2 Euklidovský prostor

Transkript

1 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet Euklidovský prostor. Základí pojmy a vztahy v roviě Základími geometrickými útvary jsou bod přímka a rovia, základím geometrickým vztahem je vztah icidece, který se většiou opisuje spojeími bod leží a přímce, přímka prochází bodem, bod leží v roviě, přímka leží v roviě. Bod si přitom představujeme jako bezrozměrý objekt, přímku jako ekoečě tekou rovou čáru, atd. Pokud bychom ovšem chtěli tyto popisy považovat za matematické defiice, museli bychom předtím defiovat bezrozměrý objekt, tekou rovou čáru atd. Je zřejmé, že tímto způsobem by ebylo možé ikdy ikde začít. Moderí geometrie vyřešila tuto potíž velmi elegatě. Neříká totiž, co je bod, co je přímka, ai co to zameá, když přímka prochází bodem. Geometrie pouze staoví základí tvrzeí o těchto pojmech a vztazích, která přijme bez důkazu (tzv. aiomy). Například:. Dvěma růzými body prochází právě jeda přímka.. Na každé přímce leží alespoň dva body. atd. Pod těmito tvrzeími si emusíme představit vůbec ic. A pokud si představovat chceme, jsou tyto představy čistě aší subjektiví věcí, pokud stále korespodují s postupě budovaou teorií. Geometrii, která by měla je tyto dva aiomy, si můžeme představit třeba jako fotbalový zápas. Bod je fotbalové mužstvo, přímka je hřiště. Vztah "bod A leží a přímce a " zameá, že mužstvo A hraje a hřišti a. Mužstva, která proti sobě hrají, emohou běhat po tribuě ai hrát a dvou hřištích. Je tak splě prví aiom. Má-li jít o fotbalový zápas, emůže po hřišti běhat je jedo mužstvo, takže je splě i druhý aiom. Geometrie des opravdu ikoho eutí představovat si bod jako co ejmeší tečku a přímku jako tekou rovou čáru. Přesto si drtivá většia lidstva (včetě matematiků) přímku tak představuje. A chce-li člověk zázorit bod, který a í leží, esleduje fotbalový zápas, ale trefuje se ořezaou tužkou do teké rové čáry. Proč? Jedoduše proto, že tato představa jako jeda z mála odolá áporu dalších aiomů, které jsou potřeba k vybudováí rozumé geometrie. Už další aiom (eistují alespoň tři body, které eleží a jedé přímce) totiž milovíka fotbalu přiutí vymýšlet ějaký fotbalový turaj, který se hraje alespoň a dvou hřištích. A v okamžiku, kdy budeme potřebovat třeba střed úsečky, fotbalový geometr asi skočí. Vždyť které ze dvou mužstev běhajících po hřišti by tím středem mělo být? Jakkoli si totiž matematická teorie sama o sobě musí vystačit s pojmy a vztahy, kterým oa sama edává koktrétí obsah, matematik, který ji buduje, si tohoto kokrétího obsahu a smyslu aopak musí být vědom vždy, a to velmi přesě. Sebekrásější matematická teorie by totiž byla k ičemu, kdyby podle í ikde ic reálě efugovalo. Jak již bylo řečeo, geometrie stojí a ěkolika aiomech tvrzeích, která se edokazují. Soustava aiomů musí splňovat poměrě přísé požadavky, které zde ebudeme rozebírat. K vybudováí jedé a téže geometrie eí bezpodmíečě utá zcela idetická soustava aiomů. Aiomy by však měly být v každém případě jedoduché a zřejmé. Jsou to tvrzeí, která se edokazují, proto musí být akceptovatelá pro každého, kdo ěkdy držel v ruce pravítko a tužku. Základy rovié geometrie (plaimetrie), kterou jste studovali a středí škole, tvoří soustava aiomů ěmeckého matematika Davida Hilberta (86-94). Te rozdělil aiomy do ěkolika skupi:

2 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet Aiomy icidece - zavádějí vzájemou polohu bodů a přímek I: Dvěma růzými body prochází právě jeda přímka zapisujeme p AB I: Na každé přímce leží alespoň dva růzé body I: Eistují alespoň tři body, které eleží a téže přímce Běžě používaé růzé popisy téže geometrické situace bod leží a přímce, přímka prochází bodem, se ěkdy ahrazují jedotým pojmem icidece: se dvěma růzými body iciduje právě jeda přímka, s každou přímkou icidují alespoň dva růzé body... Odtud ázev prví skupiy aiomů. Nejjedodušší představa (model) geometrie, v íž platí je aiomy icidece (tzv. icidečí geometrie), má tři body a tři přímky. Tuto geometrii si můžeme představit jako tři provázky svázaé třemi uzly: Dva body (uzly) leží a téže přímce (provázku), tvoří-li jeho koce. Je zajímavé, že zde fuguje i představa duálí: Body si lze představit jako provázky a přímky jako uzly, kterými jsou svázáy. Aiomy uspořádáí - zajišťují, aby přímka byla dostatečě hustě pokryta body. Teto požadavek je zajiště vztahem bod C leží mezi body A; B, který zapisujeme Cµ AB a ásledujícími aiomy: U: Jestliže Cµ AB, pak ABC ; ; jsou tři avzájem růzé body téže přímky a platí také Cµ BA Aiom U umožňuje defiovat ěkteré zámé pojmy (polopřímka, úsečka, polorovia, trojúhelík, atd.). Tyto defiice přeecháme čteáři jako cvičeí a v dalším tetu budeme tyto pojmy poažovat za zámé U: Ke každým dvěma růzým bodům A; B eistuje alespoň jede bod C tak, že Cµ AB. U: Pro každé tři růzé body téže přímky platí, že právě jede z ich leží mezi zbylými dvěma. U4 (Paschův): Jsou-li E; FG ; ekolieárí body (tj. eleží a jedé přímce) a p je přímka, a které leží bod M µ EF, pak eistuje bod N, který leží a p a platí buď N = G, aebo Nµ EG, aebo Nµ FG (jiak řečeo: přímka, která eprotíá žádý vrchol trojúhelíka a protíá jeho strau, protíá právě jedu další strau) Na aiomy U a U4 emohou spoléhat grafické algoritmy, které pracují přímo a výstupím zařízeí počítače (tzv. rastrové algoritmy). Jak je vidět a připojeých obrázcích zvětšeého moitoru, mezi růzými body AB ; již žádý další bod eleží (tj. eí splě U). Přímka p protíá strau EF trojúhelíka EFG v bodě M, ale avzdory Paschovu aiomu je to její jediý společý bod s obvodem trojúhelíka. Aiomy uspořádáí lze volit i jiak. Pomocí jiých čtyř aiomů lze apříklad a každé přímce postulovat uspořádáí bodů podobě jako uspořádáí čísel a číselé ose a poté defiovat vztah bod C leží mezi body A; B, a to tak, že Cµ AB právě tehdy, když A < C < B. Pomocí takto zvoleých aiomů lze pak tvrzeí U; U; U; U4 dokázat (v takové geometrii by to pak tedy ebyly aiomy, ale věty). Dostali bychom pak dvě geometrie, které by však fugovaly stejě řečeo matematicky, tyto dvě geometrie by byly ekvivaletí. 4

