Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Tomáš Hanzák

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Tomáš Hanzák"

Transkript

1 Uiverzia Karlova v Praze Maemaico-fziálí faula DIPLOMOVÁ PRÁCE omáš Hazá Deompozičí meod pro časové řad s epravidelě pozorovaými hodoami Kaedra pravděpodoosi a maemaicé saisi Vedoucí diplomové práce : Prof. RNDr. omáš Cipra, DrSc. Sudií program : Maemaia Sudií oor : Maemaicá saisia, pravděpodoos a eoomerie Sudií plá : Eoomerie

2 Upřímě děui vedoucímu své diplomové práce Prof. omáši Ciprovi za výěr a uděleí émau práce, posuí pořeé lieraur, eho ceé rad a připomí a především za lasavou ochou při vzáemé spolupráci. Prohlašui, že sem svou diplomovou práci apsal samosaě a výhradě s použiím ciovaých prameů. Souhlasím se zapůčováím práce. V Praze de.4. 7 omáš Hazá

3 3 Osah Asra / Asrac 4 Úvod 5 Záladí pom a meod 7. Nepravidelé časové řad...7. Deompozičí a reureí meod pro časové řad Expoeciálí vrováváí... 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 4 3. Jedoduché expoeciálí vrováváí pro pravidelé časové řad Wrighova modifiace pro epravidelé řad Nepravidelě pozorovaý ARIMA(,, ) proces... 4 Holova meoda 4 4. Holova meoda pro pravidelé časové řad Wrighova modifiace pro epravidelé časové řad Hol-Wiersova meoda pro řad s chěícími pozorováími Expoeciálí vrováváí řádu m Expoeciálí vrováváí řádu m pro pravidelé časové řad Expoeciálí vrováváí řádu m pro epravidelé časové řad DLS odhad polomicého redu supě m Něeré výpočeí aspe meod Odhad paramerů meodou maximálí věrohodosi Mír přesosi a adeváosi předpovědích meod rasformace časových řad Praicé prolém a zušeosi Sofwarová realizace Program DMIS Numericé přílad Závěr 78 Lieraura 79

4 4 Asra Název práce: Deompozičí meod pro časové řad s epravidelě pozorovaými hodoami Auor: omáš Hazá Kaedra: Kaedra pravděpodoosi a maemaicé saisi Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. omáš Cipra, DrSc. vedoucího: cipra@arli.mff.cui.cz Asra: Práce se věue zoecěím lasicých meod pu expoeciálího vrováváí pro edorozměré časové řad s epravidelě pozorovaými hodoami. Prezeováa sou zoecěí edoduchého expoeciálího vrováváí, Holov a Hol-Wiersov meod a dvoiého expoeciálího vrováváí pro epravidelé časové řad, erá la v miulosi vviua. Je avržea meoda aleraiví Wrighově modifiaci edoduchého expoeciálího vrováváí pro epravidelé řad, založeá a příslušém ARIMA procesu. Odvozeo e expoeciálí vrováváí řádu m pro epravidelé časové řad, eré e zoecěím edoduchého a dvoiého expoeciálího vrováváí. Podoá meoda, založeá a DLS (discoued leas squares) odhadu polomicého redu supě m, e éž odvozea. Ve všech případech e zachová reureí charaer původích meod a a i eich implemeačí a výpočeí eáročos. Součásí diplomové práce e program, v ěmž e dosupá věšia zde prezeovaých meod. Je éž uvedeo ěoli umericých příladů eich použií. Klíčová slova: časové řad, expoeciálí vrováváí řádu m, Holova meoda, edoduché expoeciálí vrováváí, epravidelá pozorováí. Asrac ile: Decomposiio mehods for ime series wih irregular oservaios Auhor: omáš Hazá Deparme: Deparme of Proaili ad Mahemaical Saisics Supervisor: Prof. RNDr. omáš Cipra, DrSc. Supervisor's address: cipra@arli.mff.cui.cz Asrac: his wor deals wih exesios of classical expoeial smoohig pe mehods for uivariae ime series wih irregular oservaios. Exesios of simple expoeial smoohig, Hol mehod, Hol-Wiers mehod ad doule expoeial smoohig which have ee developed i pas are preseed. A aleraive mehod o Wrigh's modificaio of simple expoeial smoohig for irregular daa, ased o he correspodig ARIMA process, is suggesed. Expoeial smoohig of order m for irregular daa as a geeralizaio of simple ad doule expoeial smoohig is derived. A similar mehod usig a DLS (discoued leas squares) esimaio of polomial red of order m is derived as well. I all cases he recursive characer of hese mehods is preserved maig hem eas o impleme ad high compuaioall effecive. A program i which mos of he mehods preseed here are availale is a par of he wor. Some umerical examples of heir applicaio are also icluded. Kewords: expoeial smoohig of order m, Hol mehod, irregular oservaios, simple expoeial smoohig, ime series.

5 Úvod 5 Úvod Schopos čii valií předpovědi o udoucím vývoi sledovaých evů a veliči e ezesporu líčovým faorem pro aše současá rozhoduí. Jedím z ásroů pro zísáí aových předpovědí e saisicá disciplía ozačovaá souhrě ao aalýza časových řad. Ze zámých hodo sledovaé veliči z miulosi až do současosi, eré voří zv. časovou řadu, se sažíme odhadou eí udoucí vývo. I přes epopiraelé limi uvedeého přísupu sou ao zísaé předpovědi časo uspooivě přesé. Navíc sou meod předpovídáí v časových řadách podroě zpracovaé a mohé z ich sou dosupé v příslušém sofwaru. Drivá věšia meod aalýz časových řad e avrhovaá pro práci s pravidelými časovými řadami, ed aovými, eichž sousedí pozorováí maí od see osaí časovou vzdáleos. Ješě poměrě dos pozorosi lo věováo zvláduí prolému zv. chěících pozorováí v ia pravidelých časových řadách. Podsaě méě prosoru ale doposud áleželo meodám, eré doázal zacháze s oecě epravidelými časovými řadami. I s imi se přiom v praxi můžeme sea převapivě časo. ao diplomová práce se věue právě meodám pro vrováváí a předpovídáí v časových řadách s epravidelě pozorovaými hodoami. Jeím cílem e poda přehled o exisuících meodách, avrhou eich případá vlepšeí či im aleraiví meod. Začá pozoros e věováa praicým prolémům souviseícím s použiím ěcho meod, apřílad osruci předpovědích iervalů. Práce se sousředí výhradě a meod pu expoeciálího vrováváí a eich zoecěí pro epravidelé časové řad. U všech ěcho zoecěí sou zachová důležié vlasosi původích meod, pro eré sou v praxi ceě. I adále de o meod deompozičí a adapiví, z praicého hledisa e výzamé zachováí eich reureího charaeru, a a i implemeačí a výpočeí eáročosi. ao práce se omezue a edorozměré časové řad, i dž v odoré lierauře se můžeme sea i s edoduchými zoecěími meod expoeciálího vrováváí a vícerozměré časové řad, viz. apř. Cipra (989). Seě a další modifiace a zoecěí ěcho lasicých meod, vviué pro růzé speciálí siuace, zde eudou zmíě a dále zoecňová pro epravidelé časové řad, přesože o lo možé. Až a edu výimu se udeme sousředi a meod pro esezóí časové řad. V práci sou prezeováa zoecěí edoduchého expoeciálího vrováváí (ods. 3.), Holov meod včeě eí verze s lumeým lieárím redem (ods. 4.), Hol-Wiersov meod (ods. 4.3) a dvoiého expoeciálího vrováváí (ods. 5.) pro epravidelé časové řad, eré l v uplulých leech puliová v odoré lierauře, viz. Wrigh (986), Cipra a ol. (995) a Cipra (6). V odsavci 3.3 e avržea meoda aleraiví Wrighovu expoeciálímu vrováváí pro epravidelé řad, odvozeá a záladě předpoladu, že zoumaá

6 Úvod 6 časová řada e epravidelě pozorovaý ARIMA(,, ) proces. V odsavci 5. e odvozeo expoeciálí vrováváí řádu m pro epravidelé časové řad, eré e zoecěím dvoiého expoeciálího vrováváí (případu m ) pro epravidelé časové řad z čláu Cipra (6). Vedle oho e odvozea i podoá meoda založeá a DLS (discoued leas squares) odhadu polomiálího redu supě m (ods. 5.3), erá s expoeciálím vrováváím řádu m splývá pouze ve verzi pro pravidelé časové řad. Pozoros e věováa výpoču počáečích hodo reureích meod, pro ěeré exisuící meod sou avrže droé modifiace používaých posupů. Pro edoduché expoeciálí vrováváí a Holovu meodu sou avrže vzorce pro rozpl ch předpovědí s delším časovým horizoem, založeé a předpoladu, že edoroové předpovědí ch voří ílý šum. Při výpoču počáečích hodo a rozplů předpovědích ch e vužívá vzah mezi dvoiým expoeciálím vrováváím a Holovou meodou, erý exisue v případě pravidelé časové řad. Je avrže maximálě věrohodý odhad paramerů předpovědí meod (ods. 6.), erý e za předpoladu ormali zoecěím lasicé miimalizace MSE riéria. Pro předpovídáí v epravidelé časové řadě e zavede poem ormalizovaých předpovědích ch, eré sou mimo ié vužívá při esech adeváosi použií daé předpovědí meod (ods. 6.). Pro vhodoceí efeivi předpovědích meod sou avrže uazaele odoé oeficieu deermiace v lieárí regresi (ods. 6.). V odsavci 6.3 sou romě logarimicé rasformace avrže i ěeré další rasformace časových řad. Odsavec 6.4 shrue auorov praicé zušeosi s apliací prezeovaých meod. Součásí diplomové práce e program DMIS (zraa pro Decomposiio Mehods for Irregular ime Series), v ěmž sou dosupé všech meod v éo práci uvedeé či odvozeé, s výimou Hol-Wiersov meod. Implemeace meod zahrue výpoče počáečích hodo, opimálí volu paramerů, výpoče odových a iervalových předpovědí a vhodoceí přesosi a adeváosi použií daé předpovědí meod (viz. ods. 7.). V odsavci 7. sou uvede dva oréí umericé přílad použií prezeovaých meod. Dále e zde pomocí věšího možsví simulovaých časových řad porováváa přesos Wrighova edoduchého expoeciálího vrováváí a aleraiví meod avržeé v éo práci.

