucí ebo eklesjící omezeé (zdol shor): cos 7 8 Idická úloh: Je teb vypoítt poet krv telt ve stádu jež získáme od jedé krávy z 0 let víme-li že se kždé kráv rodí poátkem kždého roku jedo tele kždé tele dává stejé potomstvo jkmile dosáhe vku tí let Dkz mtemtickou idukcí Je dá posloupost Posloupost vzthem pro -tý le rekuret tkto: Vyjádete jí vzthem pro -tý le je dá rekuret tkto: Pro všech pirozeá ísl je souet prvích le poslouposti 6 Dokžte Dokžte že pro všech pirozeá ísl pltí: 6 Vyjádete tuto posloupost kde rove Dokžte: : 6 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 7 Mtemtickou idukcí dokžte: : : 8 Mtemtickou idukcí dokžte: 9 Mtemtickou idukcí dokžte: : 0 Mtemtickou idukcí dokžte: :

2 Poslouposti dy Mtemtickou idukcí dokžte že pro všech pirozeá ísl je výrz 6 vždy celoíselý Dokžte že soui dvou po sob jdoucích pirozeých ísel je dlitelý dvm Dokžte že souet tetích moci tí po sob jdoucích pirozeých ísel je dlitelý devíti Dokžte mtemtickou idukcí že soui tí po sob jdoucích pirozeých ísel je dlitelý šesti 6 je dlitelé íslem pro kždé pirozeé Dokžte mtemtickou idukcí že íslo Q íslo 6 Dokžte mtemtickou idukcí že íslo V 7 Postup doszujte do výrzu Q 0 je pro všech pirozeá ísl íslo celé z ísl 0 formulujte hypotézu o jeho dlitelosti jistým pirozeým íslem pro kždé N 0 Hypotézu poté dokžte mtemtickou idukcí 8 Mtemtickou idukcí dokžte že : / 9 Vyslovte hypotézu o potu úhlopíek koveího -úhelík ( ) poté jí dokžte mtemtickou idukcí 0 Vyslovte hypotézu o soutu vitích úhl koveího -úhelík ( ) poté jí dokžte mtemtickou idukcí Vyslovte hypotézu o potu ástí roviy ž roviu dlí rzých pímek které leží v rovi procházejí týmž bodem Poté tuto hypotézu dokžte mtemtickou idukcí Vyslovte hypotézu o potu pímek jimiž lze spojit bod v rovi z ichž žádé ti eleží v téže pímce Poté tuto hypotézu dokžte mtemtickou idukcí V hostici koveího tvru je lichý poet pistolík V dý okmžik kždý vystelí svého ejbližšího soused který je jedoz ure Dokžte že pestože se kždý pistolík strefí zste lespo jede z pistolík živu : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: 0 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 6 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 9 7 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 7 8 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 7 9 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 9 9 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 0 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: si si : si si si si k k si Je-li pirozeé íslo pk Dokžte Je-li 0 b 0 b pirozeé íslo pk b Dokžte 6 Dokžte že je pro kždé pirozeé íslo 7 Nerovost pltí pro všech pirozeá ísl vtší ež Dokžte 8 Nerovost pltí pro všech pirozeá ísl vtší ež Dokžte 9 Je-li 0 0 pirozeé íslo vtší ež dokžte že pltí

