MECHANISMY SORPCE FOSFÁTŮ Z VODNÝCH ROZTOKŮ KALCINOVANOU FORMOU Mg-Al-CO 3 HYDROTALCITU. BRUNO KOSTURA a, DALIBOR MATÝSEK b a JURAJ LEŠKO a

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MECHANISMY SORPCE FOSFÁTŮ Z VODNÝCH ROZTOKŮ KALCINOVANOU FORMOU Mg-Al-CO 3 HYDROTALCITU. BRUNO KOSTURA a, DALIBOR MATÝSEK b a JURAJ LEŠKO a"

Transkript

1 MECHANISMY SORPCE FOSFÁTŮ Z VODNÝCH ROZTOKŮ KALCINOVANOU FORMOU Mg-Al-CO 3 HYDROTALCITU BRUNO KOSTURA, DALIBOR MATÝSEK b JURAJ LEŠKO Ktedr chemie, b Institut geologického inženýrství, VŠB TU Ostrv, 17. listopdu 15, Ostrv bruno.kostur@vsb.cz Došlo , přeprcováno , přijto Klíčová slov: hydrotlcit, klcince, rehydrtce, sorpce fosfátů Úvod Hydrotlcit - Mg 6 Al 2 (CO 3 )(OH) 16 4 H 2 O je poměrně vzácně se vyskytujícím minerálem s vrstevntou strukturou. Vedle přírodního hydrotlcitu existuje skupin minerálů syntetických sloučenin s nlogickým strukturním uspořádáním, jejichž složení lze vyjádřit obecným vzorcem [M II 1-xM III x(oh) 2 ] x+ [A n- x/n.yh 2 O] x-, kde M II = Mg, Zn, Fe, Ni, Co, Cu, M III = Al, Cr, Fe, Mn, G A - = CO 3 2-, OH -, NO 3 -, Cl -, přípdně dlší bzicky stbilní nionty. Hodnoty x = M III /(M II + M III ) leží obvykle v intervlu 0,25 ž 0,33, což odpovídá molárním poměrům M II /M III = 3 ž 2. Syntetické strukturní nlogy hydrotlcitu jsou oznčovány jko sloučeniny hydrotlcitového typu 1 (HT). Chrkteristickou vlstností HT je schopnost vyměňovt nionty vázné v mezivrství. V přípdě HT uhličitnového typu je ovšem tto výměn znčně potlčen vysokou finitou vůči iontům CO Jejich odstrnění tím výrzné zlepšení sorpčních schopností lze docílit klcincí HT 2. Stykem klcinovné formy hydrotlcitu (cht) s vodným roztokem niontů dochází nejenom k jejich odstrnění z roztoku, le rovněž k obnově vrstevnté struktury. Jev bývá oznčován jko strukturní pměťový efekt 3,4. V práci 5 byl studován sorpce fosfátů klcinovnými formmi Mg-Al, Zn-Al, Ni-Al, Co-Al, Mg-Fe, Zn-Fe, Ni-Fe Co-Fe hydrotlcitů. Jko nejlepší sorbent se ukázl form Mg-Al cht s molárním poměrem Mg:Al = 2,0. Výsledky sorpce fosfátů klcinovnými formmi HT podobného chemického složení se ovšem mnohdy znčně rozcházejí. Sorpční proces bývá chrkterizován kinetickými modely pseudoprvního 6 i pseudodruhého řádu 7. K ustvení sorpční rovnováhy dochází v širokém čsovém intervlu od cc 40 min (cit. 7,8 ) po více než 24 h (cit. 2 ) sorpční mechnismy jsou popisovány buď Freundlichovou 8, Lngmuirovou 7,9 nebo Lngmuir-Freundlichovou 6 isotermou. Cílem práce je přispět k lepšímu objsnění těchto sorpčních mechnismů. Experimentální část Chemikálie přístroje Výrobcem Mg-Al-CO 3 hydrotlcitu (HT-I) s obchodním názvem Hybot MA je v České republice firm ASTIN Ctlysts nd Chemicls. Srovnávcí vzorek hydrotlcitu (HT-II) byl připrven ve vsádkovém rektoru koprecipitční metodou 10 (N 2 CO 3, Mg(NO 3 ) 2, Al(NO 3 ) 3, molární poměr Mg:Al = 2, c(mg+al) = 1,0 mol dm -3 ). Výsledky chemických nlýz obou vzorků provedené metodou AAS shrnuje tb. I. Jejich klcincí podle práce 9 byly získány klcinční produkty cht-i cht-ii. RTG difrkční nlýzy rehydrtovných vzorků byly provedeny n difrktometru ID 3003 (Seifert Roentgen) z těchto podmínek: záření CoK /Ni filtr, použité npětí 40 kv proud 35 ma. Obshy fosforu v roztocích byly stnoveny fotometricky jko fosfomolybdenová modř. Dynmické sorpční experimenty Pro určení sturční kpcity cht stnovení dsorpčních isoterem byly připrveny podle práce 11 sdy suspenzí. Kždá suspenze obshovl 0,5 g vzorku 100 cm 3 roztoku fosfátu rozdílné koncentrce (200 ž 2000 mg fosfátu/dm 3 ). Suspenze byly třepány po dobu 120 h n horizontální třepčce rychlostí 180 kmitů min -1 při teplotě 20 C. Měření čsové závislosti sorpce fosfátů z roztoků o koncentrcích 400, mg fosfátu/dm 3 byl relizován stejně, pouze s jinými kontktními čsy. Suspenze byly poté zfiltrovány, ve výluzích byl stnoven zbytkový fosfor. Filtrční koláč byl vysušen n vzduchu nlyzován metodou RTG. Tbulk I Složení komerčního hydrotlcitu Hybot (HT-I) syntetického hydrotlcitu (HT-II) Vzorek Mg Al C 874 N K Molární poměr Mg/Al HT-I 17,80 9,02 0,034 0,100 0,004 2,19 HT-II 20,95 10,52 0,014 0,033 0,004 2,21 DSpce VŠB-TUO 20/01/2012