7 Záladí pom a meod 7 Záladí pom a meod V éo rozsáhleší úvodí apiole sou vlože ěeré záladí pom a p meod, erých se ex diplomové práce ýá. Odsavec. deailěi poedává o pravidelých a epravidelých časových řadách a uvádí přílad, d se v praxi můžeme sea s epravidelými časovými řadami. V odsavci. e velmi sručě popsá oecý pricip deompozice časových řad, do ehož rámce spadaí i všech zde proíraé meod. Ze seého důvodu e zde oecá zmía o reureích meodách. Odsavec.3 se věue záladí mšlece a hisorii meod pu expoeciálího vrováváí, imiž e diplomová práce věováa.. Nepravidelé časové řad Klasicá (pravidelá) časová řada e souor hodo (pozorováí, měřeí) isé veliči v pravidelě rozmísěých časových oamžicích. Může í o hodo ěaé spoié veliči a předem zvoleé pravidelé časové mřížce, o agregaci ěaé aivi v rámci seě dlouhých a pravidelě rozmísěých časových iervalů eo o pozorováí ěaého pravidelě se opauícího evu. Jao ilusračí přílad ěcho ří možosí můžeme uvés apř. eplo měřeé a daém mísě aždý de vžd přesě v polede, poč záoů schváleých PSP ČR v edolivých leech a deí řadu poču diváů hlavích zpráv vraé elevizí saice. Reálé siuace, z ichž vziaí oréí časové řad, sou ed velmi rozmaié ee svou osahovou sráou ale aé smslem příslušé časové os. Důležiý e zde předpolad, že časové oamži, e erým edolivá pozorováí vzahueme, sou (z ěaého rozhoduícího hledisa) pravidelě rozmísěé. Ja ude sad vidě pozděi, eo předpolad eí vžd a edozačý, a se mohlo zdá. Rozhodeme-li se daou časovou řadu považova za řadu pravidelou, začíme eí hodo ovle ao,,, K, (..) de e pozorováí řad v čase,,, K, a přirozeé číslo udává délu dočé časové řad. Drivá věšia prací z olasi aalýz časových řad se zaývá model a meodami použielými právě pro aovéo (pravidelé) časové řad. V praxi se suečě ve velé míře seáváme s pravidelě pozorovaými časovými řadami. Věšia isiucí puliue své saisi pravidelě (měsíčě, čvrleě, ročě apod.), poud máme m sami možos orgaizova aše vlasí měřeí, zvolíme pravidelé časové ierval, leda omu ráil podsaé oeiví důvod.

8 Záladí pom a meod 8 Přeso exisuí siuace, d máme dispozici časovou řadu složeou z hodo pozorovaých v epravidelě rozmísěých časových oamžicích. Ozačíme-li o oamži ao,,, K, (..) pa hodo daé časové řad udeme zači podoě ao v (..),,, K. (..3) Přirozeě e požadováo, a plailo < < K <. Mluvíme o časové řadě s epravidelě pozorovaými hodoami či sručěi o epravidelé časové řadě. Pravidelou časovou řadu e možé chápa ao speciálí případ epravidelé časové řad, z opačého pohledu lze říci, že epravidelé časové řad sou zoecěím ěch pravidelých. Je samozřemě možé mírou epravidelos v pozorováí zoumaé časové řad zaeda. Jsou-li rozdíl i i éměř osaí, elze očeáva, že použií meod pro pravidelé řad vedlo zásadě chým výsledům. ao siuace může vzia apř. vůli epravidelosem v používaém aledáři (růzá déla měsíců a le). Jaýmsi mezisupěm sou zv. časové řad s chěícími pozorováími, eré vziaí z pravidelé řad (..) pomslým vpušěím ěerých edolivých pozorováí či eich celých úseů. Nuým požadavem, achom mohli mluvi o časové řadě s chěícími pozorováími, e ed o, a všech rozdíl i i l áso ěaého záladího časového rou a poud možo se mu časo roval. Exisuí model a meod, eré sou použielé a řad s chěícími pozorováími, ale ioli a už a řad zcela oecě epravidelé. o plaí ozvlášť pro sezóí časové řad. Jsou-li mezer v daech ráé a řídé, můžeme se pousi dopli chěící hodo, ať už experími odhad eo ěaou formou ierpolace, a a doplěou řadu použí iž ěerou z meod pro pravidelé časové řad. Ja iž lo řečeo v úplém úvodu, v éo práci se sousředíme a meod apliovaelé a zcela oecé epravidelé časové řad. Čeé přílad časových řad s epravidelě pozorovaými hodoami lze aléz v čláu Wrigh (986). Např. poud v průěhu času dode e změě frevece, se erou aše pozorováí provádíme, e celovým výsledem epravidelá časová řada. Běžě se sává, že saisicé úřad a ié isiuce zvšuí puliačí freveci ěerých veliči, apř. z ročí a varálí. V souhrých přehledech e časo pro úsporu mísa volea pro sarší odoí meší frevece ež pro odoí edávé. Jid sou epravidelosi v ašich pozorováích způsoeé oeiví emožosí měři daou veličiu pravidelě, případě vziaí epláovaě v důsledu výpadu měřících přísroů eo dooce pozděší zrá pozorovaých hodo. Něd e časová epravidelos viřě osažea už v samoém sledovaém evu. Je možé apř. uvažova časovou řadu poču zazameaých výsů isé choro a daém území, přičemž oamžiem pozorováí e vžd výs ového případu. Neo

9 Záladí pom a meod 9 můžeme chí předpovědě, aá ude hodoa mužsého svěového reordu v ěhu a edu míli v roce, a o z časové řad hisoricých hodo ohoo reordu, de oamžiem pozorováí e vžd daum vvořeí reordu (viz. ods. 7.). Na závěr uveďme ede přílad ilusruící, že hraice mezi pravidelými a epravidelými časovými řadami emusí ý vžd a osrá. Uvažume řadu deích uzavíracích ce vraého aciového iulu a urze ceých papírů, de se vša ochodue e ve všedí d. Vzilá časová řada vpadá ao picá řada s chěícími pozorováími (víed a svá), ovšem o chěící hodo el ai id realizová. Oáza zí, co e z hledisa vývoe ce acie důležiěší. Zda fa, že páe a podělí sou od see vzdále 7 hodi, eo že de o dva po soě doucí ochodí d seě ao řea úerý a sředa.. Deompozičí a reureí meod pro časové řad Deompozice e edou ze záladích a široce rozšířeých meod pro modelováí, vrováváí a předpovídáí časových řad. Jde o pricip velice oecý, pod ehož hlaviču lze zařadi velé možsví celých říd meod. Záladí mšleou e daou časovou řadu rozloži a ěoli slože s charaerisicými vlasosmi a dále ohoo rozladu vuží při řešeí edolivých praicých úloh aalýz časových řad. Měme časovou řadu,, K, a uvažume rozlad eích hodo I ε. (..) Zde e hodoa redu, I hodoa sezóí slož a (epravidelé) slož časové řad v čase. red, ε hodoa áhodé,, K, měl vazova určiou míru hladosi (v porováí s origiálí řadou) a aseci periodici. Sezóí složa I,,, K, měla vazova periodiciu s pevou periodou p a měla ý cerováa olem. Náhodá složa ε,,, K, ideálě měla voři ílý šum. red a sezóí složu azýváme ssemaicými složami. Exisue velé možsví modifiací, rozšířeí či zedodušeí ohoo záladího schémau. Míso adiiví deompozice (..) lze uvažova mulipliaiví deompozici I ε, (..) de slož I a ε sou cerová olem. Zlogarimováím (..) zísáme adiiví rozlad řad log. Jié deompozice v soě omiuí vlasosi oou uvedeých. Deompozičí schémaa se mohou liši i počem a charaerem slože, a eré e řada rozládáa. a pro esezóí časové řad ude rozlad posráda sezóí složu I. Jié časové řad mohou aopa vazova více růzých periodici, příladem uď deí a ýdeí periodicia spoře elericé eergie, viz. alor (3). Něd se uvažue zv. clicá složa C, erá vadřue clicé olísáí řad olem eího

10 Záladí pom a meod dlouhodoého redu. Na rozdíl od sezóí slož emá vša oo olísáí periodu pevé dél. Jao přílad vezměme olísáí HDP v rámci eoomicého clu. Koréí deompozičí meod se liší aé ím, aým způsoem e rozlad řad a edolivé slož praic provede. Jed se saží v časové řadě ideifiova red a sezóí složu ve varu eměém v průěhu času. Sem paří především použií regrese alezeí redu v podoě růzých maemaicých řive a sezóí slož vořeé goiomericými fucemi času eo sezóími idex. Paramer regresích modelů sou u odhadová ao osaí v rámci celé časové řad. zv. adapiví meod aopa připoušěí, že var redu a sezóí slož se mohou v průěhu času měi. Odhad příslušých paramerů sou provádě loálě, hovoříme o loálím redu. Mezi adapiví meod paří erůzěší způso zv. vrováváí časových řad, mezi ezáměší paří růzé p louzavých průměrů. Jeich speciálím případem e i edoduché expoeciálí vrováváí, a ehož záladě e vviua celá šála adapivích meod pro růzé p redů a sezóosí. Zoecěí ěcho meod a epravidelé časové řad sou émaem éo práce. Předpovídáí ezámých udoucích hodo časové řad pomocí deompozičí meod proíhá ásleduícím způsoem: eprve e provedea samoá deompozice řad a ásledě sou ao zísaé ssemaicé slož vhodým způsoem exrapolová do udoucosi pro zísáí příslušých odových předpovědí. Z epřeerého možsví vrovávacích a předpovědích meod pro časové řad se v praxi ěší velé oliě především zv. reureí meod. Jeich výhodou e sadá sofwarová implemeace a ásledá výpočeí eáročos. Předpoládeme, že sme iž pozorovali hodo,, K, a v rámci algorimu meod sme z ich apočíali hodo saisi S, K,. Samoé hodo,, K, iž v uo chvíli v paměi S uě euchováváme. Číslo e přiom relaivě malé (může ý i ) a především pevé pro daou meodu (speciálě ezávisí a poču pozorováí ). Vrovaou hodou v čase zísáme ao fuci saisi S : ( S, S ) ˆ Y K,. (..3) Bodovou předpověď z času o h časových edoe vpřed pa odoě ao ( ) F( S, K, S h) ˆ h ;. (..4) Jamile pozorueme ovou hodou, provedeme přepoče hodo ašich saisi pomocí reureího vzorce ( S,, S ) S( S, K, S ; ) K, (..5) de S e ěaá pevá -složová veorová fuce. Samoou hodou můžeme poé zapomeou a celý posup se opaue. V případě, že chom pracovali s epravidelou časovou řadou, a romě ového pozorováí vsoupí do vzahu (..5) ešě hodoa časového rou. Fuce Y, F a S, eré určuí daou reureí meodu, sou časo velice edoduché a ázoré.

