1. Posloupnosti a jejich vlastnosti

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Posloupnosti a jejich vlastnosti"

Transkript

1 Poslouposti dy Poslouposti jejich vlstosti Npište prvích pt le poslouposti která je dá tkto: 0 6 Npište prvích 0 le ekoeé poslouposti k prvoíslo k v pípd že eí prvoíslo Vyjádete dé poslouposti vzthem pro -tý le: si která je defiová tkto: k je-li Urete tetí pátý le poslouposti dé rekuret: Je dá posloupost log 6 Je dá posloupost 7 Je dá posloupost Vyjádete jí rekuret Vyjádete jí rekuret log0 Vyjádete jí rekuret Zjistte zd jsou dé poslouposti rostoucí klesjící erostoucí ebo eklesjící omezeé (zdol shor): cos 7 8 Idická úloh: Je teb vypoítt poet krv telt ve stádu jež získáme od jedé krávy z 0 let víme-li že se kždé kráv rodí poátkem kždého roku jedo tele kždé tele dává stejé potomstvo jkmile dosáhe vku tí let Dkz mtemtickou idukcí Je dá posloupost Posloupost vzthem pro -tý le rekuret tkto: Vyjádete jí vzthem pro -tý le je dá rekuret tkto: Pro všech pirozeá ísl je souet prvích le poslouposti 6 Dokžte Dokžte že pro všech pirozeá ísl pltí: 6 Vyjádete tuto posloupost kde rove Dokžte: : 6 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 7 Mtemtickou idukcí dokžte: : : 8 Mtemtickou idukcí dokžte: 9 Mtemtickou idukcí dokžte: : 0 Mtemtickou idukcí dokžte: :

2 Poslouposti dy Mtemtickou idukcí dokžte že pro všech pirozeá ísl je výrz 6 vždy celoíselý Dokžte že soui dvou po sob jdoucích pirozeých ísel je dlitelý dvm Dokžte že souet tetích moci tí po sob jdoucích pirozeých ísel je dlitelý devíti Dokžte mtemtickou idukcí že soui tí po sob jdoucích pirozeých ísel je dlitelý šesti 6 je dlitelé íslem pro kždé pirozeé Dokžte mtemtickou idukcí že íslo Q íslo 6 Dokžte mtemtickou idukcí že íslo V 7 Postup doszujte do výrzu Q 0 je pro všech pirozeá ísl íslo celé z ísl 0 formulujte hypotézu o jeho dlitelosti jistým pirozeým íslem pro kždé N 0 Hypotézu poté dokžte mtemtickou idukcí 8 Mtemtickou idukcí dokžte že : / 9 Vyslovte hypotézu o potu úhlopíek koveího -úhelík ( ) poté jí dokžte mtemtickou idukcí 0 Vyslovte hypotézu o soutu vitích úhl koveího -úhelík ( ) poté jí dokžte mtemtickou idukcí Vyslovte hypotézu o potu ástí roviy ž roviu dlí rzých pímek které leží v rovi procházejí týmž bodem Poté tuto hypotézu dokžte mtemtickou idukcí Vyslovte hypotézu o potu pímek jimiž lze spojit bod v rovi z ichž žádé ti eleží v téže pímce Poté tuto hypotézu dokžte mtemtickou idukcí V hostici koveího tvru je lichý poet pistolík V dý okmžik kždý vystelí svého ejbližšího soused který je jedoz ure Dokžte že pestože se kždý pistolík strefí zste lespo jede z pistolík živu : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: 0 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 6 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 9 7 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 7 8 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 7 9 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 9 9 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: : 0 Mtemtickou idukcí dokžte pltost tvrzeí: si si : si si si si k k si Je-li pirozeé íslo pk Dokžte Je-li 0 b 0 b pirozeé íslo pk b Dokžte 6 Dokžte že je pro kždé pirozeé íslo 7 Nerovost pltí pro všech pirozeá ísl vtší ež Dokžte 8 Nerovost pltí pro všech pirozeá ísl vtší ež Dokžte 9 Je-li 0 0 pirozeé íslo vtší ež dokžte že pltí

