Kinetická teorie plynu

Transkript

1 Kineticá teorie plnu Kineticá teorie plnu, terá prní poloině 9.století doázala úspěšně spojit lasicou fenoenologicou terodnaiu s echaniou, poažuje pln za soustau elého počtu nepatrných hotných částic oleul, teré jsou neustálé pohbu (tz. neuspořádaný pohb, a poocí echanicých lastností těchto částic (jejich hotnosti, rchlosti, hbnosti, echanicé energie sětluje terodnaicé eličin plnu (tla a teplotu plnu, jeho nitřní energii, a taé poje tepelné energie. ejjednodušší je apliace ineticé teorie na ideální pln, jehož choání jse popsali inulé otázce. Zopauje si jeho záladní lastnost že oleul tohoto plnu na sebe zájeně nepůsobí žádnýi silai (případně je ožno dodat roě nepatrných oažiů zájených pružných sráže oleul. Důslede nuloých sil ezi oleulai ideálního plnu je poto taé nuloá potenciální energie aždé oleul (neboť tato energie je stanoena prací působící síl, ja je znáo z echani. Z toho dále plne, že celoá echanicá energie (aždé oleul je ted tořena pouze její energií ineticou, a že nitřní energie plnu jao součet šech energií šech jeho oleul je pa dána celoou ineticou energií těchto oleul. Druhou lastností ideálního plnu je zanedbatelná eliost jeho oleul - jsou to pratic hotné bod pa ůžee zanedbat rotační pohb oleul a saozřejě i energii tohoto pohbu. Toto zanedbání bude zřejě eli dobře hooat při poronání s reálnýi jednoatooýi oleulai (He, e, Ar, a taé napřílad pro plazatu běžně se stující ionizoané ato, jejichž lastní oent setračnosti je jistě zanedbatelně alý. U ětších oleul, sládajících se ze dou a íce atoů pa oše bude nutno započítat i ineticou energii rotace oleul, případně i energii jejích itů. Kineticá teorie plnu je poažoána za teoreticý zálad auoé fzi. Rozdělení rchlostí euspořádaný pohb oleul plnu a jejich stále probíhající zájené sráž (a saozřejě i sráž se stěnai nádob ede tou, že oažité rchlosti oleul jejich sěr i eliosti se neustále ění. Jistě si uíe předstait, ja se nějaá braná oleula po něolia hodných srážách téěř zastaí, nebo ja naopa dojde nohonásobnéu zýšení její rchlosti (i dž to jsou zřejě éně praděpodobné situace, proto ůžee předpoládat, že jaéoli čase ají oleul plnu různé rchlosti celé interalu ožných eliostí tj. od nul do neonečna. Z důodu obrosého počtu částic (řádu Aogadroa čísla není oše ožno sledoat pohb aždé částice a určoat její rchlost, případně její polohu. Přito rchlosti částic určitě záisejí i na celoé stau plnu napřílad při zahříání se jistě zšuje podíl rchlejších částic. Metodai ateaticé statisti se podařilo r. 85 Mawelloi (Jaes Cler Mawell stanoit tz. rozdělení rchlostí oleul ideálního plnu e stau terodnaicé ronoáh : Pro počet d oleul {z celoého počtu, jejichž eliost rchlosti se nachází interalu teré ají eliosti sých rchlostí zadané interalu (, + d platí : d, tj.

2 d 4π e T d Mawelloů rozděloací záon π T ( je hotnost jedné oleul, je Boltzannoa onstanta a T je absolutní teplota. Podíl obou diferenciálů, terý á ssl počtu částic jednotoé interalu rchlostí ( ístě dané rchlosti - lze taé použít terín hustota částic na ose rchlostí - se pa označuje jao rozděloací funce : f d d π Mawelloa rozděloací funce ( 4 e T π T f( Fziální ssl rozděloací funce: f d dφ á obecně ýzna hustot bodů (částic, přesně - obrazů staů částic dané ístě fázoého prostoru - tj. jejich počet jednotce objeu fázoého prostoru. naše případě: f ( d d je hustota částic na ose eliosti rchlosti, tj. jejich počet jednotoé interalu rchlostí, ístě dané rchlosti na této ose. Průběh rozděloací funce potrzuje naši úahu, že počt částic s rchlosti eli alýi a eli soýi jsou nepatrné, neboť platí :

