Tlak plynu a stavová rovnice podle kinetické teorie

Transkript

1 lak lynu a staoá onice odle kinetické teoie této kaitole ozkouáe zájené ůsobení ideálního lynu (za teodynaické onoáhy) s oche ené látky, kteá ho obklouje (stěny nádoby) a ysětlíe (a yočítáe) tlak lynu jako důsledek echanických náazů hotných částic - olekul - na tuto stěnu. Z ředchozích kaitol íe, že lyn lze oažoat za soustau elkého očtu neatných hotných částic olekul, kteé se neustále ohybují tz. neusořádanýi ohyby. říadě ideálního lynu ak ůžee zanedbat jejich zájené ůsobení (síly). Molekuly se oto choají jako olné částice a ohybují se odle ewtonoa zákona setačnosti onoěný říočaý ohybe. Přestože sěy ohybů jednotliých olekul jsou zcela náhodné, stejně jako elikosti ychlostí, lze říadě teodynaické onoáhy učit s oocí statistického Maxwelloa ozdělení alesoň střední hodnoty (elikosti) ychlosti. o yužijee našich následujících ýočtech a budee ředokládat, že olekuly (hotnosti ) se šechny ohybují stejnou ychlostí - a to střední ychlostí (iz inulá kaitola, tato tz. ektiní ychlost je inciiálně sojena se střední enegií olekuly a oto dobře oisuje siloé dynaické ocesy, kteých se olekuly zúčastňují). Dále uážíe, že obecně odle inciu skládání ohybů každý onoěný říočaý ohyb - a celke tedy také ohyby šech olekul - lze ozložit na stejné (tedy onoěné říočaé) ohyby na třech souřadných osách katézské soustay. o lze inteetoat také tak, že soubo neusořádaných ohybů olekul ostou lze nahadit souboe stejných ohybů jen na souřadných osách. Dosěli jse tak ke zdůodnění dalšíu ředokladu, že saotné olekuly se lynu ohybují ouze e sěu souřadných os. a každé ose jsou ak ožné dě oientace ohybu e sěu její kladné nebo záoné části, každá olekula á tedy ožných sěů a oientací ohybu. Potože ři neusořádaných ohybech olekul nejsou žádné sěy ani oientace eoány, ůžee e elké statistické soubou očekáat, že na každou ožnou oientaci ohybu řiadne / celkoého očtu částic. o jsou tedy jediné da ředoklady nejjednoduššího odelu ideálního lynu teodynaické onoáze, kteý bude oužit k ýočtů této kaitole : ) šechny olekuly se ohybují stejnou střední ychlostí ) a ouze e sěu katézských souřadných os (se oientacei) a ní ohled se jedná o eli zjednodušující a iitiní - tyicky středoškolský odel, kteý zřejě ůže osloužit ouze ke hubéu kalitatiníu oisu lynu obíhajících ocesů. Oak je šak adou ýsledky tohoto odelu se řesně shodují s exaktní ýočte, e kteé se zaočítáají (oocí integace) šechny ožné elikosti ychlostí olekul od nuly do nekonečna a

2 šechny ožné sěy neusořádaných ohybů olekul (iz nař. učební texty ředětu Y - yzika a technika akua ). ato řekaující shoda je zůsobena tí, že náš lyn ředstauje skutečně eli eliký statistický soubo - s neředstaitelný očte částic řádu Aogadoa čísla ( 0 ) - což zaučuje onoěné ozdělení ohybů částic do šech sěů a oientací - a že tento soubo je e stau teodynaické onoáhy - ak dobře latí ztahy o střední ychlosti olekul. Dále ale ještě usíe učinit nějaký inciiální ředoklad o zkouané ocesu o náazech olekul na och stěny nádoby : Jistě lze eli lehce řijout ředstau, že se neatná olekula odobá aléu užnéu íčku, kteý se odazí od nesonatelně ohutnější odlahy od stejný úhle (od kolice) a se stejně elkou ychlostí jako doadl (a oto se átí zět do stejné ýšky, ze kteé adal). Při toto užné odazu se nezění elikost ychlosti, jen její sě - nedochází tedy ke ztátě kinetické enegie. řetí ředoklade našeho ýočtu oto budou : ) užné náazy olekul na stěnu a ozdíl od ředchozích dou ředokladů ak tento ředoklad yadá na ní ohled eli ozuně a řijatelně. ale situaci zjednodušuje ještě ýaznější zůsobe e skutečnosti ouze část olekul (naříklad 50 %) se odáží od ochu užně ostatní odazy jsou ýazně neužné - tzn. ychlost odažené olekuly je enší než ychlost olekuly doadající, otože část kinetické enegie doadající olekuly se řeění na telo. ento oces je ak dále zkolikoán tz. jee adsoce (lynu), ři kteé jsou olekuly zachyceny ochoýi silai a učitou dobu na ochu setáají a tee o ulynutí této doby se od ochu odoutáají (je desoce lynu) - řito jejich ychlost ůže být liboolná enší i ětší než ůodní ychlost doadu. Přesto ani tento neeálný ředoklad 00 % - ních užných sážek kuodiu nenese do našeho ýočtu žádnou chybu situaci oět zachaňuje elký očet olekul lynu a sta teodynaické onoáhy lynu, četně a to usíe ještě dolnit četně stěn nádoby, kteá lyn uzaíá. o konkétně znaená, že lyn i stěny budou ít stejnou a neěnnou telotu (tento sta odle. inciu teodynaiky ždy o učité elaxační době nastane - iz kaitola o atných a neatných ocesech). Poto oše olekuly na stěnu doadající i olekuly stěnu oouštějící usí ít ůěu stejné ychlosti jako ři užné odazu. Kdyby totiž naříklad olekuly oouštějící stěnu ěly enší ychlosti tedy enší kinetické enegie než olekuly doadající ak ozdíl enegií by dostala stěna (její částice) a usela by se zahřát na yšší telotu což je e sou s ředoklade onoážného stau. yní se ěnujee konkétníu ýočtu tlaku lynu za uedených odiskutoaných ředokladů :