3 Aritmetická posloupost Zjistte jestli ásledující poslouposti jsou ritmetické i ikoliv: 6 V ritmetické poslouposti 7 Vyjádete její -tý le Poslouposti dy je dáo: 0 9 Urete difereci této poslouposti ley 7 Urete souet prvích 00 le ritmetické poslouposti 8 Urete souet všech lichých trojciferých pirozeých ísel 9 Urete souet prvích 00 ísel která pi dleí íslem dávjí zbytek Urete souet prvích le ritmetické poslouposti v íž pltí: s0 s0 0 d Vypoítejte prví posledí le ritmetické poslouposti která má dváct le je-li d s 68 Souet prvího pátého leu ritmetické poslouposti je 9 souet tetího tvrtého leu je o vtší ež souet prvího pátého Urete prvích pt le této poslouposti 6 V ritmetické poslouposti s osmi ley je soui obou krjích le 00 souet dvou prostedích le je 9 Urete tuto posloupost 7 Aritmetická posloupost jejíž prví le je 7 diferece má souet le 0 Kolik le má posloupost jký je její posledí le? 8 Mezi ísl - je teb vložit dlší ley tk by vzikl ritmetická posloupost jejíž souet je -6 Kolik je ových le které to jsou? 9 Mezi ísl 7 vložte ísl tk by s dými ísly tvoil ritmetickou posloupost o soutu 6 Urete poet vložeých ísel difereci tkto vytvoeé ritmetické poslouposti 0 V ritmetické poslouposti 6 9 vyhledejte le který se rová polovi soutu všech pedchozích Eistuje koveí -úhelík jehož ejmeší vití úhel má velikost 6 kždý dlší úhel je vtší o ež pedchozí? Pokud o urete kolik má teto -úhelík vrchol Pro která reálá ísl jsou ísl log log log ti po sob jdoucí ley ritmetické poslouposti? Velikosti str prvoúhlého trojúhelík tvoí po sob jdoucí ley ritmetické poslouposti Delší odvs má délku cm Urete velikosti str úhl tohoto trojúhelík Co je vtší o kolik: souet prvích 0 lichých pirozeých ísel ebo souet prvích 0 sudých pirozeých ísel? ást stechy domu kterou je teb pokrýt tškmi má tvr lichobžíku Do dy u hebeu stechy se vejde 8 tšek do spodí dy u okpu se vejde 0 tšek Tšky budou srováy do d tk že do v kždé ásledující d bude o jedu tšku více ež v d pedchozí Kolik koru budou stát tšky celou uvžovou ást stechy pi ce - koru z jedu tšku? 6 Ve mst se buduje hledišt letího ki pro pibliž 00 divák Do prví dy je pláováo 0 seddel do kždé ásledující pk o seddl více Kolik d seddel bude mít hledišt? 7 Ocelové roury se skládjí do vrstev tk že roury kždé horí vrstvy zpdjí do mezer dolí vrstvy Do kolik vrstev se složí 9 rour je-li v posledí vrstv je jed rour? Kolik rour je v ejižší vrstv? 8 V podiku mli v ledu pi výrob souástek 0 kus závdých Poet tchto závdých souástek se kždý msíc prvidel zmešovl o kusy Kdy (ve kterém msíci) bylo všech závdých kus dohromdy 98? 9 Dá-li se prví pole šchovice 6 zrek kždé dlší pole o zrk více ež pedcházející kolik zrek bude všech 6 polích? 0 V d z sebou je 00 kme vzdáleých od sebe 0 krok Deset krok ped prvím kmeem leží košík Sbr má z úkol peést postup všechy kmee do košíku tím zpsobem že od košíku jde pro prví káme s ím se vrcí do košíku poté jde pro druhý káme opt se vrcí ke košíku Urete kolik krok sbr ujde V zhrd je 0 záhok (viz obr ) Kždý má délku 6 m šíku m K zléváí osí zhrdík vodu ve vdrech ze study vzdáleé m od zhrdy piemž obchází záhoy po mezích Njedou piese vodu jede záho Kolik metr ujde ež zlije všechy záhoy pokud cest zíá koí u study?