2 Výsledky diskuse Chrkteristik sorpční vlstnosti použitých vzorků hydrotlcitu Práce je změřen n rehydrtci klcinovné formy komerčního hydrotlcitu (cht-i) v přítomnosti fosfátů. Získné pozntky byly ověřeny n lbortorně připrveném vzorku stejného složení (cht-ii). Difrkční záznmy obou vzorků (obr. 1) jsou prkticky identické. Přítomné difrkční linie odpovídjí tbelovným hodnotám pro hydrotlcit. Bzální difrkční linie ( ) obou vzorků Obr. 2. Srovnání RTG záznmů komerčního hydrotlcitu (HT-I) jeho klcinovné formy (cht-i) po regenerci v H 2 O ve vodných roztocích fosfátů o různé koncentrci jsou ostré, nebzální linie jsou nedokonle vyvinuté vytvářejí neuniformně rozšířená difrkční pásm. V práci 12 je tento jev vysvětlen náhodnou rotcí vrstev ve směru osy c. Vysoké sturční kpcity (tb. II) ukzují, že ob vzorky jsou dobrými sorbenty fosfátů. Sorpční proces lze v obou přípdech chrkterizovt Lngmuirovou dsorpční isotermou, což je v dobré shodě npř. s prcemi 5,7. Vliv koncentrce fosfátů n rehydrtci hydrotlcitu Obr. 1. Srovnání difrkčních záznmů komerčního (HT-I) připrveného (HT-II) hydrotlcitu Vzorek cht-i byl rehydrtován ve vodě vodných roztocích fosfátů různé koncentrce (400 mg fosfátu/dm 3 roztok 1, 700 mg fosfátu/dm 3 roztok 2, 1000 mg fosfátu/ Tbulk II Shrnutí výsledků sorpce fosfátů n klcinovných vzorcích cht-i cht-ii Sorbent Lngmuir Freundlich L [dm 3 mg 1 ] Q 0 [mg g 1 ] R 2 K F b [dm 3 g 1 ] n b R 2 cht-i 0,229 89,30 0,989 40,782 6,60 0,887 cht-ii 0,368 84,75 0,997 33,390 5,18 0,848 Q 0 je Lngmuirovo dsorpční mximum, L je koeficient finity, b K F je Freundlichov konstnt, která je indikátorem dsorpční kpcity, n je konstnt 875 DSpce VŠB-TUO 20/01/2012

3 dm 3 roztok 3). Difrktogrmy získných produktů byly srovnány s RTG-záznmem vzorku HT-I (obr. 2). Původnímu HT-I se nejvíce blíží vzorek rehydrtovný ve vodě (cht-i-h 2 O). Podle práce 10 tento vzorek strukturně odpovídá hydroxidové formě HT Mg 4 Al 2 (OH) 12 (OH) 2 3 H 2 O (ICDD-PDF No ). Z obrázku je dále ptrné, že rostoucí koncentrce fosfátů negtivně ovlivňuje rehydrtci cht. Kinetik sorpce fosfátů Kinetická měření byl proveden se vzorkem cht-ii, získná dt pk nlyzován kinetickými modely pseudoprvního pseudodruhého řádu. Z obr. 3 je zřejmé, že v přípdě zředěného roztoku 1 se sorpční rovnováh ustvuje již po 2 hodinách, ztímco u koncentrovnějšího roztoku 2 ž po 24 hodinách. V přípdě roztoku 3 dochází k ustvení rovnováhy velmi pomlu v intervlu h. Pro všechny použité koncentrce vyhovuje kinetický model pseudodruhého řádu, což je v dobré relci s výsledky prcí 7,13. Intrprtikulární difuzní model Je-li rychlost sorpce řízen difuzními mechnismy, lze poměr množství látky dsorbovné v čse t (Q t, mmol g -1 ) množství látky dsorbovné v nekonečném čse (Q, mmol g -1 ) vyjádřit obecnou rovnicí: 2 hodin. Poté se ustvuje trvlá rovnováh. U obou koncentrovnějších roztoků lze přímky proložit dty z první 1,5 hodiny následně i dty v čsovém intervlu 1,5 ž 24 hodin. V počáteční fázi rekce se směrnice závislosti (Q t /Q E ) vs. t 1/2 mění v intervlu 0,023 ž 0,033. Z obr. 4 je zřejmé, že rozdíly směrnic jsou sice mlé, což ukzuje n Qt, mmol P g 1 t, h Obr. 3. Čsová závislost sorpce fosfátů z různě koncentrovných roztoků vzorkem cht-ii. c = 400 mg fosfátu/dm 3, c = 700 mg fosfátu/dm 3, c = 1000 mg fosfátu/dm 3 1/2 6 D Qt / Q t αt 2 π r 1/2 (1) Qt/QE kde r je poloměr částic D difuzní koeficient. Ten je pro zředěné roztoky konstntní. Závislost (Q t /Q ) vs. druhá odmocnin čsu je lineární. Práce 14 ukázl, že uvedený model vyhovuje jk situci, kdy je rychlost sorpce řízen difuzními procesy, tk i přípdu, kdy je rychlost sorpce určován chemickou rekcí. V prvém přípdě je koeficient konstntní, ztímco ve druhém závisí n koncentrci látky v roztoku. Pro prktické výpočty lze množství látky dsorbovné v nekonečném čse (Q ) nhrdit množstvím látky dsorbovném v rovnováze (Q E ). V přípdě roztoku 1 lze tento model plikovt n dt získná během prvních t 1/2, min 1/2 Obr. 4. Aplikce difuzního modelu n sorpci fosfátů vzorkem cht-ii. c = 400 mg fosfátu/dm 3, c = 700 mg fosfátu/dm 3, c = 1000 mg fosfátu/dm 3 Tbulk III Kinetické konstnty získné plikcí modelu pseudo-druhého řádu n dt čsové závislosti sorpce fosfátů vzorkem cht-ii Koncentrce [mg fosfátu/dm 3 ] Q E [mmol P/g] k [g/mmol h] ,054 0,435 0, ,478 1,838 0, ,842 10,206 0,999 Q E je množství fosforu dsorbovného v rovnováze, k je rovnovážná rychlostní konstnt dsorpce R DSpce VŠB-TUO 20/01/2012

