STATISTIKA A PRAVD PODOBNOST - P EHLED VZORC A POZNATK. Doc. RNDr. Zden k Karpíšek, CSc. RNDr. Pavel Popela, Ph.D. Ing. Josef Bedná, Ph.D.

Transkript

1 Vysoké ueí techické v Br Fakulta stroího ižeýrství Ústav matematiky Doc. RNDr. Zdek Karpíšek, CSc. RNDr. Pavel Popela, Ph.D. Ig. Josef Bedá, Ph.D. STATISTIKA A PRAVDPODOBNOST - PEHLED VZORC A POZNATK uebí a metodická pomcka

2 Zdek Karpíšek, Pavel Popela, Josef Bedá 006

3 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk OBSAH PEDMLUVA (4) POPISNÁ STATISTIKA (5) PRAVDPODOBNOST A JEJÍ VLASTNOSTI (10) NÁHODNÁ VELIINA A JEJÍ CHARAKTERISTIKY (13) NÁHODNÝ VEKTOR A JEHO CHARAKTERISTIKY (17) ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI PRO APLIKACE (0) NÁHODNÝ VÝBR (3) ODHADY PARAMETR (6) TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ (9) REGRESNÍ ANALÝZA (34) 10. STATISTIKA V MS EXCELU (38) DODATEK - Základí pomy z kombiatoriky (49) STATISTICKÉ TABULKY (51) LITERATURA (59) 3

4 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk PEDMLUVA Teto text e ure ako uebí a metodická pomcka pro pedmty Matematika IV (4M) a Statistický software (0SS) v bakaláském studiím programu a pedmt Matematika III-B (CM) v profesím bakaláském studiím programu ve druhém roíku a Fakult stroího ižeýrství Vysokého ueí techického v Br. Využívá pozatky získaé studety v 1. roíku studia a rozšiue e tak, aby studeti mohli v samostatém studiu používat stochastické pístupy pro modelováí reálých ev a proces ve stroíreských oborech. Pedložeý text e zúžeou pehledovou elektroickou verzí pvod tiskem vydaé studií opory pro kombiovaé bakaláské studium: Karpíšek, Z. Popela, P. Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost. Uebí pomcka - studií opora pro kombiovaé studium. Bro : FSI VUT v CERM, Bro 00. Doplue a metodicky rozšiue základí studií materiál, kterým sou skripta: Karpíšek, Z. Matematika IV Statistika a pravdpodobost. Uebí text. FSI VUT v CERM Bro, Bro 00 (prví vydáí), FSI VUT v CERM Bro, Bro 003 (druhé doplé vydáí). V odkazech dále v textu e pro používáa zkratka MIV-SP. Kapitoly 1 až 9 obsahuí pehledy základích pom, vzorc a vztah, základích pozatk, sezamy kotrolích otázek a obsahy zadáí typických úloh. Závreé oddíly maí iý charakter: kapitola 10 doplue pedcházeící text podrobým výkladem programové podpory statistických metod pomocí ástro tabulkového procesoru MS Excel, pro mauálí výpoetí využití textu sou urey kapitoly Dodatek základí pomy z kombiatoriky a Statistické tabulky. Další pozatky mže uživatel erpat z dostupé literatury uvedeé v pehledu a závr textu. Autoi se sažili promítout do textu své dlouholeté zkušeosti z výuky pedmt se stochastickým zameím a také zahrout pozatky z aplikací a poteb statistických metod ak ve výzkumu, tak i v praxi. V tomto smyslu souvisí text s ešeím proektu MŠMT eské republiky ís. 1M06047 Cetrum pro akost a spolehlivost výroby CQR. Bro, dube 006 Autoi Upozorí: Užití a šíeí této elektroické verze uebího textu podléhá v plém rozsahu zákou eské republiky (autorskému zákou) 11/000 Sb. ze de 7. duba 000 a eho šíeí e možé pouze po souhlasu autor. 4

5 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 1. POPISNÁ STATISTIKA 1.1 Pehled základích pom a vztah Neroztídý statistický soubor: x 1,..., x, rozsah. Uspoádaý statistický soubor: x(1),..., x ( ), kde x x i i+1 pro všechy idexy i. Variaí obor: x( 1) ; x( ). * * Roztídý statistický soubor: x,f, x e sted -té tídy ( x * * x + 1 ), f f absolutí etost -té tídy, = 1,...,m, m f. 1 Relativí etost:, 1,..., (uvádí se též v %). Poet tíd: m 13,3log pro symetrický soubor, až pro esymetrický soubor. x( ) x(1) Délka tídy: h. m Kumulativí absolutí etost: F F fk, F 1 F f 1 k 1, 1,..., m 1, F f, Kumulativí relativí etost:,, 1,..., m (uvádí se též v %). etostí tabulka pro absolutí etosti: Aritmetický prmr: x x 1... x m f f... f 1 m 1 1 Fm. x 1 xi i 1 pro eroztídý soubor, 1 m fx 1 x pro roztídý soubor. Vlastosti aritmetického prmru: a) y axb y ax b pro reálé kostaty a, b, b) x y x y, c) x(1) x x( ), d) x má tetýž rozmr ako zak X. Mediá pro eroztídý statistický soubor: x pro lichá, 1 x 1 x x pro sudá. 1 5

6 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk Vlastosti mediáu: a) y axb y ax b pro reálé kostaty a, b, b) x(1) x x( ), c) x má tetýž rozmr ako zak X. Modus: íslo ˆx, v ehož okolí e evíce hodot x i, resp. sted etostí f. x * tídy s evtší absolutí Rozptyl (disperze, variace): 1 1 s xi x x i1 i x i1 pro eroztídý soubor, m m 1 1 s f x x f x x 1 1 pro roztídý soubor. Vlastosti rozptylu: a) s 0, b) y axb s y a s x pro reálé kostaty a, b, c) s 0 x1 x, resp. x 1 x m, d) s má rozmr rový kvadrátu rozmru zaku X. Smrodatá odchylka: s s. Vlastosti smrodaté odchylky: a) s 0, b) y axb s( y) a s( x) pro reálé kostaty a, b, c) s 0 x1 x, resp. x 1 xm d) s má tetýž rozmr ako zak X. Variaí koeficiet: s v. x Vlastosti variaího koeficietu: a) a vax ( ) vx ( ) pro reálou kostatu a 0, a b) v e bezrozmré íslo. Rozptí: x( ) x(1). Koeficiet šikmosti (koeficiet asymetrie) A A 1 i1 i 3 s 1 m 1 3 x x 3 3 f x x s pro eroztídý soubor, pro roztídý soubor. 6

7 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk Vlastosti koeficietu šikmosti: a) A 0 hodoty x i sou kocetrováy pod x, b) A 0 hodoty xi sou rozložey soumr vzhledem k x, c) A 0 hodoty x i sou kocetrováy ad x, d) a y axb A( y) A( x) pro reálé kostaty a, b, a 0, a e) A e bezrozmré íslo. Neroztídý statistický soubor: ( x1, y1),...,( x, y ), rozsah. Roztídý dvourozmrý statistický soubor: stedy x, yk, absolutí etosti f k, f k relativí etosti (uvádí se též v %), kumulativí etosti k, 1,..., m a k 1,..., m (uvádí se též v %). etostí tabulka: F 1 y k x 1 y y... m f x x 1 11 f... 1 m f f x x m m f... m1 m f f xm 1 f yk y 1 f... f ym Margiálí (okraové) etosti: f x m f, f m1 k yk k 1 1 m1 m m1 m f f f. x yk k 1 k1 1 k1 f (píp. v relativím ebo procetuálím tvaru), k Koeficiet korelace (korelaí koeficiet): 1 1 xi xyi y xiyi xy i1 i1 r pro eroztídý soubor, sxsy ( ) ( ) sxsy ( ) ( ) r m m m m k1 1 k1 sxsy ( ) ( ) sxsy ( ) ( ) 1 1 f k x xyk y f k x yk xy piemž itatelé ve všech zlomcích vyaduí tzv. kovariaci cov. pro roztídý soubor, 7

