Cvičení 11 (Creep a plasticita)

Transkript

1 VŠB Techická uiverzita Ostrava akulta strojí Katedra pružosti a pevosti (339) Pružost a pevost v eergetice (Návody do cvičeí) Cvičeí (Creep a plasticita) Autor: Jaroslav Rojíček Verze: 0 Ostrava 009

2 PPE Cvičeí. Základí předpoklady V předchozích cvičeích jsme často předpokládali: lieárí chováí materiálu (Hookův záko), ovykle platil pricip superpozice sil a posuutí (apětí, deformace), změy polohy či tvaru yly vzhledem k velikosti součásti zaedatelé a lízké ule (malé deformace), rychlost zatěžováí yla dostatečě pomalá, ay ylo možo zaedat dyamické jevy (statické zatěžováí), pohyem se zaývaly předměty kiematika a dyamika, v úlohách yl zaedá vliv času a materiál součásti (creep, relaxace apětí, úava materiálu apod. ale také opotřeeí atd.), tělesa měly ve všech odech a směrech stejé vlastosti (homogeí a isotropí materiál), chováí aizotropích materiálů zde eudeme rozeírat, v předchozích cvičeích jsme si přilížili jedoduché výpočty ukazující vliv teplot, teploty mají samozřejmě vliv a chováí materiálu (změy materiálových parametrů vlivem teploty jsou podroěji rozeráy a předáškách), Tyto předpoklady, důvody jejich zavedeí, omezeí apod. yly vysvětley v předmětech statika, kiematika, dyamika, pružost a pevost I, auka o materiálu. V ásledujících případech je potřea zvážit zejméa použití superpozice (plasticita, creep). V případech plasticity a creepu ývají často velké deformace, řeší se ovykle pomocí (MKP). Řešeím velkých deformací se eudeme zaývat, u ásledujících příkladů předpokládáme, že deformace jsou malé (zaedatelé) vůči velikosti součásti.. Řešeé příklady a procvičeí Cv Př_ plasticita ØD Dáo:,, D (S), materiálové parametry Urči: Rozor úlohy pro růzé variaty aproximace tahového diagramu. Or. Variata a/: Nejjedodušší ahrazeí tahového diagramu (viz Or. ): Závislost apětí deformace ( ε ) ahradíme: v olasti do meze kluzu Re platí = E ε, v olasti ad mezí kluzu ε > ε e = Re platí = Re, deformace E roste ad všechy meze. Ideálě pružěplastický materiál (ez zpevěí). Materiálové parametry E, Re. Re ε e ε Or. /4

3 PPE Cvičeí Pricip superpozice při zatěžováí ad mezí kluzu Re eplatí, k vysvětleí je použit zjedodušeý tahový diagram viz Or. 3. Myšlekový experimet: zatížeí a Or. (sílu ) rozdělíme a dvě části, ejprve součást zatížíme silou A, pak silou B. Platí, že = A + B. Dále platí A = A, S B = B S viz Or. 3. Z orázku je také patré, že v případě A + B > Re pak celkové apětí C při zatížeí silou ude C = Re e A + B = C! A A + B Or. 3 Re ε Variata /: Nahrazeí tahového diagramu (viz Or. 4): Re E E + = E ε ε e Or. 4 Závislost apětí deformace ( ε ) ahradíme: v olasti do meze kluzu Re platí = E ε, v olasti ad mezí kluzu > Re platí ε e = Re, Re = E E (ε ε e ). Tahový diagram se zpevěím. Materiálové parametry E, E, Re. Křivku lze také ahradit více ež dvěma přímkami multilieárí materiálový model. Variata c/: Aproximace tahového diagramu pomocí paraoly vyššího řádu (viz Or. 5) apř.: C, ε = + A B = A ε B, Materiálové parametry A, B, C, Materiálové parametry je uté určit z výsledků experimetu, lze využít hodoty ěžě udávaé v taulkách (Re mez kluzu, Rm mez pevosti atd.). 3. Řešeé příklady a procvičeí Cv Př_ tah staticky eurčitá úloha Or. 5 ε D 3 A Or. 6 Dáo:, D (S),,, E, E, Re. Urči: Reakce v závislosti a velikosti síly. Použijte variatu závislosti apětí deformace, uvažujte malé deformace. Samostatě variatu a závislosti apětí deformace, uvažujte malé deformace. 3/4