11 Záladí pom a meod Pro praicé použií reureí meod e ué eprve ěaým způsoem zísa počáečí hodo S, S, K. se určí věšiou z ěolia prvích pozorováí řad, erá iž máme dispozici. Pro daou reureí meodu zpravidla exisue více aleraivích způsoů výpoču počáečích hodo S, S, K. Velmi oecou reureí meodou e apř. zv. Kalmaův filr použiý a časovou řadu modelovaou zv. damicým lieárím modelem, viz. Brocwell a Davis (), ap. 8. Parě ve všech ohledech erozšířeěšími reureími meodami pro časové řad sou meod pu expoeciálího vrováváí, eichž zoecěím pro epravidelé časové řad e věováa ao práce..3 Expoeciálí vrováváí Meod des souhrě azývaé ao expoeciálí vrováváí l vviu a oci 5. le předpovídáí udoucích oemů prodeů zoží za účelem opimálího řízeí eich výro a sladováí. Mšleu použí ocepu expoeciálího vážeí odhadu ee úrově časové řad, ale i eího redu a sezóí slož, což pa umoží předpovída eí udoucí hodo, pulioval ao prví Američa Charles C. Hol v roce 957 ve svém memoradu pro Office of Naval Research. Výsledé předpovědí meod včeě doového apliačího oexu lze aléz v čláu Wiers (96). Jeich eedodušší variaou e zv. edoduché expoeciálí vrováváí vhodé pro esezóí řad s loálě osaím redem. Holova meoda e vhodá pro esezóí časové řad s loálě lieárím redem, Hol-Wiersova meoda avíc připouší adiiví eo mulipliaiví sezóos. V průěhu le se oevil další odvozeé varia ao apř. Holova meoda s expoeciálím či zv. lumeým lieárím redem. Podroý přehled lze aléz v čláu Garder (985). Přes velou růzorodos maí všech varia expoeciálího vrováváí důležié společé rs. Předě sou založe a seé záladí mšlece, erou e vážeí s vahami expoeciálě lesaícími směrem do miulosi. Odud pa prameí dvě v praxi ceěé vlasosi expoeciálího vrováváí: eho reureí a adapiví charaer. Záladí mšleu i uvedeé vlasosi expoeciálího vrováváí si udeme ilusrova a edoduchém expoeciálím vrováváí, eré e záladem všech dalších varia. Deme omu, že sme iž pozorovali hodo,, K, časové řad a aším úolem e sesroi předpověď ( ) ˆ ezámé udoucí hodo (z času ). Exisuí dva velmi edoduché způso osruce éo předpovědi. Prví z ich e vzí ao předpověď ezámé udoucí hodo arimeicý průměr všech doposud pozorovaých hodo dočé časové řad, ed ˆ ( ) ( K ). (.3.)

12 Záladí pom a meod ao předpověď e vhodá, poud hodo řad áhodě olísaí olem isé úrově, erá se v čase eměí (model osaí úrově). Druhou možosí e vzí za předpověď ezámé hodo předcházeící pozorovaou hodou, ed ˆ ( ). (.3.) ao předpověď e aopa vhodá, poud hodo řad vziaí áhodým odchýleím se od předcházeící hodo (model áhodé procház). V oou případech předpovídáme hodou pomocí vrovaé hodo ŷ, erá předsavue odhad úrově řad v čase. Přiom ŷ e vážeým průměrem pozorovaých hodo,,, K, de v prvím případě sou váh rovoměré, ve druhém ocerovaé a eauálěší pozorováí. Pro model osaí úrově zísáme sado reureí formuli a pro model áhodé procház podoě ˆ ˆ (.3.3) ˆ ( ) ˆ. (.3.4) Nová vrovaá hodoa ed vziá ao ovexí lieárí omiace předchozí vrovaé hodo váha sousředěa a hodou ˆ ŷ a aposled pozorovaé hodo sousředěa a eověší pozorováí. Ozačíme-li chu předpovědi ˆ ( ) ao e, ed. V prvím případě e ŷ (předpoládáme-li >> ), ve druhém e celá váha e ˆ ( ) ˆ, (.3.5) můžeme rovosi (.3.3) a (.3.4) přepsa a zv. chový var : pro model osaí úrově a ˆ ˆ e (.3.6) ˆ ˆ e (.3.7) pro model áhodé procház. Oě předpovědí meod se ed liší ím, do aé mír asorue ová vrovaá hodoa ˆ posledí zazameaou předpovědí chu e. Zaímco v prvím případě e ao cha považováa pouze za důslede áhodé odchl od současé úrově řad a ao aová eí éměř asorováa, ve druhém

13 Záladí pom a meod 3 případě e předpovědí cha ráa ao příza změ úrově řad a ao aová e asorováa v plé míře. Ja lo řečeo, oě popsaé předpovědí meod sou vhodé pouze pro velmi úzce defiovaé říd časových řad, eré se v praxi vsuí zřída. Mohem realisičěší předpovědí meodu ale můžeme zísa ao eich ompromis. Vrovaou hodou ŷ udeme opě počía ao vážeý průměr pozorovaých hodo,, K, váh ale eorá zvolíme expoeciálě lesaící směrem, do miulosi s disoím faorem (, ). ed ˆ K K. (.3.8) o váh sou rozumým ompromisem mezi rovoměrým rozložeím vah a vahou sousředěou e a posledí pozorováí. Navíc dí eich speciálímu varu e sále možé počía vrovaé hodo řad reureě. Formule odoá ěm v (.3.3) a (.3.4) má í var ( ) α ˆ ˆ de sme ozačili α. Jeí příslušý chový var e α, (.3.9) ˆ ˆ e α. (.3.) Pro >> plaí α a ozačíme-li α, můžeme vzah (.3.9) a (.3.) psá přiližě ao Volou zv. vrovávací osa ( α ) α, (.3.) α e. (.3.) ˆ ˆ ˆ ˆ α určíme rozložeí vah v příslušé ovexí lieárí omiaci. Předpovědí cha e e chápáa z čási ao důslede áhodé odchl od současé úrově řad a z čási ao příza změ úrově řad. α, určue míru eí asorpce. Paramer ( ) Zísali sme ed celou šálu adapivích reureích předpovědích meod. pro α se lížíme modelu osaí úrově, pro α aopa modelu áhodé procház. Záladími vzorci edoduchého expoeciálího vrováváí sou ed předpovědí formule ˆ ( ) ˆ a reureí formule (.3.), eíž var e charaerisicý pro všech meod expoeciálího vrováváí.

14 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 4 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí ao apiola ude věováa edoduchému expoeciálímu vrováváí a eho zoecěím pro epravidelé časové řad. V odsavci 3. ude eprve prezeováa lasicá verze éo meod pro pravidelé časové řad a eí spoios s modelem ARIMA(,, ). V odsavci 3. ude uvedeo Wrighovo zoecěí edoduchého expoeciálího vrováváí pro případ časových řad s epravidelě pozorovaými hodoami. V odsavci 3.3 odvodíme aleraiví meodu vcházeící z oho, že zoumaá časová řada e epravidelě pozorovaý ARIMA(,, ) proces. 3. Jedoduché expoeciálí vrováváí pro pravidelé časové řad Jedoduché expoeciálí vrováváí e eedodušší a ezáměší meodou expoeciálího vrováváí. Vhodé e pro použií a esezóí časové řad ez zřeelého rosoucího eo lesaícího redu. Něd říáme, že řada měla mí loálě osaí red. Při použií a časovou řadu, erá emá výše popsaé vlasosi, lze očeáva velmi špaé výsled. Pro řad s redem či sezóosí sou urče složiěší meod expoeciálího vrováváí (viz. ap. 4 a 5). Mšlea edoduchého expoeciálího vrováváí la iž asíěa v odsavci.3. Pracueme-li s časovou řadou K, můžeme záladí vzorce meod zapsa ao: Paramer (, ) S K,, ( α ) S α, (3..) ˆ S, (3..) ˆ τ ( ) S, τ >. (3..3) α e zv. vrovávací osaa, hodoě S říáme (edoduchá) vrovávací saisia. Bodová předpověď z času e rova S ezávisle a horizou předpovědi τ >, ed o předpovědi voří horizoálí přímu. Vzorec (3..) lze zapsa v eho chovém varu ao de e S α, (3..4) S e S e cha edoroové předpovědi z času. Pro praicé použií meod a řadu,, K,, K e ué ěa zvoli počáečí hodou S, erá e ezá asarováí reureího výpoču podle vzorce (3..). S se časo volí edoduše rovo eo průměru ěolia prvích