8 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk Vlastosti koeficietu korelace: a) ac u axb, v cyd r( u, v) r( x, y) pro reálé kostaty a, b, c, d, ac a 0, c 0, b) r( y, x) r( x, y), c) 1 r 1, d) r 1 y axb, a 0, e) r e bezrozmré íslo. 1. Základí pozatky Sezam (zavete základí pomy, uvete požadovaé pozatky): Zavete, pípad obaste, ásleduící základí pomy a pozatky popisé statistiky (Nápovda: Využite skripta MIV-SP str. 8 15): a) Základí soubor (populace) a eho prvky (ositelé zak): statistické edotky. b) Sledovaé statistické zaky a eich hodoty (úrov zaku). c) Jedorozmré, dvourozmré, vícerozmré statistické zaky. d) Kvatitativí (diskrétí a spoité) a kvalitativí (ordiálí a omiálí) statistické zaky. e) Výbr, eho rozsah (malý a velký), reprezetativost a homogeita. f) Výbr s opakováím a bez opakováí. g) Výbr zámrý (typické edotky), oblastí, systematický a áhodý. h) Statistický soubor (získaý výbrem), zaeí ( x 1,..., x ), rozsah souboru. i) Jedorozmré, dvourozmré a vícerozmré statistické soubory. Tabulkový zápis vícerozmrého statistického souboru (ádky statistické edotky, sloupce statistické zaky). Poet ádk (rozsah souboru) a poet sloupc (rozmr souboru) k. ) Uspoádaý statistický soubor ( x( 1),..., x( ) ), variaí obor x( 1) ; x( ), rozptí x( ) x(1). k) Neroztídý a roztídý statistický soubor. l) Tídy, délka tídy h a poet tíd m. Volba potu tíd podle m 1 3,3 log, pípad m až. * m) Stedy tíd x, absolutí etosti f, relativí etosti tabulka. f, 1,...,m, etostí ) Kumulativí absolutí etost F, kumulativí relativí etost o) íselé charakteristiky polohy, promlivosti a soumrosti. Zeméa: aritmetický prmr, mediá, modus, rozptyl, smrodatá odchylka a variaí koeficiet. p) Grafická zázorí: krabicový graf pro edorozmrý statistický soubor a rozptylový graf pro dvourozmrý statistický soubor. Histogramy. q) etostí tabulka pro dvourozmrý statistický soubor. Margiálí etosti. r) Kovariace cov. Korelaí koeficiet r pro eroztídý a roztídý dvourozmrý statistický soubor. F. 8

9 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 1.3 Kotrolí otázky 1. Popište typy statistických zak a uvete kokrétí píklady.. Co e výbr, aké má vlastosti a ak e provádíme? 3. Defiute statistický soubor a uvete, ak souvisí se základím souborem. 4. Popište roztídí edorozmrého statistického souboru s kvatitativím zakem. 5. Uvete charakteristiky polohy edorozmrého statistického souboru s kvatitativím zakem, eich vlastosti a výzam. 6. Uvete charakteristiky variability a soumrosti edorozmrého statistického souboru s kvatitativím zakem, eich vlastosti a výzam. 7. Popište grafická zázorí edorozmrého statistického souboru s kvatitativím zakem. 8. Popište roztídí dvourozmrého statistického souboru s kvatitativími zaky a eho grafická zázorí. 9. Uvete íselé charakteristiky dvourozmrého statistického souboru s kvatitativími zaky. 10. Jaké vlastosti a výzam má koeficiet korelace? 11. Popište zpracováí a grafická zázorí statistických soubor s kvalitativími zaky. 1.4 Typické úlohy Zadáí (vysvtlete základí pomy a píkladech): Základí pomy uvedeé v odstavci z 1. vysvtlete a vlastích píkladech. Nápovda: Ispirute se píklady z MIV-SP, použite bž dostupé údae (výška studet ve studií skupi a.). Zadáí (zpracute eroztídý edorozmrý soubor): Zpracute zadaý eroztídý edorozmrý statistický soubor. Vypotte všechy íselé charakteristiky uvedeé v odstavci 1. bod o). Zadáí (zpracute roztídý edorozmrý soubor): Zpracute zadaý roztídý edorozmrý statistický soubor (pípad eroztídý soubor eprve roztídit). Vypotte všechy íselé charakteristiky uvedeé v odstavci 1. bod o). Zadáí (zpracute eroztídý dvourozmrý soubor): Zpracute zadaý eroztídý dvourozmrý statistický soubor. Vypotte všechy íselé charakteristiky uvedeé v odstavci 1. body o) a r). Zadáí (zpracute roztídý dvourozmrý soubor): Zpracute zadaý roztídý dvourozmrý statistický soubor. Vypotte všechy íselé charakteristiky uvedeé v odstavci 1. body o) a r). Využite etostí tabulku podle odstavce 1. bod q). 9

10 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk. PRAVDPODOBNOST A JEJÍ VLASTNOSTI.1 Pehled základích pom a vztah N( A) Relativí etost (astoupeí áhodého evu A): N. Pravdpodobost P(A), kde A e z evového pole a základím prostoru : 1. P(A) 0 pro všechy áhodé evy A.. P() = Pro každou posloupost disuktích áhodých ev A i, i = 1,,, e P Ai PAi. i1 i1 Základí vlastosti pravdpodobosti: PA ( ) 1 P A; P( ) 0; 0 P(A) 1; a) b) A B P(A) P(B); P(B A) = P(B) P(A); P A... A 1 P( A... A ) c) PAi PAi A... 1 PA1... A, ; i1 i, 1 i speciál pro = e 1 ( ) P AB P AB P A P B P AB. d) Pro koeý ebo spoetý základí prostor P A P. A e) Pro koeý základí prostor s ste pravdpodobými elemetárími evy a áhodý ev A sestávaící z m elemetárích ev m PA ( ). PA ( B) Podmíá pravdpodobost: PAB ( ) pro P(B) 0. PB ( ) Vlastosti podmíé pravdpodobosti: a) PA1 A PA1PA A1PA A1 A 1, speciál pro = e PAB PAPB A PBPA B. b) Pro áhodý ev A B, resp. i1 i i1 i = 1,,, e tzv. úplá pravdpodobost PA ( ) PB ( i) PAB ( i) a pro P(A) 0 Bayesv vzorec Nezávislé áhodé evy: PB ( A) i1 B i1 i, kde B i sou disuktí áhodé evy, PB ( ) PA ( B ), = 1,,. PB ( ) PA ( B) a) A, B sou ezávislé, práv když PA B PAPB i i. 10

11 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk b) Jestliže A 1,, A sou vzáem ezávislé, pak: P A A P A P A, 1 1 PA A 11PA 1PA 1 1, kde áhodé evy B 1,, B sou vzáem ezávislé pro libovolé variaty B A, A,.. Základí pozatky i i i Sezam (zavete základí pomy, uvete požadovaé pozatky): Zavete, pípad obaste, ásleduící základí pomy a pozatky teorie pravdpodobosti a podmíé pravdpodobosti (Nápovda: Využite skripta MIV-SP str ): a) Náhodý pokus. Hromadost, stabilita, rozpozatelost. b) Základí prostor: možia možých výsledk áhodého pokusu. c) Urováí potu všech výsledk áhodého pokusu pomocí kombiatorických vzorc. d) Náhodý ev A ako podmožia základího prostoru. Jev istý a ev emožý. Elemetárí áhodé evy. Jev ako matematický model tvrzeí o výsledcích áhodého pokusu. e) Poet prvk (pízivých výsledk) áhodého evu pomocí kombiatorických vzorc. f) Vztahy mezi evy. Následost ev pomocí možiové ikluze, rovost áhodých ev. g) Operace s áhodými evy (opaý ev, prik ev, sedoceí ev, rozdíl ev) a eich souvislost s logickými spokami (egace, a, ebo). h) Disuktí (esluitelé) evy. i) Opakováí vlastosti možiových operací a eich využití pro operace s áhodými evy. Veovy diagramy pro vysvtleí. ) Možia uvažovaých ev modelovaá pomocí evového pole. k) Statistické zavedeí pomu pravdpodobost. Souvislost s relativími etostmi. l) Axiomatické zavedeí pomu pravdpodobost. m) Formálí model áhodého pokusu: pravdpodobostí prostor (,, P). ) Možosti ureí pravdpodobostí elemetárích ev (úvahy o symetrii, statistické zišováí, staovisko expert). m o) Klasická pravdpodobost, výpotový vzorec P( A) a podmíka eho použití (ste pravdpodobé elemetárí evy). p) Využití základích vlastostí pravdpodobosti: výpoet pravdpodobosti opaého evu, výpoet pravdpodobosti sedoceí disuktích (esluitelých) ev, výpoet pravdpodobosti obecého sedoceí ev. q) Výpoty pravdpodobosti pro áhodé výbry: 1) s vraceím a záleží a poadí, ) bez vraceí a záleží a poadí, 3) s vraceím a ezáleží a poadí, 4) bez vraceí a ezáleží a poadí. Využití potebých kombiatorických vzorc. P( A B) r) Zavedeí podmíé pravdpodobosti a vzorec P( A B). P( B) s) Výpoet pravdpodobosti priku dvou áhodých ev P( A B) P( B) P( A B) a zobecí pro více áhodých ev. t) Vzorec úplé pravdpodobosti a eho použití. u) Bayesv vzorec a eho použití. v) Stochastická ezávislost áhodých ev P( A B) P( A) P( B) a P( A B) P( A). 11