3 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet Geometrie, která splňuje aiomy icidece a uspořádáí, už je poměrě bohatá. Body si p ; p, přímky jako dvojice tvaru můžeme představit jako uspořádaé dvojice čísel tvaru [ ] [ q+ s t; q + s t]. Bod leží a přímce právě P leží a přímce q právě tehdy, když eistuje t, po jehož dosazeí do přímky q obdržíme bod P. Například bod [ 9; ] leží a přímce [ 6+ t;8+ t], eboť pro t =.5 je [ 6+ ;8 t + t] = [ 6+.5;8 +.5 ] = [ 9;]. Tato představa již připomíá souřadice bodu, parametrické rovice přímky a zámou aalytickou geometrii. Na rozdíl od í však aše geometrie prozatím vystačí s racioálími čísly, body jako ;π emusí vůbec zát. Její přímky tak mohou být začě děravé, tyto díry se však díky vlastostem racioálích čísel emohou potkat v případém průsečíku, takže aše děravá racioálí geometrie splňuje aiomy uspořádáí, včetě aiomu Paschova. Aiomy shodosti zavádějí shodost úseček a úhlů a umožňují defiovat další důležité útvary. S: Pro každou úsečku AB je AB AB (říkáme, že shodost úseček je refleiví). Pro každé dvě úsečky AB ; CD platí: je-li AB CD, pak je CD AB (shodost úseček je symetrická). Pro každé tři úsečky AB ; CD ; EF platí: je-li AB CD a CD EF, pak AB EF (shodost úseček je trazitiví) S: Nechť AB je úsečka, CD polopřímka. Pak a CD leží právě jede bod E tak, že AB CE. S: Nechť Cµ AB; C' µ A' B' ; AC A' C '; CB C ' B '. Pak AB A' B '. S4: Shodost úhlů je refleiví, symetrická a trazitiví (viz S) S5: Pro každý AVB a každou poloroviu AV ' ' M eistuje jediá polopřímka V ' B ' tak, že AVB A' V ' B ' S6: Věta sus o shodosti trojúhelíků. Tyto aiomy umožňují defiovat řadu důležitých útvarů - apř. střed úsečky, pravý úhel (jako úhel, který je shodý se svým úhlem vedlejším), osu úsečky a úhlu, rovorameý a rovostraý trojúhelík apod. Díky im můžeme rozhodovat o tom, která z úseček je větší a která meší, edovedeme však říci o kolik, resp. kolikrát, tj. edovedeme měřit. Můžeme postulovat délku AB úsečky AB jako reálé číslo s těmito vlastostmi: 5

4 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet ) Délka každé úsečky je kladá ) Délky shodých úseček jsou si rovy ) Je-li Cµ AB, pak AC + CB = AB 4) Eistuje úsečka délky jeda. Naše dosavadí geometrie však dosud eumí takovou délku určit. Aiomy spojitosti - umoží zjišťovat délky úseček a zalepí díry v přímkách. A (Archimedův): Nechť AB 0 0; AB jsou libovolé úsečky. Na polopřímce AB sestrojme posloupost P0; P;...; Pk;... = { Pk} tak, že k P 0 = A; PP k k+ AB 0 0. Pak eistuje tak, že Bµ AP. Archimedův aiom dává velmi ázorý ávod, jak zjišťovat délku úsečky přikládáím metru. Umožňuje defiovat vzdáleost bodů a tím i kružici jako možiu bodů, které mají od daého bodu (středu) stejou vzdáleost. Tím se však zovu otvírá dřívější problém děravých útvarů a jejich průsečíků. Jestliže totiž sestrojíme přímku, která má od středu kružice vzdáleost meší ež poloměr, očekáváme, že bude mít s kružicí dva společé body. To však bohužel eí zaručeo i kružice je v aší geometrii prozatím děravá (a to začě) a seča se může trefit zrova do chybějících bodů. Svědčí o tom i áš předchozí racioálí aalytický model, kde je kružicí apříklad možia všech uspořádaých dvojic [ ; y ], pro které je + y = 6 a a přímkou apříklad možia [ t ;]. Dosazeím zjistíme, že průsečíky přímky s kružicí jsou uspořádaé dvojice ± ;. Ty však ejsou body aší C (Catorův): Nechť { AB} geometrie, protože eí racioálí číslo. Přímka [ t ;] je tedy seča, která emá s aší kružicí žádý společý bod. To je velmi epříjemé, a proto je třeba díry v aší geometrii zalepit. Tímto lepidlem je Catorův aiom: je posloupost úseček přímky p taková, že pro každé je A+ B+ AB. Pak eistuje bod M p takový, že pro každé je M µ AB. Přímka, a které leží body předchozí seča [ ;] A ; B, může být v ašem racioálím modelu apříklad A a B = b, kde může být apř. t, body jsou tedy tvaru = [ ] ; [ ] ; ; 6