4 obr Poslouposti dy 00 K zu prodávt tk že prví koruu prodám z hlé druhou z dv hlée tetí z ti Vydlám ebo prodlám tomto obchodu? Pátelé si vyprávli o svých rodiách Krátkému se vysmívli že se chová jko jediáek le o jim to odpovdl: Mýlíte se já jsem ejstrší z ptácti dtí Jsem práv osmkrát strší ež mj ejmldší brtr Kždý dlší brtr se rodil pldruhého roku po svém pedchdci Kolik let je Krátkému jeho ejmldšímu brtrovi? Jkou dráhu urzí jehl grmofoové peosky stdrdí desce má-li desk 60 závit vjší polomr spirály je 0 mm vjší polomr spirály je 0 mm? Egyptská úloh: Sto mr zrí se má rozdlit mezi pt dlík tk by druhý dlík dostl o tolik mr více ež prví o kolik tetí dostl více ež druhý tvrtý ež tetí pátý ež tvrtý Krom toho mjí prví dv dlíci dostt dohromdy sedmkrát mé mr zrí ež osttí ti Kolik mr zrí dostli jedotliví dlíci? 6 íská úloh: Klusák herk vybíhjí z jedoho míst v témž smru Klusák probhe z prví de 9 li kždý ásledující de o li více Herk ubhe z prví de 97 li kždý dlší de o poloviu li mé Pro probhutí 000 li se klusák vrcí zpt zpáteí cest potkává herku Z kolik dí po vybhutí se setkjí? (Pozámk: li je strá íská jedotk délky) 7 V roce 97 toil režisérk Vr Plívová - Šimková motivy kihy Mrk Twi Dobrodružství Tom Swyer film Pái kluci V tomto filmu je scé v íž má Tomáš tít z trest plot kolem zhrdy své tety Apoley Díky své šikovosti výmluvosti mu ho le pomohou tít kmrádi i epátelé z což Tomáš pouze iksuje ržové lísteky které mu mjí dopomoci k výhe kterou pedá zemský školí ispektor p editel (v epodobitelém podáí Petr Nárožého) Uvžovou scéu z filmu lehce pozmíme pro své poteby: pedpokládejme že Tomášov tet vlstí zhrdu jejíž oploceí je teb 6 m plotu který je tvoe z 0 cm širokých plk mezi imiž je mezer 0 cm (i v rohu zhrdy se stídá prvidel plk mezer) Kolik plk má plot? Tomáš pvod pláovl tíráí plotu tím zpsobem že prví de te jedu plku (by se epedel by mohl jít s kmrády ve) kždý ásledující de o jedu plku více ež pedchozí (by tet Apole píliš ehubovl) N kolik dí by Tomášovi tímto zpsobem práce vydržel? Prví de když se chtl pustit do práce pišli kmrádi kterým Tomáš po dlouhém ( hrém) zdráháí tíráí plotu svil Z ptiý poet ržových lístek pochopitel! Kmrádi prcovli tk že prví de teli 0 plk kždý ásledující de vždy o stejý poet více ež de pedchozí Z 0 dí byli chlpci hotovi O kolik plk teli kždý de více ež miulý de? 8 Jede žebík ml 0 pílí N prvím sedl jede holub tetím dv pátém ti sedmém tyi Kolik holub sedlo 9 píli? Kolik holub bylo žebíku celkem? Geometrická posloupost Zjistte jestli ásledující poslouposti jsou ritmetické geometrické i jié: 6 Geometrická posloupost je dá tkto: 7 V geometrické posloupost je log0 q Urete Urete kvociet této poslouposti 0 8 Zjistte která z ísel jsou ley geometrické poslouposti q 9 Zjistte zd ísl v íž 7 ley jké geometrické poslouposti Pokud o urete její kvociet 0 Prví le sedmileé poslouposti se rová posledí le 8 Vypoítejte kvociet souet le poslouposti Souet prvích le geometrické poslouposti je 6 prví le je posledí Urete poet le poslouposti kvociet V geometrické poslouposti je tetí le pátý Vypoítejte kolik le má tto posloupost je-li její posledí le 89 Která geometrická posloupost má tu vlstost že souet prvích 0 le je krát vtší ež souet prvích pti le? Mezi ísl 86 vložte ísl tk by vzikl geometrická posloupost Urete geometrickou posloupost v íž rozdíl tetího druhého leu je rozdíl tvrtého tetího leu je 6

