9 PŘEDNÁŠKA 9: Heisenbergovy relace neurčitosti, důsledky. Tunelový jev. Shrnutí probrané látky, příprava na zkoušku.

Transkript

1 9 PŘEDNÁŠKA 9: Hesenbergovy relace neurčtost, důsledky. Tunelový jev. Shrnutí probrané látky, příprava na zkoušku. Hesenbergovy relace neurčtost(tnqu.5., SKM) Jednoduchý pohled na věc: Vždy exstuje určtá mnmální chyba př současném měření rychlost a hybnost. Vezměme s měření pozce pomocí světla. Abychom nějakou částc lokalzoval velm přesně, musíme použít světlo (foton) s velm malou vlnovou délkou. Ale tento foton má podle vztahu E=h velkou energ, a proto do měřeného systému pořádně kopne. Obráceně, abychom změřl pozc velm přesně, musíme ho nakopnout málo, tedy foton musí mít malou energ a tedy delší vlnovou délku. Hesenbergovy relace neurčtost: x p h (TNQU s. -3). Blárová koule 50g, 300m/s, přesnost měření rychlost 0.0% ==> x = 0- krát průměr atomového jádra. Elektron, stejná rychlost přesnost měření ==> x = 06 krát průměr atomu! Tvrzení: pro každé dva samosdružené operátory A, B a funkc (z defnčního oboru B [ A, B ] (vz vztah v oddílu o vlastnostech operátorů). komutátoru) platí A a hybnost P jsme na cvčení odvodl komutační relace Pro operátory polohy Q [Q, P ]=,[ Q, P ]=0,[ Q, P 3 ]=0 [Q, P ]=0, [ Q, P ]=,[Q, P 3 ]=0 [Q 3, P ]=0,[ Q 3, P ]=0,[ Q 3, P 3 ]= tedy platí : x p x, y py, z pz To znamená že je-l částce přesně lokalzována x 0, její hybnost je neznámá p x. Podobné relace neurčtost je možno odvodt pro jné (komplementární) proměnné, např. energ a čas E t. To znamená, že pokud budeme měřt energ a čas, a měření budou od sebe oddělena časovým krokem t, pak se měřené energe budou lšt o E, anž bych s tím mohl cokol t dělat. Pokud je čas mez měřením delší, rozdíl bude menší. Shrňme: jelkož jsou kvantové jevy popsány vlnam, nemáme jnou možnost než přjmout omezení př měření lbovolných dvou komplementárních proměnných(pozorovatelnýych) (QMCA, p. 8) 7

2 Příklad Gaussovského vlnového balíku, pokračujeme v příkladu z druhé přednášky. Vlnová funkce a její Fourerova transformace: 0 x = a 4 e x /a e k 0 x, a 4 k = exp[ a k k 0 / 4 ]. Standardní odchylky a k příslušející polovně maxm 0 x a k lze dostat porovnáním s tvarem normálního rozdělení n x = e x x 0. Tedy x= a, k= a z toho plyne a x k=. Jelkož p, x p=. To ukazuje že jestlže je vlnová funkce velm úzká v x-prostoru, tak je šroká v k-prostoru a naopak. Pro vlnovou funkc tvaru Gaussovy funkce nastává v Hesenbergově nerovnost rovnost. Pro vlnové funkce jných tvarů pak vždy platí nerovnost x p. k= Důsledky Hesenbergových prncpů neurčtost (FPF I, kap 37) Důležtý rozdíl mez klasckou a kvantovou mechankou. V expermentu, jakkol přesném nemožno předpovědět co se stane. Můžeme předpovídat jen pravděpodobnost. Nevíme jak odpovědět co se stane za daných okolností. Je to ústupek od dřívějšího deálu poznání přírody. Může to být krok zpět, ale nkdo nepřšel na to, jak to obejít. V současnost se musíme omezt na výpočet pravděpodobnost. Je slné podezření, že je to něco, co s nám zůstane navždy je nemožné rozluštt tuto záhadu přroda skutečně taková je. Tím že akceptujeme možnost pouze pravděpodobnostní odpověd, rezgnujeme na jeden z nejdůležtějších stavebních kamenů klascké fyzky: determnstckou povahu Newtonovy mechanky. Kvantová mechanka se zhroutí pokud by se podařlo změrt dvě nekompatblní velčny s lbovolnou přesností. Relace neurčtost totž vycházejí z algebrackých vlastností operátorů, které jsou pro kvantovku fundamentálním stavebním kamenem. Zatím s kvantová mechanka uchovává svou ohroženou, ale odůvodněnou exstenc. Tunelový jev Feynman: It s possble n quantum mechancs to sneak quckly across the regon whch s llegal energetcally. Tunelový jev je jeden z nejzvláštnějších a nejpřekvapvějších důsledků DeBroglovy hopotézy a Schrödngerovy rovnce. Kvantová částce může projít skrz energetckou baréru, přes kterou klascká částce nemůže, do oblast, která je pro klasckou částc zakázaná. Vz např. kvantová částce v potencálové jámě. Jsou vdět přesahy kam by klascká částce nemohla. Ve vlnové mechance exstuje zajímavá analoge k tunuelovému efektu. Vlny v nepřílš hluboké vodě nemohou postupovat přes mělkou oblast. Vlna se totálně odrazí. Ale, na mělčně se objevuje stojatá vlna, jejíž ampltuda rychle mzí směrem do mělké oblast exponencální pokles tzv. evanescentní vlna. Pokud je oblast mělčny dostatečně úzký, vlna se objevuje (s menší ampltudou) na opačné straně překážky. Vlna tedy překonala překážku. Velm podobná stuace nastává v optce, totální odraz světla na rozhraní dvou různě optcky 73