5 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet a = ; a =.4 ; a =.4; b = ; b =.5 ; b =.4 Body M = m;, body B se každým desetiým číslem blíží k témuž bodu shora. Aby mohlo být stále M µ AB, musí být A se každým desetiým číslem blíží zdola k bodu [ ] [ ] M =, ; = ;. Teto bod ale eí bodem racioálího modelu, racioálí model esplňuje Catorův aiom, a eí proto spojitou geometrií. Abychom Catorovu aiomu vyhověli, musíme si vzít a pomoc čísla iracioálí, která díry v racioálím modelu zalepí. Dostáváme aalytický model, který body modeluje uspořádaými dvojicemi reálých čísel, popř. sytetický model, který při rýsováí přímky edovolí zvedout tužku z papíru. Dostáváme geometrii bez děr, které k běžé představě rovié geometrie chybí už je jedo evíme, jak to vypadá s rovoběžými přímkami. Posledím aiomem tedy bude Aiom rovoběžosti E (Euklidův): Bodem A eležícím a přímce p prochází právě jeda přímka a, která s přímkou p emá společý žádý bod. Tímto aiomem je dovršeo budováí euklidovské geometrie v roviě. ;. Základí pojmy a vztahy v prostoru Prostorovou geometrii (stereometrii) lze vybudovat tím, že k dosavadím pojmům a vztahům přidáme pojem roviy a aiomy popisující vzájemou polohu bodu a roviy, přímky a roviy a vzájemou polohu dvou rovi. K tomu je potřeba k předchozí soustavě aiomů přidat dalších šest aiomů icidece: I4: Každými třemi body, které eleží a jedé přímce, prochází právě jeda rovia I5: V každé roviě leží alespoň jede bod I6: Jestliže v roviě leží dva růzé body téže přímky, pak v této roviě leží celá přímka I7: Jestliže bod leží a přímce a tato přímka v roviě, pak bod leží v této roviě I8: Eistují alespoň čtyři body, které eleží v jedé roviě I9: Jestliže dvě roviy mají společý bod, mají společou přímku, která tímto bodem prochází. Tyto aiomy spolu s aiomy uvedeými v předchozí kapitole umožňují defiovat všechy důležité pojmy a vztahy v prostoru (rovoběžost a kolmost přímek a rovi, odchylky přímek a rovi ) a dokázat všechy zámé stereometrické věty (kriteria rovoběžosti a kolmosti přímek a rovi atd.). Pomocí devíti aiomů icidece, čtyř aiomů uspořádáí, dvou aiomů spojitosti a aiomu rovoběžosti lze vybudovat celou stereometrii tak, jak ji záte ze středí školy.. Sytetická a aalytická geometrie V kpt.. jsme uvedli, že představa bodu jako bezrozměré tečky, přímky jako teké rové čáry a roviy jako teké rové plochy je jeda z mála představ, která odolává áporu postupě přibývajících geometrických aiomů. Tuto představu (realizaci, model) azýváme sytetickým modelem geometrie, krátce sytetickou geometrií. Ze středí školy ovšem záme i jiý model geometrie, o ěmž jsme se v kpt.. již zmíili je to model aalytický (aalytická geometrie). Body v roviě jsou zámým způsobem modelováy jako uspořádaé 7

6 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet dvojice reálých čísel, v prostoru pak jako uspořádaé trojice reálých čísel. Tato čísla azýváme souřadice bodu. Roviu, která splňuje aiomy I-I, U U4, S-S6, A, C, E, azýváme euklidovskou roviou. Prostor, který avíc splňuje aiomy I4 I9, azýváme euklidovským prostorem. Geometrie, která zavádí jakési pojmy splňující jisté aiomy bez jakýchkoli představ o tom, co tyto pojmy a aiomy zameají, je matematickou abstrakcí. Jestliže tyto pojmy a aiomy objevíme v kokrétích situacích, říkáme, že jsme ašli model (ebo realizaci) této geometrie. Až do 7. století byla geometrie ztotožňováa vpodstatě je s jejím sytetickým modelem. Geometři pracovali s tužkou, pravítkem a kružítkem (popř. s jiými mechaickými rysovacími pomůckami). Algebraický aparát používali je k výpočtům délek, povrchů a objemů, přičemž měřeí potřebých údajů bylo založeo vpodstatě je a Archimedově aiomu. Podstatě hlubší souvislosti mezi geometrií a algebrou objevil fracouzský filozof a matematik Reé Descartes ( ), který stál u zrodu aalytického modelu geometrie. Objevil pravoúhlou souřadou soustavu, kterou des azýváme soustavou kartézskou (podle latiského přepisu jeho jméa Cartesius). Body v roviě resp. v prostoru jsou uspořádaé dvojice resp. reálých čísel. Přímku lze chápat jako lieárí rovici o dvou ezámých (v roviě) popř. soustavu dvou lieárích rovic o třech ezámých (v prostoru), roviu jako lieárí rovici o třech ezámých. Tyto rovice azýváme obecými rovicemi přímky (roviy). Často se používají tzv. rovice parametrické, které využívají skutečosti, že přímka A a ; a A = a ; a ; a v prostoru a směrovým vektorem je určea bodem = [ ] v roviě resp. [ ] u = ( u ; u ) v roviě resp. u = ( u ; u ; u ) v prostoru.. Vektorový prostor: Ze středí školy záme pojem vektor. Vektory si můžeme představit buď jako orietovaé úsečky se společým počátečím bodem, aebo jako uspořádaé dvojice popř. trojice reálých čísel, které představují souřadice vektoru. Počátek souřadé soustavy je přitom umístě ve společém počátečím bodě uvažovaých orietovaých úseček. Vektory můžeme sečítat a ásobit reálým číslem. Vektor v = c0u0 + cu cu ; ci ; i = 0;;..; azýváme lieárí kombiací vektorů u0; u;...; u. Vektory u0; u;...; u ; i = 0;;..;, z ichž ai jede elze zapsat jako lieárí kombiaci ostatích, azýváme lieárě ezávislé ebo též bázové vektory. Jsou-li u0; u;...; u ; i = 0;;..; bázové vektory, pak možiu všech vektorů tvaru v = c0u0 + cu cu azýváme vektorovým prostorem vytvořeým bázovými vektory u0; u;...; u.. Příklad: Vektor v = ( ;5; ) je lieárí kombiací vektorů u = ( ) ; = ( ) 0 ;; 0 u 0;;, eboť v= u0 + u. Vektory u 0 ; u jsou bázové, eboť eeistuje c 0 tak, aby u = c0 u 0, ai c tak, aby u 0 = c u. Možia všech lieárích kombiací vektorů tvaru v= c0u0 + cu ; c0; c je vektorovým prostorem. Teto vektorový prostor si lze představit jako roviu, která prochází počátkem a ve které leží vektory u 0 ; u. Vektory u ; u azýváme zaměřeí roviy. 0 Vektor = ( 0;0;0) dostáváme ( 0; 0; 0) = 0 ( ;; 0) + 0 ( 0;;). o je rověž lieárí kombiací vektorů u0; u, eboť pro c 0 ; c = 0 8