5 6 V geometrické poslouposti Poslouposti dy je dáo q Kolik prvích le této poslouposti dává souet 9? 7 V geometrické poslouposti pltí: Urete souet prvích pti le této poslouposti 8 Urete všechy ley geometrické poslouposti v íž pltí: s zárove 9 9 ísl mjí tu vlstost že prví ti tvoí geometrickou posloupost posledí tyi posloupost ritmetickou Urete tto ísl jestliže pltí: zárove 8 0 Piteme totéž íslo k íslm 7 7 dosteme prví ti ley geometrické poslouposti Vypotte toto íslo geometrickou posloupost urete vzorcem pro -tý le V ádob je urité možství rdou Jké možství z pvodího zbude v ádob z 6 dí je-li polos jeho pemy dy? Kolik koru je teb ukládt poátkem kždého roku po dobu 0 let chceme-li mít kocem desátého roku stádáo 0000 K pi % složeém úrokováí % di? Úrokovcí období je jede rok Kolik koru budeme mít útu s úrokem % koci sedmého msíce budeme-li poátkem kždého msíce ukládt ástku 00 K Poítejte s dí % úrokovcím obdobím jede msíc Ve mst žilo poátku roku obyvtel Kolik obyvtel bude mít msto zátku roku 00 odhduje-li se roí pírstek %? Kolik koru bude mít z pt let útu kuák který se rozhodl pestt kouit msí uspoeou ástku z ákup cigret 000 koru uloží do bky úet s úrokem % dí %? Pedpokládejte že úroková mír se bhem celého uvžového období emí že uspoeou ástku ukládá kuák úet vždy zátku msíce ešte pro pípd msíího úrokovcího období 6 Z kolik let vzroste jisti 000 koru pi úroku % 00 koru Poítejte s dí % uvžujte ) roí b) msíí úrokovcí období 7 Jký je úrok bky bylo-li uložeo 800 koru které po 6 letech vzrostly 000 koru Poítejte s msíím úrokovcím obdobím ešte pro pípd ) d % b) bez dí 8 *** Podiktel si vypjil zvázl se že pjku spltí dvm stejými splátkmi z ichž jed bude spltá z roky druhá z roky ode de vypjeí Jk velké budou tyto splátky pi úroku %? 9 Kolik zste vkldí kížce z vkldu 000 koru vybírá-li se ) zátkem b) kocem kždého roku 00 koru po dobu 0 let? Úrok je % d % úrokovcí období jede rok 0 Vkldtel si uložil termíový vkld dobu let zátku roku 0000 koru Roí úroková mír je % d % Jkou ástku bude mít koci pátého roku jestliže z celou dobu trváí vkldu ebylo z vkldu ic vybráo? ešte pro pípd: ) roího úrokovcího období b) pololetího úrokovcího období c) tvrtletího úrokovcího období d) msíího úrokovcího období 6 ***Možství dev v urité lesí oblsti se odhduje 0 m roí pírstek je % Jký bude pibliž stv po 0 letech tží-li se ro 0 m dev? Jedím tžeím se zmeší prmr drátu o 0% Jký prmr bude mít drát s pvodím prmrem 6 mm po osmi tžeích? Kupec chtl dát okovt ko Ková žádl teto zpsob plceí: N všechy podkovy potebuji hebíky Z prví hebík mi zpltíš hlé z druhý hlée z tetí hlée vždy z kždý dlší hebík zpltíš dvkrát tolik Kupec rdost souhlsil pozdji toho všk litovl Kolik musel zpltil je z posledí hebík? Klif z Bgdádu dovolil jedomu mtemtikovi by si pál co chce Mtemtik se ztváil evi ekl: Velký Klife mám skromé páí Odm m pšeiými zry to tkto: Dej mi tolik pšeiých zr kolik jich bude muset být posledím poli šchovice jestliže prví položíme jedo zro kždé ásledující dvojásobek toho možství které bude pedcházejícím poli Klif se zsmál ochot souhlsil Domívl se že mtemtik edoste i tolik zrí by si mohl upéci bochík chleb Velmi se všk podivil když mu mtemtik vypoítl že jeho páí se edá split Jk je to možé? Pokuste se pevést možství pšeiých zr které vám vyjde vhodé jedotky by vzikl reáljší pedstv o možství zr List ppíru rozdlte pl jedu poloviu opt pl Kolik dleí je teb byste získli ásteky o 7 hmotosti tomu? Hmotost tomu uvžujte 0 kg hmotost listu ppíru g 6 Zhrdík prodl prvímu kupujícímu poloviu všech jblek pl jblk druhému kupujícímu poloviu zbytku ješt pl jblk tetímu poloviu dlšího zbytku ješt pl jblk Sedmému kupujícímu prodl poloviu zbytku též pl jblk ezstlo mu i jedo jblko Kolik jblek ml zátku obchodu? 7 Úloh z Ahmesov ppyru (000 let p l): Kždý se sedmi lidí má 7 koek kždá kok chytí 7 myší kždá myš sežere 7 kls jemee z kždého klsu jemee mže vyrst 7 vder zr Kolik vder zr se zchráí zásluhou koek? 8 Král ídil svému sluhovi sebrt ze ticeti vesic vojsko tkovým zpsobem že z kždé vesice vezme tolik muž kolik do í vstoupilo Do prví vesice šel sluh sám Kolik muž mlo vojsko po opuští ticáté vesice? Kolik muž bylo sebráo v posledí vesici?

