Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování
|
|
- Lubomír Bureš
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lekce 3 Testováí hypotéz Vlajkovou lodí matematcké statstky jsou techky testováí hypotéz. Formulace hypotéz a jejch ověřováí jsou základím mechasmem postupu ldského pozáí. Pokud jsou formace, potřebé k ověřeí hypotézy, čerpáy z áhodého výběru z rozděleí pravděpodobost áhodé velčy, jde o statstcké hypotézy, které jsou vyslovováy o parametrech rozděleí áhodých velč, o jejch ezávslost, o tvaru rozděleí, o odlehlých hodotách atd. atd. Jž ěkolkrát jsme se zmňoval o tom, že slyší-l lak parametr rozděleí áhodé velčy, domívá se zpravdla, že jde o pojem, který emá žádou souvslost s praktckým žvotem. Ovšem řada hodot, které lak vímá jako kostaty typcky možství výrobku v obalu, rozměr součástky apod. jsou ve skutečost áhodé velčy ( když s poměrě epatrou varabltou). Sestrojt apř. plcí lku, která by plla do obalu kostatí možství výrobku, stejě jako obráběcí stroj, produkující absolutě detcké obrobky, je emožé. Musíme se tedy spokojt s tím, že kol jedotlvé realzace, ale příslušé středí hodoty, rozptyly apod. je třeba mít pod maxmálí kotrolou, eboť rozhodují o kvaltě č jakost výrobků, využtí systémů hromadé obsluhy a v moha dalších stuacích. alteratví hypotéza; dvouvýběrové testy; hlada výzamost; homogeta rozptylů; chyba druhého druhu; chyba prvího druhu; jedoduchá hypotéza; jedostraá hypotéza; jedovýběrové testy; krtcký obor; eparametrcký test; evýzamý rozdíl; ulová hypotéza; obor přjetí ; oboustraá hypotéza; odlehlá hodota; síla testu; složeá hypotéza; test dobré shody; testovaá hypotéza; testováí; testové krtérum; vysoce výzamý rozdíl; výzamý rozdíl; zamítutí; zaméková metoda 3. Základí pojmy a obecý postup př testováí Statstckou hypotézou rozumíme předpoklad o určtých vlastostech áhodé velčy (o úrov, varabltě, ezávslost dvou áhodých velč, o zákou rozděleí) vysloveý ezávsle a evetuálích formacích o í. Příklady statstckých hypotéz áhodý výběr pochází z rozděleí áhodé velčy, jejíž parametr je rove předpokládaé hodotě c, dva áhodé výběry pochází z rozděleí áhodých velč se stejou hodotou parametrů, dvě áhodé velčy jsou ezávslé, počet vadých výrobků v dodávce epřesahuje číslo c, áhodý výběr pochází z rovoměrého (Possoova apod.) rozděleí. Praktcký výzam ověřováí takovýchto tvrzeí (zdálvě od žvota odtržeých) v růzých oblastech vědy praxe je začý. Jako adekvátí příklad lze uvést apř. statstckou přejímku. Prot testovaé (také ulové) hypotéze stavíme její protklad alteratví hypotézu (apř. parametr eí rove předpokládaé hodotě c, áhodé velčy ejsou ezávslé, áhodá velča emá rovoměré rozděleí). Smyslem testováí hypotéz je zamítutí ulové hypotézy a přjetí hypotézy alteratví. Pouze v tomto případě, kdy se testovaá hypotéza ukáže jako eudržtelá, lze hovořt o jedozačém výsledku testu. Pokud se ulovou hypotézu epodaří zamítout, elze to považovat za důkaz její správost, eboť současě lze zpravdla sestrojt ekoečě moho dalších (růzých) ulových hypotéz,
2 které by společě s původí za daých okolostí zůstaly rověž ezamítuty. Testy vycházející z tohoto prcpu azýváme testy výzamost a pouze těmto testy se adále budeme zabývat. Vzhledem k tomu, že př testováí hypotéz jsme odkázá a formace z áhodého výběru, exstuje rzko, že výsledek testu ebude v souladu s realtou. Tuto problematku budeme řešt zaedlouho. Obecý postup testováí hypotéz Formulace testovaé (ulové) hypotézy H a alteratví hypotézy H. Např. testovaou (ulovou) hypotézu, že plcí lka je správě astavea, budeme formulovat jako H : µ c (kde c je požadovaé možství