4 stejný sorpční mechnismus, le nejsou znedbtelné. Hodnot koeficientu tedy není zcel nezávislá n koncentrci fosfátů v roztoku. V intervlu 1,5 ž 24 hodin došlo ke změnám sklonu přímek, hodnoty koeficientů klesly leží v intervlu 0,011 ž 0,014. Sorpce fosfátů probíhá ndále, ovšem jiným mechnismem. Podobné výsledky byly dosženy i pro komerční vzorek cht-i rehydrtovný v roztoku 3. Hodnot koeficientu činil po 1,5 hodině 0,030, v intervlu 1,5 ž 24 hodin klesl n 0,008. Tyto výsledky ukzují, že sorpce fosfátů formou cht probíhá ve dvou krocích, rychlém pomlém. Rychlost sorpce rychlého kroku je určován difuzními procesy. Pokud jsou po jeho skončení v roztoku ještě přítomny fosfáty, následuje pomlý krok rychlost sorpce je řízen chemickou rekcí. RTG-difrkční nlýz rehydrtčních produktů Výsledky RTG-difrkční nlýzy vzorků cht-i cht-ii po hodinové 90 hodinové rehydrtci v roztoku 3 shrnuje obr. 5. Je z něj zřejmé, že bzální difrkční linie ( ) vzorku cht-ii jsou po 1. hodině rehydrtce velmi dobře vyvinuty korespondují s tbulkovými hodnotmi. Po 90 hodinách již tyto linie dokonle vyvinuty nejsou, vrstevntá struktur se deformuje. U komerčního cht-i nejsou bzální difrkční linie (003) (006) dokonle vyvinuty ni během počáteční fáze rehydrtce. S rostoucím čsem se kvlit difrkčního záznmu dále zhoršuje po 90 hodinách rehydrtce vykzuje vrstevntá struktur znčnou defektnost. Ukzuje se, že rehydrtci cht v přítomnosti fosfátů ovlivňuje nejen kontktní dob, le rovněž počáteční kvlit regenerovné HT struktury. Difrkční záznm cht-i (90 h) obshuje dále jednu velmi slbou linii s mezivrstevní vzdáleností 0,523 nm, kterou nelze jednoznčně vyhodnotit. U obou vzorků po hodinové rehydrtci tto linie zjištěn nebyl, u vzorku cht-ii (90 h) je jen velmi málo zřetelná. Tto linie může náležet koprecipitovné fosfátové fázi kingitu Al 3 (PO 4 ) 2 (OH) 3 9 H 2 O. Výsledky ukzují, že při kontktu klcinčního produktu s roztokem obshujícím fosfáty dochází nejprve k rychlé rehydrtci směsného oxidu. Produktem tohoto děje je HT v hydroxidové formě. Součsně je uskutečňován povrchová sorpce fosfátů n pevné fázi. Pokud jsou v roztoku přítomny dlší fosfátové ionty, následuje pomlý krok, interklce fosfátů do mezivrství, přípdně i precipitce Al-fosfátů. Tyto procesy vedou k deformci vrstevnté struktury. Závěr Klcinovná form komerčního Mg-Al-CO 3 hydrotlcitu Hybot je velmi dobrým sorbentem fosfátů z vodných roztoků, sturční kpcit vzorku činí 89,3 mg P g -1. Při kontktu klcinčního produktu s roztokem fosfátů dochází nejprve k rychlé rehydrtci směsného oxidu. Jejím produktem je hydrotlcit v hydroxidové formě. Zároveň probíhá povrchová sorpce fosfátů. Následuje pomlý krok interklce fosfátových niontů do mezivrství, přípdně precipitce Al-fosfátů. Způsob retence fosfátů závisí n jejich počáteční koncentrci v roztoku, kvlitě regenerovné HT struktury době kontktu pevné fáze s roztokem. Uvedená práce byl relizován díky finnční podpoře Ministerstv školství, mládeže tělovýchovy ČR (výzkumný záměr MSM č ). LITERATURA Obr. 5. Srovnání RTG záznmů vzorků cht-i cht-ii po hodinové 90 hodinové rehydrtci v přítomnosti fosfátů (počáteční koncentrce c = 1000 mg fosfátu/dm 3 ) 1. Zikmund M., Hrnčirová K.: Chem. Listy 91, 169 (1997). 2. Prker L. M., Milestone N. B., Newmn R. H.: Ind. Eng. Chem. Res. 34, 1196 (1995). 3. Sto T., Fujit H., Endo T., Shimd M., Tsunshim A.: Rect. Solids 5, 219 (1988). 4. Stnimirov Ts., Kirov G., Dinolov E.: J. Mter. Sci. Lett. 20, 453 (2001). 5. Ds J., Ptr B. S., Blirsingh N., Prid K. M.: Appl. Cly Sci. 32, 252 (2006). 6. Lzridis N. K.: Wter Air Soil Poll. 146, 127 (2003). 7. Pelek E. N., Deliynni E. A.: Deslintion 245, 357 (2009). 8. Zhu Mo-xu, Li Yn-ping, Zhng Ling, Ji Hong-wei: Act Minerl. Sinic 25, 27 (2005). 877 DSpce VŠB-TUO 20/01/2012