12 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk.3 Kotrolí otázky 1. V em spoívá áhodost áhodého evu? Uvete kokrétí píklad.. Co vyadue P(A) vzhledem k astoupeí evu A pi opakováí pokusu? 3. Jaký e vztah mezi evy A a Ø, estliže P(A) = 0? 4. Uvete píklad, kdy elze použít tzv. klasickou pravdpodobost. 5. Vypotte P(ABC) pomocí pravdpodobostí ev A, B, C a eich prik. 6. Aplikute úplou pravdpodobost a Bayesv vzorec a problém z Vašeho okolí. 7. Uvete kokrétí píklad a ezávislé áhodé evy. 8. Jaký e vztah mezi disuktími evy a ezávislými evy? 9. Vyádete P(AB) pro (a) ezávislé (b) závislé áhodé evy..4 Typické úlohy Zadáí (využití základích vlastostí pravdpodobosti): S využitím výpotu pravdpodobosti opaého evu a pravdpodobosti sedoceí ev ešte sloví zadáí zahruící slova alespo a ebo. Zadáí (výbry s vraceím a bez vraceí): V krabici e N výrobk, z ich e M vadých. Náhod vybíráte postup výrobk. Vypotte pravdpodobost toho, že: a) mezi vybraými výrobky e práv x vadých, když vybraé výrobky evracíte; b) mezi vybraými výrobky e alespo x vadých, když vybraé výrobky evracíte; c) mezi vybraými výrobky e práv x vadých, když vybraé výrobky vracíte; d) mezi vybraými výrobky e alespo x vadých, když vybraé výrobky vracíte. (Nápovda: Lze též využít vztahy pro hypergeometrické a biomické rozdleí pravdpodobosti áhodé veliiy). Zadáí (pemísováí mezi krabicemi): Uvažueme dv krabice s výrobky. V prví krabici e a kvalitích výrobk a b ekvalitích. V druhé krabici e c kvalitích výrobk a d ekvalitích. Náhod vybereme ede výrobek z prví krabice a vložíme e do druhé krabice. Potom z druhé krabice vybereme opt ede výrobek. Vypotte pravdpodobost toho, že: a) z prví krabice byl vybrá kvalití výrobek; b) z prví i druhé krabice byly vybráy e kvalití výrobky; c) z druhé krabice byl vybrá kvalití výrobek; d) z prví krabice byl vybrá kvalití výrobek, když víme, že z druhé krabice byl vybrá kvalití výrobek. Zadáí (testováí kvality výrobku): Máme skupiu N výrobk, z ich e M vadých, zbývaící výrobky sou kvalití. Náhod vybíráme ede výrobek. Test akosti výrobku ozaí vybraý vadý výrobek ako vadý s pravdpodobostí p a vybraý kvalití výrobek ozaí ako vadý s pravdpodobostí q. Vypotte pravdpodobost toho, že: a) áhod vybraý výrobek e kvalití; b) áhod vybraý výrobek e kvalití a e ozae ako kvalití; c) áhod vybraý výrobek e ozae ako kvalití; d) áhod vybraý výrobek, který byl ozae ako kvalití e skute kvalití. 1

13 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 3. NÁHODNÁ VELIINA A JEJÍ CHARAKTERISTIKY 3.1 Pehled základích vztah Distribuí fukce: F(x) = P(X x) = PX ( ; x) pro všecha x(;+). Vlastosti distribuí fukce: a) 0 F(x) 1 pro všecha x(;+), b) F(x) e eklesaící, zleva spoitá a má evýše spoet moho bod espoitosti a (;+), c) lim F( x) 0, lim F( x) 1, x x d) P(a X b) = F(b) F(a) pro libovolá reálá ísla a b, speciál P(a X) = 1 F(a), P(X b) = F(b), P( X) = P(X ) = 1, e) PX ( c) lim Fx ( ) Fc ( ) pro libovolé reálé íslo c. xc Základí druhy áhodých velii: diskrétí, spoité., x x, x,.... Pravdpodobostí fukce diskrétí áhodé veliiy: px PX x 0 Vlastosti pravdpodobostí fukce: a) px ( ) 1, x b) F( x) p( t) pro všecha x (-;+), tx P X M p x pro libovolou možiu reálých ísel M. c) ( ) xm Hustota pravdpodobosti spoité áhodé veliiy: taková ezáporá fukce f(x), že pro všecha x(;+) e x F( x) f( t)dt. Vlastosti hustoty pravdpodobosti: a) f( x)dx 1, b) f(x) = F( x), pokud derivace existue, c) Pa ( Xb) Pa ( X b) Pa ( X b) Pa ( X b) b f ( x)d x F( b) F( a) pro libovolá reálá ísla a b, a d) P(X = c) = 0 pro libovolé reálé íslo c. Stedí hodota: E( X) xp( x) pro diskrétí áhodou veliiu X (pokud ada kovergue absolut), x E( X) xf( x)dx pro spoitou áhodou veliiu X (pokud itegrál kovergue absolut). Vlastosti stedí hodoty: a) E(aX + b) = ae(x) + b pro libovolá reálá ísla a, b, 1 13

14 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk b) EXi E Xi pro áhodé veliiy X1,, X, i1 i1 c) E(X) má tetýž rozmr ako áhodá veliia X. Rozptyl (disperze, variace): DX ( ) E[ X EX ( )]. Vlastosti rozptylu: DX xex px xpx EX a) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) pro diskrétí áhodou veliiu x X (pokud ada kovergue), x b) pro spoitou áhodou D( X) ( xe( X)) f( x)d x x f( x)d x( E( X)) veliiu X (pokud itegrál kovergue), c) D(X) 0, d) D(aX + b) = a D(X) pro libovolá reálá ísla a, b, e) D X D X i1 i1 pro ezávislé áhodé veliiy X f) D(X) má rozmr rový kvadrátu rozmru áhodé veliiy X. i i 1,, X, Smrodatá odchylka: ( X ) DX. Vlastosti smrodaté odchylky: a) (X) 0, b) (ax + b) = a (X) pro libovolá reálá ísla a, b, c) (X) má tetýž rozmr ako áhodá veliia X. 3 E [ X E( X) ] Koeficiet šikmosti (koeficiet asymetrie): AX ( ). 3 [ ( X )] Vlastosti koeficietu šikmosti: a) Pro symetrické rozdleí e AX ( ) 0, pro rozdleí protáhleší smrem alevo e AX ( ) 0 a pro rozdleí protáhleší smrem apravo e AX ( ) 0. a b) AaX ( b) AX ( ) pro reálé kostaty a, b, a 0, a c) A(X) e bezrozmré íslo. P-kvatil (100P %-kvatil): 1. x P = if x; F(x) P pro 0 P 1,. speciál pro spoitou áhodou veliiu X s rostoucí distribuí fukcí e F(x P ) = P, 3. x 0,5 e mediá. Modus: hodota ˆx, v íž abývá pravdpodobostí fukce ebo hustota pravdpodobosti maximum, píp. suprémum. 14