výrobku v obalu), kdežto alteratvu můžeme zformulovat růzě apř. jako H : µ c plcí lka je esprávě astavea, jako H : µ < c lka plí meší možství případě H : µ > c lka plí větší možství. Hypotézu, která obsahuje pouze jede možý případ (takovou hypotézou je právě testovaá hypotéza obsahující ), ozačíme jako jedoduchou. Alteratví hypotéza je aprot tomu hypotézou složeou, a to buď oboustraou ( ) ebo jedostraou (>, <). V souvslost s tím se hovoří též o jedostraých a oboustraých testech. Podobě jako u kofdečích tervalů je vhodý tvar alteratví hypotézy odvoze od kokrétího zadáí úlohy. Najděte možé sloví vyjádřeí a terpretac hypotéz H : θ c; H : θ c! Volba hlady výzamost. Hlada výzamost je pravděpodobost (rzko) esprávého zamítutí pravdvé ulové hypotézy. Tuto pravděpodobost lze (a rozdíl od pravděpodobost esprávého ezamítutí epravdvé hypotézy) předem zvolt. Praktcky se hlada výzamost často volí a hodotách,5;, (tj. stejě jako rzko odhadu), případě podle okolostí jak. Získáí formací z výběru a výpočet hodoty testového krtéra. Testové krtérum je áhodá velča statstka, jejíž rozděleí pravděpodobost za předpokladu platost ulové hypotézy je zámo. Jsou tedy zámy jeho kvatly, resp. pravděpodobost, že se testové krtérum odchýlí od své předpokládaé hodoty o více, ež je lbovolá zadaá hodota. Vraťte Obvyklým testovým krtér jsou velčy s ormovaým ormálím, Studetovým, Pearsoovým ebo Fsherovým Sedecorovým rozděleím. se k prví lekc a odpovězte a otázku, které z dále uvedeých ulových hypotéz lze/elze testovat pomocí právě uvedeých rozděleí: H : θ θ; H : ; H :. Nevyhovující µ hypotézy se pokuste přeformulovat do takového tvaru, aby byly ověřtelé. (3 ) Některé testy ovšem vyžadují kostrukc specálích testových krtérí. Obor hodot testového krtéra, do kterého př platost ulové hypotézy a zvoleé hladě výzamost krtérum padá praktcky jstě tj. s pravděpodobostí, azýváme oborem přjetí (správěj však oborem ezamítutí) testovaé hypotézy. Doplňkem oboru přjetí je tzv. krtcký obor, v ěmž je výskyt testového krtéra za předpokladu platost testovaé hypotézy jevem praktcky emožým. Pokud se v ěm tedy hodota testového krtéra přesto achází, svědčí to s velkou pravděpodobostí o její eudržtelost a ve prospěch alteratví hypotézy. Hrace krtckého oboru tvoří tzv. krtcké hodoty, které jsou zároveň kvatly rozděleí testového krtéra. U oboustraých testů, a které se až a ezbyté výjmky omezíme, je krtcký obor testového krtéra tvoře vždy dvěma samostatým tervaly, které ohračují % a ( )% kvatly testového krtéra. Pokud má testové krtérum apř. µ 3
3 Obr. 3. Krtcký obor testového krtéra U φ(u).4. Obor přjetí Krtcký obor rozděleí N [ ; ], je krtcký obor oboustraého testu př hladě výzamost, 5 tvoře všem hodotam testového krtéra, které (vz obr. 3.) buď edosahují krtcké hodoty u u u,975, 96 ebo přesahují krtckou hodotu u u +, 96.,975-3 u - u u Pomocí tabulek kvatlů Studetova rozděleí porovejte právě uvedeé hrace s hracem krtckého oboru př oboustraém testu pro rozsah výběru 5,,5,, 3! Hypotézy, ke kterým elze sestrojt testové krtérum se zámým zákoem rozděleí, elze testovat. Iterpretace výsledků testováí. Jedozačým výsledkem testu je zamítutí testovaé hypotézy a přjetí hypotézy alteratví. Pokud je předmětem testováí rozdíl skutečé a předpokládaé hodoty parametru, hovoří se v tomto případě o prokázáí výzamého (a hladě, 5 ), resp. vysoce výzamého (, ), rozdílu. Pokud exstující rozdíl epostačí k zamítutí ulové hypotézy, hovoří se o statstcky evýzamém rozdílu. Protože jsme př testováí odkázá a formace z áhodého výběru, je přrozeé, že výsledek testu emusí být vždy v souladu se