5 9. Kovnd F., Kovácsová E., Koloušek D.: Collect. Czech. Chem. Commun. 64, 1517 (1999). 10. Kostur B., Kovnd F., Vlášková M., Leško J.: Collect. Czech. Chem. Commun. 72, 1284 (2007). 11. Kostur B., Kulveitová H., Leško J.: Wter Res. 39, 1795 (2005). 12. Thoms G. S., Rjmthi M., Kmth P. V.: Clys Cly Miner. 52, 693 (2004). 13. Xing Cheng, Xinrui Hung, Xingzu Wng, Dezhi Sun: J. Hzrd. Mter. 177, 516 (2010). 14. Nevski D. M., Sntines A., Muňoz V., Guerrero- Ruíz A.: Crbon 37, 1065 (1999). B. Kostur, D. Mtýsek b, nd J. Leško ( Deprtment of Chemistry, b Institute of Eologicl Engineering, University of Mining TU Ostrv): Mechnisms of Phosphte Sorption from Aqueous Solutions by Clcined Mg-Al-CO 3 Hydrotlcite The study dels with rehydrtion of clcined Mg-Al- CO 3 hydrotlcite (Mg/Al molr rtio 2:1) occuring in the presence of phosphte ions. The sorption process follows the Lngmuir isotherm nd my be chrcterized by pseudo-second-order kinetic model. The sorption cpcity of clcined hydrotlcite (89.3 mg P/g) is determined by vrious sorption mechnisms. Kinetic tests proved the existence of fst nd slow step. The fst step is chrcterized by rehydrtion of the mixed oxide leding to the formtion of hydroxide form of hydrotlcite ssocited with surfce sorption of phosphtes. This step proceeds within the first min nd its rte is determined by intrprticleulr diffusion. However, if n excess of phosphtes is present in solution, the slow step proceeds intercltion of phosphte ions into interlyer spce relized s the ion exchnge with OH nions. Precipittion of Al phosphtes my lso occur in the slow step. The slow-step processes hve negtive impct on the structure-memory effect of clcined hydrotlcite. 878 DSpce VŠB-TUO 20/01/2012

E ŘEŠENÍ KONTROLNÍHO TESTU ŠKOLNÍHO KOLA

E ŘEŠENÍ KONTROLNÍHO TESTU ŠKOLNÍHO KOLA Ústřední komise Chemické olympiády 49. ročník 2012/201 ŠKLNÍ KL ktegorie A ŘŠNÍ KNTRLNÍH TSTU ŠKLNÍH KLA Řešení kontrolního testu školního kol Ch kt. A 2012/201 KNTRLNÍ TST ŠKLNÍH KLA (60 BDŮ) ANRGANICKÁ

Více

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami: Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: cidobzické indikátory se chovjí buď jko slbé kyseliny nebo slbé báze disociují ve vodných roztocích omezeně. Kvntittivní mírou disocice je hodnot

Více

Oxidačně-redukční reakce (Redoxní reakce)

Oxidačně-redukční reakce (Redoxní reakce) Seminář z nlytické chemie idčně-redukční rekce (Redoxní rekce) RNDr. R. Čbl, Dr. Univerzit Krlov v Prze Přírodovědecká fkult Ktedr nlytické chemie Definice pojmů idce částice (tom, molekul, ion) ztrácí

Více

1 i= VLIV ZMĚN FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ FLUIDNÍCH VRSTEV NA CHARAKTERISTIKY TLAKOVÝCH FLUKTUACÍ. OTAKAR TRNKA a MILOSLAV HARTMAN. i M

1 i= VLIV ZMĚN FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ FLUIDNÍCH VRSTEV NA CHARAKTERISTIKY TLAKOVÝCH FLUKTUACÍ. OTAKAR TRNKA a MILOSLAV HARTMAN. i M Chem. Listy, 55 53 (7) VLIV ZMĚN FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ FLUIDNÍCH VRSTEV NA CHARAKTERISTIKY TLAKOVÝCH FLUKTUACÍ OTAKAR TRNKA MILOSLAV HARTMAN Ústv chemických procesů, AV ČR, Rozvojová 35, 65 Prh 6 trnk@icpf.cs.cz

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY

LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY USNADNĚNÉ HYDRODYNAMICKÉ DÁVKOVÁNÍ VZORKU DO SEPARAČNÍ KAPILÁRY V LABORATORNÍCH ELEKTROFORETICKÝCH APARATURÁCH TEREZA KADLECOVÁ, FRANTIŠEK OPEKAR PETR TŮMA b Univerzit Krlov

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

( a) Okolí bodu

( a) Okolí bodu 0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce

Více

6. Setrvačný kmitový člen 2. řádu

6. Setrvačný kmitový člen 2. řádu 6. Setrvčný kmitový člen. řádu Nejprve uvedeme dynmické vlstnosti kmitvého členu neboli setrvčného členu. řádu. Předstviteli těchto členů jsou obvody nebo technická zřízení, která obshují dvě energetické

Více

STATISTICKÝCH METOD PRO SLEDOVÁNÍ JAKOSTNÍHO PROFILU KOMERČNÍ PŠENICE. IVAN ŠVEC a, MARIE HRUŠKOVÁ a a ONDŘEJ JIRSA b. Experimentální část

STATISTICKÝCH METOD PRO SLEDOVÁNÍ JAKOSTNÍHO PROFILU KOMERČNÍ PŠENICE. IVAN ŠVEC a, MARIE HRUŠKOVÁ a a ONDŘEJ JIRSA b. Experimentální část VYUŽITÍ VÍCEROZMĚRNÝCH STATISTICKÝCH METOD PRO SLEDOVÁNÍ JAKOSTNÍHO PROFILU KOMERČNÍ PŠENICE IVAN ŠVEC, MARIE HRUŠKOVÁ ONDŘEJ JIRSA b Ústv chemie technologie schridů, Vysoká škol chemicko-technologická