3 f ( li f ( ; Mezi těito hodnotai pa rozděloací funce á aiu tzn. jeho oolí jsou nejětší počt částic jsou to ted nejpraděpodobnější sta oleul plnu. Proto polohu aia označujee jao nejpraděpodobnější rchlost oleul a platí pro ni ztah (terý df počtee ze ztahu : d T P nejpraděpodobnější rchlost e statistice nás oše nejíce zajíají střední hodnot, terýi ůžee žd charaterizoat celý soubor částic, a proto definujee střední rchlost jao ariteticý průěr z rchlostí šech oleul : s K + Za použití rozděloací funce lze přeést tento součet jao ážený ariteticý průěr na určitý integrál přes celý obor rchlostí a relatině lehce počítat (jde o tz. Laplaceů integrál : d f ( d 8 T π střední rchlost oleul Dále se počítá střední adraticá rchlost oleul jao ariteticý průěr ze šech adrátů jednotliých rchlostí oleul : f ( d T střední adraticá rchlost Tato eličina je fziálně nejdůležitější, protože určuje střední energii oleul přes laný náze rchlost á oše ssl adrátu rchlosti, proto ji usíe ještě odocnit, abcho zísali eličinu s fziální rozěre rchlosti : T ef efetiní rchlost Je zajíaé, že obě tto střední rchlosti se příliš neliší (asi o % od nejpraděpodobnější rchlosti, terá určuje polohu aia rozděloací funce (iz obr : Mezi těito rchlosti platí následující ztah:,9 ef p,85 ef ted: p < < ef

4 Lze uázat, že interalu, leží rchlosti asi je ožné si předstait, že šechn oleul ají stejnou rchlost ronou. šech oleul. Proto při hrubých odhadech 4 Přílad: Stanote onrétní hodnot uedených rchlostí pro dusí, odí, argon a enon při teplotě ýpočet uprate příslušné ztah, napřílad : o C. Pro p T T R A RT. M ol oleula [ s ] p [ s ] ef [ s ] H Ar Xe nitřní energie ideálního plnu Uaže ideální pln jao soustau elého počtu hotných bodů (oleul, šechn o stejné hotnosti. Jestliže nějaá určitá oleula á oažitou rchlost, poto její ineticá energie je: ε Celoou ineticou energii této sousta dostanee sečtení energií šech oleul : E i ε i Tento obrosý součet (řádu Aogadroa čísla nepatrných členů (protože jsou taoé hotnosti oleul lze jistš nahradit integrále přes celý obor rchlostí. Přito užijee Mawelloa rozdělení rchlostí, podle terého d oleul á rchlosti interalu d, ted interalu (, +d tj. šechn tto oleul ají pratic stejnou rchlost, ted i stejnou energii ε : 4

5 E i ε i ε d f ( d f ( d Po násobení a dělení počte částic se ná ronici přío objeí definice střední adraticé rchlosti, což odůodňuje trzení inulé odstaci, že střední adraticá rchlost určuje ineticou energii. Za tuto rchlost ůžee hned dosadit a dostanee : E T T rácení hotnosti znaená, že še oleulá sousta ůžee přiřadit jednoduchou střední hodnotu ineticé energie: ε T střední energie jedné oleul Dostááe ta jeden ze zásadních ýsledů ineticé teorie, totiž že střední energie oleul ideálního plnu nezáisí na hotnosti oleul, tj. na druhu plnu. A taé idíe, že jednoduchýn násobení této eličin počte částic zniá celoá ineticá energie. Kdž dále použijee definice látoého nožstí a olární plnoé onstant, dostanee : E T T ν A ν RT Stejná látoá nožstí různých plnů ají stejné celoé ineticé energie. Protože potenciální energie ideálního plnu je zanedbatelná, toří nái počítaná ineticá energie ešerou nitřní energii plnu : U Ein ν R T nitřní energie ideálního plnu idíe, že taé nitřní energie ideálního plnu nezáisí na druhu pln - je funcí pouze dou staoých eličin teplot a látoého nožstí : U U ( ν,t A ted při zadané onstantní nožstí plnu je nitřní energie dána pouze teplotou plnu, což nás přiádí určení ýznau teplot jao fziální eličin: Teplota je írou ineticé energie neuspořádaného pohbu částic lát za stau terodnaicé ronoáh (u ideálního plnu je přío úěrná celoé energii. Teplota je staoá eličina, terá charaterizuje ronoážný sta celé terodnaicé sousta (jao celu, tz. arosta, unitř sousta jsou pa irosta jednotliých částic. Podína terodnaicé ronoáh je saozřejě eli oezující, proto se e fzice definuje teplota i při tz. loální terodnaicé ronoáze ( dané ístě sousta. 5

