Základní pojmy statistické fyziky Boltzmannova klasická statistika

Transkript

1 Základní oj statistické ik Boltannoa klasická statistika Statistický ois terodnaické sousta částic V terodnaice často oužíáe oje sta - naříklad lnu, obecně ak terodnaické sousta, což je obecně hodně olená část rostoru, obsahující liboolná tělesa, lnná, kaalná i ená. ejnáější je ak sta terodnaické ronoáh (ronoážný sta, který ůžee osat staoýi eličinai, jako je obje, tlak, telota, hotnost, nitřní energie, entroie,. Tto eličin oisují sta terodnaické sousta jako celku - t. akrosta - a ůbec si nešíají jednotliých částic, e kterých je soustaa tořena. Každá jednotliá částice sousta á oše nějaký sůj konkrétní sta t. ikrosta - a soubor ikrostaů šech částic ak ůžee onačit jako ikrosta sousta. Protože ákladní částice terodnaických sousta jsou eli alé (nař. ato a olekul ají roěr řádu -, ůžee je oažoat raktick a hotné bod. Z (klasické echanik ak íe, že sta hotného bodu (dané hotnosti je dokonale osán jeho olohou a (okažitou rchlostí ak le e kouané siloé ole stanoit šechn další eličin hotného bodu, jako jeho dráhu, rchlení, energii kinetickou i otenciální. Poto ted ikrosta sousta neatrných hotných částic (olekul, atoů, dané časoé okažiku bude určen, jestliže u každé částice budee nát její olohu a rchlost. Při teoretické oisu staů hotných částic se naísto rchlosti ětšinou oužíá hbnost - tí se do ýočtů autoatick ahrne i hotnost částice sta jedné částice ak bude určen její olohou a hbností ted děa ektor : r (,, r a (,, Jinak řečeno - sta jedné částice je určen děa trojicei čísel, nichž rní určuje olohu částice, tj. lastně bod rostoru kartéských souřadnic,, (olohoý rostor a druhá trojice určuje hbnost částice, což je také bod rostoru kartéských souřadnic,, (iuloý rostor, rostor hbností. Sta jedné částice ted jednonačně oisují da bod, deinoané ýše. Situaci le orálně eli jednodušit, jestliže aedee šestiroěrný áoý rostor Φ s kartéskýi osai,,,,,, neboť toto rostoru je ak sta jedné částice náorněn také oue jední bode (ůžee ho naat obrae stau částice: (,,,,, Mikrosta sousta částic je ak e áoé rostoru náorněn soustaou také bodů (obraů staů částic a růné ikrosta ak saořejě naenají růné sousta bodů e áoé rostoru. Mikrosta ak saořejě určují sta akrosta - terodnaické sousta. V klasické ice se dokauje, že jeden akrosta ůže být realioán íce růnýi ikrosta (které niknou ájenýi áěnai stejných částic tj. bodů e áoé rostoru, a že sta terodnaické ronoáh je

2 charakterioán aiální očte ožných ikrostaů, ted aiální raděodobností jeho realiace (i také učební tet ro FYA. K čeu je lastně dobrý áoý rostor? - Uožní ná analoat růné ikrosta sousta! Z důodu sokého očtu částic reálných terodnaických sousta (řádu Aogadroa čísla, tj. jedno olu není totiž ožné kouat ikrosta jednotliých částic, ale je ožno kouat - etodai ateatické statistik - skuin částic e hodně eených částech (objeech, buňkách áoého rostoru. Veení části áoého rostoru le roést růnýi geoetrickýi ůsob, které jsou analogické tou, kdž rostoru chcee deinoat nějaký obje V (Pro úsoru ísta učební tetu budee od očátku racoat s dierenciálníi eličinai, které, jak už jste iděli e ice, jsou otřebné ři oisu roěnliých lastností sěta kole nás : Kdž naříklad beree takoé souřadnice na kartéských osách,,, ab ležel adaných (eli alých, dierenciálních sojitých interalech elikosti d, d, d, ted ab latilo : (, + d (, + d (, + d Poto geoetrické ísto bodů rostoru, ro které současně latí tto odínk, lňuje raoúhlý hranol o hranách d, d, d, který á obje (eli alý, dierenciální : dv d d d Analogick ři ýběru souřadnic na kartéských osách iulsoého rostoru,, e sojitých interalech elikosti d,d, d, ted a odínek : (, + d (, + d (, + d Pak bude geoetrické ísto bodů iulsoé rostoru, ro které současně latí tto odínk, tořit raoúhlý hranol o hranách d,d, d, který á obje: dh d d d Mateatick stejný ůsobe ak ůžee roést eení objeu (buňk e áoé rostoru Φ : Budee-li ožadoat, ab buňka bla geoetrický íste takoých bodů e áoé rostoru, jejichž souřadnice budou ležet adaných eli alých sojitých interalech na jednotliých osách, ted ab latilo současně : (, + d (, + d (, + d, + d (, + d (, + d (