Více

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ] - FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

SLEDOVÁNÍ VLIVU KONCENTRACE ALKOHOLŮ NA ODEZVU MĚŘENOU METODOU PLASMONOVÉ REZONANCE

SLEDOVÁNÍ VLIVU KONCENTRACE ALKOHOLŮ NA ODEZVU MĚŘENOU METODOU PLASMONOVÉ REZONANCE SLEDOVÁNÍ VLIVU KONCENTRACE ALKOHOLŮ NA ODEZVU MĚŘENOU METODOU PLASMONOVÉ REZONANCE MICHAL LESŇÁK, FRANTIŠEK STANĚK, JAROMÍR PIŠTORA MARIE STAŇKOVÁ b Institut fyziky, Hornicko-geologická fkult, VŠB Technická

Více

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Téma Přetvoření nosníků namáhaných ohybem

Téma Přetvoření nosníků namáhaných ohybem Pružnost plsticit,.ročník bklářského studi Tém Přetvoření nosníků nmáhných ohbem Zákldní vth předpokld řešení Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení etod přímé integrce diferenciální rovnice ohbové

Více

Stereochemie. Přednáška č. 3

Stereochemie. Přednáška č. 3 Stereochemie Přednášk č. 3 Nomenkltur sloučenin obshujících centrum chirlity jednoduchou osu symetrie Typ molekuly prvek symetrie bcd žádný bc σ bb 2 + σ b 3 +3σ 4 3 + 3 2 + 6σ Molekuly typu bb b b b b

Více

Pružnost a plasticita II

Pružnost a plasticita II Pružnost plsticit II. ročník klářského studi doc. In. Mrtin Krejs, Ph.D. Ktedr stvení mechnik Řešení nosných stěn pomocí Airho funkce npětí inverzní metod Stěnová rovnice ΔΔ(, ) Stěnová rovnice, nzývná

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

SYNTÉZA INTERMEDIÁLNÍCH FÁZÍ SYSTÉMU Ti-Al-Si METODOU REAKTIVNÍ SINTRACE

SYNTÉZA INTERMEDIÁLNÍCH FÁZÍ SYSTÉMU Ti-Al-Si METODOU REAKTIVNÍ SINTRACE SYNTÉZA INTERMEDIÁLNÍCH FÁZÍ SYSTÉMU Ti-Al-Si METODOU REAKTIVNÍ SINTRACE PAVEL NOVÁK, DALIBOR VOJTĚCH, JAN ŠERÁK, JIŘÍ KUBÁSEK, FILIP PRŮŠA, VÍTĚZSLAV KNOTEK, ALENA MICHALCOVÁ MICHAL NOVÁK Ústv kovových

Více

ZEMNÍ TLAKY. Princip určování: teorie mezní rovnováhy, rovinná úloha, předpoklad rovinných kluzných ploch

ZEMNÍ TLAKY. Princip určování: teorie mezní rovnováhy, rovinná úloha, předpoklad rovinných kluzných ploch Druhy!"tlk v klidu S r!"ktivní zemní tlk S!"psivní odpor S p ZEMNÍ TLAKY Obr.. Druhy zemních tlků ) tlk zeminy v klidu, b) ktivní zemní tlk, c) psivní zemní odpor, d) závislost velikosti zemního tlku od

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Stvení sttik 1.ročník klářského studi Nosné stvení konstrukce Výpočet rekcí Reálné ztížení nosných stveních konstrukcí Prut geometrický popis vnější vzy nehynost silové ztížení složky rekcí Ktedr stvení

Více

Ac - +H 2 O HAc + OH -, naopak roztok soli silné kyseliny a slabé zásady (např. chlorid amonný NH 4 Cl) vykazuje kyselou reakci K A

Ac - +H 2 O HAc + OH -, naopak roztok soli silné kyseliny a slabé zásady (např. chlorid amonný NH 4 Cl) vykazuje kyselou reakci K A YDROLÝZ SOLÍ ydrolýze podléhjí soli, jejihž ktion přísluší slbé bázi /nebo nion slbé kyselině. ydrolýz soli je reke soli s vodou z vzniku neutrálníh molekul příslušného slbého elektrolytu. Důsledkem hydrolýzy

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů FS

Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů FS STEJNOSĚRNÉ STROJE Určeno pro posluchče bklářských studijních progrmů FS 1. Úvod 2. Konstrukční uspořádání 3. Princip činnosti stejnosměrného stroje 4. Rozdělení stejnosměrných strojů 5. Provozní vlstnosti

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

RYCHLÉ ELEKTROFORETICKÉ STANOVENÍ MOČOVÉ KYSELINY V ALANTOICKÉ TEKUTINĚ S DÁVKOVÁNÍM Z KRÁTKÉHO KONCE KAPILÁRY. PETR TŮMA a EVA SAMCOVÁ.