6 Poznáa : Přesto ša něd teplota neeistuje, např. eletricý ýboj zářice je tpicý silně neronoážný sstée: eletron ají teplotu 5 K, iont a oleul pouze 5 K, nelze ted stanoit celoou teplotu Protože je nitřní energie jednoznačně určena staoýi eličinai teplotou a látoý nožstí je saa taé jednoznačně přiřazena danéu stau - a je ji proto ožno roněž poažoat za staoou eličinu (idíe oše určitý rozdíl, proto se něd staoé eličin rozlišují na staoé proěnné a staoé funce, případně terodnaicé potenciál. Dále : Jestliže se ná podařilo určit přesný funční ztah pro nitřní energii, ůžee nní počítat její neonečně alý přírůste (zěnu, tz. úplný diferenciál, jao ateaticý diferenciál funce dou proěnných : ( ν,t R T dν + ν R dt Při dané nožstí plnu pa jednodušeji : (T dt ν R dt dt terodnaice jse ododili pro přírůste energie ideálního plnu obecný ztah : ν C dt Poronání ihned zísáe jádření pro olární tepelnou apacitu ideálního plnu : C R Tato eličina je ted onstantní : C 8,4,47 J / K ol To ale souhlasí s eperientálníi hodnotai pouze pro jednoatooé pln (He, e, Ar,.Hg,. U douatooých plnů je C oolo J/K.ol a s teplotou roste až na 9 /K.ol. íceatooé pln se pa odchlují ještě íce. sětlení tí to, že pouze jednoatooá oleula se sutečně podobá hotnéu bodu, jehož ineticá energie je tořena pouze ineticou energií translace, dežto u ětších oleul je už nutno započítat energii rotačního pohbu. Klasicá fzia se pousila tento problé řešit následující způsobe : Pohb hotného bodu je popsán třei stejně ýznanýi souřadnicei a jeho ineticou energii lze taé forálně rozepsat na tři stejné části : in. E E ( A stejně ta lze forálně rozepsat ztah pro střední energii oleul a pro ýslednou olární tepelnou apacitu plnu : ε C T R T R + + T R + + R 6 z T z

7 Bl proto sloen eipartiční teoré - že na aždou souřadnici (stupeň olnosti pohbu připadá hodnota energie T, teré pa tepelné apacitě odpoídá příspěe R Tento teoré pa lze úspěšně použít na složitější oleul, napřílad douatooou oleulu (iz obr.: - translace těžiště : souřadnice - rotace ole os jdoucí těžiště : souřadnice ( os - itání podélné ose : souřadnice (iz energie itání Cele ted 7 souřadnic (stupňů olnosti a podle eipartičního teoréu bude olární tepelná apacita ít eliost: C 7 R 7 8,4 9 J / K ol Dodate: Zopauje ještě na záěr šechn lastnosti nitřní energie jao staoé eličin : Ze zísaného ztahu pro její přírůste ůžee určit celoou zěnu nitřní energie - při nějaé terodnaicé procesu např. při přechodu ze stau (určeného staoýi eličinai p,, T, ν do stau (p,, T, ν : U ν R dt ν R dt ν R ( T T Po roznásobení idíe, že zěna nitřní energie je jednoduše dána rozdíle nitřních energií počáteční a oncoé stau : U ν R T ν R T U U Terodnaicý proces ůžee grafic znázornit jao řiu spojující počáteční a oncoý sta nějaé soustaě souřadnic staoých eličin, např. oblíbené p- diagrau : T 7 T