3 Poto e áoé rostoru nikne eli alý (eleentární šestiroěrný kádr o elikosti : d φ d d d d d d obje áoé buňk (alé části áoého rostoru Mateatick je řejé, že tento áoý obje le jádři oocí občejného objeu a objeu iuloé rostoru : dφ dv dh Přioeňe nní, že na inulé stránce jse došli k áěru, že ikrosta dané sousta hotných částic je e áoé rostoru obraen soubore také bodů obraů staů hotných částic. Z důodu obroského očtu částic terodnaických soustaách bude i alé části áoého rostoru (e áoé buňce ležet určitý, nenuloý očet částic - jako alou část celkoého očtu ji ůžee onačit, liitě ak d (řesně řečeno, je to očet částic, jejichž obra staů leží této buňce. Pokuse se dále určit, jakou charakteristickou lastnost á tato skuina částic řito ihned onáe ýhodu alých, liitě až dierenciálních eličin. Jestliže totiž ožadujee, ab nějaká souřadnice bla e eli alé (dierenciální interalu, naříklad : (, d + Abcho si dobře uědoili, co to řesně naená, naíšee tento tah s nějakýi číselnýi údaji : ( 5, 5, + A ak je ihned řejé, že šechn oé souřadnice takoé alé interalu ají raktick stejnou hodnotu 5 []. V obecné áisu ted hodnotu. A analogick to latí ro šech 6 áoých souřadnic. Ted : Ve eli alé áoé buňce Φ se nacháí bodů (částic, které ají šechn sé souřadnice raktick stejné a roné (olený hodnotá,,,,,. Zcela řesně oše toto trení latí až ro dierenciálně alé eličin dφ a d. ebo-li : Všechn tto částice ají raktick stejnou olohu (,, i hbnost (,,. Stejná oloha částic naená ale také stejnou otenciální energii ot. a stejná hbnost určuje stejnou energii kinetickou kin.. Všech částic áoé buňk Φ á ted stejnou celkoou echanickou energii : ot +. kin. To uožňuje jednoduše očítat celkoou energii šech částic této buňce násobíe jen energii jedné částice očte částic buňce : řesně latí liitě d Protože konkrétní ikrosta dané terodnaické sousta je charakterioán určitý soubore bodů e áoé rostoru ted jejich určitý roložení (rodělení oto růných ístech áoého