3 Aritmetická posloupost Zjistte jestli ásledující poslouposti jsou ritmetické i ikoliv: 6 V ritmetické poslouposti 7 Vyjádete její -tý le Poslouposti dy je dáo: 0 9 Urete difereci této poslouposti ley 7 Urete souet prvích 00 le ritmetické poslouposti 8 Urete souet všech lichých trojciferých pirozeých ísel 9 Urete souet prvích 00 ísel která pi dleí íslem dávjí zbytek Urete souet prvích le ritmetické poslouposti v íž pltí: s0 s0 0 d Vypoítejte prví posledí le ritmetické poslouposti která má dváct le je-li d s 68 Souet prvího pátého leu ritmetické poslouposti je 9 souet tetího tvrtého leu je o vtší ež souet prvího pátého Urete prvích pt le této poslouposti 6 V ritmetické poslouposti s osmi ley je soui obou krjích le 00 souet dvou prostedích le je 9 Urete tuto posloupost 7 Aritmetická posloupost jejíž prví le je 7 diferece má souet le 0 Kolik le má posloupost jký je její posledí le? 8 Mezi ísl - je teb vložit dlší ley tk by vzikl ritmetická posloupost jejíž souet je -6 Kolik je ových le které to jsou? 9 Mezi ísl 7 vložte ísl tk by s dými ísly tvoil ritmetickou posloupost o soutu 6 Urete poet vložeých ísel difereci tkto vytvoeé ritmetické poslouposti 0 V ritmetické poslouposti 6 9 vyhledejte le který se rová polovi soutu všech pedchozích Eistuje koveí -úhelík jehož ejmeší vití úhel má velikost 6 kždý dlší úhel je vtší o ež pedchozí? Pokud o urete kolik má teto -úhelík vrchol Pro která reálá ísl jsou ísl log log log ti po sob jdoucí ley ritmetické poslouposti? Velikosti str prvoúhlého trojúhelík tvoí po sob jdoucí ley ritmetické poslouposti Delší odvs má délku cm Urete velikosti str úhl tohoto trojúhelík Co je vtší o kolik: souet prvích 0 lichých pirozeých ísel ebo souet prvích 0 sudých pirozeých ísel? ást stechy domu kterou je teb pokrýt tškmi má tvr lichobžíku Do dy u hebeu stechy se vejde 8 tšek do spodí dy u okpu se vejde 0 tšek Tšky budou srováy do d tk že do v kždé ásledující d bude o jedu tšku více ež v d pedchozí Kolik koru budou stát tšky celou uvžovou ást stechy pi ce - koru z jedu tšku? 6 Ve mst se buduje hledišt letího ki pro pibliž 00 divák Do prví dy je pláováo 0 seddel do kždé ásledující pk o seddl více Kolik d seddel bude mít hledišt? 7 Ocelové roury se skládjí do vrstev tk že roury kždé horí vrstvy zpdjí do mezer dolí vrstvy Do kolik vrstev se složí 9 rour je-li v posledí vrstv je jed rour? Kolik rour je v ejižší vrstv? 8 V podiku mli v ledu pi výrob souástek 0 kus závdých Poet tchto závdých souástek se kždý msíc prvidel zmešovl o kusy Kdy (ve kterém msíci) bylo všech závdých kus dohromdy 98? 9 Dá-li se prví pole šchovice 6 zrek kždé dlší pole o zrk více ež pedcházející kolik zrek bude všech 6 polích? 0 V d z sebou je 00 kme vzdáleých od sebe 0 krok Deset krok ped prvím kmeem leží košík Sbr má z úkol peést postup všechy kmee do košíku tím zpsobem že od košíku jde pro prví káme s ím se vrcí do košíku poté jde pro druhý káme opt se vrcí ke košíku Urete kolik krok sbr ujde V zhrd je 0 záhok (viz obr ) Kždý má délku 6 m šíku m K zléváí osí zhrdík vodu ve vdrech ze study vzdáleé m od zhrdy piemž obchází záhoy po mezích Njedou piese vodu jede záho Kolik metr ujde ež zlije všechy záhoy pokud cest zíá koí u study?