skutečostí. Nastae-l případ, že testovaá hypotéza je sce pravdvá, ale hodota testového krtéra přesto pade do krtckého oboru, dojde k eoprávěému zamítutí testovaé hypotézy k chybě prvího druhu. Pravděpodobost tohoto výsledku je předem zámá a dokoce voltelá jde o pravděpodobost odpovídající zvoleé hladě výzamost. Nastae-l opačý případ, tj. že testovaá hypotéza eí pravdvá, ale testové krtérum přesto epade do krtckého oboru, dojde k eoprávěému ezamítutí epravdvé testovaé hypotézy chybě druhého druhu. Zatímco pravděpodobost chyby prvího druhu je předem zámá a voltelá, lze pravděpodobost chyby druhého druhu β staovt (ejde o trválí problém) až po zámém výsledku testu. Tato pravděpodobost je totž promělvá a avíc epřímo úměrá pravděpodobost chyby prvího druhu (čím žší, tím vyšší β ). Zvažte Sestavte čtyřpolí tabulku, jejíž řádky obsahují výrok o testovaé hypotéze (pravda/epravda) a sloupce možé výsledky testu (zamítutí/ezamítutí). Ozačte pole obsahující výsledek, který je v souladu se skutečostí a lokalzujte v tabulce chybu prvího a druhého druhu. terpretac rzka, pokud testovací procedurou je statstcká přejímka. Čí rzko představují pravděpodobost chyby prvího a druhého druhu? (3 ) Velm důležtou kategorí je síla testu β, což je pravděpodobost oprávěého zamítutí testovaé hypotézy. Problematkou síly testů se kvůl její áročost zabývat ebudeme, ale musíme alespoň upozort a to, že je-l rozdíl skutečé a předpokládaé hodoty parametru (apř. µ,, θ 4
4 apod.) malý, je př malém rozsahu výběru velm obtížé hypotézu zamítout (síla testu je malá a reálě hrozí, že epravdvá hypotéza zůstae ezamítuta). Opačým případem je stuace, kdy př extrémě vysokém rozsahu výběru (takové případy se stávají, typcky apř. př testováí hypotéz o tvaru rozděleí) je každý sebemeší rozdíl bezdůvodě dková jako výzamý a pravdvou hypotézu tedy elze ezamítout. V souvslost s chybam př testováí s můžeme položt otázku, co můžeme očekávat př mohoásobém opakovaém prováděí statstckého testu. Př jedotlvých pokusech je pravděpodobost, že se dopustíme chyby prvího a druhého druhu, dáa pravděpodobostm, β a užvatel (pokud jsou tyto pravděpodobost malé) vůbec emusí kalkulovat s tím, že se těchto chyb skutečě dopustí. Př mohoásobém opakováí určtého testu je aopak praktcky jsté, že % výsledků bude esprávých z ttulu eoprávěého zamítutí pravdvé hypotézy a β % výsledků bude esprávých z ttulu ezamítutí epravdvé hypotézy (které výsledky to kokrétě jsou, se pochoptelě kdy edozvíme). 3. Jedovýběrové testy o parametrech rozděleí Veškeré potřebé údaje o ěkterých ejfrekvetovaějších testech shromáždíme do tabulky. Tvar alteratvích hypotéz a krtckých oborů vypovídá o tom, že jde o oboustraé testy. Tab. 3. Přehled jedovýběrových testů Hypotéza H H Testové krtérum Krtcký obor Stupě volost Podmíky testu µ c µ c U X c u > < u x Zámé ebo > 3 µ c µ c X c t S t > < t Nezámé a 3 c c θ c θ c χ ( ) S c (; χ > < χ p c U u ; c( c) ) > < u x x c ( c) > 9 Příklad 3. Vrátíme se yí k příkladu. ( se žárovkam) a ověříme hypotézu, že tvrzeí výrobce o středí hodotě žvotost je pravdvé, tj. H : µ 4 prot alteratvě H : µ 4. Zvolíme obě obvyklé hlady výzamost (tj.,5,). Výběr v úloze. má 5, x, Realzace testového krtéra u 4, s 5