3 hustých prostředí, v prostředí kam vlna nemůže pronknout vznká evanescentní vlna. wkpeda: evanescent wave. Na obrázku je pouze dopadající vlna Ilustrační vdeo: Aplkace: Evanescent-wave couplng (vazba evanescentní vlnou): Vazba je realzována umístěním dvou elektromagnetckých komponent, např. vlnovodů blízko sebe, takže evanescentní vlna mez nm není přílš utlumená. Typcká aplkace je např. ve fotonckých zařízeních sloužících jako senzory na vlnovody, bezdrátové nabíjení malých zařízení, atp. Tento, dobře prozkoumaný, jev je podstatou tunelován v kvantové mechance. Matematcký je zcela shodný s tím rozdílem, že jednou se jedná o elektromagnetckou vlnu, a podruhé vlnu přřazenou kvantové částc. Prncp neurčtost pro čas a energ může být nterpretován tak že s částce může půjčt energ de, aby se dostala přes baréru. Pokud je baréra přílš vysoká, nebo přílš šroká, tunelování je extrémě nepravděpodobné a částce se odráží.(tnqu, p. 75) Aplkace tunelového jevu pro elektrony: Scanovací tunelovací mkroskope (STM) (Gerd Bnnng and Henrch Rohrer (IBM) Nobel Prze 986). Studum povrchů materálů. Vysoký elektrcký potencál je přveden na velm ostrý hrot tvaru jehly, která je přblížena ke studovanému materálu. To zmenší bareru pro elektrony, které tak mohou opustt materál a být jehlou odvedeny přes mezeru vakua. Velce malý tunelovací elektrcký proud, který protéká, je měřtelný. STM je extrémě přesná metoda, může zobrazovat struktury menší než je velkost atomu. Manpulace s jednotlvým atomy prostředníctvím hrotu. [IBM] STM vedla přímo k vyvoj technologe Atomc force mcroscopy (AFM) pro výzkum povrchů materálů. Další aplkace v množství moderních elektronckých zařízení, například tunelovací doda. Expermentální pozorování: alfa rozpad. Některé částce alfa z radoaktvního uranu mají malou energokolo 4MeV, ačkol je známo že baréra pro uran je okolo 30MeV? Potencálová jáma je způsobena nukleárním slam (drží jádro pohromadě, velm krátkodosahová nterakce, typcky působí na kratší vzdálenost než je velkost těžkých jader), odpuzování je elektrostatcké (chce 74

4 jádro rozbít, protože v něm jsou kladně nabté protony těsně vedle sebe, dalekodosahová nterakce). Tyto dva druhy sl spolu soupeří. Lehké prvky: jaderné síly jasně vítězí. Těžké elementy: mnohem delkátnější rovnováha mez slam. To je důvodem, proč stablní jádra s velkým množstvím protonů mají také velké množství neutronů, které přnášejí jadernou přtažlvost bez toho, že by zároveň způsobovaly odpuzování. Energetcká baréra je velm úzká (Fg. 5.6TNQU). Vysvětleno Gamowem 98: částce alfa v U38 (9 protonů, 46neutronů) tunelují skrz tuto baréru. Vývoj kvantové částce v čase Pokud znám vlnovou funkc v určtém čase, znám podle Schrödngerovy rovnce také její časový vývoj! = V x t m Uvědom s důvod: Schrödngerova rovnce je totž prvního řádu v čase. Souvslost: stav systému, tedy jeho budoucnost, je plně určen vlnovou funkcí. Pozor, potencál ve Schrödngerově rovnc zdaleka nemusí být tak pěkný jako jsme dosud předpokládal. Například pole atomových jader v pevné látce, ke každému z nch je přřazen příslušný Coulombův potencál. Potencál též může být časově závslý (atomy v mřížce vbrují). Řešení je komplkované. Spc. případ : Vývoj staconárního stavu dle vztahů (5), (53) (staconární stavy přísluší dskrétní část spektra operátoru energe). Mění se pouze fáze, hustota pravděpodobnost nalezení částce v určtém místě v prostoru zůstává stejná! Spc. případ : Vývoj volné kvantové částce. Vlnová 0 x, t=0 funkce lze vyjádřt jako ntegrál debroglových vln (vz kap. 3), jež každá má jnou frekvenc p x E t =0 0 x, t=0 = 0 k e k x dk= 0 p e d p. Výsledný časový vývoj vlnové funkce 0 x, t je dán složením časových vývojů p x E t debroglových vln 0 x, t = 0 p e d p = 0 p e p x e Et d p. V nedsperzním prostředí. Rychlost šíření vlny nezávsí na frekvenc. (například elmag. záření ve vakuu všechny frekvence se šíří rychlostí světla c ). Vlnový balík se pohybuje prostorem s nezměněným tvarem. V dsperzním prostředí. Rychlost šíření vlny závsí na frekvenc (např. elmag. záření v pevné látce průchod světla sklem atp.) Vlnový balík se rozplývá 75