7 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet Všechy koeficiety c 0 ; c ;...; c lieárí kombiace totiž mohou být ulové (a rozdíl od kombiace projektiví, o které se zmííme dále). Uvažujeme-li vektor = ( ;;0 ) u, pak možia jeho lieárích kombiací (tj. ásobků c u ; c ) je rověž vektorovým prostorem. Lze si ji představit jako přímku, která opět prochází počátkem. Vektor u azýváme směrovým vektorem přímky. Pomocí samotých vektorů je však modelováí euklidovské geometrie začě epříjemé. K vyjádřeí roviy v prostoru bychom apříklad potřebovali tři bázové vektory, z ichž dva u0; u by tvořily její zaměřeí a třetí (ozačme ho ) by zajišťoval posuutí roviy mimo počátek. Roviu bychom si tak mohli představit jako možiu kocových bodů všech vektorů tvaru = w+ c u + cu () 0 0 Vektory u0; u v tomto zápisu můžeme ásobit libovolým skalárem, vektor w však esmíme kromě jedičky ásobit ičím bod by totiž opustil studovaou roviu. Podobá situace astává u přímky, kterou bychom vyjádřili ve tvaru = w+ t s () To je jede z důvodů, pro který zavádíme tzv. afií prostor. 4. Afií prostor: Uvažujme vektorový prostor, který doplíme možiou prvků, které budeme začit A; BC; ; a azývat je body. Takto vziklou možiu vybavíme operací sčítáí bodu a vektoru, jejímž výsledkem je bod. Tedy pro každý bod A každý vektor u eistuje bod B tak, že B= A+u. Vektor u, pro který tato rovice platí, začíme u = AB. (říkáme, že úsečka AB je reprezetatem vektoru u ). Dále musí pro každé tři body A; BC ; platit AC = AB+ BC. Takto zavedeou možiu bodů azýváme afiím prostorem a příslušý vektorový prostor pak zaměřeím afiího prostoru. Body přitom modelujeme uspořádaými dvojicemi resp. trojicemi souřadic, které ovšem pro odlišeí od vektorů umisťujeme do hraatých závorek. Takto zavedeý prostor splňuje všechy aiomy I, U, A, C, E. Pozorý čteář asi v tuto chvíli postrádá aiomy shodosti (tedy aiomy skupiy S), což je zvlášť epříjemé, uvědomíme-li si že v tuto chvíli emůžeme měřit úsečku a dokoce emáme k dospozici ai pravý úhel. Čteáře ovšem můžeme uklidit, a to hed ve dvou směrech. Jedak v celé řadě geometrických situací tyto věci epotřebujeme a za druhé je velmi jedoduché do afiího prostoru shodost zavést. Geometrie, která se obejde bez aiomů shodosti, takzvaá afií geometrie, je geometrie polohová a řeší je úlohy týkající se vzájemé polohy geometrických útvarů (tj. společé body a rovoběžost). Jedá se o úlohy polohové a takových úloh je celá řada. 5. Aalytický model euklidovského prostoru: Potřebujeme-li řešit úlohy metrické, je třeba defiovat shodost úseček. Většiou postupujeme tak, že v zaměřeí afiího prostoru u= u ; u ; v = v ; v defiujeme skalárí souči vektorů. Skalárím součiem vektorů ( ) ( ) v roviě resp. u= ( u ; u ; u ); v = ( v ; v ; v ) v prostoru rozumíme číslo 9

8 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet ( ; ) = uv + uv ( ; ) = uv + uv + uv uv v roviě uv v prostoru () V prostoru se skalárím součiem pak lze defiovat velikost (eboli ormu) vektoru ( ; ) u u u = u u = + v roviě ( ; ) u u u u = u u = + + v prostoru (4) Pak stačí defiovat, že dvě úsečky AB ; CD jsou shodé právě tehdy, když jsou reprezetaty vektorů stejých velikostí a staovit jedotkovou úsečku (popř. jedotkový vektor). K dispozici je pak i velikost úhlů, která se zavede pomocí vztahu cosϕ = ( uv ; ) u v (5) Takto doplěý afií prostor již splňuje i aiomy shodosti a je tedy euklidovským prostorem. Body a vektory euklidovské roviy (euklidovského prostoru) jsou tedy v aalytickém modelu reprezetováy uspořádaou dvojicí (trojicí) reálých čísel. Proto budeme euklidovskou roviu (euklidovský prostor) často ozačovat Z E. zaměřeí pak ( ) Z E resp. ( ) E resp. E. Jeho Přímkou roviy E (prostoru E ) je pak možia p všech bodů tvaru X = A+ t u ; t (6) kde u je eulový vektor, roviou v α všech bodů tvaru E pak možia X = A+ r u+ s v; rs ; (7) kde uv ; jsou lieárě ezávislé vektory. Pozámka: Přímku p často píšeme úsporě ve tvaru p = A; u jako přímku geerovaou ( vytvořeou ) bodem A a vektorem u. Roviu α pak aalogicky α = A; uv ;. V euklidovském prostoru, kde máme k dispozici jedotkové a avzájem kolmé vektory, můžeme prohlásit jede bod za počátek (začíme většiou O ) a pomocí tří jedotkových avzájem kolmých vektorů i;; j k zapsat podle předchozí pozámky souřadé osy = O; i ; y = O; j ; z = O; k ; souřadé roviy y = O;; i j ; yz = O;; j k ; z = O; ik ;. Uspořádaá trojice O;; i j určuje 0

9 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet kartézskou souřadou soustavu v euklidovské roviě E (viz připojeý obrázek); uspořádaá čtveřice O;;; i j k kartézskou souřadou soustavu v euklidovském prostoru E. Rovice (6) poskytuje představu přímky jako možiy bodů které lze zapsat jako součet bodu a vhodého ásobku směrového vektoru. Podobě rovice (7) modeluje roviu jako možiu bodů. kterou lze zapsat jako součet bodu a lieárí kombiace dvou bázových vektorů. Na prví pohled však eposkytují výzamou výhodu oproti rovicím () resp (). Body v rovicích (6) a (7) zdálivě ejsou ic jiého, ež vektory v rovicích () a (). Rozdíl je zdálivě je v ozačeí. Ai body v rovicích (6), (7) emá smysl ásobit (i zde bychom tím opustili uvažovaou přímku či roviu). S těmito rovicemi tedy eí možé zacházet tak, jak jsme u rovic běžě zvyklí. Přesěji řečeo e vždy má úprava, která je u algebraických rovic běžá, geometrický smysl. Položíme-li apř. t =, obdržíme rovici (5) ve tvaru X = A+u (8) Převeďme yí bod A a druhou strau rovice. Dostaeme u = X A (9) Co to však zameá? Můžeme sad vektor chápat jako rozdíl bodů? V jistém smyslu ao představíme-li si totiž vektor u jako orietovau úsečku AX, dostaeme souřadice tohoto vektoru jako rozdíl souřadic bodů X ; A: ( ; ) ( ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) u = AX = X A = a a = u u v roviě u = AX = X A = a a a = u u u v prostoru (0) Je-li bodem A speciálě počátek souřadé soustavy, azýváme vektor = OX = X O = ( 0; 0 ) = ( ; ) = OX = X O = 0; 0; 0 = ; ; resp. ( ) ( ) polohovým vektorem bodu X. Vektor jako rozdíl bodů dle (0) ám avíc spolu se vztahy (4) poskytuje zámé vzorečky pro délku úsečky c = AB : c = AB = B A = b a b a = b a + b a (0) (0) (4) ( ; ) ( ) ( ) v roviě c = AB = B A = b a b a b a = b a + b a + b a prostoru (0) (0) (4) ( ; ; ) ( ) ( ) ( ) Otázkami souvisejícími s rozdílem bodů se budeme podroběji zabývat ve třetí kapitole. Geometrie jako abstraktí matematická struktura se začala rodit v 9. století v pracích Lobačevského (79-856), Riemaa (86-866) a především ěmeckého matematika Davida Hilberta (86-94). Díky tomuto moderímu přístupu ke geometrii se podařilo vyřešit moho geometrických problémů, které odolávaly úsilí matematiků po tisíce let, apř.: v