15 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 3. Základí pozatky Sezam (zavete základí pomy, uvete požadovaé pozatky): Zavete, pípad obaste, ásleduící základí pomy a pozatky problematiky áhodých velii a eích rozdleí pravdpodobosti (Nápovda: Využite skripta MIV-SP str ): a) Náhodá veliia a eí rozdleí pravdpodobosti. b) Diskrétí a spoitá áhodá veliia. c) Základí fukí charakteristika diskrétí áhodé veliiy: pravdpodobostí fukce, eí graf a vlastosti. d) Distribuí fukce diskrétí áhodé veliiy, eí graf a vlastosti. Vztahy mezi pravdpodobostí a distribuí fukcí. e) Základí fukí charakteristika spoité áhodé veliiy: hustota rozdleí pravdpodobosti, eí graf a vlastosti. f) Distribuí fukce spoité áhodé veliiy, eí graf a vlastosti. Vztahy mezi hustotou a distribuí fukcí. g) Shrutí obecých vlastostí distribuí fukce áhodé veliiy. h) Výpoty pravdpodobosti áhodých ev pomocí pravdpodobostí fukce ebo hustoty. i) Výpoty pravdpodobosti áhodých ev pomocí distribuí fukce. ) íselé charakteristiky áhodé veliiy, zeméa: stedí hodota, modus, mediá, rozptyl, smrodatá odchylka a kvatily. Geometrická iterpretace kterých charakteristik. k) Výpoty uvedeých íselých charakteristik, samostaté vztahy pro diskrétí a spoitá rozdleí pravdpodobosti. Zedodušeí výpotu pro rozptyl. 3.3 Kotrolí otázky 1. Uvete 3 kokrétí píklady a diskrétí a spoité áhodé veliiy.. Nartte graf distribuí fukce a popište eí vlastosti. 3. Jakými fukími charakteristikami se popisue diskrétí áhodá veliia? 4. Jakými fukími charakteristikami se popisue spoitá áhodá veliia? 5. Které íselé charakteristiky vyaduí polohu rozdleí pravdpodobosti? 6. Které íselé charakteristiky vyaduí variabilitu rozdleí pravdpodobosti? 7. Jaké základí vlastosti má stedí hodota áhodé veliiy? Iterpretute e! 8. Jaké základí vlastosti má rozptyl áhodé veliiy? Iterpretute e! 9. Co zameá D(X) = 0? 10. Jaké základí vlastosti má koeficiet šikmosti áhodé veliiy? Iterpretute e! 11. Urete stedí hodotu a mediá cey výrobku v, estliže e záma eho cea v K. 1. Urete rozptyl a smrodatou odchylku cey výrobku v US $, estliže e záma eho cea v K. 13. Co vyadue mediá áhodé veliiy? 14. Co vyadue modus áhodé veliiy? 3.4 Typické úlohy Zadáí (školský píklad a diskrétí áhodou veliiu): Tabulkou e zadáa reálá fukce reálé promé p(x) (má eulové fukí hodoty v koe moha bodech). Vyešte ásleduící problémy: a) urete ezámou kostatu c tak, aby fukce p(x) byla pravdpodobostí fukcí, artte eí graf; 15

16 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk b) pro fukci p (x) vypotte distribuí fukci F(x). ešeí zapište formou tabulky a artte graf distribuí fukce; c) vypotte vybraé íselé charakteristiky (které ze sezamu: stedí hodota, modus, mediá, rozptyl, smrodatá odchylka); d) vypotte pravdpodobost zadaého složeého evu (priku, sedoceí ev). Zadáí (školský píklad a spoitou áhodou veliiu): Je zadáa reálá fukce reálé promé f (x) (obvykle e defiováa po ástech). Vyešte ásleduící problémy: a) urete ezámou kostatu c tak, aby fukce f (x) byla hustotou rozdleí pravdpodobosti, artte eí graf; b) pro fukci f (x) vypotte distribuí fukci F(x). ešeí pehled zapište a artte graf distribuí fukce; c) vypotte vybraé íselé charakteristiky (které ze sezamu: stedí hodota, modus, mediá, rozptyl, smrodatá odchylka); d) vypotte pravdpodobost zadaého složeého evu (priku, sedoceí ev). 16

17 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 4. NÁHODNÝ VEKTOR A JEHO CHARAKTERISTIKY 4.1 Pehled základích pom a vztah Simultáí (sdružeá) distribuí fukce: F( x, y) P( X x, Y y) P( X, Y) ( ; x) ( ; y) pro libovolé (x, y)(;+). Vlastosti simultáí distribuí fukce: a) 0 F(x, y) 1 pro všechy dvoice (x,y) (;+), b) F(x, y) e eklesaící a zleva spoitá v každé promé x a y, c) lim F( x, y) F(, y) lim F( x, y) F( x, ) 0, x ( xy, ), y lim F( x, y) F(, ) 1 Simultáí pravdpodobostí fukce: p(x, y) = P(X = x,y = y) 0 pro (x, y) = (x 1, y 1 ), (x, y ),. Vlastosti simultáí pravdpodobostí fukce: a) pxy (, ) 1, x y b) F( x, y) p( u, v) pro všechy dvoice (x, y) (;+) ux vy c) P ( X, Y) M p( x, y) pro M (;+) ( xy, ) M Margiálí pravdpodobostí fukce: px ( x) p( x, y ), py ( y) p( x, y). Margiálí distribuí fukce: F ( x) p ( t) p( t, y) F( x, ) X y. X, tx tx y Y. F ( y) p ( t) p( x, t) F(, y) Y ty x ty Podmíé pravdpodobostí fukce: p( x, y) px ( x y) P( X x Y y) py ( y), p( x, y) py ( y x) P( Y y X x) p ( x). Nezávislé áhodé veliiy (X a Y): F(x,y) = F X (x)f Y (y) a p(x,y) = p X (x)p Y (y) pro všechy dvoice (x, y) (;+). Sted (cetrum): (E(X), E(Y)), kde E( X) xp ( x) xp( x, y), X x x y x EY ( ) ypy ( y) ypx (, y).. X, y x y Kovariace: cov( X, Y) E [ x E( X)][ y E( Y)] E( XY) E( X) E( Y). 17

18 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk Vlastosti kovariace: a) cov( X, Y) [ xe( X)][ y E( Y)] p( x, y) xyp( x, y) E( X) E( Y), x y x y pokud ady koverguí absolut, b) cov(x, Y) = cov(y, X), c) cov(x, X) = D(X), cov(y, Y) = D(Y), d) D(X + Y) = D(X) + D(Y) + cov(x, Y), e) X, Y ezávislé cov(x, Y) = 0 a E(X, Y) = E(X)E(Y), f) cov(ax + b, cy + d) = ac cov(x,y) pro libovolá reálá ísla a, b, c, d, g) cov(x, Y) má rozmr rový souiu rozmr X a Y. DX ( ) cov( XY, ) Kovariaí matice: co v( XY, ). cov( Y, X) D( Y) Koeficiet korelace (korelaí koeficiet): X E( X) Y E( Y) cov XY, cov XY, XY, cov, ( X) ( Y) ( X) ( Y) D X D Y Vlastosti koeficietu korelace: a) (X, Y) = (Y, X), b) (X, X) = (Y, Y) = 1, c) 1 (X, Y) 1, ac d) ( ax b, cy d ) ( X, Y ) pro libovolá reálá ísla a, b, c, d, kde ac 0, ac e) Y = ax + b (X, Y) = 1, kde a, b sou reálá ísla, a 0, f) X, Y ezávislé (X, Y) = 0, g) (X, Y) e bezrozmré íslo. 1 ( X, Y ) Korelaí matice: ( XY, ) ( Y, X) 1. Nekorelovaé áhodé veliiy (X a Y): a) (X, Y) = 0, resp. cov(x, Y) = 0, b) ezávislé áhodé veliiy sou ekorelovaé, ale ekorelovaé áhodé veliiy emusí být ezávislé. 4. Základí pozatky Sezam (zavete základí pomy, uvete požadovaé pozatky): Zavete, pípad obaste, ásleduící základí pomy a pozatky problematiky diskrétího áhodého vektoru (Nápovda: Využite skripta MIV-SP str ): a) Náhodý vektor. Složky a populace. b) Dvourozmrý áhodý vektor. Diskrétí sdružeé rozdleí pravdpodobosti. c) Sdružeá pravdpodobostí fukce p( x, y), eí graf a vlastosti. d) Sdružeá distribuí fukce F( x, y),eí graf a vlastosti. e) Výpoet pravdpodobosti áhodého evu pomocí sdružeé pravdpodobostí fukce ebo sdružeé distribuí fukce. f) Margiálí rozdleí pravdpodobosti, margiálí pravdpodobostí fukce p X (x), p Y (y) a margiálí distribuí fukce F X (x), (y). F Y. 18