4 obr Poslouposti dy 00 K zu prodávt tk že prví koruu prodám z hlé druhou z dv hlée tetí z ti Vydlám ebo prodlám tomto obchodu? Pátelé si vyprávli o svých rodiách Krátkému se vysmívli že se chová jko jediáek le o jim to odpovdl: Mýlíte se já jsem ejstrší z ptácti dtí Jsem práv osmkrát strší ež mj ejmldší brtr Kždý dlší brtr se rodil pldruhého roku po svém pedchdci Kolik let je Krátkému jeho ejmldšímu brtrovi? Jkou dráhu urzí jehl grmofoové peosky stdrdí desce má-li desk 60 závit vjší polomr spirály je 0 mm vjší polomr spirály je 0 mm? Egyptská úloh: Sto mr zrí se má rozdlit mezi pt dlík tk by druhý dlík dostl o tolik mr více ež prví o kolik tetí dostl více ež druhý tvrtý ež tetí pátý ež tvrtý Krom toho mjí prví dv dlíci dostt dohromdy sedmkrát mé mr zrí ež osttí ti Kolik mr zrí dostli jedotliví dlíci? 6 íská úloh: Klusák herk vybíhjí z jedoho míst v témž smru Klusák probhe z prví de 9 li kždý ásledující de o li více Herk ubhe z prví de 97 li kždý dlší de o poloviu li mé Pro probhutí 000 li se klusák vrcí zpt zpáteí cest potkává herku Z kolik dí po vybhutí se setkjí? (Pozámk: li je strá íská jedotk délky) 7 V roce 97 toil režisérk Vr Plívová - Šimková motivy kihy Mrk Twi Dobrodružství Tom Swyer film Pái kluci V tomto filmu je scé v íž má Tomáš tít z trest plot kolem zhrdy své tety Apoley Díky své šikovosti výmluvosti mu ho le pomohou tít kmrádi i epátelé z což Tomáš pouze iksuje ržové lísteky které mu mjí dopomoci k výhe kterou pedá zemský školí ispektor p editel (v epodobitelém podáí Petr Nárožého) Uvžovou scéu z filmu lehce pozmíme pro své poteby: pedpokládejme že Tomášov tet vlstí zhrdu jejíž oploceí je teb 6 m plotu který je tvoe z 0 cm širokých plk mezi imiž je mezer 0 cm (i v rohu zhrdy se stídá prvidel plk mezer) Kolik plk má plot? Tomáš pvod pláovl tíráí plotu tím zpsobem že prví de te jedu plku (by se epedel by mohl jít s kmrády ve) kždý ásledující de o jedu plku více ež pedchozí (by tet Apole píliš ehubovl) N kolik dí by Tomášovi tímto zpsobem práce vydržel? Prví de když se chtl pustit do práce pišli kmrádi kterým Tomáš po dlouhém ( hrém) zdráháí tíráí plotu svil Z ptiý poet ržových lístek pochopitel! Kmrádi prcovli tk že prví de teli 0 plk kždý ásledující de vždy o stejý poet více ež de pedchozí Z 0 dí byli chlpci hotovi O kolik plk teli kždý de více ež miulý de? 8 Jede žebík ml 0 pílí N prvím sedl jede holub tetím dv pátém ti sedmém tyi Kolik holub sedlo 9 píli? Kolik holub bylo žebíku celkem? Geometrická posloupost Zjistte jestli ásledující poslouposti jsou ritmetické geometrické i jié: 6 Geometrická posloupost je dá tkto: 7 V geometrické posloupost je log0 q Urete Urete kvociet této poslouposti 0 8 Zjistte která z ísel jsou ley geometrické poslouposti q 9 Zjistte zd ísl v íž 7 ley jké geometrické poslouposti Pokud o urete její kvociet 0 Prví le sedmileé poslouposti se rová posledí le 8 Vypoítejte kvociet souet le poslouposti Souet prvích le geometrické poslouposti je 6 prví le je posledí Urete poet le poslouposti kvociet V geometrické poslouposti je tetí le pátý Vypoítejte kolik le má tto posloupost je-li její posledí le 89 Která geometrická posloupost má tu vlstost že souet prvích 0 le je krát vtší ež souet prvích pti le? Mezi ísl 86 vložte ísl tk by vzikl geometrická posloupost Urete geometrickou posloupost v íž rozdíl tetího druhého leu je rozdíl tvrtého tetího leu je 6