10 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet a) Kvadratura kruhu: Sestrojit čtverec, který má stejý obsah jako daý kruh. b) Rektifikace kružice: Sestrojit úsečku, která má stejou délku jako daá kružice. c) Zdvojeí krychle: Sestrojit krychli, která má dvakrát větší objem ež krychle daá a další. Algebraické řešeí těchto úloh je velmi jedoduché: Kruh má obsah π r. Čtverec stejého obsahu má tedy strau a = S = π r = r π a prví problém je vyřeše. Kružice má délku π r. Sestrojíme-li tedy úsečku této délky, máme vyřeše problém číslo dvě. Třetí problém vyřešíme sestrojeím úsečky o velikosti V. Příčia tisíciletých potíží geometrů spočívala v tom, že tyto úlohy byly formulováy jako euklidovské kostrukce, tj. řešeí se má alézt pouze pravítkem a kružítkem (tzv. PK kostrukce). Avšak v aalytickém modelu lze relativě sado dokázat, že řešeí PK kostrukcemi eí možé. Nazačme aspoň hlaví myšleku. Ve všech těchto úlohách máme zadáy dva body (střed kružice a bod a kružici, popř. dva vrcholy krychle). Pro jedoduchost předpokládejme, že délka takto zadaé úsečky AB je jeda, a umístěme ji do souřadé soustavy tak, že A = [ 0;0] ; B = [ ; 0]. Máme-li ke kostrukci dalších bodů použít je pravítko a kružítko, pak dalšími body mohou být je průsečíky přímek a kružic. Přímky, to jsou v aalytickém modelu lieárí rovice, kružice jsou (speciálí) rovice kvadratické. Nalézat body pravítkem a kružítkem zameá v aalytickém modelu řešit soustavy dvou rovic o dvou ezámých, kdy obě rovice jsou lieárí (dvě přímky) ebo kvadratické (dvě kružice), ebo jeda je lieárí a druhá kvadratická (přímka a kružice). Všechy tyto případy lze řešit tak, že soustavy rovic o dvou ezámých převedeme a jedu rovici o jedé ezámé, která je buď lieárí (dvě přímky), aebo kvadratická (v ostatích případech). Tyto rovice vyřešíme použitím čtyř základích aritmetických operací (v lieárím případě) a druhé odmociy (v kvadratickém případě). Ne áhodou ám PK kostrukce právě tyto operace poskytují (viz obrázek): součet a rozdíl úseček realizujeme jejich přeášeím, souči a podíl máme k dispozici díky podobosti trojúhelíků a druhou odmociu díky Euklidovým resp. Pythagorově větě. Protože tyto kostrukce lze opakovat a růzě kombiovat, lze pravítkem a kružítkem sestrojit libovolé číslo, který je výsledkem koečého počtu sečítáí, odčítáí, ásobeí, děleí a druhých odmoci (taková čísla azýváme PK čísla). Při troše trpělivosti a precizosti si tak pravítkem a kružítkem můžeme sestrojit úsečku délky ( ) d = ( + ) Vypadá to, že možosti pravítka a kružítka jsou v tomto směru prakticky eomezeé, ale eí tomu tak. Moderí algebra a aalýza totiž ukázala, že žádé sebedivočejší PK číslo emůže být rovo ai číslu π, ai číslu. A tak je apříklad možo pravítkem a kružítkem sestrojit

11 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet pravidelý pětiúhelík: je-li jeho střed S = [ 0;0] a vrchol v jedom z bodů P = [ ± ] ; 0 zbylé čtyři vrcholy určey PK-souřadicemi P,,4,5 = ± 0 ± 5; ( ± 5), jsou 4 4. Neí už ale možo sestrojit apř. pravidelý sedmiúhelík. Šedesátistupňový úhel lze pravítkem a kružítkem velmi jedoduše rozdělit a poloviy, čtvrtiy, osmiy atd., ale elze ho rozdělit a třetiy apod. Aalytická geometrie je tedy podstatě mocější ástroj ež klasická sytetická geometrie, která pracuje je s euklidovskými kostrukcemi - PK geometrie. Ta totiž eí modelem euklidovské geometrie jako geometrie splňující aiomy I-I, U U4, S-S6, A, C, E (které aiomy esplňuje?). Přesto má PK geometrie v ižeýrské prai ezastupitelé místo. Řadu kostrukcí je totiž podstatě jedodušší provést pravítkem a kružítkem, ež ji řešit aalytickými metodami. Aalytické řešeí moha úloh je možé je díky moderí výpočetí techice a speciálím algoritmům, které byly vyviuty pro CAD systémy (pricipy ěkterých z ich ukážeme i v tomto tetu). Řešeí tužkou poskytuje eahraditelou vizuálí představu řešeí, kterou ižeýr při práci s grafickým systémem musí vždy mít. Navíc eřešitelost ěkterých úloh pravítkem a kružítkem eí podstatá. Pro tyto úlohy totiž geometrie vyviula celou řadu přibližých kostrukcí, jejichž přesost ovšem mohokrát převyšuje možosti sebepřesějšího rýsováí. 6. Příklad rektifikace kruhového oblouku: Sestrojme úsečku, která má přibližě stejou délku jako a) daá půlkružice π b) daý kruhový oblouk příslušý středovému úhlu 0 < ϕ 6 BT r r = = r Vypočtěme chybu, které se dopustíme v přibližé kostrukcí dle připojeého obrázku autorem této kostrukce je Adam Kochaňski (6-700). Řešei: a) Vypočtěme délku takto získaé úsečky AB, která rektifikuje půlkružici: π XT = r tg = r 6 AB = AT + BT = 4r + r = r + Délka půlkružice je π r, chyba, které se dopustíme při rektifikaci oblouku s poloměrem jedoho metru, je tedy π E = + 0, m= 0,06 mm