6 Limit posloupostí Dokžte že posloupost je kovergetí Zjistte které poslouposti jsou kovergetí které divergetí Pokud to jde urete jejich limitu: Nekoeé dy cos 6 Poslouposti dy cos Je dá ekoeá d Vyšetete posloupost s s : pište vzorec pro -tý le této poslouposti ( zákld hypotézy kterou dokážete) urete její limitu Je s posloupost kovergetí? 6 Urete souet ekoeé dy 0 Urete které z ásledujících d jsou kovergetí Pokud jsou kovergetí urete jejich souet: ešte rovice s ezámu : 68 log si tg 6 Vypotte: V moži reálých ísel ešte rovici: 0 6 V moži reálých ísel ešte rovici: 6 Vypotte: 8 Npište ve tvru zlomku s celoíselým jmeovtelem i ittelem íslo: Po kmei stromu leze pímo vzhru k ejbližší vtvi housek Housek je zejm velmi uveá protože z prví miutu urzí dm z druhou dm z tetí dm Vzdáleost k prví vtvi íž má housek potrvu je o zlomek cetimetru vtší ež jede metr Z jk dlouho doleze housek k této vtvi? 6 Do rovostrého trojúhelíku A B C o délce stry cm je vepsá druhý trojúhelík A BC jehož vrcholy jsou ve stedech str trojúhelíku A B C Do tohoto trojúhelíku A BC je vepsá stejým zpsobem trojúhelík A BC Vypoítejte souet obvod souet obsh všech tkto vziklých trojúhelík 66 Do tverce ABCD o str délky cm je vepsá tverec A BC D tk že jeho vrcholy leží ve stedech str tverce Alogicky vepíšeme do tverce A BC D tverec A BC D Vypotte souet obvod obsh všech tkových tverc 67 Do rovostrého trojúhelíku o délce stry je vepsá kruh do kruhu je vepsá rovostrý trojúhelík do tohoto trojúhelíku je vepsá dlší kruh Vypotte souet obsh všech tkto vziklých ) trojúhelík b) kruh 6