5 6 V geometrické poslouposti Poslouposti dy je dáo q Kolik prvích le této poslouposti dává souet 9? 7 V geometrické poslouposti pltí: Urete souet prvích pti le této poslouposti 8 Urete všechy ley geometrické poslouposti v íž pltí: s zárove 9 9 ísl mjí tu vlstost že prví ti tvoí geometrickou posloupost posledí tyi posloupost ritmetickou Urete tto ísl jestliže pltí: zárove 8 0 Piteme totéž íslo k íslm 7 7 dosteme prví ti ley geometrické poslouposti Vypotte toto íslo geometrickou posloupost urete vzorcem pro -tý le V ádob je urité možství rdou Jké možství z pvodího zbude v ádob z 6 dí je-li polos jeho pemy dy? Kolik koru je teb ukládt poátkem kždého roku po dobu 0 let chceme-li mít kocem desátého roku stádáo 0000 K pi % složeém úrokováí % di? Úrokovcí období je jede rok Kolik koru budeme mít útu s úrokem % koci sedmého msíce budeme-li poátkem kždého msíce ukládt ástku 00 K Poítejte s dí % úrokovcím obdobím jede msíc Ve mst žilo poátku roku obyvtel Kolik obyvtel bude mít msto zátku roku 00 odhduje-li se roí pírstek %? Kolik koru bude mít z pt let útu kuák který se rozhodl pestt kouit msí uspoeou ástku z ákup cigret 000 koru uloží do bky úet s úrokem % dí %? Pedpokládejte že úroková mír se bhem celého uvžového období emí že uspoeou ástku ukládá kuák úet vždy zátku msíce ešte pro pípd msíího úrokovcího období 6 Z kolik let vzroste jisti 000 koru pi úroku % 00 koru Poítejte s dí % uvžujte ) roí b) msíí úrokovcí období 7 Jký je úrok bky bylo-li uložeo 800 koru které po 6 letech vzrostly 000 koru Poítejte s msíím úrokovcím obdobím ešte pro pípd ) d % b) bez dí 8 *** Podiktel si vypjil zvázl se že pjku spltí dvm stejými splátkmi z ichž jed bude spltá z roky druhá z roky ode de vypjeí Jk velké budou tyto splátky pi úroku %? 9 Kolik zste vkldí kížce z vkldu 000 koru vybírá-li se ) zátkem b) kocem kždého roku 00 koru po dobu 0 let? Úrok je % d % úrokovcí období jede rok 0 Vkldtel si uložil termíový vkld dobu let zátku roku 0000 koru Roí úroková mír je % d % Jkou ástku bude mít koci pátého roku jestliže z celou dobu trváí vkldu ebylo z vkldu ic vybráo? ešte pro pípd: ) roího úrokovcího období b) pololetího úrokovcího období c) tvrtletího úrokovcího období d) msíího úrokovcího období 6 ***Možství dev v urité lesí oblsti se odhduje 0 m roí pírstek je % Jký bude pibliž stv po 0 letech tží-li se ro 0 m dev? Jedím tžeím se zmeší prmr drátu o 0% Jký prmr bude mít drát s pvodím prmrem 6 mm po osmi tžeích? Kupec chtl dát okovt ko Ková žádl teto zpsob plceí: N všechy podkovy potebuji hebíky Z prví hebík mi zpltíš hlé z druhý hlée z tetí hlée vždy z kždý dlší hebík zpltíš dvkrát tolik Kupec rdost souhlsil pozdji toho všk litovl Kolik musel zpltil je z posledí hebík? Klif z Bgdádu dovolil jedomu mtemtikovi by si pál co chce Mtemtik se ztváil evi ekl: Velký Klife mám skromé páí Odm m pšeiými zry to tkto: Dej mi tolik pšeiých zr kolik jich bude muset být posledím poli šchovice jestliže prví položíme jedo zro kždé ásledující dvojásobek toho možství které bude pedcházejícím poli Klif se zsmál ochot souhlsil Domívl se že mtemtik edoste i tolik zrí by si mohl upéci bochík chleb Velmi se všk podivil když mu mtemtik vypoítl že jeho páí se edá split Jk je to možé? Pokuste se pevést možství pšeiých zr které vám vyjde vhodé jedotky by vzikl reáljší pedstv o možství zr List ppíru rozdlte pl jedu poloviu opt pl Kolik dleí je teb byste získli ásteky o 7 hmotosti tomu? Hmotost tomu uvžujte 0 kg hmotost listu ppíru g 6 Zhrdík prodl prvímu kupujícímu poloviu všech jblek pl jblk druhému kupujícímu poloviu zbytku ješt pl jblk tetímu poloviu dlšího zbytku ješt pl jblk Sedmému kupujícímu prodl poloviu zbytku též pl jblk ezstlo mu i jedo jblko Kolik jblek ml zátku obchodu? 7 Úloh z Ahmesov ppyru (000 let p l): Kždý se sedmi lidí má 7 koek kždá kok chytí 7 myší kždá myš sežere 7 kls jemee z kždého klsu jemee mže vyrst 7 vder zr Kolik vder zr se zchráí zásluhou koek? 8 Král ídil svému sluhovi sebrt ze ticeti vesic vojsko tkovým zpsobem že z kždé vesice vezme tolik muž kolik do í vstoupilo Do prví vesice šel sluh sám Kolik muž mlo vojsko po opuští ticáté vesice? Kolik muž bylo sebráo v posledí vesici?