12 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet což je chyba, která je hluboko pod úroví epřesostí, kterých se dopustíme při sebepečlivějším rýsováí. b) K této rektifikaci je vhodá kostrukce českého geometra Jaa Sobotky (86-9), která je zřejmá z ásledujícího obrázku zřejmě CD = a dále: Porovejme opět délku takto získaé úsečky s délkou oblouku pro poloměr π jedoho metru a úhel ϕ = 6 : Délka kruhového oblouku je zřejmě π 6, ke staoveí délky úsečky AC ' určíme ejdříve velikosti úseček CD a BD. Je π 4+ SD = cos = BD = + = Z podobosti 6 trojúhelíků BDC ; BAC ' máme AC ' CD CD = AC ' = AB = = AB BD BD Chyba je tedy π E = 0,000 m 0, mm 6 4+ což je opět daleko za hraicemi možostí sebepečlivějšího rýsováí. Ve většiě praktických situací lze tuto kostrukci použít až do velikosti středového úhlu cca 60º. 7. Pozámka: V geometrii stojíme ěkdy před problémem opačým a daé kružici vymezit oblouk, který má stejou délku jako daá úsečka. V tom případě použijeme opět Sobotkovu kostrukci s tím, že tetokrát esestrojujeme ezámý bod C ' pomocí zámého bodu C, ale aopak ezámý bod C pomocí zámého bodu C '. Teto postup azýváme aviutí úsečky a kružici. Jak aalytický tak sytetický přístup ke geometrii má v ižeýrské prai svá pro i proti. Některé problémy se efektivěji řeší aalyticky, jié syteticky. V dalším tetu budeme proto aalytický a sytetický přístup často střídat a v moha případech kombiovat. Euklidovskou roviu budeme začit E, euklidovský prostor pak E..4 Dimeze, pojem křivky, plochy a tělesa Křivky, plochy a tělesa patří mezi geometrické útvary (geometrickým útvarem rozumíme libovolou podmožiu E resp. E ). Přitom křivku si běžě představujeme jako jedorozměrý útvar, tj. útvar, u ěhož měříme délku, plochu jako útvar dvojrozměrý, kterému měříme obsah, těleso jako útvar trojrozměrý, zde měříme objem. Nemá smysl apř. 4

13 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet dvojrozměrému útvaru měřit délku (ta je vždy ekoečá), ai objem (te je vždy ulový). Uvažujeme-li tedy pouze omezeé útvary (tj. útvary, které jsou podmožiou vhodého kruhu popř. koule), je vymezeí pojmů křivka, plocha a těleso zdálivě velmi jedoduché: Křivka je útvar, který má koečou (a eulovou) délku a ulový obsah i objem. Plocha je útvar, který má ekoečou délku, koečý (a eulový) obsah a ulový objem. Těleso je útvar, který má ekoečou délku i obsah a koečý (a eulový) objem. Tak jedoduché to ale eí.. Příklad Sierpiňského trojúhelík: Sestrojme rovostraý trojúhelík a vyjměme z ěj vitřek trojúhelíka určeého středími příčkami. Ve zbývajících třech trojúhelících proveďme totéž a tímto způsobem pokračujme do ekoeča. Obdržíme tak útvar zvaý Sierpiňského trojúhelík. Určeme jeho obsah. Řešeí: Ozačme obsah původího trojúhelíka S 0 a určeme ejdříve obsah S ' odebraých trojúhelíků. Obsah trojúhelíka odebraého v prvím kroku: S = S0. 4 Obsah trojúhelíků odebraých ve druhém kroku: S = S = S Obsah trojúhelíků odebraých ve třetím kroku: Obsah trojúhelíků odebraých v -tém kroku: S = S = S S = S = S Obsahy odebíraé v jedotlivých krocích tedy tvoří geometrickou řadu a celkový obsah odebraých trojúhelíků je 5

14 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet S S S' = S = = = S = 4 4 = Obsah Sierpiňského trojúhelíka je tedy S = S0 S' = 0. Podle aší předchozí úvahy se tedy zřejmě ejedá o útvar dvojrozměrý, ale jedorozměrý. Pokusme se tedy určit délku Sierpiňského křivky. Vyjdeme tedy z obvodu původího trojúhelíka, ke kterému budeme postupě přičítat obvody odebíraých trojúhelíků. Ozačme l 0 obvod výchozího trojúhelíka. Obvod prvího odebraého trojúhelíka je l = l0 Obvody trojúhelíků odebraých ve druhém kroku jsou l = l = l 0 Obvody trojúhelíků odebraých ve třetím kroku jsou l = l = l 0 Obvody trojúhelíků odebraých v -tém kroku jsou l = l = l 0 l0 Celkový obvod je tedy součtem l = l 0 = = = = 0 eboť posledí geometrická řada diverguje. Jedoduchou ituitiví úvahou, kterou jsme provedli v úvodu této kapitoly, tedy elze rozhodout, zda tato možia je křivkou, aebo plochou. Naše vymezeí pojmů dimeze ( počtu rozměrů ), křivka, plocha a těleso je třeba geometricky precizovat. Základem tohoto zpřesěí budou topologické pojmy otevřeé možiy, uzávěru, souvislé možiy a pokrytí.. ε -okolí : ε -okolím bodu X v roviě E rozumíme možiu ( ) = { < ε} Oε X P E PX ε -okolím bodu X v prostoru ( ) = { < ε} Oε X P E PX Okolím O ( X) kružice (otevřeý kruh), okolím O ( X) E rozumíme možiu ε je tedy kruh se středem v bodě X bez hraičí ε je koule se středem v bodě X bez hraičí kulové plochy (otevřeá koule). V případě, kdy ebude hrozit edorozuměí, budeme horí ide (začící počet rozměrů ) vyechávat.. Vitří bod: Bod A se azývá vitřím bodem útvaru U právě tehdy, když eistuje O A O A U = O A. ε ( ) tak, že ε ( ) ε ( ) 4. Vější bod: Bod B se azývá vějším bodem útvaru U právě tehdy, když eistuje Oε ( B) tak, že O ( B) U. ε = 6

15 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet 5. Hraičí bod: Bod C se azývá hraičím bodem útvaru U právě tehdy, když eí ai vitřím, ai vějším bodem, tj. pro každé Oε ( C) je Oε ( C) U a současě O ( C) O ( C) ε U. ε 6. Hraice útvaru: Možiu všech hraičích bodů azýváme hraicí útvaru. Hraičí body útvaru mohou do útvaru patřit (viz apř. bod C útvaru U ), aebo emusejí (viz bod D útvaru U ). 7. Otevřeá možia: je možia, jejíž všechy body jsou vitří Otevřeá možia je tedy možia, do íž epatří ai jede její hraičí bod (viz připojeý obrázek vlevo). Kromě otevřeých moži hovoříme i o možiách uzavřeých. Uzavřeá možia je možia, která obsahuje všechy své hraičí body (viz obrázek uprostřed). Neí to tedy tak, že uzavřeá možia je ta, která eí otevřeá. Eistují možiy, které ejsou ai otevřeé ai uzavžeé, eboť obsahují je část své hraice (viz obrázek vpravo). Důležitou vlastostí geometrického útvaru je jeho souvislost. Ituitivě chápeme souvislost tak, že souvislý útvar se skládá z jedoho kusu, kdežto útvar esouvislý je roztrže a dva či více kusů. Matematický ástroj k rozpozáí roztržeí útvaru je zázorě a dalším obrázku. Útvar vlevo bychom rádi považovali za souvislý, kdežto útvar vpravo ikoli je roztrže a dva kusy. Jak toto roztržeí rozpozat dosud zámými matematickými ástroji? Sestrojme dvě eprázdé otevřeé možiy FG, ; kterými pokryjeme studovaý útvar, tj. U F G, a to tak, aby ai jeda z moži FG ; ebyla v tomto pokrytí zbytečá tj.; U F. U G Pokud se i při sebešikovější kostrukci možiy FG ; překrývají, tj. F G, je útvar U souvislý. V opačém případě ho prohlásíme za esouvislý. 8. Souvislý útvar: Geometrický útvar U E popř. U E azveme souvislý právě tehdy, když pro každé dvě eprázdé otevřeé možiy FG ; takové, že U F G; U F ; U G, platí F G. V opačém případě azýváme útvar U esouvislý. Nyí budeme směřovat k pojmu dimeze. 9. Pokrytí: Uvažujme souvislý útvar U a sestrojme okolí O ( X ) X; X;...; X tak, že platí i i ε ěkterých jeho bodů 7