7 68 Spirál se skládá z ekoe moh plkružic Pitom polomr kždé ásledující polokružice je dvkrát meší ež polomr pedchozí polokružice Urete délku spirály je-li polomr prví polokružice cm Poslouposti dy 69 V roce 90 švédský mtemtik Helge v Koch poprvé popsl plošý útvr který dodes ese jeho jméo - Kochov vlok Teto útvr je možé získt tkto: k prostedí teti kždé stry rovostrého trojúhelík pipojíme dlší rovostrý trojúhelík K prostedí teti kždé ze vziklých str útvru yí pipojíme opt rovostrý trojúhelík - viz obr Tímto zpsobem se pokruje v kostrukci útvru dále Urete obvod obsh tkto vziklého útvru má-li str ejvtšího trojúhelík délku Kružice opsá pvodímu trojúhelíku vymezí obr kruh Jká ást kruhu je zpl Kochovou vlokou? 60 N obr je zázor hádek který vzikl postupým spojováím podobých ástí Podle ozeí z obrázku pltí: AB BC CD DE EF FG AB GH HI IJ FG ( hádek pokruje stále dále do meších rozmr jedotlivých lák svého tl ) Urete kolik ppíru je teb jeho zhotoveí 6 Je dá pímk p íž jsou dáy body A A tk že pltí: A A A A A A Nd kždou z úseek A A A A je sestroje rovormeý prvoúhlý trojúhelík (viz obr ) Urete délku lomeé áry A XA X A X A obsh obrzce který je ohrie touto lomeou rou pímkou p obr obr 6 Pedstvme si tleso ve tvru jkéhosi teleskopického dlekohledu které je složeo z ekoe moh válc Polomr podstvy ejvtšího válce je rove polomr podstvy kždého dlšího válce je polovií ež pecházející Výšk ejvtšího válce je výšk kždého dlšího válce je oproti pedchozímu dvojásobá Urete objem tohoto tles povrch jeho plášt 6 Je dá tverec ABCD o str délky Bod L je ptou kolmice vedeé z vrcholu A dého tverce k úhlopíce BD Bod L je ptou kolmice vedeé z bodu L stru AD tverce ABCD Bod L je ptou kolmice vedeé z bodu L k úhlopíce BD Urete délku lomeé áry AL L L jejíž kostrukce probíhá podle popsých prvidel 6 Je dá ostrý úhel o velikosti 60 N jedom jeho rmei leží bod A který je ve vzdáleosti od vrcholu úhlu Z bodu A je spušt druhé rmeo kolmice z její pty dlší kolmice prví rmeo Urete souet délek tchto kolmic 6 V rovostrém trojúhelíku ABC jehož str má velikost je vede výšk CD Z její pty je vede kolmice stru AC z její pty je vede kolmice výšku CD Urete délku tkto vziklé lomeé áry 66 Do tverce o str je vepsá kruh do ho zse tverec do ho opt kruh Urete souet obsh všech tverc všech kružic 67 Do rovostrého kužele o str ezu s je vepsá koule d í druhá tetí Jký je souet objem všech vepsých koulí? 7

8 Poslouposti dy EŠENÍ Poslouposti jejich vlstosti eeistují log log rostoucí omezeá 9 klesjící omezeá zdol 0 rostoucí omezeá i rostoucí i klesjící eomezeá rostoucí omezeá rostoucí omezeá zdol klesjící omezeá i rostoucí i klesjící omezeá 6 i rostoucí i klesjící omezeá 7 klesjící omezeá 8 7 krv telt Dkz mtemtickou idukcí Úlohy v tomto odstvci jsou urey procvieí dkzu mtemtickou idukcí Ve vtši z ich to zmeá ovládt zákldí úprvy lgebrických výrz Aritmetická posloupost o e e o o 6 d s s s s 00 s 96 s 8 s 6 ; ; ; 7; ebo je teb vložit ísel: -; -; -7; -; - ; -0; 0; ; 7; ; 9 vložeých ísel je 0 d 0 jedá se o pátý le: jedá se o 0ti úhelík 0 8 cm cm 0 cm Vtší je souet sudých to o 0 koru 6 7 d 7 vrstev rour 8 Všech závdých souástek bude dohromdy 98 v erveci 9 88 zrek krok m Vydlám koruu Krátkému je let jeho ejmldšímu brtrovi jsou roky 8788 mm 8 8 m mr zrí 6 potkjí se 6 de (7 de) 7 plk dí kždý de o více 8 holub holub Geometrická posloupost i ritmetická i geometrická 0 ezámé íslo je 8