19 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk g) Vztahy mezi sdružeými a margiálími fukími charakteristikami (pravdpodobostí a distribuí fukcí). h) Podmíé rozdleí pravdpodobosti, podmíá pravdpodobostí fukce p X ( x y), p Y ( y x) a podmíá distribuí fukce F X ( x y), F Y ( y x). i) Nezávislost áhodých velii. ) íselé charakteristiky diskrétího áhodého vektoru. Využití íselých charakteristik áhodých velii (stedí hodota, rozptyl). k) Kovariace, kovariaí matice, koeficiet korelace, korelaí matice. Nekorelovaost a ezávislost áhodých velii. 4.3 Kotrolí otázky 1. Pro e uto k popisu dvoice áhodých velii použít áhodý vektor?. Uvete aspo 3 kokrétí píklady a diskrétí áhodý vektor. 3. Uvete aspo 3 kokrétí píklady a spoitý áhodý vektor. 4. Jaké simultáí fukí charakteristiky popisuí áhodý vektor? 5. Jaké margiálí a podmíé fukí charakteristiky popisuí áhodý vektor? 6. Kdy sou složky áhodého vektoru ezávislé? 7. Uvete základí íselé charakteristiky áhodého vektoru. 8. Jaké vlastosti má koeficiet korelace? 9. Jaký e vztah mezi ekorelovaými složkami a ezávislými složkami áhodého vektoru? 10. Jak se zmí kovariace a koeficiet korelace cey v K a možství v kg, estliže ceu vyádíme v haléích a možství v tuách? 4.4 Typické úlohy Zadáí (diskrétí áhodý vektor): Tabulkou e zadáa reálá fukce dvou reálých promých p( x, y) (má eulové fukí hodoty v koe moha bodech). Vyešte ásleduící problémy: a) urete ezámou kostatu k tak, aby fukce p( x, y) byla pravdpodobostí fukcí; b) pro fukci p ( x, y) vypotte distribuí fukci F( x, y) a ešeí zapište formou tabulky; c) vypotte margiálí pravdpodobostí a distribuí fukce; d) posute ezávislost složek áhodého vektoru; e) vypotte které zadaé podmíé pravdpodobostí fukce; f) vypotte koeficiet korelace; g) vypotte pravdpodobost zadaého složeého evu. 19

20 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 5. ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI PRO APLIKACE 5.1 Pehled základích pom a vztah Biomické rozdleí Bi(, p), kde e pirozeé íslo, p e reálé íslo, 0 p 1: x x px ( ) p 1 p x, x = 0, 1,, ; 1 p E(X) = p; D(X) = p(1 p); AX ( ) ; ( + 1)p 1 ˆx ( + 1)p. p(1 p) Hypergeometrické rozdleí 1 N, 1 M N: E X H(N, M, ), kde N, M a sou taková pirozeá ísla, že M N M x x px ( ), x = max 0, M N +,, mi M, N; N M M M N M 1 1 D X ; a 1 ˆx a, kde a N N N N 1 N ; 1 Poissoovo rozdleí Po(), kde e reálé íslo, 0: x p( x) x! e, x = 0, 1, ; 1 E(X) = ; D(X) = ; AX ( ) ; 1 ˆx. Rovomré rozdleí R(a, b), kde a, b sou reálá ísla, a b: 1 pro x ab ;, f( x) b a 0 pro x ab ; ; 0 pro x ; a, x a F( x) pro xa; b, b a 1 pro x b; ;. a b x0,5 E X b a DX ( ) ; A(X) = 0. 1 Normálí rozdleí N(, ), kde, sou reálá ísla, 0: f x 1 exp x, x (, +); E(X) = x 0,5 = ˆx = ; D(X) = ; A(X) = 0. 0

21 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk Základí vlastosti ormálího rozdleí N(, ) a N(0;1): X a) áhodá veliia U, kde X má ormálí rozdleí N(, ), má ormovaé (základí) ormálí rozdleí N(0;1) s distribuí fukcí (u) - viz tabulku T1. b) (u) = 1 (u), c) u1 P up, 0P 1, x d) F( x), e) x x, 0 P 1. P P Aproximace rozdleí: a) Biomické rozdleí Bi(, p), kde p 0,1 a 30, aproximueme Poissoovým rozdleím Po(), kde položíme = p. Jestliže p(1 p) 9, mžeme biomické rozdleí áhodé veliiy X aproximovat ormálím rozdleím N(, ), kde klademe = p a = p(1 p). Pro celá ezáporá ísla a, b potom e 1 1 b p a p Pa ( X b). p(1 p) p(1 p) b) Hypergeometrické rozdleí H(N, M, ) pro /N 0,1 aproximueme biomickým rozdleím Bi(, p), kde klademe p = M/N, aebo e pro /N 0,1, M/N 0,1 a 30 aproximueme Poissoovým rozdleím Po(), kde položíme = M/N. c) Poissoovo rozdleí Po() áhodé veliiy X e klad asymetrické, avšak pro 9 e mžeme aproximovat ormálím rozdleím N(, ), kde klademe = =. Pro celá ezáporá ísla a, b potom e 5. Základí pozatky 1 1 b a Pa ( X b). Sezam (zavete základí pomy, uvete požadovaé pozatky): Zavete, pípad obaste, ásleduící základí pomy a pozatky problematiky áhodých velii a eích typických rozdleí pravdpodobosti (Nápovda: Využite skripta MIV-SP str ): a) Fukí a íselé charakteristiky pro vybraá diskrétí rozdleí pravdpodobosti: alterativí, biomické, hypergeometrické, Poissoovo. b) Typická sloví zadáí pro uvedeá diskrétí rozdleí pravdpodobosti. c) Fukí a íselé charakteristiky pro vybraá spoitá rozdleí pravdpodobosti: rovomré, ormálí, expoeciálí. d) Typická sloví zadáí pro uvedeá spoitá rozdleí pravdpodobosti. e) Hledáí ve statistických tabulkách a trasformace výsledk pro ormálí rozdleí pravdpodobosti. f) Aproximace rozdleí pravdpodobosti. 1

22 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 5.3 Kotrolí otázky 1. Uvete aspo 3 kokrétí píklady a biomické rozdleí pravdpodobosti a popište výzam eich parametr i íselých charakteristik.. Uvete aspo 3 kokrétí píklady a hypergeometrické rozdleí pravdpodobosti a popište výzam eich parametr i íselých charakteristik. 3. Uvete aspo 3 kokrétí píklady a Poissoovo rozdleí pravdpodobosti a popište výzam eich parametr i íselých charakteristik. 4. Uvete aspo 3 kokrétí píklady a ormálí rozdleí pravdpodobosti a popište výzam eich parametr i íselých charakteristik. 5. Pro se používaí aproximace rozdleí pravdpodobosti. 5.4 Typické úlohy Zadáí (typické rozdleí pravdpodobosti): Na základ slovího zadáí urete typ rozdleí pravdpodobosti a vypoítete: a) hodoty pravdpodobostí fukce (pípad hustoty rozdleí pravdpodobosti); b) hodoty distribuí fukce F(x) a artte eí graf; c) vypotte vybraé íselé charakteristiky (ap. stedí hodota, modus, mediá, rozptyl, smrodatá odchylka); d) vypotte pravdpodobost zadaého áhodého evu.