6 Limit posloupostí Dokžte že posloupost je kovergetí Zjistte které poslouposti jsou kovergetí které divergetí Pokud to jde urete jejich limitu: Nekoeé dy cos 6 Poslouposti dy cos Je dá ekoeá d Vyšetete posloupost s s : pište vzorec pro -tý le této poslouposti ( zákld hypotézy kterou dokážete) urete její limitu Je s posloupost kovergetí? 6 Urete souet ekoeé dy 0 Urete které z ásledujících d jsou kovergetí Pokud jsou kovergetí urete jejich souet: ešte rovice s ezámu : 68 log si tg 6 Vypotte: V moži reálých ísel ešte rovici: 0 6 V moži reálých ísel ešte rovici: 6 Vypotte: 8 Npište ve tvru zlomku s celoíselým jmeovtelem i ittelem íslo: Po kmei stromu leze pímo vzhru k ejbližší vtvi housek Housek je zejm velmi uveá protože z prví miutu urzí dm z druhou dm z tetí dm Vzdáleost k prví vtvi íž má housek potrvu je o zlomek cetimetru vtší ež jede metr Z jk dlouho doleze housek k této vtvi? 6 Do rovostrého trojúhelíku A B C o délce stry cm je vepsá druhý trojúhelík A BC jehož vrcholy jsou ve stedech str trojúhelíku A B C Do tohoto trojúhelíku A BC je vepsá stejým zpsobem trojúhelík A BC Vypoítejte souet obvod souet obsh všech tkto vziklých trojúhelík 66 Do tverce ABCD o str délky cm je vepsá tverec A BC D tk že jeho vrcholy leží ve stedech str tverce Alogicky vepíšeme do tverce A BC D tverec A BC D Vypotte souet obvod obsh všech tkových tverc 67 Do rovostrého trojúhelíku o délce stry je vepsá kruh do kruhu je vepsá rovostrý trojúhelík do tohoto trojúhelíku je vepsá dlší kruh Vypotte souet obsh všech tkto vziklých ) trojúhelík b) kruh 6

7 68 Spirál se skládá z ekoe moh plkružic Pitom polomr kždé ásledující polokružice je dvkrát meší ež polomr pedchozí polokružice Urete délku spirály je-li polomr prví polokružice cm Poslouposti dy 69 V roce 90 švédský mtemtik Helge v Koch poprvé popsl plošý útvr který dodes ese jeho jméo - Kochov vlok Teto útvr je možé získt tkto: k prostedí teti kždé stry rovostrého trojúhelík pipojíme dlší rovostrý trojúhelík K prostedí teti kždé ze vziklých str útvru yí pipojíme opt rovostrý trojúhelík - viz obr Tímto zpsobem se pokruje v kostrukci útvru dále Urete obvod obsh tkto vziklého útvru má-li str ejvtšího trojúhelík délku Kružice opsá pvodímu trojúhelíku vymezí obr kruh Jká ást kruhu je zpl Kochovou vlokou? 60 N obr je zázor hádek který vzikl postupým spojováím podobých ástí Podle ozeí z obrázku pltí: AB BC CD DE EF FG AB GH HI IJ FG ( hádek pokruje stále dále do meších rozmr jedotlivých lák svého tl ) Urete kolik ppíru je teb jeho zhotoveí 6 Je dá pímk p íž jsou dáy body A A tk že pltí: A A A A A A Nd kždou z úseek A A A A je sestroje rovormeý prvoúhlý trojúhelík (viz obr ) Urete délku lomeé áry A XA X A X A obsh obrzce který je ohrie touto lomeou rou pímkou p obr obr 6 Pedstvme si tleso ve tvru jkéhosi teleskopického dlekohledu které je složeo z ekoe moh válc Polomr podstvy ejvtšího válce je rove polomr podstvy kždého dlšího válce je polovií ež pecházející Výšk ejvtšího