4 PPE Cvičeí Nejprve sestavíme rovice rovováhy, jedá se o soustavu prutů, které jsou zatěžováy pouze tahem (předpokládáme kladou sílu, zaedáváme vlastí tíhu prutů apod.). K řešeí použijeme styčíkovou metodu uvolíme od (styčík), kde se stýká více ež jede prut (od A). Schéma a výsledé rovice jsou uvedey v Ta.. Ta.. Schema: Rovice: / 0 = X 0 = R si R 3 si R = R 3 R R R 3 A / 0 = Y 0 = R cos R 3 cos R 0/ M A = 0 Všechy síly mají k odu A ulové rameo, rovice je splěa vždy Úloha je staticky eurčitá, sestavíme tedy deformačí podmíku. Nakreslíme od A před (A) a po zatížeí (A ) silou. Musí se jedat o polohu, kterou připouštějí vazy v úloze. Nemusí to ýt poloha, která skutečě astae (tu ezáme a teprve ji počítáme). Využijeme symetrie úlohy, řešeí se tím zjedoduší (síly R a R 3 mají stejou velikost, rověž pruty mají stejý průřez a jsou skloěy pod stejým úhlem). Schéma a výsledé rovice jsou uvedey v Ta.. Schema: A Δ A Ta k Δ 3 Vysvětleí a rovice: Bod A se po zatížeí posue do odu A. Předpokládáme, že úhly se po zatížeí ezměí (malé deformace). Pak posuutí odu A odpovídá prodloužeí prutu Δ. Prodloužeí prutu 3 Δ 3 odpovídá posuutí odu A v příslušém směru. Poloha odu A po zatížeí je dáa odem A. Poloha odu A před zatížeím je dáa průsečíkem kružice k se středem v odu D (viz Or. 6) s prutem 3 - po zatížeí. Při malých deformacích se kružice k změí v kolmici k prutu. Prodloužeí Δ, prodloužeí Δ 3 a kolmice k vytvoří pravoúhlý trojúhelík s úhlem v odu A. Z toho plye rovice: 3/ 3 = cos () Posledí částí je doplěí rovic, které reprezetují chováí materiálu. Přesěji jde o rovice vyjadřující závislost prodloužeí prutu a velikosti půsoící síly. Sloučíme tedy rovice =, ε = s rovicí vyjadřující chováí materiálu. Předpokládejme, že apětí epřekročí S mez kluzu Re, tedy = E ε, pak =. Pro áš případ pak platí: E S 3 = R 3 3, E S = R E S kde 3 =. Po dosazeí do rovice 3/ získáme výsledou třetí rovici: cos () R 3 cos () = R E S cos () E S cos R 3 = R cos () a řešeím soustavy rovic získáme řešeí: R = R 3 =, R + cos 3 () = (5). Nyí máme hotový prví krok aalýzy. + cos 3 () Porováím rovic (5) zjistíme, že R R 3 a tedy pro sílu Re S ( + cos 3 ()) (6) 4/4

5 PPE Cvičeí dosáhe apětí ve více zatížeém prutu maximálě meze kluzu Re. Tuto mezí sílu azveme MAX. Pro případ, že síla přesáhe hodotu MAX ale apětí v prutech a 3 edosáhe meze kluzu, musíme vytvořit ové řešeí. Rovice rovováhy (rovice, )a deformačí podmíka (rovice 3) udou stejé. Všechy rovice jsou v Ta. 3. Ta. 3 Rovice rovováhy: (), () R = R 3 0 = R cos R 3 cos R Deformačí podmíka (3): 3 = cos () Závislost síla-prodloužeí u prutu 3 (4) Stejé jako v předchozím případě: R 3 cos () 3 = E S Závislost síla-prodloužeí u prutu Re = E (ε ε e ) Výsledá rovice: (5) = R S ε = = ε e + R S Re E Řešeím soustavy rovic (), (), (3), (4), (5) získáme reakčí síly (proveďte samostatě). Toto řešeí ude platit dokut apětí v prutu a 3 epřesáhe mez kluzu. Pro prut 3 (eo ) tedy můžeme psát: R 3 Re R S 3Max = Re S, po dosazeí reakce R 3 můžeme vyjádřit kritickou sílu MAX podoě jako v předchozím případě (proveďte samostatě). Pokud síla pade do itervalu MAX - MAX ( MAX, MAX ) pak v prutu je apětí ad mezí kluzu a v prutech a 3 apětí pod mezí kluzu. Překročí-li velikost síly hodotu MAX překročí apětí v prutech a 3 mez kluzu. Dále postupujeme stejým způsoem jako v předchozích dvou případech. Základí rovice shruje Ta. 4. Ta. 4 Rovice rovováhy: (), () R = R 3 0 = R cos R 3 cos R Deformačí podmíka (3): Závislost síla-prodloužeí u prutu 3 (4) 3 = ε e 3 = cos () cos () + R 3 S Re E cos () Závislost síla-prodloužeí u prutu (5) = ε e + R S Re E Dalším kritickým mometem může ýt překročeí meze pevosti. Při překročeí meze pevosti y došlo k porušeí prutu (ejprve prutu ). Řešili ychom staticky určitou úlohu (ez porušeého prutu ) podoým způsoem jak je výše azačeo. 5/4