4 rostoru e áoých buňkách elikosti Φ, Φ, Φ, ( liitě dφ - jsou obecně jistě růné očt částic,,, ( liitě d - s energiei,,, ( liitě Vnitřní energie terodnaické sousta - klasické ice jako eškerá echanická energie šech částic sousta dohroad - je ak dána součte uedených ýraů řes šechn ožné buňk áoého rostoru : U i Φ i V liitě dierenciálních eličin ak součet řecháí na určitý integrál řes celý áoý rostor (nebo řes jeho určitou oblast, kde jsou nenuloé očt částic : U d Φ Práě nitřní energií jako staoou eličinou je osán sta (akrosta sousta e ískaného tahu idíe, že nitřní energii a ted i tento sta sousta určují očt částic e áoých buňkách ( růných ístech áoého rostoru. Ted jinak řečeno určitý akrosta sousta je dán určitý roložení částic e áoé rostoru.. ale to saé jse konstatoali i u ikrostau sousta. Jaké jsou ted lastně rinciiální odlišnosti ikro- a akrostau sousta? Uaže : Částice sousta jsou občejná alá hotná tělíska olekul, které ůžee nějaký ůsobe onačit, naříklad ořadoýi čísl, a ůžee je ted od sebe ájeně rolišoat a ři deinoání ikrostau sousta usíe řesně osat, jaké části áoého rostoru tj. jaké áoé buňce - je která částice, tj. s jaký ořadoý čísle. Jestliže si ak ředstaíe, že b se ájeně ěnil dě částice (da bod e dou růných áoých buněk ak b nikl cela jiný ikrosta, ale rotože se neění očt částic e áoých buňkách neění se ale staoé eličin (nitřní energie neění se ted ani akrosta sousta Z důodu sokého očtu částic terodnaických soustaách je takoých ožných áěn částic obroský očet, roto ůžee solehliě konstatoat : Určitý akrosta sousta le tořit noha růnýi ikrosta, které se od sebe liší oue ájenýi áěnai částic buňkách áoého rostoru, řičež očt částic těchto buňkách ůstáají neěněné. (Makrosta se ted ění oue ři ěně očtu částic některé áoé buňce. Celkoý očet těchto ikrostaů se naýá terodnaická raděodobnost w stau (akrostau sousta. V klasické terodnaice se dokauje, že ronoážný sta sousta je charakterioán jeho aiální terodnaickou raděodobností a roněž aiální entroií, která s touto raděodobností souisí Boltannoý tahe : S k ln w Uědoe si dále určitou, doosud skrtou nesná : 4

5 Protože akrosta sousta je určen roložení částic e áoé rostoru, ěli bcho ted být schoni ho osat konkrétníi očt částic,,, ( liitě d e áoých buňkách elikosti Φ, Φ, Φ, ( liitě dφ, ležících růných ístech áoého rostoru. Oše očet částic e áoé buňce áisí nejen na roložení částic e áoé rostoru, tj. na oloe áoé buňk, ale také jistě na její elikosti (e ětší áoé objeu Φ bude íce částic, stejně jako e ětší občejné objeu V bude íce olekul látk. Proto je otřeba olit a oužíat áoou buňku nějaké dohodnuté standardní elikosti. Otiální je jednotkoá elikost, která se u každé áoé buňk jednoduše stanoí odíle : φ φ.. φ Dostanee tak řadu (oslounost čísel, která určují (střední očt částic (bodů, obraů staů částic jednotkoých objeech růných ístech áoého rostoru - jinak řečeno jsou to střední objeoé hustot (koncentrace částic těchto ístech áoé rostoru. Jestliže roedee liit těchto odílů ro dierenciální áoé obje, budou tato čísla určena každé ístě áoého rostoru nikne ted unkce, deinoaná na celé áoé rostoru : d roděloací unkce dφ Fikální ssl : Je to očet částic (bodů, obraů staů částic jednotkoé objeu ( dané ístě áoého rostoru, jinak řečeno je to objeoá hustota (koncentrace částic e áoé rostoru. áe roděloací ocháí toho, že tato unkce určuje, jak s jakou hustotou jsou částice rodělen e áoé rostoru. Při její nalosti le jednonačně stanoit očt částic liboolně eliké áoé buňce liboolné ístě áoého rostoru a tto očt, jak íe, určují akrosta sousta : d dφ říadně řibližně φ Proto stejně jednonačně latí i obrácené trení : Každéu stau (akrostau terodnaické sousta žd odoídá určitá, charakteristická roděloací unkce. Roděloací unkce ronoážného stau terodnaické sousta. Boltannoa klasická statistika. Sta terodnaické ronoáh je ákladní stae (akrostae terodnaické sousta - tahuje se k něu. ostulát terodnaik : Každý akroskoický ssté, který je od jistého okažiku daných časoě neěnných nějších odínkách, žd nehnutelně a určitý čas (relaační doba dosěje do stau aného terodnaická ronoáha, něž neeistují žádné akroskoické roces a ěn a staoé araetr sstéu ají časoě konstantní hodnot. Po niku stau terodnaické ronoáh je ak jakákoli další ěna akroskoického sstéu ožná oue následke noého nějšího ásahu. 5