23 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 6. Náhodý výbr 6.1 Pehled základích vztah Základí úlohy matematické statistiky: odhady parametr a rozdleí, testováí statistických hypotéz o parametrech a rozdleích. Náhodý výbr: áhodý vektor X,..., 1 X rozdleí ako pozorovaá áhodá veliia X s distribuí fukcí Fx,. X s ezávislými složkami X i, které maí steé F x ; F x,..., x ; F x ;. Simultáí distribuí fukce áhodého výbru: 1 i1 Statistický soubor x x x : pozorovaá hodota áhodého výbru X X 1,..., Výbrový prostor: možia všech statistických soubor. Výbrová charakteristika (statistika): fukce áhodého výbru X T X,..., 1. Empirická charakteristika (pozorovaá hodota statistiky T): t T x x Základí pricip matematické statistiky (statistické idukce):,..., 1. X,..., 1. i Náhodá veliia X Teoretická charakteristika Náhodý výbr (X 1,, X ) Výbrová charakteristika T(X 1,, X ) Statistický soubor (x 1,, x ) Empirická charakteristika t = T(x 1,, x ) Dležité výbrové charakteristiky: 1 X i i 1 1 Xi i 1 1) výbrový prmr X, X, ) výbrový rozptyl S 3) výbrová smrodatá odchylka S S, 4) výbrový koeficiet korelace R 1 i i X XY Y i1 SY S X. 3

24 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk Základí vlastosti výbrového prmru X a výbrového rozptylu S : a) EX EX b) DX DX, 1, X, ES DX X. 1 Ŝ S Xi X. 1 1 Nevychýleý výbrový rozptyl: Rozdleí pravdpodobosti výbrových charakteristik (statistická rozdleí): 1. Normálí rozdleí N(; ), kde, sou reálá ísla, 0 - viz tabulku T1 pro N(0;1).. Pearsoovo rozdleí (chí-kvadrát rozdleí) (k) s k stupi volosti, kde k e pirozeé íslo - viz tabulku kvatil T3. 3. Studetovo rozdleí (t rozdleí) S(k) s k stupi volosti, kde k e pirozeé íslo - viz tabulku kvatil T. 4. Fisherovo-Sedecorovo rozdleí (F rozdleí) F(k 1, k ) s k 1, k stupi volosti, kde k 1, k sou pirozeá ísla - viz tabulku kvatil T4. i 1 Základí vlastosti pro X s rozdleím N(; ): a) X má ormálí rozdleí N( ; ), X b) má ormálí rozdleí N(0;1), X c) 1 má Studetovo rozdleí S( 1), S S d) má Pearsoovo rozdleí 1. 1 X i i1 0 Asymptotická vlastost výbrového prmru: posloupost, kde X1, X,... 0 sou ezávislé áhodé veliiy s libovolým steým rozdleím pravdpodobosti (se stedí hodotou 0 a smrodatou odchylkou 0 ), kovergue pro k áhodé velii s rozdleím N(0;1). 6. Základí pozatky Sezam (zavete základí pomy, uvete požadovaé pozatky): Zavete, pípad obaste, ásleduící základí pomy a pozatky problematiky áhodého výbru (Nápovda: Využite skripta MIV-SP str ): a) Pozorovaá áhodá veliia (základí soubor), áhodý výbr a statistický soubor ako realizace áhodého výbru, výbrový prostor. b) Výbrová charakteristika (statistika) a eí pozorovaá hodota (realizace statistiky). 4

25 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk c) Typické výbrové charakteristiky: výbrový prmr, výbrový rozptyl, výbrová smrodatá odchylka, výbrový koeficiet korelace. d) Základí vlastosti výbrových charakteristik ezávislé a rozdleí pravdpodobosti základího souboru. e) Vybraé vlastosti výbrových charakteristik závislé a rozdleí pravdpodobosti základího souboru. Statistická rozdleí: Pearsoovo, Studetovo, FisherovoSedecorovo. f) Základí asymptotická vlastost výbrového prmru. 6.3 Kotrolí otázky 1. Jaké dv základí úlohy se eší v matematické statistice? Uvete kokrétí píklady.. Defiute áhodý výbr, eho realizaci a popište eho simultáí fukí charakteristiky. 3. Defiute výbrovou charakteristiku a empirickou charakteristiku. 4. Popište pricip statistické idukce. 5. Popište základí vlastosti výbrového prmru a výbrového rozptylu. 6. Jaká základí tzv. statistická rozdleí pravdpodobosti používáme? 7. Jaké rozdleí pravdpodobosti má výbrový prmr, estliže pozorovaá áhodá veliia má ormálí rozdleí? 8. Jakým rozdleím pravdpodobosti mžeme pro dostate velký rozsah áhodého výbru aproximovat rozdleí výbrového prmru, estliže pozorovaá áhodá veliia má zámou stedí hodotu i rozptyl? 5

26 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 7. ODHADY PARAMETR 7.1 Pehled základích pom a vztah Odhad parametru : statistika T(X 1,..., X ), která abývá hodot blízkých parametru. Nestraý (evychýleý) odhad: E(T) =. Nelepší estraý odhad: estraý odhad s emeším rozptylem. Kozistetí odhad: lim P T 1 pro libovolé reálé íslo 0. Vlastosti: a) X e estraý kozistetí odhad stedí hodoty E(X), b) S e estraý kozistetí odhad rozptylu D(X). 1 Bodový odhad parametru : pozorovaá hodota x,..., 1 x x x.,..., 1 Bodové odhady základích íselých charakteristik: EX x, DX s, X s, X, Y r. 1 1 t T a statistickém souboru Iterval spolehlivosti (kofideí iterval) pro parametr se spolehlivostí 1 : dvoice statistik T; T, piemž PT T pro 0; Itervalový odhad parametru se spolehlivostí 1 : t1; t, kde 1 sou hodoty statistik T 1 a statistickém souboru x,..., 1 x. Odhady parametr ormálího rozdleí: a) Bodové odhady: x, s, s, 1 1 r. b) Itervalový odhad stedí hodoty pi ezámém rozptylu : s s x t1 ; x t1, 1 1 kde t 1 e 1 - kvatil Studetova rozd-leí S(k) s k = 1 stupi volosti - viz tabulku T. c) Itervalový odhad rozptylu : s s ;, 1 kde P e P - kvatil Pearsoova rozdleí ( k) s k = 1 stupi volosti - viz tabulku T3. d) Itervalový odhad koeficietu korelace pro 10: tgh z ; tgh z, 1 6

27 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk u1 kde z1 w 3, u1 z w 3, 1 1 r r w l 1r 1, z z z e e e 1 tgh z z z z e e e 1 a u1 e 1 - kvatil ormovaého ormálího rozdleí N(0;1) - viz tabulku T1. Pro 1 = 0,95 e u0,975 1,960 a pro 1 = = 0,99 e u0,995,576. Odhady parametru biomického rozdleí: x a) Bodový odhad: p. b) Itervalový odhad p pro > 30: x x x x 1 1 x x u 1 / ; u 1 /, kde u 1 e 1 - kvatil ormovaého ormálího rozdleí - viz tabulku T1. 7. Základí pozatky Sezam (zavete základí pomy, uvete požadovaé pozatky): Zavete, pípad obaste, ásleduící základí pomy a pozatky problematiky bodových a itervalových odhad (Nápovda: Využite skripta MIV-SP str ): a) Poem odhadu: ezámý parametr, statistika (výbrová charakteristika) ako odhad. b) Vlastosti odhadu: estraost a kozistece. c) Bodový odhad ako pozorovaá hodota odhadu. d) Iterval spolehlivosti pro parametr rozdleí. Spolehlivost 1. Itervalový odhad ako pozorovaá hodota itervalu spolehlivosti. e) Jedostraé a oboustraé itervalové odhady. f) Souvislost pesosti a spolehlivosti itervalového odhadu. g) Odhady parametr ormálího rozdleí (edorozmrý pípad): bodové odhady stedí hodoty, rozptylu a smrodaté odchylky, itervalové odhady stedí hodoty, rozptylu a smrodaté odchylky. h) Bodový a itervalový odhad koeficietu korelace (dvourozmré ormálí rozdleí). i) Bodový a itervalový odhad parametru p biomického rozdleí. 7.3 Kotrolí otázky 1. Defiute poem odhadu parametru a eho druhy.. Defiute bodový odhad a uvete bodové odhady základích íselých charakteristik. 3. Popište iterval spolehlivosti a itervalový odhad parametr. 4. Jaký výzam má spolehlivost itervalového odhadu? 5. Jaké druhy itervalových odhad používáme? 6. Jaký vliv má zma spolehlivosti a velikost itervalového odhadu pi zachováí rozsahu áhodého výbru? 7