5 t ±, 975 ± t. ±, 995 ± Hrace krtckého oboru pro,5 [ 4], 64 pro, [ 4], 797 Testové krtérum spadá do krtckého oboru př obou hladách výzamost. Testovaou hypotézu tedy a obou hladách zamítáme, přjímáme hypotézu alteratví. Rozdíl mez udávaou a skutečou žvotostí můžeme ozačt za vysoce výzamý. K jakému výsledku bychom dospěl, pokud bychom rozhodoval a základě výběru pouhých pět (osm) žárovek? Všechy ostatí hodoty zůstaou zachováy. (3 3) Pokud jste počítal správě, vdíte, že stejý rozdíl můžeme podle okolostí prohlást za evýzamý, výzamý ebo vysoce výzamý. Důležtou rol př tom sehrává rozsah výběru. Čím je rozsah výběru meší, tím je obtížější testovaou hypotézu zamítout. Př tom roste pravděpodobost, že se dopustíme chyby druhého druhu. T c Je korektí zapsat všecha testová krtéra v tabulce 3. obecě jako? Přpomeňte s př D( T ) této příležtost výzam symbolů T, D( T ). (3 4) Př podrobějším srováí výsledků úlohy. a 3. bychom dovodl, že exstuje vzájemě jedozačý vztah mez kofdečím tervalem a testem hypotézy, který můžeme formulovat takto: Je-l a hladě výzamost testovaá hypotéza o ezámém parametru H : Θ c zamítuta, pak kofdečí terval př rzku eobsahuje číslo c, a aopak. Nelze však prohlást, že jde o zbytečé zdvojeí problematky. Ne ke všem testům hypotéz totž odpovídající kofdečí tervaly exstují. Než postoupíte dál, vypočtěte ve cvčeí k této lekc úlohy a! Počítačové řešeí Uvádíme ukázku řešeí testu hypotézy H : µ 7 prot alteratvě H : µ 7 př ezámém (pro teto test se obecě vžl ázev t test ) Průměr Směrodatá odchylka Směrodatá chyba Proměá 7,7,6364,575 Zadaá hodota 7, t-statstka,357 Stupě volost 9, dvoustraá pravděpodobost,9 Rozdíl mez průměry,7 95% kofdečí terval -,476 <>,876 Rozsah výběru, Výběrový rozptyl,6778 Síla testu,866 Výzamost,95 - ebo -straý test, Mmálí rozlštelý rozdíl,7 Vdíme, že a rozdíl od ám prezetovaého postupu (vedle toho, že program poskytuje podstatě více formací, včetě síly testu, která mmochodem eí vysoká) se zde esrovává vypočteá hodota t s hodotam tabulkovým, ale počítá se pravděpodobost, s jakou se může vyskytout odchylka,7 za předpokladu platost testovaé hypotézy. Vzhledem k tomu, že tato pravděpodobost je poměrě vysoká (,9), hypotézu v tomto případě elze zamítout. Pravděpodobost chyby druhého druhu je ovšem,866,934, tedy poměrě vysoká. Lze apř. vypočítat, že za jak stejých podmíek by pro dosažeí síly testu β, 9 byl třeba výběr o rozsahu 6 (zatímco v ašem příkladu to bylo je deset). 6
6 3.3 Dvouvýběrové testy o parametrech rozděleí Všechy údaje o těchto testech opět prezetujeme v podobě tabulky (3.). Podoba alteratví hypotézy a jí odpovídající vymezeí krtckého oboru odpovídají oboustraým testům. Nejpoužívaější je test hypotézy H µ µ, u kterého přchází v úvahu tyto varaty: : Dva ezávslé výběry buď se zámým rozptyly, (případě s extrémě vysokým rozahy výběrů, ) ebo s ezámým rozptyly, které jsou ahrazey bodovým odhady, S S. Pokud tyto výběrové rozptyly evedou k zamítutí hypotézy, jde o ezamítutí hypotézy o homogetě rozptylů. V tom případě má testové krtérum počet stupňů volost +. Pokud je hypotéza o homogetě rozptylů zamítuta, jde o případ ehomogeích rozptylů. V tomto případě má testové krtérum rozděleí s tzv. redukovaým počtem stupňů volost (způsob výpočtu euvádíme, je možo ho dohledat v příslušé lteratuře a my se tomuto případu vyheme). Dva závslé výběry s párově uspořádaým dvojcem měřeí x, y (kdy ). V tomto případě ahrazujeme zjštěé hodoty jejch rozdíly ve dvojcích d x y a d d, sd ( d d ). U testu hypotézy má krtcký obor je jedu část. Nejde o to, že by se jedalo o jedostraý test, ale druhou část krtckého oboru eí třeba vyšetřovat z toho důvodu, že testové krté- rum je kostruováo tak, aby výsledek ebyl meší ež jeda (větší rozptyl dělíme meším). Příklad 3. V ávazost a příklad.5 provedeme test homogety rozptylů a hladě výzamost,5 a,. Použjeme údaje z příkladu.5.. Hypotézu o homogetě rozptylů te-,3 F,35 F,975 F,5 dy ezamítáme. Příklad 3.3 [ 4;],48 [ 4;] 3,,995 V ávazost a příklad.4 (poté, co jsme se přesvědčl o homogetě rozptylů) ověříme shodu astaveí lek. Údaje opět budeme čerpat z příkladu.4. Rozptyly považujeme za ezámé a homogeí t 5,3 t,975[ 44] u,975,96 t,995[ 44] u, 995, ,3 +, Hypotézu tedy zamítáme a rozdíl v astaveí obou lek považujeme za vysoce výzamý. Výsledek tedy opět korespoduje s příslušým kofdečím tervalem z příkladu.4. Než postoupíte dál, vypočtěte ve cvčeí k této lekc úlohy 3 a 4! 7