6 PPE Cvičeí 4. Řešeé příklady a procvičeí Cv Př_3 ohy Or. 7 Dáo:, a, - (J),, E, Re Určete průěhy apětí v osíku. Použijte variatu a závislosti apětí deformace, uvažujte malé deformace. Při řešeí tohoto případu zovu musíme začít z rovic rovováhy. Případ rozdělíme do tří částí: v prví apětí v tělese ikde epřekročí mez kluzu Re, ve druhé apětí v části tělesa (průřezu) překročí mez kluzu Re a ve třetím překročí apětí v celém průřezu v kritickém místě tělesa mez kluzu Re. Řešeí prvího případu ylo podroě proráo v pružosti a pevosti I a je shruto v Ta. 5 (také viz cvičeí ). Ta. 5 Příklad ohy Celé těleso M RA Proměá x popisující polohu řezu v tělese se R AX A mohou pohyovat v olasti: x 0;. R AY x Průěh mometu ohyového Momet v řezu: M ( x x ) M M Extrém M MAX x + Rovice rovováhy v řezu: ix 0, ds 0 tato rovice je splěa umístíme-li počátek do těžiště plochy řezu. M iy 0, z ds 0 tato rovice je splěa je-li deviačí momet rove ule. M iz 0, y ds M ( x) 0 z této rovice odvodíme = M(x) y, kde J je J kvadratický momet plochy - osový. Průěh apětí v řezu Odvozeí rovic rovováhy v řezu: M(x) z ds y x a MAX x Or. 8 x= 6/4

7 PPE Cvičeí V dalším postupu můžeme využít zalosti o průěhu apětí po průřezu, viz Or. 8. Pro sílu MAX dosáhe maximálí apětí MAX meze kluzu Re: Re = MAX = M MAX = MAX a J J z toho plye: MAX = Re J. Překročí-li zatěžující síla hodotu MAX, ude v části tělesa apětí odpovídající mezi kluzu Re. V ásledující Ta. 6 jsou zopakováy potřeé rovice a azačeo řešeí pro sílu překračující hodotu MAX. Hodota c je vzdáleost od těžiště, ve které apětí dosáhe meze kluzu Re. Ta. 6 Chováí materiálu: V olasti do meze kluzu Re platí: = E ε. V olasti ad mezí kluzu ε > ε e = Re E platí: = Re, deformace roste ad všechy meze. Rovice rovováhy v řezu: ix 0 - jako v předchozím případě. iy 0 M - jako v předchozím případě. iz 0 M až po hodotu c ude průěh apětí stejý jako v předchozím případě ( = Re y), c avíc zde přiude část odpovídající apětí a mezi kluzu Re. c y ds Re a c M ( x) 0 C Po dosazeí získáme rovici (): c c Re Re a c Re y ds a c Re a c M ( x) c C 3 Z rovice () pak můžeme určit pro příslušou sílu a polohu x (M(x))hodotu c. S rostoucím zatížeím se ude hodota c zmešovat až k mezí hodotě c=0 mm. Situace, pro c=0, se azývá plastický klou a je popsáa v Ta. 6. Ta. 7 Rovice rovováhy v řezu: M ix 0 - jako v předchozím případě. Re MAX iy 0 M - jako v předchozím případě. iz 0 M - ude zde část odpovídající apětí a mezi kluzu Re: Re a M MAX 0 4 Re Re ε e M(x) c x x ε Po úpravě získáme rovici: Re a 4 M MAX Re a 4 MAX 7/4