15 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 5 pozorováí řad. Za elepší volu e ale považováa zv. zpěá předpověď, d se S ere ao vrovaá hodoa v čase zísaá použiím seé předpovědí meod a časově převráceou řadu, viz. Garder (985). omuo posupu víceméě odpovídá vola S ve varu vážeého průměru ěolia prvích čleů řad, de váh lesaí směrem do udoucosi s disoím faorem α. Hodoa vrovávací osa α (, ) se volí uď experě eo miimalizací isého riéria vadřuícího epřesos prováděých předpovědí v ěaém úseu řad. ao miimalizace přes α (, ) se provádí ěaým umericým algorimem, erý vžadue včísli dočé předpovědi v řadě pro věší možsví růzých hodo α. Jiý způso vol parameru α ude popsá a oci ohoo odsavce. Volě paramerů předpovědích meod e věováa odsavec 6. a čásečě i odsavce 6. a 6.4. Jedoduché expoeciálí vrováváí e picá ad hoc meoda, erá eí expliciě založea a ěaém pravděpodoosím modelu pro zoumaou řadu. Zdálivé ospravedlěí může posou ásleduící suečos, viz. Chafield (), sr. 96: Uvažume časovou řadu K,, s eoečou miulosí a eí model µ ε, K,,, (3..5) de µ e ezámý paramer a ε e áhodá složa. Odhadem parameru µ meodou DLS (discoued leas squares) s disoím faorem α, ed řešeím úloh arg mi µ µ ( ), (3..6) e hodoa S ( ), erá vhovue reureí formuli (3..). Jedoduché expoeciálí vrováváí použié a časovou řadu s oečou miulosí e ed aproximací odhadu úrově µ meodou DLS. o ovšem ezameá, že chom sad suečě věřili v plaos modelu (3..5) eo že chom měli ěaý asý důvod, proč odhadu parameru µ použí zrova meodu DLS. Jedoduché expoeciálí vrováváí ed pro uo chvíli sále zůsává ad hoc meodou. Důsledem oho, že edoduché expoeciálí vrováváí emusí ý založeo a žádém pravděpodoosím modelu, e aé fa, že emáme žádé vodío pro určeí rozplů předpovědích ch a ed ai pro určeí mezí předpovědích iervalů. Řešeím může ý vužií vzahu edoduchého expoeciálího vrováváí modelu ARIMA(,, ), erý ude osvěle a ásleduících řádcích. Uvažume prví difereci řad. S vužiím vzahu (3..4) a defiice předpovědí ch e zísáme sado ( S e ) ( S e ) e ( α ) e. (3..7)

16 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 6 Rozumou maemaicou formulací oho, že meoda edoduchého expoeciálího vrováváí s vrovávací osaou α e vhodá pro řadu, e poláda áhodé veliči { Z} e, za ílý šum s rozplem σ >. ed předpoláda, že plaí E ( ), var ( ) σ a cov ( e, ) pro všecha m. e e e m Vzah (3..7) pa zameá, že řada {, Z} se řídí modelem MA() geerovaým ílým šumem { e, Z}, ed původí řada {, Z} se řídí modelem ARIMA(,, ). Lze aopa sado uáza, že pro řadu řídící se modelem ARIMA(,, ) e edoduché expoeciálí vrováváí opimálí předpovědí meodou z hledisa miimalizace sředí čvercové ch edoroové předpovědi, viz. apř. Chafield (), sr. 9. Při použií edoduchého expoeciálího vrováváí a časovou řadu se ed eví ao rozumé považova i za realizaci pravděpodoosího modelu ARIMA(,, ). eo předpolad ám pa umoží odvodi přesé předpovědí rozpl pro liovolý ro procesu { Z} τ,, K a při vsloveí předpoladu o pu rozděleí e, i přesé meze předpovědích iervalů s daou spolehlivosí θ. Uvažume předpověď o,, K τ roů vpřed τ ( ) S předpovědi (zaím ezávisle a předpoladu o ARIMA procesu) plaí e τ ˆ. Pro chu éo ( ) τ ˆ τ( ) τ S ( S α e αe K α e τ e τ) S (3..8) α( e e K e ) e. τ Ní iž s vužiím předpoladu o ovariačí sruuře procesu { e, Z} dosaeme var[ e ( ) ] var[ α ( e e K e ) e ] σ α ( ). (3..9) τ [ ] τ τ τ τ Pro τ e eo rozpl přirozeě rove σ, oecě e pa přímo úměrý omuo parameru. Dále dle očeáváí var [ ( ) ] rose (a o lieárě) s rosoucím horizoem e τ předpovědi τ. aé věší hodoa parameru α, erá zameá rchleší změ úrově řad, se proevue věšími předpovědími rozpl. Poud udeme avíc předpoláda, že e ~ N(, σ ), pa ( [ ]) e ( ) ~ N, σ α ( ) (3..) τ τ a příslušý předpovědí ierval se spolehlivosí θ má meze S ± u θ σ α ( τ ), (3..) de u θ e ( θ )-vail sadardího ormálího rozděleí N (, ). Všech zde prováděé úvah vcházeí z oho, že záme suečé hodo paramerů α a σ. V praxi e samozřemě pouze odhadueme z pozorovaých hodo řad. Vrovávací osau α určíme apř. miimalizací sředí čvercové ch

17 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 7 MSE (3..) e (mea square error) a paramer výěrovým rozplem edoroových předpovědích ch. Aleraivím přísupem e odhadou paramer σ odhademe zde dosažeým miimem, ed α a záladě výěrové auoorelace řad {, Z}, což odpovídá zv. momeovému odhadu parameru v modelu MA() éo řad, viz. Prášová (4), sr Plaí a poud uvažueme α (, ), pa ρ (, ) α ρ cor(, ) (3..3) ( α ). Můžeme aopa vádři 4ρ α. (3..4) ρ Odhad αˆ zísáme dosazeím výěrové orelace r a míso eoreicé hodo ρ : 4r ˆ α. (3..5) r Hodoa αˆ e rosoucí fucí r, pro r e α a aopa pro r e α. Hodoa r mimo ierval (, ) začí evhodos použií edoduchého expoeciálího vrováváí a daou časovou řadu. Odhad αˆ e pochopielě ím přesěší, čím přesěší e odhad r a ed čím více pozorováí řad máme dispozici. Doporučue se přiom alespoň 5 pozorováí, viz. Prášová (4), sr. 9. Odhad αˆ se vša oecě echová doře pro α lízá, eliož fuce ˆ α ( r ) má pro r (a ed ˆ α ) derivaci lížící se a hodoa αˆ v lízosi a velmi silě reague i a eparé změ hodo r. Hodou odhadu αˆ lze použí a přímo, a ao počáečí hodou pro umericý algorimus hledaící opimálí hodou α. 3. Wrighova modifiace pro epravidelé řad V omo odsavci ude prezeováo edoduché expoeciálí vrováváí pro epravidelě pozorovaé časové řad, viz. Wrigh (986). Jde o přímočaré ad hoc zoecěí seé meod pro pravidelé časové řad. V případě pravidelé časové řad s eoečou miulosí e vrovávací saisia S rova expoeciálě vážeému průměru hodo řad pozorovaých do času :

18 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 8 S ( ), (3..) de (, ) e použiý disoí faor. Úplě seým způsoem můžeme posupova i v případě časové řad K,,, K pozorovaé v epravidelých časových oamžicích K < < < < K. Ve vzorci (3..) edoduše zohledíme epravidelou časovou sruuru řad a položíme S. (3..) Předpoládáme přiom, že posloupos K < < < < K má aovou podou, že všech příslušé eoečé řad overguí. Ozačíme-li α, (3..3) můžeme psá S α. Jedoduchými úpravami dosaeme S α α, (3..4) S α α α α α. (3..5) Odud můžeme (3..4) přepsa ao případě v chovém varu ao S ( α ) S α, (3..6) S S α e. (3..7) oo sou reureí formule odoé ěm ve (3..) a (3..4). Pouze míso pevé vrovávací osa α se zde vsue hodoa α, erá e přepočíáváa reureím vzahem (3..5). Seě ao v pravidelém případě udeme rá ˆ S a ˆ τ ( ) S, de τ > může í aýva i eceločíselých hodo. Narozdíl od edoduchého expoeciálího vrováváí pro pravidelé časové řad ed musíme romě vrovávací saisi S přepočíáva ešě proměý vrovávací oeficie α. Jeho výzam ve vzorcích (3..6) a (3..7) e zřemý a seý ao v pravidelém případě. Podíveme se podroěi a reureí

19 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 9 vzorec (3..5), podle erého e počíá. Rosoucí závislos α a časovém rou zameá, že e-li auálí vrovaá hodoa S iž začě dále v miulosi od ového pozorováí, e věší váha ladea a ově pozorovaou hodou. Nová hodoa vrovávacího oeficieu α závisí rosoucím způsoem ešě a miulé hodoě α, erá v soě osahue iformaci o časové sruuře řad od času do miulosi. Máme-li dispozici pozorováí řad počíae časem a chceme-li asarova reureí výpoč podle vzorců (3..5) a (3..6) pro,,, K, musíme eprve urči počáečí hodo, S a α. Hodou S se opě doporučue voli ao průměr ěolia prvích pozorováí řad, případě pomocí meod zpěé předpovědi. Dále vezměme q, de q > e sředí časová vzdáleos mezi dvěma sousedími pozorováími řad. Hodou α doporučue Wrigh vzí rovu q ( α) q. o odpovídá předpoladu, že fiiví pozorováí řad od času do miulosi sou pozorováa s pevým časovým rozesupem q. ed q Hodoa α vhovue rovici α q q. (3..8) a a q a s ezámou a, ed de o pevý od reurece (3..5) s q. Je sadé ověři, že Wrighovo edoduché expoeciálí vrováváí e při použií a pravidelou časovou řadu oožé s lasicým edoduchým expoeciálím vrováváí. Poud de o předpovědí rozpl Wrighov meod, emůžeme se iž přímo opří o příslušý ARIMA(,, ) proces ao v případě pravidelé časové řad. Je vša možé přimou ao odvozeé předpovědí rozpl, ed předpoláda opě [ ] var[ e ( )] σ α ( ) (3..9) τ τ pro τ (, ), de σ > e paramer určuící chový rozpl předpovědi o ede ro vpřed. Je důležié si všimou, že var [ e τ ( )] počíaý podle vzorce (3..9) e ladý i pro τ (, ). Nevýhodou vzorce (3..9) e, že ezohledňue časovou sruuru řad do času, vádřeou apřílad hodoou α. Jao rozumé se evilo předpoláda, že předpovědí rozpl var [ τ ( )] rose s rosoucí hodoou α, erá začí věší e časové rozesup mezi pozorováími řad v odoí před časem. Jedou z možých modifiací vzorce (3..9) v omo směru e apřílad