RYCHLÉ ELEKTROFORETICKÉ STANOVENÍ MOČOVÉ KYSELINY V ALANTOICKÉ TEKUTINĚ S DÁVKOVÁNÍM Z KRÁTKÉHO KONCE KAPILÁRY. PETR TŮMA a EVA SAMCOVÁ. RYCHLÉ ELEKTROFORETICKÉ STANOVENÍ MOČOVÉ KYSELINY V ALANTOICKÉ TEKUTINĚ S DÁVKOVÁNÍM Z KRÁTKÉHO KONCE KAPILÁRY PETR TŮMA EVA SAMCOVÁ Ústv biochemie, molekulární buněčné biologie, 3. lékřská fkult, Univerzit

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Chemické veličiny, vztahy mezi nimi a chemické výpočty

Chemické veličiny, vztahy mezi nimi a chemické výpočty SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ PRO PROJEKT PŘÍRODNÍ VĚDY AKTIVNĚ A INTERAKTIVNĚ CZ.1.07/1.1.24/01.0040 Chemické veličiny, vztahy mezi nimi a chemické výpočty Mgr. Jana Žůrková, 2013, 20 stran Obsah 1. Veličiny

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

Úloha 3-15 Protisměrné reakce, relaxační kinetika... 5. Úloha 3-18 Protisměrné reakce, relaxační kinetika... 6

Úloha 3-15 Protisměrné reakce, relaxační kinetika... 5. Úloha 3-18 Protisměrné reakce, relaxační kinetika... 6 3. SIMULTÁNNÍ REAKCE Úloha 3-1 Protisměrné reakce oboustranně prvého řádu, výpočet přeměny... 2 Úloha 3-2 Protisměrné reakce oboustranně prvého řádu, výpočet času... 2 Úloha 3-3 Protisměrné reakce oboustranně

Více

Petr Šašek, Pavel Schmidt, Jiří Mann S 7 DLOUHODOBÝ MONITORING STAVEBNĚ REKULTIVAČNÍCH SMĚSÍ

Petr Šašek, Pavel Schmidt, Jiří Mann S 7 DLOUHODOBÝ MONITORING STAVEBNĚ REKULTIVAČNÍCH SMĚSÍ Petr Ššek, Pvel Schmidt, Jiří Mnn S 7 Výzkumný ústv pro hnědé uhlí.s., Budovtelů 2830, Most,ssek@vuhu.cz DLOUHODOBÝ MONITORING STAVEBNĚ REKULTIVAČNÍCH SMĚSÍ Abstrkt Cílem dlouhodobého monitoringu stvebně

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY

LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY LABRATRNÍ PŘÍSTRJE A PSTUPY KVANTITATIVNÍ 31 P NMR SPEKTR- SKPIE HUMINVÝCH KYSELIN FRANTIŠEK NVÁK, RICHARD HRABAL b, IVANA BARTŠVÁ b JIŘÍ KALČÍK Ústv půdní biologie AV ČR, N Sádkách 7, 370 05 České Budějovice,

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

kritérium Návaznost na další dokumenty Dokument naplňující standard

kritérium Návaznost na další dokumenty Dokument naplňující standard 1. CÍLE A ZPŮSOBY ČINNOSTI POVĚŘENÉ OSOBY Dokument obshuje zákldní prohlášení středisk Služby pro pěstouny, do kterého se řdí: poslání, cílová skupin, cíle zásdy, v souldu s kterými je služb poskytován.

Více

LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY

LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY Chem. Listy 93, 201-206 (1999) KATALYTICKÁ OXIDACE FENOLU PEROXIDEM VODÍKU MARTIN MALÝ a VRATISLAV TUKAČ Ústav organické technologie, Vysoká škola chemicko-technologická,

Více

(Text s významem pro EHP)

(Text s významem pro EHP) 9.9.2015 L 235/7 PROVÁDĚCÍ NAŘÍZENÍ KOMISE (EU) 2015/1502 ze dne 8. září 2015, kterým se stnoví minimální technické specifikce postupy pro úrovně záruky prostředků pro elektronickou identifikci podle čl.

Více

Komuniké. předsedy Nejvyššího kontrolního úřadu Slovenské republiky. prezidenta Účetního dvora Slovinské republiky

Komuniké. předsedy Nejvyššího kontrolního úřadu Slovenské republiky. prezidenta Účetního dvora Slovinské republiky Komuniké předsedy Nejvyššího kontrolního úřdu Slovenské republiky prezident Účetního dvor Slovinské republiky prezident Nejvyššího kontrolního úřdu, Česká republik prezident rkouského Účetního dvor o výsledcích

Více

Vzorová řešení čtvrté série úloh

Vzorová řešení čtvrté série úloh FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fkult Msrykovy univerzity v Brně KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 8. ročník 001/00 Vzorová řešení čtvrté série úloh (5 bodů) Vzorové řešení úlohy č. 1 (8 bodů) Volný pád Měsíce

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

Konstrukční uspořádání koleje

Konstrukční uspořádání koleje Konstrukční uspořádání koleje Otto Plášek, doc. Ing. Ph.. Ústv železničních konstrukcí stveb Tto prezentce byl vytvořen pro studijní účely studentů. ročníku mgisterského studi oboru Geodézie krtogrfie

Více

MODELOVÁNÍ MIGRAČNÍCH SCHOPNOSTÍ ŽELEZNÝCH NANOČÁSTIC A OVĚŘENÍ MODELU PŘI PILOTNÍ APLIKACI

MODELOVÁNÍ MIGRAČNÍCH SCHOPNOSTÍ ŽELEZNÝCH NANOČÁSTIC A OVĚŘENÍ MODELU PŘI PILOTNÍ APLIKACI Technická univerzita v Liberci MODELOVÁNÍ MIGRAČNÍCH SCHOPNOSTÍ ŽELEZNÝCH NANOČÁSTIC A OVĚŘENÍ MODELU PŘI PILOTNÍ APLIKACI J. Nosek, M. Černík, P. Kvapil Cíle Návrh a verifikace modelu migrace nanofe jednoduše

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

ODSTRAŇOVÁNÍ HERBICIDU ATRAZINU Z POVRCHOVÉ VODY. HANA KRÝSOVÁ a, JOSEF KRÝSA b, JANA HUBÁČKOVÁ c, JAN TŘÍSKA d a JAROMÍR JIRKOVSKÝ a