8 PPE Cvičeí Po dosažeí hodoty = MAX se vytvoří plastický klou, v ašem případě osík eí schope přeést větší sílu. U staticky eurčitých úloh pak řešíme ovou úlohu s vložeým klouem a mometem M MAX. 5. Řešeé příklady a procvičeí Cv Př_4 creep: ØD Dáo:, D (S),, t, materiálové parametry. Urči: Prodloužeí tyče po čase t. Or. 8 Creep (tečeí) se ovykle popisuje pomocí grafu závislosti poměrého prodloužeí a čase (Or. 9). Křivku lze rozdělit do tří částí: I začátek tečeí, materiál zpevňuje, ε rychlost deformace se zmešuje. II rychlost deformace je kostatí, tuto část udeme počítat, k popisu lze použít Nortoův vztah dε c = A, kde A, jsou III dt materiálové parametry. I II III začíají se projevovat lokálí poruchy, zmešováí plochy průřezu až do lomu. t Or. 9 Budeme počítat prodloužeí tyče po čase t, zaedáme vliv olasti I (primárí creep), zaedáme vliv změy průřezu apod. Předpokládáme jedoosou apjatost tah. Elastickou složku poměrého prodloužeí udeme ozačovat ε e, složku áležející creepu ε c. Postup řešeí je shrut v Ta. 8. Ta. 8 Nortoův vztah: dε c = A dt Hookův záko: = E ε e Napětí při tahu: Defiice poměrého prodloužeí: Poměré prodloužeí: (zatížeí eí fukcí času) ε = ε e + A dt Uvažujte pouze vliv síly, ostatí vlivy zaedejte (apř. vlastí tíha). (t) = S ε = dy dy = E S + A S t = dy dy Prodloužeí prutu: (zatížeí eí fukcí polohy) = E S + A t dy 0 S = E S + A t S Řešeí je v tomto případě jedoduché. Výsledé vztahy jsou elieárí, což začě komplikuje řešeí staticky eurčitých úloh. 8/4

9 PPE Cvičeí 6. Řešeé příklady a procvičeí Cv Př_5 tah 3 D Dáo:, D (S),,, t, materiálové parametry Urči: Určete reakce (soustavu rovic). Určete posuutí odu A A Or. 0 K řešeí můžeme použít soustavu rovic sestaveou v příkladu (viz Ta., Ta. ). Závislost prodloužeí síla použijeme z Ta. 8 (creep). V ásledující Ta. 9 jsou příslušé rovice se stručým popisem. Ta. 9. Schema: Rovice: / R = R 3 R R R 3 / 0 = R cos R 3 cos R A 3 3/ 3 = cos () A 3 Δ A Δ 3 k Prodloužeí prutů: 4/ = R + A R E S S t t 5/ 3 = R 3 + A R 3 E S S cos () Vidíme, že oproti příkladu se změily pouze rovice 4 a 5. Řešeím soustavy rovic -5 získáme reakce R 3, R, R,, 3. Posuutí odu A odpovídá prodloužeí prutu -. 9/4

10 PPE Cvičeí 7. Řešeé příklady a procvičeí Cv Př_6 Ohy Dáo:, a,,, t, materiálové parametry Urči: Určete apětí. Určete průhyovou čáru. Or. V tomto příkladu využijeme rovice popsaé v příkladu 3. Řešeí je azačeo v Ta. 0. Ta. 0 Rovice rovováhy v řezu: ix 0, ds 0 tato rovice je splěa umístíme-li počátek do těžiště plochy řezu. M iy 0, z ds 0 tato rovice je splěa jeli deviačí momet rove ule. M iz 0, y ds M ( x) 0 Po úpravě /: M x = y ds Odvozeí rovic rovováhy v řezu: M(x) z ds y x a Elastická složka deformace ε e, creepová složka deformace e c : ε = ε e + e c, dε = dεe + dεc, dt dt dt kde dεe 0 dε = dεc dt dt dt dε Nortoův vztah 3/: = A dt Sloučíme vztahy / a 3/: dε dt = d y dt = y d dt a z rovice vyjádříme apětí: y d A dt Napětí vložíme do rovice / M x = y ds = a rovici upravíme 5/: M x = d A dt M x y y = y d + A dt ds = y d A dt = A y y ds y ds y d = A dt Poloměr křivosti /: ε = = +y dφ dφ dφ = y Z pružosti a pevosti I (aalytická metoda) můžeme ještě doplit 4/: d w = kde w je průhy. dx Výsledkem je rovice: M x = y J y, kde J je charakteristika průřezu: J = dφ S y + ds. 0/4