20 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí [ ] var[ e ( )] σ α ( τ ) ( α )( α α ) τ, (3..) de x max( x, ) e ladá čás čísla x. Vzorec (3..) splývá se vzorcem (3..9) pro α α, pro α α e var [ e τ ( )] lieárě rosoucí fucí α. 3.3 Nepravidelě pozorovaý ARIMA(,, ) proces V omo odsavci odvodíme aleraiví meodu Wrighovu edoduchému expoeciálímu vrováváí pro epravidelé časové řad. Ja lo řečeo v odsavci.3, edoduché expoeciálí vrováváí e opimálí předpovědí meodou pro časové řad řídící se modelem ARIMA(,, ). Vdeme ed z oho, že zoumaá epravidelá časová řada e epravidelě pozorovaým ARIMA(,, ) procesem a a záladě ohoo předpoladu pro i odvodíme opimálí předpovědí meodu. Přesože ao meoda ude a odvozea pouze pro časové řad s chěícími pozorováími, půde i v praxi použí a liovolou epravidelou časovou řadu., Z e časová řada řídící se modelem ARIMA(,, ). Řada eích Nechť { } prvích diferecí { Z} apřílad ao, se ed řídí modelem MA(), což můžeme zapsa de { e, Z} e ílý šum s rozplem > Položíme-li pro Z e ( α ) e, (3.3.) σ. Předpoládeme, že (, ) α. S ( α ) e, (3.3.) můžeme model řad { Z}, zapsa ao S S e, (3.3.3) ( α ) S α. (3.3.4) Z ohoo zápisu e pará souvislos modelu řad {, Z} s edoduchým expoeciálím vrováváím s vrovávací osaou α. Uvažume í rosoucí posloupos {, Z} předsavuící časovou mřížu, a íž pozorueme hodo řad {, Z}. Pozorueme ed pouze hodo, Z, zaímco hodo pro {, Z} sou pro ás epozorovaelé. Zaíma se udeme o ao vzilou časovou řadu { Z}, s chěícími pozorováími. Koréě pro i udeme hleda opimálí předpovědí meodu z hledisa miimalizace rozplu předpovědí ch.

21 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí Nechť sme iž pozorovali hodo pro a a eich záladě zísali áhodou veličiu S ~ předsavuící předpověď ezámé hodo S. Je realisicé ~ předpoláda, že áhodá veličia S má oečý rozpl a e eorelovaá s áhodými veličiami e pro >. Seé vlasosi pa podle (3.3.) ude mí ~ i áhodá veličia S S. Ozačme ~ ( S S ) σ < Hledeme í předpověď hodo S ve varu de v var. (3.3.5) ~ ~ S ( a) S a, (3.3.6) e ově pozorovaá hodoa řad. Paramer a R udeme voli s cílem miimalizova rozpl ~ ( S ) v Ze vzorců (3.3.) a (3.3.) sado odvodíme vzah a odud dosazeím do (3.3.6) dosaeme ~ S S var S σ. (3.3.7) α ( e e K e e ) (3.3.8) S ~ ( a) S a [ S α ( e e K e ) e ]. (3.3.9) Odečeím rovosí (3.3.8) a (3.3.9) održíme S ~ ~ ( a)( S S ) ( a)( e e e ) ( α a) e S Z eorelovaosi áhodých veliči α K. (3.3.) ~ S S a e, > dosáváme ~ ( S S ) [( a) v α ( a)( ) ( ) ] var Řešíme ed úlohu σ. (3.3.) α a mi {( a) v ( )( ) ( ) α a α a }. (3.3.) a R Jde o miimalizaci ovexí vadraicé fuce proměé a, od miima â ed alezeme velice sado, oréě v aˆ v Dosažeé miimum má přiom hodou α ( ) α. (3.3.3) α ( )

22 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí v ~ ( S S ) var σ [ ] ( ) ( aˆ) v α ( ) ˆ a α Všiměme si, že plaí ˆ (, ) a a vzorec. (3.3.4) ~ ~ S ( ˆ) ˆ a S a (3.3.5) ~ ed počíá předpověď S ao ovexí lieárí omiaci sávaící předpovědi S ~ a ově pozorovaé hodo. Ze vzorce (3.3.3) ple, že â e rosoucí fucí aší iuiiví předsavě. Velá hodoa suečé hodo pozorováí v zameá, že v, α i S ~, což odpovídá eí valií předpovědí S, a a e ve vzahu (3.3.5) věší váha ladea a ové zameá, že hodoa S, eíž e. Podoě věší časový ro S ~ předpovědí, e iž dále v miulosi od ového pozorováí. Paramer α pa předsavue vrovávací osau při použií edoduchého expoeciálího vrováváí a řadu {, Z}, eho vzah â udíž aé epřevapí. Pro α, či v e a ˆ. Je-li v a, což odpovídá pravidelé časové řadě { Z}, s, pa â α. Odvozeá meoda se sládá ze vzorce (3.3.3) pro výpoče opimálího vrovávacího oeficieu â v daém rou, reureího vzorce (3.3.5) pro aualizaci vrovaé hodo S ~ a reureího vzorce (3.3.4) pro aualizaci rozplového faoru v. Předpovědí z času o τ > časových edoe vpřed udoucí ~ ezámé hodo τ e vrovaá hodoa ˆ S podoě ao u edoduchého ~ expoeciálího vrováváí. Pro rozpl ch e τ ( ) τ S éo předpovědi plaí [ τ τ ] [ v α ( τ ) ]. ~ var[ e ( )] var S S α ( e e K e ) e τ σ vzhledem eorelovaosi veliči ~ S S a e pro > (3.3.6). Je vidě, že eo rozpl e miimálí právě ehd, dž e miimálí hodoa v. ed odvozeá hodoa â e opimálí vrovávací osaou i z hledisa miimalizace předpovědí ch. ~ ~ N, σ S S ~ N, σ v, pa Poud udeme předpoláda, že e ( ) a ( ) ( [ ]) e ( ) ~ N, σ α ( ) (3.3.7) τ v τ a příslušý předpovědí ierval se spolehlivosí ~ θ má meze S ± u θ σ v α ( τ ). (3.3.8)

23 3 Jedoduché expoeciálí vrováváí 3 ~ Všiměme si, že amile e áhodá veličia S S eorelovaá s veličiami e pro >, pa iž vzhledem e vzorci (3.3.) a eorelovaosi { e, Z} plaí seý fa i pro aždé e ~ N, σ, pa podoě z ormali áhodé ~ ~ veliči S S iž ple ormalia S m Sm pro všecha m. m. Poud e ( ) Máme-li dispozici pozorováí řad počíae časem a chceme-li asarova reureí výpoč podle vzorců (3.3.3) až (3.3.5) pro,,, K, musíme eprve ~ urči počáečí hodo, S a v. Seě ao Wrigh ozačme ao q průměrý časový rozesup mezi sousedími pozorováími řad { Z}, a položme q. ~ Hodou S určíme opě ao vážeý průměr ěolia prvích pozorováí řad, erá máme dispozici, s ím, že váh udou lesa do udoucosi s disoím faorem α. Hodou v zvolíme ao pevý od reurece (3.3.4) pro q, ed ao složu v řešeí sousav rovic v α ( q ) α a, v α ( q ) [ ] ( α a). v ( a) v α ( q ) (3.3.9) s ezámými v a a. Po formálích algeraicých úpravách ao zísáme de hodoa (,) ( a~ ) ( q ) ( a~ v ) a~ α α a~ ( a ~ ) a ~ e určea vzorcem, (3.3.) 4 ~ α q α q 4 ( α) α q a. (3.3.) ( α ) Výše odvozeá meoda pro vrováváí a předpovídáí v časových řadách s chěícími pozorováími má podoý charaer ao Wrighovo edoduché expoeciálí vrováváí. I zde e pomocí reureí formule picého varu, viz. vzorec (3.3.5), přepočíáváa vrovaá hodoa řad. Přiom vrovávací oeficie â se měí ro od rou a za ímo účelem e ué reureě přepočíáva vedle vrovaé hodo S ~ ešě saisiu v. Přeso, že ao meoda la odvozea pouze pro časové řad s chěícími pozorováími, lze í v praxi seě a doře použí a aouoli časovou řadu s epravidelě pozorovaými hodoami. Fa, že v omo případě iž časový ro eude oecě přirozeé číslo, ia ezemožňue použií vzorců (3.3.3) až (3.3.5).