3 Kolo na stěnu oložíe někteou ze souřadných os - ak budou olekuly ohybující se e sěu této osy doadat kolo a také se budou kolo odážet (iz obázek) : z doadající olekula síla na olekulu k odažená olekula stěna síla na stěnu Jestliže yužijee jednotkoý ekto této osy, ůžee ychlost doadající a odažené olekuly nasat : k k Uaže, že zěnu hybnosti olekuly o odazu lze nasat : ( ) Potože obě ychlosti ají stejnou elikost (onou odle ředokladu ektiní ychlosti), á ekto zěny hybnosti elikost : ato zěna hybnost nastala za nějakou dobu t (doba náazu, sážky) a odle. ewtonoa zákona je důsledke siloého ůsobení duhého tělesa - stěny. íla ůsobila na olekulu jistě o celou dobu náazu a její iuls se usí onat áě zěně této hybnosti : t Po sílu, kteou ůsobila stěna na olekulu, tedy latí : t (idíe, že je to lastně ohyboá onice, yjádření síly jako časoé zěny hybnosti)

4 Potože zěna hybnosti je kolá ke stěně, á tento sě i ekto síly ůsobící na olekulu (a oientaci od stěny) - a tedy ři znáé sěu ektoů ůžee očítat ouze s jejich elikosti : t A dále - odle. ewtonoa zákona zákona akce a eakce také olekula ůsobí na stěnu nějakou silou silou stejně elikou a oačně oientoanou (iz ob.). ato síla je tedy také kolá na stěnu (a á oientaci do stěny) - a tí je také dobře zdůodněno, oč siloé ůsobení lynu na stěnu tlak á ždy sě noály k této stěně. a stěnu oše naáží ne jedna, ale oboské nožstí olekul - ýsledná síla ak zniká jako součet jednotliých sil od náazů šech těchto olekul - tedy jako součet jejich jednotliých zěn hybností což je celkoá zěna hybnosti šech doadajících olekul (za jednotku času). Abycho ohli zachytit náazy íce olekul, usíe o ýočet zolit časoý inteal oněkud ětší než doba jedné sážky. ato doba sice ředchozích onicích nebyla označena difeenciále, ale je skutečně neatná asi 0 - sec. - oto časoý inteal i o několik řádů ětši ůže být nyní difeenciále označen. yočíteje tedy celkoou zěnu hybnosti d šech olekul, kteé za nějaký čas d t doadnou na stěnu o loše. Potože už znáe zěnu hybnosti jedné olekuly, ostačí jen zjistit, kolik těchto olekul doadne za dobu d t (tj. běhe ní) na lochu. z y x d 4

5 Uaže, že olekuly se ohybují (ezi sážkai) jako olné částice (neůsobí na ně žádná síla) říočaý onoěný ohybe. Za zkouaný čas d t oto každá olekula uazí stejnou dáhu : edy za ředokladu, že se učitá olekula ohybuje sěe ke stěně - ak na ni běhe tohoto času také doadne, jestliže její zdálenost od stěny je enší než uedená dáha. Jinak řečeno : na stěnu běhe doby blízkosti stěny až do (kolé) zdálenosti d t doadnou šechny olekuly, kteé jsou ( dané čase) (a ohybují se sěe k ní) - a to jsou šechny olekuly obsažené aoúhlé kádu, kteý á obje (základna kát ýška, iz ob.) : Jejich konkétní očet získáe ynásobení tohoto objeu koncentací olekul (tj. očte olekul jednotkoé objeu), kteou zjistíe z celkoého objeu lynu a celkoého očtu olekul : n koncentace olekul lynu edy očet olekul e yznačené objeu je : n o je oše očet šech olekul toto objeu, ale odle úahy na očátku této kaitoly jen jejich učitá část a to / - se ohybuje sěe ke stěně, tj. : Potože zěna hybnosti jedné olekuly ři sážce se stěnou je elikosti hybnosti šech těchto olekul za uedený čas je : d, oto celkoá zěna Pak odle. ewtonoa zákona ůžee yočítat celkoou elikost síly, kteá zůsobila tuto zěnu hybnosti - a ta je také ona elikosti síly ůsobící na stěnu lochy : d 5

6 akonec stanoíe tlak, odle jeho dinice jako sílu ůsobící (řeočtenou) na jednotkoou lochu, a ještě oedee alou foální úau (ynásobení a ydělení stejný čísle) : idíe ak, že aá stana oníce lastně obsahuje celkoou kinetickou enegii šech olekul lynu, což se u ideálního lynu oná nitřní enegii : kin U E Dostááe oto eli jednoduchý ztah : E kin A o ynásobeni objee : E kin základní onice kinetické teoie ato onice už ní oloině 9.století ukázala jednoznačné sojení teodynaických eličin s echanickýi lastnosti olekul lynu a oložila základ dále ak úsěšně ozíjené statistické teodynaice, ozději také na kantoé základě. A když nakonec za nitřní enegii dosadíe její yjádření oocí teloty, kteé jse nalezli inulé kaitole : E U kin ν Dostanee řekaiě : ν ν ebo-li nejznáější onici ideálního lynu : ν staoá onice ideálního lynu Alikací zákonů klasické echaniky na teodynaickou soustau jse tedy ododili řesný standadní ta staoé onice ideálního lynu se šei čtyři staoýi eličinai (konec kaitoly) K. usňák, eze 04/008