ODSTRAŇOVÁNÍ HERBICIDU ATRAZINU Z POVRCHOVÉ VODY. HANA KRÝSOVÁ a, JOSEF KRÝSA b, JANA HUBÁČKOVÁ c, JAN TŘÍSKA d a JAROMÍR JIRKOVSKÝ a ODSTRAŇOVÁÍ HERBICIDU ATRAZIU Z POVRCHOVÉ VODY HAA KRÝSOVÁ, JOSEF KRÝSA b, JAA HUBÁČKOVÁ c, JA TŘÍSKA d JAROMÍR JIRKOVSKÝ Ústv fyzikální chemie J. Heyrovského AV ČR, Dolejškov 3, 182 23 Prh 8, b Vysoká

Více

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita Stbilit tomového jádr Rdioktivit Proton Kldný náboj.67 0-7 kg Stbilní Atomové jádro Protony & Neutrony Neutron Bez náboje.67 0-7 kg Dlouhodobě stbilní jen v jádře Struktur jádr A Z N A nukleonové číslo

Více

Křivkový integrál funkce

Křivkový integrál funkce Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1 9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump

Více

5 Podpěry přivařovací

5 Podpěry přivařovací 5.1 Přivřovcí podpěry jsou určeny pro typy vzeb: kluzné podpěry (SS), podpěry s vedením (GS, SS), osové zrážky (S) nebo pevné body (FP). Mohou být použity smosttně nebo v kombinci s kluznými deskmi podložnými

Více

Vzdělávací oblast: Člověk a příroda. Vyučovací předmět: Chemie. Třída: tercie. Očekávané výstupy. Poznámky. Přesahy. Žák: Průřezová témata

Vzdělávací oblast: Člověk a příroda. Vyučovací předmět: Chemie. Třída: tercie. Očekávané výstupy. Poznámky. Přesahy. Žák: Průřezová témata Vzdělávací oblast: Člověk a příroda Vyučovací předmět: Chemie Třída: tercie Očekávané výstupy Uvede příklady chemického děje a čím se zabývá chemie Rozliší tělesa a látky Rozpozná na příkladech fyzikální

Více

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla Dobývání znlostí z dtbází (MI-KDD) Přednášk číslo 4 Asociční prvidl (c) prof. RNDr. Jn Ruch, CSc. KIZI, Fkult informtiky sttistiky VŠE zimní semestr 2011/2012 Evropský sociální fond Prh & EU: Investujeme

Více

Využití biocharu a jeho modifikací k odstraňování kovů a metaloidů z vody

Využití biocharu a jeho modifikací k odstraňování kovů a metaloidů z vody Využití biocharu a jeho modifikací k odstraňování kovů a metaloidů z vody Lukáš TRAKAL trakal@fzp.czu.cz 1 Biochar jako sorbent Tan et al. (2015) Hnojivo Biomasa Biochar Sorpce Biopaliva + E Pyrolyzovaný

Více

Energie v chemických reakcích

Energie v chemických reakcích Energie v chemických reakcích Energetická bilance reakce CH 4 + Cl 2 = CH 3 Cl + HCl rozštěpení vazeb vznik nových vazeb V chemických reakcích dochází ke změně vazeb mezi atomy. Vazebná energie uvolnění

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

LectureIII. April 17, P = P (ρ) = P (ε)

LectureIII. April 17, P = P (ρ) = P (ε) LectureIII April 17, 2016 1 Modely vesmíru I. 1.1 Stvová rovnice Víme již, že k řešení Friedmnnových rovnic je nám zpotřebí znlost stvové rovnice pro příslušnou komponentu, příspívjící k hustotě energie

Více

Kapitoly z fyzikální chemie KFC/KFCH. I. Základní pojmy FCH a kinetická teorie plynů

Kapitoly z fyzikální chemie KFC/KFCH. I. Základní pojmy FCH a kinetická teorie plynů Kapitoly z fyzikální chemie KFC/KFCH I. Základní pojmy FCH a kinetická teorie plynů RNDr. Karel Berka, Ph.D. Univerzita Palackého v Olomouci Zkouška a doporučená literatura Ústní kolokvium Doporučená literatura

Více

STEJNOSMĚRNÉ STROJE. Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů. 1. Úvod

STEJNOSMĚRNÉ STROJE. Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů. 1. Úvod 1. Úvod Stejnosměrné stroje jsou historicky nejstršími elektrickými stroji nejprve se používly jko generátory pro výrobu stejnosměrného proudu. V řdě technických plikcí byly tyto V součsné době se stejnosměrné

Více

Aplikace nano-sorbentů pro stabilizaci Pb a Zn v kontaminované půdě

Aplikace nano-sorbentů pro stabilizaci Pb a Zn v kontaminované půdě Aplikace nano-sorbentů pro stabilizaci Pb a Zn v kontaminované půdě Martina Vítková, Z. Michálková, L. Trakal, M. Komárek Katedra geoenvironmentálních věd, Fakulta životního prostředí, Česká zemědělská

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Stanovení disociační konstanty slabé jednosytné kyseliny ve vodě z měření koncentrační závislosti měrné elektrické vodivosti roztoku

Stanovení disociační konstanty slabé jednosytné kyseliny ve vodě z měření koncentrační závislosti měrné elektrické vodivosti roztoku Stnovení disoiční konstnty slbé jednosytné kyseliny ve vodě z měření konentrční závislosti měrné elektriké vodivosti roztoku Teorie Elektriká vodivost V elektriky vodivé homogenní láte, která obshuje nositele

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Kovy - model volných elektronů

Kovy - model volných elektronů Kovy - model volných elektronů Kovová vazba 1. Preferuje ji většina prvků vyskytujících se v přírodě. Kov je tvořen kladně nabitými ionty (s konfigurací vzácného plynu) a relativně velmi volnými elektrony.