válce je výšk kždého dlšího válce je oproti pedchozímu dvojásobá Urete objem tohoto tles povrch jeho plášt 6 Je dá tverec ABCD o str délky Bod L je ptou kolmice vedeé z vrcholu A dého tverce k úhlopíce BD Bod L je ptou kolmice vedeé z bodu L stru AD tverce ABCD Bod L je ptou kolmice vedeé z bodu L k úhlopíce BD Urete délku lomeé áry AL L L jejíž kostrukce probíhá podle popsých prvidel 6 Je dá ostrý úhel o velikosti 60 N jedom jeho rmei leží bod A který je ve vzdáleosti od vrcholu úhlu Z bodu A je spušt druhé rmeo kolmice z její pty dlší kolmice prví rmeo Urete souet délek tchto kolmic 6 V rovostrém trojúhelíku ABC jehož str má velikost je vede výšk CD Z její pty je vede kolmice stru AC z její pty je vede kolmice výšku CD Urete délku tkto vziklé lomeé áry 66 Do tverce o str je vepsá kruh do ho zse tverec do ho opt kruh Urete souet obsh všech tverc všech kružic 67 Do rovostrého kužele o str ezu s je vepsá koule d í druhá tetí Jký je souet objem všech vepsých koulí? 7

8 Poslouposti dy EŠENÍ Poslouposti jejich vlstosti eeistují log log rostoucí omezeá 9 klesjící omezeá zdol 0 rostoucí omezeá i rostoucí i klesjící eomezeá rostoucí omezeá rostoucí omezeá zdol klesjící omezeá i rostoucí i klesjící omezeá 6 i rostoucí i klesjící omezeá 7 klesjící omezeá 8 7 krv telt Dkz mtemtickou idukcí Úlohy v tomto odstvci jsou urey procvieí dkzu mtemtickou idukcí Ve vtši z ich to zmeá ovládt zákldí úprvy lgebrických výrz Aritmetická posloupost o e e o o 6 d s s s s 00 s 96 s 8 s 6 ; ; ; 7; ebo je teb vložit ísel: -; -; -7; -; - ; -0; 0; ; 7; ; 9 vložeých ísel je 0 d 0 jedá se o pátý le: jedá se o 0ti úhelík 0 8 cm cm 0 cm Vtší je souet sudých to o 0 koru 6 7 d 7 vrstev rour 8 Všech závdých souástek bude dohromdy 98 v erveci 9 88 zrek krok m Vydlám koruu Krátkému je let jeho ejmldšímu brtrovi jsou roky 8788 mm 8 8 m mr zrí 6 potkjí se 6 de (7 de) 7 plk dí kždý de o více 8 holub holub Geometrická posloupost i ritmetická i geometrická 0 ezámé íslo je 8

9 Poslouposti dy geometrická geometrická ritmetická ritmetická íslo 9 q 0 q s7 86 q 7 posloupost s q libovolé q 6 pt 7 s 8 ebo Limit posloupostí lim - kovergetí eeistuje divergetí eeistuje divergetí - kovergetí 6 kovergetí 7 kovergetí 8 0 kovergetí 6 Nekoeé dy 6 s lim s kovergetí divergetí 6 eeistuje divergetí 6 divergetí 66 kovergetí 67 kovergetí 68 O D0; P 0 69 O D; ; 60 O D ; 0 P P 6 D! k ; k " # $ 6 O P! k ; k " # $ 6 6 O D; ; P 6; koru 70 koru 69 obyvtel 6860 koru 6 ) 6 let; b) 9 let 7 ) 8 %; b) 7 % koru 9 ) 760 koru; b) 9080 koru 0 ) 9 koru; b) 60 koru; c) 607 koru; d) 6700 koru 6 60 m 8 mm 80 koru (pes 8886 koru) zr tj 0 vgó po 0 tuách vder zr celkem 0 v posledí vesici kovergetí 0 eeistuje divergetí 6 kovergetí kovergetí divergetí divergetí divergetí 6 eeistuje divergetí 7 0 kovergetí ikdy 6 o 6 cm S cm cm 66 o cm cm S 8 cm 67 Strojúhelík Skruh 9 68 o r 0 cm cm S S o 6 tj 66% 6 d S 9

10 Poslouposti dy 6 O D ; P 6 V 8 S plášt 6 d 6 d 6 d Stverc S S kruh 0