28 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 7. Jaký obecý vliv má zma rozsahu áhodého výbru a velikost itervalového odhadu pi zachováí eho spolehlivosti? 8. Jakou spolehlivost má bodový odhad? 9. Co rozumíme stadardí chybou itervalového odhadu? 7.4 Typické úlohy Zadáí (edorozmrý soubor, odhady parametr): Zpracováím zadaého edorozmrého statistického souboru získaého výbrem z ormálího rozdleí urete: a) bodové odhady stedí hodoty, rozptylu a smrodaté odchylky; b) pro zadaou spolehlivost 1 vypotte itervalové odhady stedí hodoty, rozptylu a smrodaté odchylky. Zadáí (edorozmrý soubor, odhady parametr): Zpracováím zadaého edorozmrého statistického souboru získaého výbrem z biomického rozdleí Bi(1,p) urete: a) bodový odhad parametru p; b) pro zadaou spolehlivost 1 vypotte itervalový odhad parametru p. Zadáí (dvourozmrý soubor, odhady parametr): Zpracováím zadaého dvourozmrého statistického souboru (esetídého) získaého výbrem z dvourozmrého ormálího rozdleí urete: a) bodové odhady stedích hodot, rozptyl, smrodatých odchylek a koeficietu korelace; b) pro zadaou spolehlivost 1 vypotte itervalové odhady stedích hodot, rozptyl, smrodatých odchylek a koeficietu korelace. 8

29 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 8. TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 8.1 Pehled základích pom a vztah Statistická hypotéza H: tvrzeí o vlastostech rozdleí pravdpodobosti pozorovaé áhod- F x,. é veliiy X s distribuí fukcí Test statistické hypotézy: postup, ímž ovueme daou hypotézu. Pricip testováí: proti testovaé ulové hypotéze H stavíme alterativí hypotézu H. Druhy hypotéz: dvoustraé, edostraé, složeé, parametrické, eparametrické. Testováí hypotézy: testové kritérium T X,..., 1 X, kritický obor W a eho doplk W, hladia výzamosti 0. Rozhodutí o hypotéze H pomocí pozorovaé hodoty testového kritéria t T x,..., 1 x : t W zamítáme hypotézu H a ezamítáme hypotézu H a hladi výzamosti, t W ezamítáme hypotézu H a zamítáme hypotézu H a hladi výzamosti. Chyba prvího druhu: H platí, avšak t W, takže hypotézu H zamítáme; pravdpodobost chyby e PT W H. Chyba druhého druhu: H eplatí, avšak t W, takže hypotézu H ezamítáme; pravdpo- P T W H. dobost chyby e H PLATÍ NEPLATÍ ZAMÍTÁME CHYBA 1. DRUHU NEZAMÍTÁME CHYBA. DRUHU Testy hypotéz o parametrech ormálího rozdleí: a) Test hypotézy H : 0 pi ezámém rozptylu : x 0 t 1 s a W t1 ; t1, kde t 1 e 1 -kvatil Studetova rozdleí S(k) s k = 1 stupi volosti - viz tabulku T. b) Test hypotézy H : 0 : s t 0 a W ; 1, kde P e P-kvatil Pearsoova rozdleí ( k) s k = 1 stupi volosti - viz tabulku T3. 9

30 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk c) Test hypotézy H : 0 pro 10, r 1, 0 1: 1r t l l 1r a W u 1 ; u1, kde u1 e 1 -kvatil ormálího rozdleí N(0; 1) - viz tabulku T1. H : X Y pro dvoice (t - test pro párové hodoty): d) Test hypotézy kde d a d t 1, sd s d sou empirické charakteristiky rozdíl di xi yi pro dvoice xi, y i, i = 1,,, a W t 1 ; t1, kde t 1 e 1 -kvatil Studetova rozdleí S(k) s k = 1 stupi volosti - viz tabulku T. e) Test hypotézy H : X Y 0 pi ezámých rozptylech X Y : t x y s x s y 1 a W t 1 ; t1, kde t 1 e 1 -kvatil Studetova rozdleí S(k) s k = = 1 stupi volosti - viz tabulku T. pi ezámých rozptylech X Y : x y 0 t s x s y a W t1 ; t1, kde s ( x) s ( y) tx ( ) ty ( ) t1 /, s ( x) s ( y) t(x), resp. t(y), e 1 1 1, resp. 1, stupi volosti - viz tabulku T. Y : s 1 ( x) s ( y) max ; t, s 1 ( x) s ( y) mi ; f) Test hypotézy H : X Y 0 g) Test hypotézy H : X 30

31 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk a F1 / e 1 -kvatil Fishe-rova - Sedecorova rozdleí s 1 ( x) s ( y) F(k 1, k ) se stupi volosti k1 1 1 a k 1 pro aebo 1 1 kde W 1; F1 / s 1 ( x) s ( y) k1 1 a k 1 1 pro - viz tabulku T Testy hypotéz o parametru biomického rozdleí: a) Test hypotézy H : p = p 0 pro 30: x p0 t p0(1 p0) a W u 1 ; u 1, kde u1 e 1 -kvatil ormálího rozdleí N(0; 1) - viz tabulku T1. b) Test hypotézy H : p 1 = p pro 1 50 a 50: x y 1 1 t f(1 f ) 1 pro f x y a W 1 ; u1 1 u, kde u 1 e 1 -kvatil ormálího rozdleí N(0; 1) viz tabulku T1. Testy hypotéz o rozdleí (testy dobré shody): a) Grafická metoda: vyeseím bod x ();( i i 0,5)/ aebo x (); i i /( 1), i = 1,...,, do kartézské souadé soustavy, kde grafem uvažovaé distribuí fukce F(x,) e pro libovolou hodotu pímka. b) Test chí-kvadrát (Pearsov test): m ( f ) m f f t 1 f, 1 f kde f sou pozorovaé absolutí etosti, f F( x ) F( x 1) 5 sou teoretické absolutí et-osti, x e pravý kocový bod -té tídy pro = 1,..., m, x 0, x m, a W 0; 1, kde 1 e (1 )-kvatil Pearsoova rozdleí (k) s k = m q 1 stupi volosti - viz tabulku T3; q e poet odhadutých parametr. 31

32 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 8. Základí pozatky Osova (zavete základí pomy, uvete požadovaé pozatky): Zavete, pípad obaste, ásleduící základí pomy a pozatky testováí statistických hypotéz (Nápovda: Využite skripta MIV-SP str ): a) Statistická hypotéza ako tvrzeí o vlastostech rozdleí pozorovaé áhodé veliiy. b) Nulová hypotéza, alterativí hypotéza. Jedostraá a oboustraá alterativí hypotéza. Jedoduchá a složeá hypotéza. Parametrické a eparametrické hypotézy. c) Testové kritérium, kritický obor, hladia výzamosti. d) Pozorovaá hodota testového kritéria, zamítutí a ezamítutí hypotézy. e) Chyby 1. a. druhu, eich pravdpodobosti. f) Obvyklý výpotový postup pi testováí: zadaá hladia výzamosti, zpracováí statistického souboru, výpoet pozorovaé hodoty testového kritéria, použití oboru ezamítutí, závr. g) P-hodota (pravdpodobost pekroeí) a eí použití ve statistickém software. h) Souvislost itervalových odhad a test hypotéz o parametrech. i) Testy hypotéz o parametrech ormálího rozdleí (edorozmrý pípad): test hypotézy 0 (pi ezámém rozptylu), test hypotézy 0. ) Testy hypotéz o parametrech ormálího rozdleí (obecý dvourozmrý pípad): test hypotézy 0, t-test pro párové hodoty. k) Testy hypotéz o parametrech ormálího rozdleí (dvourozmrý pípad, ezávislost X a Y): testy rozdílu stedích hodot a podílu rozptyl. l) Testy hypotéz o rozdleí: chí-kvadrát test. 8.3 Kotrolí otázky 1. Defiute statistickou hypotézu a popište eí druhy.. Co e testové kritérium a kritický obor? 3. Jakou koveci používáme pi testováí statistické hypotézy? 4. Popište chybu 1. a. druhu pi testováí statistické hypotézy. Jaký e eich praktický výzam? 5. Jaký e vztah mezi pravdpodobostmi chyb 1. a. druhu a rozsahem áhodého výbru? 6. Jak souviseí itervalové odhady s testy parametrických hypotéz? 7. Jakým zpsobem používáme tzv. P-hodotu pi testováí parametrické hypotézy s dvoustraou alterativí hypotézou a PC? 8. Jak testueme hypotézu o rozdleí pravdpodobosti pozorovaé áhodé veliiy? 8.4 Typické úlohy Zadáí (edorozmrý soubor, hypotézy o parametrech ormálího rozdleí): Zpracováím zadaého edorozmrého statistického souboru získaého výbrem z ormálího rozdleí urete: a) bodové odhady stedí hodoty, rozptylu a smrodaté odchylky; b) pro zadaou spolehlivost 1 vypotte itervalové odhady stedí hodoty, rozptylu a smrodaté odchylky; c) a hladi výzamosti otestute statistické hypotézy o stedí hodot a rozptylu. Zadáí (edorozmrý soubor, hypotéza o parametru biomického rozdleí): Zpracováím zadaého edorozmrého statistického souboru získaého výbrem z bio- 3