11 PPE Cvičeí Vidíme, že výsledá rovice je velmi podoá klasické rovici pro výpočet apětí při ohyu. Komiací rovice 5 a rovice 4 můžeme sado sestavit také difereciálí rovici pro tečeí v ohyu, viz Ta.. Ta.. Sloučeím a úpravou těchto dvou rovic: M x = d A dt d w dx = y y ds Získáme: d dw A M(x) dx = dt J, kde J je charakteristika průřezu: J = y + ds. S Výsledé rovice pro výpočet průhyu a apětí při creepu se od klasických rovic příliš eliší, musíme mít ovšem a paměti, že eplatí pricip superpozice. 8. Řešeé příklady a procvičeí Cv Př_7 creep řešeí jedoduchého osíku q Dáo:, a,, q, t,, A. a Or. Urči: Určete průhyovou čáru. Postup ude stejý jako u úloh pružosti a pevosti I: Uvolěí a reakce (v ěkterých případech k řešeí reakce epotřeujeme). Určeí počtu řezů, vola souřadých systémů a sestaveí rovic vitřích účiků. Dosazeí do příslušých rovic (provedeí itegrace eo derivace atd.). Řešeí itegračích kostat alezeí okrajových podmíek. Řešeí úlohy je azačeo v Ta.. Ta.. Popis: Schéma, oecé rovice: Rovice: Řez q + M x = q x x x Řez itegrál d dw A M(x) dx = dt J, A d dw = ( q x dx dt x ) dx dw dx = φ J A d dw = x dx dt + q x + C Pro řešeí okrajových podmíek udeme používat atočeí φ: J A φ = x + q x + Cdt Zovu itegrujeme a rovici upravíme do vhodějšího tvaru. J /4

12 PPE Cvičeí Popis: Řez itegrál Rovice: φ(x ) = A x J + q x + C t + φ0(x ) Přidáme itegračí kostatu φ0(x ), která odpovídá atočeí v čase t=0 (ez vlivu creepu). Itegračí kostatu φ0(x ) alezeme apř. pomocí aalytické metody (viz Pružost a pevost I). J A dw dt = x + q x + Cdx J A dw dt = q x C x + C Stejým způsoem jako u atočeí (itegrace, úpravy) získáme rovici popisující průěh posuuti a osíku. w(x ) = A J q x C x + C t + w0(x ) Přidáme itegračí kostatu w0(x ), která odpovídá průhyu v čase t=0 (ez vlivu creepu). Itegračí kostatu w0(x ) alezeme apř. pomocí aalytické metody (viz Pružost a pevost I). Tímto jsme vyřešili atočeí a posuutí v oecém místě osíku, zývá vyřešit itegračí kostaty (C, C - creep). V Ta. 3 je azačeo řešeí itegračích kostat. Ta. 3. Popis: Nalezeé řešeí Rovice: φ x = A x J + q x w(x ) = A J q x + + C t C x + C t Okrajové podmíky Určeí C Ve vetkutí musí platit pro liovolý čas t : φ x = = 0 w x = = 0 φ x = = A J q + + C t = 0 Určeí C q + w x = = A J q + C = 0 C = q q + + C t = 0 /4

13 PPE Cvičeí Popis q + Rovice: C = q + q + C = q + Char. průřezu: J = y + ds. S J = a Pro = (ez creepu) platí: J = a = Pomocí výše uvedeých rovic můžeme sestrojit průhyovou čáru. a 3 9. Řešeé příklady a procvičeí Cv Př_7 Relaxace Dáo:, Δ, D (S), E, A,, +Δ=kost., t ØD Urči: Sížeí apětí po čase t. Δ Or. 3 Tyč ejprve protáheme o hodotu Δ, tím veseme do úlohy předpětí (apř. předepjaté šrouy). Zajímá ás, jak rychle ude apětí klesat (relaxace). Můžeme spočíst počátečí apětí v tyči způsoeé prodloužeím o Δ. Pro tyč zatížeou tahem platí: = E S = a dopočteme apětí (rovice ) 0 = = E. E S S Celková délka + se v průěhu času eměí, platí tedy ε = kost. Zatížeá tyč se v průěhu času prodlouží (creep). Zvětší-li se hodota musí se zmešit hodota Δ. Pro celkovou poměrou deformaci platí: ε = ε e + ε c, kde ε e je elastická složka, ε c je složka odpovídající creepu (v čase t=0 je ulová) a ε je počátečí (kostatí) hodota. Po derivaci a dosazeí Hookova zákoa (elastické) a Nortovy rovice (Creep) získáme: dε dt = dε e dt + dε c dt = d E dt + A. Počátečí deformace ε = kost., musí tedy platit: 0 = d E dt + A. Rovici upravíme a itegrujeme: d = E A dt, 3/4

14 PPE Cvičeí = E A t + C. Itegračí kostatu určíme z počátečích podmíek t=0: C = 0 Po úpravě získáme výsledou rovici: = 0 E A t, t = 0 E A t. 0. iteratura [] Treuňa,., Šimčák,.: Odolosť prvkov mechaických sústav, Košice, /4