7 Tab. 3. Přehled dvouvýběrových testů Hypotéza H H Testové krtérum Krtcký obor Stupě volost Podmíky testu µ µ µ µ U X X + u > < u x Nezávslé výběry, zámé rozptyly ebo velké rozsahy výběrů µ µ µ µ t + ( X X ) S + ( ) S + t > < t + Nezávslé výběry, ezámé homogeí rozptyly µ µ µ X X t > < t redukovaé Nezávslé výběry, ezámé ehomogeí rozptyly µ t S + S D E ( D) E ( D) t S( D) t > < t Párově uspořádaé výběry, D X Y S F S < F ; Test homogety rozptylů θ θ θ θ U ( p p p + p )( p ( + ) p ) u > < u x Velké rozsahy výběrů 8
8 3.4 Testováí shody rozděleí (ukázka) Náhodý výběr z rozděleí pravděpodobost může být malého rozsahu (v tom případě bude zpravdla etříděý) ebo velkého rozsahu, přčemž může být tříděý ebo etříděý. Probereme pouze případ výběru velkého rozsahu, tříděého do k tříd. Testuje se hypotéza, že hodoty jsou áhodým výběrem z určtého rozděleí pravděpodobost. Pokud jsou zámy parametry tohoto rozděleí, hovoříme o úplě specfkovaém problému, pokud parametry rozděleí ezáme, jde o eúplě specfkovaý problém. Prcp testu spočívá v obou případech v tom, že pozorovaé (emprcké, skutečé) četost (,,..., k) v jedotlvých třídách se porovávají s četostm očekávaým (vypočteým, teoretckým), staoveým pro příslušé rozděleí pravděpodobost áhodé velčy. Testovým krtérem je velča χ k ( ), která má za předpokladu platost testovaé hypotézy Pearsoovo rozděleí s počtem stupňů volost, který je u úplě specfkovaého problému, kdy jsou zámy parametry, dá jako k, u eúplě specfkovaého problému, kdy je třeba z výběru ejprve odhadout parametry rozděleí a teprve pak určovat příslušé teoretcké četost, rove k p, kde p je počet odhadovaých parametrů. Podmíkou použtí Pearsoova rozděleí je > 5 ve všech třídách. V případě, že tato podmíka eí splěa, je třeba sousedí třídy spojt, čímž dojde k poklesu počtu stupňů volost testového krtéra. Příklad 3.4 Ověříme hypotézu, že výběr o rozsahu 8 tříděý do k 5tříd, pochází z rovoměrého rozděleí R ;. Oba parametry považujeme za zámé,, 5. Řešeí vz pracoví tabulka 3.3. [ ] Tab. 3.3 Pracoví tabulka k testu dobré shody Vymezeí Emprcká Teoretcká ( ) Itervalu četost četost ;) 6,565 ;4) 6, 4 ;6) 4 6,5 6 ;8) 6 6, 8 ;) 9 6,565 Součet 8 8 3,375 Vypočteá hodota χ 3, 375. χ. Tabulková hodota [ 4] 9 49, 95, Hypotézu tedy eí možo zamítout. Nejčastěj se pomocí testů shody rozděleí (kterých je velký počet vz růzé stuace azačeé a začátku tohoto odstavce) ověřuje ormalta rozděleí pravděpodobost áhodé velčy. Teoretcké četost se staovují pro dskrétí áhodou velču jako souč rozsahu výběru a hodoty pravděpodobostí fukce P(x), pro spojtou áhodou velču F( x ), další hodoty jsou pak staovey jako ( F( x ) F( x )) a posledí hodota k ( F( xk )), kde F (x) je dstrbučí fukce. 9