16 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet U = i= ( ) ( ) ( ) ( ) Oε X Oε X... Oε X O X εi Říkáme, že jsme sestrojili pokrytí útvaru U. Použitých okolí může být i ekoečě moho, v tom případě píšeme U = i= ( ) ( ) ( ) Oε X Oε X... Oε X i i Jestliže poloměr žádého použitého okolí eí větší ež ε, ozačujeme toto pokrytí jako ε - pokrytí. i Na obrázku máme zázorěa ε -pokrytí útvaru, který bychom měli prohlásit za jedorozměrý, resp. dvojrozměrý. Všiměme si, že v pokrytí jedorozměrého útvaru se překrývají maimálě dvě okolí. Dotyk okolí estačí okolí jsou totiž otevřeé možiy (viz odst. ) a bod dotyku je bodem hraic, které do žádého okolí epatří. Teto bod by tedy ebyl pokryt. V pokrytí dvojrozměrého útvaru je utý překryv tří okolí. Pokud bychom chtěli pokrýt trojrozměrý útvar (zde bychom samozřejmě museli pokrývat koulemi), museli bychom překrýt čtyři okolí (samozřejmě při dostatečě malém ε ). To ás vede k ásledující defiici: 0. Topologická dimeze: Geometrický útvar U má (topologickou) dimezi právě tehdy, když pro každé ε > 0 eistuje jeho ε -pokrytí tak, že každý bod útvaru U je pokryt maimálě + okolími. Přívlastek topologická v tuto chvíli eí třeba zdůrazňovat. Bude utý až v kpt. 0, kde pojem dimeze ještě poěkud zobecíme. Defiice křivky, plochy resp. tělesa je yí už velmi jedoduchá:. Křivka, plocha, těleso: Křivkou (plochou, tělesem) euklidovského prostoru E rozumíme (topologicky) jedorozměrý (dvojrozměrý, trojrozměrý) souvislý útvar. Takto defiovaou křivkou je apř. libovolá přímka, polopřímka, úsečka, kružice, kruhový oblouk. Modelem takové křivky může být i ekoečě teká a libovolě zmuchlaá it. Podobě plochou může být rovia, čtverec, kruh, kulová plocha, povrch jehlau či kužele. Modelem takové plochy může být i ekoečě teká a libovolě zmuchlaá fólie. Vraťme se yí k příkladu, kde jsme prozatím ebyli schopi rozhodout, zda Sierpiňského trojúhelík je křivka, aebo plocha. Na ásledujícím obrázku je sestrojeo ε - pokrytí tohoto trojúhelíka, kde k pokrytí každého bodu stačí maimálě dvě okolí. Je zřejmé, že pokud jsme takto sestrojili ε - pokrytí pro ějaké ε, můžeme zcela aalogicky sestrojit i pokrytí pro 8

17 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet ε ε ; (viz obrázek vpravo) 4 atd., tedy pro každé ε > 0. Zameá to, že Sierpiňského trojúhelík je (topologicky) jedorozměrý - je to tedy křivka. Křivka je to, pravda, velmi zašmodrchaá (v každém svém bodě má uzel ), ale v př. kpt.. 4 ukážeme, že Sierpiňského trojúhelík lze skutečě uplést z přímky. Kokrétími křivkami, plochami a tělesy používaými v techické prai, se budeme zabývat postupě v dalším tetu. Na tomto místě uveďme alepoň ty, k jejichž defiici ejsou potřeba další speciálí pojmy a vlastosti, a jsou tedy v tomto smyslu elemetárí. Prosíme čteáře, aby si pomocí předchozího tetu a svých středoškolských zalostí zopakoval příslušé defiice, jejichž zalost budeme v dalším tetu předpokládat.. Elemetárí křivky: Mezi elemetárí křivky řadíme přímku a její části - především polopřímku a úsečku. Další elemetáí křivkou je kružice.. Elemetárí plochy: Mezi elemetárí plochy řadíme roviu a její části především poloroviu, dále základí rovié geometrické útvary zámé ze středoškolské geometrie a rověž ěkteré prostorové plochy hraolovou, jehlaovou, kruhovou válcovou, kruhovou kuželovou a dále plochu kulovou. 4. Elemetárí tělesa: Mezi elemetárí tělesa řadíme opět útvary zámé ze středí školy hraol a jeho speciálí případy, především kvádr a krychli, dále jehla - kosý, kolmý, pravidelý -boký, kruhový válec a kužel kosý a kolmý (rotačí) a koečě kouli. V dalším tetu budeme rověž předpokládat zalost související termiologie vrchol, straa hraa, plášť atd.. 5 Geometrická zobrazeí v euklidovské roviě Zobrazeí možiy A do možiy B je, jak zámo, podmožia kartézského součiu A B, která obsahuje pouze uspořádaé dvojice [ ; '], ve kterých každý vzor má ejvýše jede obraz '. Speciálě v euklidovské roviě E resp. v euklidovském prostoru E je každému bodu X přiřaze ejvýše jede bod X '. Na středí škole jste se zabývali zobrazeími v E - osovou a středovou souměrostí, posuutím, otočeím a stejolehlostí, a to výhradě syteticky geometrické úlohy a toto téma jste řešili pravítkem a kružítkem. Grafické systémy počítačů tyto úlohy umějí řešit rověž. Neje E, ale i v E, a protože emají 9