6 Terodnaická ronoáha nikne nejrchleji t. ioloané terodnaické soustaě, e které jsou řerušen eškeré teelné, echanické a jiné interakce sousta s okolníi těles. Všechn t. staoé eličin, náé e střední škol i e ákladního sokoškolského kuru ik jsou stanoen, deinoán ráě jen toto stau jsou to lastně eličin ronoážného stau. Jedině ronoážné stau ak ro tto eličin latí staoá ronice, která uožňuje ýočt terodnaických rocesů, ři kterých se jen relatině oalu ění ronoážný sta sstéu to jsou t. kaistatické roces. Roděloací unkci ronoážného stau le ododit relatině jednoduše již íněného Boltannoa tahu a toho, že ronoážný sta sousta je charakterioán aiální terodnaickou raděodobností a aiální entroií : S k ln w Relatině jednoduchý ostue dostanee : konst e kt e kt σ Boltannoa roděloací unkce Ve tahu je oět onačen celkoý očet částic jako a W je celkoá energie jedné částice (k je Boltannoa konstanta a T je absolutní telota. Veličina σ je t. staoý součet, ro který latí ronice : kt σ e dφ Φ Staoý součet Abcho ohli tento integrál očítat, usíe nát energii částice : ot. + kin. (,,,,, Tato unkce á jednoduchý tar u ideálního lnu, složeného oue jednoatooých olekul, jejichž energii toří oue kinetická energie osuného ohbu (hotného bodu : kin. + + A ede k jednoduchéu ýočtu staoého součtu : 6

7 σ + + e kt dφ e kt Φ d d d d d d Protože součin dierenciálů rostoroých roěnných je objeoý eleent ( d. d. d dv a unkce a integrále uožňuje searaci roěnných, dostanee : σ dv e k T d k T k T e d e d V Výsledek rního integrálu je obje terodnaické sousta V a následující tři integrál jsou ateatick totožné a le je řeést na orálně stejné ýra substitucei : α k T α k T α k T Dostanee : + σ V k T e α d α Lalaceů integrál áorce á hodnotu π, roto nakonec dostááe : σ ( π k T V Staoý součet ideálního lnu Je ted roděloací unkce ideálního lnu : e kt V ( π k T Mawell-Boltannoa roděloací unkce Často se také oužíá tar ro očet částic eleentu áoého rostoru : d e k V ( π k T T dφ Mawell-Boltannů roděloací ákon ( rodělení ro ideální ln Z ředchoího tetu íe, že to je očet částic, které ají šechn raktick stejné souřadnice, řesněji řečeno, ají je eleentárních interalech : 7

8 (, + d (, + d (, + d, + d (, + d (, + d ( Protože roděloací unkce neobsahuje rostoroé roěnné,,, je eli jednoduché sečíst tto částice celé objeu V terodnaické sousta : V d d d d e kt V V ( π k T Stejně jako ři ýočtu staoého součtu je ýsledke niklého integrálu obje V terodnaické sousta, který se krátí se jenoatele a tak dostanee roděloací ákon e taru (očet částic onačíe oět d, i kdž orálně b ohl být odlišen indee, nebo čárkou : d d d d e kt ( π k T d d d Uědoe si, co jse nní dostali je to očet částic ( celkoého očtu částic celé sousta, které ají (raktick stejné hbnosti, tj. jejich souřadnice hbnosti jsou interalech : (, + d (, + d (, + d ebo jinak řečeno - jejich hbnosti jsou objeoé eleentu rostoru hbností, který á tar raoúhlého kádru : dh d d d Jak jse již uažoali, ro sta terodnaického sstéu ají rinciiální ýna oue očt částic a elikost říslušného objeoého eleentu ne jeho tar! Proto neusí ít buňk e áoé rostoru raoúhlý tar, ale ohou to být obje liboolných tarů stejně tak ůžee olit obje i de rostoru hbností (který je jeho odrostore. Veli důležitý ýsledek dáá olba tenké kuloé rst o oloěru a tlouštce d. Takoá kuloá rsta je totiž geoetrický íste částic sousta, jejichž elikost hbnosti je interalu : (, d + Ted elikost hbnosti šech těchto částic je raktick stejná a roná hodnotě. Všechn částice ted také ají stejnou kinetickou energii W kin. Obje tenké kuloé rst le jednoduše jádřit : dh 4 π d A o dosaení do roděloacího ákona dostanee ( ateatického hlediska je to také ožno onačit a transoraci do sérických souřadnic : 8