9 Krtcký obor tohoto testu je moža všech hodot testového krtéra, které přesahují hodotu ( )% kvatlu rozděleí χ teto test exstuje je jako jedostraý (žádé rozděleím emůže z prcpu být apř. rovoměrější ež rozděleí rovoměré). Test se azývá testem dobré shody. 3.5 Odlehlé hodoty Klascké řešeí problému detfkace odlehlých hodot Toto řešeí reprezetuje apř. Grubbsův test extrémích odchylek, založeý za předpokladu or- N µ; a tom, že P [ X µ > ],46 <, 5. Př této hladě vý- málího rozděleí [ ] zamost tedy považujeme za odlehlou hodotu každou hodotu h, pro kterou h X > S. Příklad 3. 5 Je dá áhodý výběr (uspořádaý podle velkost),3,4,5,6,7,8,9,, 5, pro který x, 4 a s 4,5. Pro hodotu h 5 je 5,4,8s a tato hodota je tedy celkem podle očekáváí detfkováa jako odlehlá. Podobě jako v předchozím případě mějme výběr,3,4,5,6,7,8,9,,, který má x 4,4 a s 39, 9. Vyjádřete se k hodotě h. (3 5) Použtí artmetckého průměru a směrodaté odchylky eí pro řešeí problému odlehlých hodot přílš efektví a vede často k výsledkům, které jsou v rozporu s logkou. Robustí řešeí problému detfkace odlehlých hodot K řešeí problému detfkace odlehlých hodot lze s úspěchem využít robustího přístupu založeého a charakterstce MAD (meda absolute devato), tj. prostředí (medáové) absolutí odchylce od medáu jako robustí charakterstce varablty. MAD je prostředí v řadě uspořádaých odchylek x ~ MAD ( ) x a mez í a směrodatou odchylkou je vztah est, kde je směro-,6745. Klascké krtérum je tedy ahrazeo krtérem ~ MAD h x >.,6745 datá odchylka N [ µ; ] Příklad 3. 6 MAD Pro oba výběry z příkladu 3.5 je medá rove 6, 5 a MAD, 5. Proto 7, 4. Jako,6745 odlehlá tedy bude ozačea každá hodota, jejíž odchylka od medáu je větší ež právě vypočteá hodota. To se u prvího výběru týká stejě jako u klasckého přístupu založeého a odchylce od průměru právě ejvyšší hodoty 5, u íž je tato odchylka rova 43, 5. Řešte odlehlé hodoty z příkladu (3 5). (3 6) Teto odstavec chápeme současě jako malou demostrac výzamu eklasckých robustích metod ve statstce. Je třeba s ovšem uvědomt, že žádá metoda edokáže detfkovat hrubé chyby za stuace, kdy je hrubou chybou zatížea výzamá část pozorováí. Rozhodutí o vyloučeí odlehlé hodoty je vždy problematcké. Nevyloučeí odlehlé hodoty, která je hrubou chybou, představuje problém, stejě jako vyloučeí odlehlé hodoty, která hrubou chybou eí. Výskyt odlehlých hodot lze apř. očekávat u slě asymetrckých rozděleí. 3
10 3.6 Neparametrcké metody a testy (ukázka) Neparametrcké metody předpokládají takové úpravy v datech, kterým se ezámé rozděleí (za ceu ztráty část formace obsažeé v datech), převede a rozděleí zámé. Jedou z těchto metod je tzv. zaméková metoda, kterou se hodoty áhodého výběru z ezámého spojtého rozděleí převedou a posloupost symbolů dvojího druhu (apř. zaméek + a ), čímž je ztracea formace o jejch velkost. Nechť X,...,, X X je áhodým výběrem z ezámého spojtého rozděleí s medáem x,5. Testovaá hypotéza H : x,5 c prot oboustraé alteratvě H : x,5 c. Počet kladých odchylek od medáu v souboru o rozsahu ozačíme jako áhodou velču Z. Tato velča má bomcké rozděleí se středí hodotou E ( Z) a rozptylem D ( Z ). Je-l rozsah 4 Z výběru dostatečě velký, lze potom velču U aproxmovat rozděleím N [ ;]. Krtcký obor testového krtéra je stejý jako u všech ostatích oboustraých testů s krtérem U. Ve výběru o rozsahu 5 předpokládáme hodotu medáu x,5 33. V datech bylo ovšem zjštěo celkem 35 kladých odchylek od této hodoty. Ověříme hypotézu o hodotě medáu a hladě výzamost,. (3 7) Další používaou eparametrckou metodou je metoda pořadová, př íž ahrazujeme hodoty uspořádaého áhodého výběru pořadovým čísly, čímž se (za ceu ztráty formace o rozdílech sousedích hodot) dostáváme k dskrétímu rovoměrému rozděleí. Σ. Nejceější techkou matematcké statstky je testováí hypotéz.. Obecý postup př testováí předpokládá formulac hypotéz (testovaé a alteratví), volbu hlady výzamost, výpočet testového krtéra a vyhodoceí testu. 3. Př testováí dospějeme buď k zamítutí testovaé hypotézy (a přjetí alteratví hypotézy) ebo k jejímu ezamítutí. 