24 4 Holova meoda 4 4 Holova meoda ao apiola ude věováa Holově meodě a eímu zoecěí pro epravidelé časové řad. V odsavci 4. ude eprve prezeováa lasicá verze éo meod pro pravidelé časové řad a eí vzah modelu ARIMA(,, ). Odud udou odvoze předpovědí rozpl a předpovědí ierval pro uo meodu. Zmíěa ude éž Holova meoda s expoeciálím redem a Holova meoda s lumeým lieárím redem. V odsavci 4. ude popsáo Wrighovo zoecěí Holov meod pro epravidelé časové řad, včeě aalogicých zoecěí Holov meod s expoeciálím a lumeým lieárím redem. Odsavec 4.3 ude věováa Hol-Wiersově meodě a eímu zoecěí pro časové řad s chěícími pozorováími. 4. Holova meoda pro pravidelé časové řad Holova meoda e další velice zámou a používaou variaou expoeciálího vrováváí. Vhodá e pro apliaci a esezóí časové řad s loálě lieárím redem. V praxi lze Holovu meodu eo ěerou eí modifiaci úspěšě použí a věšiu esezóích časových řad. Při použií a sezóí časovou řadu elze vša očeáva doré výsled, eliož eude rá zřeel a příomos sezóosi. Pro sezóí časové řad e určea Hol-Wiersova meoda, viz. odsavec 4.3. Holova meoda používá reureí formule vcházeící z mšle edoduchého expoeciálího vrováváí odhadu ee úrově, ale i směrice redu zoumaé časové řad. Jeí vzorce sou sále velice ázoré a výpočeě eáročé. Vcházíme z oho, že zoumaá časová řada K,, K vazue lieárí, red, ehož směrice se ale může v čase pozvola měi. Sav časové řad v daém oamžiu e a charaerizová eda eí úroví S a aé směricí redu. Úroveň S předsavue vrovaou hodou řad v čase, ed ˆ S. (4..) Směrice redu udává auálí směrici lieárího redu řad v čase, ed očeávaou změu eí úrově vzažeou edé časové edoce. Předpověď o τ > časových edoe vpřed udoucí ezámé hodo τ z času má a ásleduící iuiiví var: ( ) S ˆ. (4..) τ τ

25 4 Holova meoda 5 Bodové předpovědi z času pro růzé předpovědí horizo τ > ed voří přímu procházeící vrovaou hodoou ˆ S a maící za směrici hodou směrice redu řad v čase. Jádrem Holov meod sou reureí formule, pomocí ichž ze sávaících hodo S a a ově pozorovaé hodo zísáme úroveň S a směrici redu řad v ásleduícím čase. Naší předpovědí hodo z času e výraz S, a ple ze vzorce (4..) pro τ. ed e přirozeé očeáva S S. Na druhou srau a úroveň a směrice redu řad se může v čase měi, sigálem éo změ pro ás může ý pozorovaá hodoa. Jeliož éž S, eví se rozumým voli hodou S ao ovexí lieárí omiaci hodo S a. Zvolme ed pevě číslo α (, ) a položme S ( α )( S ) α. (4..3) Hodoa α e vrovávací osaa pro úroveň. Vzorec (4..3) e odoou vzorce (3..) z edoduchého expoeciálího vrováváí. Rozdíl e pouze v iém varu ˆ, erá e zde omiováa s ově pozorovaou hodoou. předpovědi ( ) aé vzorec (4..3) lze přepsa do eho chového varu S α, (4..4) S e de e ( ) e cha edoroové předpovědi. ˆ Podoou úvahou dodeme i e vzorci pro aualizaci směrice redu řad. O é předpoládáme, že má loálě lieárí red, lze ed očeáva. aéž vša má smsl očeáva S S. Zvolme ed pevě číslo γ (, ) a položme ( γ ) γ ( S S ). (4..5) Hodoa γ e vrovávací osaa pro směrici redu, přiom může ý oecě γ α. I vzorec (4..5) lze přepsa do eho chového varu: γα. (4..6) e Vzorce (4..3) a (4..5) sou podsaou Holov meod. Chové var (4..4) a (4..6) reureích vzorců (4..3) a (4..5) sou opě velice ázoré. Paramer α (, ) udává, a moc e předpovědí cha e zahrua do ové hodo úrově S. Hodoa γα pa udává, do aé mír e cha e zahrua do ové hodo směrice redu. Jia řečeo, volou hodo paramerů α a γ se řídí rozložeí vah ve vzorcích (4..3) a (4..5) mezi sávaící hodou (či předpověď ze sávaících hodo) a hodou založeou a ovém pozorováí. Vola vrovávacích osa α, γ (, ) se v praxi provádí seě ao vola α (, ) u edoduchého expoeciálího vrováváí, ed uď experě eo

26 4 Holova meoda 6 miimalizací apř. MSE přes isý úse zoumaé časové řad. Numericá miimalizaci MSE či iého riéria e zde pochopielě výpočeě áročěší, proože proíhá a celém edoovém čverci (, ) (, ). Pro praicé použií meod a řadu,, K,, K e ué ěa zvoli počáečí hodo S a, eré sou ezé asarováí reureího výpoču podle vzorců (4..3) a (4..5). Needodušší a v praxi časo používaou volou e Jiou možosí e vzí a a v modelu, (4..7) S. (4..8) aˆ a S ˆ, de â a ˆ sou regresí odhad paramerů a pro ěoli prvích pozorováí řad. Ovle se zde používaí lasicé OLS (ordiar leas squares) odhad. Mšlece zpěé předpovědi vša lépe odpovídá použií časově iverovaých DLS odhadů, de váh lesaí směrem do udoucosi s disoím faorem α γ. Odůvoděí vol disoího faoru spočívá ve vzahu Holov meod dvoiému expoeciálímu vrováváí, viz. vzorec (5..4) v odsavci 5.. Holova meoda e picou ad hoc vrovávací a předpovědí meodou. Hlaví ospravedlěí prameí z eího úspěšého fugováí v praxi. Při velice ázoré a výpočeě eáročé podoě maí zísaé předpovědi uspooivou přesos. Podoě ao u edoduchého expoeciálího vrováváí l až dodaečě dohledá pravděpodoosí model časových řad, pro ěž e Holova meoda opimálí předpovědí meodou. V ásleduících odsavcích uážeme souvislos Holov meod s modelem ARIMA(,, ) a a záladě éo souvislosi odvodíme pro Holovu meodu rozpl předpovědích ch a meze předpovědích iervalů. Podoě ao v případě edoduchého expoeciálího vrováváí udeme předpoláda, že edoroové předpovědí ch { e, Z} Holov meod, defiovaé ao e ˆ ( ), voří ílý šum s rozplem σ >. Vdeme ze vzorců S α, (4..9) γα, (4..) (4..) S e e S e a uážeme, že řada {, Z} se řídí modelem ARIMA(,, ), ed řada {, Z} eích druhých diferecí se řídí modelem MA(). Počíeme ( S e ) ( S e ) ( S S ) ( ) e e α e γα e e e ( α γα ) e e. (4..) Dalším diferecováím održíme oečě

27 4 Holova meoda 7 ed řada {, Z} [ ( α γα ) e e ] [ 3 ( α γα ) e e ] (4..3) e ( α γα ) e ( α ) e. se suečě řídí modelem MA(), de eho paramer sou υ α γα υ α., (4..4) můžeme odhadou apř. momeovým odhadem, založeým a hodoách r a r prví a druhé výěrové auoorelace řad {, Z}. Dosazeím ěcho odhadů ˆυ a ˆυ do vzahů (4..4) a vádřeím α a γ zísáme odhad αˆ a γˆ vrovávacích osa pro Holovu meodu. o odhad esou vša ai při velém poču pozorováí řad příliš přesé. Je zámo, viz. Chafield (), sr. 99 eo Brocwell a Davis (), sr. 35, že Holova meoda e opimálí předpovědí meodou pro výše specifiovaý ARIMA(,, ) proces. Je ed možé při použií Holov meod předpoláda, že zoumaá časová řada se suečě řídí ímo modelem. Za předpoladu, že záme suečé hodo paramerů α a γ, můžeme sado odvodi rozpl předpovědích ch a za předpoladu ormali i meze předpovědích iervalů pro Holovu meodu. e ˆ S Zaímáme se o rozpl ch τ ( ) τ ˆ τ ( ) předpovědi τ ( ) τ z času o τ > roů vpřed. Opaovaým použiím vzorců (4..4) a (4..6) dosaeme Odud pa τ τ i S τ α e i[ γ( τ i) ] e τ. (4..5) e τ ( ) α e i[ γ( τ i) ] e τ (4..6) τ i a z předpoládaé eorelovaosi ch { e, Z} aoec τ [ ( )] var e τ σ α [ γ ( τ i) ]. (4..7) i Jedoduchými algeraicými úpravami ohoo výrazu za použií zámých vzorců N i i N( N ) a N i i N( N )( N ) 6, (4..8) viz. Barsch (), sr. 68 a 69, dospěeme ásleduícímu vzorci pro rozpl předpovědí ch:

28 4 Holova meoda 8 [ ( )] ( ) ( ) τ τ var e τ σ α τ γτ γ. (4..9) 6 eo rozpl e úměrý parameru σ, pro τ e rove σ. Jde o rosoucí fuci předpovědího horizou τ i oou vrovávacích osa α a γ. Pro τ e α γ 3 var[ e τ ( ) ] σ τ. (4..) 3 Doposud sme se zaývali původí Holovou meodou pro loálě lieárí red, a i Hol avrhl v roce 957. Exisue vša ěoli modifiací Holov meod, eré vužívaí seé sruur záladích vzorců, ale sou uzpůsoe pro ié ež lieárí red. Jedou z aových modifiací e Holova meoda s zv. lumeým lieárím redem, viz. Garder a McKezie (985). a e moivováa empiricým pozaem o om, že současý red v časové řadě věšiou epřervává dlouhodoě, ale má edeci se spíše lumi. Z hledisa přesosi dlouhodoěších předpovědí se pa eví výhodé eo pozae zohledi v použié předpovědí meodě. Bodové předpovědi lasicé Holov meod s lieárím redem voří přímu, ed předpoládá se osaí árůs úrově řad za časovou edou. Oproi omu lumeý lieárí red e aový, de přírůse úrově řad za časovou edou ϕ,. omuo číslu se v průěhu času geomeric lesá s pevým vocieem ( ) říá lumící osaa a určue rchlos, s aou se red lumí: ižší resp. všší hodoa ϕ zameá rchleší resp. pomaleší lumeí redu. Případ ϕ zameal žádé lumeí, ed lasicý lieárí red. Předpovědí formule Holov meod s lumeým lieárím redem má var τ ˆ τ ( ) S ϕ ϕ K ϕ. (4..) Reureí vzorce pro výpoče úrově S a směrice redu řad sou í S ( α )( S ϕ ) α, (4..) ( γ ) ϕ γ ( S S ) (4..3) a eich chové var maí ázorou podou Dodaečý paramer (, ) S S α e αγ e ϕ, (4..4) ϕ. (4..5) ϕ se volí uď experě (věšiou lízo ) eo seě ao vrovávací osa miimalizací isé mír epřesosi předpovědí. Počáečí hodo S a se ovle volí seě ao u lasicé Holov meod, ezávisle a hodoě ϕ. Vzorce (4..7) a (4..8) lo možé upravi do podo