9 d( 4π kt ( π k T e d akonec ůžee řeést hbnost na rchlost : Poto dosadíe : d d A dostanee nejjednodušší rodělení ro ideální ln : d( 4π ( e k π k T Mawelloo rodělení odle elikosti hbnosti T d Mawelloo rodělení odle elikosti rchlosti Je to očet částic celé sousta ( celkoého očtu, které šechn ají (raktick stejnou elikost rchlosti, nebo-li ají elikosti sých rchlostí adané dierenciální interalu (, + d. Saořejě šechn částice ají také stejnou kinetickou energii W kin. To oše také naená, že Mawelloo rodělení odle rchlostí ohu interretoat jako rodělení částic odle jejich energií. Ze ískaného tahu ůžee ještě osaostatnit roděloací unkci : ( d( 4π ( e kt π k T d Mawelloa roděloací unkce ( odle elikosti rchlosti Ssl této unkce jako roděloací unkce je stále stejný stanouje očet částic jednotkoé eleentu áoého rostoru ten se ná oše de redukoal na ouhý jeden roěr na elikost rchlosti. Je to ted očet částic jednotkoé interalu (elikostí rchlostí ( ístě dané rchlosti hustota částic na ose rchlostí. Graick : ( 9

10 Z grau je idět, že částice lnu ají ři sé neusořádané ohbu šechn ožné rchlosti od nul do nekonečna, ale že eistuje oblast středních rchlostí (kole aia, kterou á nejětší očet částic. Polohu aia roděloací unkce určuje t. nejraděodobnější rchlosti : kt P nejraděodobnější rchlost (Zkuste ji očítat a D.c. standardní ateatický ostue nuloé rní deriace unkce Znalost roděloací unkce uožňuje očítat střední hodnot růných eličin, tahujících se k částicí sousta, naříklad střední (růěrnou rchlost olekul - jako aritetický růěr rchlostí šech olekul : s K + Za oužití roděloací unkce le řeést tento součet jako ážený aritetický růěr na určitý integrál řes celý obor rchlostí a relatině lehce očítat (jde o t. Lalaceů integrál : d ( d 8 k T π střední rchlost olekul Také se očítá střední kadratická rchlost olekul jako aritetický růěr e šech kadrátů jednotliých rchlostí olekul : ( d kt střední kadratická rchlost Její odocnina se ak naýá eektiní rchlost : kt e eektiní rchlost Pokuste se oět a D.c. roést ýočt těchto rchlostí oocí Lalaceoa integrálu. Při ýočtu oužijte ýsledk náé integrálního očtu (ro a >, n,,,, 4,... : n e(a d - d/da n e(a d, e(a d /a, e(a d π/4a. Je ajíaé, že střední a eektiní rchlost se ýraně neliší (jen asi o % od ýše uedené. nejraděodobnější rchlosti (i obr. Fikálně nejdůležitější je eektiní, eent. střední kadratická rchlost, rotože ji le dobře oužít ro ýočet střední energie jedné olekul :

11 ε e kt Po krácení dostááe jeden e ásadních ýsledků Boltanno statistik (kinetické teorie lnu, totiž že střední energie olekul ideálního lnu neáisí na hotnosti lnu, tj. na druhu lnu : k T ε střední energie jedné olekul A celkoá kinetická energie šech částic (olekul dohroad bude : kin ε k T Jestliže jádříe očet částic oocí látkoého nožstí ν a oužijee deinice unierální lnoé konstant R, tj. : ν A Poto dostanee : kin R A k ν A k T ν R T Protože ideální ln neá žádnou otenciální energii, toří nái očítaná kinetická energie eškerou nitřní energii U lnu : U ν R T nitřní energie ideálního (jednoatooého lnu kin Dierencoání této ronice nikne eli konkrétní jádření ro řírůstek nitřní energie : du ν R dt Z terodnaik také náe obecný tah ro řírůstek energie ideálního lnu : du ν C V dt Ihned ted idíe jádření ro olární teelnou kaacitu : C V R Tato eličina je ted konstantní : C V 8,4,47 J / K ol To ale souhlasí oue ro jednoatooé ln (He, e, Ar,.Hg,. U douatooých lnů je C V okolo J/K.ol a s telotou roste až na 9 /K.ol. Víceatooé ln se ak odchlují ještě íce.