8 p p( p'( Pa ůžee onstatoat, že náš ýpočet zěn nitřní energie při určité terodnaicé procesu nezáisí na dráze integrační cestě (řice procesu, ale záisí pouze na počáteční a oncoé stau. Pro da různé proces (edoucí od. do.stau, tj. pro dě různé ři p( a p ( spojující tto sta, ted bude platit ronost integrálů : ( p ( p Přeedee na leou stranu a upraíe : ( p ( p ( p + ( p A protože se jedná o liboolné da sta a liboolné ři ezi těito sta, dostááe na leé straně ronice integrál platný pro liboolnou uzařenou řiu : Celoá zěna nitřní energie je ted nuloá při jaéoli uzařené integrační cestě (řice tj. při tz. uzařené ( ruhoé terodnaicé procesu. nitřní energie plnu je ta forálně ateatic podobná potenciální energii onzeratiní siloé poli. nitřní energie se proto řadí ezi tz. terodnaicé potenciál a znilo ná pro ni něoli eialentních podíne : 8

9 U je staoá eličina c eistuje úplný diferenciál c onst (zěna nitřní energie záisí pouze na počáteční a oncoé stau. c (při uzařené procesu se nitřní energie nezění Tto ztah jsou teoretic eli užitečné a uožňují jednoznačné a pohodlné rozlišení staoých a nestaoých eličin terodnaice. Pošiněte si taé forální podob s podínai onzeratinosti siloých polí.. sětlení tlau plnu této apitole prozouáe zájené působení ideálního plnu (za terodnaicé ronoáh s porche pené lát, terá ho oblopuje (stěn nádob a sětlíe (a počítáe tla plnu jao důslede echanicých nárazů hotných částic - oleul na tuto stěnu. Z předchozích apitol již íe, že pln lze poažoat za soustau elého počtu nepatrných hotných částic oleul, teré se neustále pohbují tz. neuspořádaný pohbe a srážejí se nazáje, i se stěnai auoého sstéu. případě ideálního plnu pa ůžee zanedbat jejich zájené působení (síl. Moleul se pa choají jao olné částice a pohbují se (ezi srážai podle ewtonoa záona setračnosti ronoěrný příočarý pohbe. Důslede neuspořádaného pohbu a náhodných sráže jsou zcela náhodné ja eliosti rchlostí oleul ta i jejich sěr pohbů, proto i na oblopující stěn dopadají oleul taé s liboolnýi rchlosti a pod zcela náhodnýi úhl. Jistě je eli přijatelná předstaa, že se nepatrná oleula podobá aléu pružnéu íču, terý se odrazí od podlah pod stejný úhle (od olice a se stejnou eliostí rchlosti jao dopadl - proto se rátí zpět do stejné ýš, ze teré padal. Při toto pružné odrazu se ted nezění eliost rchlosti, pouze její sěr - a nedochází e ztrátě ineticé energie. a obrázu idíe, ja při taoé odrazu padají etor rchlosti dopadající a odražené oleul : 9

10 r (před dopade se po dopadu zění na r. astane ted zěna rchlosti : r r r Půodní rchlost Je zřejé, že etor rchlostí lze zapsat : r (, etor zěn rchlosti je ted : r r r ( A pro jeho eliost platí : Zěně rchlosti oleul. r r p jejíž eliost pa je: p r (,, r odpoídá oše zěna hbnosti :, To podle. ewtonoa záona znaená, že na oleulu e sěru od stěn působila síla: r r p F t Ale podle. ewtonoa záona (ace a reace taé oleula působila na stěnu silou stejně eliou, ale opačně orientoanou: F r Tato síla je olá na stěnu a je zřejou příčinou tlau plnu. ní počítáe onrétně, oli oleul za čas d t dopadne na zolenou plošu stěn oleula ohla na tuto stěnu ůbec dopadnout, usí etor její rchlosti sěřoat e stěně ted při orientaci os podle obrázu usí být : >. d S. Ab

11 Pro tuto souřadnici etoru rchlosti, terá spoluurčuje eliost rchlosti, bude zřejě eistoat nějaá (zatí neznáározděloací funce f(, terá určuje hustotu částic na ose a terá ná uožní počítat počet d oleul {z celoého počtu, celé objeu plnu, jejichž souřadnice rchlosti se nachází interalu d, ted teré ají souřadnici rchlosti zadané interalu (, + d : d d( f ( d. Ale šechn tto oleul za čas d t na stěnu nedopadnou, neboť něteré jsou od stěn daleo. Ted dopadnou pouze t oleul, jejichž zdálenost od ploš d S není ětší než dt (déla dráh ronoěrného pohbu rchlostí za čas d t - a to jsou šechn oleul objeu (iz obr.: ds dt. Ja blo ýše řečeno, počet oleul d( je definoán celé objeu plnu poto jednotoé objeu je jich oleul: d( dsdt. Každá z těchto oleul běhe dob d( d t dopadne na Ted celoá zěna hbnosti šech těchto oleul bude : d( dp dsdt a uažoaný obje eliosti dsdt obsahuje počet d S a po odrazu od ní á zěnu hbnosti d( dsdt Časoá zěna této hbnosti pa je síla, lastně jen část celoé síl - od této supin oleul: dp df dt Kdž tuto sílu dělíe eliostí ploch této supin oleul : dp df ds dp dtds A naonec ýsledný tla na plošce. d S, dostanee tla, lastně opět jen část celoého tlau - od d( d S je pa součte (integrále přes šechn ožné rchlosti :