9 Poslouposti dy geometrická geometrická ritmetická ritmetická íslo 9 q 0 q s7 86 q 7 posloupost s q libovolé q 6 pt 7 s 8 ebo Limit posloupostí lim - kovergetí eeistuje divergetí eeistuje divergetí - kovergetí 6 kovergetí 7 kovergetí 8 0 kovergetí 6 Nekoeé dy 6 s lim s kovergetí divergetí 6 eeistuje divergetí 6 divergetí 66 kovergetí 67 kovergetí 68 O D0; P 0 69 O D; ; 60 O D ; 0 P P 6 D! k ; k " # $ 6 O P! k ; k " # $ 6 6 O D; ; P 6; koru 70 koru 69 obyvtel 6860 koru 6 ) 6 let; b) 9 let 7 ) 8 %; b) 7 % koru 9 ) 760 koru; b) 9080 koru 0 ) 9 koru; b) 60 koru; c) 607 koru; d) 6700 koru 6 60 m 8 mm 80 koru (pes 8886 koru) zr tj 0 vgó po 0 tuách vder zr celkem 0 v posledí vesici kovergetí 0 eeistuje divergetí 6 kovergetí kovergetí divergetí divergetí divergetí 6 eeistuje divergetí 7 0 kovergetí ikdy 6 o 6 cm S cm cm 66 o cm cm S 8 cm 67 Strojúhelík Skruh 9 68 o r 0 cm cm S S o 6 tj 66% 6 d S 9

10 Poslouposti dy 6 O D ; P 6 V 8 S plášt 6 d 6 d 6 d Stverc S S kruh 0

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

( ) n= n+ = k = 1 n. = +. Vyjádřete jí rekurentně. 1. Vyjádřete jí rekurentně.

( ) n= n+ = k = 1 n. = +. Vyjádřete jí rekurentně. 1. Vyjádřete jí rekurentně. Poslouposti řdy Poslouposti jejich vlstosti Npište prvích pět čleů poslouposti, která je dá tkto: 0 + ( ) + + k 6 Npište prvích 0 čleů ekoečé poslouposti ( ) prvočíslo, k, v přípdě, že eí prvočíslo Vyjádřete

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY) R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn

Více

Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál.

Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál. Číslo projektu Číslo mteriálu CZ..7/../.9 VY Iovce_8_MA_._ Využití geometrické poslouposti prcoví list Název školy Středí odborá škol Středí odboré učiliště, Hustopeče, Msrykovo ám. Autor Temtický celek

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA OBRAOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO RCADLA vtšení optického zobrzení pedešlých kpitol již víme, že pi zobrzení okmi nebo kulovými zrcdly mohou vznikt zvtšené nebo zmenšené obrzy pedmt. Pro jejich mtemtický

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157 Zákldy mtemtiky Poloupoti 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY 5 5 Pojem poloupoti číel 5 5 Grfické zázorěí poloupoti 5 5 Některé vltoti poloupotí 55 Kotrolí otázky 57 5 Aritmetická poloupot 58 5 Součet prvích čleů ritmetické

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Matematický KLOKAN kategorie Kadet

Matematický KLOKAN kategorie Kadet Mtemtický KLOKAN 2010 www.mtemtickyklokn.net ktegorie Kdet Úlohy z 3 body 1. Vypočítejte 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89. (A) 389 () 396 () 404 (D) 405 (E) jiná odpověd 2. Kolik os souměrnosti má

Více

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn!