18 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet pravítko a kružítko, řeší je všechy aalyticky. Aalytickému popisu zobrazeí v E resp. v E (tedy popisu pomocí souřadic) je věováa tato kapitola. Uvažujme tedy bod X [ ; ] E, který zobrazíme a bod X '[ '; ' ] E. Dále mějme zobrazeí Z : E E. Protože toto zobrazeí modelujeme aalyticky, je popsáo soustavou rovic, která a základě souřadic [ ; ] bodu X staoví souřadice [ '; ' ] bodu X '. Tuto soustavu lze zapsat obecě ve tvaru ( ) ( ) ' = f ; ' = f ; Příklad: Jsou dáy body A = [ 0;0] ; B = [ π ;0]; S [ π;0] které je dáo rovicemi = si+ 4 Z : = cos5 + 6 Určete obrazy Z ( A) = A' ; Z ( S) = S' ; ( B) = B ' Řešeí: Z bodů ASB. ; ; ( ) ( ) ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) = a zobrazeí a = sia + 4 a = si A A = a a = [ ] [ ] ': ' ; 4;8 a = cos5a+ 6 a = cos s = sis + 4 a = si + 4 S S = s s = [ ] [ ] ': ' ; 4;4 s = cos5s+ 6 a = cos b = sib + 4 b = si + 4 B B = b b = [ ] [ ] ': ' ; 4;8 b = cos5b+ 6 b = cos () Z : E E, Jestliže touto soustavou trasformujeme všechy body útvaru U, obdržíme jeho obraz U ' v daém zobrazeí. Pokud fukce f, g jsou spojité (ebo alespoň po částech spojité), je obrazem křivky opět křivka (ebo ěkolik křivek). Obrazem úsečky však emusí být úsečka. Pokud bychom chtěli příklad řešit ručě, museli bychom určit obrazy dostatečého počtu bodů X; X;...; X úsečky AB, tyto body vyést do souřadé soustavy a poté spojit pomocí křivítka. Tuto práci tedy raději svěříme počítači vybaveému vhodým grafickým software. V ašem příkladu je AB úsečka, bod S je její střed. Obraz této úsečky v zobrazeí Z si můžeme prohlédout a obrázku vlevo. Dále jsou zde obrazy téže úsečky AB v zobrazeích () () Z a Z, která jsou dáa rovicemi Z = +.5 = si +.5 () () : () Z = cos () () : () = +.5 Příklad: Jsou dáy body A = [ 0;0] ; B = [ 4;] ; [ ; 4] rovicemi =.5 + Z : = + C = a zobrazeí Z : F E je dáo (možia F je tedy podmožiou E - je to zřejmě možia bodů, jejichž obě souřadice jsou ezáporé). Určeme obraz trojúhelíka ABC. 0

19 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet Řešeí: Souřadice A'; B'; C ' vrcholů ABC určíme stejě jako v předchozím příkladě, apř: b =.5 b b + b = B': B' = [ b ; b ] = [ 6;6] b = b + bb b = 4+ 4 Pro body A; C aalogicky. Toto zobrazeí si můžeme prohlédout a obrázku vpravo. V matematice se budete postupe zabývat zabývat spojitými fukcemi jedé i ěkolika proměých. Pozameejme, že jsou-li fukce f( ; ) ; f( ; ) ve vztahu () spojité, je obrazem úsečky křivka. V geometrii a středí škole jste se setkávali ejčastěji se zobrazeími, v ichž obrazem přímky byla opět přímka. Tato zobrazeí se azývají kolieárí (z latiského liea - přímka). Rovice, které tato zobrazeí určují aalyticky, jsou lieárí. Lze je tedy psát ve tvaru ' = a+ a + v ' = a + a + v aebo (použitím základů maticového počtu, se kterým se sezamujete v matematice) ' a a v ' = a a + v T X' A T X T v X' T = A X T + v T Body (zde X ; X ' ) i vektory (zde v ) fugují v těchto zápisech jako matice typu, tedy jako vektory. V těchto zápisech je tedy třeba body reprezetovat jejich polohovými vektory. Polohové vektory bodů budeme tedy začit tučou velkou kurzívou - pro odlišeí od vektorů začících apř. posuutí (zde vektor v ). Matice A typu v tomto zápisu pak utčuje další parametry zobrazeí (apř. otáčeí, zvětšováí atd.). Staoveí ěkterých zobrazeí je velmi jedoduché. Chceme-li apř. použít osovou souměrost s osou v ose, zřejmě stačí změit zaméko druhé souřadice zobrazovaého bodu, tedy O : ' = ' = ' 0 0 = ' X ' T = O X T

20 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet kde O 0 = 0 je matice osové souměrosti podle osy. Pro osovou souměrost s osou v ose y aalogicky O y : ' = ' = ' 0 0 = ' Posuutí (traslace) o vektor = ( v ; v ) v : X ' T = O X T y T v : ' = + v ' = + v ' 0 v = + X = E X + v ' 0 v 'T T T Otočeí (rotace) o úhel α kolem počátku: ' = cosα siα R α : ' = siα + cosα ' cosα siα 0 ' = + si cos 0 X ' T = R T α X α α Na obrázku vidíme takto provedeou rotaci trojúhelíka o 5 kolem počátku a posuutí o v = ; (obojí ěkolikrát po sobě). vektor ( ) V počítačové grafice však epotřebujeme je taková jedoduchá zobrazeí. Otáčíme eje kolem počátku, ale i kolem obecého bodu S = [ s; s]. Útvar potřebujeme zobrazit souměrě eje podle souřadých os, ale i podle jiých přímek atd. Tato zobrazeí získáváme skládáím zobrazeí výše uvedeých. Avšak tato skládáí jsou v afiím prostoru dosti komplikovaá. Na obrázku vidíme sestrojeou souměrost podle přímky p = 9. Tato přímka vzike posuutím osy y (tj. přímky = 0 ) o vektor v = ( 9;0). Výše uvedeá aalytická reprezetace zobrazeí O y ; T v může tedy svádět k závěru, že posuutá osová souměrost je tvaru ' = + 9 ' 0 9 O p : ' = ' = X ' T = O T T y X + v

21 Euklidovský prostor ÚM FSI VUT v Brě Studijí tet Jestliže však podle tohoto vyjádřeí spočítáme souřadice vrcholů obrazu zobrazovaého trojúhelíka, zjistíme, že výsledek eodpovídá sytetické kostrukci. Situace je totiž poěkud složitější. Abychom mohli použít matici O y, musí osa souměrosti splývat s osou y. Proto musíme osu 9 v = 9;0, tj. použít zobrazeí = i trojúhelík ejdříve posuout o vektor ( ) X = EX v T T T Takto získaý bod X můžeme yí zobrazit v osové souměrosti s osou v ose y, tj. ( ) X = O X = O EX v T T T T y y a koečě bod X posuout zpět o vektor v, tj. X X X ( ) ' T = E T T T T T + v = E O y E v + v Pro osovou souměrost podle osy = v tedy dostáváme ' v v 0 v v ' = = + = v = Z předchozího příkladu vidíme, že v euklidovské roviě je složeí tří zobrazeí už poměrě komplikovaé. Osovou souměrost podle obecé přímky ale obdržíme složeím e tří, ale pěti zobrazeí. Navíc budeme skládat zobrazeí i v prostoru E, kde bude pricip stejý, počet skládaých zobrazeí může být ještě vyšší a techické provedeí ještě komplikovaější. V euklidovském prostoru je jak aalytický, tak sytetický popis takového zobrazeí již prakticky eúosý. V ásledujících kapitolách proto prostudujeme tato zobrazeí v projektiví roviě, která tyto úlohy začě zjedoduší.