12 Vsětlení tkí to, že oue jednoatooá olekula se skutečně odobá hotnéu bodu, jehož kinetická energie je tořena oue kinetickou energií translace, kdežto u ětších olekul je už nutno aočítat energii rotačního ohbu. Klasická ika se okusila tento roblé řešit následující ůsobe : Pohb hotného bodu je osán třei stejně ýnanýi souřadnicei a jeho kinetickou energii le také orálně roesat na tři stejné části : kin. ( A stejně tak le orálně roesat tah ro střední energii olekul a ro ýslednou olární teelnou kaacitu lnu : ε C V k T R k T R + + k T R + + R k T Bl roto sloen kiartiční teoré, že na každou souřadnici (stueň olnosti ohbu řiadá hodnota energie k T, které ak teelné kaacitě odoídá řísěek R Tento teoré ak le úsěšně oužít na složitější olekul, naříklad douatooou olekulu (i obr.: - translace těžiště : souřadnice - rotace kole os jdoucí těžiště : souřadnice ( os - kitání odélné ose : souřadnice (i energie kitání Celke ted 7 souřadnic (stuňů olnosti a odle ekiartičního teoréu bude olární teelná kaacita ít elikost: C V 7 R 7 8,4 9 J / K ol

13 Dolněk : Rodělení očtu částic e áoé rostoru ůžee také jednoduše řeést na rodělené raděodobností : Proeďe nejre alou úrau tahu ro očet částic obecné áoé buňce : d dφ Ronici dělíe celkoý očte částic : d dφ A uaže ýna niklých eličin. ejre na leé straně niklý odíl : dw d Je oěre očtu částic e áoé buňce ku celkoéu očtu částic je to relatiní očet částic e áoé buňce. A naíc jestliže si ředstaí, že náhodně beru jednu částici e sousta ak uedený odíl udáá ráě raděodobnost, že náhodně braná částice atří do uažoané áoé buňk (jako žd u ateatické raděodobnosti je to odíl očtu říniých říadů uažoaného jeu ku očtu šech ožností : a druhé straně ronice jse ak dostali eličinu (unkci: g A ronice á tar : dw g dφ Ssl noé unkce g odhalíe o její osaostatnění : g dw dφ Je to ted raděodobnost ýběru částice dané áoé buňk dělená elikostí této buňk ted řeočtená na jednotkoý áoý obje oět ted ůžee luit o (objeoé hustotě této raděodobnosti. Funkce g ak také ůže být naána roděloací unkcí raděodobnosti. Konkrétně ro Boltannoo a Mawelloo rodělení ůžee sát : g e kt σ Boltannoa roděloací unkce (raděodobnosti g ( 4π ( e kt π k T Mawelloa roděloací unkce (raděodobnosti Při oužití roděloací unkce raděodobnosti se ak jednoduší áis středních hodnot, naříklad střední rchlosti :

14 d ( d g( d střední rchlost olekul Dolněk : Rodělení očtu částic e áoé rostoru ůžee také jednoduše řeést na rodělení odle energie : To le dobře roést u ideálního lnu, jehož částice ají oue kinetickou energii : kin. Z této ronice jádříe kadrát rchlosti : Vniklou ronici dierencujee : d d A jádříe dierenciál rchlosti : d d d d Vniklé tah ak dosadíe do Mawelloa rodělení : k T k T e d 4π ( e π π k T d 4π ( kt d Dostanee tak : d( π ( e kt d konst e k k π T T d Mawelloo rodělení odle energií Je to očet částic, které ají šechn raktick stejnou energii, tj. jinak řečeno jejichž energie leží dierenciální interalu (, + d (konec kaitol K. Rusňák, ere /, uraeno ro t / 4