12 p dp po dosazení za počet částic dostanee: p f ( d. d( Uážíe-li, že žádný sěr rchlostí není při neuspořádané pohbu preferoaný, pa rozděloací funce souřadnic usí být sudá : f ( f (, Pa ůžee rozšířit integrační obor a po jednoduché úpraě znine ronici zřejá střední hodnota adrátu souřadnice rchlosti : p f ( d. Tuto střední hodnotu lze jednoduše bez ýpočtu ododit použití ztahu pro eliost rchlosti a následný úsude : + + z Předstaíe si forálně zapsanou střední hodnotu leé i praé stran a uážíe, že šechn tři střední hodnot na praé straně usí být stejné (protože žádná souřadnice při neuspořádané pohbu není preferoána : + + z Ted střední hodnota adrátu souřadnice rchlosti á jednoduchou souislost se znáou střední hodnotou adrátu eliosti tchlosti : Po dosazení do poslední ronice pro tla a po alé úpraě (násobení a dělení dojou uidíe, že lastně obsahuje eličinu celoé ineticé energie šech oleul plnu, což se u ideálního plnu roná nitřní energii : p Po násobeni objee : E U z p U Součin p je ted írou nejen nožstí lát, ale taé nitřní energie. Často se uádí tar pro jednotoý obje plnu : p U záladní ronice ineticé teorie

13 Tato ronice už prní poloině 9. století uázala jednoznačné spojení terodnaicých eličin s echanicýi lastnosti částic plnu a položila zálad dále úspěšně rozíjené statisticé terodnaice, později pa na antoé záladě. Za nitřní energii ještě dosadíe jádření poocí teplot, teré jse nalezli inulé apitole : U ν R T A dostanee : p ν R T znila ted znáá ronice : ν R T p ν R T staoá ronice ideálního plnu Apliací záonů lasicé echani na terodnaicou soustau jse dostali přesný standardní tar staoé ronice ideálního plnu se šei čtři staoýi eličinai. a záěr tohoto odstace, terý přinesl eli zásadní ýslede, uedee přeapiý fat : uázalo se, že ýchozí předpolad našeho ýpočtu pružné sráž oleul se stěnai - je chbný. e sutečnosti pouze část oleul (např. 5 % se odráží od porchu pružně ostatní odraz jsou ýrazně nepružné, tzn. rchlost odražené oleul je enší než rchlost oleul dopadající (část ineticé energie dopadající oleul se přeění na teplo. Tento proces je pa dále zoplioán tz. jee adsorpce, při teré jsou oleul zachcen porchoýi silai a určitou dobu na porchu setráají, a tepre po uplnutí této dob se od porchu odpoutáají (tz. je desorpce - přito jejich rchlost ůže být enší i ětší než půodní rchlost dopadu.???????????????????????????????????????????? Situaci zachraňuje elý počet oleul plnu a předpolad terodnaicé ronoáh plnu četně stěn nádob, terá pln uzaírá. To onrétně znaená, že pln i stěn usí ít stejnou a stálou teplotu (tento sta podle. principu terodnai žd nastane po uplnuží tz. relaační dob. Pa budou ít oleul na stěnu dopadající a oleul stěnu opouštějící průěru stejné rchlosti - jao při pružné odrazu. Kdb totiž bl různé, napřílad db oleula, terá opouští stěnu, ěla nižší rchlost ted nižší ineticou energii rozdíl energií b dostala stěna a usela b se zahřát na šší teplotu což je spor s předpolade ronoážného stau (onec apitol K. Rusňá, erze /