4. Protože př testováí vycházíme z formací z áhodého výběru, je testovací procedura zatížea chybam chybou prvího a druhého druhu. 5. Nejvýzamější skupou testů jsou testy o parametrech rozděleí pravděpodobost áhodých velč. V této souvslost jsme probral ěkteré ejfrekvetovaější jedo- a dvouvýběrové testy. 6. Dalším úkolem testováí je ověřovat hypotézy o tvaru rozděleí áhodých velč. V této souvslost jsme se omezl pouze a ukázku tzv. testu dobré shody. 7. Pomocí testováí lze rověž ve výběru ošetřt odlehlá pozorováí. V této souvslost jsme ukázal rověž jede robustí postup, který se praktcky využívá v laboratorí prax. 8. Rezgujeme-l a tvar rozděleí, lze využít eparametrckých metod a testů. V této souvslost jsme se omezl a ukázku zamékové metody a jedovýběrového zamékového testu o medáu áhodé velčy. 3
11 9. Problematku testováí jsme probral pouze a úrov lehkého úvodu. Čteář se po prostudováí lekce rozhodě estae expertem a daou problematku.. Z praktckého hledska výzamou aplkací testovací procedury je ěkolkrát ctovaá statstcká přejímka. (3 ) Testovat lze pouze hypotézu o rozptylech. Ostatí hypotézy je třeba přeformulovat: H θ θ, H : µ µ. : (3 ) Pravděpodobost chyby prvího druhu je rzko dodavatele (vyhovující dodávka je odmítuta). Pravděpodobost chyby druhého druhu je rzko odběratele (evyhovující dodávka je přjata). x c bychom pro 5 (3 3) Př stejém rozdílu 378 dospěl k ezamítutí ulové hypotézy ( t, 98 ). Pro 8 t, 5. Stejý rozdíl bychom tedy prohlásl v prvím případě za evýzamý a ve druhém za výzamý. (3 4) S výjmkou testu o rozptylu všecha testová krtéra skutečě vyhovují tomuto obecému zápsu a vyjadřují rozdíl mez vypočteou a předpokládaou hodotou v čtatel v ásobcích směrodaté chyby ve jmeovatel. h je a tato hodota tedy překvapvě jako odlehlá detfkováa eí. (3 5) Pro 4,4,89s (3 6) Pro druhý z výběrů je hodota MAD stejá jako ve 3.6 a tudíž zde budou jako odlehlé ozačey hodoty stejě vzdáleé od medáu, jako u prvího výběru. To se týká (tetokrát v souladu s očekáváím) obou ejvyšších hodot (jejch odchylka od medáu je 93, 5 ), které prví metoda jako odlehlé eodhalla u > u,995 5 ( 35 (3 7) Testové krtérum,83, 58. Hypotézu o hodotě medáu tedy zamítáme, eboť rozdíl skutečého z ) a předpokládaého počtu 5 kladých odchylek je atolk velký, že hypotéza o hodotě medáu eí udržtelá.. Na hladě výzamostí,5 ověřte hypotézu : 5 H prot oboustraé alteratvě. Použjte data z příkladu... Z 36 áhodě vybraých automoblů určté sére mělo určtou vadu %. O- věřte hypotézu, že tuto vadu má /3 všech vozů prot alteratvě, že /3 vozů tuto vadu emá. Pracujte s % hladou výzamost. 3. V ávazost a úlohu formulujeme úlohu, že v sesterském motážím závodě se z 4 áhodě vybraých vozů závada projevla u 8 % vozů. Ověřte hypotézu o stejé četost vady v obou motážích závodech prot alteratvě o estejé četost. Zvolte obě běžě používaé hlady výzamost. 4. V tabulce jsou uvedey časy (v m.) spotřebovaé a určtou výrobí operac u 6 dělíků a počátku ( x ) a koc ( y ) zácvku. Ověřte hypotézu, že zácvk eměl vlv a spotřebu času prot oboustraé alteratvě. Hladu výzamost zvolte apř.., 3
12 Dělík x y Př povrchím pohledu lze říct, že oboustraé testy mají krtcký obor složeý ze dvou částí. Mez testy, které jsme probral, jsou dvě výjmky. Zatímco jeda se jako jedostraý test pouze tváří, exstuje skupa testů, které jsou z prcpu jedostraé. Popšte tyto výjmky. 6. Exstuje v prcpu stuace, kdy můžeme prohlást výskyt chyby prvího/druhého druhu za jev (absolutě) emožý? 33
Testování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
Vícea další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.
Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceMendelova univerzita v Brně Statistika projekt
Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2
SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý
VíceTento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i
: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru
VícePřednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění
Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě
Více, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle
Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceNejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
Více12. Neparametrické hypotézy
. Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
VíceSpolehlivost a diagnostika
Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore
VíceTest dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám
Více3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.
3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
VíceÚvod do korelační a regresní analýzy
Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceIntervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním
Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru
Více1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru
Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v
VíceTESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceÚvod do teorie měření
Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceOdhady a testy hypotéz o regresních přímkách
Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
VíceChyby přímých měření. Úvod
Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,
Více9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost
Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hyotéz Př statstckých šetřeích se často setkáváme s roblémy tohoto druhu () Máme zjstt, zda dva daé vzorky ocházejí z téhož ZS. () Máme rozhodout, zda rozdíly hodot růměrů (res. roztylů)
VíceP1: Úvod do experimentálních metod
P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu
Více4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
Vícejsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x
Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Více[ jednotky ] Chyby měření
Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VícePřednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs.
Předáška V. Úvod do teore odhadu Pojmy a prcpy teore odhadu Nestraé odhady Metoda mamálí věrohodost Průměr vs. medá Opakováí výběrová dstrbučí fukce Sestrojíme výběrovou dstrbučí fukc pro výšku a váhu
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VícePřednáška č. 2 náhodné veličiny
Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující
VícePřednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceUNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy
UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Více7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl:
7 LIMITNÍ VĚTY Čas ke studu kaptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umět formulovat a používat lmtí věty aproxmovat já rozděleí rozděleím ormálím - 96 - Výklad: V této kaptole adefujeme
VíceVY_52_INOVACE_J 05 01
Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceSTATISTICKÁ ANALÝZA. Doc. RNDr. Zden k Karpíšek, CSc. P ehledový u ební text pro doktorské studium. Vysoké u ení technické v Brn
Vysoké ueí techcké v Br Fakulta strojího žeýrství STATISTICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Zdek Karpíšek, CSc. Pehledový uebí tet pro doktorské studum BRNO 008 Pedášející: Doc. RNDr. Zdek Karpíšek, CSc. Cetrum pro
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
Více- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.
MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je
VíceVýstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy
Paralelí soustava Vstup a a Výstup a Vstup a Výstup a a obrázek : Blokové schéma a graf paralelí soustavy paralelí soustava je v bezporuchovém stavu je-l v bezporuchovém stavu prvek (tzv. adbytečé spojeí
VíceUČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík
UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceStatistika - vícerozměrné metody
Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé
VíceDoc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VíceTesty statistických hypotéz
Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč
VíceTESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určté předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ HYPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Více11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad
. Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé
VíceTéma 4: Výběrová šetření
Výběrová šetřeí Téma : Výběrová šetřeí Předáška Výběrové charaktertky a jejch rozděleí Výzam a druhy výběrového šetřeí tattcké šetřeí úplé vyčerpávající eúplé výběrové výběrové šetřeí aha o to aby výběrový
VíceAPLIKOVANÁ STATISTIKA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4
VíceMetody statistické analýzy. doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
Metody statstcké aalýzy doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Bakoví sttut vysoká škola, a.s. Praha 0 METODY STATISTICKÉ ANALÝZY Autor: Recezet: Vydal: Tsk: Vydáí: doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. doc. Ig. Jří Trešl,
VíceNáhodný výběr, statistiky a bodový odhad
Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
Více0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)
. Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě
Více14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat
4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto
Více1.1 Definice a základní pojmy
Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých
VíceStatistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).
Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké
Více2. Vícekriteriální a cílové programování
2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě
VíceVýukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí
Více