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn! MATEMATIKA základní úrove obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bod Hranice úspšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. asový limit pro ešení

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Kadet

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Kadet Mtemtický KLOKN 2005 ktegorie Kdet Úlohy z 3 body 1. N obrázku vidíš osm kloknů. Kždý klokn může přeskočit n libovolné prázdné pole. Určete nejmenší počet kloknů, kteří musí změnit místo, by v kždém řádku

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál.

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál. Čílo projektu Čílo mteriálu CZ..07/.5.00/34.0394 VY_4_Iovce_3_MA_4.0_ Aritmetická poloupot prcoví lit Název školy Střeí oborá škol Střeí oboré učiliště, Hutopeče, Mrykovo ám. Autor Temtický celek Mgr.

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

Dlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek

Dlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek 1.1. Základní pojmy V tomto uebním bloku budeme pracovat pouze s pirozenými ísly ( bez nuly ) a budeme studovat vztahy dlitelnosti mezi nimi. Seznámíme se s tmito základními pojmy: Název Dlitel, násobek

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:

L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: Na obrázcích je vyobrazena hospodáská budova a židlika, kterou urit mají tvoji rodie na chodb nebo

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST

1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST 1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST Kombinatorické pravidlo o souinu Poet všech uspoádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n 1 zpsoby, druhý len po výbru prvního lenu n 2 zpsoby atd. až k-tý

Více

TYÚHELNÍKY 1 HODINA. Lomená ára: je to skupina úseek, kde koncový bod jedné úseky je poátením bodem druhé úseky

TYÚHELNÍKY 1 HODINA. Lomená ára: je to skupina úseek, kde koncový bod jedné úseky je poátením bodem druhé úseky TYÚHELNÍKY HODINA Díve, než se dstneme k vysvtlení pjmu tyúhelník, zpkujeme si nkteré zákldní pjmy, jk je npíkld lmená ár mnhúhelník. Lmená ár: je t skupin úseek, kde kncvý bd jedné úseky je pátením bdem

Více

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec. 3. EZY NA VÁLCÍCH 3.1. VÁLCOVÁ PLOCHA, VÁLEC Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a pímka a rznobžná s rovinou. Všechny pímky rovnobžné s pímkou a protínající kružnici k tvoí kruhovou válcovou

Více

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

8.3.1 Pojem limita posloupnosti .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její

Více

( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A

( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A Vzdálenost dvou bod, sted úseky Ž Vzdálenost dvou bod Pi vyšetování vzájemné polohy bod, pímek a rovin lze použít libovolnou vhodn zvolenou soustavu souadnic (afinní). však pi vyšetování metrických vlastností

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Matematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY

Matematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY Mtemtik pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY 8 ešení soustvy lineárních rovnic užitím mtic Gussov eliminní metod (GEM) MATICE 6 6 Hlvní digonál TROJÚHELNÍKOVÁ MATICE Pozn.: i... i-tý ádek mtice PIVOT = první

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

Metodika: Goniometrický tvar komplexního ísla, binomická rovnice

Metodika: Goniometrický tvar komplexního ísla, binomická rovnice ! " #$ % # & ' ( ) * + ), - Idvduálí výuka matematka Vít Ržka, kvte Metodka: Goometrcký tvar komplexího ísla, bomcká rovce Úvod Téma goometrcký tvar komplexího ísla je možé probírat soubž s výkladem pojmu

Více

O B V O D A O B S A H L I C H O B Ž N Í K U 2 HODINY

O B V O D A O B S A H L I C H O B Ž N Í K U 2 HODINY O B V O D A O B A H L I C H O B Ž N Í K U HODINY 1 Obd lichbžníku:? Zpkuj si nejpre, jk uríš bd trjúhelníku tyúhelníku?? Dkážeš spítt bd liblnéh mnhúhelníku? Pkud Ti pedchzí tázky nedlly prblémy, nebude

Více

matematika vás má it naupravidl

matematika vás má it naupravidl VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti.

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více