Více

LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY

LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY LABORATORNÍ PŘÍSTROJE A POSTUPY VYUŽITÍ BIOPOLYMERU CHITOSANU PŘI ÚPRAVĚ VODY KOAGULACÍ JANA LESKOVJANOVÁ PETR DOLEJŠ,b Vysoké učení technické v Brně, Fkult chemická, Ústv chemie technologie ochrny životního

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.

Více

Pístový efekt výtahů ve stavebních objektech

Pístový efekt výtahů ve stavebních objektech Pístový efekt výthů ve stvebních objektech Ing. Jiří Pokorný, Ph.D. Hsičský záchrnný sbor Morvskoslezského krje úzení odbor Opv Těšínská 39, 746 01 Opv e-il: jiripokorny@ujil.cz Klíčová slov Pístový efekt,

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

http://www.fch.ft.utb.cz/ps_lab_grafika.php

http://www.fch.ft.utb.cz/ps_lab_grafika.php Grafické zpracování závislostí laboratorní cvičení z FCH II Než začnete zpracovávat grafy, prostudujte si níže uvedený odkaz, na kterém jsou obecné zásady vyhodnocení experimentálně zjištěných a vypočtených

Více

GENEROVÁNÍ VÍCEKANÁLOVÉHO DITHERU

GENEROVÁNÍ VÍCEKANÁLOVÉHO DITHERU GEEROVÁÍ VÍCEKÁLOVÉHO DITHERU Z. ureš, F. Kdlec ČVUT v Prze, Fkult elektrotechnická, ktedr rdioelektroniky bstrkt Při kvntizci zvukových signálů dochází ke vzniku chybového signálu, který ovlivňuje kvlitu

Více

Memorandum o spolupráci (dále jen Memorandum )

Memorandum o spolupráci (dále jen Memorandum ) enteri.s. se sídlem: Jiráskov 169, Zelené Předměstí, 530 02 Prdubice IČO: 275 37 790 zpsná v obchodním rejstříku vedeném Krjským soudem v Hrdci Králové v oddíle B, vložce 2770 zstoupená: [BUDE DOPLNĚNO]

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

PŘÍČNÉ PŘEMÍSTĚNÍ VOZIDEL PŘI ANALÝZE SILNIČNÍ NEHODY

PŘÍČNÉ PŘEMÍSTĚNÍ VOZIDEL PŘI ANALÝZE SILNIČNÍ NEHODY Ing. Albert Brdáč PŘÍČNÉ PŘEMÍSTĚNÍ VOZIDEL PŘI ANALÝZE SILNIČNÍ NEHODY V příspěvku jsou prezentován výsledk disertční práce utor, zbývjící se nlýzou součsného stvu možností výpočtu čsu potřebného n příčné

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

Teorie transportu plynů a par polymerními membránami. Doc. Ing. Milan Šípek, CSc. Ústav fyzikální chemie VŠCHT Praha

Teorie transportu plynů a par polymerními membránami. Doc. Ing. Milan Šípek, CSc. Ústav fyzikální chemie VŠCHT Praha Teorie transportu plynů a par polymerními membránami Doc. Ing. Milan Šípek, CSc. Ústav fyzikální chemie VŠCHT Praha Úvod Teorie transportu Difuze v polymerních membránách Propustnost polymerních membrán

Více

třecí síla (tečná vazba podložky) F normálová reakce podložky výsledná reakce podložky Podmínky rovnováhy:

třecí síla (tečná vazba podložky) F normálová reakce podložky výsledná reakce podložky Podmínky rovnováhy: SPŠ VOŠ KLADO SAIKA - PASIVÍ ODPORY PASIVÍ ODPORY Při vzájemném pohybu těles vznikjí v reálných vzbách psivní odpory, jejichž práce se mění v teplo. Psivní odpory předstvují ztráty, které snižují účinnost

Více

SÍRA PŘI ZPLYŇOVÁNÍ UHLÍ

SÍRA PŘI ZPLYŇOVÁNÍ UHLÍ SÍRA PŘI ZPLYŇOVÁNÍ UHLÍ MILOSLAV HARTMAN, KAREL SVOBODA, OTAKAR TRNKA VÁCLAV VESELÝ Ustv chemických procesů, Akdemie věd České republiky, Rozvojová 135, 165 02 Prh 6-Suchdol Došlo dne 22.VII.1998 Klíčová

Více

LuBRA: Praktika ze základ STATISTIKY

LuBRA: Praktika ze základ STATISTIKY Výsledky p íkld kpitoly 6. Chrkteristické rysy sttistických soubor, míry polohy vribility 55. 0, ~ 19, ~ 15, ~ ˆ 5 75 56. ~ 507, 5 ; což znmená 57. íkld ˆ ~ 4.13 9 34 4.14 76 58 4.15 není definován 356

Více

Lineární nerovnice a jejich soustavy

Lineární nerovnice a jejich soustavy teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace Jiří Petržel zpětná vzb, stbilit oscilce zpětná vzb, stbilit oscilce zpětnou vzbou (ZV) přivádíme záměrněčást výstupního signálu zpět n vstup ZV zásdně ovlivňuje prkticky všechny vlstnosti dného zpojení

Více

VYUŽITÍ CITLIVOSTNÍ ANALÝZY V ELEKTROTECHNICE A ŘÍDÍCÍ TECHNICE - II

VYUŽITÍ CITLIVOSTNÍ ANALÝZY V ELEKTROTECHNICE A ŘÍDÍCÍ TECHNICE - II 8 Informčné utomtizčné technológie v ridení kvlity produkcie Vernár,.-4. 9. 5 VYUŽIÍ CILIVONÍ ANALÝZY V ELEKROECHNICE A ŘÍDÍCÍ ECHNICE - II KÜNZEL Gunnr Abstrkt Příspěvek nvzuje n předchozí utorův článek

Více