33 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk mického rozdleí Bi(1,p) urete: a) bodový odhad parametru p; b) pro zadaou spolehlivost 1 vypotte itervalový odhad parametru p; c) a hladi výzamosti otestute hypotézu o parametru p. Zadáí (edorozmrý soubor, hypotéza o typu rozdleí): Pomocí zpracováí zadaého edorozmrého statistického souboru a hladi výzamosti otestute hypotézu, že soubor byl získá výbrem ze zadaého rozdleí (klasického, ormálího). Zadáí (dvourozmrý soubor, koeficiet korelace): Zpracováím zadaého dvourozmrého statistického souboru získaého výbrem z dvourozmrého ormálího rozdleí urete: a) bodový odhad koeficietu korelace; b) pro zadaou spolehlivost 1 vypotte itervalový odhad koeficietu korelace; c) a hladi výzamosti otestute hypotézu, že áhodé veliiy X a Y sou ezávislé. Zadáí (dvourozmrý soubor, párové hodoty): Zpracováím zadaého dvourozmrého statistického souboru získaého výbrem z dvourozmrého ormálího rozdleí urete: a) bodové odhady stedí hodoty a rozptylu; b) pro zadaou spolehlivost 1 vypotte itervalové odhady stedí hodoty a rozptylu; c) a hladi výzamosti otestute hypotézu, že rozdíl mezi sob párovými hodotami e statisticky evýzamý. Zadáí (dvourozmrý soubor, srováí výrobích postup): Zpracováím dvou statistických soubor získaých výbrem z ormálího rozdleí urete: a) bodové odhady stedí hodoty a rozptylu; b) a hladi výzamosti testute rovost stedích hodot a rozptyl. 33

34 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk 9. REGRESNÍ ANALÝZA 9.1 Pehled základích pom a vztah x X x,..., 1 k y závisle promá, Regresí fukce: y, E Y, x = x x vektor ezávisle promých,,..., 1 m vektor regresích koeficiet. Realizace experimet: (k + 1)-rozmrý statistický soubor, y,...,, y * Reziduálí souet tverc: S yi xi,. i1 x x. Metoda emeších tverc: ureí miimalizací reziduálího soutu tverc. x Lieárí regresí fukce: y f, Lieárí regresí model: m f x zámé fukce eobsahuící 1,..., m. 1. Vektor x e eáhodý, takže fukce f x abývaí eáhodých hodot f i f xi pro 1,..., m a i 1,...,.. Matice f11 f1 F typu (m, ) s prvky f i má hodost m <. fm 1 f m 3. Náhodá veliia Y, kde E Y f a m i i DY i Y i i 1 0 pro i 1,...,. 4. Náhodé veliiy sou ekorelovaé a maí ormálí rozdleí pravdpodobosti pro i 1,...,. m Ekvivaletí model: Yi f xi Ei, i 1,...,, kde E i sou ekorelovaé áhodé 1 veliiy s ormálím rozdleím pravdpodobosti N(0, ). Matice pro výpoty: f1 i f1 i f1 i fmi i1 i1 b1 y1 T H FF, b, y, fmi f1 i f b m mi f y mi i1 i1 f1 iyi i1 g Fy. fmi y i i1 Bodový odhad regresího koeficietu : b, 1,..., m, kde matice b e ešeí soustavy ormálích rovic Hb = g. Bodový odhad lieárí regresí fukce: y b f x. m 1 34

35 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk Bodový odhad rozptylu : s S m, * mi m m * kde Smi yi b f i yi bg a g e prvek matice g. i1 1 i1 1 Itervalový odhad regresího koeficietu se spolehlivostí 1 : b s h t ; b s h t, kde h e -tý diagoálí prvek matice H pro 1,..., m, t1 e 1 -kvatil Studetova rozdleí S(k) s k = m stupi volosti - viz tabulku T. Itervalový odhad stedí fukí hodoty y se spolehlivostí 1 : m m * * bf ( ) t1 /s h; bf ( ) t1 /s h 1 1 x x, f ( 1 x ) kde h * = f(x) T H -1 f(x), piemž ( ) fx, a t1 e 1 -kvatil Studetova f ( ) m x rozdleí S(k) s k = m stupi volosti - viz tabulku T. Itervalový odhad idividuálí fukí hodoty y se spolehlivostí 1 : v itervalovém odhadu stedí fukí hodoty místo h * vezmeme 1 + h *. Test hypotézy H : 0 proti alterativí hypotéze H : 0 : b 0 t, s h kde e ede pev zvoleý idex, 1,..., m, W t1 ; t 1 a t1 e 1 -kvatil Studetova rozdleí S(k) s k = m stupi volosti - viz tabulku T. Koeficiet víceásobé korelace: r 1 y i S * mi y, Idex (koeficiet) determiace: r, resp. r 100 %. Regresí pímka: y 1 x; y1 1 1 F x1 x, y. y 35

36 Karpíšek, Z. - Popela, P. - Bedá, J.: Statistika a pravdpodobost pehled vzorc a pozatk Explicití vztahy pro regresí pímku: a) 1 xi yi H, g, xi x i xiy 1, i b) det x i x xiyi x i yi i b det H c) * Smi yi b1 b xi yi b1 yi b xy i i, s x 11 i h H, d) h det det H, e) * 1 x x 1 x x h, x det i x H f) r r( x, y), kde r(x, y) e koeficiet korelace z kapitoly Základí pozatky, b1 y bx, S, * mi Osova (zavete základí pomy, uvete požadovaé pozatky): Zavete, pípad obaste, ásleduící základí pomy a pozatky regresí aalýzy (Nápovda: Využite skripta MIV-SP str ): a) Regresí aalýza, regresí fukce, regresí koeficiety. Lieárí a elieárí regresí fukce. b) Metoda emeších tverc. c) Pedpoklady: liearita regresí fukce, eáhodost ezávisle promé veliiy, plá hodost matice F, ulová stedí hodota aditiví áhodé chyby, kostatí rozptyl, ekorelovaost áhodých chyb a ormalita eich rozdleí pravdpodobosti. d) Soustava ormálích rovic pro lieárí regresí model, bodový odhad regresích koeficiet získaý eím vyešeím. e) Bodový odhad rozptylu. f) Itervalový odhad regresího koeficietu. g) Itervalový odhad stedí fukí hodoty a odpovídaící pás spolehlivosti. h) Itervalový odhad idividuálí fukí hodoty a odpovídaící pás spolehlivosti. i) Test hypotézy o regresím koeficietu. ) Koeficiet víceásobé korelace, idex determiace a eho iterpretace. k) Explicití vzorce pro regresí pímku a eich souvislost se vztahy pro obecý lieárí model. 9.3 Kotrolí otázky 1. Co se rozumí regresí aalýzou, ak e defiováa regresí fukce a regresí koeficiety?. Jaký e statistický pricip regresí aalýzy? 3. Na akých pedpokladech e založe lieárí regresí model? 4. Jaké odhady a testy statistických hypotéz používáme v regresí aalýze? 5. Jaký e rozdíl mezi odhady stedí a idividuálí fukí hodoty regresí fukce? 6. Jak posuzueme vhodost vypoteé regresí fukce? 7. Uvete kokrétí píklady lieárí a elieárí regresí fukce. 36