29 4 Holova meoda 9 S, ϕ (4..6) ϕ. ϕ (4..7) V případě použií regresích odhadů â a ˆ ao u lasicé Holov meod lo možé původě lieárí red a ahradi lumeým lieárím redem a g( ), de g( ) ϕ ϕ K ϕ. Za předpoladu, že předpovědí ch e ˆ ( ) v Holově meodě s lumeým lieárím redem voří ílý šum s rozplem σ >, lze sadými algeraicými úpravami odvodi, že zoumaá časová řada {, Z} se řídí modelem ARIMA(,, ), de lumící osaa ϕ předsavue auoregresí paramer. Přesě ϕ ϕ( α ) e ( α ϕαγ ) e e. (4..8) Poud de o rozpl předpovědích ch, lze posupova odoě ao v případě lasicé Holov meod: ˆ τ S g( τ ), (4..9) τ τ i S g( τ ) α e i[ γ g( τ i) ] e τ, (4..3) de g( ) ϕ ϕ K ϕ. Odečeím ěcho dvou rovosí zísáme e τ ( ) α e i[ γ g( τ i) ] e τ (4..3) τ i a z předpoládaé eorelovaosi ch { e, Z} aoec τ [ ( )] var e τ σ α [ γ g() i ]. (4..3) i Další algeraicé úprav vužívaící vzorce vedou iž a epříliš přehledý vzorec, oréě de ϕ g() ϕ ϕ K ϕ ϕ (4..33) ϕ τ τ var[ e τ ( ) ] σ α τ γ g() i γ g () i, (4..34) i i

30 4 Holova meoda 3 τ τ ϕ ϕ g () i τ, i ϕ ϕ (4..35) τ τ ϕ ϕ ϕ g () i τ ϕ. ( ϕ) ϕ ϕ (4..36) τ i Jiou modifiací Holov meod e zv. Holova meoda s expoeciálím redem. Mšlea i sruura vzorců meod e zde shodá ao v případě lasicé Holov meod s lieárím redem. Jediý rozdíl e, že se předpoládá expoeciálí amíso lieárího redu. Uvažue se ed siuace, d úroveň zoumaé časové řad vzrose (lese) aždou časovou edou isým ásoem. oo e v praxi velmi časý ev ať už v eoomicých časových řadách, eo v ěch pocházeících z přírodích věd. Expoeciálí red má smsl pouze u časových řad s ladými pozorováími. Předpovědí vzorec, odoa vzorců (4..) a (4..), vpadá í ao τ a příslušé reureí formule maí var S τ ( ) S ˆ (4..37) ( α )( S ) α, (4..38) ( α ) α S S. (4..39) Počáečí hodo S a se volí odoě ao v případě lasicé Holov meod: a S (4..4) eo ao aˆ a S ˆ, de â a ˆ sou odhad paramerů a a v regresím modelu a. se ěžě volí ao expoeciálí fuce OLS odhadů v logarimovaém modelu log log a log. Poud zde amíso OLS odhadů udeme používa časově iverovaé DLS odhad, disoí faor, sižuící váh směrem do udoucosi, udeme opě rá ao α γ. 4. Wrighova modifiace pro epravidelé časové řad V omo odsavci ude prezeováo Wrighovo zoecěí Holov meod pro epravidelé časové řad, viz. Wrigh (986). Seě ao v případě edoduchého expoeciálího vrováváí od seého auora půde o přímočarou adapaci vzorců Holov meod a časovou epravidelos ve zoumaé časové řadě a opě při om ude zachováa ázoros a výpočeí eáročos původí meod. Na závěr ešě zmííme aalogicá zoecěí Holov meod s lumeým lieárím a expoeciálím redem pro epravidelé časové řad, viz. Cipra (6).

31 4 Holova meoda 3 Měme epravidelou časovou řadu redem. Uvažume opě úroveň S a směrici redu z času o τ > časových edoe vpřed ude ed K,, K s loálě lieárím, řad v čase. Předpověď ˆ τ ( ) S τ. (4..) Reureí vzorce pro výpoče ových hodo S a musí ově zohledňova délu časového rou mezi příslušými dvěma pozorováími časové řad v om smslu, že í S ( ) S a S S. (4..) Opě vša současě S a, což vede e ovexím lieárím omiacím podoým ěm ve vzorcích (4..3) a (4..5). Uvažueme opě dvě růzé vrovávací osa α, γ (, ), edu pro vrováváí úrově S a druhou pro vrováváí směrice redu. Bude zde ovšem apliováa mšlea proměých vrovávacích oeficieů podoě ao u Wrighova edoduchého expoeciálího vrováváí: S ( α ) [ S ( ) ] α, (4..3) S S ( γ ) γ, (4..4) de vrovávací oeficie α a γ sou přepočíává reureími vzorci α α a α ( α) γ γ. (4..5) γ ( γ ) Na rozdíl od Holov meod pro pravidelé časové řad ed musíme romě úrově S a směrice redu přepočíáva ešě dva proměé vrovávací oeficie α a γ. Jeich výzam ve vzorcích (4..3) a (4..4) e zřemý a seý ao v pravidelém případě. var vzorců (4..5), podle ichž se vrovávací oeficie reureě přepočíávaí, e seý ao v případě edoduchého expoeciálího vrováváí, viz. vzorec (3..5), a evžadue udíž žádý omeář. Podíveme se ešě a vzorec (4..4), de se ve meovaeli vsue déla časového rou. Poud sou si dvě sousedí pozorováí časové řad velice lízá v čase, ale ioli z hledisa svých hodo, může zlome ( S S ) ( ) v omo vzorci aýva hodo řádově všších ež předchozí směrice. ao pa může doí ežádoucímu vchýleí ové hodo, což má faálí důsled a ásleduící předpovědi. Míra ohoo efeu závisí a a veliosi směrice

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Příklady časových řad a jejich použití. Z2069 Statistické metody a zpracování dat II Analýza časových řad vývoj cen akcií objem obchodování na burze

Příklady časových řad a jejich použití. Z2069 Statistické metody a zpracování dat II Analýza časových řad vývoj cen akcií objem obchodování na burze Přílad časových řad a jejich použií hp://www.cru.uea.ac.u/cru/ifo/warmig/ 3 Objem obchodu (iervalová řada Kurz acie (oamžiová řada 5 Z69 Saisicé meod a zpracováí da II Aalýza časových řad vývoj ce acií

Více

Časové řady základní pojmy

Časové řady základní pojmy Časové řad záladí pom Časové řad V erůzěších oblasech lidsé čiosi sou pozorová a zazameává časové průběh erůzěších uazaelů. Chceme-li údae z růzých dob v rámci edé řad smsluplě srováva, e řeba zaisi, ab

Více

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák Zálad eore chb a zpracováí zálích měřeí Jří ová Teo e je zamýšle jao pomůca pro vpracováí laboraorích úloh z z Je urče pouze pro sudjí účel a jeho účelem je objas meod zpracováí měřeí Chb měřeí Druh chb

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016 Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Sudijí obor: Maemaika Fiačí a pojisá maemaika Variaa A Řešeí příkladů pečlivě odůvoděe. Věuje pozoros ověřeí předpokladů použiých maemaických

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testy hypotéz

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testy hypotéz SP3 Tey hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Tey hypoéz Lbor Žá SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Nechť X X e áhodý výběr T X X X áhodý veor ezávlé ložy erý má rozděleí závlé a parameru θ Θ Θ R Ozačme:

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýz časových řad Doc.Ig. Jaa Hačlová, CSc. Kaedra maemaických meod v ekoomice Ig. Lubor Tvrdý Kaedra regioálí ekoomik Ekoomická fakula, VŠB-TU Osrava Osrava, 003 - - Úvod do aalýz časových řad

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných - 6 - Difereciálí počet fucí více proměých Difereciálí počet fucí více reálých proměých 1 Spoitost, limity a parciálí derivace Fuce více reálých proměých Defiice Pod reálou fucí reálých proměých rozumíme

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Téma 5: Analýza závislostí

Téma 5: Analýza závislostí Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv.

Více

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy: 3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN DIMNZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PRFN 1 Kulkova 10/4231, 615 00 Bro el.: 541 583 208, 297, fa.: 549 254 556 e-mail: kompozi@prefa.cz hp://www.prefa-kompozi.cz DIMNZOVÁNÍ PROFILŮ Maeriálová srukura, základí

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýzy časových řad Obsah Úvod... Teoreické základy pro aalýzu časových řad.... Základí pojmy..... Druhy časových řad..... Grafická aalýza.....3 Popisé charakerisiky... 4. Základí úpravy časových

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět:

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět: 5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ RAVDĚODOBNOSTI Čas e sudiu aioly: 0 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee umě: charaerizova hyergeomericé rozděleí charaerizova Beroulliho ousy a z ich odvozeé jedolivé yy disréích

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy 6 lgorim ořezáváí a esováí poloh Sudijí íl Teo blok je věová problemaie vzájemé poloh grafikýh primiiv, zejméa poloze bodu vzhledem k mohoúhelíku včeě jedolivýh speifikýh varia jako jsou čřúhelík, jehož

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULA INFORMAIKY A AIIKY Kaedra sas a pravděpodobos AIIKA VZORCE RO 4 a 4 verze 8 posledí aualzace:. 9. 8 K 8 opsá sasa p p =,,...,... () () ( ),, z, ( z ) ( z ) ( z), z

Více

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy cvičící 8. cvičeí 4ST1 Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST1 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

, neboť. 1 Postup všech typů exponenciálního vyrovnávání je zevrubně popsán v monografii: i 1

, neboť. 1 Postup všech typů exponenciálního vyrovnávání je zevrubně popsán v monografii: i 1 Meoda expoeciálího vrováváí [Brow-Meer] Je dalším přísupů, kerý e řae (vedle meod klouavých průměrů k adapivím echikám určeí redové složk časové řad Výchoí úvahou éo echik e, že se k predikci ové hodo