5 Význam důsledků kvantové teore ve fyzce Mnoho fyzkálních jevů, které jsou technologcky velm důležté, nejsou popsatelné klasckou fyzkou (například): Vyzařovací spektrum černého tělesa Stabltu jednotlvých atomů Emsní spektra atomů Molekulární vazby Chemcké vlastnost (např. kovalentní vazba) Chemcké reakce Mnohé vlastnost pevných látek (např. průhlednost). Tepelná kapacta (vz. MIT, kap ) Supratekutost Supravodvost Feromagnetsmus Ve všech těchto oblastech slaví kvantová mechanka úspěch. S využtím kvantové teore jsou předpověd a výpočty (v deálním případě) prováděny pouze se znalostí toho, jaký materál chceme zkoumat, zcela bez nutnost dalších expermentálních vstupů pro určení parametrů teore. Ab-nto, frst prncples, bezparametrová teore. To je obrovský kvaltatvní rozdíl oprot fenomenologckým teorím: Kvantová mechanka má také své problémy: Kvantová mechanka např. není bezesporná. Dobré klíčové slovo pro další studum je Ensten, který kvantové teor nkdy nevěřl a svoje přpomínky dobře formuloval. Klascká mechanka sce na mkroskopcké úrovn selhává, ale nadále s zacovává svůj význam v makrosvětě. Jak rozhodnout, zda použít klasckou, nebo kvantovou fyzku? Porovnáním hodnot dynamckých proměnných s fyzkálním rozměrem J s s Planckovou konstantou h. Pokud jsou hodnoty tohoto fyzkálního rozměru mnohem větší než h, pak lze systém přesně popsat klasckou fyzkou. V opačném případě je kvantově-mechancký pops nevyhnutelný. Krterem může být také také nejstota, se kterou měříme polohu a hybnost objektů (MIT, kap. 3): p x h Klascká mechanka p x h Kvantová mechanka p x h Zakázáno kvantovou mechankou Očekáváme že kvantová teore obsahuje v lmtě také klasckou mechanku. To se stane pro h 0. Tento přechod se nazývá klascká lmta. Jná možnost jak defnovat klasckou lmtu je pomocí délky. Jelkož =h/ p (vz. debrogle), klascká oblast může být popsána lmtou 0. Tedy systém, jehož debroglovská vlnová délka je mnohem menší než jeho velkost, lze dobře popsat klasckou fyzkou. Porovnej souvslost mez makroskopckým a kvantovým harmonckým osclátorem. Klascká lmta, kdy kvantová mechanka přechází v klasckou mechanku, je popsána lm h 0 (4) lm 0 (5) Kvantová mechanka obsahuje klasckou mechanku jako lmtní případ. Jak se ale v klascká 76

6 lmtě zbavíme stochastckého charakteru kvantové mechanky? Kvantové fluktuace musí zmzet! Ale to se stane, protože Hesenbergovy relace neurčtost přejdou na relace určtost. Pokud h 0, x 0 a p 0. Díky tomu dostanu determnstcké předpověd klascké fyzky. Prncp lneární superpozce (QMCA.4.4) Např. nterference elektronů po průchodu dvěma štěrbnam. Lneární superpozce dvou fyzkálně přípustných stavů systému r,t, r, t je taktéž fyzkálně možný stav r,t = r, t r, t. To nám umožňuje studovat nterferenc kvantových částc. Fermho mez Fermho mez je termín používaný k označení nejvyšší energetcké hladny obsazené elektrony v pevné látce př teplotě absolutní nuly. Toto téma bude do detalu probráno ve kvantové teor pevných látek. Tak, jako klascká mechanka pojednává o základních aspektech Newtonovské fyzky, které pak mají mnoho důsledků rozebíraných ve specálních předmětech, tak kvantová mechanka popsuje základní vlastnost kvantových objektů, jejchž všem důsledky jsme se samozřejmě do detalů nezabýval. Některé z nch poznáte ve specalzovaných předmětech, jako např. kvantová teore pevných látek. 77