Více

1.6. Srovnání empirických a teoretických parametrů (4.-5.předn.)

1.6. Srovnání empirických a teoretických parametrů (4.-5.předn.) .6. rováí empirických a eoreických paramerů (4.-5.před.) Cíle: - pravděpodobosí zkoumáí výběrového saisického souboru: kvaifikace eoreických paramerů, srováí eoreických a empirických paramerů (Probable

Více

, neboť. Je patrné, že váhy splňují podmínku

, neboť. Je patrné, že váhy splňují podmínku Meoda expoeciálího vrováváí [RGBrow-RFMeer] Je dalším přísupů, kerý e řae (vedle meod klouavých průměrů) k adapivím echikám určeí redové složk časové řad Výchoí úvahou éo echik e, že se k predikci ové

Více

Křivky 2D. Klasifikace křivek (1) Klasifikace křivek (2) Navazování a spojitost křivek. Přednáška 8

Křivky 2D. Klasifikace křivek (1) Klasifikace křivek (2) Navazování a spojitost křivek. Přednáška 8 Předáš 8 Křv D Žár, J., Beeš, B., Felel, P. Moderí počíčová grf. Compuer Press, Bro, 998. ISBN 8-76-49-9. Cee, P. Počíčová grf. Srp Uverz Prdubce, 999. ISBN 8-794-9-4. Klsfce řve ( Podle prosoru D D Podle

Více

Modelování vlivu parametrického buzení na kmitání vetknutého nosníku

Modelování vlivu parametrického buzení na kmitání vetknutého nosníku . ročík echické koferece ARaP, 4. a 5.. 4, Praha Modelováí vlivu paramerického buzeí a kmiáí vekuého osíku Jiří TŮMA, Per Ferfecki, Pavel ŠURÁNE, Miroslav MAHDA VŠB - Techická uiverzia Osrava ARaP 4 Osova

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty

Více

T T. Think Together 2012. Martin Flégl, Andrea Hornická THINK TOGETHER

T T. Think Together 2012. Martin Flégl, Andrea Hornická THINK TOGETHER Česká zemědělská uiverzia v Praze Provozě ekoomická fakula Dokorská vědecká koferece 6. úora T T THINK TOGETHER Thik Togeher Vývo cerifikace ISO 9 a ISO 4 a eí vliv a pravděpodobosi savů okolosí rozhodovacího

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

FOURIEROVA A LAPLACEOVA TRANSFORMACE,

FOURIEROVA A LAPLACEOVA TRANSFORMACE, FOUIEOVA A LAPLACEOVA ANSFOMACE, OPEÁOOVÉ CHAAKEISIKY DVOJPÓLŮ Fourierovy řady prodlužováí periody Prodloužeí periody při zachováí šířy ipulsu π sižováí záladí frevece ω = frevece, eré jsou u raší periody

Více

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Ivesičí čios Exisují růzá pojeí ivesičí čiosi: Z pohledu ekoomické eorie Podikové pojeí ivesic Klasifikace ivesic v podiku 1) Hmoé (věcé, fyzické, kapiálové) ivesice 2) Nehmoé (emaeriálí) ivesice 3) Fiačí

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

ÚLOHA VÍCE TĚLES V NEBESKÉ MECHANICE

ÚLOHA VÍCE TĚLES V NEBESKÉ MECHANICE ÚLOHA VÍCE TĚLES V NEBESKÉ ECHANICE SPECIFIKACE PROBLÉU Řeš úlohu ěles zaeá aléz pohyby ( foulova pohybové ovce a aléz ech řešeí) hoých bodů (esp ěles př zaedbáí duhoé oace) a eé působí pouze vzáeé gavačí

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt OBEKTOVÁ ALGEBRA Zdeěk Pezlar Úsav Iformaiky, Provozě-ekoomická fakula MZLU, Bro, ČR Absrak V objekovém modelu da defiujeme objekové schéma (řídu) jako čveřici skládající se ze jméa řídy, aribuů, domé

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

5. Funkce náhodných veličin a náhodných vektorů. 5.1 Spojité náhodné veličiny

5. Funkce náhodných veličin a náhodných vektorů. 5.1 Spojité náhodné veličiny 5 Fc áhodých vliči a áhodých vorů 5 Spojié áhodé vliči V éo čási s bd zabýva problaio rasorac áhodé vliči a ja js již ěolirá zíili v přdchozí Njdřív vd dvě záladí vě o sbsici v igrálí poč Důaz ěcho vě

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5 Fakula srojího ižeýrsví VUT v Brě Úsav kosruováí KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody Předáška 5 Čelí soukolí se šikmými zuby hp://www.audiforum.l/ Moderaio is bes, ad o avoid all exremes. PLUTARCHOS Čelí soukolí

Více

Téma 1: Pravděpodobnost

Téma 1: Pravděpodobnost ravděpodobot Téma : ravděpodobot ředáša - ravděpodobot áhodého evu Náhodý pou a áhodý ev Náhodý pou - aždá čot, eíž výlede eí edozačě urče podmíam, za terých probíhá apř hod otou, měřeí dély, běh a 00

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Odezva a obecou periodickou budící fukci Iva Períková Kaedra mechaiky, pružosi a pevosi Obsah Fourierovy řady Odezva a polyharmoickou fukci Odezva a obecou periodickou fukci Odezva a jedokový skok Příklad

Více

ČASOVÉ ŘADY V KINANTROPOLOGICKÉM VÝZKUMU. MASARYKOVA UNIVERZITA Fakulta sportovních studií Katedra kineziologie. Habilitační práce

ČASOVÉ ŘADY V KINANTROPOLOGICKÉM VÝZKUMU. MASARYKOVA UNIVERZITA Fakulta sportovních studií Katedra kineziologie. Habilitační práce MASARYKOVA UNIVERZITA Faula sporovích sudií Kaedra ieziologie ČASOVÉ ŘADY V KINANTROPOLOGICKÉM VÝZKUMU Habiliačí práce Bro, 0 Mgr. Mari Sebera, Ph.D. Prohlašui, že sem uvedeou habiliačí práci vypracoval

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Geometrické modelování. Diferenciáln

Geometrické modelování. Diferenciáln Geomerické modelováí Difereciál lí geomerie křivekk Křivky v očía ačové grafice Geomerická ierreace Každý krok algorimu má svůj geomerický výzam Flexibilia korola ad růběhem křivky, možos iuiiví ediace

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

S k l á d á n í s i l

S k l á d á n í s i l S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULA INFORMAIKY A AIIKY Kaedra sas a ravděodobos AIIKA VZORCE RO 4 a 4 verze 8 osledí aualzace:. 9. 8 K 8 osá sasa,,...,... ( ( (,, z +, ( z ( z + ( z+, z H H H G... R ma

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_17_Klopné obvody RS, JK, D, T. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_17_Klopné obvody RS, JK, D, T. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing. Číslo projeku CZ..7/.5./34.58 Číslo maeriálu VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_7_Klopé obvody RS, JK, D, T. Název školy Auor Temaická oblas Ročík Sředí odborá škola a Sředí odboré učilišě, Dubo Ig. Miroslav Krýdl

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY 7 VYUŽITÍ METOD OERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DORAVY Operačí aalýza jao jeda z oblatí apliovaé matematiy achází vé široé uplatěí v průmylových a eoomicých apliacích. Jedím z oborů, ve teré hraje ezatupitelou

Více

Časové řady elementární charakteristiky

Časové řady elementární charakteristiky Časové řad elemeárí charakerisik Elemeárí charakerisik vývoje časové řad Příklad: Časová řada ročích produkcí elekrické eergie v Jihomoravském kraji bazický Výroba elekři.. empo růsu empo přírůsku idex

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Nechť je áhodá proměá, kerá má diribučí fukci Fx, ϑ. Předpokládejme, že záme var diribučí fukce víme jaké má rozděleí a ezáme

Více

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. 4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci

Více

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika 4.11.011 REGRESNÍ DIAGNOSTIKA Chemometrie I, David MILDE Regresí diagostika Obsahuje postupy k posouzeí: kvality dat pro regresí model (přítomost vlivých bodů), kvality modelu pro daá data, splěí předpokladů

Více

á í í Č ť ó í íď ý í í íř ý ř ě Í č ť í á š á ý é ů á í ť č Í Í é ď ž é ž ť é éř ů í š ší ý í Í é á É í ě é ř í Í í é í ř ě á ó í í ě š ě ý á ř í á í

á í í Č ť ó í íď ý í í íř ý ř ě Í č ť í á š á ý é ů á í ť č Í Í é ď ž é ž ť é éř ů í š ší ý í Í é á É í ě é ř í Í í é í ř ě á ó í í ě š ě ý á ř í á í á Č ť ó ď ý ř ý ř ě Í č ť á š á ý é ů á ť č Í Í é ď ž é ž ť é éř ů š š ý Í é á É ě é ř Í é ř ě á ó ě š ě ý á ř á ě é Í Ž ý ť ó ř ý Í ů ů ů š Í ý é ý ý ů é ů š é ů ó Žá Í á Íř ě šř ó ř ě é ě é Ě š č á č

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Petr Šťástka

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Petr Šťástka Uverza Karlova v Praze Maemaco-fyzálí faula BAKALÁŘSKÁ PRÁC Per Šťása Výpoče rezervy a posá plěí př rozděleí da a suečé IBNR a IBNR Kaedra pravděpodobos a maemacé sasy Vedoucí baalářsé práce: RNDr. Luce

Více

3. POJIŠTĚNÍ OSOB (ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ)

3. POJIŠTĚNÍ OSOB (ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ) 3. POJIŠTĚÍ OSOB (ŽIVOTÍ POJIŠTĚÍ) 3.. EMOELOVÝ PŘÍSTUP 3... ekremeí řád vymíráí populace Úmrosí abulky a) Smr je áhodým jevem, kerý se pojišťuje pro účely ŽP sačí pracova s průměrými hodoami záko velkých

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

3. část: Teorie hromadné obsluhy. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

3. část: Teorie hromadné obsluhy. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 3. část: Teorie hromadé obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d. Zálady teorie pravděpodobosti Náhodý pous je děj, jehož výslede eí ai při dodržeí všech předepsaých podmíe předem zám. Náhodý jev je výsledem áhodého

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více